北京市101中学2012-2013学年高中数学《函数的奇偶性》学案新人教A版必修1

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北京市101中学2012-2013学年高中数学《指数函数及其性质(一)》学案新人教A版必修1

北京市101中学2012-2013学年高中数学《指数函数及其性质（一）》学案新人教A版必修1学科：数学专题：指数函数及其性质（一）主要考点梳理1．指数幂的有关概念（1）正整数指数幂；（2）零指数幂；（3）负整数指数幂；（4）正分数指数幂；（5）负分数指数幂；（6）的正分数指数幂等于．的负分数指数幂没有意义．2．有理指数幂的运算性质说明：上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用．3．指数函数的定义形如的函数叫做指数函数．4定义域：值域：过点，即时，时，时，当时，当时，在金题精讲题一题面：计算：（1）；（2）；（3）．题二题面：已知．求下列各式的值：（1）；（2）．题三题面：设函数若，则的取值范围是____________.题四题面：比较下列各题中两个值的大小：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与．题五题面：函数的图象大致为 ( )．题六题面：已知函数若有则的取值范围为（）．（A） (B) (C) (D)课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：计算下列各式（式中字母都是正数）（）；（）．题二题面：设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）．（A）（B）（C）1 （D）3题三题面：设，求证．讲义参考答案金题精讲题一答案：（）原式；（）原式；（）原式．题二答案：（1）；（2）．题三答案：的取值范围是．题四答案：（1）；（2）；（3）；（4）．题五答案：A．题六答案：B．课后拓展练习题一答案：（1）；（2）．详解：（1）原式；（2）原式．题二答案：A．详解：由，，所以．故，所以，选A．题三答案：见详解．证明：．。

高中数学函数的奇偶性学案新人教A版必修1

北京师范大学南湖附属学校高中数学函数的奇偶性新人教A 版必修1一．教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性．教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．二．教学思路研习点1：函数奇偶性定义一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．研习点2：奇偶函数图象的对称性偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．反之，若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数一定是偶函数，若关于原点对称，则这个函数一定是奇函数。

研习点3：用定义判断函数的奇偶性的步骤（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．题型一考查函数奇偶性的判断例题1：判断下列函数的奇偶性（1）1()f x x x=+；（2）122)(2++=x x x x f ；（3）x x x f 2)(3-=；（4）⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x （5）221)(2+--=x x x f ；（6）())f x lg x =例题2：抽象函数的奇偶性设函数)()()(x f x f x F --=是定义在R 上的函数，判断)(x F 的奇偶性。

练习：已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且)2()2(x f x f -=+，求证：)(x f 是偶函数。

高中数学教案《函数的奇偶性

高中数学教案《函数的奇偶性》章节一：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 掌握函数奇偶性的性质。

教学内容：1. 引入奇偶性的概念；2. 举例说明奇偶性的判断方法；3. 总结奇偶性的性质。

教学步骤：1. 引入奇偶性的概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶性例子；2. 给出函数奇偶性的定义，解释奇偶性的判断方法；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 引导学生总结奇偶性的性质。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性概念的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性的判断方法。

章节二：奇函数和偶函数的性质教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的性质；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。

教学内容：1. 介绍奇函数和偶函数的性质；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 回顾奇偶性的概念，引导学生理解奇函数和偶函数的性质；2. 通过具体例子，让学生学会运用奇偶性解决实际问题；3. 总结奇偶性在实际问题中的应用。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性性质的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性解决实际问题。

章节三：函数奇偶性的判定定理教学目标：1. 理解函数奇偶性的判定定理；2. 学会运用判定定理判断函数的奇偶性。

教学内容：1. 介绍函数奇偶性的判定定理；2. 举例说明判定定理的运用方法。

教学步骤：1. 引导学生理解函数奇偶性的判定定理；2. 通过具体例子，让学生学会运用判定定理判断函数的奇偶性；3. 总结判定定理的运用方法。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对判定定理的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用判定定理判断函数的奇偶性。

章节四：函数奇偶性在实际问题中的应用教学目标：1. 理解函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。

教学内容：1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的解决方法。

人教版高一数学《函数奇偶性》教案

人教版高一数学《函数奇偶性》教案一、教学目标1.理解奇函数和偶函数的概念。

2.掌握奇函数和偶函数的图像特征。

3.学会判断函数的奇偶性，并且能够运用奇偶性进行简化计算。

二、教学重点1.函数的奇偶性的概念和判定方法。

2.奇函数和偶函数的图像特征。

三、教学难点1.运用奇偶性进行简化计算。

2.奇函数与偶函数的应用。

四、教学过程1. 导入•引入一个问题：假设已知一个函数的图像关于y轴对称，是否可以断定该函数是偶函数？为什么？2. 理解奇函数和偶函数的概念•引导学生观察函数的图像特点，提出奇函数和偶函数的定义。

•奇函数的定义：对于任意x，有f(-x) = -f(x)。

•偶函数的定义：对于任意x，有f(-x) = f(x)。

•提供学生自主查找奇函数和偶函数的例子。

3. 掌握奇函数和偶函数的图像特征•奇函数的图像特征：–关于原点对称。

–当函数图像经过第一象限和第三象限时，图像具有相同的形状和斜率。

•偶函数的图像特征：–关于y轴对称。

–当函数图像经过第一象限时，图像具有相同的形状和斜率。

4. 奇偶函数的判定方法•奇函数的判定方法：–如果函数为奇函数，可以证明 f(-x) = -f(x)。

–根据判定方法，可以通过计算 f(-x) 和 -f(x) 是否相等来验证函数的奇偶性。

•偶函数的判定方法：–如果函数为偶函数，可以证明 f(-x) = f(x)。

–根据判定方法，可以通过计算 f(-x) 和 f(x) 是否相等来验证函数的奇偶性。

5. 运用奇偶性进行简化计算•奇函数的简化计算：–当相加或相减的奇函数是关于同一个指标的同类项时，可以直接合并计算。

–奇函数与奇函数相加或相减的结果仍然是奇函数。

•偶函数的简化计算：–当相加或相减的偶函数是关于同一个指标的同类项时，可以直接合并计算。

–偶函数与偶函数相加或相减的结果仍然是偶函数。

6. 奇函数与偶函数的应用•奇函数的应用：–在一些对称问题中，可以运用奇函数进行简化计算。

–例如，当一个物体的速度关于原点对称时，可以判断考虑物体左侧或右侧的速度。

【参考教案】《函数的奇偶性》(人教)

《函数的奇偶性》本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的。

教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图像，让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念。

因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然。

【知识与能力目标】1、使学生从形与数两个方面理解函数奇偶性的概念、图像和性质；2、判断一些简单函数的奇偶性。

【过程与方法目标】1、设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能力。

在概念形成的过程中，渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法；2、通过对函数单调性定义的探究，培养学生的抽象思维的能力。

【情感态度价值观目标】经过探究过程，培养学生严谨论证的良好思维习惯；使学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的理性认知过程。

【教学重点】函数奇偶性的概念及其判断。

【教学难点】函数奇偶性的掌握和灵活运用。

通过本节导学案的使用，引导学生对函数奇偶性有个初步的认识，带着问题学习。

(一)创设情景，揭示课题1、实践操作：（也可借助计算机演示）取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图像的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。

○2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。

高中数学 1.3.2 奇偶性教案新人教A版必修1

1.3.2函数的奇偶性教学设计1.学情调查，情景导入情景1：生活中，哪些几何图形体现着对称美？情景2：我们学过的函数图象中有没有体现着对称的美呢？情景3：引导学生从对称角度将所说的函数图象进行分类比较。

2.问题展示，合作探究问题1：根据函数的解析式，结合函数的图像通过求值观察并总结出规律。

(设计这个问题有这样的目的：通过直观图像帮助学生更好的找出规律一是从图象的角度作出判断；二是从“数的方面”论证概念创设教学情景.)问题2：“能不能从函数解析式的角度来描述函数图象的对称性？如果能，该怎么解决？学生会选取很多的x的值，得到结论。

追问：这些x的值能不能代表所有x呢？借助课件演示，引导学生进行代数式推导，再次得出结论f(-x)=-f(x).(强调x是定义域内任意值，帮助学生完成由特殊到一般的思维过程)用数学符号表示奇函数的严格定义。

问题4：让学生用自己的语言描述对偶函数的认识。

(从形和数两方面)问题5：结合课本中的材料，仿照奇函数概念的建立过程，学生独立去建立偶函数的概念。

3.归纳概括，精致概念(此时，大部分学生已经有了如何判断函数奇偶性的意识，只是不太确定。

）问题6：通过具体例题的判断总结如何判断函数的奇偶性(设计这个问题的目的:一来是为学生强调判断函数奇偶性的方法;二来强调判断函数奇偶性的一个先决条件：“定义域必须关于原点对称”)。

问题6：在学习函数奇偶性的概念中有哪些几个注意的地方？问题7：我们经历了函数单调性和奇偶性概念的学习过程，谈谈你对这两个概念的认识？(引导学生进一步精致所学概念：认识单调性、奇偶性都是描述函数整体特征的，都必须在整个定义域范围内进行研究；引导学生对定义中“任意”的理解；引导学生认识到函数图象是函数性质的直观载体；)最后布置思考题：1、当____时一次函数f(x)=ax+b（a≠0）是奇函数2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）是偶函数知识梳理，归纳总结由学生总结完成。

人教A版高一数学必修一 1.3.2函数的奇偶性学案

1.3.2函数的奇偶性（学案）一、学习目标（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性．二、自主学习1.什么是轴对称图形？什么是中心对称图形？2.从对称的角度，观察下列函数的图象：2(1)()12f ()f x x x x =+=；（）；（3）x x f =)(；（4）xx f 1)(=三、合作探究（一）函数的奇偶性定义上面的图象关于y 轴对称的函数即是偶函数关于原点对称的函数即是奇函数．1．偶函数（even function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数（odd function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。

（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．（4）偶函数：0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ,奇函数：0)()()()(=-+⇔-=-x f x f x f x f ；（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

四、学以致用例1．如图，已知偶函数y=f(x)在y 轴右边的一部分图象，根据偶函数的性质，画出它在y 轴左边的图象．例2：判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x 4；（2）f(x)=x 5；（3）f(x)=1x x +；（4）f(x)=21x归纳：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例3：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数解：任取)0,(,21-∞∈x x ，使得021<<x x ，则021>->-x x由于f(x) 在(0，＋∞)上是增函数，所以)()(21x f x f ->-又由于f(x)是奇函数，所以)()(11x f x f -=-和)()(22x f x f -=-由上得)()(21x f x f ->- 即)()(21x f x f <，所以，f(x)在(－∞，0)上也是增函数结论：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．五、自主小测1.根据定义判断下列函数的奇偶性：（1）122)(2++=x x x x f ；（2）x x x f 2)(3-=；（3）2()x f x = （R x ∈）；（4）f(x)=0 （R x ∈）2.若函数f(x)的图象关于原点对称且在x=0处有定义，则f(0)=_______。

人教A高中数学必修一《函数的奇偶性》教案

人教A高中数学必修一《函数的奇偶性》教案【教案】函数的奇偶性一、教学目的和要求：1.掌握奇函数、偶函数的定义。

2.理解奇函数、偶函数的性质。

3.学会判断一个函数的奇偶性。

4.运用函数的奇偶性解决实际问题。

二、教学重难点：1.奇函数、偶函数的定义和性质。

2.判断函数的奇偶性。

三、教学过程：【导入】1.提问：在平面直角坐标系中，如何判断一个点关于x轴、y轴和原点的对称性？2.引入奇函数和偶函数的概念：如果函数满足其中一种对称性，我们可以称之为奇函数或偶函数。

【教学展开】1.奇函数的定义：-定义：对于定义在区间(-∞,+∞)上的函数f(x)，当对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数。

-解释：将一个自变量x对应的因变量值f(x)与其对称轴（y轴）上的点关联起来，如果两者关系满足f(-x)=-f(x)，则可以称函数f(x)是关于y轴对称的，即为奇函数。

-举例：y=x^3、y=x^5等都是奇函数。

2.偶函数的定义：-定义：对于定义在区间(-∞,+∞)上的函数f(x)，当对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

-解释：将一个自变量x对应的因变量值f(x)与其对称轴（y轴）上的点关联起来，如果两者关系满足f(-x)=f(x)，则可以称函数f(x)是关于y轴对称的，即为偶函数。

-举例：y=x^2、y=x^4等都是偶函数。

3.奇偶函数的性质：-性质1：奇函数的对称轴是原点，即f(0)=0。

-性质2：偶函数的对称轴是y轴，即f(x)=f(-x)。

-性质3：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

-性质4：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的差是奇函数。

-性质5：两个偶函数的和是偶函数，两个偶函数的差是偶函数。

-性质6：奇函数乘以偶函数是奇函数。

4.判断函数的奇偶性：-按奇函数、偶函数的定义判断。

-利用函数性质进行判断。

【教学拓展】1.判断函数的奇偶性的例题：-例题1：已知函数f(x)=x^3-3x，判断其奇偶性。

新人教A版必修一《函数的奇偶性》学案

§1.3.2函数的奇偶性学案学习目标：1、理解函数奇偶性的概念及其图象特征2、学会判断函数的奇偶性3、学会运用奇偶函数的图象研究函数的一些简单的性质4、培养自己观察、抽象的能力；从特殊到一般的概括、归纳能力；注意数形结合思想学习内容：（同学们，为了更好的完成本节课的学习任务，请大家务必提前认真完成以下任务！）下图是y x y 12==和的图象图（1）图（2）观察上图不难发现：图（1）关于y 轴对称，图（2）关于原点对称．而且任意两个对称点的共同特征是：横坐标（自变量）互为相反数．那么你能发现两个对称点的纵坐标（函数值）)(0x f -与)(0x f 的关系吗？如果你发现了它们的关系，现在如果把图象类似图（1）的函数命名为偶函数；图象类似图（2）的函数命名为奇函数．你试着根据你发现的关系归纳出奇函数和偶函数的定义：完成了以上任务后，你现在已经知道了奇函数和偶函数定义及其图象特征，接下来不妨小试身手吧！一、熟悉定义（这部分必须做）1、判断下列函数的奇偶性①5)(x x f = ②21)(xx f = ③x x f =)( ④x x x f +=1)( ⑤|2||2|)(--+=x x x f ⑥1)(=x f ⑦1)1()(--=x x x x f 2、已知函数)(x f y =是奇函数，如果1)(=a f ，那么=-)(a f _______ 变式：设函数)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，32)(-=xx f ，则)2(-f 等于（）笔记：笔记：(-0(x -2xA ．1-B ．114C ．1D ．114- 3、已知)(x f 是奇函数，且在0=x 处有定义，试求)0(f 的值．（提示：利用定义）若)(x f 是偶函数，且在0=x 处有定义，你还能确定)0(f 的值吗？二、引伸提高（这部分根据自己的实际情况尽量去做）例1、设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则)2(f 与))(32(2R a a a f ∈+-的大小关系是（A ．)2(f <)32(2+-a a fB ．)2(f ≥)32(2+-a a fC ．)2(f >)32(2+-a a fD ．与a 的取值有关练习、设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是_______ ．例2、已知)(x f 为偶函数，)(x g 是奇函数，且2)()(2-+=-x x x g x f ，求)(x f 与)(x g 的解析式．练习、已知)(x f 、)(x g 的定义域均为R ，)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且1)()(2+-=+x x x g x f ，求)(x f 的解析式．例3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，12)(+-=x x f ，那么当0>x 时，)(x f 的解析式为．练习、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，0>x 时，32)(2-+-=x x x f ，那么当0<x 时，)(x f 的解析式为．上题变式：(1) 求)(x f 的解析式；(2) 画出)(x f y =的图像；(3) 求出)(x f 的单调区间．。

高中数学1.3.2《函数的奇偶性》学案(新人教A版必修1)

第4课时函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有，则称f (x )为奇函数；若，则称 f (x )为偶函数. 如果函数 f (x )不具有上述性质，则 f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x ) . ② 简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期例1. 判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=2211x x -⋅-;(2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R );(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一易知f(x)的定义域为R ，又∵f(-x)=log 2［-x+1)(2+-x ］=log 2112++x x =-log 2(x+12+x )=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x+1)(2+-x ］+log 2(x+12+x )=log 21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x|x ≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. 变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：（1）f （x ）=（x-2）xx-+22；（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ；（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x 解：（1）由xx-+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数. （2）由⎩⎨⎧≠-->-.02|2|0122x x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(x x x x --=----. ∵f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f x x x x =--=---∴f （x ）为偶函数.（3）x ＜-1时，f （x ）=x+2，-x ＞1,∴f （-x ）=-（-x ）+2=x+2=f （x ）.x ＞1时，f （x ）=-x+2，-x ＜-1，f(-x)=x+2=f(x).-1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1,f （-x ）=0=f （x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）.因此f （x ）是偶函数. 例2 已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). （1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值. （1）证明： ∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称. ∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.（2）解：方法一设x,y ∈R +，∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ），∴f （x+y ）-f （x ）=f （y ）. ∵x ∈R +，f （x ）＜0, ∴f(x+y)-f(x)＜0, ∴f(x+y)＜f(x).∵x+y ＞x, ∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0， ∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)=-21,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二设x 1＜x 2,且x 1,x 2∈R.则f(x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1).∵x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＜0.∴f(x 2)-f(x 1)＜0.即f(x)在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21，∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f(x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：∵f （x ）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f （x ）=xlg （2+x ），即f （x ）=-xlg(2+x) （x ＞0）.∴f(x)=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x 即f(x)=-xlg(2+|x|) (x ∈R ).例3 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x) . （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明： ∵f （x+2）=-f （x ）， ∴f （x+4）=-f （x+2）=-［-f （x ）］=f （x ）， ∴f （x ）是以4为周期的周期函数. （2）解：当0≤x ≤1时，f(x)=21x,设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x. ∵f(x)是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f(x)= 21x. 故f(x)= 21x(-1≤x ≤1) 又设1＜x ＜3,则-1＜x-2＜1, ∴f(x-2)=21(x-2),又∵f （x-2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x ）， ∴-f （x ）=21（x-2），∴f （x ）=-21（x-2）（1＜x ＜3）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x由f(x)=-21,解得x=-1.∵f （x ）是以4为周期的周期函数. 故f(x)=-21的所有x=4n-1 (n ∈Z ). 令0≤4n-1≤2 009,则41≤n ≤20051, 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）,∴在［0，2 009］上共有502个x 使f(x)=-21. 变式训练3：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R . （1）试判断f(x)的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a 2+1,f(-a)=a 2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数. （2）当x ≤a 时,f(x)=x 2-x+a+1=(x-21)2+a+43, ∵a ≤21,故函数f(x)在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f(x)在（-∞，a ］上的最小值为f(a)=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f(x)=x 2+x-a+1=(x+21)2-a+43,∵a ≥-21，故函数f(x)在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a ，+∞)上的最小值为f(a)=a 2+1.综上得，当-21≤a ≤21时，函数f(x)的最小值为a 2+1.1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.。

1.3函数的奇偶性学案(人教A版必修1).doc

第七课时函数的奇偶性【学习目标】1．从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念,体会利用定义判断简单函数的奇偶性；2．在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察、归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.【课前导学】1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤．2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）；中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转︒180，能够与另一图形重合）．这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）．【课堂活动】一．建构数学：1.偶函数（1）观察函数y=x 2的图象（如右图）①图象有怎样的对称性？⇒关于y 轴对称．②从函数y=f (x)=x 2本身来说，其特点是什么？⇒当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值．例如：f (-2)=4, f (2)=4,即f (-2)=f (-2)；f (-1)=1，f (1)=1，即f (-1)=f (1)；…… 由于（-x ）2=x 2 ∴f (-x)= f (x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=x 2的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=x 2的图象上，这时，我们说函数y=x 2是偶函数．（2）定义：（板书）一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)= f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数（even function ）．例如：函数2()1f x x =+,22()11f x x =+,()f x x =等都是偶函数．2.奇函数（1）观察函数y=x 3的图象（如图）①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？⇒也是一对相反数．②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？⇒函数的图象关于原点对称．即如果点（x,y ）是函数y=x 3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x 3是奇函数．（2）定义：（板书）一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)=- f (x) ，那么函数f (x)就叫做奇函数(odd function)．例如：函数1(),()f x x f x x==都是奇函数． 3.奇偶性。

高中数学新人教版A版精品教案《函数的奇偶性》6

函数的奇偶性（一）教材分析函数的奇偶性是描述函数整体性质的一个性质，表现在数上为自变量互为相反数的函数值得变化，表现在形上为函数图像的对称性。

从函数的数与形两个角度进行了定量定性的分析。

（二）学情分析学生刚从初中跨到高中不久，所以在函数概念课中由图形转化到数学语言，再有函数值转化到图形上，会存在问题，并且学生基础不是很好，主动性也不够，所以课堂上面要慢一点，理解的要透。

（三）教学目标1．知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性2．过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力3．情感、态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质（四）教学重点与难点重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断（五）教学方法应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固（六）教学手段：多媒体授课（七）课型：新授课（八）课时安排：1课时（九）教学过程1偶函数的图象关于轴对称2奇函数的图象关于原点对称征？应用举例由t展示例1已知函数=f是偶函数，它在轴右边的图象如下图所示，画出函数= f在轴左边的图象。

例2 已知函数=f是奇函数，它在轴右边的图象如下图所示，画出函数= f在轴左边的图象。

1．选例3的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行学生做好总结归纳2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较哪种方案简单通过例题的讲解与演练，指导学生自己动手，必须能从形到数的去理解函数的奇偶性。

北京市101中学2012-2013学年高中数学《函数的图象和性质》学案新人教A版必修1

北京市 101中学 2012-2013 学年高中数学《函数的图象和性质》教案新人教 A版必修1学科：数学专题：函数的图象和性质主要考点梳理1．函数图象变换（1）函数的图象能够由的图象向左（时）平移或向右（时）平移 || 个单位而获得．（2）函数的图象能够由的图象向上（时）平移或向下（时）平移 || 个单位而获得．（3）函数的图象能够看作是保持在轴上方的图象不变，并把在轴下方的图象翻折到轴上方而获得．（4）函数的图象能够看作是擦掉在轴左边的图象，而后把在轴右边的图象沿轴翻折到轴左边，并保持原来在轴右边的图象不变而获得．（ 5）若函数知足：对于定义域内随意的一个值，都有，则函数的图象对于直线对称．（ 6）假如函数对于定义域内的随意一个，都有（为非零常数）建立，那么的图象每过个单位重复出现一次．易混易错点：形如的函数图象向左或向右平移若干个单位后的分析式简单写错．2．函数单一性与奇偶性的几个结论（1）奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于轴对称；反之，图象对于原点对称的函数为奇函数，图象对于轴对称的函数为偶函数．（2）奇函数在对于原点对称的两个区间上拥有同样的单一性．偶函数在对于原点对称的两个区间上拥有相反的单一性．易混易错点：因为对函数的定义缺少深刻的理解，所以，经常误以为“对于原点对称的图象必定是奇函数的图象，对于轴对称的图象必定是偶函数的图象”．易错小题考考你题一题面：把函数的函数图象向右平移3个单位，则所得的函数的分析式是_________________________.题二题面：察看右图可看出，图中曲线对于轴对称，所以这条曲线是偶函数的图象．这个判断正确吗？为何？金题精讲题一题面：汽车经过启动、加快行驶、匀速行驶、减速行驶以后泊车，若把这一过程中汽车的行驶行程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是（）．题二题面：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如下图，则不等式的解集是．题三题面：确立函数的单一区间．题四题面：设函数知足，则的图象可能是（）．题五题面：函数的图象为，而对于直线对称的图象为，将向左平移1个单位后获得的图象为，则所对应的函数为（）．（A）（B）（C）（D）题面：已知函数的图象如下图则（）．（ A）（B）（ C）（D）课后拓展练习注：此部分为老师依据本授课程内容为大家优选的课下拓展题目，故不在讲堂中解说，请同学们课下自己练习并比较详解进行自测.题一题面：如图是定义在 [0 ，1] 上的四个函数，此中知足性质：“对[0 ， 1] 中（）．A．和B．C．和D．题二题面：客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1小时抵达乙地，在乙地逗留了半小时，而后以80km/h 的速度匀速行驶 1小时抵达内陆．以下描绘客车从甲地出发，经过乙地，最后抵达丙地所经过的行程与时间之间关系的图象中，正确的选项是（）．讲义参照答案易错小题考考你题一答案：所求的函数的分析式是．题二答案：这个判断错误．金题精讲题一答案： A．题二答案：．题三答案：增区间是（- ∞， 0] ∪[1 ，+∞），减区间是 [0 ，1] ．题四答案： B．题五答案： B．题六答案： A．课后拓展练习题一答案： A．详解：由题意，察看四个函数：中的图象先降后升是一凸函数，知足要求；中的图象直线上涨，不是凹函数，知足要求；中的函数图象凸、凹函数各一部分．不知足要求；观察定义：对[0 ， 1] 中随意的x1和 x2，随意λ ∈[0，1]，f [λ x1+(1λ )x2]≤ λf（x1）+（ 1λ）f（x2）恒建立知，此函数在[0，1]不是凹函数，由上剖析知只有和切合题意．故答案为：和应选A．题二答案： C．详解：从甲地抵达丙地最后行程是140km，故否认A；从 1小时到 1.5 小时所经过的行程都是60km，图象应是一段平行于轴的线段，故否认 B；在 D选项中，从乙地抵达丙地所用的时间超出了1小时，故否认 D．进而选 C．。

北京市101中学2012-2013学年高中数学《函数的概念及其表示法》学案新人教A版必修1

北京市 101中学2012-2013 学年高中数学《函数的观点及其表示法》学案新人教 A版必修1学科：数学专题：函数的观点及其表示法主要考点梳理1．函数定义设是非空数集，假如依据某个确立的对应关系，使对应会合中的随意一个数，在集合中都有独一确立的数和它对应，那么就称为从会合到会合的一个函数，记作．此中叫自变量，取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的会合叫做函数的值域．明显值域是会合的子集．2．区间设是两个实数，并且，我们规定：（ 1）知足不等式的实数的会合叫做闭区间，表示为；（ 2）知足不等式的实数的会合叫做开区间，表示为；（ 3）知足不等式或的实数的会合叫做半开半闭区间，分别表示为．（ 4）知足，，，的实数的会合分别表示为，，，．3．函数的表示法（1）分析法：用数学式子来表示两个变量之间的对应关系，这类表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：用列出表格来表示两个变量之间的对应关系，这类表示函数的方法叫做列表法．（ 3）图象法：用图象来表示两个变量之间的对应关系，这类表示函数的方法叫做图象法．易混易错点：1．表示是的函数，与之间不是相乘的关系，符号“”表示对变量所实行的运算法例．2．函数三因素：①函数的定义域；②函数的值域；③对应法例．此中对应法例是中心，定义域和值域都一定是非空的数集．依据对应法例，与自变量所对应的函数值一定独一．易错小题考考你题一题面：设，求，．题二题面：已知两个变量与之间知足关系式，则是的函数吗？金题精讲题一题面：以下说法中正确的选项是（）A．变量、知足，则是的函数B．变量、知足，则是的函数C．变量、知足，则是的函数D．变量、知足，则是的函数题二A．B．C．D．题三题面：已知（1）求；（2）若，求．题四题面：求以下函数的定义域（）；（）；（）；（）．课后拓展练习注：此部分为老师依据本授课程内容为大家优选的课下拓展题目，故不在讲堂中解说，请同学们课下自己练习并比较详解进行自测.题一题面：以下各对函数中，是同一函数的一对是（）．（A）与（B）与（C）与（D）与难度：简单题题二题面：求以下函数中自变量的取值范围：（ 1）；（ 2）．难度：简单题题三题面：判断以下说法能否正确：（1）长方形的宽一准时，面积是长的函数；（2）等腰三角形的面积是底边长的函数；（3）某人的身高是年纪的函数；（ 4）关系式中的是的函数．难度：中等题题四题面：已知函数若，则；若，则；．难度：中等题讲义参照答案易错小题考考你题一答案：，题二答案：不是的函数．金题精讲题一答案： D题二答案： B题三答案：（ 1）；（2）题四答案：（ 1）（2）（ 3）（4）课后拓展练习题一答案： C．详解： A 选项中两个函数的值域不一样， B 选项中的两个函数的定义域不一样， D 选项中的两个函数的定义域也不一样，故 A、 B、D 都错误，所以选 C．题二答案：（ 1）是；（2）．详解：（ 1）由得，所以的取值范围是．（ 2）由得，所以的取值范围是．题三答案：（ 1）正确；（ 2）错误；（ 3）正确；（ 4）错误．详解：（ 1）长方形的宽一准时，其长所取的每一个确立的值，面积都有独一确立的值与它对应，所以面积是长的函数．（2）由于三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积还因受高的影响而不可以有独一确立的值和底的取值相对应，所以面积不是底边长函数．（3）人的随意一个确立的年纪，都有独一确立的身高与之对应，所以这个人的身高是年纪函数．（ 4）当时，，此时，不独一．所以不是的函数．题四答案：（ 1）；（2）；（3）．详解：当时，，则．当时，，，则，．。

北京市101中学2012-2013学年高中数学《函数的解析式与函数求值》学案新人教A版必修1

北京市 101中学2012-2013 学年高中数学《函数的分析式与函数求值》教案新人教A版必修1学科：数学专题：函数的分析式与函数求值主要知识点梳理1．函数求值依据函数的表达式求，只要把换成即可．2．函数的分析式假如一个函数中的两个变量之间的对应关系能够用一个数学表达式来表示，那么这个数学表达式就称作这个函数的分析式．金题精讲题一题面：已知函数，那么题二题面：函数的定义域为R+，若对于定义域内随意的x，y 均有，又已知，用、表示的值，．题三题面：设表示数的整数部分（即小于等于的最大整数），比如，那么函数（）的值域为．题四题面：已知，则．题五题面：在边长为4的正方形的边上有动点从点开始，沿折线向点挪动，而且使得三点两两相连真实组成三角形．设点挪动的行程为，△的面积为，求函数的分析式，并求的值．课后拓展练习注：此部分为老师依据本授课程内容为大家优选的课下拓展题目，故不在讲堂中解说，请同学们课下自己练习并比较详解进行自测.题一题面：设，则( )(A)－(B)0(C)(D) 1题二题面：已知，求．题三题面：函数对于随意实数知足条件，若则__________ ．题四题面：动点从边长为1的正方形的极点A出发按序经过、、再回到．设表示点的行程，表示的长，求对于的函数分析式．讲义参照答案金题精讲题一答案：题二答案：题三答案 :题四答案 :题五答案：课后拓展练习题一答案： D详解：，故．题二答案：详解：设，则，故，所以．题三答案：详解：由得，因此，则．题四答案：详解：明显当在上时，；当在上时，；当在上时，；当在上时，．因此。

2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)函数的奇偶性

2.4 函数的奇偶性巩固·夯实基础一、自主梳理1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)〔或f(x)+f(-x)=0〕,则称f(x)为奇函数.2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)〔或f(x)-f(-x)=0〕,则称f(x)为偶函数.3.奇、偶函数的性质(1）具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含数0，则f(0)=0.(4)奇函数的反函数也为奇函数.(5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.二、点击双基1．下面四个结论中，正确命题的个数是( ）①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)A.1B.2C.3D.4解析:①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕.答案:A2．已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析:由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数.答案:A3．（2005重庆高考）若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0］上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)解析：由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示.显然f(x)<0的解集为{x|-2<x<2},故选D.答案：D（2006北京海淀模拟）已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1), 4．若f(2)=2,则f(2 006)的值为( )A.2B.0C.-2D.±2解析:由题意得g(-x)=f(-x-1)=f［-(x+1)］,g(x+2)=f(x+1),∴g(x+2)=g(-x)=-g(x).∴g(x+4)=-g(x+2)=g(x).∴g(x)为周期函数且T=4.f(2 006)=g(2 007)=g(3+2 004)=g(3)=f(2)=2.故选A.答案:A5．已知f(x)=ax 2+bx+3A+b 是偶函数，且其定义域为［a-1，2a ］，则a=____，b=______.解析:定义域应关于原点对称，故有a-1=-2a ，得A=31. 又对于所给解析式，要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0.答案:31 0 诱思·实例点拨【例1】 (2005福建高考) f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.2B.3C.4D.5解析:周期为3,且f(2)=0,是R 上的奇函数,∴f(2)=f(-1)=-f(1),f(2)=-f(-2),f(-2)=f(1)=f(4),f(2)=f(5).∴f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0.答案:D【例2】判断下列函数的奇偶性:(1）f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·xx -+11; (3)f(x)=2|2|12-+-x x ; (4)f(x)=⎩⎨⎧>+<-0),1(,0),1(x x x x x x剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断.解:(1)函数的定义域x ∈(-∞,+∞),对称于原点.∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.(2)先确定函数的定义域.由xx -+11≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,1x x x x 且故f(x)的定义域为［-1，0］∪(0，1)，关于原点对称，且有x+2>0.从而有f(x)=x x x x 221221-=-+-，这时有f(-x)=xx x x 221)(1-=---=-f(x),故f(x)为奇函数. (4)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x>0时，-x<0,∴f(-x)=(-x)［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x)(x>0).当x<0时，-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).故函数f(x)为奇函数.讲评:(1)分段函数的奇偶性应分段证明.(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005北京东城模拟）函数f(x)的定义域为D={x|x ≠0},且满足对于任意x 1、x 2∈D,有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x 的取值范围.(1)解:令x 1=x 2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)证明:令x 1=x 2=-1,有f ［(-1)×(-1)］=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0.令x 1=-1,x 2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.(3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3.∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3,即f ［(3x+1)(2x-6)］≤f(64). (*)∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴(*)等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+->-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x即⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>.,331537,313R x x x x x 或或∴3<x ≤5或-37≤x<-31或-31<x<3. ∴x 的取值范围为{x|-37≤x<-31或-31<x<3或3<x ≤5}. 讲评:解答本题易出现如下思维障碍:(1)无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.(2）无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.链接·拓展已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是(a 2,b),g(x)>0的解集是(22a ,2b ),2b >a 2,那么f(x)·g(x)>0的解集是( ) A.(22a ,2b ) B.(-b,-a 2) C.(a 2,2b )∪(-2b ,-a 2) D.(22a ,b)∪(-b 2,-a 2) 提示:f(x)·g(x)>0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f ∴x ∈(a 2,2b )∪(-2b ,-a 2). 答案:C。

高中数学 1.3.2函数的奇偶性学案新人教A版选修22

高中数学 1.3.2函数的奇偶性学案新人教A版选修22一．学习目标1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：学生通过自己动手计算，经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。

3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。

二．重点和难点：重点：函数的奇偶性及其几何意义。

难点：判断函数的奇偶性的方法与步骤。

三．学习过程：知识探究（一）利用描点作图法画出函数f（x）=x2与函数f（x）=2-︱x︱的图像。

X …-3 -2 -1 0 1 2 3 …f(x)=x2……X …-3 -2 -1 0 1 2 3 …f(x)=2-︱x︱……思考1:这两个函数的图象有何共同特征？思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有______________，那么f(x)就叫做偶函数（even function）。

知识探究（二）：利用描点作图法画出函数f(x)=x与函数f(x)=1/x的图像。

完成下面3个思考。

思考1:这两个函数的图象有何共同特征？思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？X …-3 -2 -1 0 1 2 3 …f(x)=x……X …-3 -2 -1 0 1 2 3 …f(x)=1/x…/ …定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有______________，那么f(x)就叫做奇函数（odd function）。

高中数学 1.3.3函数的奇偶性全册精品教案新人教A版必修1

1.3.3 函数的奇偶性（一）教学目标1．知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.2．过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.3．情感、态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.（二）教学重点与难点重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断.（三）教学方法应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.（四）教学过程备选例题.例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f (x ；（2）f (x ) =2||1x x +. 解析：（1）函数的定义域是（–∞，+∞），将函数式分子有理化，得f (x ) =2222(11)(11)(11)(11)x x x x x x x x ++-+--++++-+ =222(11)(11)xx x x x ++++-+，f (–x ) =222()(1()1)(1()()1)x x x x x -+--++---+=222(11)(11)xx x x x -++++-+= – f (x )，∴f (x )是奇函数.（2）函数定义域为（–∞，+∞），f (–x ) =2||()1x x --+=2||1x x += f (x ). ∴f (x )为偶函数.例2 （1）设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x ) + g (x ) =11x +，求函数f (x )，g (x )的解析式；（2）设函数f (x )是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f (x )在(0，+∞)上是减函数，且f (x )＜0，试判断函数F (x ) =1()f x 在(–∞，0)上的单调性，并给出证明. 解析：（1）∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (–x ) = f (x )，g (– x ) = –g (x )，由f (x ) + g (x ) =11x - ①用–x 代换x 得f (–x ) + g (– x ) =11x --， ∴f (x ) –g (x ) =11x --， ②(① + ②)÷2 = 得f (x ) =211x -； (① – ②)÷2 = 得g (x ) =21x x -. （2）F (x )在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：设x 1，x 2(–∞，0)，且x 1＜x 2.则△x = x 2 – x 1＞0且–x 1，–x 2(0，+∞)，且–x 1＞– x 2，则△(–x ) = (–x 2) – (–x 1) = x 1–x 2 = –△x ＜0，∵f (x )在（0，+∞）上是减函数，∴f (–x 2) – f (–x 1)＞0 ① 又∵f (x )在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f (–x 1) = – f (x 1)，f (–x 2) = – f (x 2)，由①式得 – f (x 2) + f (x 1) ＞0，即f (x 1) – f (x 2)＞0. 当x 1＜x 2＜0时，F (x 2) – F (x 1) =122112()()11()()()()f x f x f x f x f x f x --=⋅，又∵f (x ) 在(0，+∞)上总小于0，∴f (x 1) = – f (–x 1)＞0，f (x 2) = – f (–x 2)＞0，f (x 1)·f (x 2)＞0，又f (x 1) – f (x 2)＞0，∴F (x 2) – F (x 1)＞0且△x = x 2 – x 1＞0，故F (x ) =1()f x 在(–∞，0)上是增函数.。

北京市101中学2020学年高中数学《函数的奇偶性》学案新人教A版必修1

北京市 101中学 2020学年高中数学《函数的奇偶性》教案新人教 A版必修 1学科：数学专题：函数的奇偶性主要考点梳理1．奇函数：一般地，假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．2．偶函数：一般地，假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．假如函数是奇函数或偶函数，那么，就说函数拥有奇偶性．易混易错点：函数的定义域在数轴上所示的区间对于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必需条件．所以判断函数为奇函数或偶函数，第一要看定义域能否对于原点对称．但是，许多学生对此缺少深刻的理解，常常只注意形式化的表达式而不注意定义域对于原点对称的包含条件．3．单一函数的性质①由奇函数的定义可知，假如在处有定义，则．②一般地，图象对于原点对称的函数为奇函数；反之，奇函数的图象对于原点对称．图象对于轴对称的函数为偶函数；反之，偶函数的图象对于轴对称．③奇函数在对于原点对称的两个区间上拥有同样的单一性，偶函数在对于原点对称的两个区间上拥有相反的单一性．易错小题考考你题一题面：判断函数的奇偶性时，王新同学这样解：因为，所以是偶函数．上述判断正确吗？为何？金题精讲题一题面：如果偶函数在上有最大值，那么在上（）．A．有最大值B．有最小值C．没有最大值D．没有最小值题二题面：设函数为奇函数，则．题三题面：设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）．A．B．C．D．题四题面：已知（）为奇函数，当时，，求在上的表达式.题五题面：已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于随意的、都满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的的奇偶性，并证明你的结论．课后拓展练习注：此部分为老师依据本授课程内容为大家优选的课下拓展题目，故不在讲堂中解说，请同学们课下自己练习并比较详解进行自测.题一题面：设是 R 上的随意函数，则以下表达正确的是（）．A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数题二题面：若奇函数在上单调递增，又，则不等式的解集为 ________ ．题三题面：设，都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值是5，求在上的最小值．讲义参照答案易错小题考考你题一答案：上述判断是错误的．金题精讲题一答案： A．题二答案：．题三答案： D．题四答案：题五答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）是奇函数；证明略．课后拓展练习题一答案： D．详解：对于A，设，则，故函数为偶函数．所以 A 错误．对于B，设，则，此时与的关系不能确定，故函数的奇偶性不确立．所以 B 错误．对于C，设，，故函数为奇函数．所以 C 错误．所以正确选项为 D．事实上，对于D，设，，故函数为偶函数．所以 D 正确．．题二答案：．详解因为函数是奇函数，且，所以依据奇函数图象的对称性，能够画出图象（如图），联合图象能够求出解集为．题三答案：1．详解：考虑，显然为奇函数．由题意知在上有最大值3，所以在上有最小值3，故在上有最小值1．。

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北京市101中学2012-2013学年高中数学《函数的奇偶性》学案新人教
A版必修1
学科：数学
专题：函数的奇偶性
主要考点梳理
1．奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．
2．偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．
如果函数是奇函数或偶函数，那么，就说函数具有奇偶性．
易混易错点：
函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件．因此判断函数为奇函数或偶函数，首先要看定义域是否关于原点对称．然而，不少学生对此缺乏深刻的理解，往往只注意形式化的表达式而不注意定义域关于原点对称的蕴含条件．3．单调函数的性质
①由奇函数的定义可知，如果在处有定义，则．
②一般地，图象关于原点对称的函数为奇函数；反之，奇函数的图象关于原点对称．图象关于轴对称的函数为偶函数；反之，偶函数的图象关于轴对称．
③奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
易错小题考考你
题一
题面：判断函数的奇偶性时，王新同学这样解：
因为，所以是偶函数．
上述判断正确吗？为什么？
金题精讲
题一
题面：如果偶函数在上有最大值，那么在上（）．
A．有最大值 B．有最小值 C．没有最大值 D．没有最小值
题二
题面：设函数为奇函数，则．
题三
题面：设奇函数在上为增函数，且，则不等式
的解集为（）．
A． B．
C． D．
题四
题面：已知（）为奇函数，当时，，求在上的表达式.
题五
题面：已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的、都满足
．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的的奇偶性，并证明你的结论．
课后拓展练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
题一
题面：设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）．
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
题二
题面：若奇函数在上单调递增，又，则不等式的解集为________．
题三
题面：设，都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值是5，求在上的最小值．
讲义参考答案
易错小题考考你
题一
答案：上述判断是错误的．
金题精讲
题一
答案：A．
题二
答案：．
题三
答案：D．
题四
答案：
题五
答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）是奇函数；证明略．
课后拓展练习
题一
答案：D．
详解：对于A，设，
则，故函数为偶函数．因此A错误．
对于B，设，则，此时与的关系不能确定，故函数的奇偶性不确定．因此B错误．
对于C，设，，
故函数为奇函数．因此C错误．所以正确选项为D．
事实上，对于D，设，，
故函数为偶函数．因此D正确．．
题二
答案：．
详解因为函数是奇函数，且，所以根据奇函数图象的对称性，可以画出图象（如图），结合图象可以求出解集为．
题三
答案：1．
详解：考虑，显然为奇函数．
由题意知在上有最大值3，所以在上有最小值3，
故在上有最小值1．。