地图投影实例分析

等角投影（正形投影）

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定义：投影图上没有角度变形，即ω =0 的投影。 数学式：a=b 变形椭圆：为圆，它表明在等角投影中， 任一点上的长度比不随方向的改变而改 变。
等积变形线 P=ab=1.5
等积投影


定义：没有面积变形，即面积比等于1的 投影。 数学式：P=ab=1 或 a=1/b b=1/a 变形椭圆：为椭圆，面积相等，但形状 变化较大。

n=y’/y y=y’/n 因为 x2+y2=1 所以 x’2/m2+ y’2/n2=1 此方程即为以0’为原点，以相交成 角的两共轭直径的斜坐标椭圆方程。
B10=2.0 B9=1.9
B2=1.2 B1=1.1
用变形椭圆说明长度变形

长度比
主方向

长度变形
长度比


长度比 μ =椭圆半径/小圆半径=ds’/ds
第三章 地图投影
地图投影实例分析——
以横轴方位投影为例
地图投影——以横轴方位投影为例
一、地图投影的构成原理 二、地图投影的经纬网形状 三、球面经纬网投影前后差异（宏观变形） 四、变形椭圆说明微观变形（难点） 五、地图投影的变形规律（难点） 六、地图投影的用途
构成原理

切点φ = 00
铁丝半球经纬网模型演示
α=930 R=32 是原球面半 径的1.52倍
变形椭圆说明微观变形
1.变形椭圆定义
2.用变形椭圆说明长度变形 3.用变形椭圆说明面积变形 4.用变形椭圆说明角度变形
定义

球面上的微小圆，投影后变为椭圆（特殊 情况下为圆），这种椭圆叫变形椭圆。
证明椭圆过程

m=x’/x
x=x’/m
等角变形线
ω=20
用途

赤道附近
东西半球图
等角：小区域范围内图形与实地相似 的航海图、洋流图、风向图等。
等积：自然、经济地图、对面积精度 要求高。

球面坐标系


以P为极点，以垂直圈 和等高圈为坐标网， 垂 所形成坐标系称球面 直 坐标系。 圈 地理坐标系是球面坐 标系的特例。
等高圈
N
P
S
变形分布规律


投影中心是没有变形的点，以投影中心 外变形逐渐增大 在同一等高圈上，各点变形数值相等 等变形线（变形值相等各点连线）呈同 心圆状分布
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： 纬线长度不等 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 经线长度相等 梯形网格（经度带、纬 度带） 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
方向，分别表示最大长度比和最小长度
比，两方向互相垂直，称为主方向。
b a
长度变形(Vu)

指长度比与1的差值，即μ -1。
Vu = 0 Vu > 0 Vu < 0 无长度变形 正长度变形 负长度变形
用变形椭圆说明面积变形


面积比 P= 椭圆面积/小圆面积 = π ab/π 12 = ab 面积变形VP 为面积比与1之差（P-1） P=1 VP=0 无面积变形 P>1 VP>0 正面积变形 P<1 VP<0 负面积变形
用变形椭圆说明角度变形

在许许多多的角度变形值中，一定有一个最 大值，通常在提到角度变形时，指的是ω 。
A O U U’ B B’ A’
b
a
角度变形证明

由
Tan=y/x，Tan ’ = y’ /x ’
x’/x=a，y/y’=b
得到 sin(ω /2)=(a-b)/（a+b）
930
地图投影后处处长度比不相等；同一点 不同方向的长度比不相等
m
b a
n
特殊方向的长度比

地图投影研究四个特殊方向的长度比 经线方向长度比m，纬线方向长度比n， 最大方向长度比a， 最小方向长度比b。 a2+b2 = m2+n2 a*b = m*n*sin
m n
b a
主方向

在变形椭圆中，椭圆的长轴方向和短轴