对数平均数
对数平均值的几何解释与探究(岳峻)
三、不等式链的证明
评注：涉及两个变量的不等式的证明，其解题策略耐人 寻味: 证法1是先将不等式逆推分析，进行等价转化，使得其 中的两个变量的特征、规律更明朗，然后将两个变量的比值 （或和、或差、或积）替换为新的一元变量，便于构造出新 的一元函数，再通过对新的一元函数求导，判断其单调性、 确定极值（或最值），达到解决问题的目的，可归结为 “化归-换元-构造-求导”； 证法2将地位均衡的两个变量之一作为主元，另外的一 个变量视为常量来处理，构造出一元函数，可归结为 “化归-主元-构造-求导”.
高考压轴题与对数平均值
一、对数平均值的概念
中学数学教育专家安振平在剖析2013年 陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景 是： 设 a, b 0, 则
ab a b ab 2 ln a ln b
其中
，
a b ln a ln b
被称之为对数平均值.
一、对数平均值的概念
对数平均值在现行高中教材没有出现， 但其蕴含着高等数学的背景，近几年的高考 压轴题中，频频出现。 安振平老师构造函数，借助于导数证明 了对数平均数的有关不等式，难度较大，为 此，本人作了一些探讨，以期对2016年的复 习迎考有所启发。
三、不等式链的证明
设函数 f x 1 x ln x 2 x 1 x 1 , 则
证法1：设 b a 0, a b ，则不等式等价于 骣 骣 b 鼢 b b 珑 1鼢 ln > 2 - 1 (a + b)(ln b - ln a) > 2(b - a) ? 珑 鼢 珑 桫 桫 a a a
ab
四、对数平均值的几何解释
（3）又 S矩形ABQX < S曲边梯形ABQP < S梯形ABQP ， < S矩形ABYP , 1 1骣 1 1÷ 1 ç + ÷ (b - a) < (b - a),L ③ 所以 b (b - a) < ln b - ln a < 2 ç ÷ ç 桫 a b a
换热器对数平均温差的正常范围
换热器对数平均温差的正常范围换热器对数平均温差是指换热器中冷、热工质的温度差的对数平均值。
换热器对数平均温差是换热器性能的重要参数之一，直接影响着换热器的换热效果和能耗。
在换热系统中，合理控制换热器对数平均温差对于提高换热效率、降低能耗具有重要意义。
那么，换热器对数平均温差的正常范围是多少呢？首先，我们来了解一下换热器对数平均温差的计算公式。
换热器对数平均温差的计算公式为：(ΔT1-ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)其中，ΔT1为冷工质进口温度与热工质出口温度之差，ΔT2为冷工质出口温度与热工质进口温度之差。
换热器对数平均温差的正常范围是在设计参数规定的范围内。
换热器对数平均温差的正常范围会受到许多因素的影响，比如换热器的类型、工作状态、介质性质、流体流速等。
一般来说，换热器对数平均温差的正常范围应该是在设计参数规定的范围内，同时考虑到实际运行条件，以保证换热器能够正常稳定地工作。
换热器对数平均温差的正常范围对于换热器的性能有着重要的影响。
如果换热器对数平均温差过大，会导致换热器的热效率降低，能耗增加；如果换热器对数平均温差过小，会导致换热器换热面积增加，造成设备投资增加。
因此，合理控制换热器对数平均温差对于提高换热器的性能和节约能源具有重要意义。
要合理控制换热器对数平均温差，首先要从设计阶段入手。
在设计换热器时，需要根据实际工况和工艺要求，确定合理的换热器对数平均温差范围。
在确定换热器对数平均温差的范围时，需要考虑换热介质的特性、流体流速、管束结构、换热表面积等因素。
同时，需要进行充分的计算和分析，以保证换热器在设计工况下能够满足换热要求。
除了在设计阶段确定合理的换热器对数平均温差范围外，换热器运行时也需要对换热器对数平均温差进行实时监测和调整。
在实际运行中，换热器的工况和工艺条件可能会发生变化，导致换热器对数平均温差偏离设计值。
因此，需要通过合理的运行管理和调节措施，及时发现和调整换热器对数平均温差的变化，保证换热器能够稳定、高效地运行。
高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)
对数平均不等式：对于正数 a ， b ，且 a b ，则有 ab a b a b ，即几何平均数＜对 ln a ln b 2
数平均数＜算术平均数，简记为 G a,b L a,b Aa,b ．
（ⅱ）若 a 2 ，令 f (x) 0 得， x a a2 4 或 x a a2 4 .
2
2
当 x (0, a
a2 4 )
(a
a2 4 , ) 时， f (x) 0 ；
2
2
当 x(a
a2 4 a ,
a2 4 ) 时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在 (0, a
2/6
高考数学培优专题（1）
例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
x1 x2 ． （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： f ( x1x2 ) 0 ．
例 4（2011 年辽宁理科）已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ．
a2 4 ) ， (a
a2 4 , ) 单调递
2
2
2
2
减，在 (a
a2 4 a ,
a2 4 ) 单调递增.
2
2
（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .
由于 f (x) 的两个极值点 x1 ， x2 满足 x2 ax 1 0 ，所以 x1x2 1 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1 . 由于
高考数学培优专题（1）
对数平均不等式的证明与应用
对数平均数的应用(史上最全题型)
1
( x1
1)( x2
1)
1
( x1
1)
2
( x2
1)
(运用公式
:
ab a b a b) ln a ln b 2
(xx11x12)(x241) 1,
x1 x2 2ln a ln(x1 1)(x2 1) 2ln a
x1x2
x1 x2 2
ln a
f (
x1x2 ) 0
f '( x1x2 ) 0 x1x2 ln a.
f
(x)
0
ex
a(x
1)(a
e2 )
x
ln a
ln(x
1)
x1 x2
ln a ln(x1 1) ln a ln(x2 1)
① ②
x1
x2
( x1
1)
( x2
1)
ln( x1
1)
ln( x2
1)
( x1 ln( x1
1) 1)
(x2 1) ln(x2 1)
g(x)min g(2) e2; (3)当x 1时, g '(x) 0且g(x) 0(极限思想),不合题.
★设函数f (x) ex ax a,其图像与x轴交于A(x1,0), B(x2,0)两点, 且x1 x2, 证明: f '( x1x2 ) 0.
思路探索 : f '(x) ex a,当a 0时, f '(x) 0,不合题;当a 0时,令f '(x) ex a 0 x ln a; 令f '(x) ex a 0 x ln a, y f (x)在(,ln a) ,在(ln a, ) .
a(x 1) ex;
(1)当x 1时,0 e,不合题;
浅谈对数平均数在导数中的简单应用
解题篇创新题高二数学2021年5月■河南省平顶山市第一中学在必修五关于不等式的学习中，我们对基本不等式有了初步认识，并学习了均值不2___等式，即“若"，b#R十，则'"'+---"b"+b2'"^b2，当且仅当"=b时等号成立)今天，我向大家介绍一位新朋友“对数平均数)并分享它在导数中的简单应用。
对数平均数：如果"，b#R+，且0V b V"，，即为"Y b的对数平均数$ m a——m b如果把对数平均数放到均值不等式中，我们就可得到如下不等式链：若"，b#R+，且0V b V"，贝U0V b V21<"Va—b In"—In b"+b2"2+b2V"证明如下$(1)证明a—b In"—In b"+b2变形得，：n "2((b>"+b，即证山b>2(—1)构造函数7(')=^'—('>1)。
尤十丄则f f(')('一1)'('+1)2"°故7(')在(1，+7)上单调递增，7(')>7(1)=o，得证$()证明f"v@"—L b。
耿文泽(指导教师：于幸)变形得,n*v—"构造函数f(')=ln'—一+£('>1)。
一此处为了避免对根式求导，可将函数构造为f(=)=21n=一=+1(=>1)。
(—1)2则？()=—°=2丿'0$故f()在(1，+7)上单调递减，21n=V1t—一O=令==即得证$关于不等式链中对数平均数与其余平均数的关系可利用不等式的传递性证明，也可利用上面的构造法证明，这里不再赘述$下面和大家分享一下这些不等式在导数中的一些简单运用$!!已知函数f(')=E一1—ln'，函数f(')恰有两个零点'1一2，证明：'1+ '2>2$证明：由题意知,=ln'1+---=ln'2+----$—2变形得，ln'1—ln'2-一一'2，也即1工2 '1―'2ln'1―ln'2'1'2$2由对数平均数不等式“———V"+bcl—b__.»2'1'2",I1----V'一2，艮卩'1+12'2>2$提示:关于[2[V l~~"一n b的证明，丄丄m a——rn b"+b34解题篇 题追根溯源高二数学 2021年5月即证 @ ¥ — b + $-V 0,构造函数 g (')=b Zt? 乙 a 「1 __@ '—可+ 厂('>1),即可证明$Z Z h!" 已知函数 7(') = e ' —1'2 —，'—1函数7(')有两个极值点'1 ,'$ $求证：'1 +'$ V 0 $证明：易得 7‘(')= e ' — ' —，$由题意知，e 1 — '1 — , = e 2 — '$ — , $整理得，e 1 — e 2 ='1 — '$ $令'1 V '$ ,则 0V e 1 V e 2 $由对数不等式 av U/a e '$$ （2010 年湖北卷）7（'）=a'----十c （a >0）在（1,7（1））处的切线为夕='一1（1）用a 表示b 和c(2)求证：1 + 2 + 3--------+ 1 > l n (" +U+'S + D解析：(1)易知 b = a — 1 ,c = 1 — 2a2（2）由对数平均数不等式1~1a + b’ a — b ，可知 1 n a — ln b V (—b ( +b "In a ——In b2a b成立故 e 1 2 V 1,'1 + '$V 0令 a =$ + 1,b =$,贝U :(a — b ) (a +b )2a b2九+ 12$ (" +1)111$ $ +1! # 已知函数7 ('" = 1 — ' +cc' &若7 （'）存在两个极值点'1，'$,求故 ln($ + 1)— 1 n $ V 111$ $ + 1l n 2 — l n 1V 11 + 1证明：因为7，（'）= 一’$+,'一1，所以'1 + 1l n 3 一 l n 2 V 1'1 , ' $是方程'$ —，' +1 = 0的两解$则 '1 +' $ =，>0 ,'1'$ = 1 $因此，7( '1 "— 7( '$ "l n($ + 1) 一 1 n $V — (-----------—$ "十丄=-----------'$ 一'1 +, (In '1 一 @ '$ "'1*2因此，l n ($+ 1 )1/111 \1 n1+2 (—++ #)十——rv$23$ /$ + 1」= 2('$ —'1)+,(ln '1 一 In ' $" $7('1" 一7('$"@ '1 — @ '$=,------------------------------2C j C- 1 C j C- $ C j C- 1 C j C- $要证#1 —H$V ，一2成立，即证In '1 一 l n '□ —h $V 1由对数不等式“ aV @a —1 n b ”可知l n '1 一 l n '$故——1------------2 V 1成立，证毕1 —h $$ 1整理得,I n （$ + 1） +~ V 1 + 可 ++ 1 2--------+—，得证 $3 n通过以上例题，同学们是否感受到对数平均数在证明导数中的零点（极值点）偏移问 题时的便捷之处？直接运用对数平均数不等式可以避免参数换元或运用原函数单调性构造新的函数进行证明，但需要大家熟练掌握 对数不等式的证明（运用到解答题中需要给出证明）还需要大家针对题目所给的条件找到可以解决问题的对数平均数不等式$（责任编辑徐利杰"35。
化工原理对数平均值
化工原理对数平均值
《化工原理对数平均值那些事儿》
嘿呀，咱今天就来说说化工原理里的对数平均值。
这玩意儿啊，可有意思了。
就说有一次啊，我在化工厂实习。
那时候跟着师傅在车间里到处转悠，就碰到一个要计算温度差的情况。
师傅就开始给我讲这个对数平均值了。
我当时看着那些设备和数据，脑袋都有点懵懵的。
师傅呢，特别耐心，就像教小孩子一样，一步一步地给我解释。
他说呀，这对数平均值就像是在找一个中间的、比较平衡的数值，能更准确地反映出这个温度变化的情况。
我就在旁边瞪大眼睛听着，努力去理解。
然后师傅让我自己试着算一下，哎呀，我那紧张的呀，就怕算错了。
我拿着笔在纸上写写画画，感觉手心里都出汗了。
好不容易算出来了，师傅一看，还不错，我这心里可别提多高兴了。
从那以后啊，我对这个化工原理的对数平均值就有了特别深刻的印象。
每次一提到它，我就会想起在车间里跟着师傅学习的那个场景，想起自己紧张又兴奋的心情。
这就是我和化工原理对数平均值的故事啦，虽然简单，但是很真实呀！嘿嘿，现在想想还挺有意思的呢！。
对数平均迪式分解法
对数平均迪式分解法对数平均迪式分解法（Logarithmic Mean Divisia Index，LMDI）是一种常用的能源消费分解方法，它可以将总能源消费量拆分为各个因素的贡献。
本文将从以下几个方面详细介绍LMDI方法。
一、LMDI方法的基本原理LMDI方法是基于迪式分解法（Divisia Index，DI）发展而来的。
DI 是一种衡量不同因素在总量变化中所占比重的方法。
LMDI则是在DI 的基础上，采用对数平均数（Logarithmic Mean）来计算各因素的贡献。
具体而言，LMDI将总能源消费量拆分为各个因素的贡献，并通过对数平均数来计算各因素对总能源消费量变化的贡献率。
二、LMDI方法的计算步骤1.确定需要分解的因素和时间段：需要确定哪些因素会影响总能源消费量，并选择一个时间段进行分解。
2.确定每个因素在时间段内所占比重：需要确定每个因素在时间段内所占比重，并将其归一化为百分比形式。
3.计算对数差值：根据每个因素在起始年份和终止年份间所占比重，计算出对数差值。
对数差值的计算公式为：ln(Q2/Q1) = ∑ ln(Pi2/Pi1) × Wi其中，Q1和Q2分别表示起始年份和终止年份的总能源消费量；Pi1和Pi2分别表示起始年份和终止年份的每个因素的消费量；Wi表示每个因素在时间段内所占比重。
4.计算各因素贡献率：根据对数差值，计算出每个因素对总能源消费量变化的贡献率。
各因素贡献率的计算公式为：Ci = (ln(Pi2/Pi1) × Wi) / ln(Q2/Q1)其中，Ci表示第i个因素对总能源消费量变化的贡献率。
5.验证结果：将各因素贡献率相加，得到总能源消费量变化的贡献率。
如果各因素贡献率之和等于总能源消费量变化的贡献率，则说明LMDI 方法分解结果正确。
三、LMDI方法的优点与局限性优点：1. LMDI方法计算简便，只需输入数据即可自动进行分解。
2. LMDI方法可以将总能源消费量拆分为各个因素的贡献，有利于深入了解能源消费的结构和变化。
对数平均温度
对数平均温度
对数平均温度是指一个地区某段时间内的所有温度值取对数后的平均数。
它可以反映温度的波动情况和变化趋势。
对数平均温度的计算方法如下：将地区某段时间内所有温度值逐一取
对数，然后相加，得到总和。
将总和除以温度值的个数，即可求得对
数平均温度。
对数平均温度的优点在于它对温度波动的反应比较弱，因此可以反映
温度的长期变化趋势。
当地区温度波动较大时，简单平均温度容易受
到极端温度值的影响，而对数平均温度则可以较好地平稳这种影响。
可以利用对数平均温度来研究气候变化趋势。
例如，近年来全球气温
呈上升趋势，利用对数平均温度可以更加准确地反映这种趋势。
同时，对数平均温度也可以用来研究季节性变化和不同地区的气温变化规律。
总之，对数平均温度是一种有用的气象指标，可以反映出温度的长期
变化趋势，帮助研究气候变化趋势和季节性变化规律。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用1. 引言1.1 引言对数平均不等式是数学中的一个重要不等式，它在数学分析、金融工程、统计学等领域都有广泛的应用。
引入对数平均不等式的概念，可以帮助我们更好地理解数学中的不等式和关系。
对数平均不等式的引入可以追溯到19世纪初，由苏黎世数学家萨尔瓦多·卡梅尼奥提出。
卡梅尼奥定理是对数平均不等式的一个具体应用，它指出如果两个正数的几何平均等于它们的算术平均，那么这两个数相等。
这个定理在数学推导和证明过程中起着至关重要的作用。
通过对数平均不等式的研究，我们可以看到数学中的很多不等式和关系都具有一定的规律性和联系性。
不等式的引入和推导过程不仅展示了数学的严谨性和逻辑性，还有助于我们对数学中的各种问题有更深入的理解和应用。
在接下来的内容中，我们将分别介绍对数平均不等式的证明和应用，为读者提供更详细的信息和实例。
通过深入学习和探究对数平均不等式，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力和思维能力。
到此结束。
2. 正文2.1 对数平均不等式的证明对数平均不等式是一种经典的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论等领域。
在证明这一不等式时，我们首先需要引入自然对数的定义，即ln(x)表示以e为底的x的对数。
然后我们可以利用泰勒展开式和微积分知识进行推导，具体步骤如下：我们考虑函数ln(x)的泰勒展开式：ln(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - ... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n + ...将上述式子代入ln(x) + ln(y) - 2ln(sqrt(xy))，即可得到对数平均不等式的形式。
我们通过泰勒展开式和近似推导得到了对数平均不等式的形式，进而证明了其成立性。
在实际的应用中，对数平均不等式通常用于上界估计和概率计算，具有重要的理论价值和实际意义。
2.2 对数平均不等式的应用对数平均不等式是数学中常见的不等式之一，它有着广泛的应用。
对数平均数不等式”应用举隅
对数平均数不等式”应用举隅
1. 概述
对数平均数不等式，又称为费尔伯特不等式，是指一组正数a1，a2，…，an的对数
平均数大于或等于各自的对数。
它是由英国数学家阿尔弗雷德·费尔伯特于1910年提出的，是不等式中最基本的一个。
2. 原理
把a1，a2，…，an表示为如下形式：
a1=x1，a2=x2，…，an=xn
其中，x1，x2，…，xn均大于0。
则a1, a2, …, an的对数平均数定义为：
M=1/n＊（logx1+logx2+…+logxn）
费尔伯特不等式的数学表达式为：
M≥loga1
...
3. 应用
费尔伯特不等式的应用较广泛，在流体力学、热力学、扩散进化、电磁学以及许多工
程学科等，都有着重要的应用。
费尔伯特不等式是很多概念的重要前提，比如平均压缩系数、平均折射率和平均离散度等；在假设电场具有可压缩性的基础上，可以用费尔伯特不
等式来推导电场和势场的平均折射率和反射率；在声学模型中，费尔伯特不等式可以用来
推导入射声场的平均吸收系数；在热勤学中，费尔伯特不等式可以据贝尔的热平衡定律推
出各个瞬态流体组织的平均温度；在概率论中，费尔伯特不等式可以用来应对观测到先验
概率分布是类别均衡的情况；此外，费尔伯特不等式也用于统计决策理论和可靠性理论中。
4. 结论
从上述应用可以看出，费尔伯特不等式的应用是广泛的，并且在许多方面都有着重要
的意义。
它的应用范围很广，包括热力学和物理等多个领域，对不等式的概念进行了有效
地表达。
对数平均法
对数平均法
对数平均法是一种求取平均值的方法，通常用于处理比例或百分数数据。
对数平均法的基本思想是，将原始数据先取对数，然后再求平均数。
这样可以避免数据之间的倍数关系造成的影响，使数据更加稳定和可比性
更强。
对数平均法的具体步骤如下：
1. 将原始数据取对数，通常使用自然对数 ln(x) 或以10为底的对
数 log(x)，根据实际情况选择。
2.对取了对数的数据进行求和，并除以数据个数求出平均数。
3. 如果使用了 ln(x) 取对数，则平均数转换回原始数据需要使用指
数函数 e^x，如果使用了 log(x) 取对数，则需要用以10为底的指数函
数 10^x。
对数平均法的优点是可以消除数据之间的倍数关系造成的影响，使数
据更加稳定和可比性更强。
但是需要注意的是，对数平均法只适用于处理
比例或百分数数据，对于绝对量的数据则不适用。
同时，在使用对数平均
法时还要注意数据的取值范围，不能取值过小或过大，以免影响计算精度。
对数平均值计算公式
对数平均值计算公式《对数平均值计算公式》一、概念介绍对数平均数是数学计算中一种常用办法，属于数据的概率处理之一。
它在实际生活中遇到非线性因素的工程处理中重要价值。
对数平均数是把工程中出现的实际分布曲线由于分布范围极大，因此用对数值来解决。
二、计算形式对数平均数的计算公式为：$$ log\overline {a} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nloga_i $$其中，$log\overline {a}$为对数平均数，$ loga_i$为样本数据的对数，$n，$为样本数。
三、计算过程（一）确定计算样本数：首先，要确定正在进行计算的样本量，即计算的总的样本数量，这是本次计算的必备条件，其中$n$为样本数。
（二）确定样本数据：然后，根据样本数的确定，就可以确定计算的样本数据，即$loga_1,loga_2, ..., loga_n$，这是关键因素，也是进行计算所必需的条件。
（三）开始计算：最后，将计算所需要的样本数和样本数据输入计算，则可以开始计算，最终得出结论，即$log\overline {a}$为对数平均数。
四、应用实例对数平均数计算在可靠度寿命分析，统计把控，多变量控制，稳定性验证，噪声抑制，模糊控制，灰色系统，概率的作业优化等方面有广泛的应用。
比如说，在可靠度寿命方面，运用对数均值可以计算出经验累积寿命分布占有率与最终结果分布折算关系，从而对寿命预测有明确可行的手段；另外，在概率的作业优化方面，应用对数均值可以精确计算出样本数据的中点值，以期优化出较为正确的结果。
五、总结从上文分析可以总结出，对数平均数的计算是数学计算领域的一种重要的算法方法，它的计算公式为$log\overline {a} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nloga_i$，在实际计算过程中需要确定计算的正确样本数和样本数据，并得出最终结论即为对数平均数，它在实际生活中遇到多种非线性因素的处理方面有重要作用，如可靠度寿命分析，统计把控，多变量控制，稳定性验证，噪声抑制，模糊控制，灰色系统，概率的作业优化等，可以有效辅助进行正确处理。
对数平均不等式的相关性质
对数平均不等式的相关性质引言对数平均不等式（logarithmic mean ___）是数学中一个重要的不等式，常用于分析各种数学问题。
定义对数平均值（logarithmic mean）的定义如下：给定两个正实数$a$和$b$，对数平均值（LM）表示为：$$LM(a, b) = \frac{1}{\ln(b)-\ln(a)}\int_{a}^{b}\frac{1}{x}\ dx$$性质对数平均不等式具有以下性质：1. 凸性：对数平均函数是一个凸函数，即对于任意的正实数$a$、$b$以及$t \in [0, 1]$，有：凸性：对数平均函数是一个凸函数，即对于任意的正实数$a$、$b$以及$t \in [0, 1]$，有：凸性：对数平均函数是一个凸函数，即对于任意的正实数$a$、$b$以及$t \in [0, 1]$，有：$$LM(ta + (1-t)b) \leq t\cdot LM(a) + (1-t)\cdot LM(b)$$这个性质可以通过对对数平均函数求二阶导数并证明该函数为凸函数来得到。
2. 对称性：对数平均函数对称于$a$和$b$，即对于任意的正实数$a$和$b$，有：对称性：对数平均函数对称于$a$和$b$，即对于任意的正实数$a$和$b$，有：对称性：对数平均函数对称于$a$和$b$，即对于任意的正实数$a$和$b$，有：$$LM(a, b) = LM(b, a)$$这个性质可以通过对对数平均函数的积分进行换元并证明两个积分结果相等来得到。
3. 等式成立条件：当且仅当$a = b$时，对数平均等式取等号，即$LM(a, b) = a$。
这个性质可以从对数平均函数的定义中直接得到。
等式成立条件：当且仅当$a = b$时，对数平均等式取等号，即$LM(a, b) = a$。
这个性质可以从对数平均函数的定义中直接得到。
等式成立条件：当且仅当$a = b$时，对数平均等式取等号，即$LM(a, b) = a$。
对数平均法
对数平均法对数平均法是一种常用的统计学方法，用于求解一组数据的平均值。
它的主要思想是将数据转化为对数形式，然后再计算平均值。
这种方法在处理数据的相对变化时非常有用，可以有效地消除数据的偏差，得到更准确的结果。
对数平均法的应用非常广泛，特别适用于处理数据范围较大或者数据之间存在很大差异的情况。
在实际应用中，对数平均法常用于计算经济增长率、物种多样性指数、气象数据等方面。
在使用对数平均法计算平均值时，首先需要将数据转化为对数形式。
这可以通过取对数的方式实现。
然后，将转化后的数据相加，再除以数据的个数，即可得到对数平均值。
最后，再将对数平均值转化为原始数据的形式，即可得到最终的结果。
对数平均法的优点在于它可以消除数据之间的偏差，使得结果更加准确可靠。
同时，对数平均法还可以将数据的相对变化转化为绝对变化，从而更好地反映数据的变化趋势。
这种方法的一个重要应用是计算经济增长率。
经济增长率通常用于衡量一个国家或地区的经济发展水平。
使用对数平均法可以将经济增长率转化为绝对变化，更好地反映经济的实际变化情况。
除了经济增长率，对数平均法还可以应用于其他领域。
例如，在生态学中，物种多样性指数是衡量生物多样性水平的重要指标。
使用对数平均法可以将物种多样性指数转化为绝对变化，更好地反映生物多样性的实际变化情况。
在气象学中，对数平均法可以用于计算气温、降雨量等气象数据的平均值，从而更好地了解气候变化的趋势。
对数平均法是一种常用的统计学方法，用于求解一组数据的平均值。
它的主要思想是将数据转化为对数形式，然后再计算平均值。
这种方法在处理数据的相对变化时非常有用，可以消除数据的偏差，得到更准确的结果。
对数平均法在经济学、生态学、气象学等领域有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析数据的变化趋势。
对数均值不等式公式高中
对数均值不等式公式高中
几何算术平均值不等式公式，它是数学中的一个重要公式。
公式内容为
hn≤gn≤an≤qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法。
是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考又见对数平均数
在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。
2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。
加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。
对于a>b>0，我们把
b
a b
a ln ln --称作a 与
b 的对数平均数，并且有：
算术平均数>对数平均数>几何平均数，即：
2b a +>b
a b
a ln ln -->a
b 证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、B(b,0)、C(
2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线，与函数y=x
1
交于F 、G 、E 、H 四点，过E 作函数的切线，分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。
比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2，得S 1>S 2，其中：
S 1=⎰a
b dx x
1
=ln a-ln b ，
S 2=
2AN BM +•AB=CE •AB=b
a +2
•(a-b) ∴ ln a-ln b>b
a +2
•(a-b)
即：2b a +>b
a b a ln ln --……①
比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4，得S 3>S 4，其中：
S 3=21
(GB+HD)•BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=ab
b a 2- S 4=⎰ab
b dx x 1=ln ab -ln b=
2ln ln b a +-ln b=2
ln ln b
a - ∴
ab
b a 2->2ln ln b a -
即：
b
a b
a ln ln -->a
b ……②
综合①②，得：2b a +>b
a b
a ln ln -->a
b (a>b>0)
证明方法Ⅱ（函数证明）： 令f(x)=
2ln x +1
2
+x -1 (x>1)，则有： f`(x)=x 21
-2
)1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0，即：
2ln x +1
2
+x -1>0， 令x=b a ，代入整理得： 2ln ln b a ->b a b a +-
即：2b a +>b
a b a ln ln --……①
令g(x)=x-2•ln x-x
1
(x>1)，则有：
g`(x)=1-x 2+21x
=22
)1(x x ->0
∴ g(x)>g(1)=0，即x-2•ln x-x
1
>0， 令x=
b a ，代入整理得：ab
b
a ->ln a-ln b
即：
b
a b
a ln ln -->a
b ……②
综合①②，得：2b a +>b
a b
a ln ln -->a
b (a>b>0)
经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国Ⅰ卷第21题：
已知函数f(x)=x
1-x+a •ln x (1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若f(x)存在两个极值点x 1、x 2，求证：
2
121)
()(x x x f x f --<a-2
第一问略。
第二问，由题意可知，x 1、x 2分别为方程：x 2-ax+1=0的两个解，故有：x 1•x 2=1，且x 1+x 2=a>0。
f(x 1)-f(x 2)=(
11x -x 1+a •ln x 1)-(2
1
x -x 2+a •ln x 2) =
2
11
2x x x x -+x 2-x 1+a(ln x 1-ln x 2) (其中x 1x 2=1) =2(x 2-x 1)+a(ln x 1-ln x 2)
∴
2121)()(x x x f x f --=a •2
12
1ln ln x x x x ---2
要证明题目要求的不等式，其实就是证明2
12
1ln ln x x x x --<1。
根据
b
a b
a ln ln -->a
b ，令a 、b 分别等于x 1、x 2，则ab=x 1x 2=1，即：
2
12
1ln ln x x x x -->1。
可以看到，本题其实就是对数不等式的倒数写法。
经典例题：下面是一道在各地区调考、模拟考中的经常出现的一
个题型（当然实际题目会略加变化）。
因其构思精巧，计算复杂，这一题常常被用作压轴题最后一问。
让我们一起来体会一下。
x1、x2是函数y=x
e -ax+a 的两个零点，求证x 1x 2<x 1+x 2 。
依题意有：⎩⎨⎧-=-=)
1()1(2121x a e x a e x x ，两式相除得：21x x e -=11
21--x x ，
两边取对数得：x 1-x 2=ln(x 1-1)-ln(x 2-1)， ∴
)
1ln()1ln()
1()1(2121------x x x x =1
根据对数不等式有：
)
1ln()1ln()
1()1(2121------x x x x >)1)(1(21--x x
即：1>)1)(1(21--x x ，整理得：x 1x 2<x 1+x 2 证毕。
从上述例子中我们可以体会到对数平均数不等式的巧妙应用。
在各地区历年高考压轴题中，这样的例子有很多。
对数不等式对基本不等式进行了很好的补充，在指数函数、对数函数的计算中有着广泛的应用。