广东省湛江市徐闻中学2012届高三第四次月考试题(理)

徐闻中学2012届高三第四次月考试题数学试题(理科） 命题人：钟聘（本试卷共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合{24},{3782},P x x Q x x x =≤<=-≥-集合则=⋂Q P （ ）（A ） {34x x ≤<} （B ） {34x x <<} （C ） {24x x ≤<} （D ） {2x x ≥} 2、与函数lg(1)10x y-=的图象相同的函数是（ ）A ．21()1x y x -=- B ．1y x =- C ．1y x =- D ．211x y x -=+ 3．在边长为1的等边ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则（ ）．A ．32-B ．0C ．32D ．3 4．设函数1()2f x x b=+-，若a 、b 、c 成等差（公差不为0），则()()f a f c +=（ ）A ．2B ．4C ．bD ．2b 5．已知2103,sin 0xdx ωω<<=⎰若，则ω的值是（ ）A ．56π B ．23π C ．2π D ．232ππ或 6、设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是（ ） A ．若αα//,c b ⊂，则//b c B ．若,//b b c α⊂，则//c α C ．若//,c ααβ⊥，则c β⊥D ．若//,c c αβ⊥，则αβ⊥7．如图，在正方体1AC 中，过点A 作平面1A BD 的垂线， 垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 的延长线经过点1CＣ．AH 垂直平面11CB D Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．已知点(3,3)A ，O 是坐标原点，点(,)P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是（ ）． A.[3,3]- B.[3,3]- C.[3,3]- D.[3,3]- 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9．已知ABC ∆中，1,2a b ==，45B = ，则角A 等于_______10．如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 ．11、规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a b ab a b *=++，则函数()1f x x =*的值域是 ．12. 已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3；则2a b +=______________.13．函数11--+=x x y 的最大值是 .14． 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x >，则()=2011f ________ ；三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.（1）当m =3时，求集合A B ，B A ； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围。

16．（本小题满分12分）已知向量1(sin ,)2m A = 与(3,sin 3cos )n A A =+ 共线，其中A 是ABC ∆的内角。

（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求ABC ∆面积S 的最大值．17（本小题满分12分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数t 与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的函数关系为：t=2kx .已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 18．（本小题满分14分）如图一，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，60,90,A C ∠=︒∠=︒2CD =． 把ABD ∆沿BD 折起（如图二），使二面角C BD A --的余弦值等于33．对于图二，完成以下各小题： （1）求,A C 两点间的距离； （2）证明：⊥AC 平面BCD ；（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x = （1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间； （2）若关于x 的方程()()[2]g x x f x e x=⋅-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根， 求a 的值．CBDA图1BCDA图220．（本小题满分14分） 设数列{}n a 满足：11a =，*11(14124)()16n n n a a a n N +=+++∈ （1）求2a ，3a ； （2）令124n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （3）已知1()63n n f n a a +=-，求证：1(1)(2)()2f f f n ⋅>． 参考答案一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案AAABBDDB二．填空题：共6小题，每小题5分，满分30分．9．30︒ 10．4:2:π 11、(1,)+∞； 12．－3， 13．2； 14、1 三、解答题15. （本小题满分12分）解：（1）当m =3时，A=｛52|≤≤-x x ｝，B=｛54|≤≤x x ｝ ∴A ⋂B=｛54|≤≤x x ｝，A B ⋃=｛52|≤≤-x x ｝--------5分 （2）当B=∅即m+1>2m-1时 m<2适合条件A B ⊆---------7分当B ∅≠时 由 ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≥512212m m m 得32≤≤m ------------10分综上可得：若B A ⊆则实数m 的取值范围（－∞，3】----12分 16、（本题满分12分）解：17（本小题满分14分）解：（1）设商品降价x 元，则每个星期多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，又由已知条件，2242k =·，于是有6k =，所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （2）根据（1），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表：x[)02， 2 (212)，12 (]1230， ()f x '-+-()f x减 极小 增 极大 减故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11664f =， 所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大． 18、解：（Ⅰ）取BD 的中点E ，连接CE AE ,，由CD CB AD AB ==,，得：BD CE BD AE ⊥⊥,AEC ∴∠就是二面角C BD A --的平面角， 33cos =∠∴AEC ……………2分 在ACE ∆中，2,6==CE AEAEC CE AE CE AE AC ∠⋅⋅-+=cos 222243326226=⨯⨯⨯-+= 2=∴AC …………4 分（Ⅱ）由22===BD AD AC ，2===CD BC AC∴,222AB BC AC =+,222AD CD AC =+∴︒=∠=∠90ACD ACB …………………………6分,AC BC AC CD ∴⊥⊥， 又C CD BC =AC ∴⊥平面BCD ． …………………………8分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知⊥BD 平面ACE ⊂BD 平面ABD∴平面⊥ACE 平面ABD ……………10分 平面 ACE 平面AE ABD =，作CF AE ⊥交AE 于F ，则CF ⊥平面ABD ，CAF ∠就是AC 与平面ABD 所成的角， ……………12分 3sin sin 3CE CAF CAE AE ∴∠=∠==． ……………14分 方法二：设点C 到平面ABD 的距离为h ，∵BCD A ABD C V V --= …………10分11112222sin 602223232h ∴⨯⨯⨯︒⋅=⨯⨯⨯⨯ 233h ∴=………12分 BCDA图2于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦为：33sin ==AC h θ． ……14分 19．（本小题满分14分）解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x=-+22x x ax +-=. ① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=, 解得121141140,22a ax x --+-++=<=. (ⅰ) 若104a -<≤, 则211402ax -++=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0Fx >, ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则1140,2a x ⎛⎫-++∈ ⎪⎪⎝⎭时, ()'0F x <; 114,2a x ⎛⎫-++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x >,∴函数()F x 在区间1140,2a⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间114,2a ⎛⎫-+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞; ------6分 当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为1140,2a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭, 单调递增区间为114,2a ⎛⎫-+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分(2) 解: 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x-=.令()'0h x =, 得x e =. 当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. …… 12分∴ 当21a e e -=, 即21a e e=+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. … 14分法二：同理由111()1(1)(1)422n n nf n =-=-+ 1211111(1)(1)112222n n n n --+-=+->11111111(1)(2)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2244222111(1)111(1)222n n n n f f f n -∴⋅=-+-++-+>-⋅⋅⋅+>法三：可以先用数学归纳法证明加强不等式：22111111(1)(2)()(1)(1)(1)1()444444n n f f f n =---≥-+++2、解：,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确；m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D 。