中考数学教学指导： 三种函数的综合问题例析

三种函数的综合问题例析
初中数学中涉及的函数主要有三种，即：一次函数，反比例函数以及二次函数，它们都是初中数学的重要内容，也是中考命题的主要热点，由这三种函数构成的一些综合问题，在近年的中考中频频出现．下面以历年中考试题为例，进行分类解析．
一、一次函数与反比例函数的综合
例1 如图1，直线y ＝x ＋2与双曲线y ＝
k x 相交于点A ，点A 的纵坐标为3，k 的值为
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
分析 利用函数图像先求出点A 的坐标，再代入反比例
函数关系式，即可求出k 的值．
解 选C ．
二、一次函数与二次函数的综合题
例2 某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足一次函数，其图象如图2所示．
(1)每天的销售数量m(件)与每件的销售价格x (元)的函数表达式是_______．
(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y (元)与每件的销售
价格x (元)之间的函数表达式；
(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销
售价格的提高而增加？
分析 根据图像信息，可以知道每天的销售数量m(件)与每件的
销售价格x (元)的函数图像是一条线段；由商品的销售利润y (元)与
每件的销售价格x (元)之间的关系可求得y 与x 的二次函数关系式；再根据二次函数的增减性来确定每件商品的销售价格范围．
解 (1)m ＝－x ＋100(0≤x ≤100)；
(2)每件商品的利润为x －50，所以每天的利润为：
y ＝(x －50)(－x ＋100)．
∴函数解析式为：
y ＝－x 2＋150x －5000；
(3)∵x ＝－()
15021⨯-＝75． 故在50<x <75元时，每天销售利润随着x 的增大而增大．
三、反比例函数与二次函数的综合题
例3已知y ＝k x
的图象和y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点(2，2)． (1)求a 和k 的值；
(2)y ＝k x
的图象是否经过y ＝ax 2＋x －1图象顶点，为什么？ 分析 本题涉及到用待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的性质．第(1)问可将交点坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求得a 和k 的值；第(2)问根据第(1)问可确定两个函数的解析式，求得二次函数的顶点坐标后，将其代入反比例函数的解析式中进行验证，即可．
解 (1)∵二次函数y ＝ax 2＋x －1与反比例函数y ＝
k x 交于点(2，2)， ∴2＝4a ＋2－1，解之得a ＝
14； 又由2＝2
k ，得k ＝4． (2)由(1)知，二次函数和反比例函数的关系式分别是：
2114y x x =+-，和4y x
=． 配方得y ＝14
(x ＋2)2－2． ∴二次函数图象的顶点坐标是(－2，－2)．
∵x ＝－2时，y ＝42
-＝－2， ∴反比例函数图象经过二次函数图象的顶点．
四、两个一次函数的综合题
例4 A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图3是它们离A 城的距离y (千米)与行驶时间x (小时)之间的函数图象．
(1)求甲车行驶过程中，y 与x 之间的函数解析式，并写出自
变量x 的取值范围；
(2)当它们行驶7小时时，两车相遇，求乙车速度．
分析 本题涉及到图象中两个一次函数函数交点的实际意义，
及分段函数求解析式．第(1)问由题意可得，折线OCD 是甲车行驶
状况，线段OE 是乙车的行驶状况，易求解析式．
第(2)问两车相遇点就是F 点，把x ＝7代入线段CD 的函数关系式(y ＝－75x ＋1050)，就可求出相遇时的路程，从而求出乙车的速度．
五、两个反比例函数的综合题
例5两个反比例函数y ＝
3x ，y ＝6x 在第一象限内的图象如图4所示．点P 1，P 2，P 3，…，P 2010在反比例函数y ＝6x
图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2010，纵坐标分别是1，3，5，…，共2010个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2010分别作y 轴的平行线，与y ＝3x
的图象交点依次是Q 1(x 1，y 1) ，Q 2(x 2，y 2)，Q 3(x 3，y 3) ， …， Q 2010 (x 2010 ，y 2010) ，则y 2010 ＝_______．
分析 本题涉及反比例函数图象的坐标计算，由题意．数1、3、5、…2×2010－1是反
比例函数y ＝6x
图象上的纵坐标，则其横坐标分别为：
由题意知，上述数x 1，x 2，x 3，…，x 2010也是反比例
函数y ＝3x
图象上的横坐标，则反比例函数y ＝3x 图象上的纵坐标分别为
六、两个二次函数的综合题
例6 如图5，把抛物线y ＝－x 2(虚线部分)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l 1，抛物线l 2与抛物线l 1关于y 轴对称．点A 、O 、B 分别是抛物线l 1、l 2与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线l 1、l 2的顶点，线段CD 交y 轴于点E ．
(1)分别写出抛物线l 1与l 2的解析式；
(2)设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由；
(3)在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM＝S四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标，
如果不存在，请说明理由．
分析此题涉及二次函数图象的平移、轴对称的性质、等
腰梯形及矩形的判定、图形面积的求法等知识的综合应用能力．
(1)根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可
得到l1的解析式；由于l1、l2关于y轴对称，那它们的顶点坐标
关于y轴对称，而开口大小、开口方向、与y轴的交点都相同，据此可求出l2的解析式；
(2)根据轴对称的性质，很明显的可以看出四边形PQCD是等腰梯形；若P为l1的对称轴与抛物线l2的交点时，PQ＝CD，此时四边形PQCD是矩形；
(3)根据抛物线l1的解析式，可求出A、D、E的坐标，进而可求得梯形AOED的面积，即可得到△ABM的面积，由于AB是定长，那么根据△ABM的面积即可求出M点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线l1的解析式中，即可求得M点的坐标．
解(1)l1：y＝－(x－1)2＋1(或y＝－x2＋2x)：
l2：y＝－(x＋1)2＋1(或y＝－x2－2x)；
(2)∵点C与点D，点P与点Q关于y轴对称，∴CD ∥PQ ∥x轴，
①当P点是l2的对称轴与l1的交点时，点P、Q的坐标分别为(－1，－3)和(1，－3)，而点C、D的坐标分别为(－1，1)和(1，1)，所以CD＝PQ，CP⊥CD，四边形CPQD是矩形；
②当P点不是l2的对称轴与l1的交点时，根据轴对称性质，有：
CP＝DQ(或CQ＝DP)，但CD≠PQ．
∴四边形CPQD(或四边形CQPD)是等腰梯形：
(3)设满足条件的M点坐标为(x，y)，连接MA，MB，AD，依题意得：
A(2，0)，B(－2，0)，E(0，1)，
S四边形AOED＝()
1213
22
+⨯
=．
①当y>0时，
S△ABM＝1
2
×4×y＝
3
2
，
∴y＝3
4
．
将y＝3
4
代入l1的解析式，解得x1＝
3
2
，x2＝
1
2
．
∴M1（3
2
，
3
4
），M2（
1
2
，
3
4
），
②当y<0时，
S△ABM＝1
2
×4×(－y)＝
3
2
，
∴y ＝－
34
．
将y ＝－3代入l 1的解析式，解得x ＝1
∴M 134），M 2，－34）． 七、一次函数、反比例函数与二次函数的综合题
例7如图6，已知：一次函数y ＝－x ＋4的图像与反比例函数y ＝2x
(x >0)的图像分别交于A 、B 两点，点M 是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过点M 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M 1、M 2，设矩形MM 1OM 2的面积为S 1；点N 为反比例函数图像上任意一点，过点N 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为N 1、N 2，设矩形NN 1ON 2的面积为S 2．
(1)若设点M 的坐标为(x ，y )，请写出S 1关于x 的函数表达式，并求x 取何值时，S 1取得的最大值；
(2)观察图形，通过确定x 的取值，试比较S 1、S 2的大小．
分析 此题涉及一次函数、反比例函数和二次函数的性质及综合
应用，学会通过图象比较面积的大小．
(1)已知M 点坐标，根据M 点在一次函数y ＝－x ＋4的图象上，
代入把M 点纵坐标用x 表示出来，从而表示出矩形MM 1OM 2的面积
为S 1；
(2)观察图形．S 1、S 2，观察反比例函数在一次函数上方还是下方，从而比较其大小． 解 (1)∵M 的坐标为(x ，y )，M 点在一次函数y ＝－x ＋4的图象上，∴y ＝－x ＋4．
∴当x ＝2时，S 最大值＝4；
(2)设N(x 1，y 1)，点N 在反比例函数y ＝2x
图象上，
通过观察图象可得：。