海南省2018届高三阶段性测试(二模)数学(理)试题及答案解析

海南省2017—2018学年高中毕业班阶段性测试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|320}A x x x =+-≤，2{|log (21)0}B x x =-≤，则A B =（ ）A ．2|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．2|13x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．{|11}x x -≤≤D ．12|23x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭2.已知复数z 满足(34)34z i i +=-，z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.如图，当输出4y =时，输入的x 可以是（ ）A ．2018B ．2017C ．2016D ．20144.已知x 为锐角，cos sin a xx-=a 的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．(1,2]D ．(1,2)5.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）A ．18 B ．916 C ．4π D ．1516 6.24(1)(1)x x x ++-的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．4 7.已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，设121log n n a b a +=，则数列{}n b 的前n 项和为（ ）A ．nB ．(1)2n n - C ．(1)2n n + D ．(1)(2)2n n ++8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A ．．．8 D ．9 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a a n ++=+，则20172017S =（ ） A ．1009 B ．1008 C ．2 D ．1 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()(12)f x f x =-，当[0,6]x ∈时，6()log (1)f x x =+，若()1([0,2020])f a a =∈，则a 的最大值是（ ）A ．2018B ．2010C ．2020D ．201111.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ）A ．18B ．30C ．32D ．36 12.已知1a >，方程102xe x a +-=与ln 20x x a +-=的根分别为1x ，2x ，则2212122x x x x ++的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知(1,)a m =，1b =，7a b +=，且向量a ，b 的夹角是60，则m = ．14.已知实数x ，y 满足12103x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的最大值是 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为16，则1ba +的最大值为 ． 16.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC=，PB =则当PA AB +最大时，三棱锥PABC -的表面积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B，C 的对边，且cos sin cos A a A C +sin cos 0c A A +=.（1）求角A 的大小；（2）若a =12B π=，求ABC ∆的面积. 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，2AB AC ==，点M 为11AC 的中点，点N 为1AB 上一动点.（1）是否存在一点N ，使得线段//MN 平面11BB C C ？若存在，指出点N 的位置，若不存在，请说明理由.（2）若点N 为1AB 的中点且CM MN ⊥，求二面角M CN A --的正弦值.19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站.甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13. （1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A ，F 分别为椭圆的上顶点和右焦点，AOF ∆的面积为12，直线AF 与椭圆交于另一个点B ，线段AB 的中点为P .（1）求直线OP 的斜率；（2）设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点C ，D ，且与直线AF 交于点Q ，求证：存在常数λ，使得QC QD QA QB λ⋅=⋅.21.已知函数()xe f x x=，()ln 1g x x =+.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：3()()x f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l：123x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()1f x x x m =-+-.（1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若不等式()21f x m ≥-对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.海南省2017—2018学年高中毕业班阶段性测试数学（理科）·答案一、选择题1-5: DABCB 6-10: BCDAD 11、12：CA 二、填空题13. 7 15. 4316. 6 三、解答题17.（1cos sin cos A a A C +sin cos 0c A A +=及正弦定理得，sin (sin cos cos sin )A A C A C+cos B A =，即sin sin()A A C+cos B A =， 又sin()sin 0A C B +=>，所以tan A = 又(0,)A π∈，所以23A π=. （2）由（1）知23A π=，又12B π=，易求得4C π=， 在ABC ∆中，由正弦定理得sinsin 123b π=2b =. 所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C=132224==. 18.（1）存在点N ，且N 为1AB 的中点. 证明如下：如图，连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11AC ，1A B 的中点，所以MN 为11A BC ∆的一条中位线，//MN BC ，MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .（2）设1AA a =，则221CM a =+，22414a MN +=+284a +=， 22220544a a CN +=+=，由CM MN ⊥，得222CM MN CN +=，解得a =由题意以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得(0,0,0)A ，(0,2,0)C，1,0,2N ⎛ ⎝⎭，(0,1M ，故1,0,2AN ⎛=⎝⎭，(0,2,0)AC =，1,2,2CN ⎛=- ⎝⎭，(0,1CM =-，. 设(,,)m x y z =为平面ANC 的一个法向量，则0,0,m AC m AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0,2y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =-，得平面ANC的一个法向量(1m =-， 同理可得平面MNC 的一个法向量为(3,2,2)n =， 故二面角M CN A --的余弦值为cos ,m n <>=15=-.故二面角M CN A --15=.19.（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=， 乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=， 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则1111()4343P A =⨯+⨯111233+⨯=， 所以甲、乙两人付费相同的概率是13.（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.111(6)4312P X ==⨯=，11(9)43P X ==⨯111436+⨯=，111(12)432P X ==⨯+11113433⨯+⨯=，111(12)432P X ==⨯+1134⨯=，111(18)236P X ==⨯=.因此X 的分布列如下：所以X 的数学期望()69126E X =⨯+⨯121534+⨯+⨯1864+⨯=.20.（1）因为椭圆的离心率为22=222a b =，2222c a b b =-=， 所以(0,)A c ，(,0)F c ，所以21122c =，所以1c =，所以椭圆的方程为2212x y +=.直线AF 的方程为1y x =-+，联立221,21,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得2340x x -=，所以43x =或0x =，所以41,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭，从而得线段AB 的中点21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线OP 的斜率为1132203-=-.（2）由（1）知，直线AF 的方程为1y x =-+，直线OP 的斜率为12，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠. 联立1,21,y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩得22,321.3t x t y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以点的坐标为2221,33t t -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2222,33t t QA --⎛⎫=⎪⎝⎭，2222,33t t QB ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以28(1)9QA QB t ⋅=-. 联立221,21,2x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得22322202x tx t ++-=，由已知得24(32)0t ∆=->，又0t ≠，得60,t ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1112y x t =+，2212y x t =+， 1243t x x +=-，212443t x x -=.所以112221,33t t QC x y -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭112211,323t t x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，222211,323t t QD x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故12222233t t QC QD x x --⎛⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1211112323t t x x --⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1212555()46t x x x x -=++25(1)9t -+=25445544363t t t --⨯-⨯25(1)9t -+258(1)49t =⨯-. 所以54QC QD QA QB ⋅=⋅.所以存在常数54λ=，使得QC QD QA QB λ⋅=⋅. 21.（1）由题易知2(1)'()xx e f x x-=， 当(,0)(0,1)x ∈-∞时，'()0f x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 的单调递减区间为(,0)(0,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（2）g()x 的定义域为(0,)+∞，要证3()()x f x g x >，即证3ln 1x e x x x+>. 由（1）可知()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()(1)f x f e ≥=. 设3ln 1()x h x x +=，0x >，因为423ln '()xh x x --=，当23(0,)x e -∈时，'()0h x >，当23(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，所以()h x 在23(0,)e -上单调递增，在23(,)e -+∞上单调递减，所以223()()3e h x h e -≤=，而23e e >，所以3()()xf xg x >.22.（1）把4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭展开得2sin ρθθ=+，两边同乘ρ得22sin cos ρρθθ=+①.将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①即得曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +--=②.- 11 - （2）将1,23x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入②式，得230t ++=，易知点M 的直角坐标为(0,3).设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t的几何意义即得12MA MB t t +=+=23.（1）当3m =时，原不等式可化为135x x -+-≥. 若1x ≤，则135x x -+-≥，即425x -≥，解得12x ≤-； 若13x <<，则原不等式等价于25≥，不成立； 若3x ≥，则135x x -+-≥，解得92x ≥. 综上所述，原不等式的解集为：19|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由不等式的性质可知()1f x x x m =-+-1m ≥-， 所以要使不等式()21f x m ≥-恒成立，则121m m -≥-， 所以112m m -≤-或121m m -≥-，解得23m ≤， 所以实数m 的取值范围是2|3m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.。