高考复习专题——圆锥曲线背景下的最值与定值问题

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高考数学一轮复习圆锥曲线中的最值(范围)问题

9 +6 +1
9 + 2 +6
12
＝4.
2×3+6

≤3＋
1

3
3
当且仅当9k2＝ 2，即k＝± 时等号成立.
当k＝0时，｜AB｜＝ 3，综上所述｜AB｜max＝2.
1
3
3
∴当｜AB｜最大时，△AOB的面积取得最大值Smax＝ ×｜AB｜max× ＝ .
2
2
2
利用函数性质求最值（范围）
【例3】已知点A1（－ 6，0），A2（ 6，0），直线PA1，PA2的斜率之积为－
同理可得y4＝－，
3 −4
4
−1 2

则kAB＝2 2 ＝
＝
＝ .

+
2
(

+
)
2
3
4
3
4
1
2
4
−4
因为tan α＝kMN＝k，tan

β＝kAB＝，
2
tan−tan
所以tan（α－β）＝
＝
1+tantan

2

1+
2
−
·

1
1
2
＝ 2＝2 ≤ ，当且仅当＝k，即k＝
1.斜率为－1的直线过抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A，
B，M为抛物线上曲线段AB上的动点，若｜AB｜＝12.
（1）求抛物线的方程；
解：（1）抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为

− ,0
2
，

则直线AB的方程为y＝－x－，
2
2

高考数学专题复习圆锥曲线定点定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值问题1、已知平面内的动点P 到定直线l ：22x =的距离与点P 到定点()2,0F 之比为2．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若点N 为轨迹C 上任意一点（不在x 轴上），过原点O 作直线AB 交（1）中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为1k 、2k ，问21k k •是否为定值？（3）若点M 为圆O ：422=+y x 上任意一点（不在x 轴上），过M 作圆O 的切线，交直线l 于点Q ，问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系？2、已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，一条准线为:4l x =，若椭圆C 与x 轴交于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 交直线l 于点M ，直线PB 交直线l 于点N ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k .（1）求椭圆C 的方程；（2）求12,k k 的值；（3）求证：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点的坐标.3、已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PAPB为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标.4、已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；（3）在平面上是否存在定点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.5、已知221(5)5(13)C x y A ++=-e :，点，．（Ⅰ）求过点A 与1C e 相切的直线l 的方程；（Ⅱ）设21C C e e 为关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．6、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，其半焦距为c ，圆M 的方程为.916)35(222c y c x =+-（Ⅰ）若P 是圆M 上的任意一点，求证：21PF PF 为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q ，且1611cos 21=∠QF F ，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若O OQ (331=为坐标原点），求圆M 的方程。

高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题

圆锥曲线的定值问题题型一长度或距离为定值【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．证明当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33，当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1，设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．题型二斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1，又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)，则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19，化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0，整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)．所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。

专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点和定值问题(二合一版)

专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：（1）2214x y +=；（2）0k <<或0k <<（3）(1,0)例2、在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．（1）求轨迹C 的方程；（2）当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解析：（1）2214x y +=；（2）k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解析: （1）22143x y +=（2）直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7题型二：定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索. 例1、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解析：（1）36=e （2）122=+μλ例2、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.解析：（1）22143x y += （2）12例3、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1）求椭圆的标准方程和离心率e ；（2）若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：（1）椭圆的标准方程为2211612y x +=. 离心率21.42e ==（2）存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2.3题型三：最值、范围问题例1、设椭圆E ：x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点M ，使∠=︒F PF 1290（1）求离心率e 的取值范围;（2）当离心率取最小值是，点N （0,3）到椭圆上的点的最远距离为 ①求椭圆E 的方程;②设斜率为(0)k k ≠的直线与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点(0,3P -、Q 的直线对称. 解析：（1）1e ∈）解法1：利用椭圆自身的范围求解解法2：利用根的判别式求解解法3：利用三角函数有界性求解解法4：利用焦半径公式求解解法5：利用基本不等式求解解法6：利用平面几何知识求解解法7：利用椭圆中的焦点三角形求解解法8：利用椭圆中的焦点三角形面积公式（2）①2213216x y +=②((0,22-⋃例2、设椭圆：x a y ba b 222210+=>>（）的左顶点为A 、上顶点为D ，点P 是线段AD 上任一点，左、右焦点分别为F F 12、，且12PF PF 的最大值为1，最小值为115- （1）求椭圆方程;（2）设椭圆右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的一点，直线AS 、BS 与直线34:15l x =分别交于M 、N 两点，求|MN|的最小值.解析：（1）2214x y +=（2）1615例3、已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.专题：椭圆中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

圆锥曲线定值、最值问题

二、例题示范
引入参数
Байду номын сангаас
二、例题示范
引入参数
构造表达式
二、例题示范
二、例题示范
引入参数
构造函数表达式
引入参数k
y
5
P
4
3
2
构造函数表达式
1
N
x
A
12 10 8 6 4 2
B
1
2
4
M
Q
2 3
4
三、归纳总结
1.基本方法
（ 1）解决圆锥曲线中的定值问题，要通过设点或设斜率引入参数表示出要求的量，注意联系圆锥曲线的定义、标准方程和性质，重视运用数形结合，将问题转化为代数式进行研究.此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确.
圆锥曲线的定值、最值问题
一、内容概述
1.考点动态
对圆锥曲线定值和最值问题的考查，已成为近几年高考的热点，主要以解答题形式出现，属于中档题。
2.考点分析
解析几何定值包括几何量的定值处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明，对于客观题，通过特殊值法探求定值能达到事半功倍的效果．研究变量的最值问题时，一般先建立目标函数，再转化为函数或不等式问题求解，或运用“数形结合”、 “几何法”求解．
（2）就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可利用三角函数有界性、二次函数区间上的值域、均值不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围.此时应注意其定义域是否受题设条件限制，是否需要分类讨论.还要注意“对偶运算”的应用，反复“复制”运算结果，节约了大量的时间；
2.基本思想：数形结合

高考数学复习考点题型专题讲解题型33 圆锥曲线中的最值(解析版)

高考数学复习考点题型专题讲解题型:之圆锥曲线中的最值【解题题型一】：定点与椭圆上动点的距离的最值问题。

『解题策略』：定点与椭圆上动点的距离的最值：写出定点与椭圆上动点的距离表示，利用点在椭圆上可消去x 或y ，然后转化为关于y 或x 的二次函数，利用椭圆的有界性确定最值；或设椭圆的参数方程，利用三角函数的有界性去限定。

※椭圆上的点到两焦点距离最大、最小值的点为长轴两端点：min :;max :a c a c -+。

1.(高考题)设Q P ,分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( )A.25B.246+C.27+D.26 【解析】：法一：转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）2,46129)6(222+--=-+y y y x ,转化为二次函数，11-≥≥y ，当32-=y 时，取到最大值25，选D 。

法二：参数法，设⎩⎨⎧==θθsin cos 10y x ，代入转化为关于θsin （或θcos ）的二次函数。

2.(高考题)设椭圆方程为:1422=+y x ，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于点,A B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时。

求:（1）动点P 的轨迹方程；（2）求PN 的最值。

【解析】：（1）法一：Step1：设直线方程：当k 存在时，设l 的方程为1y kx =+；Step2：直线与曲线联立：⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得032)4(22=-++kx x k ；Step3：由韦达定理写出根与系数的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x ；Step4：代入关系式：1()2OP OA OB =+=1212(,)22x x y y ++224(,)44k k k -=++，设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x ，消去参数k 得0422=-+y y x ；当k 不存在时，得P(0,0)，满足0422=-+y y x ，即P 点的轨迹为：0422=-+y y x 。

高考数学专题复习：圆锥曲线中的最值(范围)问题

[解] (1)由题意知 M(0，－4)，F0，p2 ，圆 M 的半径 r＝1，所以|MF|－r＝4，即
p 2
＋4－1＝4，解得 p＝2.
(2)由(1)知，抛物线方程为 x2＝4y，
由题意可知直线 AB 的斜率存在，设 Ax1，x421
，Bx2，x422
，直线 AB 的方程为
y＝kx＋b，
联立得yx＝2＝k4xy＋，b，消去 y 得 x2－4kx－4b＝0，则 Δ＝16k2＋16b＞0 (※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
寻找不等关系的突破口 (1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围； (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围； (5)利用函数值域的求法，确定所求范围．
联立方程x42＋y2＝1，得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0. 由 Δ＝64m2－48(m2＋4)＞0，得 m2＞12，所以 y1y2＝m21＋2 4 .
λ＝|MA|·|MB|＝ m2＋1 |y1|· m2＋1 |y2|
＝(m2＋1)·|y1y2|＝12（mm2＋2＋41）＝121－m23＋4 . 由 m2＞12，得 0＜m23＋4 ＜136 ，所以349 ＜λ＜12.
已知椭圆 C：xa22
＋by22
＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝
3 2
，直线 x＋
3
y－1＝0 被以椭圆 C
的短轴为直径的圆截得的弦长为 3 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 M(4，0)的直线 l 交椭圆于 A，B 两个不同的点，且 λ＝|MA|·|MB|，求 λ 的取值

【高中数学】圆锥曲线中的定值与最值问题

圆锥曲线中的定值与最值问题一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．例1：过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于（）． A.2a B.12aC.4aD.4a解法1：（特殊值法）令直线l 与x 轴垂直，则有l ：14y a=12p q a ⇒==，所以有114p q a --+=解法2：（参数法）如图1，设11(,)P x y ，22(,)Q x y 且PM ，QN 分别垂直于准线于,M N ．114p PM y a ==+，214q QN y a ==+抛物线2y ax =（a ＞0）的焦点1(0,)4F a，准线14y a =-． ∴ l ：14y kx a =+又由m l ⋂，消去x 得222168(12)10a y a k y -++=∴212122121,216k y y y y a a ++==， ∴221212221111,()4164k k p q pq y y y y a a a a +++==+++=∴114p q a --+=．例2：过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．【解析】设直线PA 的斜率为PA K ，直线PB 的斜率为PB K ．由2112y px = 2002y px =相减得，101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PAy y p K x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得，2020202PB y y p K x x y y -==-+ 20()x x ≠由,PA PB 倾斜角互补知：PA PB K K =-∴102022p p y y y y =-++∴ 1202y y y +=-由2222y px = 2112y px =相减得，212121()()2()y y y y p x x -+=-∴ 21211200222AB y y p p p K x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数．例3：已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0=•MB MA ．求证：弦AB 必过一定点．【解析】设AB 所在直线方程为：x my n =+．与抛物线方程22y px =联立，消去x 得2220y pmy pn --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y 则122y y pm +=① 122y y pn =-②由已知0=•MB MA 得，1MA MB K K =-．即102010201y y y y x x x x --=---g ③∵221010101011()()()22x x y y y y y y p p -=-=-+ 222020202011()()()22x x y y y y y y p p-=-=-+∴③式可化为1020221p py y y y =-++g ，即221201204[()]p y y y y y y =-+++．将①②代入得，002n p my x =++．直线AB 方程化为：00002()2x my p x my m y y x p =+++=+++．∴直线AB 恒过点00(2,)x p y +-．【例4】(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证．(1)解法一设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20y 0＋4k 1k 1.④同理可得y 3y 4＝20y 0＋4k 2k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2k 1k 2＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400y 20－y 20＋16k 1k 2k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400. 【例5】已知椭圆C 的离心率3e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

圆锥曲线的定值、最值与定点问题和圆锥曲线中的“定值”问题

探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。

一、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。

例1 A 、B 是抛物线22y px =（p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB ，求证：（1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线AB 经过一个定点。

证明：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ），则2112y px =，2222y px =。

∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。

（2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y px x y y -=-+ ∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)px p y y =-+，∴直线AB 过定点（2p ，0）。

例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。

（1）试证明直线AB 的斜率为定值；（2）当直线AB 的纵截距为m （m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。

分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。

解析：（1）证明：把P(2，4)代入212y x h =-+，得h=6。

所以抛物线方程为：y －4=k(x －2)，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。

高考数学一轮复习圆锥曲线中最值定点定值调研课件文新人教A

【解析】
(1)由xa22＋yb22＝1， y＝－ x＋1，
消去 y 得(a2＋b2)x2－ 2a2x＋a2(1－ b2)＝0，
由Δ＝(－2a2)2－ 4a2(a2＋b2)(1－ b2)>0，
整理得 a2＋b2>1.
设 A(x ，y )，B(x ，y )，
1
1
2
2
2a2
a2（ 1－ b2）
则
x＋ 1
即点 Q(x，y)总在定直线 2x＋y－2＝0 上．
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。
第九章 ·专题研究
专 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 题 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。训 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
题型二定值、定点问题 x2 y2
例 2 (1)已知直线 y＝－x＋ 1 与椭圆a2＋b2＝1(a>b>0) 相交于 A、B 两点，且 OA⊥ OB.(其中 O 为坐标原点) 求证：不论 a、b 如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点 P，并求点 P 的坐标．
专题训练
2022/1/182022/1/18
高三数学（人教版）
(3)(厦门质检)如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点C(2,1)，点C关于原点O的对称点为D.

高中数学考前归纳总结圆锥曲线中的最值问题

一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，例1、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。

解、设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2,2,22a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ，由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =，则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m 。

当且仅当()22,222-∈±=m 取等号， ∴三角形PAB 面积的最大值为2。

（2）利用函数求最值，例2.如图，椭圆222:12x y C a +=的焦点在x 轴上，左右顶点分别为1,A A ，上顶点为B ，抛物线12,C C 分别以A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，1C 与2C 相交于直线2y x =上一点P.（1）求椭圆C 及抛物线12,C C 的方程；（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同的两点M,N，已知点(Q ，求QM QN 的最小值. 解：（1）由题意(,0),A a B ，故抛物线C 1 的方程可设为ax y 42=，C 2的方程为y x 242=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===xy y x axy 224422 得)28,8(,4P a =所以椭圆C:121622=+y x ，抛物线C 1：,162x y =抛物线C 2：y x 242= （2）由（1）知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为22-设直线l 方程为b x y +-=22由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+b x y y x 22121622，整理得0)168(28522=-+-b bx x因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以0)168(2012822>--=∆b b 解得1010<<-b设M （11,y x ）、N （22,y x ），则21212816,55b x x b x x -+== 58)(2221)22)(22(2221212121-=++-=+-+-=b b x x b x x b x b x y y 因为),2(),,2(2211y x y x +=+=所以2)(2),2)(,2(2121212211++++=++=⋅y y x x x x y x y x5141692-+=b b因为1010<<-b ，所以当98-=b 时，⋅取得最小值其最小值等于938514)98(516)98(592-=--+-⨯ 例3、已知抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为 1x )0(1>x ，过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线 :2pl y =于点M ，当2||=FD 时， 60=∠AFD ．（1）求证：AFQ ∆为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ，交直线l 于点N ，求PMN ∆面积的最小值，并求取到最小值时的1x 值．解：(1)设),(11y x A ，则切线AD 的方程为pxx p x y 2211-=，所以),0(),0,2(11y Q x D -，12||y p FQ +=，，所以||||FA FQ =，所以AFQ ∆为等腰三角形且D 为AQ 中点，所以AQ DF ⊥， 60,2||=∠=AFD DF ， 12,60==∠∴pQFD，得2=p ，抛物线方程为y x 42= （2）设)0(),(222<x y x B ，则B 处的切线方程为22222xx x y -=由)4,2(42422121222211x x x x P x x x y x x x y +⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，)1,22(14211211x x M y x x x y +⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-= 同理)1,22(22x x N +，所以面积212211221221116)4)(()41)(2222(21x x x x x x x x x x x x S --=---+=……①设AB 的方程为b kx y +=，则0>b由044422=--⇒⎩⎨⎧=+=b kx x yx bkx y ，得代入①得：bb k b b b b k S ++=++=2222)1(64)44(1616，使面积最小，则0=k ，得到bbb S 2)1(+=…………②令t b =，由②得t t t t t t S 12)1()(322++=+=，222)1)(13()(tt t t S +-='，所以当)33,0(∈t 时)(t S 单调递减；当),33(+∞∈t )(t S 单调递增，所以当33=t 时，S 取到最小值为9316，此时312==t b ，0=k ，所以311=y ，即3321=x 。

圆锥曲线最值范围定值(总结)

l
与椭圆x2＋ 2
y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得
向量O→P＋O→Q与A→B共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2，代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1，整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q，得 Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，
a
2
思路二：利用二次方程有实根
由椭圆定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又由 F1PF2 90 知 PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ，则可得 | PF1 || PF2 | 2(a 2 c2 ) ，这样| PF1 | 与| PF2 | 是方程 u 2 2au 2(a 2 c2 ) 0 的两个
证明由题意，知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线 y＝k(x－1)，代入x92＋y82＝1，得 8yk＋12＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，则 y1＋y2＝－8＋169kk2，y1y2＝－8＋649k2k2. 同理，将 y＝k(x－1)代入 y2＝4x，得 ky2－4y－4k＝0，则y3＋y4＝4k，y3y4＝－4，
a2 ，即 0
2c 2 a 2 e2
a 2 ，所以 e [
2 ，1）. 2
思路五：利用基本不等式
由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | ，平方后得

圆锥曲线中的定值与最值问题

圆锥曲线中的定值与最值问题一、知识点：1．椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下：（1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线方程都是二元二次的，所以它们属于二次曲线。

（2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合（或轨迹），这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。

（3）坐标法是研究曲线的一种重要方法。

本部分在第七章的基础上进一步学习了求曲线方程的一般方法，如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等。

2．解题时所使用的数学思想方法。

（1）数形结合的思想方法。

一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。

（2）转化的思想方汉。

如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。

（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。

（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。

3．圆锥曲线问题的解题规律可以概括为：“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。

”二、例题：1．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则恒有( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝02．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m,4(1<m <4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( )A ．3 B.94 C.52 D.323．过抛物线y 2＝2px (p >0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0等于( )A ．－2B ．2C ．4D ．－44．(2011·福州质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )A ．5B ．8C.17－1D.5＋25．已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．6．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△PAB 的面积的最小值为________．7．(2011·北京东城区期末)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是2 1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB 面积的最大值．8．已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB→为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)、(2，0)，离心率是63.直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直线作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；(3)设Q (x ，y )是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．答案：1. B 2.B 3.A 4.C 5.4 6.227.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a :b ＝2:1，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2. 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知，P (1，2)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k (x －1 )，y 24＋x 22＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k . 则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k 2. 所以k AB ＝y A －y B x A －x B ＝2为定值． (3)由(2)，设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0. 由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8.此时x A ＋x B ＝－2m 2，x A ·x B ＝m 2－44. 点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3， |AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝－32m 2＋12.∴S △PAB ＝12d ·|AB |＝12|m |3·24－3m 22＝12 m 2(8－m)22当且仅当m 2＝8－m 2即m 2＝4时，S max ＝ 2.8.假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线AB 与x 轴不垂直时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝36k 4－4 (3k 2＋1 )(3k 2－5 )>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1·x 2＝3k 2－53k 2＋1.所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.整理得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2＝(2m －13)(3k 2＋1 )－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k ＋1 ). 注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49. ②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为A (－1，23)、B (－1，－23)，当m ＝－73时，亦有MA →·MB →＝49. 综上，在x 轴上存在定点M (－73，0)，使MA →·MB →为常数． 9.(1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1，得x ＝±3(1－t 2) . 所以圆P 的半径为3(1－t 2) .当圆P 与x 轴相切时，|t |＝3(1－t 2) .解得t ＝±32所以点P的坐标是(0，±32 )．(3)由(2)知，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．因为点Q(x，y)在圆P上，所以y＝t±3 (1－t2)－x2≤t＋3(1－t2).设t＝cosθ，θ∈(0，π)，则t＋3(1－t2)＝cosθ＋3sinθ＝2sin(θ＋π6 )．当θ＝π3，即t＝12，且x＝0时，y取最大值2.。

新高考高三数学专题复习课件专题曲线的性质和轨迹问题圆锥曲线背景下的最值与定值问题(超详细讲解)

PQ 2, HP 3 1 x, HQ 3 1 x,故
3
3
2 1 1 , 化简得x2 27
2 3 1 x 3 1 x
3
3
但此时 y2 1 x2 1 3 0, 矛盾!
8
9
故 1 , 1 , 1 不可能成等差数列. HP PQ QH
但此时 y2 1 x2 1 3 0, 矛盾!
y
解得:e2 5 1 2
BP
则 c2 a2
b, 2
F1 O F2 A x
有2c2 a2b ac2 a 2
故所求椭圆的方程为
x2 y2 1 4 62 5
y BP
F1 O F2 A x
故所求椭圆的方程为
x2 y2 1 4 62 5
y BP
F1 O F2 A x
[说明] 本题采用了待定系数法求轨迹方程.
（高考复习课件）
新高考高三数学专题复习课件专题
曲线的性质和轨迹问题圆锥曲线背景下的最值与定值问题
【考点搜索】
【考点搜索】
1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质；
2.求曲线的方程的常见方法： ① 待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数； ② 定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系; ③ 代入法; ④ 参数法.
y
P是椭圆C上一点,O为
BP
坐标原点,已知PF1 PF2 0,| OA || OB || OP |2 .
F1 O F2 A x
(1)设椭圆的离心率为，证明 e2 1 ; 2
(2)证明：OP PA;
(3)设 PA 5 1, 求椭圆的方程.
y BP
F1 O F2 A x

高考数学二轮复习重要知识点之圆锥曲线中的最值与定值问题

高考数学二轮复习重要知识点之圆锥曲线中的
最值与定值问题
【考点透视】
圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：
当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。

【题型分析】
1.已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值
分析：设P（,），,点P到直线AB：x+2y=2的距离
∴所求面积的最大值为
（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）
2.已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为：（x0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，
此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设
A(x1,y1),B(x2,y2)，则
解得|k|1，
又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝2
综上可知的最小值为2
3.给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。

解：因为椭圆的…………点击查看全部内容。

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2 1
21 k AB 1, AB : y x 1. 2 y2 2 代入x 1得： 0. 2
2 2
( 2) 若l与双曲线的左、 C 右两支分别相交于点D、E , 求双曲线的离心率的取值 C e 范围.
( 2) 若l与双曲线的左、 C 右两支分别相交于点D、E , 求双曲线的离心率的取值 C e 范围.
a [解析] (1) l： ( x c ) y b a y b ( x c) , 解得 : y b x a
2
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导数的应用等知识.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导数的应用等知识. [解析] (1) AP ( x a , y a ) ( x a , x a )
2 2 2
则 f ( x ) AP ( x a ) ( x a )
A. [ 3 , 3 ]
B. ( , 3 ) [ 3 ,)
3 3 C. [ , ] 3 3
3 3 D. ( , ][ ,) 3 3
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[法二] 设A(a , b ), 当过点A的直线斜率不存
在时l与抛物线有且仅有一个公共点, 与题意不符, 可设直线的方程为: SR 1 2 y b k ( x a ), 与y x 联立消去得 : y 4 x 4kx 4ak 4b 0.
2
1 2 1 2 设S ( x1 , x1 ), R( x 2 , x 2 )( x1 x 2 ), 4 4
2
a a 2 4 当x 时, f ' ( x ) 0. 2 2 a a 2 当x a或x 时, 2 f ( x )有极小值 .
2
a a 2 4 当x 时, f ' ( x ) 0. 2 2 a a 2 当x a或x 时, 2 f ( x )有极小值 .
2 2 2 2 2
e 2. 即e 2 .
2
[例3] 已知点H (0,3), 点P在x轴上, 点Q 在y轴正半轴上点M在直线PQ上 , 且满足 , 3 HP PM 0, PM MQ. 2 (1) 当点P在x轴上移动时求动点M的 , 轨迹曲线的方程; C ( 2) 过定点A(a , b )的直线与曲线相交 C 于两点S、R, 求证：抛物线、R两点处的 S 切线的交点恒在一条直线上 B .
ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
a y ( x c) ( 2) b b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 a4 2 2 2 2 2 b x 2 ( x c) a b . b
法二：设 ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), A y 1 2 , 两式相减得: 2 y2 1 2 1 ( x1 x 2 )( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )( y1 y 2 ) 2 y1 y 2 2( x1 x 2 ) x1 x 2 , x1 x 2 y1 y 2 2 x1 则 x2 2
a a a c 2 2 2 即(b 2 ) x 2 2 cx ( 2 a b ) 0, b b b 4 2 a c 2 2 ( 2 a b ) b x1 x 2 0, 4 a 2 b 2 b 4 4 b a .
2
4
4
4 2
即b a , c a a .
x1 x 2 4k 则由韦达定理： x x 4(ak b ), 1 2 又过S、R点的切线方程分别为： 2 2 4 y 2 x1 x x1 ,4 y 2 x 2 x x 2 , x1 x 2 k x 2 2 ( k为常数) 联立并解之得 1 y x1 x 2 ak b 4 消去k , 得 : ax 2 y 2b 0, 故B点在直线2ax y b 0上 .
2
2
(1) 求直线AB的方程; ( 2) 如果线段的垂直平分线与双曲 AB 线交于C、D两点, 那么A、B、C、D是否共圆, 为什么？
[解析] (1) 法一：显然斜率存在, AB
设AB：y 2 k ( x 1),
y kx 2 k 由 2 y 得： x 2 1 ( 2 k 2 ) x 2 2k ( 2 k ) x k 2 4k 6 0 当 0时, 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) x1 x 2 k ( 2 k ) 则e 2 2 2k k 1满足 0 直线AB：y x 1.
2
2
b C. 4 4
2
D. 2b
【链接高考】
【链接高考】
[例1] 设抛物线y x 2过一定点A( a , a 2 )
( a 2 ), P ( x , y )是抛物线上的动点 . (1) 将 AP 表示为关于的函数f ( x ), 并 x 求当x为何值时 f ( x )有极小值 , ; ( 2) 设 (1)中使f ( x )取极小值的正数为 x x 0 , 求证：物线在点 ( x 0 , y0 )处的切线与抛 P 直线AP0垂直.
抛物线上、R处的切线方程为： S 1 2 1 2 y x1 x1 ( x x1 )即4 y 2 x1 x x1 2 4 2 1 2 1 2 y x 2 x 2 ( x x 2 )即4 y 2 x 2 x x 2 3 4 2 x1 x 2 x 2 , 联立 2 3 , 并解之得: 1 y x1 x 2 4 代入 1 得：ax 2 y 2b 0. 故B点在直线 2 y 2b 0上 . ax
[答案]
C
x y 2. 若动点( x , y )在曲线 2 1 4 b 2 (b 0)上变化, 则x 2 y的最大值为 ) (
b2 b2 4 ( 0 b 4) 4 ( 0 b 2) A. 4 B. 4 2b 2b ( b 4) ( b 2)
2
1 2 1 2 [法一] ( 2) 设A(a , b), S ( x1 , x1 ), R( x 2 , x 2 ) 4 4 1 2 ( x1 x 2 ), 则直线SR的方程为: y x1 4 1 2 1 2 x 2 x1 4 4 ( x x ), 即4 y ( x x ) x x x . 1 1 2 1 2 x 2 x1 A点在SR上 , 4b ( x1 x 2 )a x1 x 2 1 1 2 1 对y x 求导得: y' x . 4 2
a 2 , 此方程有三个根 1 a , x a a2 2 a a2 2 x2 , x3 , 2 2 1 当x a时, f ' ( x ) 0; a a 2 2 当 a x 时, f ' ( x ) 0; 2 a a2 2 a a2 2 3当 x 时, 2 2 f ' ( x ) 0;
2
2
b C. 4 4
2
D. 2b
x y 2. 若动点( x , y )在曲线 2 1 4 b 2 (b 0)上变化, 则x 2 y的最大值为 A ) (
b2 b2 4 ( 0 b 4) 4 ( 0 b 2) A. 4 B. 4 2b 2b ( b 4) ( b 2)
2
[例2] (长郡05届月考题)已知双曲线： C
x y 2 1(a 0, b 0), B是右顶点 F是 , 2 a b 右焦点, 点A在x轴正半轴上且满足 OA 、 , OB 、成等比数列过F作双曲线在第 OF , C 一、三象限的渐近线的线l , 垂足为P . 垂 (1) 求证 : PA OP PA FP;
2 2 4 2 2
2
2 2 4 2
x (1 2a ) x 2ax a a . f ' ( x ) 4 x 2(1 2a ) x 2a .
3 2
令f ' ( x ) 0得 : 2 x (1 2a ) x a 0,
3 2
即
( x a )( 2 x 2 2ax 1) 0.
a ab P ( , ). OA 、、成等比数列 OB OF , c c 2 a ab A( ,0). PA (0, ). c c
2
a ab OP ( , ), c c 2 b ab FP ( , ), c c
2
ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
y [例4] 设双曲线x 1上两点A、 , AB B 2 中点M (1,2).
2
2
(1) 求直线AB的方程; ( 2) 如果线段的垂直平分线与双曲 AB 线交于C、D两点, 那么A、B、C、D是否共圆, 为什么？
y [例4] 设双曲线x 1上两点A、 , AB B 2 中点M (1,2).
专题八圆锥曲线背景下的最值