对数平均数

高考又见对数平均数

在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。

对于a>b>0，我们把

b

a b

a ln ln --称作a 与

b 的对数平均数，并且有：

算术平均数>对数平均数>几何平均数，即：

2b a +>b

a b

a ln ln -->a

b 证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、B(b,0)、C(

2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线，与函数y=x

1

交于F 、G 、E 、H 四点，过E 作函数的切线，分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。

比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2，得S 1>S 2，其中：

S 1=⎰a

b dx x

1

=ln a-ln b ，

S 2=

2AN BM +•AB=CE •AB=b

a +2

•(a-b) ∴ ln a-ln b>b

a +2

•(a-b)

即：2b a +>b

a b a ln ln --……①

比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4，得S 3>S 4，其中：

S 3=21

(GB+HD)•BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=ab

b a 2- S 4=⎰ab

b dx x 1=ln ab -ln b=

2ln ln b a +-ln b=2

ln ln b

a - ∴

ab

b a 2->2ln ln b a -

即：

b

a b

a ln ln -->a

b ……②

综合①②，得：2b a +>b

a b

a ln ln -->a

b (a>b>0)

证明方法Ⅱ（函数证明）： 令f(x)=

2ln x +1

2

+x -1 (x>1)，则有： f`(x)=x 21

-2

)1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0，即：

2ln x +1

2

+x -1>0， 令x=b a ，代入整理得： 2ln ln b a ->b a b a +-

即：2b a +>b

a b a ln ln --……①

令g(x)=x-2•ln x-x

1

(x>1)，则有：

g`(x)=1-x 2+21x

=22

)1(x x ->0

∴ g(x)>g(1)=0，即x-2•ln x-x

1

>0， 令x=

b a ，代入整理得：ab

b

a ->ln a-ln b

即：

b

a b

a ln ln -->a

b ……②

综合①②，得：2b a +>b

a b

a ln ln -->a

b (a>b>0)

经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国Ⅰ卷第21题：

已知函数f(x)=x

1-x+a •ln x (1) 讨论f(x)的单调性；

(2) 若f(x)存在两个极值点x 1、x 2，求证：

2

121)

()(x x x f x f --

第一问略。第二问，由题意可知，x 1、x 2分别为方程：x 2-ax+1=0的两个解，故有：x 1•x 2=1，且x 1+x 2=a>0。

f(x 1)-f(x 2)=(

11x -x 1+a •ln x 1)-(2

1

x -x 2+a •ln x 2) =

2

11

2x x x x -+x 2-x 1+a(ln x 1-ln x 2) (其中x 1x 2=1) =2(x 2-x 1)+a(ln x 1-ln x 2)

∴

2121)()(x x x f x f --=a •2

12

1ln ln x x x x ---2

要证明题目要求的不等式，其实就是证明2

12

1ln ln x x x x --<1。

根据

b

a b

a ln ln -->a

b ，令a 、b 分别等于x 1、x 2，则ab=x 1x 2=1，即：

2

12

1ln ln x x x x -->1。可以看到，本题其实就是对数不等式的倒数写法。

经典例题：下面是一道在各地区调考、模拟考中的经常出现的一

个题型（当然实际题目会略加变化）。因其构思精巧，计算复杂，这一题常常被用作压轴题最后一问。让我们一起来体会一下。

x1、x2是函数y=x

e -ax+a 的两个零点，求证x 1x 2

依题意有：⎩⎨⎧-=-=)

1()1(2121x a e x a e x x ，两式相除得：21x x e -=11

21--x x ，

两边取对数得：x 1-x 2=ln(x 1-1)-ln(x 2-1)， ∴

)

1ln()1ln()

1()1(2121------x x x x =1

根据对数不等式有：

)

1ln()1ln()

1()1(2121------x x x x >)1)(1(21--x x

即：1>)1)(1(21--x x ，整理得：x 1x 2

从上述例子中我们可以体会到对数平均数不等式的巧妙应用。在各地区历年高考压轴题中，这样的例子有很多。对数不等式对基本不等式进行了很好的补充，在指数函数、对数函数的计算中有着广泛的应用。