陕西省西安一中高考数学一模试卷 理(含解析)

陕西省西安一中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于( )A．0 B．1 C．﹣1 D．0或12．已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=( ) A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅3．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5=4，则数列{log2a n}的前7项和等于( )A．7 B．8 C．27D．284．在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=( ) A．B．1 C．D．5．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为( )（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π6．已知图象不间断的函数f（x）是区间上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．如图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0；②f（a）f（m）＞0；③f（b）f（m）＜0；④f（b）f（m）＞0其中能够正确求出近似解的是( )A．①③B．②③C．①④D．②④7．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )A．B．C．D．8．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）9．已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为( )A．B．C．D．10．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为( )A．4 B．3 C．2D．1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分）.11．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为__________．12．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是__________．13．在△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．根据以上情况，猜想在凸n 边形A1A2…A n（n≥3）中的成立的不等式是__________．14．下列说法中，正确的有__________ （把所有正确的序号都填上）．①“∃x∈R，使2x＞3“的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是真命题；④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个；⑤dx等于．三、选做题（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）15．（不等式选做题）若不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是__________．16．（选做题）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED=__________．17．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，以点（1，0）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是__________．三、解答题18．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y 的最大值．19．已知数列{a n}满足：a1=0且=1．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=（n∈N+），数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜1．20．某中学将100名2014-2015学年高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计P≥（k2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.02421．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形．（1）求证：A1B∥平面AC1D；（2）求证：CE⊥平面AC1D；（3）求平面CAC1与平面AC1D的夹角的余弦值．22．已知圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=，椭圆C2的方程为，其离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径．（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C2的方程；（Ⅱ）如果椭圆C2的左右焦点分别是F1、F2，椭圆上是否存在点P，使得，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由．23．设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．陕西省西安一中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于( )A．0 B．1 C．﹣1 D．0或1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z为纯虚数，可得，由此求得x的值．解答：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选 B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2．已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=( ) A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法．分析：根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．解答：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=4．在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=( ) A．B．1 C．D．考点：正弦定理；等比数列的性质．专题：计算题．分析：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=解答：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D点评：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．5．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为( )（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．解答：解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π下部为一直三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为故选C点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．已知图象不间断的函数f（x）是区间上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．如图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0；②f（a）f（m）＞0；③f（b）f（m）＜0；④f（b）f（m）＞0其中能够正确求出近似解的是( )A．①③B．②③C．①④D．②④考点：循环结构．专题：常规题型．分析：利用二分法求方程近似值的步骤，得到满足什么条件时将b赋值与m；得到判断框中的条件．解答：解：据二分法求方程近似解的步骤知当f（m）f（a）＜0即f（m）f（b）＞0时，说明根在区间（a，m）内，令b=m当f（m）f（b）＜0即f（m）f（a）＞0时，说明方程的根在区间（m，b）内，令a=m由框图得到当满足判断框中的条件时将b=m故判断框内的条件为f（m）f（a）＜0或f（m）f（b）＞0故选C点评：本题考查由实际问题何时将出现将b的值赋给m，即程序框图中需要的条件．7．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．解答：解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．点评：本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．8．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．解答：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D点评：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等知识，属于基础题．9．已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N（﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的第二定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．点评：本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．10．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为( )A．4 B．3 C．2D．1考点：进行简单的合情推理；函数的值域．专题：计算题；新定义．分析：根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．解答：解：根据题意，得f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x•）+（x⊕0）+（⊕0）﹣2×0=1+x+即f（x）=1+x+∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x==1，即x=1时等号成立∴1+x+≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为f（1）=3故选：B点评：本题给出新定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分）.11．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的情况，再求出若不考虑限制它落地时向上的点数情况，前者除以后者即可．解答：解：∵骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列∴落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6．共有6×2=12种情况，也可全相同，有6种情况∴共有18种情况若不考虑限制，有63=216落地时向上的点数依次成等差数列的概率为=故答案为：点评：本题考查了概率与数列的综合，做题时要认真分析，不要丢情况．12．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是4．考点：简单线性规划的应用；点到直线的距离公式．专题：计算题；数形结合．分析：首先根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．解答：解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离最大，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==4，则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于 4，故答案为：4．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．13．在△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．根据以上情况，猜想在凸n 边形A1A2…A n（n≥3）中的成立的不等式是．考点：归纳推理．专题：综合题．分析：根据已知中△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案．解答：解：由已知中已知的多边形角的倒数所满足的不等式：△ABC中，不等式成立；凸四边形ABCD中，不等式成立；凸五边形ABCDE中，不等式成立；…由此推断凸n边形A1A2…A n（n≥3）中的成立的不等式是：故答案为：点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键．14．下列说法中，正确的有①⑤（把所有正确的序号都填上）．①“∃x∈R，使2x＞3“的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是真命题；④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个；⑤dx等于．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：通过命题的否定判断①的正误；函数的周期判断②的正误；命题的否命题的真假判断③的正误；函数的零点的公式判断④的正误；定积分求出值判断⑤的正误．解答：解：对于①“∃x∈R，使2x＞3“的否定是“∀x∈R，使2x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确；对于②，函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函数的最小正周期，所以②不正确；对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是：若f'（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处有极值，显然不正确．利用y=x3，x=0时，导数为0，但是x=0不是函数的极值点，所以是真命题；所以③不正确；对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，由图象可得有3个交点．所以④不正确；对于⑤，dx的几何意义是半圆的面积，圆的面积为π，dx=．所以⑤正确；故答案为：①⑤．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，零点判定定理，定积分的求法，函数的周期等知识，考查基本知识的应用．三、选做题（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）15．（不等式选做题）若不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪{3}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立转化为a+小于等于函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值，根据绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题．解答：解：令y=|x+2|+|x﹣3|，由绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，∵不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，∴原不等式可化为a+≤5，解得a=3或a＜1，故答案为：（﹣∞，1）∪{3}．点评：考查绝对值不等式的几何意义，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属中档题．16．（选做题）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED=45°．考点：弦切角；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接BD，BD与EC相交于点F，因为CD为圆O的切线，由弦切角定理，则∠A=∠BDC，又CE平分∠ACD，则∠DCE=∠ACE．两式相加∠A+∠ACE=∠BDC+∠DCE．根据三角形外角定理∠DEF=∠DFE又∠ADB=90°，所以△ADF是等腰直角三角形，所以∠CED=∠DFE=45°．解答：解：连接BD，BD与EC相交于点F，因为CD为圆O的切线，由弦切角定理，则∠A=∠BDC．又CE平分∠ACD，则∠DCE=∠ACE．所以∠A+∠ACE=∠BDC+∠DCE．根据三角形外角定理，∠DEF=∠DFE，因为AB是圆O的直径，则∠ADB=90°，所以△EFD是等腰直角三角形，所以∠CED=∠DFE=45°．故答案为：45°点评：本题考查有关圆的角的计算．根据图形寻找角的关系，合理进行联系与转化是此类题目的关键．17．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，以点（1，0）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是ρ=2cosθ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设圆上的任意一点为（ρ，θ），利用直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：设圆上的任意一点为（ρ，θ），则以点（1，0）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是ρ=2cosθ．故答案为：ρ=2cosθ．点评：本题考查了圆的极坐标方程、直角三角形的边角关系，属于基础题．三、解答题18．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y 的最大值．考点：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）根据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．解答：解：（1）∵△AB O为正三角形，∴∠BOA=60°，∵点A的坐标为，∴tan∠AOC=，∴sin∠AOC=，cos∠AOC=，∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°=．（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin （﹣），AB=OB=1，CD=2，∴===，0＜x＜∴当x=时，y max=5．点评：本题主要考查了三角函数的最值，数学模型的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．19．已知数列{a n}满足：a1=0且=1．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=（n∈N+），数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据条件构造等差数列，利用等差数列的通项公式即可求{a n}的通项公式；（2）求出数列{b n}的通项公式，利用裂项法进行求和．解答：解：（1）∵=1．∴{}是公差为1的等差数列，又，则=1+n﹣1=n，故a n=1﹣．（2）由（1）得b n===，则S n=b1+b2+…+b n=1﹣=1﹣＜1．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用构造法以及裂项法是解决本题的关键．20．某中学将100名2014-2015学年高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计P≥（k2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024考点：独立性检验的应用；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）根据题意求出随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2然后根据题意求出ξ取每一个值的概率再根据分布列和期望的定义即可得解．（2）根据频率分布直方图中每个小矩形的面积即为随机变量落在此区间的概率以及概率=求出“成绩优秀”的人数和“成绩不优秀”的人数然后即可填表，再利用附的公式求出K2的值再与表中的值比较即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为4ξ的所有可能取值为0，1，2则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，p（ξ=2）==故ξ的分布列为（Ⅱ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46根据列联表中数据可得：≈4.762由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望和方差、及独立性性检验，属新型的题目，较难．解题的关键是要理解频率分布直方图中每个小矩形的面积即为随机变量落在此区间的概率同时要牢记公式概率=！21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形．（1）求证：A1B∥平面AC1D；（2）求证：CE⊥平面AC1D；（3）求平面CAC1与平面AC1D的夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接A1C与AC1，交于O点，连接OD，由三角形中位线定理得OD∥A1B，由此能证明A1B∥平面AC1D．（2）由线在垂直得BB1⊥AD，由等腰三角形性质得AD⊥BC，从而AD⊥平面B1BCC1，进而AD⊥EC，由Rt△CBE≌Rt△CC1D，得∠C1DC+∠BCE=90°，从而C1D⊥CE，由此能证明CE⊥平面AC1D．（3）以BC1的中点G为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面AC1D的一个法向量和平面AC1C的一个法向量，利用向量法能求出平面CAC1与平面AC1D的夹角的余弦值．解答：（1）证明：连接A1C与AC1，交于O点，连接OD，∵O，D分别为A1C和BC的中点，∴OD∥A1B．又OD⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．（2）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD，∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∵BB1∩BC=B，∴AD⊥平面B1BCC1，又CE⊂平面B1BCC1，∴AD⊥EC，∴Rt△CBE≌Rt△CC1D，∴∠C1CE=∠BCE，∴∠C1DC+∠BCE=90°，∴C1D⊥CE，又AD∩C1D=D，∴CE⊥平面AC1D．（3）解：以BC1的中点G为原点，建立空间直角坐标系．则A（0，6，4），E（3，3，0），C（﹣3，6，0），C1（﹣3，0，0）．由（2）知=（6，﹣3，0）为平面AC1D的一个法向量．设=（x，y，z）为平面AC1C的一个法向量，=（﹣3，0，﹣4），=（0，﹣6，0），由，得=（1，0，﹣），而|cos＜＞|=||=，∴平面CAC1与平面AC1D的夹角的余弦值为．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．22．已知圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=，椭圆C2的方程为，其离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径．（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C2的方程；（Ⅱ）如果椭圆C2的左右焦点分别是F1、F2，椭圆上是否存在点P，使得，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先分析得出若直线AB斜率存在，所以可设AB直线方程为y﹣1=k（x﹣4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得b值，从而求出所求椭圆方程；（Ⅱ）先依据F1，F2的中点是原点O，得出与共线，再根据直线AB的方程写出直线PO所在的直线方程，最后与椭圆的方程联立方程组即可解得P点坐标．解答：解：（Ⅰ）若直线AB斜率不存在，则直线AB的方程为x=4，由椭圆的对称性可知，A，B两点关于x轴对称，A，B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆C1的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，因此直线AB斜率存在，所以可设AB直线方程为y﹣1=k（x﹣4），且设A（x1，y1）、B（x2，y2），∵，∴设椭圆方程，将AB直线方程为y﹣1=k（x﹣4）代入到椭圆方程得，即（1+4k2）x2﹣8k（4k﹣1）x+4（4k﹣1）2﹣4b2=0（1），，解得k=﹣1，故直线AB的方程为y=﹣x+5，将k=﹣1代入方程（1）得5x2﹣40x+100﹣4b2=0．x1+x2=8，，△＞0，得b2＞5．|AB|=，得，解得b2=9．故所求椭圆方程为．（Ⅱ）因为F1，F2的中点是原点O，所以，所以与共线，，而直线AB的方程为y=﹣x+5，所以直线PO所在的直线方程为y=﹣x．∴，或．所以P点坐标为，．点评：本小题主要考查圆与圆锥曲线的综合、直线的一般式方程、椭圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．23．设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔，设φ（x）=，则f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔m≤φ（x）min，利用导数研究函数φ（x）的单调性极值最值即可；（2）函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上恰有两个不同的零点等价于方程1+x﹣2ln（1+x）=a 在上恰有两个相异实根．令F（x）=1+x﹣2ln（1+x），利用导数研究其单调性极值与最值可得F min（x）=F（1）=2﹣2ln2．只要F（1）＜a≤F（2），可使方程h（x）在上恰有两个不同的零点．（3）存在满足题意．f′（x）=2（1+x）﹣=，函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），对m分类讨论即可得出单调性，而函数g（x）在（﹣1，+∞）上的单调递减区间是，单调递增区间是，解出即可．解答：解：（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔，设φ（x）=，则f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔m≤φ（x）min，∵φ′（x）=，。