高等数学复合函数求导第9节

求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
2
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),
故当 y y0 ， x x0 时， f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) , 有
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点
具有偏导数
极值点
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点， 但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
第九节 多元函数的极值及其求法
一、问题的提出
二、多元函数的极值和最值
三、条件极值拉格朗日乘数法
一、问题的提出
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 5 x 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 6 x 7 y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？
则水箱所用材料的面积为
2 x y 2 2 x y
令

Ax 2( y
Ay 2( x
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 2 0 时具有极值， 当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值；
故最大值为
umax 63 42 2 6912.
练习： 从 斜 边 之 长 为 一 切 直 角 三 角 形 中 ， l的
求 有 最 大 周 长 的 直 角 角 形. 三
例10. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 x y z V0 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y 最小. 令 F 2( x z y z ) x y ( x y z V0 )
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 .
证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) ， 其中 为某一常数，可由
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x, y 求偏导数,
1 A z |P , xx 2 z
2
1 B z |P 0, C zyy |P , xy 2 z
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 0 ( z 2) ,函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z ) 将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 , 1 当 z1 2 时， A 0 , 4
例9
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 3 2 u x y z 为最大.
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) , 则
3 x2 y2z 0 Fx F y 2 x 3 yz 0 解得唯一驻点(6,4,2) ， 3 2 Fz x y 0 x y z 12
必有
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
Hale Waihona Puke 类似地可证f y ( x 0 , y0 ) 0 .
推广 如果三元函数u f ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
A
B
C
例5
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y
4 z 10 0 确定的函数 z f ( x , y ) 的极值
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
练习：在 XOY面上求点 ( x, y )，使得它到三条直线 M x 0, y 0, x y 1 0的距离的平方和为最小 .
例8. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
AC B 2 0 时没有极值； （2）
2 （3） AC B 0 时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
例4. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
B
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,
在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x)
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) ln x ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果．
问题的实质：求 U ( x , y ) ln x ln y 在条 件 8 x 10 y 200下的极值点．
每天的收益为 f ( x , y )
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
二、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
例２ 函数 z x 2 y 2
在 (0,0) 处有极大值．