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相似三角形组卷

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数学初三相似三角形试卷

数学初三相似三角形试卷

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各组图形中，能够构成相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 两个直角三角形D. 两个锐角三角形2. 已知两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，则下列说法正确的是（）A. 三角形ABC与三角形DEF相似B. 三角形ABC与三角形DEF不一定相似C. 三角形ABC与三角形DEF一定不相似D. 无法判断三角形ABC与三角形DEF是否相似3. 在相似三角形中，对应边的比称为（）A. 相似比B. 对应角C. 相似中心D. 相似轴4. 若一个三角形的边长分别为3、4、5，那么与这个三角形相似的三角形的边长可能是（）A. 6、8、10B. 6、9、12C. 7、10、14D. 8、12、165. 在相似三角形中，若相似比为2：1，则周长比是（）A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：4二、填空题（每题4分，共16分）6. 如果两个相似三角形的相似比是3：2，那么它们的面积比是_______。

7. 在相似三角形中，如果相似比是5：3，那么对应高的比是_______。

8. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，DE=4cm，那么BC与EF的比是_______。

9. 在相似三角形中，若一个三角形的周长是另一个三角形的3倍，则它们的相似比是_______。

10. 两个相似三角形的相似比为1：2，那么它们的面积比是_______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，点D、E分别在边AB、BC上，且AD=DE=EC。

求证：三角形ADE与三角形ABC相似。

12. （10分）已知两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=30°，∠D=45°，∠B=∠E=75°。

求证：三角形ABC与三角形DEF相似。

相似三角形单元测试卷(含答案)

相似三角形单元测试卷(含答案)

1 / 3相似三角形单元测试卷（共100分）一、填空题:（每题5分，共35分）1、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．2、一本书的长与宽之比为黄金比，若它的长为20cm ，则它的宽 是 cm （保留根号）．3、如图1，在ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶BD ＝1∶2，则S S ADE ∆=四边形DBCE : ．图1 图2 图34、如图2，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种）5、如图3，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条．图4 图5 图66、如图4，四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝ ．7、如图5，ΔABC 与ΔDEF 是位似三角形，且AC ＝2DF ，则OE ∶OB ＝ ． 二、选择题: （每题5分，共35分） 8、若k bac a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ） A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、不存在9、如图6，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（）A 、21 B 、31C 、32D 、41图7 图8 图910、如图7，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分，若BC=12cm ，则FG 的长为（ ）A 、8cmB 、6cmC 、64cmD 、26cm 11、下列说法中不正确的是（ ）A ．有一个角是30°的两个等腰三角形相似；B ．有一个角是60°的两个等腰三角形相似；C ．有一个角是90°的两个等腰三角形相似；D ．有一个角是120°的两个等腰三角形相似.12、如图9, D 、E 是AB 的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中2 / 3三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:413、两个相似多边形的面积之比为1∶3，则它们周长之比为（ ）A ．1∶3B ．1∶9C ．1D ．2∶3 14、下列3个图形中是位似图形的有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 三、解答题（15题8分，16题10分，17题12分，共30分） 15、如图，已知AD 、BE 是△ABC 的两条高，试说明AD ·BC=BE ·AC16、如图所示,小华在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点P 时, 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部,当他向前再步行12m 到达点Q 时, 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部,已知小华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB. (1)求两个路灯之间的距离; (2)当小华走到路灯B 时,他在路灯A 下的影长是多少?17.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm 2）（1）当t=1秒时，S 的值是多少？（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．参考答案一、 填空题：（1）、1或4或16；（2）、±6；（3）、-94；（4）、1.6或2.5；（5）、)15(10 ； （6）、1：8；（7）、∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB ；（8）、31.5； （9）、0.2；（10）、3；（11）、2.4；（12）、1：2 A BC ED三、作图题：23、（略）四、解答题：24、证明：∵AD、BE是△ABC的高∴∠ADC=∠BEC∵∠C=∠C∴△ADC∽△BEC∴AD：BE=AC：BC∴AD×BC=BE×AC25、解：由图得，AB=5，AC=25，BC=5，EF=2，ED=22，DF=10，∴AB：EF=AC：ED=BC：DF=5：2∴△ABC∽△DEF26、解：过点C作C E∥AD交AB于点E，则CD=AE=2m，△BCE∽△B/BA/∴A/ B/：B/B=BE：BC 即，1.2：2= BE：4∴BE=2.4∴AB=2.4+2=4.4答：这棵树高4.4m。

初中数学组卷：相似三角形性质(含答案)

初中数学组卷：相似三角形性质(含答案)

初中数学组卷：相似三角形性质一．选择题（共10小题） 1．已知△ABC ∽△DEF ，点A 、B 、C 对应点分别是D 、E 、F ，AB ：DE=9：4，那么S △ABC ：S △DEF 等于（ ） A ． 3：2 B ． 9：4 C ． 16：81 D ． 81：16 2．彼此相似的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3，…，按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y=kx+b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1、B 2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn 的坐标是（ ）A ． （2n ﹣1，2n ）B ． （2n ﹣，2n ）C ． （2n ﹣1﹣，2n ﹣1） D ． （2n ﹣1﹣1，2n ﹣1） 3．如图，已知Rt △ABC 中，AB=5，BC=3，在线段AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交AC 于E ，将△ADE 沿DE 折叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为A 1，又设DA 1的中点为F ，若△FEA 1∽△FBE ，则AD 等于（ ）A ．B ．C ． D．4．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A 1B 1C 1D 1，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积与四边形ABCD 的面积之比为（ ） A ． 2：1 B ． 3：1 C ． 4：1 D ．5： 15．如图，△ACD ∽△ABC ，则下列式子：①CD 2=AD •DB ；②AC 2=AD •AB ；③=．其中一定成立的有（ ） A ． 3个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 0个 6．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′、B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，且AD=4，A ′D′=3，BE=6，则B ′E ′的长为（ ） A ． B ． C ． D． 7．如图，在Rt △ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点， 若△CBD ∽△BAD ，则x 的可能值是（ ）A ．15 B．20 C．25 D．308．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如A3）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号（A4）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A ．1.414：1 B．1：1 C．1：0.618 D．1.732：19．在一场赈灾演出中，根据需要必须用灯光照亮舞台中一个半径为2米的圆形区域，但由于当地条件简陋，当时没有这样的灯，舞台监督要求用另一种可照半径为1米的灯代替，那么至少需这样的代用灯（）A ．5盏B．6盏C．7盏D．8盏10．在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）A ．3个B．4个C．5个D．6个二．填空题（共10小题）11．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N 在CD上，且，若AB=1，设BM=x，当x=时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．12．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=．13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1EF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S2015=．14．两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为cm，面积为cm2．15．已知一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，另一直线y=kx+3交x轴正半轴与E，交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那么k值为．16．如图，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．将矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，则整个旋转过程中△ACE的最大面积为．17．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A 落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．18．、如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM=时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．19．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（10，0），C（0，4），点P是边OA上一点，若△OPC与△ABP相似，则满足条件的点P有（用坐标示）20．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．三．解答题（共9小题）21．（2014秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．23．如图：矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路．（1）草坪的长与宽的比值m=，外围矩形的长与宽的比值n=．（用含有a、b、x的代数式表示）；（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？24．矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD 相似，试求AD的长？（2）若使AD=+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．25．如图，∠ABC=90°，BC=4，AC=5，以BC为公共边的直角△BCD与△ABC相似，且D、A在BC的两侧，求BD的长．（只要写出两种情况即可）26．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，，点P在△ABC内，且PB=PC，点M是斜边AB上的中点，直线PM与边BC的交点为D（如图），点Q是直线PM上的一动点．（1）试判断直线PM与AC的位置关系，并证明你的结论；（2）当Q在△ABC的外部时，已知由点Q、B、D组成的三角形与△ABC相似，求QM的长；（3）当Q不在△ABC的边上时，设BQ=x，△BQM的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式及函数的定义域．27．若矩形ABCD能以某种方式分割成n个小矩形，使得每个小矩形都与原矩形ABCD相似，则此时我们称矩形ABCD可以自相似n分割，已知AB=1，BC=x（x≥1），（1）若下图可以自相似2分割，请在图中画出分割草图，并求出x的值．（2）若矩形ABCD可以自相似3分割，请画出两种不同分割的草图，并直接写出相应的x 值．28．已知A、B在直线l的同侧，自A、B向l作垂线，垂足分别为M、N，且AM=8，BN=6，MN=16，在线段MN上取一点C，使得△AMC与△BNC相似，求MC的值．29．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．2015年04月16日刘笑天的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•金山区一模）已知△ABC∽△DEF，点A、B、C对应点分别是D、E、F，AB：DE=9：4，那么S△ABC：S△DEF等于（）A ．3：2 B．9：4 C．16：81 D．81：16考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE=9：4，∴S△ABC：S△DEF=81：16．故选D．点评：本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．2．（2014•杭州模拟）彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x 轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（）A ．（2n﹣1，2n）B．（2n﹣，2n）C．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）考点：相似多边形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：根据矩形的性质求出点A1、A2的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出k、b，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出A3的坐标，然后求出B3的坐标，…，最后根据点的坐标特征的变化规律写出B n的坐标即可．解答：解：∵B1（1，2），∴相似矩形的长是宽的2倍，∵点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），∴A1（0，2），A2（1，4），∵点A1，A2在直线y=kx+b上，∴，解得，∴y=2x+2，∵点A3在直线y=2x+2上，∴y=2×3+2=8，∴点A3的坐标为（3，8），∴点B3的横坐标为3+×8=7，∴点B3（7，8），…，B n的坐标为（2n﹣1，2n）．故选A．点评：本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点A的系列坐标判断出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点B的系列坐标的变化规律是解题的关键．3．（2014秋•拱墅区期末）如图，已知Rt△ABC中，AB=5，BC=3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于E，将△ADE沿DE折叠，设点A落在线段BD上的对应点为A1，又设DA1的中点为F，若△FEA1∽△FBE，则AD等于（）A ．B．C．D．考点：相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到DA1=AD=2x，DF=A1F=x，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出EF，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．解答：解：∵Rt△ABC中，AB=5，BC=3，∴AC==4，设AD=2x，则DA1=AD=2x，∵DA1的中点为F，∴DF=A1F=x，∵∠ADE=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，解得：DE=，∴EF==，FB=AB﹣AF=5﹣3x，∵△FEA1∽△FBE，∴，∴EF2=FA1•FB，∴（）2=x•（5﹣3x），解得：x=，∴AD=．故选A．点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4．（2014春•沙河市期中）如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（）A ．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质．分析：判断出四边形A1B1C1D1与四边形ABCD相似并求出相似比，再根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：1，∴四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为4：1．故选C．点评：本题考查了相似多边形的性质，坐标与图形性质，熟记性质并判断出两个四边形相似是解题的关键．5．（2014秋•江阴市校级期中）如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A ．3个B．1个C．2个D．0个考点：相似三角形的性质．分析：由△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，可得AC：AB=AD：AC=CD：BC，继而求得答案．解答：解：∵△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC=CD：BC，∴AC2=AD•AB，只有②正确．故选B．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．（2013•柳州模拟）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为（）A ．B．C．D．考点：相似三角形的性质．分析：利用相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比求解．解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴∵AD=4，A′D′=3，BE=6，∴解得：B′E′=．故选D．点评：本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比．7．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，若△CBD∽△BAD，则x的可能值是（）A ．15 B．20 C．25 D．30考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形对应角相等可得∠A=∠DBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得6x=∠A+90°，根据图形判断出∠A＜45°，然后求出x的取值范围，再根据∠ACB是钝角求出x的取值范围，选择答案即可．解答：解：∵△CBD∽△BAD，∴∠A=∠DBC，由三角形的外角性质得，∠ACB=∠DBC+∠D，∴6x=∠A+90°，∵∠A＜45°，∴6x＜45°+90°，解得x＜22.5°，又∵6x＞90°，∴x＞15°，∴x的可能值是20．故选B．点评：本题考查了相似三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，列出两个不等式并求出x的取值范围是解题的关键．8．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如A3）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号（A4）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A ．1.414：1 B．1：1 C．1：0.618 D．1.732：1考点：相似多边形的性质．专题：常规题型．分析：由题意得，小长方形长：宽=大长方形长：宽，相似比为大矩形的长：小矩形的长，据此求解．解答：解：设小长方形的宽为x，长为y，则大长方形的宽为y，长为2x，由题意得：y：x=2x：y，∴x：y=1：，设x=k，y=k，则2x=k，∴相似比=2x：y=2k：k=：1≈1.414：1．故选A．点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比等于相似比．9．在一场赈灾演出中，根据需要必须用灯光照亮舞台中一个半径为2米的圆形区域，但由于当地条件简陋，当时没有这样的灯，舞台监督要求用另一种可照半径为1米的灯代替，那么至少需这样的代用灯（）A ．5盏B．6盏C．7盏D．8盏考点：相似多边形的性质．分析：用一个半径为一米的圆为圆心，将其余多个半径为1米的灯围绕到其周围，使光照区域的“半径”基本达到两米即可满足需要．解答：解：如图，设半径为2的圆的圆心是O，在圆周上作正六边形ABCDEF，其边长都是2．再分别以各边中点为圆心作六个半径为l的圆．所以共需7盏灯．故选C．点评：此题将实际问题与圆的半径与面积相结合，考查了同学们的估算能力．此题中多盏灯组合的效果未必与原来一盏灯的效果相同，只要基本相同即可．10．（2010秋•东营期末）在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）A ．3个B．4个C．5个D．6个考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．分析：由相似三角形对应边成比例且夹角相等的三角形相似，分别从若△OCD∽△OBA 与若△OCD∽△OAB去分析即可求得答案．解答：解：如图：若△OCD∽△OBA，则需，∴，∴OD=，∴D与D′的坐标分别为（，0），（﹣，0），若△OCD∽△OAB，则需，即，∴OD=6，∴D″与D′″的坐标分别为（6，0），（﹣6，0）．∴若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有4个．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．注意分类讨论思想与数形结合思想的应用是解此题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2015•临淄区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且，若AB=1，设BM=x，当x=或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．考点：相似三角形的性质；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：根据正方形的四条边都相等求出CN的长度，再根据相似三角形对应边成比例，分①CN与BM是对应边，②CN与AB是对应边两种情况列式求解即可．解答：解：∵，AB=1，∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①当CN与BM是对应边时，=，即=，解得x=，②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．综上所述，x的值是或．故答案为：或．点评：本题考查了正方形的四条边都相等，相似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边没有明确，注意要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．12．（2014•滕州市模拟）如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=或2．考点：相似多边形的性质．分析：用AD和AB表示出DE，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．解答：解：∵四边形ABFE是正方形，∴DE=AD﹣AB，∵剩下的矩形对开后与原矩形相似，∴=，即=，整理得，2AD2﹣2AD•AB﹣AB2=0，解得AD=AB，AD=AB（舍去），∴AD：AB=，或=，=，整理得AD=2AB，∴AD：AB=2，综上所述，AD：AB=或2．故答案为：或2．点评：本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．13．（2014秋•内江期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1EF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S2015=（）2014．考点：相似多边形的性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：先计算出S△ABC=2，在利用相似三角形的性质计算出S△CDE=，同理可得S△BEF=，则S1=1，再证明四边形E1D1EF1与四边形EDAF相似，利用相似多边形的性质得=（）2=，可计算得S2=，同理可得S3=（）2，然后根据由此规律易得S2015的值．解答：解：∵∠C=90°，AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，∵点E为BC的点，ED∥AB，∴=（）2=∴S△CDE=，同理可得S△BEF=，∴S1=1，∵取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1EF1，∴四边形E1D1EF1与四边形EDAF相似，∴=（）2=，∴S2=，同理可得S3=（）2，由此规律可得S2015=（）2014．故答案为（）2014．点评：本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比；对应角相等；对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．也考查了等腰直角三角形．14．（2013秋•沈丘县校级期末）两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为14cm，面积为cm2．考点：相似三角形的性质．分析：由两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，可得此相似三角形的相似比为：6：18=1：3；即可得此相似三角形的周长比为：1：3，面积比为：1：9，又由较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，即可求得答案．解答：解：∵两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，∴此相似三角形的相似比为：6：18=1：3；∴此相似三角形的周长比为：1：3，面积比为：1：9，∵较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，∴较小三角形的周长为：42×=14（cm），面积为：12×=（cm2）．故答案为：14，．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．15．（2013秋•开封县期末）已知一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，另一直线y=kx+3交x轴正半轴与E，交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那么k值为﹣2或﹣．考点：相似三角形的性质；两条直线相交或平行问题．分析：根据直线解析式求出点A、B、F的坐标，再根据相似三角形对应边成比例分OE和OA、OB是对应边两种情况讨论求出OE的长，然后求出直线y=kx+3的解析式，即可得解．解答：解：∵一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，∴A（﹣1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，∵直线y=kx+3交y轴于F点，∴F（0，3），∴OF=3，∵△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，∴=或=，即=或=，解得OE=或OE=6，当OE=时，y=﹣2x+3，或OE=6时，y=﹣x+3，所以，k=﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，两直线相交的问题，难点是要分情况讨论．16．（2014秋•北塘区校级期中）如图，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．将矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，则整个旋转过程中△ACE的最大面积为8+8．考点：相似多边形的性质；旋转的性质．分析：先根据相似多边形对应边的比相等的性质求出OF=，OD=1，由勾股定理得到OE==2，将矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，再利用三角形的面积公式求解即可．解答：解：∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4，∴OF=，OD=1，∴OE===2，所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，AC===8，∴8h=4×4，解得h=2，∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，S最大=×8（2+2）=8+8．故答案为8+8．点评：本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键．17．（2013•潍坊）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）．专题：几何综合题；压轴题．分析：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC===8，设AD=2x，∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，∴AE=DE=DE1=A1E1=x，∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴=，即=，解得DF=x，在Rt△DE1F中，E1F===，又∵BE1=AB﹣AE1=10﹣3x，△E1FA1∽△E1BF，∴=，∴E1F2=A1E1•BE1，即（）2=x（10﹣3x），解得x=，∴AD的长为2×=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．18．（2013秋•宁津县期末）如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM=或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．考点：相似三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．分析：由正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，即可求得BE的值，分别从若△ABE∽△NDM与若△ABE∽△MDN，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠A=90°，∴AB=BC=2，∵E为BC的中点，∴BE=1，若△ABE∽△NDM，则，即：=2，设DM=x，DN=2x，∴x2+（2x）2=1，解得：x=；若△ABE∽△MDN，则，即：=，设DM=2y，DN=y，∴（2y）2+y2=1，解得：2y=；∴当DM=或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故答案为：或．点评：此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用．19．（2013秋•赛罕区校级期末）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（10，0），C（0，4），点P是边OA上一点，若△OPC与△ABP相似，则满足条件的点P有（2，0）或（8，0）或（5，0）（用坐标示）考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．分析：设OP=x，表示出AP，然后分情况根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：∵A（10，0），C（0，4），∴OA=10，OC=AB=4，设OP=x，则AP=10﹣x，∵△OPC与△ABP相似，∴=或=，即=或=，解得x=2、x=8或x=5，∴点P的坐标为（2，0）或（8，0）或（5，0）．故答案为：（2，0）或（8，0）或（5，0）．点评：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．20．（2011•苏州）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．解答：解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，∴=，∵AB=2AD，S△ABC=，∴S△ADE=，如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，∴AH=HF，设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．又∵S△ADE=，作CM⊥AB交AB于M，∵△ABC是面积为的等边三角形，∴×AB×CM=，∠BCM=30°，设AB=2k，BM=k，CM=k，∴k=1，AB=2，∴AE=AB=1，∴x+x=1，解得x==．∴S△AEF=×1×=．故答案为：．点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．三．解答题（共9小题）21．（2014秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．考点：相似多边形的性质．分析：（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．解答：解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．点评：本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等．也考查了矩形的面积．22．（2014秋•揭西县校级期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．考点：相似三角形的性质．专题：动点型．分析：首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=AB ﹣AP=（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从与分析，即可解答：解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．23．（2012春•新浦区校级期中）如图：矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路．（1）草坪的长与宽的比值m=a：b，外围矩形的长与宽的比值n=（a+2x）：（b+2x）．（用含有a、b、x的代数式表示）；（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？考点：相似多边形的性质．分析：（1）由矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），即可求得草坪的长与宽的比值m的值，又由沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路，可求得外围矩形的长与宽的比值n的值；（2）利用作差法可得m﹣n=，又由a＞b，即可得m＞n；（3）根据相似多边形的判定定理，可知需要m=n时，图中的两个矩形相似，由（2）可得，m＞n，所以图中的两个矩形不相似．解答：解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），∴草坪的长与宽的比值m=a：b，外围矩形的长与宽的比值n=（a+2x）：（b+2x）；（2）m﹣n=﹣==，∵a＞b＞0，∴m﹣n=＞0，（3）若图中的两个矩形相似，则需m=n，∵m＞n，∴图中的两个矩形不相似．故答案为：（1）a：b，（a+2x）：（b+2x）．点评：此题考查了相似多边形的判定与分式的加减运算．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．24．（2011秋•萧山区校级月考）矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？（2）若使AD=+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．考点：相似多边形的性质；矩形的性质．专题：存在型．分析：（1）先根据矩形EFCD∽矩形CBAD可得出两矩形的对应边成比例，再AD=2CF=2x，把CD、AB的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出AD的值；（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC必与AD对应，ED必与DC对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出ED的长，进而可得出AE的长，进而可得出结论．解答：解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，∴=，（2分）又∵CD=AB=2，可设AD=2CF=2x，∴=，（2分）则：x=，故：AD=2．（1分）（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似；则DC必与AD对应，ED必与DC对应，有：=，。

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。

答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。

答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。

因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。

设BC=2x，则EF=3x。

由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。

因此，BC=6cm，
EF=9cm。

2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。

答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。

因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。

所以相似比为√(2/3)。

相似三角形组卷(含答案及解析)

相似三角形组卷(含答案及解析)

初中数学组卷一．选择题（共10小题）1．（2011•嘉兴校级模拟）下列3个矩形中，相似的是（）①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cmA．①②和③B．①和② C．①和③ D．②和③2．（2010•南平）下列说法中，错误的是（）A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正方形都相似3．（2014•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43题4题5题6题4．（2014•上海模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2013•丹东一模）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）A．一定相似B．当E是AC中点时相似C．不一定相似D．无法判断6．（2012•牡丹江）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A．4对B．5对C．6对D．7对7．（2012•攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7题8题9题8．（2011•万州区模拟）如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五个结论：①EC=BD；②EC⊥BD；③S四边形EBCD=EC•BD；④S△ADE=S△ABC；⑤△EBF∽△DCF；其中正确的有（）A．①②④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤9．（2014•南通）如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣610．（2014•孝感模拟）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于G ，连结BE ．下列结论中：①CE=BD=2；②△ADC 是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB ；④CD •AE=EF •CG ．一定正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二．填空题（共10小题） 11．（2013•枣庄）已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，将△ABE 沿AE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点．若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= _________ ．11题 12题 13题12．（2015•闸北区一模）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点P 是AD 边上一点，联结PB 、PC ，且AB 2=AP •PD ，则图中有 _________ 对相似三角形．13．（2014•西青区一模）如图，已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠DEC ，且点E 为AB 边中点，则图中有 _________ 对相似三角形．14．（2014•大港区二模）如图，点D 、E 、F 在△ABC 三边上，EF 、DG 相交于点H ，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH 相似的三角形的个数是 _________ ．14题 15题 16题15．（2013•本溪）如图，在矩形ABCD 中，AB=10，AD=4，点P 是边AB 上一点，若△APD 与△BPC相似，则满足条件的点P 有 _________ 个．16．（2010•汾阳市校级自主招生）如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．则图中相似三角形（相似比为1除外）有_________ ．17．（2014•嘉定区一模）将一副三角尺按照如图所示的方式叠放在一起（∠B=45°，∠D=30°），点E 是BC 与AD 的交点，则的值为 _________ ．17题 18题 19题18．（2014•沛县模拟）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（6，0），D ，E 分别是线段AO ，AB 上的点，以DE 所在直线为对称轴，把△ADE 作轴对称变换得△A ′DE ，点A ′恰好在x 轴上若△OA ′D 与△OAB 相似，则OA ′的长为 _________ ．19．（2014•香坊区模拟）在△ABC 中，分别以AB ，AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=∠ACE=30°，连接DE ．若DE=5，则BC 长为 _________ ．20．（2014•淮北一模）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ，在BC 上截取BF=AE ，连接AF 交CE 于点G ，连接DG交AC 于点H ，过点A 作AN ⊥BC ，垂足为N ，AN 交CE 于点M ．则下列结论：①CM=AF ；②CE ⊥AF ；③△ABF ∽△DAH ；④GD 平分∠AGC ，其中正确的序号是 _________ ．三．解答题（共10小题） 21．（2015•普陀区一模）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 在边BC 上，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，E 、F 分别是垂足．（1）求证：AC 2=AF •AD ；（2）联结EF ，求证：AE •DB=AD •EF ．22．（2015•长宁区一模）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，点G 在AD 上，过G 作BC的平行线分别与AB 、AC 交于P 、Q 两点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，过点Q 作QF ⊥BC 于点F ．设AD=80，BC=120，当四边形PEFQ 为正方形时，试求此正方形的边长．23．（2014•梅州）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D 是AC 上的动点，过D作DF ⊥BC 于F ，过F 作FE ∥AC ，交AB 于E ．设CD=x ，DF=y ．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当四边形AEFD 为菱形时，求x 的值；（3）当△DEF 是直角三角形时，求x 的值．24．（2014•义乌市）等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ．（1）若AE=CF ；①求证：AF=BE ，并求∠APB 的度数；②若AE=2，试求AP •AF 的值；（2）若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长．25．（2014•柳州）如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于F ，连接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q ．（1）求线段PQ 的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．26．（2014•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．27．（2014•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．28．（2014•荔城区二模）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．29．（2014•奉贤区二模）已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：BC•AD=DE•AC．30．（2014•江西模拟）图1是一辆自行车的侧面图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面l于点D．（可以使用科学计算器）（1）后轴轴心A与中轴轴心C所在的直线AC与地面l是否平行？请说明理由．（2）求∠ACB的大小（精确到1°）（3）如果希望车座B到地面的距离B′E′为93.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？2015年03月18日刘笑天的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2011•嘉兴校级模拟）下列3个矩形中，相似的是（）①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cmA ．①②和③B．①和②C．①和③D．②和③考点：相似多边形的性质．分析：两个矩形判定是否相似，可以判断对应边的比是否相等．解答：解：①与②中矩形长与宽的比分别为≠不相似．①与③中矩形长与宽的比分别为=相似．②与③中矩形长与宽的比分别为≠不相似．故选C．点评：本题考查相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角的比相等．两个条件应该同时成立．2．（2010•南平）下列说法中，错误的是（）A ．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C ．矩形都相似D．正方形都相似考点：相似多边形的性质．专题：压轴题．分析：根据相似三角形的判定及相似多边形的定义作答．解答：解：A、由于等边三角形的每个角都等于60°，根据有两角对应相等的两三角形相似，知等边三角形都相似正确，故选项错误；B、由于任意一个等腰直角三角形的三个内角的度数是45°，45°，90°，根据有两角对应相等的两三角形相似，知等腰直角三角形都相似正确，故选项错误；C、由于矩形对应边的比不一定相等，根据相似多边形的定义知矩形都相似，不正确，故选项正确；D、由于正方形的每个角都相等，每条边也相等，根据相似多边形的定义知正方形都相似正确，故选项错误．故选C．点评：有两角对应相等的两三角形相似．如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．3．（2014•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A ．1 B．2 C．3 D．4考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．解答：解：如图①，∠OAB=∠BAC1，∠AOB=∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2=∠OAB，故△AOB∽△BAC2；如图③，AC3∥OB，∠ABC3=90°，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△C3BA；如图④，∠AOB=∠BAC4=90°，∠ABO=∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．故选D．点评：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．4．（2014•上海模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定．分析：利用相似三角形的判定方法，①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似；③利用三角形三边对应比值相等两三角形相似，进而判断得出答案．解答：解：①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；②∵AB2=AD•AC∴=，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；③过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AB，垂足为点F．在Rt△AEB和Rt△AFD中，∵sin∠BAE=sin∠DAF，∴=，即=．又∵AD•BC=AB•BD∴=，于是=．∴Rt△BDF∽Rt△CBE．∴∠ABD=∠C．∴△ABD∽△ACB．④∵AB•BC=AC•BD，∴=，∴无法得出△ABD∽△ACB；故选：C．点评：此题主要考查了相似三角形的判定，熟练利用两边对应比值相等且夹角相等的三角形相似得出是解题关键．5．（2013•丹东一模）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）A ．一定相似B．当E是AC中点时相似C ．不一定相似D．无法判断考点：相似三角形的判定．分析：首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得△COE≌△BOF，则可得△OEF是等腰直角三角形，继而可得△OEF与△ABC的关系是相似．解答：解：连结OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵点O为AB的中点，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF，在△COE和△BOF中，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△△CAB．故选：A．点评：此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．6．（2012•牡丹江）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E 作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A ．4对B．5对C．6对D．7对考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．解答：解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∽△CDA，∵GE∥BC，AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE．故选B．点评：本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质的应用，主要考查学生运用相似三角形的判定定理进行推理的能力，注意：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．7．（2012•攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理．分析：由△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，根据全等三角形的性质，即可求得BC=DE，∠BAC=∠DAE，继而可得∠1=∠2，则可判定①②正确；由△ABC≌△ADE，可得AB=AD，AC=AE，则可得AB：AC=AD：AE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，即可判定③正确；易证得△AEF∽△OCF与△AOF∽△CEF，继而可得∠OAE+∠OCE=180°，即可判定A、O、C、E四点在同一个圆上．解答：解：∵△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，∴∠BAC=∠DAE，BC=DE，故②正确；∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠2，故①正确；∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，AC=AE，∴，∵∠1=∠2，∴△ABD∽△ACE，故③正确；∵∠ACB=∠AEF，∠AFE=∠OFC，∴△AFE∽△OFC，∴，∠2=∠FOC，即，∵∠AFO=∠EFC，∴△AFO∽△EFC，∴∠FAO=∠FEC，∴∠EAO+∠ECO=∠2+∠FAO+∠ECO=∠FOC+∠FEC+∠ECO=180°，∴A、O、C、E四点在同一个圆上，故④正确．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点共圆的知识．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意找到相似三角形是解此题的关键．8．（2011•万州区模拟）如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五个结论：①EC=BD；②EC⊥BD；③S四边形EBCD=EC•BD；④S△ADE=S△ABC；⑤△EBF∽△DCF；其中正确的有（）A①②④⑤B①②③④C①②③⑤D①②③④⑤．．．．考点：相似三角形的判定；三角形的面积；等腰直角三角形．专题：常规题型．分析：①利用边角边可以证明△EAC≌△BAD，得到EC=BD．②利用①的结论，有∠AEC=∠ABD，而∠FEB+∠FBE=∠AEB﹣∠AEC+∠ABE+∠ABD=45°﹣∠AEC+45°+∠ABD=90°，所以EC⊥BD．③根据②的结论，EC⊥BD，可以得到S四边形EBCD=EC•BD．④因为∠EAD+∠BAC=180°，sin∠EAD=sin∠BAC，所以S△ADE=S△ABC．⑤因为两个等腰直角三角形的腰不一定相等，所以∠AEC≠∠ADB，所以∠BEF≠∠CDF，∠EBF≠∠DCF，因此不能判定△EBF与△DCF相似．解答：解：①∵AE=AB，∠EAC=∠BAD=90°+∠BAC，AC=AD，∴△AEC≌△ABD，∴EC=BD．故①正确．②由①知：△AEC≌△ABD，∴∠AEC=∠ABD，∠FEB+∠FBE=∠AEB﹣∠AEC+∠ABE+∠ABD=45°﹣∠AEC+45°+∠ABD=90°，∴∠EFB=90°∴EC⊥BD．故②正确．③由②知：EC⊥BD，∴S四边形EBCD=S△ECB+S△ECD=EC•BF+EC•DF=EC（BF+DF）=EC•BD．故③正确．④根据图形可知：∠EAD+∠BAC=180°，∴sin∠EAD=sin∠BAC，S△ADE=AE•AD•sin∠EAD，S△ABC=AB•AC•sin∠BAC，∴S△ADE=S△ABC．故④正确．⑤∵AB≠AD，∴∠ABD≠∠ADB，而∠FEB=45°﹣∠AEC=45°﹣∠ABD，∠FDC=45°﹣∠ADC，∴∠FEB≠∠FDC，同理，∠FBE≠∠FCD∴不能判定△EBF与△DCF，故⑤错误．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定，①利用边角边证明三角形全等．②利用①的结论和等腰直角三角形证明．③利用三角形的面积公式计算．④利用三角形的面积公式计算．⑤利用三角形相似的判断定理判定．9．（2014•南通）如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A ．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣6考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．解答：解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB=AC，AD=AG，∴AD：AB=AG：AC，∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG=∠B，∴DG∥BC，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，∵AB=AC=18，BC=12，∴BM=BC=6，∴AM==12，∴，∴，∴AN=6，∴MN=AM﹣AN=6，∴FH=MN﹣GF=6﹣6．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10．（2014•孝感模拟）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于G，连结BE．下列结论中：①CE=BD=2；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG．一定正确的是（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质．分析：①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即：∠BAD=∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE=BD，但是题目中没有给出线段的长度，所以不一定CE=BD=2∴故①错误；②∵四边形ACDE是平行四边形，∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴②正确；③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，∴∠BAE=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，又AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB=∠AEB；故③正确；④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA=∠CEA=∠BDA，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE+∠BEA=90°，∵∠GFD=∠AFE，∠ADB=∠AEB，∴∠ADB+∠GFD=90°，∴∠CGD=90°，∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，∴△CGD∽△EAF，∴∴CD•AE=EF•CG．故④正确，故正确的有3个．故选C．点评：此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及相似三角形的判定，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•枣庄）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=．考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．解答：解：∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（不合题意舍去），经检验x1=是原方程的解．故答案为．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD相似得到比例式．12．（2015•闸北区一模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2=AP•PD，则图中有3对相似三角形．考点：相似三角形的判定．分析：由AD∥BC，AB=DC可判断梯形ABCD为等腰梯形，则∠A=∠D，由AB2=AP•PD得AB•CD=AP•PD，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△DPC，由相似的性质得∠ABP=∠DPC，接着利用AD∥BC得到∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，则∠PCB=∠ABP，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABP∽△PCB，所以△DPC∽△DPC．解答：解：∵AD∥BC，AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠A=∠D，∵AB2=AP•PD，∴AB•CD=AP•PD，即=，∴△ABP∽△DPC，∴∠ABP=∠DPC，∵AD∥BC，∴∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，∴∠PCB=∠ABP，∴△ABP∽△PCB，∴△DPC∽△DPC．故答案为3．点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．13．（2014•西青区一模）如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且点E为AB边中点，则图中有3对相似三角形．考点：相似三角形的判定．分析：利用相似三角形的判定方法得出△AED∽△BCE，进而得出对应边比值相等，再利用两边比值相等且夹角相等的两三角形相似求出即可．解答：解：∵∠A=∠B=∠DEC，∴∠1+∠2=∠2+∠4，∴∠1=∠4，又∵∠A=∠B，∴△AED∽△BCE，∴=，∵点E为AB边中点，∴=，∵∠A=∠DEC，∴△AED∽△EDC，∴△AED∽△BCE∽△EDC，故图中有3对相似三角形．故答案为：3．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．14．（2014•大港区二模）如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是3．考点：相似三角形的判定．分析：首先根据已知的条件，求出各三角形的内角度数，然后根据相等角去找对应的相似三角形．解答：解：①∵∠ABC=∠EFC=70°，∴HF∥DB；∴△GBD∽△△GFH；②∵在△BDG中，∠B=∠EFC=70°，∠DGB=50°，则∠GDB=60°；在△ABC中，∠B=70°，∠ACB=60°，则∠A=50°；∴△ABC∽△GFH．③∵△DGB=∠A=∠FEC=50°，∠EFC为公共角∴△EFC∽△GFH；综上所述，图中与△GFH相似的三角形的个数是3．故答案是：3．点评：此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．15．（2013•本溪）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有3个．考点：相似三角形的判定．专题：压轴题；分类讨论．分析：设AP为x，表示出PB=10﹣x，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：设AP为x，∵AB=10，∴PB=10﹣x，①AD和PB是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，整理得，x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8，②AD和BC是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，解得x=5，所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3．点评：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．16．（2010•汾阳市校级自主招生）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR 分别交AC、CD于点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1除外）有△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ∽△PAB．考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．分析：根据相似三角形的判定作答．解答：解：∵CP∥ER，∴△BCP∽△BER；∵CP∥DR，∴△PCQ∽△RDQ；∵CQ∥AB，∴△PCQ∽△PAB；∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理：平行于三角形的一边的直线与其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似．17．（2014•嘉定区一模）将一副三角尺按照如图所示的方式叠放在一起（∠B=45°，∠D=30°），点E是BC与AD的交点，则的值为．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得；，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．解答：解：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC，∵在Rt△ACD中，∠D=30°，∴CD==AC，∴==．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．18．（2014•沛县模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（6，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为或3．考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；轴对称的性质．专题：压轴题．分析：由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（6，0），可得OA=5，OB=6，AB=5，然后分别从△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可取得答案．解答：解：∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（6，0），∴OA=5，OB=6，AB=5，若△OA′D∽△OAB，则==，设AD=x，则OD=5﹣x，A′D=OA′=x，即=，解得：x=，∴OA′=；若△OA′D∽△OBA，则==，设AD=AD′=y，则OD=5﹣y，则y=5﹣y，解得：y=2.5，可得：OA′=3．故答案为：或3．点评：此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解．19．（2014•香坊区模拟）在△ABC中，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=∠ACE=30°，连接DE．若DE=5，则BC长为10．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=∠ACE=30°，可证得△ABD∽△ACE，AD=AB，继而可证得△ABC∽△ADE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=∠ACE=30°，∴△ABD∽△ACE，AD=AB，∴∠BAD=∠CAE，AB：AC=AD：AE，∴∠BAC=∠DAE，AB：AD=AC：AE，∴△ABC∽△ADE，∴=2，∵DE=5，∴BC=10．故答案为：10．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20．（2014•淮北一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的序号是①②③④．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故答案为：①②③④．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．三．解答题（共10小题）21．（2015•普陀区一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ACD∽△AFC，得到，即可解决问题．（2）证明A、E、F、C四点共圆，得到∠AFE=∠ACE，这是解决该问题的关键性结论；证明∠AFE=∠B，结合∠FAE=∠BAD，得到△AEF∽△ADB，列出比例式即可解决问题．解答：解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．22．（2015•长宁区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB、AC交于P、Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥BC于点F．设AD=80，BC=120，当四边形PEFQ为正方形时，试求此正方形的边长．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：证明GD=PE=PQ；证明△APQ∽△ABC，列出比例式即可解决问题．解答：解：∵四边形PEFQ为正方形，且AD⊥BC，∴GD=PE=PQ（设为λ），∴AG=80﹣λ；∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，即，解得：λ=48，即此时正方形的边长为48．点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质．23．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F 作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．考点：相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．专题：几何动点问题；压轴题；数形结合．分析：（1）由已知求出∠C=30°，列出y与x的函数关系式；（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程y=60﹣x与y=x组成方程组求x的值，（3）当∠EDF=90°时，由△DEF是直角三角形，列出方程60﹣x=2y，与y=x组成方程组求x的值；当∠DEF=90°时，根据EF∥AC可知∠EDA=∠DEF=90°，所以当△ADE∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例可得出关于x的方程，再把y=x代入即可得出x的值．解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，∴∠C=30°，∵CD=x，DF=y．∴y=x；（2）∵四边形AEFD为菱形，∴AD=DF，∴y=60﹣x∴方程组，解得x=40，∴当x=40时，四边形AEFD为菱形；（3）当∠EDF=90°时，∵△DEF是直角三角形，∴∠FDE=90°，∵FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°，∵DF⊥BC，∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，∴∠DEF=∠EFB=30°，∴EF=2DF，∴60﹣x=2y，与y=x，组成方程组，得解得x=30；当∠DEF=90°时，∵EF∥AC，∴∠EDA=∠DEF=90°，∴当△ADE∽△ABC时，△DEF是直角三角形，∴=，即=，。

中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带参考答案

中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带参考答案

中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023·辽宁抚顺)下列各组图形不是相似图形的是( ) A. B. C. D.2. (2023·辽宁葫芦岛)如图,12∠=∠,那么添加一个条件后,仍不能判定ABC 与△ADE 相似的是( )A.C ADE ∠=∠B.B D ∠=∠C. AB BC AD DE =D. AB AC AD AE= 3. (2023·福建三明)如图 DE BC ∥ :3:2BD CE = 9AD = 则AE 的长为( )A.3B.4C.6D.94. (2023·福建三明)如图 在ABC 中 DE BC ∥23AD DB = 10AC = 则AE 的长为( )A.103B.4C.6D.203 5. (2023·河北唐山)如图 将Rt △ABC 平移到△A'B'C'的位置 其中∠C ＝90°使得点C'与△ABC 的内心重合 已知AC ＝4 BC ＝3 则阴影部分的面积为( )A.25 B.2425 C.52 D.25246. (2023·辽宁葫芦岛)如图 ABC 中 90ABC ∠=︒ AB BC = AF BC ∥ 点D 在线段AC 上运动 DE AC ⊥交射线AF 于点E 连接BD CE 设线段BD 的长为x 线段CE 的长为y 则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A. B. C. D.7. (2023·辽宁沈阳)如图 以点O 为位似中心 作四边形ABCD 的位似图形A B C D '''' 已知 若四边形ABCD 的面积是2 则四边形A B C D ''''的面积是( )A.4B.6C.16D.188. (2023·河北张家口)古代的“矩”是指包含直角的作图工具 如图1 用“矩”测量远处两点间距离的方法是:把矩按图2平放在地面上 人眼从矩的一端A 望点B 使视线刚好通过点E 量出AC 长 即可算得BC 之间的距离.若4cm a = 5cm b = 20m AC = 则BC =( )A.15mB.16mC.18mD.20m9. (2023·河北邯郸)一种燕尾夹如图1所示 图2是在闭合状态时的示意图 图3是在打开状态时的示意图(此时AB CD ) 相关数据如图(单位:cm).从图2闭合状态到图3打开状态 点B D 之间的距离减少了( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm10. (2023·河北邢台)题目:“如图 在矩形ABCD 中 9AB = 15BC = P Q 分别是BC CD ，上的点.”张老师要求添加条件后 编制一道题目 并解决 甲 乙两人的做法如下.下列判断正确的是( )甲:若4CQ = 则在BC 上存在2个点P 使ABP 与PCQ △相似;乙:若AP PQ ⊥ 则CQ 的最大值为254A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲 乙都对D.甲 乙都错二 填空题（本大题共10道小题）11. (2021·湘潭)如图 在△ABC 中 点D E 分别为边AB AC 上的点 试添加一个条件: 使得△ADE 与△ABC 相似.(任意写出一个满足条件的即可)12. (2023·辽宁抚顺)如图 AB CD EF ∥∥ 直线1l 2l 与这三条平行线分别交于点A C E 和点B D F .已知3AC = 8AE = 4DF = 则BD 的长为______.13. (2023·辽宁葫芦岛)如图 已知点(62)(1,1)E F ---，，以点O 为位似中心 按1:2的比例把EFO △缩小 则点E 的对应点的坐标为___________14. (2023·福建泉州)如图 AB AC 、是O 的弦(不是直径) 将AB 沿AB 翻折交AC 于点D .若AB AC = AD BD = 则AD CD＝_______.15. (2021·营口)如图 DE 是△ABC 的中位线 F 为DE 中点 连结AF 并延长交BC 于点G.若S △EFG ＝1 则S △ABC ＝ .16. (2023·辽宁朝阳)如图 在某校的2022年新年晚会中 舞台AB 的长为20米 主持人站在点C 处自然得体 已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点 则此时主持人与点A 的距离为_____米.17. (2023·福建厦门·厦门一中校考一模)如图 某小区门口的栏杆短臂1AO m = 长臂12OB m =.当短臂端点高度下降0.5AC m = 则长臂端点高度上升BD 等于___________m(栏杆的宽度忽略不计);18. (2023·辽宁本溪)如图 菱形ABCD 的边长为2 =60B ∠︒ 点E 在线段DC 的延长线上 将射线AE 绕点A 逆时针旋转60︒交BC 的延长线于点F 设CE x CF y ==， 则y 与x 之间的函数关系式的为______.19. (2023·辽宁锦州)如图 在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =;将ABC ∠绕点A 逆时针旋转 使点C 恰好落在AD 延长线上的点F 处 此时点B 落在点E 处 EF 交CD 于点G 则FG =______.20. (2023·河北秦皇岛)如图1 在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 10AB = 6AC =.动点P Q 从点A 同时出发 点P 以每秒5个单位的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以每秒6个单位的速度沿边AC 向终点C 匀速运动 连接PQ 以PQ 为边作正方形PQMN 使得点M C 始终在PQ 的同侧.设点P 运动的时间为t 秒.(1)线段AQ 的垂直平分线________点P (填“经过”或“不经过”);(2)PQ =________(用含t 的式子表示);(3)如图2 当点M 落在边BC 上时 t =________.三 解答题（本大题共10道小题）21. (2023·福建泉州)如图 在矩形ABCD 中 点E 在边BC 上 AF DE ⊥ 垂足为F 4=AD 2CE = 210DE = 求DF 的长.22. (2023·福建龙岩)如图 在△ABC 中 ∠C=90° 点D 在线段AC 上 且CD=2AD.求作DE ⊥AC 于点D 且DE 交AB 于点E;并求出DE BC的值.(要求:尺规作图保留作图痕迹 不写作法)23. (2023·福建宁德)如图 已知ABC 内接于O BC 是O 的直径.(1)尺规作图:确定点D E 的位置 使得点D 是弧AC 的中点 ∥DE AC 交直线BC 于点E;(保留作图痕迹 不写作法)(2)在(1)的条件下 求证:DE 是O 的切线;(3)连接BD 交AC 于点F 若6AB = 10BC = 求DF 的长.24. (2023·河北唐山)如图 AB 是⊙O 的直径 AC 是弦 直线EF 经过点C AD ⊥EF 于点D ∠DAC=∠BAC(1)求证:EF 是⊙O 的切线;(2)求证:AC 2=AD ·AB;(3)若⊙O 的半径为2 ∠ACD=30° 求图中阴影部分的面积.25. (2023·福建福州)在ABC 中 8BC = 两条高AD BE 交于点H F 是CH 的中点 连接AF 并延长交边BC 于点G.(1)如图1 若ABC 是等边三角形.①求证:2AH DH =;②求CG 的长.(2)如图2 若AH DH = CG BD = 求ABC 的面积.26. (2021·金华)如图1是一种利用镜面反射 放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜 BC 与刻度尺边MN 的交点为D 从A 点发出的光束经平面镜P 反射后 在MN 上形成一个光点E.已知AB ⊥BC MN ⊥BC AB ＝6.5 BP ＝4 PD ＝8.(1)ED 的长为 ;(2)将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC ′(如图2) 点P 的对应点为P ′ BC ′与MN 的交点为D ′ 从A 点发出的光束经平面镜P ′反射后 在MN 上的光点为E ′.若DD ′＝5 则求EE ′的长．27. (2023·福建福州)如图(1) 等腰三角形ABC 中 5BC = 3AB AC ==.点D E 分别在AB AC 上 DE BC ∥.(1)操作发现:将图(1)中的ADE 绕点A 逆时针旋转 当点D 落在BC 边上时 DE 交AC 于点M 如图(2).发现:⋅=⋅AB CM BD CD .请证明这个结论.(2)实践探究:将图(1)中的ADE 绕点A 顺时针旋转(90BAD ∠>︒) 当D E C 三点在同一条直线上时 连接BD 如图(3).请解答以下问题:①求证:△≌△ADB AEC ;②探究线段AD BD CD 之间的数量关系 并说明理由.28. (2023·福建三明)在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 抛物线22y ax ax c =++与x轴交于点A B 与y 轴交于点C 点A 的坐标为()2,0 点53,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上.(1)求抛物线的表达式;(2)如图① 点P 在y 轴上 且点P 在点C 的下方 若45PDC ∠=︒ 求点P 的坐标;(3)如图② E 为线段CD 上的动点 射线OE 与线段AD 交于点M 与抛物线交于点N 求MN OM的最大值.29. (2023·河北邢台)如图1 在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ ,D E 分别为边,AB AC 上的点 且DE BC ∥.已知10BC = 32AD DB =.(1)DE 的长为______;ADE 与ABC 的周长比为______;(2)将ADE 绕点A 旋转 连接,BD CE .①当ADE 旋转至图2所示的位置时 求证:ABD ACE ∽△△; ②如图3 当ADE 旋转至点D 在BC 上时 AD BC ⊥ 直接．．写出AB 及EC 的长.30. (2023·辽宁锦州)【问题情境】如图1 在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = D E 是AB 上的两个动点 且AD BE = 连接CD CE .(1)【初步尝试】ACD ∠与BCE ∠之间的数量关系__________;(2)【深入探究】如图2 点F 在边BC 上 且DF DC = CE 与DF 相交于点G. ①求证:DF CE ⊥;②探究线段CF 与BE 之间的数量关系 并说明理由;(3)【拓展应用】如图3 在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 点D E 分别在线段AB 两侧的延长线上 且AD BE = 连接CD CE .点F 在边BC 的延长线上 且DF DC = EC 的延长线与DF 相交于点G.若3AC = 2AD 请直接写出CG 的长度.答案一 选择题（本大题共10道小题）1. B2. C3. C4. B5. D6. A7. D8. B9. B10. B二 填空题（本大题共10道小题）11. ∠ADE ＝∠C(答案不唯一) 12. 12513. ()31-，或()31-， 51+ 15. 24 16. ()105117. 6 18. 4y x= 19. 54/114/1.25 20. 经过 5t 35三 解答题（本大题共10道小题）21. 2105 【详解】解:四边形ABCD 是矩形 ∴90DCE ∠=︒ AD BC ∥∴ADF DEC ∠=∠.AF DE ⊥∴90AFD ∠=︒ ∴AFD DCE ∠=∠ ∴AFD DCE △∽△∴DF AD CE DE=. 又4=AD 2CE = 210DE =∴42210DF = ∴2105DF =. 22. 作图见解析;31DE BC = 【详解】如图所示:∵∠C=90° DE ⊥AC ∴DE ∥BC∴DE AD BC AC =∵CD=2AD ∴13DE AD BC AC ==. 23. (1)见解析(2)见解析(3)5DF =【详解】(1)解:正确作出图形.(如图所示)∴如图所示 点D 点E 就是所求作的点.(2)证明:如下图所示 连接OA 设OD 交AC 于点M.∵点D 是弧AC 的中点∴弧AD 等于弧DC .∴AOD COD ∠=∠.∵OA OC =∴OD AC ⊥.90OMC ∴∠=︒ M 是AC 中点.∥DE AC90ODE OMC ∴∠=∠=︒ OD 是O 的半径∴DE 是O 的切线.(3)证明:如下图所示=6AB 10BC = 90A ︒∠= 根据勾股定理 得 228AC BC AB =-=.90OMC ∠=︒ 90A ︒∠=OD AB ∴∥.∵点O 是BC 的中点 点M 是AC 的中点132OM AB ∴== 142AM AC == ABF MDF ∠=∠ 90A FMD ︒∠=∠=.ABF MDF ∴∽.MF MD AF AB∴=. 2163MF AF ∴==. 114MF AM ∴==. 在Rt DMF △中 根据勾股定理 得2222215DF MD FM =+=+=.24. (1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)33223π-. 【详解】解:(1)证明:连接OC∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA.∵∠DAC=∠BAC ∴∠OCA=∠DAC.∴OC ∥AD. ∵AD ⊥EF ∴OC ⊥EF.∵OC 为半径 ∴EF 是⊙O 的切线.(2)证明:∵AB 为⊙O 直径 AD ⊥EF∴∠BCA=∠ADC=90°.∵∠DAC=∠BAC ∴△ACB ∽△ADC.∴AD AC AC AB=. ∴AC 2=AD •AB.(3)∵∠ACD=30° ∠OCD=90° ∴∠OCA=60°.∵OC=OA∴△OAC 是等边三角形.∴AC=OA=OC=2 ∠AOC=60°.∵在Rt △ACD 中 AD=12AC=1.由勾股定理得3∴阴影部分的面积是S=S 梯形OCDA ﹣S 扇形OCA =12×(2+1)×3﹣260233236023ππ⋅⋅=-. 25. (1)①见解析;②85;(2)86. 【详解】(1)①证明:AD BE 是等边三角形ABC 的高 60ABC BAC ∴∠=∠=︒ 90ADB ∠=︒ AD BE 分别平分BAC ∠和ABC ∠ 30HBA HAB HBD ∠∠∠∴===︒BH AH ∴= 12DH BH = 2AH DH ∴=;②解:过点H 作HK BC ∥交AG 于点KAHK ADG ∴△∽△ FHK FCG △∽△HK AH DG AD ∴= HK HF CG CF= 2AH DH = F 是CH 的中点23AH AD ∴= 1HF CF = 23HK DG ∴= 1HK CG= 23CG DG ∴= AD BC ⊥ 等边三角形ABC 的边长为84CD ∴=2855CG CD ∴==; (2)解:过点H 作HK BC ∥交AG 于点KAHK ADG ∴△∽△ FHK FCG △∽△HK AH DG AD ∴= HK HF CG CF= ∵F 是CH 的中点∴HK CG =AH DH =22AD DH AH ∴==2DG HK ∴=.CG BD =HK BD ∴=2DG BD ∴=.8BC =2BD CG ∴== 4DG = 6CD ∴=.90ADB BEA ∠∠︒== BHD AHE ∠=∠HBD DAC ∠∠∴= BDH ADC ∴△∽△BD HD AD CD ∴= 即1226ADAD =26AD ∴=1862ABC S BC AD ∴=⋅=△26. 13 11.527. (1)见解析(2)(1)见解析;(2)53BD CD AD -= 理由见解析【详解】(1)解:在图(1)中DE BC ∥ B ADE ∴∠=∠;在图(2)中 根据旋转的性质B ADE ∴∠=∠ ADC ADE MDC ∠=∠+∠ ADC B BAD ∠=∠+∠ MDC BAD ∴∠=∠ AB AC = B C ∴∠=∠ ABD DCM ∴∽ ∴AB BDDC CM =∴⋅=⋅AB CM BD CD ;(2))①在图(1)中DE BC ∥ ADAEAB AC ∴=AB AC = AD AE ∴=DAE BAC ∠=∠∴在图(3)中 DAE CAD BAC CAD ∠+∠=∠+∠ DAB EAC ∴∠=∠ 在ADB 和AEC 中AD AEDAB EAC AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADB AEC ≌ ②53BD CD AD -= 理由如下ADB AEC ≌BD CE ∴=35AD AB DE BC ==53DE AD ∴=BD CD CE CD DE -=-=∴53BD CD AD -=.28. (1)2142y x x =--+(2)30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)258【详解】(1)解:∵点()2,0A 53,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上∴4405962a a c a a c ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得:124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为2142y x x =--+.(2)解法一:如图 过点P 作PE PD ⊥交DC 的延长线于点E 过点P 作x 轴的平行线FG过点D 作DF PF ⊥于点F 过点E 作EG PF ⊥于点G∴90DPE ∠=︒ 90DFP PGE ∠=∠=︒又∵45PDC ∠=︒∴PDE △为等腰直角三角形 PE PD =设点P 坐标为()0,m∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴52DF m =- 3PF = ∵DF PF ⊥ EG PG ⊥又∵90DPE ∠=︒∴90FDP DPF ︒∠+∠= 90EPG DPF ︒∠+∠=∴FDP EPG ∠=∠在DFP △和PGE 中DFP PGE FDP GPE DP PE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS DFP PGE △≌△ ∴52PG DF m ==- 3EG PF == ∴5,32E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点当0x =时 4y =∴()0,4C又∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设直线CD 的表达式为y kx b =+ ∴4532b k b =⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得:124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线CD 的表达式为142y x =+ 把5,32E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入142y x =+ 得:154322m m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭解得:32m = ∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法二:把CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到线段CF 连接DF ∴CDF 为等腰直角三角形 CD CF = 45CDF ∠=︒ ∴DF 与y 轴的交点即为P 点作DG y ⊥轴于G 作FH y ⊥轴于H∴90DGC CHF ︒∠=∠=∴90DCG CDG ∠+∠=∵90DCF ∠=∴90DCG HCF ∠+∠=∴CDG HCF ∠=∠.在CDG 和FCH 中DGC CHF CDG FCH CDG FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS CDG FCH △≌△∴GC HF = DG CH =∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点∴()0,4C∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴3DG = 53422CG =-= ∴32HF CG == 3CH DG == ∴431OH =-=∴F 坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CF 的表达式为11b y k x =+ ∴1111312532k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得:111332k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线CF 的表达式为1332y x =-+ 当0x =时 32y = ∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解法三:过P 作PE CD ⊥于点E 过点D 作DF OC ⊥于F ∴90PEC DFC ∠=∠=︒∵C 为抛物线2142y x x =--+与y 轴交点∴()0,4C∵点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴50,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴3DF = 534CF =-= ∴2222333522CD DF CF ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵90DFC PEC ∠=∠=又∵FCD ECP ∠=∠ ∴DCF PCE ∽△△ ∴CF CE DF PE= ∴31232CE PE == ∴2PE CE =.∵PE CD ⊥ 45PDC ∠=︒∴45DPE PDC ∠=∠=︒∴PE DE = ∴32352CD CE DE CE PE CE CE CE =+=+=+==∴152CE =5PE =∴()2222155522PC CE PE ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ∴53422OP OC PC =-=-=∴点P 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(3)解法一:过点N 作NH y ∥轴 交直线AD 于点H 则HNO QOM ∠=∠ 又∵NMH OMQ ∠=∠∴MNH MOQ ∽△△ ∴MN NH MO OQ = 由点A 坐标为()2,0 点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 可求得直线AD 的表达式为112y x =-+ 当0x =时 1y =∴直线AD 与y 轴的交点坐标为()0,1Q ∴1OQ =设1,12H t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴N 的坐标为21,42t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭其中30t -≤≤ ∴2211114132222NH t t t t t ⎛⎫=--+--+=--+ ⎪⎝⎭∴22111125322228MN NH t t t MO OQ ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭ ∵102-< 1302-<-< ∴12t =-时 MN MO 取最大值 最大值为258.解法二:过点N 作NQ x ∥轴 交直线AD 于点Q 则NQA QAB ∠=∠ 又∵NMQ OMA ∠=∠∴MNQ MOA ∽△△∴MN NQ MO OA= 由点A 坐标为()2,0 点D 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭可求得直线AD 的表达式为112y x =-+ 设点N 坐标为21,42t t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∴点Q 坐标为22126,42t t t t ⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭其中30t -≤≤ ∴()22266NQ t t t t t =-+-=--+∴22611252228MN NQ t t t MO OA --+⎛⎫===-++ ⎪⎝⎭ ∵102-< 1302-<-< ∴12t =-时 MN MO 取最大值 最大值为258.29. (1)6 3:5(2)①证明过程见详解;②8AB = 245EC = 【详解】(1)解:∵DE BC ∥32AD DB = 10BC = ∴AD DE AB BC = 35AD AB = ∴3310655DE BC ==⨯= ∴△ADE 与ABC 的周长比为3:5 故答案为:6 3:5. (2)解:①证明:由(1)可知 AE AD AC AB= ∴AE AC AD AB = 根据图形旋转的性质得 BAD CAE ∠=∠∴ABD ACE ∽△△;②由(1)可知 6DE = BAD CAE ∠=∠在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒∴90BAD DAC ∠+∠=︒∴90DAC CAE ∠+∠=︒ 即DA AE ⊥∴AE DC ∥ 90AEC ECD ∠=∠=︒∴四边形AECD 是矩形∴6AC DE ==在Rt ABC △中 22221068AB BC AC -=-= ∵AD BC ⊥∴1122ABC S BC AD AC AB △ ∴6824105AC AB EC AD BC ∴8AB = 245EC =.30. (1)ACD BCE ∠=∠(2)①见解析;②CF =2BE 见解析(3)81717CG =【详解】(1)解:∵AC BC =∴A B ∠=∠∵AD BE =∴ACD BCE ≅∴ACD BCE ∠=∠故答案为:ACD BCE ∠=∠;(2)①如答图1∵90ACB ∠=︒∴90ACD DCF ∠+∠︒=∵DF DC =∴DCF CFD ∠∠=.∵CGF BCE CFD ∠∠+∠=由(1)知=ACD BCE ∠∠∴90CGF ACD DCF ∠∠+∠︒==. ∴.DF CE ⊥②CF=2BE.理由:如答图3 过点D 作DH CF ⊥于点H DH 交CE 于点M 过点E 作EN BC ⊥于点N则90CNE DHF ∠=∠︒=在DHF △和CNE 中,,.DF CE HDF ECN DHF CNE ⎧⎪∠∠⎨⎪∠=∠⎩＝＝∴()DHF CNE AAS ≅∴HF EN =.∵9045ACB CBE ∠︒∠︒==，∴EN =2BE .∴HF =2BE CF =2BE . (3)如答图5 过点D 作DH CF ⊥于点H DH 交CE 于点M 过点E 作EN BC ⊥交CB 延长线于点N由(2)探究可得22CF CH FH ===2BE . ∵AD =2∴BE AD ==2∴21CF CH FH ===，.∵390AC ACB =∠=︒，∴33BC AC AB ===，2 4BD =2∵90ACB DHC ABC DBH ∠=∠=︒∠=∠， ∴ABC DBH ∴BA AC BD DH = 32342DH= ∴4DH = ∴CD =22CH DH +17∵DF DC = ∴F DCF ∠=∠.又∵90DHC CGF ∠=∠=︒∴CFG DCH ∴CG CF DH DC =∴417CG ∴817CG =。

初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

专题13 相似三角形一．选择题1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵//AB CD ∴ABE CDE ∽ ∴AE BE EC DE= ∵1,2,3AE EC DE ===，∴32BE =∵BD BE ED =+ ∴92BD = 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．2．（2022·广西贺州）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ，∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（2022·广西梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OA OA =，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形ABCD 与四边形''''A B C D 相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又四边形ABCD 的面积是2，∴四边形''''A B C D 的面积为18，故选：D ．【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．4．（2022·四川雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD ＝21，那么DE BC ＝（ ）A ．49B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB ==【详解】解： AD BD ＝21，2,3AD AB ∴= DE ∥BC ，,ADE ABC ∴ ∽ 2,3DE AD BC AB ∴== 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明ADE ABC △△∽是解本题的关键．5．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【答案】D 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，3DM =，3BC =， ∴DM BC =，而DM BC ∥，∴四边形DCBM 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，∴ABE CDE ∽，∴21ABE CDE C AB C CD ===△△．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．6．（2022·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x < ．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x =-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式；（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==，∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽，∴AB AM AP AB=，∵2AB =，AP x =，PM y =，∴22x y x -=，解得：4y x x=-，故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=，∴12DC DP AP AB ==，又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=，∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ===，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽，∴MF PF PM AB AP PB ==，∴24MF PF ==∴MF =PF =∴BF BP PF =-=∴3tan 4MF EBP BF ∠===故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．7．（2022·湖北鄂州）如图，定直线MN ∥PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC =12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ =60°．点A 是MN 上方一定点，点D 是PQ 下方一定点，且AE ∥BC ∥DF ，AE =4，DF =8，ADBC 在平移过程中，AB +CD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH =DF =8，CD =FH ，则BH =4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB =HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，得到EG =BC =12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，∵BC DF FH CD ∥∥，，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH =DF =8，CD =FH ，∴BH =4，∴BH =AE =4，又∵AE BC ∥，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB =HE ，∵EH FH EF +≥，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵MN PQ BC AE ∥∥，，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，∴EG =BC =12，∴=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠，同理可求得8GL AL ==，，4KF DK ==，，∴2TL =，∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴AL DK ∥，∴△ALO ∽△DKO ，∴2AL AO DK DO==，∴2133AO AD DO AD ====∴24OL OK ===，，∴42TF TL OL OK KF =+++=，∴EF ==故选C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键．8．（2022·广西贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，动点E 在AB 边上（与点A 、B 均不重合），点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接,AG DF ，若AF BE =，则下列结论错误的是（ ）A ．DF CE =B ．120BGC ∠=︒C ．2AF EG EC =⋅D ．AG【答案】D【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE CE GE BE= ，即可判断C 项答案正确，由120BGC ∠=︒，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12(180)ABC ⨯︒-∠=60ABC ︒=∠，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-（∠GCB +∠GBC ）=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE CE GE BE = ，∴2BE GE CE = ，∵AF BE =，∴2AF GE CE = ，故C 项答案正确，∵120BGC ∠=︒，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF AC ⊥，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴2221122AG AG ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得AG D 项错误，故应选：D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．10．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．11．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125C ．185D ．245【答案】C【分析】由∥DE BC ，23AD DB =，可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可．【详解】解： ∥DE BC ，23AD DB =，2,3AD AE DB EC ∴== 6AC =，62,3CE CE -∴= 解得：18.5CE =经检验符合题意故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键．12．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A ．（43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6【答案】C【分析】根据题意得出A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，确定与△AOB 位似的三角形为△GOH ，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=6x ，再由相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°∴∠AOG ＝180°，∠BOH ＝180°，∴A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，∴与△AOB 位似的三角形为△GOH ，设OA =x ，则OB=1cos30OA x ==︒，∴OC=24cos303OB x x ==︒，∴OD=3cos30OC x ==︒，…∴OG=6x ，∴6OG OA =，∴12643GOH AOB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵1AOB S = ，∴643GOH S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故选：C ．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．二．填空题13．（2022·贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm．【答案】53【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明FEG FBM ∆∆ ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接,DF 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴4,90.AB BC CD DA A B C CDA ︒====∠=∠=∠=∠=∵点M 为BC 的中点，∴114222BM CM BC ===⨯=由折叠得，2,4,ME CM DE DC ====∠90,DEM C ︒=∠=∴∠90DEF ︒=，90,FEG ∠=︒设,FE x =则有222DF DE EF =+∴2224DF x =+又在Rt FMB ∆中，2,2FM x BM =+=，∵222FM FB BM =+∴FB ==∴4AF AB FB =-=在Rt DAF ∆中，222,DA AF DF +=∴2224(44,x +=+解得，124,83x x ==-（舍去）∴4,3FE =∴410233FM FE ME =+=+=∴83FB ==∵∠90DEM ︒=∴∠90FEG ︒=∴∠,FEG B =∠又∠.GFE MFB =∠∴△FEG FBM∆ ∴,FG FE FM FB=即4310833FG =∴5,3FG =故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．14．（2022·上海）如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE AB BC=，则AE AC =_____．【答案】12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：∵D 为AB中点，∴12AD DE AB BC ==，即12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，112DE BC =，∴112AE AD AC AB ==，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，∵∠A =30°，∠B =90°，∴∠C =60°，BC ＝12AC ，∵DE 1∥BC ，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ，∴E1E2＝14AC ，∵112AE AC =，∴214AE AC =，即214AE AC =，综上，AE AC 的值为：12或14，故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键．15．（2022·北京）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC =，∴144AE =，∴1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16．（2022·江苏常州）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ，解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==，1115344DM AM AB ∴===，//BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==，345344DN AN AB ∴===，451530444MN DN DM ∴=-=-=，Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形，故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．17．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．【答案】12【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆为AB ，如图所示：根据题意得：ABC DEF ∆∆ ，∴DE EF AB BC= ∵2DE =米， 1.2EF =米，7.2BC =米，∴2 1.2=7.2AB 解得：AB =12米．故答案为：12．【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18．（2022·广东深圳）已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，90HED BCD ∠=∠=︒，从而得出////HE DC AB ，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．【详解】解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆ 是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，90HED BCD ∠=∠=︒，90EDC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，////HE DC AB ∴，,ABF EHF BAF HEF ∴∠=∠∠=∠，ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AF EH EF AE AF ，AE =∴35=AF ∴=，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．19．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝_____．【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF 是正方形，进而判断出△ABG ≌△BEH ，得出∠BAG =∠EBH ，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB ~△ABG ，求出OA OB ==△OBM ～△OAN ，求出BM =1，即可求出答案．【详解】解：∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴11,22AF AD BE BC ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD ∥BC ，AD =BC ，∴12AF BE AD ==，∴四边形ABEF 是矩形，由题意知，AD =2AB ，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝25BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴AG==∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴OA OB ABAB BG AG==，即52OA OB==∴OA OB==∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴OB BM OA AN=，∵点N是AF的中点，∴1522AN AF==，52BM=，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴552tan48ANAMNAM∠===．故答案为：5 8【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM 是解本题的关键．20．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O 处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D ，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A ，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD =1.7m ，BD =11m ，则旗杆AB 的高度约为_________m ． 1.7≈）【答案】17【分析】如图容易知道CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，即∠CDO =∠ABO =90°．由光的反射原理可知∠COD =∠AOB =60°，这样可以得到△COD ∽△AOB ，然后利用对应边成比例就可以求出AB ．【详解】解：由题意知∠COD =∠AOB =60°，∠CDE =∠ABE =90°，∵CD =1.7m ，∴OD =60CD tan =︒≈1(m)，∴OB =11-1=10(m)，∴△COD ∽△AOB ．∴CD OD AB OB =，即1.7110AB =，∴AB =17(m)，答：旗杆AB 的高度约为17m ．故答案为：17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．21．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．【答案】6+【分析】如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明△ABD ≌△BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明△BDP ∽△ADB ，得到62BP PD==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∵CE =BD =2，AB =AC =6，∴AE =4，∴cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∴BF =4，∴BE =又∵BD =CE ，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，又∵∠BDP =∠ADB ，∴△BDP ∽△ADB ，∴BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∴BP PD =∴AP AD AP =-=，∴△ABP 的周长=6AB BP AP ++=故答案为：6+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________．【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出2AB =，根据位似比求出4A B ''=，周长即可得出；【详解】解： 正方形ABCD 的面积为4，∴2AB =，:2:1A B AB ''=，∴4A B ''=，∴A C ''==所求周长=；故答案为：．【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD 的边长．23．（2022·内蒙古包头）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，D 为AB 边上一点，且BD BC =，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE的长为___________．【答案】3##3-+【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出DC DE =，根据等腰三角形性质得出CF EF =，根据90ACB ∠=︒，3AC BC ==，得出AB =CF x =，则3BF x =-，证明DF AC ，得出BF BDCF AD=，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出3BE =．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：根据作图可知，DC DE =，∵DF ⊥BC ，∴CF EF =，∵90ACB ∠=︒，3AC BC ==，∴AB ===∵3BD BC ==，∴3AD =，设CF x =，则3BF x =-，∵90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵DF BC ⊥，∴DF AC ，∴BF BDCF AD =，即3x x -=，解得：x =，∴226CE x ===-，∴3363BE CE =-=-+=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF 的长，是解题的关键．24．（2022·江苏泰州）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠=== 中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为__________.【答案】2或12##12或2【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作//DE BC ，OF BC OG AB ⊥⊥，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵//DE BC ，∴OBF BOE ∠=∠∵O 为ABC ∆的内心，∴OBF OBE ∠=∠，∴BOE OBE ∠=∠∴BE OE =，同理，CD OD =，∴DE=CD+BE ，10AB ===∵O 为ABC ∆的内心，∴OF OD OG CD ===，∴BF BG AD AG==，∴6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=∴2CD =②如图，作DE AB ⊥，由①知，4BE =，6AE =，∵ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，∴ABC ADE ∆∆ ∴AB ADAC AE=∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯===∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE ===∴19422DE BE CD =+=+=∴12CD =故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．25．（2022·黑龙江绥化）如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221【分析】解直角三角形分别求得11PK ，22P K ，33P K ，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA ⊥ ，11OPK ∴△是直角三角形，在11Rt OPK 中，60AOB ∠=︒，11OP =，12111tan 60PP PK OP ∴==⋅︒=11PK OA ⊥ ，22P K OA ⊥，1122PK P K ∴∥，2211OP K OPK ∴△∽△，222111P K OP PK OP ∴=，=221P K ∴，同理可得：2331P K =+，3441P K =，……，11n n n P K -∴=，2022202320231P K ∴=，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．26．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =，可得11OA B S =112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =，∴点(1B ，∴11A B =∴11112OA B S =⨯= ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ：……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =，……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==，……，12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==故答案为：2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．27．（2022·广西）如图，在正方形ABCD 中，AB =，对角线,AC BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF BE ⊥，分别交,CD BD 于点F 、G ，连接BF ，交AC 于点H ，将EFH △沿EF 翻折，点H 的对应点H '恰好落在BD 上，得到EFH '△若点F 为CD 的中点，则EGH '△的周长是_________．【答案】5+【分析】过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，得到BP =CQ ，从而证得BPE ≌EQF △，得到BE =EF ，再利用BC =F 为中点，求得BF ==BE EF ===，再求出2EO ==，再利用AB //FC ，求出ABH CFH △∽△21AH CH ==，求得216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，从而得到EH =AH -AE =1610233-=，再求得EOB GOE △∽△得到21242OG ===，求得EG OG =1， 过点F 作FM ⊥AC 于点M ，作FN ⊥OD 于点N ，求得FM =2，MH =23，FN =2，证得Rt FH N '△≌Rt FMH 得到23H N MH '==，从而得到ON =2，NG =1，25133GH '=+=，从而得到答案．【详解】解：过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，∵AD //PQ ，∴AP =DQ ，BPQ CQE ∠=∠，∴BP =CQ ，∵45ACD ∠=︒，∴BP =CQ =EQ ，∵EF ⊥BE ，∴90PEB FEQ ∠+∠=︒∵90PBE PEB ∠+∠=︒∴PBE FEQ ∠=∠，在BPE 与EQF △中BPQ FQE PB EQPBE FEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BPE ≌EQF △，∴BE =EF ，又∵BC AB ==F 为中点，∴CF =∴BF ==∴BE EF ===，又∵4BO ==，∴2EO ==，∴AE =AO -EO =4-2=2，∵AB //FC ，∴ABH CFH △∽△，∴AB AH CF CH=，21AH CH ==，∵8AC ==， ∴216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，∴EH =AH -AE =1610233-=，∵90BEO FEO ∠+∠=︒，+90BEO EBO ∠∠=︒，∴FEO EBO ∠=∠，又∵90EOB EOG ∠=∠=︒，∴EOB GOE△∽△∴EG OG OE BE OE OB==，21242OG ===，∴EG OG =1，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，∴FM=MC 2=，∴MH =CH -MC =82233-=， 作FN ⊥OD 于点N ，2,FN ==，在Rt FH N '△与Rt FMH 中FH FH FN FM'=⎧⎨=⎩∴Rt FH N '△≌Rt FHM∴23H N MH '==，∴ON =2，NG =1，∴25133GH '=+=，∴10533EGH C EH EG GH EH EG GH '''=++=++=△，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．28．（2022·辽宁）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB =，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC ====，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ==，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB =，∴6AD BC AB ===，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC=，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC ====，∴12EF AE BF BC ==，192ABE S AE AB =⋅= ，∴13EF BE =，∴133AEF ABE S S == ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2022·贵州贵阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，6cm AC BC ==，90ACB ADB ∠=∠=︒．若2BE AD =，则ABE △的面积是_______2cm ，AEB ∠=_______度．【答案】 36-36- 112.5【分析】通过证明ADE BCE ，利用相似三角形的性质求出23m AE =，263m CE =-，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE 的面积，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，证明AEF 是等腰直角三角形，再求出AE CE =，继而证明()Rt BCE Rt BFE HL ≅ ，可知122.52EBF EBC ABC ∠=∠=∠=︒，利用外角的性质即可求解．【详解】90,ACB ADB AED BEC ∠=∠=︒∠=∠ ，ADE BCE ∴ ，AD AE BC BE∴=，6,2BC AC BE AD === ，设,2AD m BE m ==，62m AE m∴=，23m AE ∴=，263m CE ∴=-，在Rt BCE 中，由勾股定理得222BC CE BE +=，22226(6)(2)2m m ∴+-=，解得236m =-或236m =+ 对角线AC ，BD 相交于点E ，236m ∴=-，12AE ∴=-，6CE ∴=，∴(2111263622ABE S AE BC =⋅⋅=⨯-⨯=- ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，90,ACB AC BC ∠=︒= ，45BAC ABC AEF ∴∠=∠=︒=∠，6AE AF AE CE ∴====，BE BE = ，()Rt BCE Rt BFE HL ∴≅ ，122.52EBF EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒，112.5AEB ACB EBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：36-，112.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．三．解答题30．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB 为直径的半圆O ，其中水面截线MN AB ∥．嘉琪在A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶C 的仰角为14°，点M 的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．(1)求∠C 的大小及AB 的长；(2)请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan 76︒取4 4.1）【答案】(1)=76C ∠︒， 6.8(m)AB =(2)见详解，约6.0米【分析】（1）由水面截线MN AB ∥可得BC AB ⊥，从而可求得76C ∠=︒，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，水面截线MN AB ∥，即可得DH 即为所求，由圆周角定理可得14BOM ∠=︒，进而可得ABC OGM ，利用相似三角形的性质可得4OG GM =，利用勾股定理即可求得GM 的值，从而可求解．(1)解：∵水面截线MN AB∥BC AB ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，90=76C CAB ∴∠=︒-∠︒，在t R ABC 中，90ABC ∠=︒， 1.7BC =，tan 76 1.7AB AB BC ∴︒==，解得 6.8(m)AB ≈．(2)过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，如图所示：水面截线MN AB ∥，OH AB ⊥，DH MN ∴⊥，GM OD =，DH ∴为最大水深，7BAM ∠=︒ ，214BOM BAM ∴∠=∠=︒，90ABC OGM ∠=∠=︒ ，且14BAC ∠=︒，ABC OGM ∴ ，OG MG AB CB ∴=，即6.8 1.7OG MG =，即4OG GM =，在Rt OGM △中，90OGM ∠=︒， 3.42AB OM =≈，222OG GM OM ∴+=，即2224(3.4)GM GM +=（），解得0.8GM ≈，= 6.80.86DH OH OD ∴-=-≈，∴最大水深约为6.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．31．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅ ，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S = ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM =△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM =．由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅ ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~ ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~ ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h =⋅ ，12DBC BC h S '=⋅ ，ABC DBC S h S h ∴='．(2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴ ．AE AM DF DM∴=．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF= ，ABC DBC S AM S DM ∴= ．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AME DNE ∠=∠=︒，AM DN ∴ ，AME DNE ∴~ ，AM AE DN DE∴=， 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=-=， 1.5DE =，3.571.53AM DN ∴==，又12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，73ABCDBC S AM S DN =∴= ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．（2022·山东青岛）如图，在Rt ABC △中，90,5cm,3cm ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE ，连接CD ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．PQ 交AC 于点F ，连接,CP EQ ．设运动时间为(s)(05)t t <<．解答下列问题：(1)当EQ AD ⊥时，求t 的值；(2)设四边形PCDQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使PQ CD ∥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16s 5(2)213714210S t t =-+(3)存在，65s 29t =【分析】（1）利用AQE AED △∽△得AQ AE AE AD =，即445t =，进而求解；（2）分别过点C ，P 作,CM AD PN BC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，证ABC CAM △∽△得，AB BC AC CA AM CM ==，求得121655AM CM ==，再证BPN BAC △∽△得BP PN BA AC=，得出45PN t =，根据ABC ACD APQ BPC PCDQ S S S S S S ==+-- 四边形即可求出表达式；（3）当PQ CD ∥时AQP ADC ∠=∠，易证APQ MCD △∽△，得出AP AQ MC MD =，则5161355t t -=，进而求出t 值．(1)解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，4AC ===∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE。

初中数学相似三角形试卷

初中数学相似三角形试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列图形中，一定存在相似三角形的是（）A. 等腰三角形和等边三角形B. 直角三角形和钝角三角形C. 等腰梯形和矩形D. 正方形和等腰三角形2. 下列各对三角形中，一定相似的是（）A. 两边对应成比例，夹角相等的三角形B. 三边对应成比例的三角形C. 两角对应相等的三角形D. 两边对应成比例，夹角不相等的三角形3. 已知在相似三角形ABC和DEF中，∠BAC = ∠DEF，∠ABC = ∠DEF，则下列结论正确的是（）A. AB = DEB. AC = DFC. BC = EFD. AB/DE = AC/DF4. 在下列三角形中，能构成相似三角形的是（）A. ∠A = 40°，∠B = 70°，∠C = 70°的三角形B. ∠A = 45°，∠B = 45°，∠C = 90°的三角形C. ∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°的三角形D. ∠A = 50°，∠B = 60°，∠C = 70°的三角形5. 在下列各对三角形中，一定不相似的是（）A. 两边对应成比例，夹角相等的三角形B. 三边对应成比例的三角形C. 两角对应相等的三角形D. 两边对应成比例，夹角不相等且对应角不等的三角形二、填空题（每题5分，共25分）6. 在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 50°，∠B = 40°，则∠C的度数是________°。

7. 已知在相似三角形ABC和DEF中，AB = 6cm，BC = 8cm，DE = 4cm，则EF的长度是________cm。

8. 在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 30°，∠B = 60°，则∠C的度数是________°。

9. 已知在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 45°，∠B = 90°，则∠C的度数是________°。

相似三角形测试卷(含答案)

相似三角形测试卷(含答案)

相似三角形测试卷(满分120分）一．选择题（共10小题，每个5分）1．如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF长是（）（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）A ．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC 上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A ．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣63．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（）A ．7.5 B．10 C．15 D．204．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（）A ．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：245．如图，已知△ABC的面积是12，BC=6，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（）（第5题）（第6题）（第7题）A ．B．C．D．6．如图，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE∥AB，AD：DC=1：2，△ABC的面积是18，则△DEC的面积是（）A ．8 B．9 C．12 D．157．如图，AB是⊙O的直径且AB=，点C是OA的中点，过点C作CD⊥AB交⊙O于D点，点E是⊙O上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则AF•AE的值为（）A ．B．12 C．D．8．如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点F，则的值为（）（第8题）（第9题）（第10题）A ．B．C．D．9．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）A ．x B．2 C．n D．310．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b），在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，则DE等于（）A ．B．C．D．二．填空题（共10小题，每个5分）11．如图，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直线AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有_________个．（第11题）（第12题）（第13题）（第14题）12．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为_________．13．如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC=∠A，，AC=3，则CD的长为_________．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为_________．15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是_________．（第15题）（第16题）（第17题）16．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是_________．17．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________cm．18．如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为_________．（第18题）（第19题）（第20题）19．如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为_________．20．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12，则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为_________．三．解答题（共2小题，每个10分）21．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．参考答案一．选择题（共10小题）1--5．CDCCD 6--10ABBDC二．填空题（共10小题）11．612．9 13．2 14．（2，4﹣2）．15．16．5．17．518．y=x19．15．20．80π﹣160．三．解答题（共2小题）21．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB 的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．解答：（1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC；（2）解：∵EF为△ABD的中位线，∴，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF：S△ABD=1：4，∴S△AEF：S四边形BDEF=1：3，∵四边形BDFE的面积为6，∴S△AEF=2，∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDEF=2+6=8．22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．解答：（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．。

相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。

以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。

答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。

答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。

答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。

答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。

已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。

因此，AC = 6.25cm。

8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。

已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等的条件是：A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案：A2. 下列选项中，哪一项不是相似三角形的性质？A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案：B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。

答案：4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似，且∠A=∠A'=60°，则∠B与∠B'的关系是________。

答案：相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

答案：在相似三角形中，由于对应角相等，根据正弦定理，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

这是因为正弦值与角的大小成正比，而相似三角形的对应角大小相同，因此它们的正弦值之比也相同。

四、计算题6. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠A=60°，求三角形ABC的面积。

答案：首先，利用余弦定理计算BC的长度。

根据余弦定理，BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。

代入已知值，得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39，所以BC = √39 cm。

然后，利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A，代入已知值，得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。

7. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:5，求三角形ABC与三角形DEF的面积比。

答案：由于相似三角形的面积比等于边长比的平方，所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。

相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案### 相似三角形测试题及答案#### 测试题一：基础概念题题目：下列哪组三角形是相似的？A. 等腰三角形和直角三角形B. 两个等腰直角三角形C. 两个等边三角形D. 两个不同形状的三角形答案：B、C解析：相似三角形的定义是两组对应角相等，且两组对应边的比相等的两个三角形。

选项B中的两个等腰直角三角形，它们的两个锐角相等，且两组对应边的比相等，因此是相似的。

选项C中的两个等边三角形，它们的三个角都相等，并且三组对应边的比也相等，因此也是相似的。

#### 测试题二：计算题题目：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 3:2，求AC:EF 的比值。

答案：AC:EF = 3:2解析：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，它们的对应边的比值是相等的。

因此，AC与EF作为对应边，它们的比值也应该是3:2。

#### 测试题三：应用题题目：在平面直角坐标系中，三角形PQR的顶点坐标分别为P(1,2)，Q(4,6)，R(1,6)。

点S(2,4)是否在以PQ为斜边的相似三角形PQS的内部？答案：是的，点S(2,4)在以PQ为斜边的相似三角形PQS的内部。

解析：首先计算PQ的长度，使用距离公式得到PQ = √[(4-1)² + (6-2)²] = √13。

然后计算PS和QS的长度，PS = √[(2-1)² + (4-2)²] = √2，QS = √[(2-4)² + (4-6)²] = √13。

由于PS < PQ < QS，根据三角形的不等式定理，点S在以PQ为斜边的三角形PQS 的内部。

#### 测试题四：证明题题目：若三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，请证明∠C = ∠F。

答案：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等。

已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，根据三角形内角和定理，三角形ABC的内角和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

八年级数学上册《相似三角形》测试题及答案

八年级数学上册《相似三角形》测试题及答案

八年级数学上册《相似三角形》测试题及答案一、选择题1. 若两个三角形的两个内角分别相等，则称这两个三角形为（）。

A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 相似三角形答案：D2. 在两个相似三角形中，对应角的度数相同，对应边的比值相等，称这两个三角形为（）。

A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 对应三角形答案：D3. 已知两个三角形相似，其边长比为2:3，而其中一个三角形的周长为18cm，则另一个三角形的周长为（）。

A. 24cmB. 27cmC. 30cmD. 36cm答案：27cm二、判断题1. 两个等腰三角形一定是相似三角形。

（）答案：错误2. 如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形一定相似。

（）答案：正确三、解答题1. 已知∠ABC = 60°，∠DEF = 45°，且∠ABC ≌∠DEF，求证△ABC ≌△DEF。

解：根据已知条件可知，∠ABC = ∠DEF = 60°。

再由∠ABC≌∠DEF，可以得出三角形ABC和DEF的对应边分别相等。

因此，根据相似三角形的定义，可以得出△ABC ≌△DEF。

答案：根据已知条件，可证明△ABC ≌△DEF。

2. 如图所示，∠ABC = 90°，AD ⊥ BC，AD = 4cm，AD上的高为3cm，求△ABC与△ACD的边长比。

![图](image.png)解：根据题意可知，三角形ABC是直角三角形，且三角形ACD是直角三角形。

已知AD ⊥ BC，所以△ABC和△ACD共有一边BC相等，并且△ACD中的∠CAD和△ABC中的∠CBA分别为共顶角和直角，因此∠CAD = ∠CBA = 90°。

此外，由题意可知AD = 4cm，AD上的高为3cm，所以BC = 4cm - 3cm = 1cm。

因此，△ABC与△ACD的边长比为1:4。

答案：△ABC与△ACD的边长比为1:4。

浙教新版九年级上册《4.3 相似三角形》2024年同步练习卷(2)+答案解析

浙教新版九年级上册《4.3 相似三角形》2024年同步练习卷(2)+答案解析

浙教新版九年级上册《4.3相似三角形》2024年同步练习卷（2）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知∽，相似比为2，则下列说法正确的是()A.是的2倍B.是的2倍C.AB是DE的2倍D.DE是AB的2倍2.下列说法正确的是()A.所有的等腰三角形都相似B.所有的等边三角形都相似C.所有的直角三角形都相似D.两相似三角形必是全等三角形3.如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是方格纸中的格点，为使∽，则点M应是F、G、H、K四点中的()A.FB.GC.HD.K4.已知∽，∽，下列关于和关系的结论正确的是()A.全等B.周长相等C.面积相等D.相似二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

5.如图，已知∽，相似比为2：3，则BC：DE的值为______.6.如图，AB，CD相交于O点，∽，OC：：3，，则BD的长为______.7.如图，∽，则图中的DE的对应边是______，的对应角是______.8.一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则它的最小边长为______9.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，与都是格点三角形顶点在网格交点处，并且∽，则与的相似比是______.三、解答题：本题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分如图，O是内任意一点，，，，那么与相似吗？说明理由.11.本小题8分如图，D，E分别是AB，AC上的点，已知∽，，，，求AE的长．12.本小题8分如图，已知∽，，，垂足分别为E，写出这两个相似三角形对应边的比例式.若，，，求BC的长.13.本小题8分如图，中，D是AB上的一点，∽，且AD：：4，，求，的度数；若，求AB的长.14.本小题8分如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，，，若使与相似，求AE的长.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∽，相似比为2，，AB是DE的2倍，选项A、B、D说法错误，不符合题意；选项C说法正确，符合题意；故选：根据相似三角形的对应角相等、对应边的比等于相似比判断即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边的比等于相似比是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：所有的等腰三角形不一定相似，只有顶角相等的等腰三角形都相似，所以A选项不符合题意；B.所有的等边三角形都相似，所以B选项符合题意；C.所有的直角三角形不一定相似，只有有一锐角相等的直角三角形相似，所以B选项不符合题意；D.全等三角形必相似，但两相似三角形不一定全等，所以D选项不符合题意．故选：利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进行判断；利用等边三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进行判断；利用直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据相似三角形的性质全等三角形的判定方法对D进行判断．本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和相似三角形的性质．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定．由图形可知的边，，，当∽时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是【解答】解：根据题意，当DE：：AC时，∽，，，应是H故选：4.【答案】D【解析】解：∽，，，∽，，，，，∽，故选：先利用相似三角形的性质得到，；，，则，，于是可判断∽，从而可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．5.【答案】3：2【解析】解：∽，且相似比为2：3，：：2，故答案为3：由于∽，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC、DE的比例关系．本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6.【答案】4【解析】解：：：3，：：2，∽，，即，解得：，故答案为：根据OC：：3，求得OC：：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．7.【答案】【解析】解：∽，与是对应角，DE与DG是对应边．故答案为：DG，根据相似三角形的对应角相等以及对应角的定义，可以确定的对应角；根据∽，结合字母所在的对应位置，可以得到DE的对应边．本题主要考查相似三角形的对应边与对应角的定义，可以结合定义进行解答．8.【答案】5【解析】解：两三角形相似，三边比：5：6，另一三角形三边比：5：6，设此三角形各边为2x，5x，6x，，解得，根据相似三角形的性质，一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的各边之比也是2：5：6，设和它相似的另一个三角形的各边为2x，5x，6x，得到关于x的方程，解即可．本题考查相似三角形的对应边的比相等．9.【答案】【解析】解：由图可知，，与的相似比是：先利用勾股定理求出AC，那么AC：即是相似比．本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形边长的比等于相似比．解答此题的关键是找出相似三角形的对应边．10.【答案】解：∽理由：，∽，同理可得，，，∽【解析】先根据得出∽，故，同理可得，，由此可得出结论．本题考查的是三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11.【答案】解：∽，，，，，即，解得【解析】直接根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．12.【答案】解：；，，，，解得：，【解析】根据∽对应边成比例，直接写出即可；根据∽对应边成比例求出AB，再由勾股定理求出BC即可．本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理，根据相似三角形的对应边成比例列出是解决此题的关键．13.【答案】解：∽，，；而，，，，；又∽，，，即AB的长为【解析】直接利用相似三角形的对应角相等这一性质即可解决问题．直接利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求解即可．本题主要考查了相似三角形的性质及其应用问题；解题的关键是找准相似三角形的对应角和对应边，准确列出比例式．14.【答案】解：①若对应时，，即，解得；②当对应时，，即，解得所以AE的长为2或【解析】由于与相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边成比例．。

相似三角形综合测试卷

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相似三角形综合测试卷一、选择题(10题共30分)1．用放大镜将图形放大，应该属于（ ） A 、相似变换 B 、平移变换 C 、对称变换D 、旋转变换2 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm ，30cm ，36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm ，45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（ ） A 、0种 B 、1种 C 、2种 D 、3种3、如图1，P 是Ｒt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4、已知△ABC 与△DEF 的相似比为1︰2 ，△ABC 的周长为30cm ，△ DEF 的三边之比为 4︰5︰6，则△DEF 的最长边为（ ） A 44cm B 40cm C 36cm D 24cm5、在平面直角坐标系中，已知点E （-4，2），F （-2，-2），以原点O 为位似中心，相似比为21，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是（ ） A ．（-2，1）B ．（-8，4）C ．（-8，4）或（8，-4） D ．（-2，1）或（2，-1） 6、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB=30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则sin ∠E 的值为（ ） A ．21 B ．23 C ．22 D ．33 7、如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB=（ ） A 、23B ．32 C ．26 D ．36 8、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 9、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC ＝3.6米，墙上影子高CD ＝1.8米，则树高AB （ ）A.2 .8B.3 .8C.4 .8D.5.810．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是（ ）①∠1=∠A ；②；③∠B+∠2=90°；④BC ：AC ：AB=3：4：5；⑤AC•BD=AD•CD ．A.2B.3C.4D.5二、填空题（6题共18分） 11、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC =_____°，BC =_____；（2）△ABC 与△DEF 是否相似？__________（填相似或不相似）12、如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB =4． （1）AD 的长为_______；（2）矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为_________。

相似三角形数学组卷

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相似三角形数学组卷1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE，CF ．则的值为（）A ．B ．C ．D ．2．如图，△ABC和△ADP均为等边三角形，点P在边AC上，连接BP并延长交CD于点E，连接AE．下列结论中错误的是（）A．∠BED＝120°B．P A•PC＝PB•PEC．△BPC∽△DEP D．△ABE∽△DCA3．如图1，△ABC内有一点P，满足∠P AB＝∠CBP＝∠ACP，那么点P被称为△ABC的“布洛卡点”．如图2，在△DEF中，DE＝DF，∠EDF＝90°，点P是△DEF的一个“布洛卡点”，那么PD/PF＝．第1页（共3页）4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F，设DE ＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x 的函数解析式为．5．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC和CDE如图放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N 两点．请完成下列探究：（1）若AC＝2，则AN•BM的值为；（2）过M作MF⊥AC于F，若＝，则的值为．瓜豆模型1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．4B．4.5C．4.8D．5第2页（共3页）2．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF ，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE 的长为．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，CD⊥AB于D，点P是线段CD上的一个动点，以点P为直角顶点向下作等腰直角△PBE，连接DE，则DE的最小值为．第3页（共3页）。

中考数学专题训练：相似三角形(附参考答案)

中考数学专题训练：相似三角形(附参考答案)

中考数学专题训练：相似三角形（附参考答案）1.若a3＝b2，则a+bb的值为( )A．32B．53C．52D．232.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )A．3 B．4C．5 D．63.如图，AD∥BE∥FC，直线l1，l2分别与三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为( )A．4.5 B．6C．7.5 D．84.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是( )A．9.6 m B．10.8 mC．12 m D．14 m5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2).现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )A．(2，4) B．(4，2)C．(6，4) D．(5，4)6.如图(单位：mm)，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )A．121.17 mm B．43.62 mmC．29.08 mm D．4.36 mm7.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD 于点F，G，则下列式子一定正确的是( )A．AFCF ＝AGDGB．ABCE＝CFAFC．BFFG ＝EFBFD．ADDG＝ABDE8.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：________________________，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足的条件即可)9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD ＝12，则S△BOCS△BCD＝______．10.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC ＝14，则AE的长为_____.11.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0)．若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__________________________．13.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是____________.15.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．16.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE ＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是______．17.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为________cm.18.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确的是____________．(填写序号)19.已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC ＝BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________．20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE＝________．(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明．(3)如图3，若ABBC ＝ADDE＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE，BD，AC之间满足的数量关系，并证明．参考答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C8．ADAB ＝AEAC(答案不唯一) 9．2310．1 11．2.712．(4，2)或(－4，－2)13．8 14．(4，2) 15．(1)证明略(2)EC＝916．43 17．4.5 18．①②③④ 19．12<l<25220．(1)证明略(2)证明略21．(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD＝BE，证明略(3)AC＝k(BD＋BE)，证明略。

相似三角形组卷.doc

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相似三角形一.解答题(共8小题)1.(2016・重庆模拟)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC, BD相交于点0,过点D 作DH_LAB于H,交A0于G,连接0H.(1)求证：AG*G0=HG*GD；(2)若ZABC=120°, AB=6,求0G 的长.2.(2016・闵行区一模)如图,已知在△ ABC中AB=AC,点DAB上，点E在线段DF的延长线上，且ZBAE=ZBDF,点M 在线段DF上，且ZEBM=ZC.(1)求证：EB・BD=BM・AB；(2)求证：AE1BE.3.(2015*岳阳)如图，正方形ABCD中,M为BC上一点，F是AM的中点,EF1AM, 垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证：△ABMs/\EFA；(2)若AB=12, BM=5,求DE 的长.BM C的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长. 4.(2015*苏州)如图，已知AD 是Z\ABC 的角平分线，。

0经过A 、B 、D 三点.过点B 作BE 〃AD,交。

O 于点E,连接ED(1) 求证：ED 〃AC ；(2) 若 BD=2CD,设Z\EBD 的面积为 S” AADC 的面积为 S?，且 Sj 2 - 16S 2+4=0,求Z\ABC 的面积.5. (2015・武汉)已知锐角AABC 中，边BC 长为12,高AD 长为8.(1)如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上, EF 交AD 于点K.①求写的值; AK②设EH=x,矩形EFGH 的而积为S,求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值；(2)若AB=AC,正方形PQMN 的两个顶点在△ ABC 一边上，另两个顶点分别在ZXABC6. (2015*遵义)如图，AABC 中，AB=AC,以AB 为直径作。

O,交BC 于点D,交CA 的延长线于点E,连接AD 、DE.(1) 求证：D 是BC 的中点；(2) 若 DE=3, BD - AD=2,求0O 的半径;(3) 在(2)的条件下，求弦AE 的长. EB 'D7. (2015・泰安模拟)如图，在平面直角坐标系内，已知点A (0, 6)、点B (8, 0),动点 P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开 始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、(1) (2) Q 移动的时间为t 秒. (3)求直线AB 的解析式；当t 为何值时，Z^APQ 与左AOB 相似？当t 为何值时，的面积为竺个平方单位?58. (2015*潍坊模拟)如图，RtAABC 中，ZACB=90°, AC=6cm, BC=8cm,动点 P 从点 B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边 上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0<t<2),连接PQ.(1) 若ABC 相似，求t 的值；(2) 连接AQ 、CP,若AQ_LCP,求t 的值.。

相似三角形试卷及答案

相似三角形试卷及答案

相似三角形单元测试卷一、选择题（每题3分，共24分） 1. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，DE ＝4，则BC =（??? ） A ．9 ?? B ．10 C ．?11???????? D ．122.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1:2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（ ） A ．一根火柴的长度B ．一支钢笔的长度C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度4. 如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）Ａ．相似变换 Ｂ．平移变换 Ｃ．对称变换 Ｄ．旋转变换6. 如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC △∽ADE △的是（ ） A ．AE AC AD AB = B ．DEBCAD AB =C ．D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠ 7. 如图，已知ABCD Y 中，45DBC =o∠，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE BF ，相交于H ，BF AD ，的延长线相交于G ，下面结论： ①2DB BE =②A BHE =∠∠③AB BH =④BHD BDG △∽△其中正确的结论是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④8. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD =12 m ，塔影长DE =18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ） A ．24m B ．22m C ．20 m D ．18 m 二、填空题（每题4分，共40分）11.如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，如果要使ABC DCA △∽△，那么还要补充的一个条件是 （只要求写出一个条件即可）． 12. 如图，已知DE BC ∥，5AD =，3DB =，9.9BC =，则ADEABCS S =△△ ．14.如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ． 在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ．CBAE12DADB15. 如图是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角90AOB ∠=︒，若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是 米2．16. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 米．17. 如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积S 5=_____________ ．18. 如图是一个边长为1的正方形组成的网络，ABC △与111A B C △都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且111ABC A B C △∽△，则ABC △与111A B C △的相似比是 ． 三、解答题（共86分）19.图（1）是一个1010⨯格点正方形组成的网格．△ABC 是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的问题：在图（1）中画出与△ABC 相似的格点△111A B C 和△222A B C ，且△111A B C 与△ABC 的相似比是2，△222A B C 与△ABC 的相似比是22； 、20.如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于O 点，过点B 作BE CD ∥交CA 的延长线于点E ．求证：2OC OA OE =g．（8分） 22. 如图10，点O 是ABC △外的一点，分别在射线OA OB OC ，，上取一点A B C '''，，，使得3OA OB OC OA OB OC'''===，连结A B B C C A ''''''，，，所得A B C '''△与ABC △是否相似？证明你的结论．23.如图，在ABC △中，D 为AC 上一点，2A 45CD D BAC ==︒，∠，60BDC =︒∠，CE BD ⊥，E 为垂足，连结AE ．（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明．A BO 1OABC图（1）CDAOBEOACB（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由．（12分）24. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=o，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EFAB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，． （1）求证：EG CGAD CD=； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．（12分） 25. 在平面内，先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P '在线段OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为()O k θ，，其中点O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角． （1）填空：①如图1，将ABC △以点A 为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60o ，得到ADE △，这个旋转相似变换记为A （，）；②如图2，ABC △是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换)A o，得到ADE △，则线段BD 的长为cm ；（2）如图3，分别以锐角三角形ABC 的三边AB ，BC ，CA 为边向外作正方形ADEB ，BFGC ，CHIA ，点1O ，2O ，3O 分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用12AO O △与ABI △，CIB △与2CAO △之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段12O O 与2AO 之间的关系．（12分）一、选择题 1. D 2. A 3. D 4. A 5. D 6. B 7. B 8. A 二、填空题9. 3710. 385811. B DCA ∠=∠或BAC D ∠=∠或AD ACAC BC=12.4913. 9.6 14.AFD EFC △∽△（或EFC EAB △∽△，或EAB AFD △∽△）ＣDE图1ＡBＣDE图2ＥＤＢＦＧＣＨＡＩ图316. 4.2 17. 247609918. 或2三、19. CD BE DCO E ∴∠=∠Q ∥，， 又DOC BOE ∠=∠，OCD OEB ∴△∽△，OD OCOB OE∴=． 又AD BC Q ∥．同理OD OAOB OC=．OC OA OE OC∴=，即2OC OA OE =g ． 25 解：（1）①2，60o； 2分 ②2；4分（2）12AO O △经过旋转相似变换)A o，得到ABI △，此时，线段12O O 变为线段BI ；6分CIB △经过旋转相似变换45C ⎫⎪⎪⎝⎭o，得到2CAO △，此时，线段BI 变为线段1AO ．8分12=Q ，454590+=o o o ， 122O O AO ∴=，122O O AO ⊥．10分八、猜想、探究题24. A B C ABC '''△∽△2分由已知3OA OC OA OC''==，AOC A OC ''∠=∠AOC A OC ''∴△∽△， 4分 3A C OA AC OA'''==∴，同理33B C A B BC AB ''''==， 6分 A C B C A B AC BC AB''''''==∴ 7分∴A B C ABC '''△∽△ 8分（1）证明：在ADC △和EGC △中， Rt ADC EGC ∠=∠=∠Q ，C C ∠=∠EG CG AD CD∴= 3分 （2）FD 与DG 垂直4分在四边形AFEG 中，∴四边形AFEG 为矩形由（1）知EG CGAD CD =AF CGAD CD∴=6分ABC Q △为直角三角形，AD BC ⊥ ADF CDG ∴∠=∠8分又90CDG ADG ∠+∠=o即90FDG ∠=oFD DG ∴⊥10分（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形，理由如下：AB AC =Q ，90BAC ∠=o由（2）知：AFD CGD △∽△ 又90FDG ∠=oFDG ∴△为等腰直角三角形12分九、动态几何（1）34PM=， （2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==Q ，， 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t t a a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a=+，3t Q ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <Q ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a =． 所以，存在a，当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．。

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相似三角形
一．解答题（共8小题）
1．（2016•重庆模拟）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D 作DH丄AB于H，交AO于G，连接0H．
（1）求证：AG•GO=HG•GD；
（2）若∠ABC=120°，AB=6，求OG的长．
2．（2016•闵行区一模）如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M
在线段DF上，且∠EBM=∠C．
（1）求证：EB•BD=BM•AB；
（2）求证：AE⊥BE．
3．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
4．（2015•苏州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B 作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED
（1）求证：ED∥AC；
（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC 的面积．
5．（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
6．（2015•遵义）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA 的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
7．（2015•泰安模拟）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
8．（2015•潍坊模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B 出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．。

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