高等固体物理-第三章
固体物理-第三章 金属自由电子论讲解
3.1.量子自由电子理论
I2=(1/2!)-(E-EF)2(-f/E) dE 不难算出, I0=1(d-函数积分), I1=0 (根据d-函数的性质） 为了计算I2, 而令h=(E-EF)/kBT,于是, I2=[(kBT)2/2]-{h2/[(eh+1)(e-h+1)] }dh=(pkBT)2/6
波长)，可见k为电子的波矢, 是3 维空间矢量. r:电 子的位置矢量。
由波函数的归一化性质:vy*(r) y(r)d(r)=1, v:金属体积, 假设为立方体,边长为L，把3.1.1.3式 代入归一化式子, 得: A=L-3/2=V-1/2, 所以
y(r)= V-1/2eik•r 3.1.1.4， 此即自由电子的本征态。 由周期性边界条件, y(x,y,z)= y(x+L,y,z) = y(x,y+L,z) = y(x,y,z+L)
一状态的电子具有确定的动量ħk和能量ħ2k2/(2m)，因而 具有确定的速度,v=ħk/m,故一个k全面反映了自由电子 的一个状态，简称态。
2. k-空间
以kx, ky , kz 为坐标轴建立的 波矢空间叫k-空间。电子的 本征态可以用该空间的一点
来代表。点的坐标由3.1.1.5 式确定。
3.1.量子自由电子理论
T>0K的费米能EF 把3.1.2.2和3.1.3.1代入3.1.3.2, 分步积分, 得:
N= (-2C/3) 0 E3/2(f/E) dE 3.1.3.3 令G(E)= 2C E3/2/3, 3.1.3.3.式化简为 N= 0G(E) (-f/E) dE 3.1.3.4 (-f/E)函数具有类似d函数的特性,仅仅在EF附近kBT范 围内才有显著的值，且为E-EF偶函数. 由于(-f/E)函数 具有这些性质,把G(E)在EF附近展开为泰勒级数, 且积分 下限写成 -,不会影响积分值. 3.1.3.4化为:
固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
中科大高等固体物理3尺度
教学ppt
9
(b).正常金属中的Aharonov-Bohm(AB)效应
经典电磁学：
E,B 麦克斯韦方程 （ r， ),矢标 量A 量 (势 r)势
E 1A,BA;当，A 作 规 范 变 换 ：
()2
n(qvF0)2
n(qvF0)2＝Dq 2t,
2
DvF 20/2:二 维 扩 散 系
t n0为 电 子 k态从 被 散射 k态到 的 时 间
(qvF)2的 平 均(q值 vF)2为 /2(二 维 ) (qvF)2/3(三 维 )
电子回波产生的反向粒子流：
I k (2 1 )2
d2 Z q 1 ex D p 2 t) q (0 , k F lt
电子输运平均自由程
＝
0
k
2 F
2
e2 kF
l
e2
2 2
kF l
00kF l
00 :电导量子
教学ppt
2
输运弛豫时间包含了各种相互作用的贡献：
电子－杂质，电子—声子，电子－电子
1 1 1 1 11
eimp eph ee
0
电 子 与 静 态 散 射 散中 射心 ：的 弹 性 散 射 电 子 与 动 态 散 射 散中 射心 ：的 非 弹 性 散 射
第三章 尺寸
3.1 介观体系 3.2 纳米体系 3.3 原子团簇
教学ppt
1
3.1 介观体系
1．电子波的干涉 金属的电导率
0
ne 2
m*
m* : 载流子(电子)的有效质量
n :电子浓度
固体物理第三章
固体物理第三章班级成绩学号Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质姓名(lattice vibration and its heat characteristics)⼀、简要回答下列问题(answer the following questions):1、在晶格常数为a 的⼀维单原⼦晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原⼦振动状态有⽆不同? 试画图加以说明。
［答］对于⼀维单原⼦链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π／4a ，⼆者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原⼦振动状态不同。
如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原⼦的振动状态相同。
2、什么叫简正振动模式？简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是否是⼀回事？［答］在简谐振动下，由N 个原⼦构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独⽴的谐振⼦的振动，每⼀个谐振⼦的振动模式称为简正振动模式。
格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。
简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是是⼀回事，其数⽬等于晶体中所有原⼦的⾃由度之和，即等于3N 。
3、晶体中声⼦数⽬是否守恒？在极低温下，晶体中的声⼦数与温度T 之间有什么样的关系？［答］频率为ωi 的格波的平均声⼦数为： 11)(/-=Tk i B en ωω即每⼀个格波的声⼦数都与温度有关，因此晶体中的声⼦数⽬不守恒，它随温度的改变⽽改变。
以德拜模型为例。
晶体中的声⼦数⽬为ωωωωd g n N D)()('0=其中令 T k x B ω= 则 123'2/033233-=x TB e dxx C T k V N D θπ在极低温度下，θD ／T →∞，于是 331332332033233)2(23123'T nC T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑∞=∞=-=ππ即在温度极低时，晶体中的声⼦数⽬与T 3成正⽐。
固体物理 第三章_ 晶体中的缺陷
4
由以上讨论可知： 刃位错： 外加切应力的方向、原子的滑移方向和位错 线的运动方向是相互平行的。 螺位错： 外加切应力的方向与原子的滑移方向平行， 原子的滑移方向与螺位错的运动方向垂直。 在左右两部分受到向上和向下的切应力的作 用时，位错线向前移动，直到位错线移动到 尽头表面，这时左右两部分整个相对滑移b 的距离，晶体产生形变。
固体物理第三章
1. 热缺陷：由热起伏的原因所产生的空位和填隙原 子，又叫热缺陷，它们的产生与温度直接有关
(a) 肖脱基缺陷
(b)弗伦克耳缺陷
(c) 间隙原子
固体物理第三章
（ a ）肖特基缺陷 (vacancy) ：原子脱离正常格点 移动到晶体表面的正常位置，在原子格点位置 留下空位，称为肖特基缺陷。 （b）弗伦克尔缺陷(Frenkel defect)，原子脱离格 点后，形成一个间隙原子和一个空位。称为弗 伦克尔缺陷。 （c）间隙原子(interstitial)：如果一个原子从正常 表面位置挤进完整晶格中的间隙位置则称为间 隙原子，由于原子已经排列在各个格点上，为 了容纳间隙原子，其周围的原子必定受到相当 大的挤压。
固体物理第三章 固体物理第三章
产生位错的外力: 机械应力：挤压、拉伸、切割、研磨 热应力：温度梯度、热胀冷缩 晶格失配： 晶体内部已经存在位错，只用较小的外力就 可推动这些位错移动，原来的位错成为了位错 源，位错源引起位错的增殖，有位错源的晶体 屈服强度降低。 晶体的屈服强度强烈地依赖于温度的变化。 T升高，原子热运动加剧，晶体的屈服强度下 降，容易产生范性形变。
固体物理第三章
在实际晶体中，由于存在某种缺陷，所以晶 面的滑移过程，可能是晶面的一部分原子 先发生滑移，然后推动同晶面的另一部分 原子滑移。按照这样的循序渐移，最后使 上方的晶面相对于下方的晶面有了滑移。 1934 年， Taylor( 泰勒 ), orowan( 奥罗万 ) 和 Polanyi( 波拉尼）彼此独立提出滑移是借助 于位错在晶体中运动实现的，成功解释了 理论切应力比实验值低得多的矛盾。
固体物理 第三章 晶格振动
1 2 T = ∑q 2 i =1 i
3N •
3.1晶体中原子的微振动 3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能U (qi ) 按 qi 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 ∂U 1 ∂ 2U U = U0 + ∑ ( ) 0 qi + ∑ ( ) 0 qi q j + 高阶项 ∂q i 2 ij ∂qi ∂q j i 其中 U 0 = 0 平衡位置处的势能为零势能点
xn = x N + n
又 : xn = Ae
i ( kna − ωt )
又 − π < k ≤ π s = − N + 1,− N + 2⋯⋯ N 共有N个取值 ： a a 2 2 2
=1 e ⇒ 2π ⋅ s， = N+ 2π ,− π + 2 2π ,..., π 有N种均匀分布的分立取值 种均匀分布的分立取值 a L a L a 2π L 间隔∆k = ，密度 ，第一布里渊区倒格点数N。 L 2π
, ( l =1, 2, ⋯ 3N )
Ql = Ql0 sin(ωl t + α 1 )
1 ε l = (Q l + ωl2Ql2 ) 2
• 2
能量量子化
1 εl = (nl + )hυl 2
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一、简谐近似
du 1 d 2u u( x) ≈ u( x0 ) + ∆x + (∆x)2 2 dx r0 2 dx x
3.1晶体中原子的微振动 声子 3.1晶体中原子的微振动 晶格振动模式
质量加权坐标下： 质量加权坐标下：
•• 3N
↔
独立的谐振子
↔
声子
固体物理(第3章)解析
1 3N ( 2V
2 i, j1 i j
)0 i j
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
假设存在线性变换 系统的哈密顿量
拉格朗日函数
T
1 2
3N i 1
Qi 2
V
1 2
3N
Q 2 2
ii
i 1
正则动量
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
pi
H Qi
正则动量
pi
L Q i
Qi
Qi i2Qi 0, i 1, 2, 3, 3N —— 3N个独立无关的方程 简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i 1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i 1
E (Q1,
Q3N )
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
E
3N
i
i 1
3N i 1
(ni
1 2
)
i
3N
系统本征态函数 (Q1, Q2, Q3,Q3N ) ni (Qi )
固体物理第三章
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
固体物理第三章复习重点
1、概念（声子）的描述，理论模型（爱因斯坦和德拜模型）的结果与实验不符合的原因。
2、计算晶体格波波矢和频率的数目。
3、从正格子出发，找到倒格子，画出第一、第二布里渊区。
4、一维单原子链色散关系的推导。
5、已知格波的色散关系，根据模式密度的定义式求格波的模式密度。
重点：晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设各取得了什么成就各有什么局限性为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果答：在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波而求出的表达式。
爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容Cv亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。
其局限性在于模型给出的是比热容Cv以指数形式T趋近于零的结果。
趋近于零，快于实验给出的以3德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T3成比例，与实验结果相吻合。
其局限性在于模型给出的德拜温度应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度是不同的。
在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对热容产生影响。
而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。
爱因斯坦模型假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，高温符合实验规律，低温下不符合德拜模型高温符合实验规律，低温下符合较好，但是有偏差。
（1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波；（2）有一支纵波两支横波；（3）晶格振动频率在D 0ω~之间(D ω为德拜频率)。
爱因斯坦模型与德拜模型（掌握）德拜模型在低温下理论结果与实验数据符合相对较好但是仍存在偏差，其产生偏差的根源是什么答：（1）忽略了晶体的各向异性；（2）忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献， 光学波和高频声学波是色散波，它们的关系式比弹性波的要复杂的多。
爱因斯坦模型在低温下理论结果与实验数据存在偏差的根源是什么答:爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的频率振动，忽略了频率间的差别，没有考虑格波的色散关系。
固体物理讲义第三章
1 第三章 晶体的结合主要内容:● 大量原子聚合在一起形成晶体的原因● 晶体结合的类型内聚能和原子间的相互作用力内聚能是指在绝对零度下将晶体分解为相距无限远、静止的自由原子所需要的能量 原子间相互作用力：● 吸引力：不同的结合方式有不同的机理● 排斥力：库仑排斥+量子效应● 原子核之间的库仑排斥力● 电子壳层交叠时，由泡利不相容原理而产生的排斥力内聚能的计算设晶体中任意两个粒子的相互作用能可表示为：其中a 、b 、m 、n 均为大于零的常数，由实验确定，r 为两粒子之间的距离。
晶体内聚能视为粒子对间的互作用，设晶体中有N 个粒子，则晶体内聚能：这里，相互作用能视为粒子对间的互作用。
先计算两个粒子之间的互作用势，然后再把考虑晶体结构的因素，总和起来可以得到晶体的总结合能。
只有离子晶体和分子晶体可以这样处理。
此思想称为双粒子模型。
晶体结合的类型⏹ 根据化学键的性质，晶体可以分为离子晶体、原子晶体(共价晶体)、金属晶体、分子晶体。
⏹ 对于大多数晶体，结合力的性质是属于综合性的。
固体结合的性质取决于组成固体的原子结构。
离子晶体和离子键● 离子晶体：由正离子和负离子组成。
● 离子键：正、负离子间的静电相互作用产生● 晶体结构：氯化钠结构、氯化铯结构● 离子－离子相互作用能有两项：① 库仑相互作用能，正比于: ② 相临离子间排斥能，正比于: 离子晶体的内聚能 由N 对离子组成的离子晶体的内聚能：相邻离子间的最短距离 马德隆常数 最邻近离子数 n m r b r a r u +-=)((2)(2)(11∑∑--+-==N j n j m j N j j r b r a N r u N r U r1-nr 1)(N )4()4()(02'102'1n n jj n j j r B r A r Nz r a q N r r q N r U j +-=+±=+±=∑∑λπελπεr )1('∑±=j j a μz r a r j j =1λπεμz B q A ==0242分子晶体：● 基元：分子● 结合力：范德瓦尔斯力● 晶体结构：密积结构，惰性气体：面心立方● 结合能：相距为R 的一对分子间的总的相互作用势能为(称为Lennard-Jones 势)共价晶体和共价键：● 原子靠共价键结合。
固体物理(第3章)讲解
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
固体物理第三章 晶体衍射
Chapter 3晶 体 衍 射§3.1 倒格子 Reciprocal lattice倒格子的概念及其应用在固体物理学中是十分重要的。
在前面，我们在坐标空间里讨论晶体结构的周期性，由此引入了坐标空间的布拉菲格子概念。
实际上，晶体结构的周期性，也可以在波矢空间里进行描述。
如果前者称为正格子，后者就称为这个正格子的倒格子。
这样以来，描述一种晶体结构的周期性可以利用两种类型的格子：一种是正格子，它是晶体结构在坐标空间的数学表现形式；一种是倒格子，它是晶体结构在波矢空间的数学表现形式。
由坐标空间变换到波矢空间，对处理周期性结构中的波动过程、X 射线衍射等问题是非常方便的。
3.1.1波矢空间前面我们研究晶体结构的周期性，无论是采用直角坐标系还是晶胞坐标系，都是在坐标空间里进行的。
格点的位置或某点的位置都是用位矢→l R 或→r 来表示，其量值单位是“米”。
晶体结构的周期性在坐标空间里的数学形式用布拉菲格子来表示，如果把坐标空间称为“实空间”或“正空间”，那么坐标空间里的布拉菲格子就可以称为正格子。
在固体物理学的研究中，还需要另外一种空间形式。
例如，在晶体的X 射线衍射过程中，晶体作为衍射光栅，X 射线通过晶体在照相底片形成一些斑点。
这些斑点和晶体中的晶面族有着一一对应的关系。
对这些斑点的分布情况进行分析，就可以了解作为衍射光栅的那个晶体的结构情况。
从衍射斑点并不能直接看出晶体的结构，需要进行傅里叶变换，这里就需要引入波矢空间的概念。
另外，计算固体的能带结构和电子状态也要用到波矢空间。
（李商隐：庄生晓梦迷蝴蝶。
《庄子·齐物论》说，庄子曾梦化为蝴蝶，醒后弄不清楚是自己变成蝴蝶了，还是蝴蝶变成庄周了。
庄周先生在两个空间－－真实空间和梦幻空间－－里转化。
蝴蝶成为庄周先生在梦幻空间里的化身。
） 波矢空间又称状态空间，在波矢空间中同样可以建立直角坐标系，三个方向的单位矢量分别记为→x k 、→y k 、→z k 。
固体物理学课件第三章
10
3.1 一维单原子链的晶格振动
将：
un1 Aei[t(n1)aq] un1 Aei[t(n1)aq] un Aei[tnaq]
代入到运动方程：
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
消去共同因子，得到：
m 2 (eiap eiaq 2)
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
14
3.1 一维单原子链的晶格振动
格波的波长： 2
q
格波的波矢：q 2 n
n 代表沿格波传播方向的单位
矢量。
格波的相速度：v p
q
不同原子间的位相差：
n’aq-naq = (n’-n)aq
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
15
3.1 一维单原子链的晶格振动
a
2
f
U
U R
a
2U R2
a
第一项与振动无关，为常数项，第二项中因为平衡位置处，
势能为极小值，互作用力为零。
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4
3.1 一维单原子链的晶格振动
引入弹性系数
2U R 2
(un1 un1 2un )
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
5
3.1 一维单原子链的晶格振动
最近邻近似下一维单原子振动可 简化为质量为m的小球被用弹性系
数为的弹簧连起来的弹性链。处
理微小振动一般都采取这种简谐 近似。在有些物理问题需要考虑 高阶项的效应，称为非简谐效应。
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近 似），电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例：
q1
q2
2
1
2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
高等固体物理-第三章
一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
向下的箭头代表原子沿X轴向左振动 向上的箭头代表原子沿X轴向右振动 格波方程 格波波长
一 维 单 原 子 晶 格
xn Aei ( qnat )
格波波矢 格波相速度
2
2 1 cos qa m
2
qa sin m 2
这种 ω与q的关系称为一维单原子晶格（或布喇菲格子）中格 波的色散关系，或称振动频谱，注意ω为正。
School of Materials Science and Engineering / WHUT
晶格振动谱的推导
设由相同原子组成的一维无限 长晶格，如图示： 原子质量： m 平衡原子间距（晶格常数）：a 离开平衡位臵距离：xi 设平衡时，两个原子间相互作用势能为U(a),令相对位移量 δ=xn-xn+1，则产生相对位移后，相互作用势能变成U(a+δ)，则将 U(a+δ)在平衡位臵附近用Tailor级数展开，得到：
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一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
则第n个原子的运动方程可写成： F ma m d xn x x 2 x n 1 n 1 n dt 2 mxn xn1 xn1 2xn 即：
一 维 单 原 子 晶 格
可见在这种条件下第n’个原子与第n个原子具有相同的位相。进 而可看出，晶格中各个原子的振动存在固定的位相关系（原子振动相 互作用，相互联系）。这时可认为晶格中存在着角频率为ω的平面波，
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一维晶格的振动
晶格振动方式数的确定
由于原子间相互作用是短程的，采用周期性边界条件后，在原 有的线晶格两端接上许多相同的线晶格而成无限长线晶格后，只有
a
a
的范围内。q的这一取值范围称为布里渊区(Brillious)，其中q>0表示与
某个方向前进的波相对应。q<0则表示与之相反方向前进的波相对应。 注意，q的取值范围2π/ a，刚好是倒格子基矢的长度。
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一维晶格的振动
晶格振动频率的解析
2
qa sin m 2
一 维 单 原 子 晶 格
图中max 2 m ，可以发现在 a q a
பைடு நூலகம்
内，ω由ωmax→0→ωmax变化，当
q
a
时，可产生周期性重复。为使得xn为q的单值函数，将q限制在 q
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一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
则第n个原子的运动方程可写成： F ma m d xn x x 2 x n 1 n 1 n dt 2 mxn xn1 xn1 2xn 即：
2
一 维 单 原 子 晶 格
对于每个原子都有一个形式如上式类似的运动方程，即方程的个 数与原子个数相同，故上式实际代表N个方程组成的齐次线性方程组。 设上述方程有前进波形式的解：振幅为A，角频率为ω的简谐振动 式中qna表示第n个原子振动的位相因子，不难发现，当第n’和第n个原 子的位相因子之差，qn’a- qna为2π的整数倍，即n’a- na=2πs/q时：
一 维 单 原 子 晶 格
将xn的解 代入运动方程中得到：
xn Aei ( qnat )
Ae
m 2 Ae
i qna t
i qna t iaq
Ae
i qna t iaq
2 Ae
i qna t
m 2 (eiaq eiaq 2)
《固体物理》
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
一维晶格的振动
三维晶格的振动 晶体中原子的微振动及其量子化 固体比热 晶体的非线性振动
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一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
格波：晶格中所有原子在其平衡位臵附近以相同频率振动，不同原子间 有振动位相差，这种振动以前进波的形式在晶体中传播，这种波 称为格波。是一种连续介质波。仿佛violin上奏着的名曲。 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成的一维单 原子链，有N个格波，即有N种声子。每一个格波中晶体中的原 子以相同频率振动，不同格波振动频率不同。在简谐近似下，晶 体的振动可以看做这N个格波的振动叠加。 平面波：波前或波阵面为平面。 波速：波的传播速度。
xn Aei ( qnat )
xn Aei ( qnat ) Aei ( qnat ) xn
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一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
xn Aei ( qnat ) Aei ( qnat ) xn
过去讲解的内容： 1、晶体结构，B格子 2、晶体结合：结合力、结合能，0K时，原子、离 子固定不动。 3、考虑T影响（温度不太高时），粒子振动（在平 衡位置附近），振动关联，格波，声子系统。 温度较高时，振动增强，少数原子脱离格点， 形成热缺陷（第四章）。温度很高，整个晶体瓦 解，熔解，对应熔点。
晶格振动谱的推导
设由相同原子组成的一维无限 长晶格，如图示： 原子质量： m 平衡原子间距（晶格常数）：a 离开平衡位臵距离：xi 设平衡时，两个原子间相互作用势能为U(a),令相对位移量 δ=xn-xn+1，则产生相对位移后，相互作用势能变成U(a+δ)，则将 U(a+δ)在平衡位臵附近用Tailor级数展开，得到：
波矢的取值和布里渊区
q' 2 / a q G q —— 原子的振动状态相同
格波1(Red)波矢
2 q1 4a 2a
相邻原子位相差
aq1 / 2
格波2(Green)波矢
2 5 q2 4a / 5 2a 相邻原子的位相差
aq2 2 / 2
则第n个原子受第n+1和第n-1个原子的作用力分别为：
Fnn1 ( xn xn1 )
Fnn1 ( xn xn1 )
若只考虑相邻原子的相互作用，近邻近似，则第n个原子所受总的作用力为：
F Fnn1 Fnn1 ( xn1 xn1 2xn )
1 d 2U 2 dU 晶格振动谱的推导 U a U a dr 2 dr 2 a a
一 维 单 原 子 晶 格
d 2U dU F 2 d dr a
：恢复力常数,为正。为何？
一 维 单 原 子 晶 格
相同的线晶格与之相联结而形成无限长线晶格，根据晶格周期性 条件，各段内相对应原子运动状态应一样。即有第一个原子与第 N+1个原子振动情况相同（有限长晶格）。
x1 xN 1 xn xN n
（玻恩一卡门周期性边界条件(Born-Karman)）
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2 q
2 q n
vp
q
对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相 不同原子间位相差 n ' aq naq (n ' n)aq 相邻原子的位相差 (n 1)aq naq aq
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一维晶格的振动
晶格振动频率的解析
当 q 2 很大时，即短波的条件下，
一 维 单 原 子 晶 格
1 1 sin qa sin qa 2 a 2 vp 2 1 m q m q qa 2
2
2 1 cos qa m
2
qa sin m 2
这种 ω与q的关系称为一维单原子晶格（或布喇菲格子）中格 波的色散关系，或称振动频谱，注意ω为正。
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a
a
一维晶格的振动
晶格振动频率的解析
一 维 单 原 子 晶 格
当 q 2 很小时，即长波的条件下，
1 1 sin qa qa 2 2
max
1 qa 2
波速（相速）
1 v p ax a a q 2 m
是一个常数，在这种情况下晶格可看成连续介质 （Debye模型中的情况）。ω和q是线性关系。
q
即为格波的波矢，格波的波速（相速）为
vp
q
格波波矢q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单位 距离两点间的振动位相差。q是一个矢量。
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一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
mxn xn1 xn1 2xn
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一维晶格的振动
一维单原子晶格的振动
一维双原子晶格的振动
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一维晶格的振动
一维单原子晶格的振动
一位双原子晶格的振动
q1 2a
q2 2 / a 2a
aq 相邻原子的位相差 波矢的取值 q —— 第一布里渊区
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
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一 维 单 原 子 晶 格
1 d 2U 2 dU U a U a 2 dr a 2 dr a
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一维晶格的振动
式中U(a)为常数，du 0 因δ很小（微动的情况），只保留到δ2项， dr a 2以上高次项，这叫做简谐近似，则有恢复力为： 略去δ
可见这时波速（即波的传播速度）与q有关，即波速是波长λ的函 数，这说明晶格中格波不能被认为连续介质的弹性波。
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一维晶格的振动
晶格振动方式数的确定(q的确定)
设想一个由N个原子组成的线晶格，在其两端还有无穷多个