江苏省南京市2015-2016学年度高二第一学期期末调研数学(理)试题
2016-2017学年度高二第一学期期末调研试卷答案数学
南京市2016－2017学年度第一学期期末调研试卷 高二数学〔理科〕注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部分．本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“假设a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ▲ ．2．双曲线x 2－＝1的渐近线方程是 ▲ ．3．已知复数为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值 是 ▲ ．5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ▲ ．6．已知实数x ，y 满足条件则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF ＝5，则点P 的横坐标是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则r 的取值范围是 ▲ ．9．观察以下等式(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；……依此规律，当n ∈N *时，(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝ ▲ ．10．假设“ x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．假设在x ＝－3处函数f (x )有极大值，则函数f (x )的极小值是 ▲ ．12．有以下命题：①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件；③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是 ▲ ．13．已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为 (－2c ，0)．假设椭圆E 上存在点P ，使得PM ＝PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知t ＞0，函数f (x )＝假设函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)， C (2，－4)．(1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程．16．(此题总分值14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n －3)a n ＋1－a n ＋4＝0(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明.17．(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线y ＝－2x 上，且圆M 与直线 x ＋y －1＝0相切于点P (2，－1)．(1)求圆M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为，求直线l 的方程．18．(此题总分值16分)某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC )构成的六边形ABCDEF 区域，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设 ∠AOF ＝θ，其中O 为圆心．(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f (θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．19．(此题总分值16分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，两个顶点分别为A (－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3＝，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，其中点C 在x 轴上方．(1)求椭圆E 的方程；(2)假设BC ⊥CD ，求k 的值；(3)记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：为定值．AB C F D E 〔第18题图〕 O θ20．〔此题总分值16分〕已知函数f(x)＝ax－ln x(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)假设存在x∈[1，3]，使得＋ln x＝2成立，求a的取值范围;(3)假设对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，求a的取值范围.南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学〔理科〕参考答案及评分标准2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1．假设|a |≠|b|，则a≠b 2．y＝±2x3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12．②④13．[，] 14．(3，4)二、解答题〔本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值14分〕解：〔1〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为〔6，0〕，………………2分所以AD的斜率为k＝＝8，……………… 5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．……………… 7分〔2〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝＝1，…… 9分所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，………………… 12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－1(x－7)，即x＋y－15＝0．………………………… 14分16．〔此题总分值14分〕解：〔1〕令n＝1，－2a2＋3＝0，a2＝，………………1分令n＝2，－a3－＋4＝0，a3＝，………………2分令n＝3，－a4－＋4＝0，a4＝．………………3分〔2〕猜想a n＝(n∈N*)．………………5分证明：当n＝1时，a1＝1＝，所以a n＝成立，……………… 6分假设当n＝k时，a n＝成立，即a k＝，………………8分则(a k－3)a k＋1－a k＋4＝0，即(－3)a k＋1－＋4＝0，所以a k＋1＝，即a k＋1＝＝，所以当n＝k＋1时，结论a n＝成立. ………………12分综上，对任意的n∈N*，a n＝成立. ………………14分17．〔此题总分值14分〕解：〔1〕过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由解得所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分所以圆M的半径为r＝＝，………………6分所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分〔2〕因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d＝＝，……………9分假设直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．假设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，由d＝＝，………………11分整理得k2＋8k＋7＝0，解得k＝－1或－7，………………13分所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．〔此题总分值16分〕解：〔1〕作AH⊥CF于H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分则六边形的面积为f (θ)＝2×(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，)．………………6分〔2〕f ′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，)，所以cosθ＝，即θ＝，……………………12分当θ∈(0，)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，)上单调递增；当θ∈(，)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(，)上单调递减，…………14分所以当θ＝时，f (θ)取最大值f ()＝2(cos＋1)sin＝．…………15分答：当θ＝时，可使得六边形区域面积到达最大，最大面积为平方百米．…………………………16分19．〔此题总分值16分〕解：〔1〕因为3＝，所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1．………………4分〔2〕方法1设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,则＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．因为BC⊥CD，所以(－1－x0)( 2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为＋y02＝1，②联立①②，解得x0＝－，y0＝，………………8分所以k＝＝2．………………10分方法2因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，所以BC的方程为y＝－(x－2)，………………6分联立方程组，可得点C的坐标为(，)，………………8分代入椭圆方程，得＋()2＝1，解得k＝±2．又因为点C在x轴上方，所以＞0，所以k＞0，所以k＝2 ………………10分〔3〕方法1因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．…………………12分所以＝＝＝＝…………………14分＝＝＝3，所以为定值．………………………16分方法2因为直线AD的方程为y＝k1(x＋2)，由解得D(，)，………………………12分因为直线BC的方程为y＝k2(x－2)，由解得C(，)，由于C，M，D三点共线，故，共线，又＝(＋1，)＝(，)，＝(＋1，)＝(，)，所以·＝·，……………14分化简得12k22k1－k1＝4k12k2－3k2，即(4k1k2＋1)(k1－3k2)＝0，假设4k1k2＋1＝0，则k2＝－代入C(，)，化简得C(，)，此时C与D重合，于是4k1k2＋1≠0，从而k1－3k2＝0，所以＝3，即为定值．………………………16分方法3设C(x0,y0)，则CD：y＝(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，由消去y，得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0. ………………12分又因为＋y02＝1，所以得D(，)，………………14分所以＝·＝·＝3，所以为定值．……………………16分方法4设D(x0，y0)，y0≠0，则k1k BD＝·＝＝＝－．…………………12分因为CD的方程为y＝k(x＋1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以k2k BD＝×＝＝＝＝＝－．…………………14分又因为k1k BD＝－，所以＝3，即为定值．………………………16分20．〔此题总分值16分〕解：〔1〕a＝1时，f(x)＝x－ln x , 则f '(x)＝1－＝，令f '(x)＝0，则x＝1．……………………2分当0＜x＜1时，f '(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时，f '(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，………………3分所以当x＝1时，f (x)取到最小值，最小值为1．…………………4分〔2〕因为＋ln x＝2(x＞0)，所以ax－ln x＝(2－ln x)x2，即a＝2x－x ln x＋，…………………6分设g(x)＝2x－x ln x＋，x∈[1，3]，则g '(x)＝2－(1＋ln x)＋＝(1－ln x)(1＋)，令g '(x)＝0，解得x＝e，当1＜x＜e时，g '(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上单调递增；当e＜x＜3时，g '(x)＜0，所以g(x)在(e，3)上单调递减，………………8分因为g(1)＝2，g(e)＝e＋，g(3)＝6－ln3，因为6－ln3＞2，所以函数g (x)的值域是[2，e＋]，所以a的取值范围是[2，e＋]．………………10分〔3〕对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，则ax－ln x≥＋ln x，即a(x－)－2ln x≥0．令h(x)＝a(x－)－2ln x，则h'(x)＝a(1＋)－＝，①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－)2＋≥0，所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，所以a≥1满足条件．………………12分②当0＜a＜1时，有＞1，假设x∈[1，]，则ax2－2x＋a＜0，此时h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，]上单调递减，所以h()＜h(1)＝0，即存在x＝＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
【数学】2015-2016年高二上数学期末试卷与答案
南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
2016年江苏省南京市高二理科上学期苏教版数学期末测试试卷
2016年江苏省南京市高二理科上学期苏教版数学期末测试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 命题“若，则”的逆否命题是．2. 双曲线的渐近线方程是．3. 已知复数为纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值是．4. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为，则实数的值是．5. 曲线与直线相切，则实数的值是．6. 已知实数，满足条件则的最大值是．7. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，且，则点的横坐标是．8. 在平面直角坐标系中，圆：与圆：相交，则的取值范围是．9. 观察下列等式：；；；；照此规律，．10. 若“，”是真命题，则实数的取值范围是．11. 已知函数（其中，为自然对数的底数）．若在处函数有极大值，则函数的极小值是．12. 有下列命题：①“”是“方程表示椭圆”的充要条件；②“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件；③“函数单调递增”是“”的充要条件；④已知，是两个不等价命题，则“或是真命题”是“且是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13. 已知椭圆的焦距为，左焦点为，点的坐标为．若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是．14. 已知，函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是．二、解答题（共6小题；共78分）15. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标为，，．（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程．16. 已知数列满足，．（1）求，，；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．17. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点．（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．18. 某休闲广场中央有一个半径为（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形和梯形）构成的六边形区域，其中，，，，，都在圆周上，为圆的直径（如图）．设，其中为圆心．（1）把六边形的面积表示成关于的函数；（2）当为何值时，可使得六边形区域面积达到最大?并求最大面积．19. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，两个顶点分别为，，点，且，过点斜率为的直线交椭圆于，两点，其中点在轴上方．（1）求椭圆的方程；（2）若，求的值；（3）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．20. 已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若存在，使成立，求的取值范围；（3）若对任意的，有成立，求的取值范围．答案第一部分1. 若，则2.【解析】因为双曲线标准方程为，其渐近线方程是，整理得．3.4.5.6.7.8.9.10.11.12. ②④13.14.第二部分15. （1）由，，得中点的坐标为，所以的斜率为，所以边上的中线所在直线的方程为，即．（2）由，，得所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即．16. （1）令，，，令，，，令，，．（2）猜想．下面用数学归纳法进行证明．当时，，所以成立，假设当时，成立，由，得，所以，即，所以当时，成立．综上，对任意的，成立．17. （1）过点且与直线垂直的直线方程为，由解得所以圆心的坐标为，所以圆的半径为，所以圆的方程为．（2）因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，若直线的斜率不存在，则为，此时，圆心到的距离为，不符合题意，若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由，整理得，解得或，所以直线的方程为或．18. （1）作于，如图，则，，，则六边形的面积为，．（2）令，因为，所以，即，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以当时，取最大值．答：当时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．19. （1）因为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）设点的坐标为，，则，，因为，所以又因为联立，解得，，所以．（3）设，则（且），由消去，得，又因为，所以得，所以，所以为定值．20. （1）的导数为，当时，，递增；当时，，递减．即有在处取得极小值，也为最小值，且为．（2）存在，使成立，即为，即有，设，，则，当时，，递增；当时，，递减．则在处取得极大值，且为最大值；，，则的取值范围是．（3）若对任意的，有成立，即为，即有，，令，，，当时，原不等式显然成立；当时，由题意可得在恒成立，即有，即，由，则．综上可得的取值范围是．。
2016-2017学年度高二第一学期期末调研试卷答案数学
南京市2016－2017学年度第一学期期末调研试卷 高二数学〔理科〕注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部分．本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“假设a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ▲ ．2．双曲线x 2－＝1的渐近线方程是 ▲ ．3．已知复数为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值 是 ▲ ．5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ▲ ．6．已知实数x ，y 满足条件则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF ＝5，则点P 的横坐标是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则r 的取值范围是 ▲ ．9．观察以下等式(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；……依此规律，当n ∈N *时，(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝ ▲ ．10．假设“ x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．假设在x ＝－3处函数f (x )有极大值，则函数f (x )的极小值是 ▲ ．12．有以下命题：①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件；③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是 ▲ ．13．已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为 (－2c ，0)．假设椭圆E 上存在点P ，使得PM ＝PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知t ＞0，函数f (x )＝假设函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)， C (2，－4)．(1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程．16．(此题总分值14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n －3)a n ＋1－a n ＋4＝0(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明.17．(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线y ＝－2x 上，且圆M 与直线 x ＋y －1＝0相切于点P (2，－1)．(1)求圆M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为，求直线l 的方程．18．(此题总分值16分)某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC )构成的六边形ABCDEF 区域，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设 ∠AOF ＝θ，其中O 为圆心．(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f (θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．19．(此题总分值16分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，两个顶点分别为A (－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3＝，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，其中点C 在x 轴上方．(1)求椭圆E 的方程；(2)假设BC ⊥CD ，求k 的值；(3)记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：为定值．AB C F D E 〔第18题图〕 O θ20．〔此题总分值16分〕已知函数f(x)＝ax－ln x(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)假设存在x∈[1，3]，使得＋ln x＝2成立，求a的取值范围;(3)假设对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，求a的取值范围.南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学〔理科〕参考答案及评分标准2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1．假设|a |≠|b|，则a≠b 2．y＝±2x3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12．②④13．[，] 14．(3，4)二、解答题〔本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值14分〕解：〔1〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为〔6，0〕，………………2分所以AD的斜率为k＝＝8，……………… 5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．……………… 7分〔2〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝＝1，…… 9分所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，………………… 12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－1(x－7)，即x＋y－15＝0．………………………… 14分16．〔此题总分值14分〕解：〔1〕令n＝1，－2a2＋3＝0，a2＝，………………1分令n＝2，－a3－＋4＝0，a3＝，………………2分令n＝3，－a4－＋4＝0，a4＝．………………3分〔2〕猜想a n＝(n∈N*)．………………5分证明：当n＝1时，a1＝1＝，所以a n＝成立，……………… 6分假设当n＝k时，a n＝成立，即a k＝，………………8分则(a k－3)a k＋1－a k＋4＝0，即(－3)a k＋1－＋4＝0，所以a k＋1＝，即a k＋1＝＝，所以当n＝k＋1时，结论a n＝成立. ………………12分综上，对任意的n∈N*，a n＝成立. ………………14分17．〔此题总分值14分〕解：〔1〕过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由解得所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分所以圆M的半径为r＝＝，………………6分所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分〔2〕因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d＝＝，……………9分假设直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．假设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，由d＝＝，………………11分整理得k2＋8k＋7＝0，解得k＝－1或－7，………………13分所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．〔此题总分值16分〕解：〔1〕作AH⊥CF于H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分则六边形的面积为f (θ)＝2×(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，)．………………6分〔2〕f ′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，)，所以cosθ＝，即θ＝，……………………12分当θ∈(0，)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，)上单调递增；当θ∈(，)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(，)上单调递减，…………14分所以当θ＝时，f (θ)取最大值f ()＝2(cos＋1)sin＝．…………15分答：当θ＝时，可使得六边形区域面积到达最大，最大面积为平方百米．…………………………16分19．〔此题总分值16分〕解：〔1〕因为3＝，所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1．………………4分〔2〕方法1设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,则＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．因为BC⊥CD，所以(－1－x0)( 2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为＋y02＝1，②联立①②，解得x0＝－，y0＝，………………8分所以k＝＝2．………………10分方法2因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，所以BC的方程为y＝－(x－2)，………………6分联立方程组，可得点C的坐标为(，)，………………8分代入椭圆方程，得＋()2＝1，解得k＝±2．又因为点C在x轴上方，所以＞0，所以k＞0，所以k＝2 ………………10分〔3〕方法1因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．…………………12分所以＝＝＝＝…………………14分＝＝＝3，所以为定值．………………………16分方法2因为直线AD的方程为y＝k1(x＋2)，由解得D(，)，………………………12分因为直线BC的方程为y＝k2(x－2)，由解得C(，)，由于C，M，D三点共线，故，共线，又＝(＋1，)＝(，)，＝(＋1，)＝(，)，所以·＝·，……………14分化简得12k22k1－k1＝4k12k2－3k2，即(4k1k2＋1)(k1－3k2)＝0，假设4k1k2＋1＝0，则k2＝－代入C(，)，化简得C(，)，此时C与D重合，于是4k1k2＋1≠0，从而k1－3k2＝0，所以＝3，即为定值．………………………16分方法3设C(x0,y0)，则CD：y＝(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，由消去y，得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0. ………………12分又因为＋y02＝1，所以得D(，)，………………14分所以＝·＝·＝3，所以为定值．……………………16分方法4设D(x0，y0)，y0≠0，则k1k BD＝·＝＝＝－．…………………12分因为CD的方程为y＝k(x＋1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以k2k BD＝×＝＝＝＝＝－．…………………14分又因为k1k BD＝－，所以＝3，即为定值．………………………16分20．〔此题总分值16分〕解：〔1〕a＝1时，f(x)＝x－ln x , 则f '(x)＝1－＝，令f '(x)＝0，则x＝1．……………………2分当0＜x＜1时，f '(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时，f '(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，………………3分所以当x＝1时，f (x)取到最小值，最小值为1．…………………4分〔2〕因为＋ln x＝2(x＞0)，所以ax－ln x＝(2－ln x)x2，即a＝2x－x ln x＋，…………………6分设g(x)＝2x－x ln x＋，x∈[1，3]，则g '(x)＝2－(1＋ln x)＋＝(1－ln x)(1＋)，令g '(x)＝0，解得x＝e，当1＜x＜e时，g '(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上单调递增；当e＜x＜3时，g '(x)＜0，所以g(x)在(e，3)上单调递减，………………8分因为g(1)＝2，g(e)＝e＋，g(3)＝6－ln3，因为6－ln3＞2，所以函数g (x)的值域是[2，e＋]，所以a的取值范围是[2，e＋]．………………10分〔3〕对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，则ax－ln x≥＋ln x，即a(x－)－2ln x≥0．令h(x)＝a(x－)－2ln x，则h'(x)＝a(1＋)－＝，①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－)2＋≥0，所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，所以a≥1满足条件．………………12分②当0＜a＜1时，有＞1，假设x∈[1，]，则ax2－2x＋a＜0，此时h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，]上单调递减，所以h()＜h(1)＝0，即存在x＝＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。
2015-2016年江苏省南京一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
2015-2016学年江苏省南京一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）过点（0，1），且与直线2x+y﹣3=0平行的直线方程是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x＞1”的否定是．3．（5分）已知直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a=．4．（5分）已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一焦点距离为．5．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值为．6．（5分）下列命题中，真命题是．A．∃x0∈R，e x0≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件．7．（5分）直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，则线段AB的长度为．8．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0与圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0的公切线有条．9．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是．10．（5分）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标是．11．（5分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则m的值等于．13．（5分）设f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，命题p：f（x）在[0，2]上单调递减，命题q：f（1﹣m）≥f（m）．若“¬p或q”为假，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．16．（14分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离d的最大值，并求当d最大时直线l的方程．17．（14分）已知圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．（1）求圆C的方程；（2）求过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程；（3）求过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程．18．（16分）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O 正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．19．（16分）已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E：上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为﹣．（1）求椭圆的离心率；（2）过椭圆E的右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A、B两点，O为坐标原点，C为椭圆上一点，满足，求λ的值．20．（16分）一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省南京一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）过点（0，1），且与直线2x+y﹣3=0平行的直线方程是2x+y﹣1=0．【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点（0，1）代入可得，c=﹣1，故所求的直线方程为2x+y﹣1=0，故答案为2x+y﹣1=0．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x＞1”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2﹣x＞1“的否定是：∀x∈R，x2﹣x≤1．给答案为：∀x∈R，x2﹣x≤1．3．（5分）已知直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a=2．【解答】解：∵直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，∴﹣=﹣1，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一焦点距离为6．【解答】解：由椭圆+=1，得a=5，则2a=10，∵点P到椭圆一焦点的距离为4，∴由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣4=10﹣4=6．故答案为：6．5．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值为2．【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，由可得顶点A（0，1），令z=x+2y，平移直线z=x+2y，直线z=x+2y过点A（0，1）时，z取得最大值为2；故答案为：2．6．（5分）下列命题中，真命题是D．A．∃x0∈R，e x0≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件．【解答】解：A．由∀x∈R，可得e x＞0．因此∃x0∈R，e x0≤0 是假命题．B．∀x∈R，2x＞x2，是假命题，例如取x=2，4时，2x=x2．C．=﹣1⇒a+b=0，反之不成立，例如取b=0时，因此a+b=0是=﹣1的必要不充分条件，是假命题．D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=4，b=．∴a＞1，b＞1是ab ＞1的充分条件．是真命题．故答案为：D．7．（5分）直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，则线段AB的长度为．【解答】解：因为直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，圆的圆心（0，0），半径为1，所以==，则线段AB的长度为．故答案为：．8．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0与圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0的公切线有2条．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0，转化为：（x﹣1）2+（y+2）2=1，所以圆C1是以（1，﹣2）为圆心1为半径的圆．圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0，转化为：（x+3）2+（y﹣1）2=25，所以圆C2是以（﹣3，1）为圆心5为半径的圆．故圆心距为d=，故：4＜d＜6，所以两圆相交．故两元的公切线有2条．故答案为：29．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是﹣7＜a＜24．【解答】解：因为点（﹣3，﹣1）和点（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，所以，（﹣3×3+2×1﹣a）[3×4+2×6﹣a]＜0，即：（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24故答案为：﹣7＜a＜24．10．（5分）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标是1．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于2，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为1．故答案为：111．（5分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则m的值等于±．【解答】解：抛物线x2=4y的准线为y=﹣1，圆的圆心O（﹣，0），半径r=，∵圆与抛物线x2=4y的准线相切，∴圆心O（﹣，0）到准线为y=﹣1的距离d=r，∴，解得m=，故答案为：．13．（5分）设f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，命题p：f（x）在[0，2]上单调递减，命题q：f（1﹣m）≥f（m）．若“¬p或q”为假，则实数m的取值范围是．【解答】解：“¬p或q”为假，则命题p为真命题，命题q为假命题故f（x）在[0，2]上单调递减，又∵f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，∴f（x）在[﹣2，0]上单调递增若f（1﹣m）≥f（m）为假命题则解得﹣1≤m＜故答案为[﹣1，）14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为．【解答】解：直线A1B2的方程为y=+b，直线B1F的方程为y=x﹣b，联立方程组，解得T（，）．∵，∴M（，），把M代入椭圆方程得：+=a2b2，即4c2+（a+c）2=9（a﹣c）2，化简得：2a2+c2﹣5ac=0，∴e2﹣5e+2=0，解得e=或e=（舍去）．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；则△=a2﹣4≥0，解得a ≥2或a≤﹣2．命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，∴≤2，解得a ≥﹣2．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则命题p与q必然一真一假，∴，或，解得a＜﹣2，或﹣2＜a＜2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．16．（14分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离d的最大值，并求当d最大时直线l的方程．【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴，解得：．故直线的方程为：x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2））由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|，（当l⊥PA时等号成立）．∴d max=|PA|=．①当直线l为x=2时，直线的方程为y=0．②当直线l为4x﹣3y﹣5=0时，直线的方程为y=﹣，整理得：3x+4y﹣5=0．故直线的方程为：y=0或3x+4y﹣5=0．17．（14分）已知圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．（1）求圆C的方程；（2）求过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程；（3）求过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程．【解答】解：（1）因为圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．所以圆的半径为1，所以所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=1；（2）①切线的斜率存在时，设过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程为y﹣2=k （x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，则：，解得：k=所求的直线方程为：4x﹣3y﹣6=0．②当直线的斜率不存在时，x=3也是圆的切线，所以所求直线方程为：4x﹣3y﹣6=0或x=3．（3）过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程，则：圆心的在直线x=2上，设圆心的坐标为：（2，a），由于，解得：a=2．故圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．18．（16分）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O 正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．【解答】解：（1）分别以l2、l1为x轴，y轴建立如图坐标系．据题意得M（0，3），N（4，5），∴，MN中点为（2，4），∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣4=﹣2（x﹣2）），故圆心A的坐标为（4，0），半径，（5分）∴弧的方程为：（x﹣4）2+y2=25（0≤x≤4，5≥y≥3）．（8分）（2）设校址选在B（a，0）（a＞4），则，对0≤x≤4恒成立．即，对0≤x≤4恒成立．整理得：（8﹣2a）x+a2﹣17≥0，对0≤x≤4恒成立（﹡）．（10分）令f（x）=（8﹣2a）x+a2﹣17．∵a＞4，∴8﹣2a＜0，∴f（x）在[0，4]上为减函数，（12分）∴要使（﹡）恒成立，当且仅当，即，解得a≥5，（14分）即校址选在距O最近5km的地方．（16分）19．（16分）已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E：上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为﹣．（1）求椭圆的离心率；（2）过椭圆E的右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A、B两点，O为坐标原点，C为椭圆上一点，满足，求λ的值．【解答】解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠a）是椭圆E：上一点，∴，∵M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率的乘积等于﹣，∴，∴a2=5b2，c2=4b2，得e==；（2）联立方程组，得6x2+10cx+15b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，再设C（x3，y3），由，得x3=λx1+x2，y3=λy1+y2，由于C为椭圆上的点，即，则（λx1+x2）2+5（λy1+y2）2=5b2，整理得：=5b2 ①，由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，即，，又x1x2+5y1y2=x1x2+5（x1+c）（x2+c）=6x1x2+5c（x1+x2）+5c2=6•+5c（﹣）+5c2==，代入①得，即，解得：λ=0，或λ=﹣．20．（16分）一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设F1关于l的对称点为F（m，n），则且，解得，，即．由，解得．（2）因为PF1=PF，根据椭圆定义，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=，所以a=．又c=1，所以b=1．所以椭圆C的方程为．（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即•，将代入并整理得（*）．由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以，解之得或．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是______ ．【答案】若|a|≠|b|，则a≠b【解析】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．2.双曲线=1的渐近线方程是______ ．【答案】y=±2x【解析】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．3.已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是______ ．【答案】2【解析】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.在平面直角坐标系x O y中，点（4，3）到直线3x-4y+a=0的距离为1，则实数a的值是______ ．【答案】±5【解析】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．直接利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数a的值．本题考查求实数a的值，正确运用点到直线的距离公式是关键．5.曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是______ ．【答案】-3【解析】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n-4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n-4=-3；故答案为：-3．设直线与曲线的切点为P（m，n），点P分别满足直线方程与曲线方程，同时y'（m）=4即可求出b值本题主要考察了点满足曲线，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属中等题．6.已知实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是______ ．【答案】9【解析】解：实数x，y满足条件，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，则当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7.在平面直角坐标系x O y中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是______ ．【答案】4【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：4由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=5，则P到准线的距离也为5，即x+1=5，将p的值代入，进而求出x．活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．8.在平面直角坐标系x O y中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x-3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是______ ．【答案】3＜r＜7【解析】解：由题意，圆心距为5，∴|r-2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．由题意，圆心距为5，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x-3）2+（y+4）2=4相交，可得|r-2|＜5＜r+2，即可求出r的取值范围．本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．9.观察下列等式：（sin）-2+（sin）-2=×1×2；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+sin（）-2=×2×3；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×3×4；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×4×5；…照此规律，（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2= ______ ．【答案】n（n+1）【解析】解：观察下列等式：（sin）-2+（sin）-2=×1×2；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+sin（）-2=×2×3；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×3×4；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×4×5；…照此规律（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2=×n（n+1），故答案为：n（n+1）由题意可以直接得到答案．本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．10.若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，0]∪[4，+∞）【解析】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2-4a≥0，解得：a∈（-∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（-∞，0]∪[4，+∞）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2-4a≥0，解得实数a的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了方程根的存在性与个数判断，特称命题，难度基础．11.已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=-3处函数f（x）有极大值，则函数f（x）的极小值是______ ．【答案】-1【解析】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f （x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=-3处函数f（x）有极大值，则f （-3）=0，解得：m=-1，故f（x）=（x2+x-1）e x，f （x）=（x2+3x）e x，令f （x）＞0，解得：x＞0，令f （x）＜0，解得：x＜-3，故f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）极小值=f（0）=-1，故答案为：-1．求出函数f（x）的导数，根据f （-3）=0，求出m的值，从而求出函数f（x）的单调区间，求出函数的极小值即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．12.有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y-1=0与直线l2：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f（x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是______ ．【答案】②④【解析】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f（x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题，故正确；故答案为：②④①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆；②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行；③，若函数f（x）=x3+mx单调递增⇒m≥0；④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题；本题考查了命题的真假，属于基础题．13.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（-2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是______ ．【答案】[，]【解析】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b＞0）由公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[，]设P（x，y），由PM=PF⇒x2+y2=2c2．只需x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b＞0）由公共点，即b≤≤a，可求离心率的取值范围．本题考查了椭圆的离心率，关键是要结合图形，属于中档题．14.已知t＞0，函数f（x）=，，＞，若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是______ ．【答案】（3，4）【解析】解：∵函数f（x）=，，＞，∴函数f （x）=，，＞，当x＜，或x＜t时，f （x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f （x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故＜＜＜＜，=（t-3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）-1=0和f（x）-1=t 各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.在平面直角坐标系x O y中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C （2，-4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【答案】解：（1）由B（10，4），C（2，-4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y-0=8（x-6），即8x-y-48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，-4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为-1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y-8=-1（x-7），即x+y-15=0．…（14分）【解析】（1）求出BC中点D的坐标，AD的斜率，即可求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求出BC边上的高所在直线的斜率为，即可求BC边上的高所在直线的方程．本题考查直线方程，考查学生的计算能力，正确求出直线的斜率是关键．16.已知数列{a n}满足a1=1，（a n-3）a n+1-a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】解：（1）令n=1，-2a2+3=0，a2=，令n=2，-a3-+4=0，a3=，令n=3，-a4-+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k-3）a k+1-a k+4=0，即（-3）a k+1-+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．【解析】（1）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（2）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立本题考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式，属于中档题．17.在平面直角坐标系x O y中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+y-1=0相切于点P（2，-1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】解：（1）过点（2，-1）且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，-2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x-1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=-1或-7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）【解析】（1）求求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【答案】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f（θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f （θ）=2[-sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ-1）=2（2cosθ-1）（cosθ+1）．…（10分）令f （θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f （θ）＞0，所以f（θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f （θ）＜0，所以f（θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f（θ）取最大值f（）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）【解析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f（θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=时，f（θ）取最大值．本题考查的知识点是三角函数的实际应用，利用导数研究函数的最大值，难度中档．19.在平面直角坐标系x O y中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（-a，0），B（a，0），点M（-1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【答案】解：（1）因为3=，所以3（-1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2-c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（-1-x0，-y0），=（2-x0，-y0）．因为BC⊥CD，所以（-1-x0）（2-x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=-，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（-2＜x0＜2且x0≠-1），由消去y，得x2+8y02x+4y02-4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）【解析】（1）由3=，得a即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，由BC⊥CD，得（-1-x0）（2-x0）+y02=0．解得x0=-，y0=，即可．（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（-2＜x0＜2且x0≠-1），由消去y，得x2+8y02x+4y02-4（x0+1）2=0，得D（，），可求本题考查了直线椭圆的位置关系，对计算能力的要求较高，设而不求、方程的思想贯穿整个解题过程，属于中档题．20.已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）f（x）=x-lnx（x＞0）的导数为f （x）=1-=，当x＞1时，f （x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f （x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2-lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g （x）=（1-lnx）（1+），当1＜x＜e时，g （x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g （x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2-ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax-lnx≥-ln，即有a（x-）≥2lnx，x≥1，高中数学试卷第11页，共12页令F（x）=a（x-）-2lnx，x≥1，F （x）=a（1+）-，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F （x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）-≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．【解析】（1）求得f（x）的导数，求得单调区间，可得f（x）的极小值，也为最小值；（2）由题意可得a=，设g（x）=，x∈[1，3]，求出导数和单调区间，极值和最值，即可得到所求a的范围；（3）由题意可得ax-lnx≥-ln，即有a（x-）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x-）-2lnx，x≥1，求出导数，讨论x=1，x＞1时，F（x）递增，运用分离参数和基本不等式，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查构造函数法和分类讨论思想方法的运用，考查运算能力，属于难题．高中数学试卷第12页，共12页。
南京市高二上数学期末近年汇编.doc
南京市2015-2016学年度第一学期高二期末调研数学卷(文科)2016.01注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题(第1题〜笫14题)、解答题(笫15题〜笫20题)两部分.本试卷满分为100分，考试时间为100分钟.2.答题前，请务必将口己的姓名、学校、班级、学号写在答题R的密封线内.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.• • •一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.请把答案填写在弩题卡根座仅覃上1.命题''Hxv2, / >4”的否定是』.2.抛物线y = F的准线方程为』.2 23.椭圆話〒=1的左准线方程是 _.兀+ 14.记函数/⑴=「一的导函数为/(x),贝IJ广(2)的值为 _•✓V卜+y—4W0,5.已知实数x, y满足约束条件详0, 贝1很=讥+3)，的最大值为 _.“0,6.“兀>0”是“x>2”成立的▲条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一•种).7.设直线厶：«X—3y+l=0, /2： (a—2)兀+3y=0,若1\丄g,贝U实数a的值是▲・8.函数/(A)=^V—cosx在区间[0,兀1上的最小值是▲.9 •已知曲线y = \nx在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为_________ ・10.若直线6x+8y-12=0与圆(x~3)2+^~2)2=4相交于M, N两点，则线段MN的长为11.已知双Illi线2，—”=2 (方>0)的-•条渐近线的方程为)=3兀，贝ijb的值是丄.12.已知g(x) = x3-x2-x-l,如果存在x p x2e[0,2],使得g(AggnM,则满足该不等式的最大整数M二_.13.已知OA： «? +),,2 =], O B：(兀+ 3)2+(y —4)2 =16, P 是平面内一动点，过P 作。
2015-2016学年高二数学期末试卷及答案
2015—2016学年第一学期期末测试高二理科数学复习题必修3,选修2-3,选修2-1简易逻辑、圆锥曲线参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+的系数公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 是数据的平均数．第Ⅰ卷（本卷共60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是 ( ) A. 154 B. 127 C. 118D. 2272．设随机变量~(0,1)N ξ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= ( ) A. 2p B. 1p - C. 12p -D. 12p -3．如图1所示的程序框图的功能是求①、②两处应分别填写( ) A ．5?i <，S S = B ．5?i ≤，S S =C ．5?i <，2S =+D ．5?i ≤，2S =图4．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,95．如图2，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )A.24π- B.22-π C.44π- D.42-π6.(82x 展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ( )A ．-1B ．1C ．0D ．27．学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共 ( )A ．4种B ．20种C ．18种D ．10种8．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号 12345678频数1013x141513129第三组的频数和频率分别是 ( ) A ．14和0.14 B ．0.14和14 C ．141和0.14 D ． 31和1419．“2012”含有数字0, 1, 2，且恰有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且恰有两个相同数字的四位数的个数为 ( )A ．18B ．24C ．27D ．3610.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为 ( )A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ 1.1y x a =+，则a ＝ ( )A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.4 12.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp 的值为 ( ) (A) 8132 (B) 2711 (C) 8165(D) 8116第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 。
2015-2016学年高二上期末数学(理)试卷
2015-2016学年度高二第一学期期末（理科）数学试题一．选择题 (本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“若α＝4π，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )A ．若α≠4π，则tan α≠1B ．若α＝4π，则tan α ≠12．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( )A 。
n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1)B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)3．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若，则”的逆命题是真命题B ．命题“，”的否定是：“，”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件C ．若tan α≠1，则α≠4πD ．若tan α≠1，则α＝4π4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知→AB ＝a ，→AD ＝b ，→AA1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量→BD1等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．sin θ＝|n||a||n ·a|B ．cos θ＝|n||a||n ·a|C ．sin θ＝|n||a|n ·aD ．cos θ＝|n||a|n ·a 6．已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则非p 是 ( )A ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<07.“”是“方程表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8 . 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D的中点，N 是棱A 1B 1上任意一点，则直线NO 、AM 的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．异面不垂直D ．异面垂直9． 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝21，则下列结论中错误的是 ( )A ．△AEF 的距离与△BEF 的面积相等B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．AC ⊥BE10．若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和30则△ABC 的重心G 的轨迹方程为( )A ．B ．C ．D ． 11.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(非p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤112.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D1B D1P ＝λ.当∠APC 为钝角时，则λ的取值范围是( ) A.31 B.21 C.，11 D.，11二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.已知命题存在．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．14.如图，椭圆的中心在坐标原点，当→FB ⊥→AB 时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.15．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
江苏省南京市2015-2016学年高二上学期期末调研数学押题卷 含答案
江苏省南京市高二上学期期末调研押题卷注意事项：1．本试卷共4页,包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后,交回答题卡．一、填空题:本大题共14小题，每小题3分,共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“x ∈N ，x 2≠x ”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中,焦点为F （5,0）的抛物线的标准方程是 ▲ ．3．已知a ，b ∈R ，a ＋b i ＝（1＋2i)(1－i ） （i 为虚数单位），则a ＋b 的值为 ▲ ．4．记函数f （x ）＝错误!的导函数为f（x )，则 f （1）的值为▲ ．5．已知实数x ,y 满足约束条件错误!则z ＝x ＋2y 的最大值为 ▲ ．6．记命题p 为“若＝，则cos ＝cos ”,则在命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中,已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4,AA 1＝3， BAA 1＝60，E 为棱C 1D 1的中点,则，AB 错误!＝ ▲ ．9．已知函数f (x ）＝e x －ax 在区间（0，1)上有极值,则实数a 的取值范围是 ▲ ．10．“a ＝1”是“函数f （x )＝x ＋a cos x 在区间(0，错误!）上为增函数”的 ▲ 条件（在“充要"、“充分不必要”、“必要不充分"、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．11．已知圆柱的体积为16cm 3，则当底面半径r ＝ ▲ cm时，圆柱的表面积最小．12．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆错误!＋错误!＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ,则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ▲ ．13．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f (x ) 的图像是如图所示的一条直线,则y ＝f (x )的图像一定不经过第 ▲ 象限．14．已知A 是曲线C 1：y ＝错误! (a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直,则实数a 的值是 ▲ ． （第13题图）O x y CD A 1B 1C 1D 1E （第8题图）学必求其心得，业必贵于专精 二、解答题:本大题共6小题,共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分8分）已知m ∈R ，设p ：复数z 1＝(m －1）＋(m ＋3)i (i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，q ：复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过错误!．（1）当p 为真命题时，求m 的取值范围；（2)若命题“p 且q ”为假命题，“p 或q "为真命题，求m 的取值范围．16．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点都在圆C 上．(1）求圆C 的方程;(2）若直线x ＋y ＋a ＝0与圆C 交于A ,B 两点,且AB ＝2，求实数a 的值．17．(本题满分10分）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2,AA 1＝a ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点.（1）若AC 1⊥D 1F ,求a 的值；（2)若a ＝2，求二面角E －FD 1－D 的余弦值. D C 1B 1A 1D 118．（本题满分10分）已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益．据测算,若今年的实际销售单价为x元/件（1≤x≤2），今年新增的年销量(单位：万件）与(2－x)2成正比，比例系数为4．．．．．．．（1)写出今年商户甲的收益y（单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式;（2)商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多)？说明理由．19．(本题满分10分）已知函数f（x）＝ax2－(4a＋2）x＋4ln x,其中a≥0．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x）在点(1，f（1))处的切线方程；（2）讨论函数f（x)的单调性．20．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B（－2，0),C（2，0），直线AB,AC的斜率乘积为－错误!,设顶点A的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2,这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S，试求错误!的取值范围．数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分．3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题,每小题3分,共42分）1．x∈N，x2＝x2．y2＝20x3．4 4．－1 5．66．2 7．错误!8．14 9．(1，e) 10．充分不必要．11．2 12．8 13．1 14．2 二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）因为复数z1＝(m－1)＋(m＋3)i在复平面内对应的点在第二象限，所以错误!解得－3＜m＜1，即m的取值范围为(－3,1)．………………3分（2)由q为真命题，即复数z2＝1＋（m－2）i的模不超过10，所以错误!≤错误!，解得－1≤m≤5．………………5分由命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题得错误!或错误!所以错误!或错误!即－3＜m＜－1或1≤m≤5．所以m的取值范围为(－3，－1)∪[1，5]．………………8分16．解（1）曲线与y轴的交点是(0，－3)．令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．即曲线与x轴的交点是(－1，0)，（3，0)．………………2分设所求圆C的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,D＝－2，E＝2,F＝则｛9－3E＋F＝0，，1－D＋F＝0，9＋3D＋F＝0，解得－3．所以圆C的方程是x2＋y2－2x＋2y—3＝0．………………5分（2）圆C的方程可化为（x－1)2＋(y＋1)2＝(5)2，所以圆心C(1，－1），半径r＝错误!．………………7分圆心C到直线x＋y＋a＝0的距离d＝错误!＝错误!．由于d2＋（错误! AB)2＝r2，所以（错误!)2＋12＝（错误!）2,解得a＝±2错误!．………………10分17．解如图,以D为坐标原点,DADC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立坐标系．（1)由题意得A(2,0，0），D1（0,0,a)，C1（0，2，a），F(0，1，0）．故，AC1＝(－2,2，a)，错误!＝（0，1，－a)．……2分因为AC1⊥D1F，所以错误!·错误!＝0，即(－2，2,a）·(0，1，－a）＝0．从而2－a2＝0，又a＞0，故a＝错误!．………………5分（2)平面FD1D的一个法向量为m＝(1，0,0）．设平面EFD1的一个法向量为n＝（x，y，z），因为E(1，0,0)，a＝2，故错误!＝（－1,1，0)，错误!＝（0，1,－2）．由n⊥错误!，n⊥错误!，得－x＋y＝0且y－2z＝0，解得x＝y＝2z．故平面EFD1的一个法向量为n＝（2，2，1)．………………8分因为cos<m,n〉＝错误!＝错误!＝错误!，且二面角E－FD1－D的大小为锐角，所以二面角E－FD1－D的余弦值为错误!．………………10分18．解（1)由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 （万件）．因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝［1＋4(x－2）2]（x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，（1≤x≤2)．………………4分(2)由(1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2，从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3）(6x－11）．令y′＝0，解得x＝错误!，或x＝错误!．列表如下：………………7分又f（错误!）＝1，f(2）＝1,所以f(x)在区间［1，2]上的最大值为1(万元）．而往年的收益为（2－1）×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．………………10分19．解（1）当a＝0时，f（x)＝－2x＋4ln x，从而 f ′(x)＝－2＋错误!，其中x＞0．………………2分所以f ′(1)＝2．又切点为（1,－2),所以所求切线方程为y ＋2＝2（x －1），即2x －y －4＝0． ……………… 4分(2)因为f （x )＝ax 2－(4a ＋2）x ＋4ln x ,所以f ′（x ）＝2ax －（4a ＋2）＋错误!＝错误!＝错误!，其中x ＞0． ①当a ＝0时，f ′（x ）＝－错误!，x ＞0．由f ′(x ）＞0得，0＜x ＜2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，2）；单调减区间是(2，＋∞）；……………… 6分②当0＜a ＜错误!时，因为错误!＞2，由f ′（x )＞0，得x ＜2或x ＞错误!． 所以函数f （x ）的单调增区间是（0，2)和(错误!,＋∞)；单调减区间为（2，错误!）；……………… 8分③当a ＝12时,f ′(x )＝（x －2）2x≥0，且仅在x ＝2时,f ′（x ）＝0, 所以函数f （x )的单调增区间是(0,＋∞）；④当a ＞错误!时，因0＜错误!＜2,由f ′(x )＞0,得0＜x ＜错误!或x ＞2， 所以函数f （x ）的单调增区间是（0，错误!)和（2,＋∞）；单调减区间为（错误!，2）．综上，当a ＝0时,f （x )的单调增区间是(0，2），单调减区间是(2,＋∞)； 当0＜a ＜错误!时，f (x ）的单调增区间是(0，2）和(错误!，＋∞），减区间为（2,错误!)；当a ＝12时，f （x )的单调增区间是（0，＋∞);当a＞错误!时，f(x）的单调增区间是(0，错误!）和(2，＋∞），减区间为（错误!，2）．………………10分20．解（1）设顶点A的坐标为(x，y)，则k AB＝错误!，k AC＝错误!, …………2分因为k AB k AC＝－错误!，所以错误!错误!＝－错误!, 即错误!＋y2＝1．（或x2＋4y2＝4）。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题及答案
N D 1C 1B 1A 12015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D) 330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD === a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =±（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+( B)2( C)4+( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C上且满足12MF MF +=uuu r uuu u r 则12MF F ∆的面积为(A)(B) (C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅= ，则1BC 与BM的夹角的最大值为(A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BA第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11BC A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)OD 1C 1B 1A 1D CBA N MDCBAP在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，AC BD O = ，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P A B C D -中，P A A B C D ⊥底面，底面A B C D 为直角梯形，//,90A D B C B A D ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2. …2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O所以点C 到直线l的距离为11d ==. ……10分即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O = ，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分因为1111AA AC A = ，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯=.所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBC ADNM MN ⊂= 平面平面平面，所以//MN BC . ……4分 （II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PA AB A = ，所以DA PAB ⊥平面.所以PB DA ⊥. ……7分 因为AM DA A = ，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n因为(2,1,2)PC =- ，(0,2,2)PD =-,所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,6BP BP BP ⋅〈〉===n n n所以二面角P DN A --……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC = ………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =， 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0).………10分 （III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分 即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k 的取值范围为( .………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分所以2231k -<.所以213k >. 即21113k >. 所以2103k <<. …12分 因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为( . ………14分。
2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣13．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞05．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=110．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．512．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据空间向量的坐标表示，求出即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），∴=（2﹣1，2﹣2，0﹣3）=（1，0，﹣3）．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是基础题．2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x=﹣1．故选D．【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．3．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆+=1中a=3，b=2，求出c，即可求出椭圆+=1的离心率．【解答】解：∵椭圆+=1中a=3，b=2，∴c==，∴e==，故选：C．【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的．【解答】解：∵x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x2＞4的解集为{x|x ＞2或x＜﹣2}”，故命题q错误．∴A，B，C不对，D正确应选D．【点评】考查复合命题真假的判断方法，其步骤是先判断相关命题的真假，然后再复合命题的真假判断规则来判断复合命题的真假．7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义．【分析】要判断：“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的什么条件，我们要在前提条件abc≠0的情况下，先判断，“ac＞0”时“曲线ax2+by2=c是否为椭圆”，然后在判断“曲线ax2+by2=c为椭圆”时，“ac ＞0”是否成立，然后根据充要条件的定义进行总结．【解答】解：若曲线ax2+by2=c为椭圆，则一定有abc≠0，ac＞0；反之，当abc≠0，ac＞0时，可能有a=b，方程表示圆，故“abc≠0，ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的必要非充分条件．故选B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先设双曲线的方程，再由题意列方程组，处理方程组可求得a，进而求得b，则问题解决．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF1|﹣|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2=20．又∵|PF1|•|PF2|=2，∴4a2=20﹣2×2=16∴a2=4，b2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y2=1．故选C．【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，同时考查处理方程组的能力．10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】要求AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值，在平面BB1C1C作出AC1的射影，利用解三角形，求出所求结果即可．【解答】解：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D===故选C【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．【解答】解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=．故选C．【点评】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．12．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意知，直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），作图如右图：∵椭圆的焦距为2c，∴直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c．∴|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，又|MF1|+|MF2|=2a，∴2a=（+1）c，∴该椭圆的离心率e===﹣1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0）是关键，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于5．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=4；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=4．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，此类型的题目一般运用圆锥曲线的定义求解，会使得问题简单化．属基础题．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，∴=，∴2=（）2=+2||•||cos60°+2•||cos60°+2•cos60°=1+1+1+++=6，∴AC1的长为||=．故答案为：．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】平面的法向量．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=3．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2，整理后两边同除以x A2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0 ∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x A2（x A2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【专题】计算题；综合题．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，即命题P：a＞1或a＜﹣3；∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，∴4+（a﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a＜3，即命题q：﹣1＜a＜3，由pΛq为假命题，¬q也为假命题，∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出双曲线方程为，设点P（x0，y0），则，（x0），由此能证明•的取值范围为[3+2，+∞）．【解答】解：此命题为真命题．证明如下：∵F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，∴a2+1=4，解得a2=3，∴双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有=1，（），解得，（x0），∵=（x0+2，y0），=（x0，y0），∴==x0（x0+2）+=，这个二次函数的对称轴为，∵，∴当时，取得最小值=3+2，∴•的取值范围为[3+2，+∞）．【点评】本题考查命题真假的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【考点】轨迹方程；抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．【解答】解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为k OA、k OB．∴由OA⊥AB，得①依点A在AB上，得直线AB方程②由OM⊥AB，得直线OM方程③设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x2+，整理得④由③、④两式得由①式知，y A y B=﹣16p2∴x2+y2﹣4px=0因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．【点评】本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos＜＞的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得，解得λ的值，可得的坐标以及||的值，从而得出结论．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，建立空间坐标系．则有题意可得D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（﹣，0，﹣1），=（﹣1，0，1），cos＜＞==﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．又=（，﹣1，0），=+=（，λ﹣1，λ），由ES⊥平面AMN可得，即，解得λ=．此时，=（0，，），||=，故当||=时，ES⊥平面AMN．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。
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南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷（理科）2016.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．命题：“x∈Q，x2－8＝0”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝2px经过点(4，2) ，则实数p ＝ ▲ ．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程是▲ ．4．已知p：0＜m＜1，q：椭圆＋y2＝1的焦点在y轴上，则p是q的 ▲ 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．5．函数f (x)＝x＋sin x的图象在点O (0，0) 处的切线方程是 ▲ ．6．在空间直角坐标系中，已知A(1，0，0)，B(4，－3，0)，且＝2，则点P的坐标是 ▲ ．7．已知实数x，y满足则z＝x－2y的最大值是 ▲ ．xOyABCD(第8题)8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B 为焦点，且过点C、D的双曲线的离心率是 ▲ ．9．函数f(x)＝（e为自然对数的底数）的最大值是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0，0)，A(3，0)，动点P满足2PO ＝PA，则点P的轨迹方程是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到点A(3，0) 的距离等于它到准线的距离，则PA＝ ▲ ．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t＞0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是 ▲ ．xOyABy＝x(第12题)13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y－3＝0和圆M：x2＋(y－m)2＝8．若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为3，则实数m的取值范围是 ▲ ．14．已知函数y＝x3－3x在区间[a，a＋1](a≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－，0)，F2(，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M的方程；（2）若直线l：mx－2y－(2m＋1)＝0与圆M交于点P，Q，且·＝0，求实数m的值．17．（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AC＝2，AA1＝1，∠BAC＝90°，D为线段BC的中点．A1B1C1CADB(第17题)（1）求异面直线B1D与AC所成角的大小；（2）求二面角D－A1B1－A的大小．18．（本题满分10分）A、B两地相距300 km，汽车从A地以v km/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60 km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数为．设全程的运输成本为y元．（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(m＞0)的离心率为．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分10分）已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p (p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p 的值．（2）若函数g(x)＝x－－2f(x) (m∈R)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．①求实数m的取值范围；②证明：g(x2)＜x2－1．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准（理科）2016.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．x∈Q，x2－8≠0 2． 3．y＝±x 4．充要5．y＝2x 6．(3，－2，0) 7．2 8．＋19． 10．x2＋y2＋2x－3＝0 11．3 12．213．[－7，1]∪[5，13] 14．0和－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c＝，b＝2，所以a2＝b2＋c2＝9， ……………………………2分所以椭圆C的标准方程为＋＝1． ……………………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F1F2＝2，PF1＋PF2＝6，又PF1＝4，所以PF2＝2，……………………………6分所以PF12＋PF22＝F1F22，所以PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积为×PF1·PF2＝4．…………………8分方法（二）由（1）可知e＝，设P(x0，y0)，因为PF1＝4，所以3＋x0＝4，解得x0＝， ……………………………6分代入方程得＋＝1，解得|y0|＝，所以△PF1F2的面积为×2×＝4． ……………………………8分16．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则 …………………………… 2分解得所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0． …………………………… 4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，由解得M(2，2)． …………………………… 2分所以圆M的半径r＝AM＝，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5． …………………………… 4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝．又由（1）得MP＝MQ＝r＝，所以点M到直线l的距离d＝．……………………………8分由点到直线的距离公式可知，＝，解得m＝±． …………………… 10分17．解（1）以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系A－xyz．因为AB＝2，AC＝2，AA1＝1，A1B1C1CADBxyz所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，1)，B1(2，0，1)．又D为BC的中点，所以D(，，0)，＝(－，，－1)，＝(0，2，0)，从而cos<，>＝＝＝． …………………………… 3分因为<，>∈[0，π]，故<，>＝，所以异面直线B1D与AC所成角为．……………………………5分（2）因为AC⊥平面A1B1A，所以平面A1B1A的一个法向量n1＝(0，1，0)．设平面DA1B1的一个法向量n2＝(x，y，z)，因为＝(2，0，0)，所以即所以x＝0，z＝y．取y＝1得n2＝(0，1，)， (8)分从而cos< n1，n2>＝＝．因为二面角D－A1B1－A的平面角为锐角，所以二面角D－A1B1－A的大小为60°． ……………………………10分18．解（1）由题意知y＝(＋250)×＝300(＋)（0＜v≤60）．…………………………… 4分（2）设f(v)＝＋，v＞0，则f ′(v)＝－，由f ′(v)＝0得，v＝50，……………………………6分当0＜v＜50时，f ′(v)＜0，当50＜v＜60时，f ′(v)＞0， …………………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50 km/h速度行驶．…………………………10分19．解（1）由题意a2＝m＋8，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝8．又椭圆的离心率为，所以＝，解得m＝4． ……………………………3分（2）由（1）知椭圆C的方程为＋＝1，所以A(0，2)．假设存在椭圆C的一条弦AB满足条件．方法（一）当AB斜率不存在时，AB的方程为x＝0，显然符合题意，此时P(0，0)，r＝1．…………………………… 4分当AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋2， P(x0，y0)，由消去y，整理得，(1＋3k2)x2＋12kx＝0，解得x＝0或x＝－， …………………………… 6分所以x0＝－，y0＝．由×k＝－1，得3k2＋4k＋1＝0，解得k＝－1或k＝－． ……………………………9分所以直线AB：y＝－x＋2，r＝，或直线AB：y＝－x＋2，r＝．综上，存在这样的弦AB．直线AB：x＝0，r＝1；直线AB：y＝－x＋2，r＝；直线AB：y＝－x＋2，r＝． …………………………… 10分方法（二）设P(x0，y0)，则B(2x0，2y0－2)．因为B在椭圆C上，所以(2x0)2＋3(2y0－2)2＝12，即x＋3(y0－1)2＝3，所以x＋3y－6y0＝0．① …………………………… 5分设M(1，0)，则MP⊥AB，所以·＝0，即2x0(x0－1)＋(2y0－4)y0＝0，x＋y－x0－2y0＝0．② ………………………… 7分由①②，解得或(舍) 或或当点P为(0，0)时，直线AB方程为x＝0，r＝1；当点P为(，)时，直线AB方程为y＝－x＋2，r＝．当点P为(，)时，直线AB方程为y＝－x＋2，r＝．综上，存在这样的弦AB．直线AB：x＝0，r＝1；直线AB：y＝－x＋2，r＝；直线AB：y＝－x＋2，r＝． ……………………………10分20．解（1）方法（一）由题意知f ′(x)＝．设切点的坐标为(x0，ln x0)，则＝2，解得x0＝．所以切点的坐标为(，－ln2)，代入直线y＝2x＋p，解得p＝－1－ln2．……………………………3分方法（二）由题意知f ′(x)＝．设切点的坐标为(x0，ln x0)，则切线的方程为y－ln x0＝(x －x0)，即y＝·x＋ln x0－1．又切线方程为y＝2x＋p，则解得p＝－1－ln2． ………………………… 3分（2）①g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝．由题意可知，关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的正根，所以解得0＜m＜1． …………………………… 6分②由（1）可知0＜x1＜1＜x2＜2，m＝2x2－x22，从而g(x2)－(x2－1)＝x2－2ln x2－1，1＜x2＜2． ……………………………8分设h(x)＝x－2ln x－1，x＞0，则h′(x)＝1－＝，所以，当1＜x＜2时，h′(x)＜0，从而h(x)在[1，2]上单调递减，又1＜x2＜2，所以g(x2)－(x2－1)＝x2－2ln x2－1＝h(x2)＜h(1)＝0，即g(x2)＜x2－1． ……………………………10分。