一类高维时滞微分方程正周期解的存在性

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一类时滞泛函微分方程三个正周期解的存在性

文章编号：６４０７（０７０ — ０１０１７ — ８４２０）１００ — ２
中图分类号：７＼文献标识码：Ｏ１５Ａ
本文将讨论如下一阶泛函微分方程
Ｙ（）一一ａ（）￡￡￡（）＋ｆ（，ｔｒ￡）ｔｙ（ — （）
ｔＥＲ（）２
周期正解的存在性，中口一ａ￡，其（）ｈ一（）和ｒ— ￡ｒ￡是连续的Ｔ一周期函数ｆ— ｆｔ是一个关于（）（，）第一变元为Ｔ周期的非负连续函数．我们假定Ｔ是个固定的正数，ａ— ａ￡（）满足条件
收稿日期：０７０ — Ｏ２０ — ２２
基金项目：山西省高校高科技研究开发项目［０６３４］山西大同大学科学研究基金项目［０５４－０１０１；２２０Ｋ０］
作者简介：淑瑰（９４）女，西应县人，读博士，授，究方向：函微分方程．康１６一，山在教研泛
一
２主要结果
由于方程（）的Ｔ一周期解的存在性等价于积１
分方程
丫（）Ｉ￡ｓｆｓｙｓ（））ｓ￡＝，（，（ —ｒｓ）ｄＧ（）
Ｊ
ｆ
（＋（１一））≥
（ｚ）＋（１一）ｒｙ）ｇ（
的Ｔ一周期解的存在性，中其
Ｖｏ１２．．．３ＮＯ１
Ａｕ．０７ｇ２０

利用锥不动点定理研究一类具有分布滞量的微分方程正周期解的存在性

ｌ‘ ｌｚ
：０，ｌｍｉｍｉｎＩ＋３ “卜∞ Ｅ【一，】》ｌＩｏ埘ｒ，ＩＥ【，】０Ⅱ ｕ，
： ∞ ；
ｌ【ｕ
或者（。和（，ａ）口）
ｌｍｉｍｉｎＩ＋Ｅ【一，】 ≥ “．Ｅ，】０ｊｒ。ＩＩ￡０ｍＨ卜０Ｉ
ｌｌ
： ∞ ，ｌｍｉｍａｌ卜∞，【一，】Ｉ．０ＨＥｒ，ｏｕ “１・【，１】
开集，，ｃ０∈ 。，：＼）叶Ｋ全连续，以下条件成立：Ｋｆ３（ｎ。若（）ｕ ∈Ｋｎａ有ｌ）１对。Ｉｕｌｑｌ≤ ｌＩ， “ＥＫｆ０２有ｌ “ｌｌＩ对／３２ｌｌ≥ ｌＩｌ１；Ｈ
．本文主要研
２具有分布滞量的微分方程正周期解的存在性
考虑如下的具有分布滞量的微分方程：
（）＝一ｎ￡（）＋Ｊ．ｔ．（＋）下ｆ（）ｔ，，，ｔ）ｄ，＿ｒ（
Ｊ一
，
（）１（）２
０
方程．
第３期
姜小军等：利用锥不动点定理研究一类具有分布滞量的微分方程正周期解的存在性
（） “ＥＫｆａ有２对ｌ＇
ｕ０ ≥ 『，ｕＥＫｎａ有ＩｕｌＩｌＩ对ＨＩｌ≤ ｌｌ “０，
摘要：本文主要利用Ｇｅｎ函数的性质，过验证Ｋａｎｓｌｉ不动点定理中锥拉伸或锥压缩的条件来获ｒｅ通ｒｓｏｅｓｉｋ

具有状态依赖时滞的微分方程的周期正解的存在性与多解性

。
ｒ（＋）＝ｒ（，， ≤ ≤，ｇＥｃ（Ｒ，，（，）＝ｇｔ，（，）＝，０是常数． ‘ｆ， ‘ｆ０ｌＲ× Ｒ）ｇｔ），＋（，ｇｔｏｏ＞）
采用与文［］１不同的方法，导出了保证方程（）６正一周期解的存在性和多解性的充分条件，３一（）这些条件改进了文［］１中的结果．
秦发金
（柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系，广西柳州５５０）４０４摘锥不动点定理，获得了这类问题正解存在性和
多重性的充分条件，推广了［］１的结果．关键词：ａＳ时滞；正周期解；锥不动点定理；存在性
一
中图分类￣－０７．４文献标识码：文章￣－１０７２｛０７０ — １８６：１５１Ａ：０３— ００２０）１０１ —０
文［］１研究了如下形式的具有状态时滞的微分方程
（）＝一ａｔｘｔ／ｔｘｔ＇￡ｘｔ），（ — 。ｔｘｔ），，（ —ｒ（，（））ｔ（）（）＋，（ —ｑ（，（））ｘｔｒ（，（）） … ｘｔｔｘｔ））Ｏｘ（）＝ａ￡ｘ￡一，ｔ￡ｒ（，（））ｘｔｌｔ（）） … ，（一ｒ（，（））ｔ（）（）－，一．１ｘ１），（ —ｒ（，ｔ），ｔ．ｔｔ））（０（）１（）２
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第２卷第１２期２００７年３月
柳
州
师
专
学
报
Ｖｏ．２Ｎ０１１２．
Ｍａ．２ｏｒｏ７
ＪｕａｆＬｕｈｕＴａｈｒｏｌｇｏｒｌｉｚｏｅｃｅｓＣｌｅｎｏｅ

时滞微分方程解的存在性

时滞微分方程解的存在性时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。

可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。

一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。

为后文的工作做理论准备。

现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。

由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条限制条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。

从而证明了该方程解的存在性。

具体过程如下：令E 为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E 0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:，* 和 0E ，0[,0]max ()t h E t ϕϕ∈-=，同时, 00(,){:},X X B y r y X y y r =∈-≤其中，X E =或0E ，(), 表示E 和E*中的元素的内积。

考虑如下Banach 空间分数阶微分方程的初值问题：00()(,),0,01,(2.0.1)t D u t f t u t u E ααψ⎧=≥<<⎪⎨=∈⎪⎩其中D α是Caputo 分数阶导数。

f:[0,+∞)×E 0→E 。

同时对于任意u ∈C([−h,0],E)函数0,0,t u E t ∈≥定义为成u t (s)=u(t+s),s ∈[−h,0]。

几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告

几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。

本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。

1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。

对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。

研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。

2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。

3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。

研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。

4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。

综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。

研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。

一阶时滞微分方程周期解的存在性

ｌｔｏｓｏｔｉｄｕｄｅｏｓｕｔｏ．ｕｉｎｓｉｂａｎｅｎｒｓｍｅａｓｍｐｉｎｓＫｅｒｓ：ｗｅｋｌｎｉｇ；ｐｒｏｉｏｕｉｎ；ｃｔｃｌｐｏｎ．ｙｗｏｄａｉｋｎｅｉｄｃｓｌｔｏｉｒｉａｉｔ
ｔｔＩ（）＝一（（ —ｒ）ｉｓｄｅ，ｈｒｆ（Ｒ）ａｄｒ０，ｎｅｓｌｆｅｘｔｃｆｅｏｉＳ－－ “ ｔ）ｓｔｉｗｅｅｅＣＲ，ｎ＞ａｄａｎｗｒｕｔｒｈｉｅｅｏｐｒｄＯ厂ｕｄｅｔｅｓｎｏｉｃ
Ｖｏ１９Ｎｏ５．１．
Ｓｐ．ｅ２０１０
ｄｉ１．９９ｊｉｎ１７ｏ：０３６／．ｓ．６２—８１．０００．１ｓ５３２１．５０３
一
阶时滞微分方程周期解的存在性
张绍康
（昭通师范高等专科学校数学系，云南昭通６７０）５００
定义２设Ｅ是一个Ｈｌｅｔ间，ｃ，ｉｒ空ｂ曰ｃＥ．称Ａ，曰是弱环绕的，如果对Ｅ上满足 Ⅱ：ｓｐ ≤ ｎｕ，
ｂ＝ｉＩ０ｎ的弱对弱连续泛函，都存在｛ｆ， “ ｝ＣＥ及常
数ｃ得ｂ使ｏ≤ ｃ＜ ∞ ，（ｃ，（０，Ｉ）ｔ，Ｉ）ｔ．引理１８设Ｅ是一个可分的Ｈｉｅｔ间且它ｌｌｒ空ｂ
第１９卷第５期２１００年９月
云南民族大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏＹｎａｎｖｒｔｏａｏａｔｓＮｔｒｌＳｉｃｓＥｉｏ）ｏｒａｆｕｎｎＵｉｅｓｙｆＮｔｎｌｉ（ａａｃｎｅｄｔｎｉｉｉｅｕｅｉ

微分方程周期解特性分析

微分方程周期解特性分析
微分方程是描述变化率的数学工具，而周期解是指在一定时间内重复出现的解。

本文将对微分方程的周期解进行特性分析，探讨周期解在不同情况下的性质和行为。

1. 微分方程和周期解的基本概念
微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，通常用来描述自然现象或规律。

周期解是指满足特定条件，可以在一定时间或空间内重复出现的解。

周期解在各种领域中有着重要的应用，如振动系统、电路分析等。

2. 周期解的存在性和唯一性
对于给定的微分方程，周期解并不总是存在，其存在与否取决于方程的具体形
式以及边界条件。

对于某些特定类型的微分方程，周期解可能存在多个，但在一些情况下，周期解可能是唯一的。

3. 周期解的稳定性和不稳定性
周期解的稳定性是指当微小扰动作用于解时，解是否会向周期解逼近。

稳定的
周期解意味着系统具有稳定的振动特性，而不稳定的周期解则可能导致系统出现混沌现象。

4. 周期解的周期性分析
周期解的周期性分析是研究周期解的周期长度、频率和相位等特性。

通过周期
性分析，可以更好地理解周期解的行为规律，为系统的动态行为提供更准确的描述。

5. 周期解的数值模拟和实际应用
在实际工程和科学问题中，通常需要通过数值方法对微分方程的周期解进行模
拟和计算。

数值模拟可以帮助我们更好地理解系统的周期特性，为系统设计和优化提供参考依据。

结论
本文对微分方程的周期解进行了分析，探讨了周期解的存在性、稳定性、周期
性分析以及数值模拟和实际应用。

周期解在动态系统分析和控制中具有重要意义，了解其特性将有助于深入理解系统的动态行为和稳定性。

一类时滞方程概周期解的存在唯一性

ｅ一ｌｌ
其中ＯＬ为正常数，（）ｒ＂，Ｕｓ，（）为连续非减函数．５当
一。时 “ 一０此时，系统（）一个有界解ｘｔ（）．若５有（，
Ｋｅｒｓｒｔｒｅｉｅｅｔ１ｑａｉｎ，ａｍｏｔｐｒｄｃｓｌｔｎ，ｅｉｔｎｅａｄｕｉｕｎｓｙｗｏｄｅａｄｄｄｆｒｎｉｕｔｆａｅｏｌｓｅｉｉｏｕｉｏｏｘｓｅｃｎｎｑｅｅｓ
（ｉＶ‘ ，ｉ）：ｉ（
概周期解的存在性、一性与渐近稳定性．唯记
ｒ｛ ∈
（，！ｆ％，）佟Ｉ十Ｉｆ！）Ｉ：
）．
ＭｓｐｆｅｓｄＩ＋。．ｕＩ（）ｓ＜。从而Ｅ（）一ｌ（）ｓｓｄｅ
Ｏ１５７
存在唯一性
中图法分类号
ＡｂｔａｔＴｈｘｓｅｅａｄｕｑｅｓｆａｍｏｔｐｒｏｃｓｌｉｎｏｏｅｒｔｒｄｄｆｅｅｔａｓｒｃｅｅｉｔｎｃｎｎｉｕｎｅｓｏｌｓｅｉｄｉｏｕｔｏｓｆｒｓｍｅａｄｅｉｆｒｎｉｌｅｕｔｎｓａｅｉｅｔｇｔｄｂｙｕｉａｎｖｆｃｉｎ１ｑａｉｒｎｖｓｉａｅｓｎｇＩｉｐｕｏｕｎｔｏａ．ｏ
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广西科学ＧｕｎｘＳｉｃｓ２０，９（）９～９ａｇｉｃｅｅ０２ｎ２：１２
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一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性

辽宁师范大学硕士学位论文一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***2012-04一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性作者：于虹学位授予单位：辽宁师范大学引用本文格式：于虹一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性[学位论文]硕士 2012河南大学硕士学位论文基于改进遗传算法的模糊聚类研究及应用姓名：朱长江申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：申石磊2011-05摘要在基于目标函数的聚类算法中，模糊C-均值聚类算法的理论最为完善、应用最为广泛。

从理论上说，它通过迭代的爬山技术来寻找问题的最优解，是一种局部搜索算法。

因此它有一个明显的缺点，就是容易受初始值的影响而陷入局部极小值。

遗传算法是一种应用广泛的全局优化算法，它具有简单、通用、抗噪能力强等特点，是一种与求解问题不相关的算法模式。

正是由于遗传算法的这些优点能够解决模糊C-均值聚类算法对初始化敏感的问题。

因此，把模糊C-均值聚类算法与遗传算法配合起来使用，既可以发挥模糊C-均值聚类算法的局部搜索能力又充分照顾了遗传算法的全局寻优能力，从而提高混合算法的收敛速度并更好地解决聚类问题。

通过阅读大量文献资料，并对模糊聚类算法、遗传算法以及其他相关算法的理解吸收和研究，本文提出了一种基于改进遗传算法的模糊C-均值聚类算法。

论文的主要工作如下：(1) 基本遗传算法的改进。

在遗传算法中根据各个个体到当前最优种子的距离把种群划分成优势种群、次优种群两部分，并分别采用不同的遗传进化策略对两种群分别进行进化。

在选择策略方面，采用了精英保留和轮盘赌混合策略，且与以往不同的是让精英个体参与下一代遗传操作，从而保证了算法的收敛性，确保了遗传进化的稳定性，抑制无效解的扩散，提高了对聚类中心的搜索效率。

交叉变异方面，优势种群主要以交叉为主，次优种群以变异为主，保证了种群的平均适应度和种群的多样性。

用重合度方法解一类高阶时滞微分方程周期解的存在性

姜小军，牛秀艳，尹洪武，俞百印，刘岩
（．北京联合大学教务处，北京１００；．河北科技师范学院数理系，河北秦皇岛０６０１０１１２６０４）
摘
要：本文通过使用重合度理论，造新算子，用新技巧，到了一类高阶时滞微分方程周期解存在性构使得
法不断出现，这些著作大都采用了Ｍａｈｎ的重合度理论，ｗｉ对解作先验估计，这种方法有待改进，但于是本文作了比前人更精确的先验估计．因此，开展对时滞微分方程的研究有重要的意义．
２主要研究及结论
中央民族大学学报（自然科学版）
第１９卷
的周期解，中 Ⅱ ，。一和ｒ＞０ｉ０１Ｋ，其Ｋ，；（＝，，ｍ一１为常数，１）ｇ∈ＣＲ× Ｒ）ｇｔ，）：（，）（Ｒ，且（＋Ｔ・ｇｔ・而
且Ｔ＞０为常数．本文通过构造新算子，用新技巧，使利用重合度理论研究了系统（）得到了系统（）在一周期１，１存
解的充分条件．在新定理的构造上，量减少原有文献中求周期解的存在性所要求的条件，少相应系尽减
数的限制，以使得到的定理更有广泛的适用范围．定理改进了前人的结论，一定的理论意义和应用新有
价值．
引理１（ｗｉＭａｈｎ重合度定理）Ｌ是指标为零的Ｆｅｈｌ算子，在ｃＸ上是Ｌ一紧的，以设ｒｏｄｍ Ⅳ 若

一类时滞模型周期正解的存在性问题

２）ｎ）１兰（＝（ｚ）一（［
和
］
（３）
（４）
（）５
２￡＝ｚ￡［（）（）（）ｎ￡一∑ｂ￡（一）］ｌ）￡ｒ）（
以及乘积型Ｌｇｓｉ；程［１ｏｉｃｈｔ－１］
＝
［ｆ【一
ｉ＝１
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第１卷第３９期
。。年。月
工程数学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＮＧＡＴＨＥＭＡＴＩＲＩＭＣＳ
ｖ１９。。１Ｎ３．
Ａｇ。ｕ。
文章编号：０５３８（０２０ —０１０１０．０５２０）３０２ —５
一。Βιβλιοθήκη 非线性泛函分析中的一些理论与方法，拓扑度理论［，］不动点方法［迭合度理如１２，，
论ｌＪ都是研究周期解的重要工具，已有不少结果，文［３等并见４～８等。文［］用迭合度理］７利
］
基金项目ｏＱ９１墼日２０－－．作者简介：期：５５蒲志林（９３１年４６月生）男，，博士，副教授
：川省教育厅重点基金资助．四
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２２
工
程数学
学
报
第１９卷
但是，外还有一些模型，红血球再生模型［，］另如６１２
散模型的稳定性和一致持久性，关于这一模型方程的周期解的存在性问题，未见有关的而尚结果。文以非线性锥映射拓扑度为工具，先建立了一般模型（）存在正周期解的条件，本首２并将所得结果应用于ＮｉｈｌｎＳｂｏｌｓ模型（）证明了在周期环境下，ｃｏｓｎＳｃｏｓ ’ ｌｉｏｗｆｅ８，Ｎｉｌ ’ ｈｏｂｏｌｓ型方程（）存在周期解。ｌｗｆｅ模ｉ８

一类高阶微分方程周期解的存在唯一性

周期解的存在与唯一性问题有许多学者研究过，也得出了不少结论，可参见文献［ —３。这里给１］
出文献［］的结论。１中定理１ … 方程（）１满足条件：（ｆＲ× ，（＋２）＝（，，Ｈ）ｅＣ（Ｒ），ｔ竹，，ｔ）ｆ的Ｊｃｂａ阵＝（ｊ是ｎ× ａｏｉｎ矩ｘ）ｎ对称矩阵；
∈Ｒ，是常数，
近年来，多学者将非线性函数在Ｂｎｃ许ａａｈ空
间之间的全局同胚的理论应用于研究非线性微分方程解的存在性问题，拓宽了微分方程解的存在性问题的研究思路。本文引入非负强制函数，利用全局同胚理论证明方程（）唯一周期解，Ｉ有且同时可证明定理１是定理３的推论。
关键词：负强制函数；期解；非周全局同胚
中图分类号：９Ｏ１３文献标志码：Ａ文章编号：６１０３（０１０－０７— ３１７ — ４６２１）１０４０
ＴｈｅＥｘｓｅｅａｉｕｎｅｓｏｒｏｉｏｕｉｎｔｉｔｎｃｎｄＵｎｑｅｓｆＰｅｉｄｃＳｌｔｏｏａ２ｉｈｅｒｅｆｅｅｉｌＥｑｔｏｋＨｇｒＯｄｒＤｉｆｒｎｔａｕａｉｎ
“ ｆ）０ｐｒｄｏｔｎａｄｐｖｓｈｔｅｒｉｔｆｅｃｆｈｏｅ．（）＝）ｅｏｉｓｌｉｎｒｅｔａｔｏｅ１ｓｈｉｅｎｅｅｒｍ３ｉｃｕｏｏｈｍｅｎｒｏｔ

一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计

高校应用数学学报2010,25(2):134-140一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计郭志明(广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006)摘要:应用变分方法与无穷维空间Morse理论研究方程˙x=g(x(t−r)),得到上述微分差分方程以4r为周期的非常数周期解存在性的条件,并且给出其个数的下界.因此为研究含有时滞的微分系统周期解的存在性提供了一种新方法.关键词:时滞微分方程;周期解;Morse理论;非共振中图分类号:O176.3;O175.7文献标识码:A文章编号:1000-4424(2010)02-0134-07§1引言考虑一阶时滞微分方程˙x=g(x(t−r)),(1)其中r>0是常数,x∈R,g∈C1(R,R).本文的基本假设是(g)g是奇函数,并且当x→∞时,g′(x)的极限存在,记为g′(∞),其中g′(∞)是有限数.对方程(1)周期解的研究可以追溯到Jones,Nussbaum及Kaplan和Yorke的工作.早在1962年, Jones就应用不动点理论对一个具体的方程周期解存在性给出了一些结果[1].在[2]中,Nuss-baum利用喷射不动点方法研究了方程(1)的周期解,而Kaplan和Yorke在[3]中利用与之耦合的常微分方程方程组,得出了方程(1)的2π周期解的存在性.后来温立志,陈永劭,葛渭高等分别对该方程进行了研究[4-6].1998年,李继彬与何学中首次应用临界点理论研究方程(1)的周期解的存在性,相关文献可参阅[7-8]等.在[7-8]中,作者将方程(1)满足一定对称条件的周期解问题转化为一个相应的Hamilton系统的周期解问题,进而应用临界点理论研究相应Hamilton系统周期解的存在性.但是我们注意到,在一个特定的函数空间上,方程(1)是具有变分结构的微分系统.2005年,郭志明与庾建设[9]对方程(1)的周期解问题在一个特定的函数空间上直接建立变分框架,并应用收稿日期:2008-09-14基金项目:国家自然科学基金(10871053);广州市教育局科技计划项目(62006)郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计135伪指标理论得到了向量形式的方程(1)的周期解的多重性.2006年,Fei[10-11]应用指标理论对方程(1)作了更细致的讨论,得到了重要的研究成果.Morse理论是临界点理论的重要组成部分,它在研究具有变分结构的微分系统周期解存在性及其个数估计方面有着非常广泛的应用.而且一般说来,应用Morse理论得到的周期解含有更丰富的信息,如临界点的Morse指标或临界值的估计等.2000年,Abbondandolo在文[12]中介绍了一种新的无穷维空间Morse理论.一般说来,Hilbert空间上的强不定泛函,其临界点的Morse指标为无穷大.对于这类泛函无法直接应用经典的Morse理论,往往需要将所考虑的泛函约化到某个有限维空间上去讨论.Abbondandolo对Hilbert空间的子空间定义了一种相对维数,同时对泛函的临界点定义新的Morse指标,即E+-Morse指标.这样就可以直接在无穷维空间上应用其建立的Morse理论研究临界点的存在性及其个数.需要指出的是,这种相对Morse指标早在1995年与1997年,Fei与Qiu已经作了类似的研究[13-14].本文的目的就是利用变分方法与Abbondandolo介绍的E+-Morse理论来研究方程(1)的非常数4r周期解的存在性及其个数估计.为简单起见,取r=π2.对一般情形可以通过一个时间变换τ=π2r t,将方程变为r=π2的情形.先对方程(1)建立适当的变分框架,将(1)的2π周期解转化为相应泛函的临界点,然后应用Abbondandolo的E+-Morse理论,研究方程(1)的非常数2π周期解的存在性及其个数.定义1.1方程(1)的2π周期解x(t)称为非共振的,如果线性化方程˙v(t+π2)=g′(x(t))v的所有2π周期解组成的空间是由˙x(t)张成的.定义1.2方程(1)称为在无穷远处是非共振的,如果线性方程˙v(t+π2)=g′(∞)v不存在非零的2π周期解.定义1.3记τ(0)=14(g′(0)+1),称τ(0)为方程(1)关于0的旋转数.同理τ(∞)=14(g′(∞)+1)称为方程(1)在无穷远处的旋转数.记n(2π)为方程(1)的2π非常数周期解的个数.定理1.1假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解是非共振的,并且方程(1)在无穷远处也是非共振的.则方程(1)的2π非常数周期解的个数n(2π)满足：n(2π)≥|[τ(∞)]−[τ(0)]|.(2)其中[τ(∞)],[τ(0)]分别表示τ(∞),τ(0)的最大整数部分.注1由假设(g),g(0)=0.从而x=0是方程(1)的2π周期解.如果方程(1)的所有2π周期解是非共振的,则简单计算可知,对于任意的正整数k,g′(0)=(−1)k(2k−1).类似地,如果方程(1)在无穷远处是非共振的,则对于任意的正整数k,g′(∞)=(−1)k(2k−1).从而可以得到如下推论.推论1.1在定理1.1的假设下,当g′(0)<g′(∞)时,方程(1)至少存在#({k∈Z|g′(0)<4k−1<g′(∞)})个非常数的2π周期解.当g′(∞)<g′(0)时,方程(1)至少存在#({k∈Z|g′(∞)<4k−1<g′(0)})个非常数的2π周期解,其中#(A)表示集合A所含元素的个数,Z表示整数集.注2在定理1.1中,方程(1)的所有2π周期解是非共振的这一假设条件是技术性的,该条件意味着方程(1)的2π周期解对应作用泛函的非退化临界点.应用退化临界点的Morse理论可以避136高校应用数学学报第25卷第2期免这一假设条件[15].§2变分框架与引理L2(R/2πZ,R)表示R上以2π为周期的平方可积函数组成的空间,简记为L22π.H12(R/2πZ,R)表示L2(R/2πZ,R)中12阶导数平方可积的函数组成的空间,简记为H122π.设u(t)∈H12(R/2πZ,R),有Fourier展开式u(t)=1√2πa0+1√π+∞∑k=1(a k cos kt+b k sin kt),其中a0,a k,b k∈R,k=1,2,···,+∞.由H122π的定义,有a20++∞∑k=1(1+k)(a2k+b2k)<+∞.∀u(1),u(2)∈H122π,定义内积为⟨u,u′⟩=a(1)0a(2)0++∞∑k=1(1+k)(a(1)ka(2)k+b(1)kb(2)k).在此内积下,H122π是Hilbert空间.∀u∈H122π,其范数为∥u∥=[a20++∞∑k=1(1+k)(a2k+b2k)]1/2.设E={u∈H122π|u(t+π2)=−u(t−π2),∀t∈R},(3)则E为H122π中闭线性子空间,因而是Hilbert空间.定义E上的泛函B(u)=12∫2π˙u(t+π2)u(t)d t,∀u∈E.B(u)在E上是Frechet可微的,设B′(u)为B在u的Frechet导数,则∀ξ∈E,B′(u)ξ=∫2π˙u(t+π2)ξ(t)d t.定义E上的线性算子L为(Lu,ξ)E=B′(u)ξ=∫2π0˙u(t+π2)ξ(t)d t,∀u,ξ∈E,则L是E上的自共轭线性算子.事实上,∀u,ξ∈E,(Lu,ξ)E=B′(u)ξ=∫2π0˙u(t+π2)ξ(t)d t=−∫2πu(t+π2)˙ξ(t)d t=−∫5π2π2u(t)˙ξ(t−π2)d t=−∫2π0u(t)˙ξ(t−π2)d t=∫2πu(t)˙ξ(t+π2)d t=(u,Lξ)E.考虑定义在E上的泛函Φ(u)=∫2π0[12˙u(t+π2)u(t)−∫u(t)g(s)d s]d t.(4)由关于g的假设条件可知,泛函Φ的临界点对应于方程(1)的2π周期解.这样,我们就把寻求方程(1)的2π周期解转化为讨论(4)的临界点的存在性.下面概括Abbondandolo关于空间相对维数的一些概念及E+-Morse指标的有关结论而不加证明,详细讨论参见[12,16].设E为实的Hilbert空间,E正交分解为E=E+⊕E−,E+与E−均可以是E的无穷维子空间.定义2.1E的两个闭子空间V,V′称为是可公度的(commensurable),如果商投影V′→E/V及V→E/V′都是紧的.郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计137可公度性是E 的闭子空间上的等价关系.定义义2.2设V 是E 中与E −可公度的闭子空间.V 的E +维数定义为E +-dim V =dim V ∩E +−codim(V +E +)=dim V ∩E +−dim V ⊥∩E −.由可公度性的定义,上述和式中两个被加项都是有限数.例如,如果Y 是有限维的子空间且Y ∩E −={0},则E +-dim(E −⊕Y )=dim Y ≥0；如果Y 是E −中有限余维的子空间,则E +-dim Y =−codim E −Y ≤0.设F 是定义在E 上二次连续可微的泛函,d 2F (u )表示F 在u 的二阶Frechet 导数,则d 2F (u )可以看作E 上有界线性的自共轭算子.假设u 是F 的临界点,即F ′(u )=0,如果d 2F (u )是可逆的,则称u 为F 的非退化临界点.定义2.3设u 为F 的非退化临界点,并且d 2F (u )的最大负特征子空间V −与E −是可公度的,则u 的E +-Morse 指标(记作E +-m (u ))定义为E +-m (u )=E +-m (u ;F )=E +-dim V −.∀u ∈E ,令u (t )=1√2πa 0+1√π+∞∑k =1(a k cos kt +b k sin kt ).由于u (t +π2)=−u (t −π2),直接计算可得a 0=0,a 2k =b 2k =0,k ∈N .因此u 可以表示为u (t )=+∞∑k =1(a k cos(2k −1)t +b k sin(2k −1)t ),∀t ∈R .令E k =span {cos(2k −1)t,sin(2k −1)t },则E =+∞⊕k =1E k .记E +=+∞⊕k =1E 2k ,E −=+∞⊕k =1E 2k −1,则E =E +⊕E −.考虑定义在E 上的泛函Φ(见(4)).由于g ∈C 1(R ,R ),Φ在E 上是二阶Frechet 可微的,且对于任意的u ∈E ,Φ′(u )ξ=∫2π0[˙u (t +π2)ξ(t )−g (u (t ))ξ(t )]d t,∀ξ∈E ;⟨d 2Φ(u )v,ξ⟩|E =∫2π0[˙v (t +π2)−g ′(u (t ))v (t )]ξ(t )d t,∀v,ξ∈E.定义2.4方程(1)的2π周期解x ∈E 称为在E 中是非共振的,如果线性化方程˙v (t +π)=g ′(x (t ))v 包含在E 中的所有2π周期解组成的空间是由˙x (t )张成的.定义2.5方程(1)称为在无穷远处是E 中非共振的,如果线性方程˙v (t +π2)=g ′(∞)v 在E 中不存在非零的2π周期解.由定理1.1的假设条件,0是泛函Φ在E 上的临界点,并且是非退化的.事实上,若∀ξ∈E ,⟨d 2Φ(0)v,ξ⟩|E =0.我们有˙v (t +π2)−g ′(0)v (t )=0,从而v =0.考虑E 上的有界自共轭算子d 2Φ(∞),d 2Φ(∞)定义为d 2⟨Φ(∞)v,ξ⟩|E =∫2π[˙v (t +r )−g ′(∞)v (t )]ξ(t )d t,∀v,ξ∈E.138高校应用数学学报第25卷第2期若d2Φ(∞)最大负特征子空间为V−∞,则d2Φ(∞)在无穷远处的E+-Morse指标定义为V−∞的E+维数,即E+-m(∞)=E+-dim V−∞.应用[16]中Theorem5.2.1的证明方法,可得如下引理.引理2.1假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,并且在无穷远处也是E中非共振的.则下面的Morse关系式成立λE+−m(0)+(1+λ)W(λ)=λE+−m(∞)+(1+λ)Q(λ).(5)其中W(λ),Q(λ)是具有非负系数的形式Laurent级数,并且设W(λ)=+∞∑l=−∞w lλl.若w l>0,则方程(1)存在w l个非常数的2π周期解.§3主要结论的证明定理1.1的证明将引理2.1中的Morse关系式改写为λE+−m(0)−λE+−m(∞)=(1+λ)B(λ).(6)设W(λ)=∑j w jλj,Q(λ)=∑jq jλj,B(λ)=∑jb jλj=∑j(q j−w j)λj.由于q j≥0,w j≥0,若b j<0,则w j=q j−b j≥−b j>0.记m(2π)为方程(1)在E中非常数2π周期解的个数.则n(2π)≥m(2π)=∑j w j≥−∑b j<0b j.记B−=−∑b j<0b j.下面我们计算B−.首先计算E+-m(0).令⟨d2Φ(0)v,ξ⟩|E=∫2π[˙v(t+π2)−g′(0)v(t)]ξ(t)d t,∀v,ξ∈E.d2Φ(0)的最大负特征子空间记为V−0.考虑特征值问题:˙v(t+π2)−g′(0)v=λv,v∈E.(7)容易求得,λ(0)k=(−1)k(2k−1)−g′(0),∀k=1,2,···.由于方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,故∀k=1,2,···,λ(0)k=0.当g′(0)≥0时,λ(0)2k−1<0,k=1,2,···,并且当k≤[τ(0)]<14(g′(0)+1)时,λ(0)2k<0.k>[τ(0)]时,λ(0)2k>0.易知V−0=E−⊕E2⊕E4⊕···⊕E2[τ(0)].因此E+-m(0)=2[τ(0)].当g′(0)<0时,λ(0)2k >0,k=1,2,···,并且当k>−[τ(0)]时,λ(0)2k−1<0.k≤−[τ(0)]时,λ(0)2k−1>0.因此V−0=+∞⊕k=−[τ(0)]+1E2k−1.V−0在E−中的正交补空间为(V−0)⊥|E−=E1⊕E3⊕···⊕E−2[τ(0)]−1.郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计139从而E+-m(0)=2[τ(0)].同样,当g′(∞)>0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)]；当g′(∞)<0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)],其中,τ(∞)=14(g′(∞)+1).现考虑Morse关系式(6).不妨设g′(∞)>g′(0),g′(∞)≤g′(0)的情形可类似讨论.将Morse关系式改写为λ2[τ(0)]−λ2[τ(∞)]1+λ=B(λ).(8)则B(λ)=λ2[τ(0)]2([τ(∞)]−[τ(0)])−1∑i=0(−1)iλi.显然,B(λ)中,λ的奇次幂前的系数为−1,而偶次幂前的系数为+1.因此B(λ)中负系数的和B−为B−=[τ(∞)]−[τ(0)].(9)定理1.1证毕.推论1.1的证明当g′(0)<g′(∞)时,τ(0)<τ(∞),从而[τ(0)]≤[τ(∞)].根据定理1.1,方程(1)至少存在[τ(∞)]−[τ(0)]个2π周期解.不妨设[τ(0)]=j<j+1<···<j+l=[τ(∞)].记A={k∈N|g′(0)<4k−1<g′(∞)}.我们将证明#(A)=l.事实上∀p=1,2,···,l, [τ(0)]<j+p≤[τ(∞)].由于τ(0)与τ(∞)不能取整数,所以τ(0)<j+p<τ(∞).由τ(0)与τ(∞)的定义,g′(0)<4(j+p)−1<g′(∞).这说明,j+p∈A.因此,#(A)≥l.另一方面,∀k∈A,g′(0)<4k−1<g′(∞),即τ(0)<k<τ(∞).从而,[τ(0)]<k≤[τ(∞)].即存在p=1,2,···,l,使得k=l+p.因此,#(A)≤l.当g′(0)>g′(∞)时,可以类似地证明.推论1.1证毕.注3在[3]中,Kaplan与Yorke研究了方程˙x=−f(x(t−1))(10)以4为周期解的存在性.他们假设f是奇函数,并且limx→0f(x)x=α,limx→∞f(x)x=β.则当α<π2<β或β<π2<α时,方程(10)至少存在一个4周期解.作时间变量变换t=2πs,并令y(s)=x(2πs),则方程(10)变为y′(s)=−2πf(y(s−π2)).(11)令g=−2πf.应用推论1.1的结论,我们有推论3.1方程(10)存在m个以4为周期的周期解,其中m=#({k∈Z|α<π2(1−4k)<β}),或m=#({k∈Z|β<π2(1−4k)<α}).显然,推论3.1推广了[3]的结论.参考文献:[1]Jones G J.The existence of periodic solutions of f′(x)=−af(x−1)[1+f(x)][J].J MathAnal Appl,1962,5:435-450.140高校应用数学学报第25卷第2期[2]Nussbaum R D.Periodic solutions of some nonlinear autonomous functional diﬀerentialequations(II)[J].J Diﬀerential Equations,1973,14:368-394.[3]Kaplan J L,Yorke J A.Ordinary diﬀerential equations which yield periodic solution of delayequations[J].J Math Anal Appl,1974,48:314-324.[4]Wen Lizhi,Xia Huaxing.Existence of periodic solutions for diﬀerential diﬀerence equationswith two time lags[J].Scientia Sinica Ser A,1988,31:777-786.[5]Chen Yongshao.The existence of periodic solutions of the equation˙x(t)=−f(x(t),x(t−1))[J].J Math Anal Appl,1992,163:227-237.[6]葛渭高.微分差分方程x′(t)=f(x(t−1))简单周期解的个数[J].数学年刊A辑,1993,14:472-479.[7]Li Jibin,He Xuezhong.Multiple periodic solutions of diﬀerential delay equations created byasymptotically Hamiltonian systems[J].Nonlinear Analysis TMA,1998,31:45-54.[8]Li Jibin,He Xuezhong.Proof and generalization of Kaplan-Yorke’s conjecture on periodicsolution of diﬀerential delay equations[J].Science in China Ser A,1999,42:957-964.[9]Guo Zhiming,Yu Jianshe.Multiplicity results for periodic solutions to delay diﬀerentialequations via critical point theory[J].J Diﬀerential Equations,2005,218:15-35.[10]Fei Guihua.Multiple periodic solutions of diﬀerential delay equations via Hamiltonian sys-tems(I)[J].Nonlinear Analysis TMA,2006,65:25-39.[11]Fei Guihua.Multiple periodic solutions of diﬀerential delay equations via Hamiltonian sys-tems(II)[J].Nonlinear Analysis TMA,2006,65:40-58.[12]Abbondandolo A.Morse theory for asymptotically linear Hamiltonian systems[J].NonlinearAnalysis TMA,2000,39:997-1049.[13]Fei Guihua.Relative Morse index and its applications to Hamiltonian systems in the presenceof symmetries[J].J Diﬀerential Equations,1995,122:302-315.[14]Fei Guihua,Qiu Qingjiu.Periodic solutions asymptotically linear Hamiltonian systems[J].Chin Ann Math Ser B,1997,18:359-372.[15]Benci V.Estimate of the number of periodic solutions via the twist number[J].J DiﬀerentialEquations,1997,133:117-135.[16]Abbondandolo A.Morse theory for Hamiltonian systems[A].Research Notes in MathematicsSeries,425[C].London:Chapman&Hall/CRC,2001.Existence and estimate of the number of nontrivial periodic solutionsfor delay diﬀerential equationsGUO Zhi-ming(College of Math.and Info.Sci.,Guangzhou Univ.,Guangzhou510006,China)Abstract:In this paper,by using variational methods and inﬁnite dimensional Morse theory, a suﬃcient condition is obtained for the existence of multiple nontrivial4r-periodic solutions to the following delay diﬀerential equations˙x=g(x(t−r)).A lower bound of the number of periodic solutions is also given.As a consequence of this paper,a new method is introduced for investigating the periodic solutions of delay diﬀerential equations.Keywords:delay diﬀerential equations;periodic solutions;Morse theory;nonresonanceMR Subject Classiﬁcation:34K10。

微分方程中的解的存在性理论

微分方程中的解的存在性理论微分方程是研究变量之间的关系的重要数学工具。

解微分方程的存在性理论是微分方程理论中的核心内容之一。

本文将介绍微分方程中的解的存在性理论，并探讨其在实际应用中的意义。

微分方程解的存在性理论是指在何种条件下，微分方程一定存在解。

这个理论的研究主要涉及到微分方程的类型、边界条件和解的唯一性等方面。

解的存在性理论的研究对于解决各类实际问题具有重要意义。

一、常微分方程的解的存在性理论常微分方程是最常见的微分方程类型，其解的存在性理论相对较为简单。

常微分方程的解存在的条件主要有两个方面：存在定理和唯一性定理。

1. 存在定理存在定理又称为皮卡-林德洛夫定理，它告诉我们，如果常微分方程满足某些条件，那么在给定的初始条件下，方程一定存在解。

这个定理给出了解的存在的一个直接判定方法。

2. 唯一性定理唯一性定理是对解的唯一性进行了研究。

在某些情况下，方程的解不仅存在，而且是唯一的。

这个定理的证明方法多种多样，可以是解析的，也可以是几何的。

唯一性定理给出了解的精确性，使得我们可以准确地计算和预测物理现象。

二、偏微分方程的解的存在性理论偏微分方程相较于常微分方程更为复杂，解的存在性理论也更加丰富。

偏微分方程的解的存在性理论主要有以下几个方面：1. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，解的存在性理论是电磁学和电子学研究的重要基础。

麦克斯韦方程组的解存在性主要通过矢量分析和偏微分方程理论进行证明，为电磁场的计算和应用提供了理论支持。

2. 热传导方程热传导方程是描述物体温度分布变化的方程，解的存在性理论对于热传导问题的研究至关重要。

热传导方程关于边界条件和初值条件的不同，解的存在性也存在差异，需要通过特定的数学方法进行证明。

3. 波动方程波动方程是描述波动现象的方程，它的解存在性理论与波动现象的特点密切相关。

波动方程的解的存在性主要通过分析波动现象的特性以及边界条件的规定来进行证明，对于解决声学、光学等领域的问题具有重要意义。

一类积分微分方程周期解的存在性

其中Ａ（＝（）是上的ｎｎ（））ｘ连续函数矩阵，
）Ｒ上的ｎ连续函数向量，Ａ（￡于￡是维且ｔ））关是
连续周期函数。利用引理１４易得如下引理： — 引理５５设ｃｔ５是ｎｔ【］（，）Ｘｔ连续函数矩阵且满足条件＜＞Ａ满足条件（，（者（，）则方４，））（或日（，固
＝
Ｉｔ）ｈ，ｌｂｔｘｙＩ，－（ｙ－ｏ）－ｌｈｘｔ）－（ｌｌ（
＜＞在＞使得７存常数争，对于任意的ｔＲ有Ｅ，
６ｔ（。）
对于方程（）作如下假设：１现
收稿日期：００１－１２１－１１基金项目：徽省教育厅自然科学研究项目（Ｊ００４５安Ｋ２１Ｂ４）
Ｕ～０ｃ
．
．５．
其中（，，（分别由＜＞，５＜＞ｒ（１ｆ）））ｌ＜＞，６决定。
考虑周期系统：ｔＡ（ｘ）（）２
￡是Ｔ连续的周期ｌ，）ｔ维数则
ｇ）ｆｃ，ｆｓｓ也是连续的卜周期函数。（＝（ｓ，）ｆｔ）（ｄ
近年来，对于无穷时滞泛函微分方程的周期解
（＋（（＋∑ Ｊ（（（（ｉ１，，ｒｆｆ）））ｆｆｆｆ＝，…ｌ））））２ｑ，
的研究也吸引了很多学者的极大的关注，黄启昌，１［１

高阶微分方程边值问题3个正解的存在性

高阶微分方程边值问题3个正解的存在性高阶微分方程边值问题3个正解的存在性是非常重要的，也是微分方程研究中一个重要的内容。

以下是3个正解的存在性：
一、准正解存在性：准正解是指对一些高阶微分方程，当该微分方程满足特定条件时，存在唯一解。

二、启发正解存在性：这是一种可以作为准正解存在性的补充方法，即当微分方程不满足准正解的条件时，可以通过启发式方法求解。

三、近似正解存在性：这是一种用来求解高阶微分方程的近似方法，通过简化一定迭代次数之后，得到该微分方程的一个近似解，可以较快地求解微分方程，但精度不如准正解和启发正解。

总之，高阶微分方程边值问题3个正解的存在性有着重要的意义，其中包括准正解存在性、启发正解存在性和近似正解存在性。

三者都可以用来求解高阶微分方程边值问题，而且正确的选择不同的方法，就可能在求解时间方面以及精度方面取得一个很好的结果。

一类多维的含参时滞差分系统正周期解的存在性

ＬＡＯＨＵ－ｉｇＸＵＸａｇｙｎ，ＵＱ —ｈｕＩＡＹｎ，ｉ — ａｇＨｉｚｏｎ
（ｉｎｘｎｔｕｅｏｕａｉｎＮａｃａｇ３０２ＣｉａＪａｇｉｓｔｔｆＩｉＥｄｃｔ，ｎｈｎ３０９，ｈｎ）ｏ
得到下列差分系统：
１引言与条件
在生物的进化过程中，周期性变化着的环境呈起着决定性的作用。人们通过建立带时滞的非自治微分统。研究这些系统周期解的存在性及各种性并
ｘｋ１（）（，（）ｘｋ＋厂，（－（））１）（＋）后＝ｋｘｋ）（）入（ｘｋ＇ｋ）（．ｒ３利用全连续算子的特征值问题研究差分系统（．）１正周期解的存在性。３
ｓｆｃｅｔｃｄｔｏｓｆｒｔｘｓｅｃｆｐｒｏｃｓｌｉｓｗｈｎｔｅｐａａｔｈａｇｓｕｆｉｎｏｎｉｉｎｏｈｅｅｉｔｎｅｏｅｉｄｉｏｕｔｉｏｎｅｈｒｍｅｅｒｃｎｅ．Ｋｅｏｒｓ：ｄｉｃｅｅｓｓｅ；ｏｉｖｅｉｄｉｏｕｔｓ；ｉｅａｕｅｙＷｄｓｒｔｙｔｍｐｓｔｅｐｒｏｃｓｌｉｉｏｎｅｇｎｖｌ．
２１年ｌ００２月第３１卷第６期
江西教育学院学报（合）综
ＪｕｎｌｆｉｎｘｎｔｕｅｏｄｃｔｎＣｍｐｅｅｓｖ）ｏｒａａｇｉＩｓｉｔｆＥｕａｉ（ｏｒｈｎｉｅｏＪｔｏ

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．
Ｋｙｗｏｄｅｒｓ：ｈｇｅ— ｉｎｉｎ；ｐｓｔｅｐｒｄｃｓｌｔｎ；ＬｒｙＳｈｕｅｈｒａｉｅｐｉｃｐｅｅａｉｈｒｄｍｅｓｏｏｉｖｅｉｉｏｕｉｉｏｏｅａ —ｃａｄｒａｅｎｔｒｎｉｌ；ｄｌｙｖ
记］实数集，为非负实数集．考虑如下ｎ维时滞微分方程Ｒ为Ｒ＋
Ｘ（）＝Ａ（）（）＋（，（一７ｔ）ｔｔＸ￡，￡Ｘ解的存在性，其中
Ａ（）：ｄａ（ｌｔ，２ｔ，，，ｔ）ｔｉｇａ（）ａ（） … ａ（）
是对角矩阵函数，对任意的ｉ，，，，ａ∈Ｃ：，；对任意的ｔ：１２ … ｎ（Ｒ）且 ∈Ｒ，有都
ａ（＋Ｔ＝ａ（）ｔ）ｔ；
∈ＣＲ，）对任意的ｔ（， ∈曼，有都
ｒｔ）＝ｒｔ；（＋Ｔ（）
ｆｔＸ）（， ∈Ｃ（Ｒ×Ｒ，Ｒ）对任意的ｔ， ∈Ｒ，Ｘ∈Ｒ，有ｆｔ都（，，ｔ，））＝（＋ＴＸ．文献［］１应用锥不动点定理研究了标量方程
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＵｓｎｈｒｙＳｃａｄｒｎｎｉａｌｅｎｔｅｔｅａｔｏｒｖｄｔｅｅｉｔｎｅｏｏｉｖｅｉｄｉｉｇｔｅＬｅａ — ｈｕｅｏｌｎｅｒａｔｒａｉｖｈｕｈｒｐｏｅｈｘｓｅｃｆｐｓｔｅｐｒｏｃｉ
ｇ∈ＣＲ＋Ｒ＋，对任意的 ∈］＋均有０＜ｚ（ ≤Ｌ＜∞ ；（，）且Ｒ，ｕ ≤ｇ）／∈ＣＲ＋Ｒ＋；任意的＞０均有（，）对，
）＞０ ∈Ｃ（Ｒ＋，以，周期．目前，关于时滞微分方程正周期解的问题已有许多研究成；Ｒ，），为
ＷＥＮＧ — ｈＡｉｚｉ
（ｅａｔｅｔｆＥｏｏｉｎｎｇｍｅｔＳａｇａＵｉｒｔｏＰｌｉｌｃｎｅａｄＬｗ，ｈｎｈｉ０７１Ｃｉ）ＤｐｒｎｃｎｍｃａｄＭａａｅｎ，ｈｎｈｉｎｅｉｏｉｃｉｃｎａＳａｇａ１０，ｈｎｍｏｓｖｓｙｆｔａＳｅ２ａ
第４９卷
第５期
吉林大学学报（理学版）
ＪｕｎｌｆｉｎＵｉｒｔＳｉｃｄｔｎｏｒａｏＪｉｎｖｓｙ（ｃｅｅＥｉｏ）ｌｅｉｎｉ
Ｖｏ．Ｎｏ５１４９．Ｓｐ２１ｅ０１
２１０１年９月
研究简报
基金项目：国家自然科学基金（批准号：０７０７和上海高校选拔培养优秀青年教师科研专项基金（６８４２）批准号：ｚ８０）ｓｆ０４．０
果 … ，法各不相同，大部分研究均假设ａｔ是定号函数．方但（）本文用不同于已有文献的方法研究类似的方程，得到了其正周期解的存在性，所得结果与已有
收稿日期：００１－８２１．０１．作者简介：爱治（９５）翁】７一，女，汉族，士，副教授，从事常微分方程定性与稳定性理论、常微分方程与时滞微分方程周期解的博研究，－ａｌｗｎａｈ＠ｇａｌＣＢ．Ｅｍｉ：ｅｇｉｉｍｉＯｚ．
（）＝ａｔｇ（）（）一Ａ（）＜ｔ一丁ｔ）ｔ（）（ｔ）ｔ６／（（））（）２
正周期解的存在性，中：是标量；， ∈Ｃ（Ｒ＋，均以为周期，满足其ａｂＲ，）且
ｌ（ｄ＞，Ｉ（ｄ＞；ｒｔ０ｒｆｔ０）ｎ）６
一
类高维时滞微分方程正周期解的存在性
翁爱治
（海政法学院经济管理系，上上海２１０）０７１
摘要：应用ＬｒｙＳｈｕｅ二择一定理，研究一类高维时滞微分方程正周期解的存在性ｅａ—ｃａｄｒ
关键词：维；正周期解；ＬｒｙＳｈｕｅ高ｅａ—ｃａｄｒ二择一定理；时滞
，
ｓｌｔｏｆａｋｎｆｈｇｅ — ｉｎｉｎｌｆｎｃｉｎｌｄｆｅｅｔａｑａｉｎｔｉｎ— ｈｎｉｇｌｎａｉｉｓｏｕｉｎｓｏｉｄｏｉｈｒｄｍｅｓｏａｕｔｏａｉｒｎｉｌｅｕｔｓｗｉｈｓｇｃａｇｎｉｅｒｔｆｏｅ
中图分类号：０７１５文献标志码：Ａ文章编号：６１５８（０１０－８５０１７．９２１）５０７－４４
ＥｘｓｅｃｆＰｏｉｉｅＰｅｉｄｃＳｌｔｏｓｏｎｆｉｔｎｅｏｓｔｖｒｏｉｏｕｉｎｆａＫｉｄｏＨｉｈｒＤｉｅｓｏａｆｅｅｔａｕｔｏｓｗｉｈＤｅａｇｅ－ｍｎｉｎｌＤｉｒｎｉｌＥｑａｉｎｔｌｙ