圆的标准方程导学案1(优选.)
圆的标准方程(第1课时)教学设计
（师）幻灯片投影解答过程。
（生）审题，试画出相关的圆。
（师）建立直角坐标系，确定点A、B的位置，并根据条件画出圆（投影），设疑：
（1）圆的半径与直径AB有何关系？能否求出来？根据什么？
（2）圆心在直径的什么位置？能否求出来？根据什么？
（生）按设置的问题进行回顾、小结。
引导学生明确确定圆的标准方程的两要素及其结构特点，可以给一、两分钟时间学生记忆。
通过此练习可以强化学生对圆的标准方程的理解和记忆，练习可以采用抢答的形式进行，起到活跃课堂气氛和激发学生学习积极性的作用。
【能力提升】是前面两个练习的综合训练，再次让学生明确圆心和半径是确定圆的标准方程的两个不可缺少的条件，让学生学会审题，会把简接条件变成直接条件。
的圆的方程？
2.圆心在直线 x+y=4 和 x-y=-2 的交点，
半径为3的圆的方程？
【深入挖掘】已知点A（2，5）和B（0，-1），求以AB为直径的圆的标准方程。
【分组讨论】下列方程分别表示什么图形？
(1).
(2).
(3).
【高考链接】
圆心在3x－y=0上与x轴相切并且被直线y=x截得的弦长为2 的圆的方程是
3圆心在原点，半径
2、请说出下列各圆的圆心坐标和半径：
① ;
23【能力提升】求来自C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
【变式训练1】己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
【变式训练2】
1.求圆心在（-2，3）又过点（1，7）
1、要定圆，则要先定和（圆的两要素）。
2.2.1圆的标准方程-导学案
圆与圆的方程2.1圆的标准方程（导学案）使用说明：1．用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。
2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究。
【学习目标】⑴ 掌握确定圆的几何要素⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程 ⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径【重点难点】重点是圆的标准方程，难点是根据不同的条件求圆的标准方程相关知识：1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？教材助读：1.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？2.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：___________________________________________________________________3.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在圆点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？预习自测1.写出下列各圆的方程：（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3； （2） 圆心在圆点，半径为5；（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。
2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为基础知识探究1.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩点在圆内点在圆外点在圆上2.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是综合应用探究1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？预习案 探究案2.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。
高一年级数学 圆的标准方程导学案
圆的标准方程导学案 一、学习目标 1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程； 2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和 半径；由不同的已知条件求得圆的方程. 3.掌握点和圆的位置关系. 二、温故知新回顾直线方程的知识完成下列问题：（1）直角坐标系中任意两点),(11y x A ，),(22y x B 的距离=||AB ；特殊的，),(y x P 与原点的距离为 ；AB 的中点M 的坐标为 ．（2）已知两点)2,2(),1,1(-B A ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 ．三、合作探究任务一 推导圆的标准方程．（类比直线的方程）任务二 认识圆的标准方程．写出下列圆的圆心坐标和半径.圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x4)4()1(22=++-y x9)2(22=++y x8)3(22=-+y x2223)(-=+y x222)(a y a x =+-任务三 圆的标准方程的应用模块一 判断点和圆的位置关系例1 写出圆心为)1,0(O ，半径为25的圆的方程，并判断点)8,1(A ，)2,2(B ，)5,6(C 是否在圆上．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-的位置关系判定方法：模块二 求圆的标准方程例2 ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)82(),37(),15(--，，，C B A ，求它的外接圆的方程．例3 已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线01:=+-y x l 上，求圆心为C 的圆的标准方程．练习题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝92．点)5,(m P 与圆2522=+y x 的位置关系（ ）A ．在圆外 B.在圆上 C. 在圆内 D.在圆上或在圆外3．圆x 2＋y 2＝1上的点到点M(3，4)的距离的最小值是( )A ．1B ．4C ．5D ．64．若点)12,15(a a P +在圆1)1(22=+-y x 的外部，则a 的取值范围为________．5. 一圆经过点P(－4，3)，圆心在直线2x －y ＋1＝0上，且半径长为5，求该圆的方程．6．平面直角坐标系中有A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？。
高中数学_2.3.1圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
.高中数学必修2 新授课导学案2.3.1圆的标准方程（一）学习目标：1.知识与技能目标:（1）理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程，并从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题 3.情感、态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神； （2）树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。
（二）学习重点和难点：1．重点：圆的标准方程的推导以及根据已知条件求圆的标准方程。
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
(三)学习过程： 一、课前准备复习回顾： 1.已知点),(),,(2211y x B y x A ，两点间的距离AB =___________ 。
2.已知点,直线,点A 到直线l 的距离为3.圆的定义：平面内到一_____的距离等于_____的点的轨迹是圆，_____是圆心，___是半径。
二、新课导学探究1：在平面直角坐标系中，求圆心为点C 、半径为r 的圆的方程。
( 思考:如何建立平面直角坐标系? )MC r新知1：圆的标准方程： _______ ，圆心为C（，），半径为。
写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.说明：y探究2：点与圆的位置关系试一试：写出圆心为C（0,0）半径为2的圆的方程，在平面直角坐标系中,画出此圆, 2并判断点与圆的位置关系。
1-2 -10 1 2 x新知2：判断点A(与圆C：()()222rbyax=-+-（r>0）的位置关系的方法：（1）点A在圆内 |CA| rA A A（2）点A在圆上 |CA| rC.（3）点A在圆外 |CA| r 三、新知应用例1：根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2)。
4.1.1圆的标准方程
宝坻九中导学案高二数学 必修2 4.1.1 主备人韩紫媛 审核人张雅建4.1.1圆的标准方程一、教学目标及重难点1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)二、知识探究问题1．在平面内，圆是如何定义的？问题2.两点间的距离公式是什么？问题3．在平面直角坐标系中以(1,2)为圆心以2为半径的圆能否用方程(x －1)2＋(y －2)2＝4来表示？1.圆的标准方程(1)以A (a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为__________________(2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为___________________问题4.点A (1,1)，B (3,0)，C (2，2)同圆x 2＋y 2＝4的关系如图所示，则|OA |，|OB |，|OC |同圆的半径r ＝2什么关系？2.点与圆的位置关系设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置关系对应如下：例1求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为点A (－2,3)，半径为2；(2)经过点A (5,1)，圆心为点C (8，－3)．例2写出下列各圆的圆心和半径(1)6122=+-y x ）（ (2)9)2()1(22=-++y x班级： 姓名：例3写出圆心为()3-2，A 半径长等于5的圆的方程，判断()()1,5,7,51---M M 是否在这个圆上.例4ABC ∆的三个顶点的坐标是()()()8,2,3,7,1,5--C B A ,求它的外接圆的方程.例5已知圆心C 的圆经过点()()2,2,1,1-B A ,且圆心在01:=+-y x l 上，求圆的标准方程.四、巩固练习及检测1.已知ABC ∆的顶点坐标为()()()0,0,03,0,4O B A ,求ABC ∆外接圆的方程.2. 已知两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．五、课堂小结1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r （见例4）或直接求出圆心(a ，b )和半径r （见例5）.2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．。
圆的标准方程学案
圆的标准方程学案圆的标准方程学案一、教学目标1、理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的推导过程；2、会根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，掌握圆的标准方程的应用；3、通过对圆的标准方程的学习，初步了解解析几何的基本思想和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1、圆的标准方程的推导2、圆的标准方程的形式及其意义3、圆的标准方程的应用三、教学过程1、引入：通过实例展示圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。
2、圆的标准方程的推导：通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。
3、圆的标准方程的形式及其意义：介绍圆的标准方程的形式，解释各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。
4、圆的标准方程的应用：通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。
四、教学步骤1、教师引导学生通过实例理解圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。
2、教师介绍圆的标准方程的推导过程，通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。
3、教师解释圆的标准方程的形式，说明各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。
4、教师通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。
五、教学重点与难点1、教学重点：掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。
2、教学难点：理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。
六、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动交流。
2、教学手段：PPT、板书、实物展示。
七、教学评估1、课堂练习：通过练习题检验学生对圆的标准方程的理解和掌握情况。
2、课后作业：布置相关题目，加强学生对圆的标准方程的掌握和应用能力。
3、课堂讨论：引导学生对圆的标准方程的应用进行讨论，提高学生对该知识的理解和应用能力。
八、教学反思1、总结课堂效果：对本次课程的教学效果进行总结，分析学生的掌握情况。
初中圆的方程教案
初中圆的方程教案
教学目标：
1. 了解圆的方程的概念和意义。
2. 学会用圆的标准方程和一般方程表示圆。
3. 能够熟练地运用圆的方程解决实际问题。
教学重点：
1. 圆的方程的概念和意义。
2. 圆的标准方程和一般方程的表示方法。
3. 运用圆的方程解决实际问题。
教学准备：
1. 教学课件或黑板。
2. 圆的模型或图片。
3. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 向学生介绍圆的概念，引导学生回顾圆的性质。
2. 提问：圆有什么特殊的性质？我们可以用什么方式来表示圆？
二、新课讲解（15分钟）
1. 介绍圆的方程的概念和意义。
2. 讲解圆的标准方程和一般方程的表示方法。
3. 通过示例，让学生理解圆的方程的含义和运用。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固对圆的方程的理解。
2. 引导学生运用圆的方程解决实际问题。
四、总结与拓展（10分钟）
1. 对本节课的内容进行总结，让学生掌握圆的方程的概念和表示方法。
2. 引导学生思考圆的方程在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
教学反思：
本节课通过导入、新课讲解、课堂练习和总结与拓展环节，让学生了解了圆的方程的概念和意义，学会了用圆的标准方程和一般方程表示圆，并能够运用圆的方程解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，通过示例和练习题让学生充分理解和掌握圆的方程的表示方法。
同时，也要注重培养学生的思维能力和实际应用能力，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。
圆的一般方程导学案
4.1.2圆的一般方程导学案【使用说明】：1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提升。
2.认真限时完成，规范书写：课上小组合作探讨，答疑解惑。
【重难点】：重点： 圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．难点： 对圆的一般方程的理解、掌握和使用一．学习目标：1. 能用配方法由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．2. 通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际水平。
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法。
3小组成员积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，以高度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
二、问题导学：1.圆的标准方程是_____________________________，展开为 ，可见任何一个圆的方程都能够写成二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的形式，．那么如果给出一个二元二次方程形如022=++++F Ey Dx y x ，它表示的曲线是否一定是圆呢？ 2．将方程022=++++F Ey Dx y x 配方，得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （1）当0_422F E D -+时，表示以 为圆心, 为半径的圆；（2）当0__422F E D -+时，方程只有一个实数解2D x -=，2E y -=，即表示点（-2D ，-2E ）；（3）当0__422F E D -+时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆 只有当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x （ ）叫作圆的一般方程。
3．圆的一般方程是 元 次方程。
但并不是所有的 元 次方程都可表示圆。
所以方程Ax 2+B 2y +Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的必须具备的条件： （1）①2x 和2y 的系数 ，且不等于 ，A=B 0≠；（2）没有 这样的二次项；（3）0_____422F E D -+；（4）确定圆的一般方程，只要根据 个相互独立的已知条件确定系数F E D ,,就能够了。
圆的标准方程(优秀经典导学案)
4.1.1圆的标准方程
一、课时目标
1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)
2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)
3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)
二、自主学习
1、知识点（一）
(1)圆的定义：平面内到的距离等于的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是和，如图4－1－1所示．
图4－1－1
(3)圆的标准方程：圆心为A(A，B)，半径长为r的圆的标准方程是．
当A＝B＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以为圆心、半径为r的圆．
2、知识点（二）
圆C：(x－A)2＋(y－B)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(A，B)，半径为r，点P(x0，y0)，设D ＝|PC|
＝（x0－a）2＋（y0－b）2.
位置关系D与r的大小图示点P的坐标的特点
点在圆外 D r(x0－A)2＋(y0－B)2＞r2
点在圆上 D r(x0－A)2＋(y0－B)2＝r2
点在圆内 D r(x0－A)2＋(y0－B)2＜r2
三、课堂练习
1．已知圆方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)()
A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外
2．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝
3
3x的距离为()
A. 1
2 B.
3
2C．1 D. 3
3．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1，1)的圆的方程是____________．4．求圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)的圆的标准方程．。
山东省临沂高一数学新人教A版必修二4.1《圆的方程》学案(1)
圆的方程●知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422F E D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0， B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF=0， 仅当（A D ）2+（A E ）2－4·AF＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF＞0.●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21 （θ为参数）. ① （θ为参数）. ②C.－71<t <1 D .1<t <2 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0， 即－71<t <1. 答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131 C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔ ｜a ｜＜131. 答案：D3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）. 答案：（－1，2）5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.解析：Rt △OMC 中，|MP |=21|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0. 答案：x 2+y 2－x －2y －2=0 ●典例剖析【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0.当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac|为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27， 则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC |.∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|， ∴922++y x =|y +3|.化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. ●闯关训练 夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =0 解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：2 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程. 解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0. Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32.由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0， 即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.解：原方程为（x +1）2+（y －3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x =－1+2cos θ，y =3+2sin θ 22sin （θ+4π），当θ=4π5，即x =－1－2，y =3－2时，x +y 的最小值为3－1－22.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求 （1）xy的最大值和最小值； （2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设x y=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（也可由平面几何知识，有OC =2，OP =3，∠POC =60°，直线OP 的倾斜角为60°，（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =3－1+2（sin θ+cos θ）=3－+1直线OP ′的倾斜角为120°解之）（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1， AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2， 即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上， 因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0 半径r =22)40()11(-+--=20， 所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外. （理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程； （2）求半径最小时圆M 的方程. 解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N （－1，－1）为弦AB 的中点，在Rt △AMN 中，|AM |2=|AN |2+|MN |2，∴（m +1）2=－2（n +2）.（*）的解，即圆心坐标为（－1，0）.故动圆圆心M 的轨迹方程为（x +1）2=－2（y +2）. （2）由（*）式，知（m +1）2=－2（n +2）≥0， 于是有n ≤－2.而圆M 半径r =12 n ≥5，∴当r =5时，n =－2，m =－1，所求圆的方程为（x +1）2+（y +2）2=5.探究创新9.（2005年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为（x ，y ）.（1）若P 点斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离|PO |； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 解：（1）∵P 点斜坐标为（2，－2）， ∴OP =2e 1－2e 2.∴|OP |2=（2e 1－2e 2）2=8－8e 1·e 2=8－8×cos60°=4. ∴|OP |=2，即|OP |=2.（2）设圆上动点M 的斜坐标为（x ，y ），则OM =x e 1+y e 2.∴（x e 1+y e 2）2=1. ∴x 2+y 2+2xy e 1·e 2=1. ∴x 2+y 2+xy =1.故所求方程为x 2+y 2+xy =1. ●思悟小结1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.●教师下载中心 教学点睛1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.拓展题例【例1】 圆x 2+y 2=1内有一定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠P AQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.分析：先求出PQ 中点E 的轨迹方程为x 2+y 2－21x －83=0.再求切点弦PQ 所在直线的方程.解：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则过P 、Q 的切线方程分别是 x 1x +y 1y =1，x 2x +y 2y =1.又M （m ，n ）在这两条切线上，有mx 1+ny 1=1，mx 2+ny 2=1，∵P 、Q 两点的坐标满足方程mx +ny =1，又两点确定唯一一条直线， ∴PQ 所在直线的方程是mx +ny =1.又∵E 为直线OM 与PQ 之交点，解方程组 mx +ny =1 y =mn x ⇒x =22n m m +，y =22nm n+. 将（22n m m +，22nm n +）代入中点E 的轨迹方程得x 2+y 2+34x －38=0. 这就是要求的过P 、Q 两点的切线交点M 的轨迹方程.【例2】 如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点P ，使P 到直线y =2的距离等于|PQ |，求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.解：设P （x ，y ），圆O 1：x 2+（y －1）2=1与直线y =2切于点A ，连结AQ ，易知|AQ |=|AR |=|x |， 又|PQ |=|PR |=2－y ，∴在Rt △OQA 中，|OA |2=|AQ |2+|OQ |2，即22=|x |2+［22y x －（2－y ）］2， 化简整理得x 2（x 2+y 2－4）=0， ∴x =0或x 2+y 2=4为所求的轨迹方程.。
2.4.1 圆的标准方程(教案)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程2.4.1 圆的标准方程教学设计一、教学目标1理解用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征.2能根据所给条件求圆的标准方程，并能应用圆的标准方程解决简单的数学问题. 3会判断点与圆的位置关系.二、教学重难点1、教学重点圆的标准方程.2、教学难点圆的标准方程及其应用.三、教学过程1、新课导入多边形和圆是平面几何中的两类基本图形. 建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”图形，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题. 类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程. 这节课我们就来一起学习一下圆的标准方程.2、探索新知一、圆的几何要素圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.二、圆的标准方程如图，在平面直角坐标系中，A 的圆心A 的坐标为(,)a b ，半径为r ，(,)M x y 为圆上任意一点，A 就是以下点的集合{||}P M MA r ==.根据两点间的距离公式，点M 的坐标(,)x y 满足的条件可以表示为r =，两边平方，得222()()x a y b r -+-=.（1）由上述过程可知，若点(,)M x y 在A 上，点M 的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M 的坐标(,)x y 满足方程（1），就说明点M 与圆心A 间的距离为r ，点M 就在A 上.这时，我们把方程（1）称为圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的标准方程.三、点与圆的位置关系点000(,)M x y 在圆222x y r +=内，则22200x y r +<；在圆222x y r +=外，则22200x y r +>.例1 求圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程，并判断点1(5,7)M -，2(2,1)M --是否在这个圆上.解：圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=.把点1(5,7)M -的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(52)(73)25-+-+=，左右两边相等，点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在这个圆上.把点2(2,1)M --的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(22)(13)20--+-+=，左右两边不相等，点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在这个圆上.例2 ABC △的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -，求ABC △的外接圆的标准方程.解：设所求的方程是222()()x a y b r -+-=.因为(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程222()()x a y b r -+-=.于是222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩，即222222222102261465841668a b a b r a b a b r a b a b r ⎧+--+=⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩.三式两两相减，得281a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩， 代入222(5)(1)a b r -+-=，得225r =.所以，ABC △的外接圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=.例3 已知圆心为C 的圆经过(1,1)A ，(2,2)B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=上，求此圆的标准方程.解法1：设圆心C 的坐标为(,)a b .因为圆心C 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=.①因为A ，B 是圆上两点，所以||||CA CB =.，即330a b --=.②由①②可得3a =-，2b =-. 所以圆心C 的坐标是(3,2)--.圆的半径||5r AC ==.所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=.解法2：如图，设线段AB 的中点为D .由A ，B 两点的坐标为(1,1)，(2,2)-，可得点D 的坐标为31(,)22-， 直线AB 的斜率为21321AB k --==--. 因此，线段AB 的垂直平分线l '的方程是113()232y x +=-，即330x y --=. 由垂径定理可知，圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解.解这个方程组，得32x y =-⎧⎨=-⎩. 所以圆心C 的坐标是(3,2)--.圆的半径||5r AC ==.所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=.3、课堂练习1.圆()()22232x y -++=的圆心坐标和半径分别是( )A.(2,3)-，1B.(2,3)-，3C.(2,3)-D.(2,3)- 答案：D解析：由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,3)-2.圆()()2221249x y -++=的周长等于( )A.6πB.3πC.3π2D.9π答案：B 解析：圆的方程可化为()2219224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以圆的半径为32，因此圆的周长为32π3π2⨯=. 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程为( )A.22(2)1x y ++=B.22(2)1x y +-=C.22(1)(3)1x y -+-=D.22(3)1x y +-=答案：B 解析：设圆心坐标为(0,)b ，由半径为1，可得圆的标准方程为22()1x y b +-=.又圆过点(1,2)，所以21(2)1b +-=，解得2b =，故圆的标准方程为22(2)1x y +-=，故选B.10.若点M 在圆22(1)26x y -+=的内部，则实数a 的取值范围是___________. 答案：[0,1)解析：2211)26a -+=，因为点M 在圆的内部，所以2626a <，又0a ≥， 所以01a ≤<.故实数a 的取值范围是[0,1).4、小结作业小结：本节课学习了圆的标准方程及其简单应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计2.4.1 圆的标准方程1.圆的标准方程：若点(,)M x y 在A 上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的标准方程.2.点与圆的位置关系：点000(,)M x y 在圆222x y r +=内，则22200x y r +<；在圆222x y r +=外，则22200x y r +>.。
高中数学《圆的标准方程》导学案
4．1.1圆的标准方程课前自主预习知识点一圆的标准方程1．圆的基本要素圆的基本要素是□1圆心和□2半径．2．圆的标准方程圆的标准方程是□3(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C为(a，b)，半径为r.知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．()(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.()(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P120，T1)若圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为3，则此圆的标准方程为____________________．(2)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标和半径分别为____________．(3)(教材改编，P121，T2)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1,0)与圆的位置关系是____________．答案(1)(x＋1)2＋(y－3)2＝3(2)(－2,2)，5(3)点A在圆上3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为()A ．(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝4C ．(x －5)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －3)2＋y 2＝4答案 A课堂互动探究探究1 点与圆的位置关系例1 已知点A (1,2)在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解 ∵点A 在圆的内部，∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2且a ≠0，∴2a ＋5<0，∴a <－52且a ≠0，∴a 的取值范围是a <－52.[条件探究] 将例1改为：已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解 解法一：由题意，得点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 解法二：由例1知点A 在圆C 的内部时，a <－52，所以点A 不在圆C 的内部时，a ≥－52，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)．拓展提升1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．2．求解参数范围若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．【跟踪训练1】 若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，求实数a 的取值范围．解 ∵点(1,1)在圆的外部，则点(1,1)到圆心(a ，－a )的距离大于半径2，∴ (a －1)2＋(－a －1)2>2，解得a >1或a <－1.探究2 求圆的标准方程例2 求过点A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的标准方程． 解 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝1，r 2＝25.所以，所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.[解法探究] 例2还有其他解法吗？解 因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理，得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎨⎧ x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0，得圆心的坐标为(－3,1)． 又圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5，所以，所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.拓展提升求圆的方程的两种方法(1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．(2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法．【跟踪训练2】 已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解 解法一：如图所示，由题设知|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝|AC |2－|AO |2 ＝52－42＝3.设点C 坐标为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.解法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25.∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.探究3 与圆有关的最值问题例3 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求：(1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．解 (1)据题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大和最小值．原点O (0,0)到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14. (2)令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b .问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1， 即最大值为22－1，最小值为－22－1.[变式探究] 在本例条件不变的情况下，如何求x 2＋y 2－2x 的最值？解 令t ＝x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1表示圆上的点到点(1,0)距离的平方减1，而圆心C (－1,0)，故t 的最大值为214，最小值为54.拓展提升与圆有关的最值问题，常见的几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b 截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．【跟踪训练3】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 将实数x ，y 看作点P (x ，y )的坐标，满足(x －2)2＋y 2＝3的点P (x ，y )组成的图形是以M (2,0)为圆心，3为半径的圆，如图．(1)设y x ＝y －0x －0＝k ，即y x 是圆上的点P 与原点O 连线的斜率． 由图知直线y ＝kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值，此时有OP ⊥PM ，|PM |＝3，|OM |＝2，∴∠POM ＝60°.此时k ＝tan60°＝3，∴y x 的最大值是 3.同理知直线y ＝kx 和圆M 在第四象限相切时，k 取最小值，y x 的最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，b 是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距． 由图知当直线y ＝x ＋b 和圆M 在第四象限相切时，b (b <0)取最小值．此时有|2＋b |2＝3，解得b ＝－6－2， ∴y －x 的最小值是－6－2.同理，y －x 的最大值是6－2.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.1.确定圆的标准方程需具备的条件圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中有三个参数，要确定圆的方程需要确定这三个参数，其中圆心(a ，b )是圆的定位条件，半径r 是圆的定量条件．注意：在具体问题的求解过程中，应灵活应用圆的几何性质(如弦的中垂线过圆心)确定圆心的位置和半径大小，可使问题简单化.2.求圆的标准方程的常用方法(1)几何法利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．3.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．课堂达标自测1．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( ) A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定答案 C 解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝14＋34＝1>12， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在圆外，故选C. 2．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案B解析由题意可知直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y ＋3)2＝13.3．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为__________________．答案(x－2)2＋(y＋3)2＝25解析因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．答案2解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解(1)由题意，结合图①可知圆心(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图②所示，过点C 作CD 垂直于直线x －y ＋1＝0，垂足为D .由点到直线的距离公式可得|CD |＝|3＋1|2＝22， 又P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，结合图形易知点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116答案 B解析 圆心为AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12(6＋4)2＋(－1＋5)2＝29，故选B.2．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意，得⎩⎨⎧ (|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1或⎩⎨⎧ (x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆．3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析 解法一：(直接法)设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二：(数形结合法)根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法三：(验证法)将点(1,2)代入四个选择项，排除B 、D ，又由于圆心在y 轴上，排除C ，选A.4．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( )A ．2B ．1 C. 3 D.2答案 B解析 方程(x ＋5)2＋(y －12)2＝142表示以(－5,12)为圆心，14为半径的圆，x 2＋y 2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴x2＋y2的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1.5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析因为y＝ax＋b过一、二、四象限，所以a<0，b>0.因为(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心坐标为(－a，－b)，所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限，选D.二、填空题6．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.7．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．答案[0,1)解析由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2<26，即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.8．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________．答案 (x －3)2＋(y －4)2＝25解析 ∵|MA |＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5， |MB |＝(1－3)2＋(0－4)2＝25， |MC |＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB |<|MA |<|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外，∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.三、解答题9．已知圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，求圆C 的标准方程．解 解法一：由圆心在直线2x －y －7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a －7)，由题意得a 2＋(2a －3)2＝a 2＋(2a －5)2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.解法二：圆C 的圆心在弦AB 的垂直平分线y ＝－3上，由⎩⎨⎧ 2x －y －7＝0，y ＝－3，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－3为所求圆的圆心坐标，半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.解法三：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(－4－b )2＝r 2，(0－a )2＋(－2－b )2＝r 2，2a －b －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.B 级：能力提升练10．已知圆C 的圆心坐标为(x 0，x 0)，且过点P (4,2)．(1)求圆C 的标准方程(用含x 0的方程表示)；(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程．解 (1)由题意，设圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r >0)． ∵圆C 过点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2，∴r 2＝2x 20－12x 0＋20，∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20.(2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20 ＝2(x 0－3)2＋2，∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小，此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.。
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案圆的标准方程教案教学目标•了解圆的基本定义和性质•掌握圆的标准方程的推导过程•理解并能够应用圆的标准方程解决相关问题具体内容1.圆的定义–圆是由平面上到一个定点的距离恒为定值的点的集合。
–圆心：到圆上任意一点的距离相等的那个点称为圆心。
–半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径。
2.圆的性质–圆上任意两点之间的距离等于半径的长度。
–圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
–圆的直径是两个任意点之间的最大距离，等于半径的两倍。
3.圆的标准方程的推导–圆心为原点(O, 0)的标准方程：x2+y2=r2•推导过程：–假设圆上一点的坐标为(x, y)–利用圆的性质，得到点(x, y)到原点(0, 0)的距离表达式为√x2+y2–根据圆的定义，该距离应等于半径r，即√x2+y2=r–两边平方可得x2+y2=r24.应用示例–示例1：已知圆心为O(2, 3)，半径为5，求圆的标准方程。
–示例2：已知圆的标准方程为x2+y2=16，求圆心和半径。
教学步骤1.引入圆的基本定义和性质，让学生了解圆的特点和基本概念。
2.介绍圆的标准方程的推导过程，引导学生理解推导思路。
3.提供示例，让学生通过实例练习应用圆的标准方程。
4.鼓励学生以小组或个人形式进行讨论，解决更复杂的问题。
5.结合生活和实际问题，让学生应用所学的圆的标准方程解决实际情况。
6.给学生一些拓展题，鼓励他们提出更多的问题和思考。
7.总结课程内容，强调圆的标准方程在解决几何问题中的重要性。
教学资源•教科书或教材相关章节•板书或投影仪，展示圆的标准方程的推导过程•实例问题和解答•拓展题目评估与反馈•在课堂上进行学生的练习和回答问题。
•布置课后作业，检查学生对圆的标准方程的理解和应用能力。
•检查学生解决实际问题的能力，如通过实例或情境题进行评估。
•综合评价学生在课堂讨论、练习和作业中的表现，提供反馈和指导。
高二数学必修二 第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修2 第四章 圆与方程第四章 圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上⇔2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外⇔2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内⇔2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径⇔点在圆外⇔_________________.2°点到圆心的距离等于半径⇔点在圆上⇔_________________.3°点到圆心的距离小于半径⇔点在圆内⇔_________________.二、合作探究例1：ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的 方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆； (ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________； (ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。
圆的标准方程
课型：新授课编制人：年级主任：班级：n加油姓名：编号：060
2.3.1圆n加油的标准方程
一、学习目标
1、掌握圆的定义及标准方程；n加油
2、能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定n加油系数法求圆的标准方程．
二、基础知识
1、圆的标准方程
圆
特殊n加油情况
一般情况
圆心
(0,0)
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原n加油则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。n加油随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察n加油，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，n加油引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能n加油说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，n加油即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观n加油察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇n加油，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空n加油急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说n加油：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“n加油这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这n加油叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会n加油儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比n加油较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，n加油朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓n加油住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快n加油，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导n加油幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。n加油如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生n加油用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察n加油对象。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一 求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ， 得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法三 设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )， 则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.题型四 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52，解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五 数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下：由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴点A 的坐标为(－2，－1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴点B 的坐标为(1，－1).∴线段AB 的中点坐标为(－12，－1).又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝12，设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.∵|MA ||MB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－4k |k 2＋1≤2.解得－33≤k ≤33.即k min ＝－33. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x ＋2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 22. ①y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22)2 ＝(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12)2. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0， 解得m ＝3±132.故当m ＝3±132时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。
圆的标准方程优秀教案
圆的标准方程优秀教案本节课主要介绍圆的标准方程，是在研究了直线的相关知识后进行的。
圆是初中时学生就已经学过的曲线，因此本节课的重点在于推导圆的标准方程，并且能够根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何法求解圆的标准方程。
通过研究本节课，可以培养学生用坐标法研究几何问题的能力，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识。
本节课需要用1个课时来完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用。
教学目标是让学生理解和掌握圆的标准方程，并且能够根据不同的已知条件求解圆的标准方程。
同时，本节课也要让学生尝试用代数方法解决几何问题，探究数形结合和待定系数法的思想方法。
在自主探究方面，学生需要学会点与圆的位置关系的判断方法。
考试重点是学会求圆的标准方程，易错易混点在于不同的已知条件下，如何恰当地求解圆的标准方程。
拓展方面，学生需要学会根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求解圆的标准方程。
在引入新课环节，教师可以通过问题的形式来回顾圆的定义，引出确定圆的两个要素：圆心和半径。
同时，教师也可以通过提问的方式，引出本节课要探究的问题：圆能否用一个方程来表示。
在探究新知的环节，教师可以通过问题的形式，引导学生回答求解曲线方程的一般步骤。
具体来说，需要建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，然后写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}。
在求解圆的标准方程时，可以类比直线点斜式方程的推导方法，根据已知条件来确定圆的方程。
师：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义，我们可以建立x，y满足的关系式。
那么请你们用两点间的距离公式，写出点M的坐标适合的条件。
生：根据两点间的距离公式，AM的平方等于(x-a)的平方加上(y-b)的平方。
因此，点M的坐标适合的条件是(x-a)的平方加上(y-b)的平方等于r的平方。
师：非常好。
那么我们如何进一步化简上述关系式得出圆的方程？生：我们可以将(x-a)的平方加上(y-b)的平方展开，得到x的平方加上y的平方减去2ax减去2by加上a的平方加上b的平方等于r的平方。
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赠人玫瑰，手留余香。
1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
3.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？
4.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：________________
5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是：
圆心在原点、半径为1的圆的方程：
思考：确定圆的标准方程的基本要素？
预习自测
1.写出下列各圆的方程：
（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3；
（2） 圆心在圆点，半径为5；
（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)；
（4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。
2.圆22
(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为
二、课/堂/探/究：合作探究————取长补短
基础知识探究
1.圆的标准方程是一个____元____次方程.
2.写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.
3.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是
4.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足
怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩
点在圆内点在圆外点在圆上
综合应用探究
1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？
2.ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，求它的外接圆的方程.
3.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。
三、达/标/检/测
1. 求满足下列条件的圆的方程
（1） 经过点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x 轴上；
（2） 经过直线073=++y x 与01223=--y x 的交点，圆心为点C(-1,1);
（3） 圆5)2(2
2=++y x 关于原点(0,0)对称的圆的方程是
2．过)1,1(-M 和)3,1(N ，且圆心在x 轴上的圆的方程是（ ）
A ．10)2(22=-+y x
B ．10)2(22=+-y x
C ．10)2(22=++y x
D ．10)2(22=++y x
3.下列方程表示什么图形？
(1)022=+y x (2)22)2(8)1(+-=-y x (3)21x y -=
4. 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )
(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x
(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(2
2=-++y x
5.已知圆的圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点(2,1)-求圆的标准方程.
6.已知圆2225x y +=求：⑴过点(4,3)A -的切线方程. ⑵过点(5,2)B -的切线方程
四、课/后/训/练
1. 已知(2,4),(4,0)A B -，则以AB 为直径的圆的方程（ ）.
A ．22(1)(2)52x y ++-=
B ．22
(1)(2)52x y +++=
C ．22(1)(2)52x y -+-=
D ．22(1)(2)52x y -++=
2.点(,5)P m 与圆的2224x y +=的位置关系是（ ）
A ．在圆外
B ．在圆内
C ．在圆上
D ．不确定
3.圆心在直线2x =上的圆 C 与 y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则圆 C 的方程为（ ）
A ．22(2)(3)5x y -+-=
B ．22(2)(3)25x y -+-=
C ．22(2)(3)5x y -++=
D ．22(2)(3)25x y -++=
4.求圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程。
5.求过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程。
五、小/结/反/思
1．方法归纳
⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.
⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.
⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.
2．圆的标准方程的两种求法：
⑴根据题设条件，列出关于,,a b r 的方程组，解方程组得到,,a b r 得值，写出圆的标准方程.
⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
3、自我评价：你完成本节导学案的情况为
A ．很好
B ．较好
C ．一般
D ．较差
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