分块和可逆矩阵及其应用
矩阵的分块及应用
矩阵的分块及应用武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。
分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。
分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。
讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。
通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。
关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。
I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it isvery important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。
逆矩阵及矩阵的分块
03 逆矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的求解
通过使用逆矩阵，可以方便地求解线性方程组。具体来说，如果一个线性方程组可以写成 Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x和b是向量，那么方程组的解可以通过计算A的逆矩 阵乘以b得到。
唯一解的条件
当系数矩阵A是可逆矩阵时，线性方程组有唯一解。此时，可以通过计算A的逆矩阵来求 解方程组。
提取重要信息
通过分块，可以突出矩阵 中的重要元素，便于观察 和分析。
应用广泛
矩阵分块在许多领域都有 应用，如线性代数、数值 分析、控制系统等。
矩阵分块的方法
按行分块
将矩阵按行划分成若干个子矩 阵。
按列分块
将矩阵按列划分成若干个子矩 阵。
按主对角线分块
将矩阵沿主对角线划分成若干 个子矩阵。
按次对角线分块
解的稳定性
使用逆矩阵求解线性方程组时，需要注意解的稳定性问题。如果A的逆矩阵计算不精确， 可能会导致解的误差较大。因此，在实际应用中，需要采用适当的算法和计算方法来提高 解的精度和稳定性。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵在矩阵分解中有重要的应用。例如，LU分解、QR分解和奇异值分解等都需要用 到逆矩阵的概念。通过这些分解，可以将一个复杂的矩阵分解为几个简单的组成部分，
02
逆矩阵要求原矩阵是可逆的，即行列式不为零，而分块矩阵则
没有这个限制。
逆矩阵是一种运算过程，而分块矩阵是一种矩阵的表示方式。
03
逆矩阵和分块矩阵的互补性
逆矩阵和分块矩阵在解决线性代数问题时可以相互补充。
在处理一些复杂的线性代数问题时，可以先通过分块矩阵将原问题分解为若干个子问题，再利用逆矩阵 解决子问题。
分块矩阵的逆矩阵 和原矩阵逆矩阵
标题：分块矩阵的逆矩阵与原矩阵逆矩阵1.概述分块矩阵是指将一个矩阵按行或列分割成多个子矩阵，常用于简化复杂的线性方程组的求解问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆矩阵是一个重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题中发挥着重要作用。
分块矩阵的逆矩阵和原矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要内容，本文将对此进行详细的探讨。
2.分块矩阵的逆矩阵2.1分块矩阵的定义分块矩阵是将一个大矩阵按行或列分割成多个小矩阵的形式，通常用子矩阵的形式表示。
一个矩阵可以被分割成四个子矩阵的形式，即： A = [A11 A12][A21 A22]其中，A11、A12、A21、A22为子矩阵。
2.2分块矩阵的逆矩阵对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1，有以下性质：若A可分块为A=[A11 A12; A21 A22]，且A11和A22可逆，则A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，并且存在逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
具体而言，A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，反之亦然。
并且可以通过分块矩阵的形式求得A的逆矩阵A^-1。
2.3分块矩阵逆的计算方法分块矩阵的逆矩阵的计算方法大致为：- 计算A11的逆B11和A22的逆B22；- 利用B11、B22和A12、A21计算出B12和B21；- 最终得到A的逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
3.原矩阵的逆矩阵3.1原矩阵的逆矩阵定义在矩阵运算中，矩阵A的逆矩阵表示为A^-1，它满足矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵：AA^-1=I。
若矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
3.2原矩阵逆的求解方法计算原矩阵的逆矩阵可以通过多种方法，其中包括高斯消元法、伴随矩阵法、逆矩阵的初等变换法等。
这些方法都是为了求得原矩阵的逆矩阵，从而解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题。
4.分块矩阵的逆矩阵与原矩阵的逆矩阵的关系4.1逆矩阵的性质对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1和原矩阵A的逆矩阵A^-1，它们有以下关系：- 若A可逆，则A的逆矩阵A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1=A。
第五讲 逆矩阵及分块矩阵
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,
又因为
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
cofA转置矩阵为 的伴随矩阵，记为∗或者 A的伴随矩阵， A adjA 并称
A 11 A 12 ∗ 即： A = ⋮ A 1n A21 ⋯ An1 A22 ⋯ An2 ⋮ ⋮ A2n ⋯ Ann
A∗ = (cofA)T
A 1 阶方阵， 的伴随矩阵， 定理 ：A为n阶方阵， ∗为A的伴随矩阵，则有 AA∗ = A∗ A = A E
的逆矩阵， 判断B是否为A的逆矩阵，
只需验证AB = E和BA = E中的一个即可
证明： 都可逆， 例5：设方阵 A满足A 2 − 3 A − 10 E = 0, 证明： A, A − 4 E都可逆， 并求它们的逆矩阵
证：由A − 3 A − 10 E = 0
2
A( A − 3 E )] 10 下证： 下证： A − 4 E 由A 2 − 3 A − 10 E = 0
( A − 4 E )( A + E ) = 6 E 1 ( A − 4 E )[ ( A + E )] = E 6 1 －1 (A 故： − 4 E ) ＝[ ( A + E )] 6
− 可逆， 也可逆， 如果 A 可逆，则 A −1也可逆，且（ A −1）1 = A
可逆， 也可逆且（ 如果A可逆，数 λ ≠ 0，则λ A也可逆且（ λ A)
(完整版)分块矩阵及其应用汇总,推荐文档
分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix11 ⎪1 引 言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：⎛A 11A ⎫ 1n ⎪A m ⨯n = ⎪A m 1 A m n特别地，对于单位矩阵分块：⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.ij依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2.1 矩阵的相关概念2 分块矩阵在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵 的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.a 11 定义 2.1.1[2]n 级行列式a 21a 12 a 22 a 1n a 2n等于所有取自不同行不同列的a n 1 a n 2a nn 个元素的乘积a 1j a 2ja n j的代数和，这一定义又可写成:12na 11 a 21 a 12a 22a 1na 2n =(-1) (j 1j 2 j n )a aa .a n 1 a n 2a n∑j 1j 2 j n1j 1 2j 2n j n[2]定义 2.1.2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所O I ⎪ ⎪ ⎪1谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得A B = A -1 .BA = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为 A 的逆矩阵，记为定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫对 阶单位矩阵作 分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后⎝ n ⎭对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m为非零阵.2.2 矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质： 定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，ij snij sn则矩阵C = (c i j )= (a i j+ b i j )称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O,对于矩阵 A 、 B ，有:(1) A + O = A(2) A + ( -A ) = 0(3) A - B = A + ( -B )(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )snsnn11 (5)A + B = 定义 2.2.2 [4] B + A矩阵乘法：设A = (a ) ，B = (b ) 是两个不同型矩阵，i k s nk j n m那么矩阵C = A B =(c i j )，称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中：smc i j = a i 1b 1j + a i 2b 2j+ a i n b n j= ∑a i k b k jk =1在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1) A ( B + C ) = A B + A C(2) ( B + C )A = B A + C A(3) (A B )D =A (B D )⎛k a 11 k a 1k a 1 ⎫定义 2.2.3 [4] 矩阵数乘： k a 21k ak a 2n ⎪ ⎪A = (a ) 与 数 22 ⎪称为矩阵 ⎪⎪ ij sn k a k a k a ⎝ s 1 s 2 s n ⎭k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1 * A = A ；(2) k(l A ) = (k l )A ;(3) k ( A + B )= kA + kB ;(4) (k + l )A = kA +lA ; (5) k (A + B ) = kA +kB .2.3 分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设 A 、 B 是m ⨯ n 矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：⎛A 11 + B A 1t + B 1t ⎫ ⎪ 加法：A + B = ⎪ . ⎪ A + B A + B ⎪ ⎝ s 1 s 1 st st ⎭乘法：C = A B , 其中：∑ ⎪ 1 C i j = A i 1B 1j + A i 2B 2j+ + A i n B n j⎛k A 11k A 1 ⎫⎪ n= A i k B k j .k =1数乘：k A =⎪ .⎪ k Ak A⎝s 1 s t ⎭总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义 2.3.1 [2] 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵 E 的i 行与 j 行的位置; (2) 用数域 P 中的非零数c 乘 E 的i 行; (3) 把矩阵 E 的 j 行的k 倍加到i 行.定义 2.3.2 [5] 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵⎛ A B ⎫进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对⎝C D ⎭ 应分块矩阵： ⎛ O E m ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎪⎪⎛C D ⎫ ⎪ ⎝E n O ⎭ ⎝C D ⎭⎝ A B ⎭ ⎛P O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛P A = P B ⎫ O E ⎪C D ⎪ ⎪⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ C D ⎭ ⎛E m O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛ = A B⎫P E ⎪C D ⎪ ⎪C + P AD + P B⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭2.4 矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6] ：(1) 列向量分法，即A =(1,⎛ ⎫ ⎪, n )，其中j 为 A 的列向量.(2) 行向量分法，即A = ⎪ ，其中j 为 A 的行向量.⎪ ⎝ m ⎭=1⎪ (3)分两块，即A = (A 1, A 2 ),其中A 1 ,A 2 分别为A 的各若干列作成.或 A = ⎛B ⎫ ，其中B ，B 分别为 A 的若干行作成. B ⎪1 2 ⎝ 2 ⎭⎛C 1 C 2 ⎫(4) 分四块，即A =C C ⎪ .⎝ 3 4 ⎭我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5 常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下： （1） 单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0 的n 阶方阵. （2） 对角矩阵：对角线之外的元素都为0 的n 阶方阵. （3） 三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0 的n 阶方阵. （4） 对称矩阵：满足矩阵 A 的转置和 A 相等. （5） 若尔丹（Jordan ）块：形如⎛ 0 1 0 0 ⎫ 0 ⎪J ( ,t ) ⎪= ⎪0 0 ⎪ 0 0 0 1 ⎝ ⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：⎛A 1 ⎫⎪ A 2⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎝n ⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3.1 行列式计算的应用3 分块矩阵及其应用定理 3.1.1 [2] 拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式 D 中任意取定了k 个 行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式a ⎪ a 按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例 3.1.1 [7] ：（爪形行列式）计算行列式：a 01 1 1 1 a 10 0 1 0 a 2 0 ,其中a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) .1 0 0 a n解:设Q =A D ,其中A = (a )C B a 1 B =，C = ( 1, 1, , 1)T ，D = ( 1, 1, , 1) .a n因为a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) ，所以 B 是可逆矩阵.-1⎛n 1 ⎫又易知: A - D B C = a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭根据分块矩阵乘法： ⎛ E0 ⎫ ⎛ A D ⎫ --1 ⎪ ⎪= ⎛A D ⎫-1 ⎝ C A E ⎭ ⎝C B ⎭ ⎝ 0 B - C A D ⎭A D -1 -1 ⎛ n 1 ⎫则：= AB - C A D =B A - D BC = a a a a-∑ a ⎪C B⎛n 1 ⎫ 12n 0⎝i =1 i ⎭故：原行列式=a 1a 2 a n a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭例 3.1.2 [7] ：(对角行列式)计算行列式：adH 2n= a d.c bcb解：令⎪ a x A =⎛a ⎫⎪ ，B = ⎛b ⎫⎪ ，C = ⎛ c ⎫ ⎛ ，D = d ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ b ⎪ c ⎪ d ⎪ ⎝ ⎭ 为n 阶方阵. 由于a ≠ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0,故 A 为可逆方阵.⎛ b - c a -1d⎫⎪ 又易知：B - C A -1D =⎝ b - c a -1d ⎪ b - -1 ⎪ ca d ⎭故 H 2n= A D = C BAB - C A -1D = a n (b - c a -1d )n= (a b - c d )n .例 3.1.3 [8] ：设 A 、 B 、C 、 D 都是n 阶矩阵，证明当 AC = CA 时， A 可逆时，有A D= A B - C DC B⎛ A D ⎫ ⎛E -A 1D-⎛ A 0 ⎪ ⎫,证明：若 A 可逆，⎪ ⎪ =-1 ⎝C B ⎭ ⎝OE ⎭ ⎝C B - C A D ⎭A D故：=C BAB - C A -1D = A B - A C A-1D = A B - C D .注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a d c b= a b - c d ，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2 线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1） 标准型：⎧a 11x 1 + a 12x 2+ + ax = b ⎪ 1nn 1⎨ax + ax + + a x = b ; ⎪a 21 x 1+ 22 2 + + 2n n a x = b ⎩ m1 1 m2 2 m n n m （2） 矩阵型：令A = ⎣a i j ⎦m ⨯n，x = (x 1, x 2, , x n )' ，B = (b 1, b 2, b m )' 方程组可以表述为： Ax = B ;（3） 列向量型：令2⎢a ⎥ ⎝O O⎪ ⎪ ⎪ ⎡a 11 ⎤ ⎢21 ⎥⎡a 12 ⎤⎥ 22 ⎡a 1n ⎤ ⎢ ⎥ = ， 1 ⎢ ⎥ 2 = ， ， ⎢ ⎥= ⎢a 2n ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m n ⎦则方程组又可以表述为：x 11 + x22+ + x nn = B ;（4）行向量型： x ' + x ' + + x' = B ' .1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例 3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：⎧ x 1 + 2x 2 2x ⎪ + x + 2x 3 - 2x + x 4 = 0 - 2x = 0 ⎨ 1 x -2x - 4x 3 - 3x 4=0 ⎩ 1 2 3 4 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：⎛1 0 -25 ⎫ - 3⎪ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫4 ⎪ ⎛E C ⎫ A = 2 1 -2 -2 0 -3 -6 -4 0 1 2 ⎪ = 2 ⎪ ⎪1 -1 -4 -3⎪ 0 -3 -6 -4⎪ 3 ⎪ 12 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0 0 0 0 ⎪⎪ ⎝ ⎭R ( A ) = 2，基础解系含4 - 2 = 2 个.而方程又满足：相应的可以取：⎛E 2 C ⎫ ⎛1 ⎫ = ⎛ 0⎫⎪ ,⎝O 1 O 2 ⎭ ⎝2 ⎭⎝ 0⎭⎛ 5 ⎫ 2 3 ⎪ ⎛ -C ⎫⎪⎝ E 2 ⎭⎪ = -2 4 ⎪3 ⎪1 0 ⎪ ⎝ 0 1 ⎭-⎪ 0 3 ⎪⎭⎛ 2 ⎫ ⎛ 5 ⎫3 ⎪有通解： = k + k，其中= -2⎪1， =- ⎪ 4 ⎪ . 1 12 21 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎭例 3.2.2 [9] ：（非齐次线性方程组）求解方程组：⎧⎪ x 1 + 2x 2- 3x 4 + 2x 5 = 1 x - x - 3x + x - 3x = 2 ⎪ ⎨ 1 2 3 4 52x - 3x + 4x - 5x + 2x = 7 ⎪ 9x ⎩ 1= 25 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r ( A ) = 3，而r ( A ) = 4 , 故r ( A ) ≠ r ( A) . 从而方程组无解. ⎛ Λ45 -b ⎫事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵 ⎝ E变换，都不能把最后一列变成0 ,所以该方程组无解.例 3.2.3：证明： n 阶方阵 A 的秩为n- 1，则r a n k ( A* )=1首先证明此例需要利用的一个引理： 4进行行列0 引理：A = (a i j )n ⨯n ，B = (b i j )n ⨯n ，r( A ) = r ，A B =0 ，则r ( B ) ≤ n - r证明：对矩阵 B 进行列向量的分块，B = (B 1, B 2, B n ) ,A B = 0 则有：A B i= 0 ，B i 是AX = 0 的解. 而A X =0 基础解系有n - r 个解.故：r ( B ) ≤ n - r 再证明本例： 因为r ( A )= n - 1，则 A = 0 ，A 至少有一个n -1级子式不为零,r a n k ( A* ) ≥ 1.而：A * =AE = 0 .利用引理得：r a n k ( A * ) ≤ 1，故r a n k ( A )=*.51 - 9 x +2 6x - 163 x4 + 2x 52 3 4 5⎝⎪ 1 2= ⎪ ⎪ 得证.3.3 求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、 利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例 3.3.1 [6] ：设 A 、 B 是n 阶方阵，若 A + B 与 A - B 可逆，试证明： ⎛ A B ⎫可逆，并求其逆矩阵. B A ⎭ ⎪ 解：令D = ⎛ A B ⎫，由假设知 A + B ≠ 0 , A - B ≠ 0B A ⎪ .那么：D =A B⎝ ⎭A +B B =A + BB= A + B A - B ≠ 0 .B AB + A AA - B即 D 可逆. 再令D -1 ⎛D 1= D 2⎫ , 由D -1 = E ，即：可得：D D ⎝ 3 4 ⎭⎛ A B ⎫ ⎛D D ⎫ ⎛E 0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎝B A ⎭ ⎝D 3D 4 ⎭ ⎝ 0E ⎭⎪⎧A D 1 + B D 3 = E B D + A D = 0⎪12⎨A D +B D = 0 B D 2 + A D 4 = E ⎩ 2 4将第一行和第二行相加、相减，得：⎪D + D = ( A + B )-1 ⎨1 3⎩D 1 - D 3= ( A - B )-1 解之得：D = 1 ⎡( A + B )-1 + ( A - B )-1 ,D = 1⎡( A + B )-1 - ( A - B )-11 2 ⎣⎦ 2 2 ⎣⎦类似地：D 2所以： = D 3 ,D 4= D 1 .⎛ A B ⎫-11 ⎛( A + B )-1 + ( A - B )-1 ( A + B )-1 - ( A - B )-1 ⎫⎪ = 2 -1 -1 -1-1 ⎪ . ⎝B A ⎭ ⎝( A + B ) - ( A - B )( A + B ) + ( A - B ) ⎭ =⎝⎭ ⎝ - ⎪⎪ ⎪0 例 3.3.2 [6] ：已知分块形矩阵M = ⎛ A B ⎫可逆，其中 B 为p ⨯ p 块， C 为C 0 ⎪ ⎝ ⎭q ⨯ q 块，求证： B 与C 都可逆，并求M-1 . 解：由0 ≠M = (-1)p qBC ，则： B ≠0 , C ≠ 0 ,即证 B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆： ⎛ A B E p0 ⎫ → ⎛ A B E 0 ⎫ → ⎛ 0B E -AC -1 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1⎝C 0 0 Eq ⎭ ⎝E 0 0 C ⎭ ⎝E 0 0 E ⎭→ ⎛ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎫ → ⎛E 0 0 C-1 ⎫E 0 0 C-1⎪ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎪ ⎭-1⎛C -1 ⎫故 ：M = B -1-B -1A C-1 ⎪ . ⎝⎭备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:⎛ 1 0 1 ⎫ 例 3.3.3 [10] ：求矩阵A = 2 1 0 ⎪的逆矩阵.⎝ ⎭ 解：构造矩阵：⎛ 10 1 1 00⎫⎪⎛ 1 0 1 1 0 0⎫⎪2 0 0 1 -2 -2 1 0 D = ⎛ A E ⎫= -3 1 0 0 1 2 -5 0 0 1⎪ → 0 2 -2 3 0 1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝E O ⎭6⨯6 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0⎪ 1 0 0 0 0 0⎪ 0⎪ 0 1 0 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0⎫⎪ 00 1⎪ →1 0⎪ ⎛ 1 0 1 1 0 0⎫ 0 1 -2 -2 1 0 0 1⎪ → 1 0⎪⎪ ⎪ 0 0⎪ 0 0⎪ 00⎪ 0 0⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ 0 1 1 0 1 -2 -2 1 0 2 7 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 2 7 -2 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0- - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛ 1 0 0 1 0 0⎫⎪0 1 0 2 1 0 ⎛ 10 0 1 0 0⎪⎫ 0 1 0 2 1 0 0 0 17 -2 1⎪0 0 2 7 -2 1⎪1 ⎪→ ⎪ → 10 - 0 0 0⎪ .1 0 -1 0 0 0⎪2⎪ 0 1 2 0 0 0⎪ 00 10 01 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0⎪⎝所以;⎭⎪⎝2⎭⎛1 0 1 ⎫ ⎛ 5 1 ⎫- 2 ⎪⎛ 1 0 0⎫ - 2 -1 - 2 ⎪ A -1 = 0 1 1 ⎪ -2 1 0⎪ = 5 -1 1 ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 7 -2 17 1 ⎪ 0 0 2 ⎪ ⎝ ⎭ 2 -1 2 ⎪ 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵， 有时比较简单.3.4 矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵 的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、 B 均为m ⨯ n 矩阵，则：r ( A + B ) ≤ r(A ) + r ( B ) .（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设 A 是m ⨯ n 矩阵 , B 是n ⨯ s 矩（3）r ⎛A B ⎫阵，则：r ( A B ) ≤≥ r ( A ) + r ( B ) . m i n {r ( A ) , r ( B )}.（4）r ⎝ 0 C ⎭ ⎪ ⎛A ⎫ ⎪⎪ ≥ A i j .A ⎪ ⎝ m ⎭再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例 3.4.1[11] ：（薛尔弗斯特不等式）设A = (a ) ，B = (b ) ，证明：ij s ⨯nij n ⨯mr a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - n⎪ 证明：由分块矩阵的乘积⎛ E n 0⎪ ⎫ ⎛E B ⎫ ⎪⎛E n -B ⎫⎛E n 0 ⎫ -A E A n0 0 E ⎪ = ⎪0 - ⎝ s ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 知：m ⎭⎝ A B ⎭ r a n k⎛E n B⎫ = r a n k (E ) + r a n k ( -A B ) = n + r a n k ( A B )A 0 ⎪n.⎝ ⎭但,r a n k⎛E nB ⎫ A 0⎪= r a n k⎛B E n ⎫ ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) ⎪故：得证.⎝⎭ ⎝ 0 A ⎭.n + r a n k ( A B )≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B )备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵： (1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造 ⎛A 0 ⎫⎪;⎝ 0 B ⎭(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造⎛ A E ⎫ ⎪ 或者 ⎛ A 0 ⎫ ⎪.⎝ 0 B ⎭ ⎝E B ⎭具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例 3.4.2 [6] ：（Frobenius 不等式）设 A 、 B 、C 是任意3 个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B )证明：设 B 是n ⨯ m 矩阵，r ( B ) = r那么存在n 阶可逆阵 P ， m 阶可逆阵Q ，使B = ⎛Er0⎫ P ⎪ Q .⎝ 0 0⎭把 P 、Q 适当分块：P = (M , S ),Q =⎛N ⎫, 由上式有： T ⎝ ⎭故：r ( A B C )= r ( A M N C ) B = (M , S )⎛E r0⎫ ⎛N ⎫ = M N .⎪ ⎪ ⎝ 0 0⎭ ⎝T ⎭≥ r ( A M ) + r ( N C ) - r0 ≥ r ( A M N ) + r ( M N C ) - r ( B )得证.= r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B ) .3.5 矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例 3.5.1[11] ：设 A 为m ⨯ k 矩阵， B 为k ⨯ n 矩阵，则证明：r a n k ( A )+r ank( B ) - k≤ r ank( AB) ≤ m i n {r a n k ( A ) , r a n k ( B )}证明：先证明右边的不等式，由：(A 0)(E k0 B ) = ( A A B ) ;E n可得：⎛E k A E 0⎪ ⎫ ⎛B ⎪⎫ = ⎛ B A B ⎫⎪ ,⎝m ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭r a n k ( A ) =r ank( A 0) = r a n k ( A A B ) ≥ r a n k ( A B ) ;r a n k ( B ) = r a n k ⎛ B ⎫ = r a n k ⎛ B ⎫≥ r a n k ( A B ) .⎪ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝AB ⎭ 再证左边的不等式.注意到下列事实：⎛E m -A ⎫ ⎛ A 0 ⎫ ⎛E ⎪k -B ⎫ = ⎛ 0 -A B ⎫⎪ 0 E ⎪E B 0E⎪ E 0 ⎝k ⎭ ⎝ k 则：⎭ ⎝ n ⎭⎝ k ⎭0 ⎫⎛ 0r a n k ⎛ A ⎪ = r a n k-A B ⎫ ⎪于是：⎝E kB ⎭ ⎝E k0 ⎭⎛ A 0 ⎫r a n k ( A ) + r ank ( B ) ≤r ank ⎪ = r a n k ( -A B ) + r a n k (E k )= r a n k ( A B ) + k⎝E kB ⎭ 从而: r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - k ≤ r a n k ( A B ) .这里也是用到构造矩阵的方法.例 3.5.2 [6] ：设n 阶矩阵 A 、 B 可交换，证明：r a n k ( A + B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B )→ → , ⎝ ⎭ 解：利用分块初等变换，有：⎛A O ⎫ ⎛A B ⎫ ⎛A + B B ⎫⎪ ⎪⎪ ⎝O B ⎭ ⎝O B ⎭ ⎝ B B ⎭ 因为 AB = BA ，所以：⎛ E O ⎫ ⎛A + B B ⎫ = ⎛A + B B ⎫ .B -A - ⎪ B ⎪ O- ⎪B B A B ⎝ 于是，有：⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭r a n k ( A ) + r a n k ( B )= r a n k⎛A + B B ⎫≥ r a n k ⎛A + B B ⎫B ⎪⎝ B ⎭ ⎝ ⎪O-A B ⎭即：r a n k ( A + B )得证.≥ r a n k ( A + B ) + r a n k ( A B ) .≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B ) .例 3.5.3：设 A 是n 阶方阵，且r ( A ) = r ( A 2 ,证明：对任意自然数k ,有r ( A k ) = r ( A )⎛A 2O ⎫证：构造分块矩阵 O A 2 ⎪，由 Frobenius 不等式： 2 2 2 ⎛A O ⎫ ⎛A 2 -A 3 ⎫ ⎛O -A 3 ⎫ 3 r ( A )+r( A ) ≤ r ⎪ = r A A 2 A O ⎪ = r A O ⎪ = r ( A ) + r ( A ) . 由：r ( A ) = r ( A 2 ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，r ( A3 ) = r ( A 2 * A )≤ r ( A2 ) .故： r(A 2 ) = r ( A 3 .由此可推得：r ( A3) = r ( A 4) , r ( A4) = r ( A5 ) , .故：对任意自然数k , 有：r ( A k ) = r ( A ) .3.6 综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例 3.6.1 [6] ：（特征多项式的降阶定理）设 A 是m ⨯n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵. 证明: AB 的特征多项式f A B ( ) 与 BA 的特征多项式f B A( ) 有如下的关系：nm1 2 s证：先要把上式改写为：n f () =m f () .A BB AnE -m A B =mEE 1 Bn - B A .用构造法，设 ≠ 0 ，令： H =n.A E m⎛1 ⎫ ⎛E 1 B ⎫对 ⎛E n 0⎪ ⎫ E n B ⎪= n ⎪ ⎝ -A E⎪⎪ 1 ⎪ 两边取行列式得： n ⎭ A E⎝ m ⎭ 0 E - ⎝A B ⎪⎭ H = E -1 A B = 1 m E - A B .⎛E 1 B ⎫ ⎛E nm 0 ⎫⎛ 1( ) m1 B ⎫ 再对 n ⎪ -A E ⎪ E - B A ⎪ 两边取行列式得： ⎪ ⎪ = n⎪⎝ A E m ⎭⎝ n ⎭ ⎝ H = E -0 1B A = E m ⎭ 1 n E - B A .故： 1nE n- B A =1Em mn- A B() nmE n - B A = nE m - A B .上述等式是假设了 ≠ 0 ，但是两边均为的n + m 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）≠ ，从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用. 例 3.6.2 [6] ：设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，证明： AB 与 BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m E - B A = n E - A B .设 E m- A B = m -s (- ) ( - ) ( - ) ,其中12 m ≠么有：0 ，即 AB 有s 个非零特征值：1, 2, , s , 由上面两式,那nE - B A = ( - 1) ( - ) 2 (- )n- s s即证 BA 也只有s 个非零特征值：1, 2, , s .m∑ 例 3.6.3 [6] ：设 A 、 B 分别是m ⨯n 和n ⨯ m 矩阵，证明：t r A B = t r B A .解：由上例知，若E - A B = m -s ( - a ) ( - a )m1s其中a 1a 2 a s ≠ 0. 则 AB 的全部特征值为1 = a 1, , s= a s , s +1= = m = 0 ,且：E - B A = n -s ( - a ) ( - a ) .n1s即 BA 的全部特征值为:1 = a 1,2 = a2, ,s +1= = n = 0 .从而 t r A B =sa ii=1=t r B A .可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1] 上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982. [2] 北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. ft 西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154. [6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7] 王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8] 张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. ft东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所,2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。
对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。
大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。
矩阵的逆及分块
在上述分块对角矩阵中 如果A可逆则
A11 A2 1 A1 1 As
5 0 0 例 2 设 A 0 3 1 求 A1 0 2 1
解 解
5 0 0 A O A 0 3 1 1 0 2 1 O A2 A1 (5) A11 1 A2 3 2 5
(4)若A可逆 则AT也可逆 且(AT )1(A1)T
§3 矩阵分块法
对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用分块法 使 大矩阵的运算化成小矩阵的运算 将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
2-2可逆矩阵和分块矩阵
1 0
2 1
使得
AB
1 0
10
BA
因而A可逆. A1 B
注: 逆矩阵唯一.
事实上,若B,C均为A的逆矩阵, 则有
BA AB I; CA AC I. 因而 B BI BAC IC C.
定义2.2: 若n阶方阵A的行列式满足|A|0, 则称A 是非奇异的, 否则称为奇异的.
注: 可逆矩阵必是非奇异矩阵 因为,若A可逆,则存在B使得AB I 从而
定理2.1 n阶方阵A可逆的充要条件是A非奇异, 即 |A|0. 此时 A1 1 A*
| A|
证明:只需要证明充分条件. 此时 | A | 0, 因此
1 A* A I 1 AA* A( 1 A* ).
| A|
| A|
| A|
因此A可逆且A1
1 |A|
A*
.
即|
A|
A1
A*
推论2.2 若方阵AB=I, 则A, B均可逆且A-1=B, B-1=A.
A
5 0 0
0 3 2
110
A1 O
O A2
,
其中
A1 5,
A2
3 2
11,
由
A11
1 5
;
A21
1 2
31 可知
A1
Btr
,
其中Ai1 , Ai2 , , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j , , Btj
的行数, 那末 AB
C11
C s1
C1r
C sr
其中Cij
t
Aik Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
k 1
例2.9
设A
分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵在行列式计算中的应用一、分块矩阵的定义和性质分块矩阵是将一个矩阵按照行和列进行分块的一种表示方式。
假设有一个m×n的矩阵A可以被分成k行l列的分块矩阵，则可表示为：A=[A₁₁A₁₂…A₁lA₂₁…A₂l...Ak₁ Ak₂ … Akl]其中，每个Aij都是一个子矩阵。
分块矩阵有以下重要性质：1.行列式的乘积可以转化为分块矩阵的行列式之积。
例如，设有两个分块矩阵A和B，它们的行列式分别为，A，和，B，则有：AB，=，A，B2.分块矩阵可以简化行列式的计算。
将一个大矩阵按照一定规则分为几个子矩阵后，可以通过计算子矩阵的行列式来获得原矩阵的行列式，从而简化了计算过程。
1.初等行列变换2.求逆矩阵对于分块矩阵，其逆矩阵的计算也可以通过分块的方式进行。
设A为可逆矩阵，其分块矩阵表示为：A=[A₁₁A₁₂A₂₁A₂₂]若A₁₁为可逆矩阵，则其逆矩阵可以表示为：A^(-1)=[A₁₁^(-1)-A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₁^(-1)A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₂^(-1)]其中A₁₁^(-1)、A₂₂^(-1)和A₁₁^(-2)A₁₂A₂₂^(-1)都是子矩阵的逆矩阵。
3.计算特殊类型的行列式在计算特定类型的行列式时，分块矩阵的应用可以简化计算过程。
例如，计算拟对角行列式时，可以使用分块矩阵的方式将矩阵分解成多个对角块，然后分别计算每个对角块的行列式之积。
4.计算特定型的行列式分块矩阵的应用还可以用于计算特定型的行列式。
例如，计算置换矩阵的行列式时，可以将矩阵按行、列进行分块，然后计算每个子矩阵的行列式，最后通过乘法和加法运算得到最终的行列式。
以上仅是分块矩阵在行列式计算中的一些常见应用，实际上分块矩阵在线性代数的其他领域也有广泛的应用，如特征值和特征向量的计算、线性方程组的求解等。
熟练掌握分块矩阵的定义、性质和应用可以提高行列式计算的效率，并且对于理解线性代数中的其他概念和方法也具有重要意义。
逆矩阵-分块矩阵
逆矩阵-分块矩阵逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵在求解线性方程组、求解行列式、计算特征值等方面有重要应用，因此研究逆矩阵的性质及其计算方法是线性代数中的重要内容。
分块矩阵是指将一个矩阵按照一定的规则划分成多个小块的矩阵。
分块矩阵在矩阵运算中有很大的便利，在求解高维线性方程组、矩阵分解、计算特殊矩阵的特征值等问题中具有广泛的应用。
本文将介绍逆矩阵和分块矩阵的基本概念和性质，并介绍如何在分块矩阵中求逆矩阵。
逆矩阵的定义和性质对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的存在与唯一性定理表明，对于一个可逆矩阵A，其逆矩阵存在且唯一。
下面是一些逆矩阵的性质：1. (A^-1)^-1=A3. (A^T)^-1=(A^-1)^T，其中A为可逆矩阵。
4. 若A为可逆矩阵，则|A|≠0。
5. 若A和B都是可逆矩阵，则A+B和AB都是可逆矩阵。
求逆矩阵的方法求解逆矩阵的常见方法是高斯-约旦消元法和伴随矩阵法。
高斯-约旦消元法是通过矩阵初等变换将矩阵A转换为单位矩阵I，但这种方法的计算量比较大，不适合求解大型矩阵的逆矩阵。
伴随矩阵法可以较为简单地求解逆矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其伴随矩阵的定义如下：设A为一个n阶可逆矩阵，其余子式为Aij，则置Mij为(-1)^{i+j}Aij，称M为A的伴随矩阵。
则A的逆矩阵为A^-1=1/|A|M^T，其中|A|为A的行列式。
例如，对于一个2阶矩阵A=[a11,a12;a21,a22]，其伴随矩阵为M=[a22,-a12;-a21,a11]，则A的逆矩阵为分块矩阵是将一个矩阵按照一定规则划分成多个小块的矩阵。
例如，对于一个4阶矩阵A，可以按照以下方式划分成4个2阶矩阵：A=[A11,A12;A21,A22]其中A11、A12、A21、A22均为2阶矩阵。
可逆矩阵及其简单应用
它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。
因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。
本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。
【关键词】矩阵可逆矩阵通信【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that someimportant properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications目录前言 (5)一、可逆矩阵 (5)二、可逆矩阵的性质及求法 (5)（一）性质 (5)（二）逆矩阵求法 (6)三、可逆矩阵的简单应用 (10)（一）可逆矩阵在数学方面的应用 (10)（二）可逆矩阵在通信方面的应用 (11)（1）加密保密通信模型 (12)（2）可逆矩阵的应用 (12)（3）加密密钥的生成 (13)（4）解密密钥的生成 (14)（5）明文矩阵的选择 (14)（6）加密矩阵的选择 (14)（7）算法优化 (14)结论 (15)参考文献 (15)致谢16前言矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。
线性代数4.逆矩阵、分块矩阵
0
0
B2
As 0 0
0 A1B1 0
0
0
A2 B2
Bs
0
0
0
0
.
As
Bs
A1 0
0
A2
0
0
0 k
0
A1k
0
0 A2k
As
0 0
0
0
（k为正整数）
Ask
26
性质3 若A1 , A2 , As 都可逆，
A1
则A
A2
也可逆，且有：
As
A11
A1
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1，
M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
7 4 9
则
A1
|
1 A* A|
A*
6 3
3
7
2 4
6
二、可逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
As1B11
A1t Bt1 Ast Bt1
A11B1r As1B1r
A1t Btr
Ast Btr
21
1 0 0 0 1 0 1 0
例
设A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,求
AB.
1
1
0
1
1
1
2
0
解
1 0 0 0 1 0 1 0
A1r
分块矩阵可逆的充要条件
分块矩阵可逆的充要条件当你拿到一块分块矩阵的时候，是否曾经好奇过，它是否可逆呢？别着急，我们来一起探讨这个话题，弄清楚它的充要条件。
相信我，这个过程就像解谜游戏一样有趣！1. 什么是分块矩阵？首先，让我们搞清楚什么是分块矩阵。
简单来说，分块矩阵就是将一个大矩阵拆分成几个小块的矩阵。
就像把一张大饼切成几块小饼一样。
比如，一个 4x4 的矩阵可以被分成四个 2x2 的子矩阵，每一块子矩阵都叫做“块”。
2. 分块矩阵可逆的必要条件要让一个分块矩阵可逆，我们首先得了解什么条件下它才有可能逆。
想象一下，一个大饼要想切得很好，原料和做工都得靠谱。
同样的，分块矩阵要可逆，里面的小块也得有相应的条件。
2.1 子矩阵的可逆性首先，最基本的条件是，所有的子矩阵都要是可逆的。
就是说，你的每一块小矩阵都得能够求出逆矩阵。
如果某一块子矩阵的行列式为零，那可就麻烦了，因为那块小矩阵就不可逆。
2.2 分块矩阵的整体结构接着，整体结构也得有点门道。
对于一个分块矩阵来说，有些特殊的结构使得矩阵可逆的条件变得简单。
比如，如果你的分块矩阵是对角线形式的（即非对角线上的块全是零），那么只要每个对角线上的块都可逆，你的大矩阵自然也可逆。
3. 充要条件的深入探讨说到这儿，你可能会觉得，了解了基本条件还不够透彻，对吧？咱们要深入探讨下，什么样的条件下，矩阵可逆才是“充要”的。
3.1 对角块形式一个常见的充要条件是，对角块形式的分块矩阵。
如果你的分块矩阵是对角块形式（即非对角块都为零），那么只要每一个对角块都可逆，整个矩阵自然也可逆。
这个条件就是“充要”的，意思是既要有这些条件，也要避免其他情况。
3.2 一般情况的处理如果你的分块矩阵不是那么简单，比如有非零的非对角块，那就要稍微复杂一点。
你需要确保所有的块矩阵能在一起进行某些特定操作，以保证整体的可逆性。
这时候，方法和技巧就比较重要了，比如利用矩阵的分解方法来判断可逆性。
4. 实际应用了解了这些理论，咱们接下来聊聊实际应用。
第3节 可逆矩阵与分块矩阵
A2 n
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
性质：
AA A A A E .
证明： 设 A aij , 记 AA bij ,
则 故
bij ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn A ij ,
AA A ij A ij A E .
A A 1 1 所以A( ) ( ) A E，所以A A A A A
奇异矩阵：
A0
（退化矩阵） （非退化矩阵）
14
非奇异矩阵： A 0
推论： 设A、B为同阶方阵，若AB E，则方阵
A和B都可逆，且 A1 B，B 1 A
证明： 若AB E，则 AB A B 1
21
1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明： A A
T
1 T
A A
1 1 T
T
E T E,
A
T 1
A
.
1 k
另外, 当 A 0时, 定义 A E,
0
A
k
A
. k为正整数
An 1 An 2 An n A 中元素
a i j的 代 数 余 子 式 .
16
1 2 3 例2：求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3
解
1 2 3 1 0, A 存在. A2 2 1 3 4 3
2 1 3 1 5 3
26
由于 B 1 3 5
0,
分块矩阵求逆及其应用
实用标准文案目录摘要 (1)引言 (2)一、概述 (2)二、分块矩阵的求逆及其应用 (5)第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5)第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14)结束语 (21)分块矩阵求逆及其应用李东生（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22⨯分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33⨯分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。
分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。
接着，本文研究了较为简单的22⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22⨯分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。
以22⨯分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。
此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。
关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件Begging the negative matrix to a matrix of the centand it ′s applyingLi Dongsheng(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and whenthere are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the negative formula are explored in the 2 ranks to divide a piece of matrix. In the basis of research method of 2 rank to divide a piece of matrix, the character of inverse, and begging the negative formula in 3 ranks to divide a piece of matrix are successfully proved, and also be summed up the method of begging the negative .In addition of this, this thesis not only lays particular emphasis on the theories research, but also deals of high level matrix of typical model which are used in the thesis, and how they divide the piece to make begging negative process more simple is also be analyzed . The process of how to solve is also given. “Theories contact actual” is real attained in this thesis.key words: the method of dividing the matrix into pieces; a matrix of cent ; negative matrix ; the condition that the matrix has a negative matrix.引言我们在处理一些多元线性方程组时，常常用系数矩阵，而且一般情况下，它们的阶数较高，在求解过程中，我们还要常常要求它们的逆．若要用普通的初等变换法，或求伴随矩阵法求逆都很麻烦．这时我们就应该考虑用分块矩阵法求矩阵的逆．我们知道并不是所有的矩阵都有逆，我们要求逆就应该判断矩阵是否可逆，然后再求逆．本文首先介绍了分块矩阵的定义以及常用的分块方法，重点介绍２×２分块矩阵和３×３分块矩阵的可逆性存在条件，并给出了普遍使用的求逆公式，而且文中还举了一些有代表性的例题，并讨论是如何分块，如何应用求逆公式的．一概述１．分块矩阵的定义在处理级数较高的矩阵是常用矩阵分块的方法．我们可以把大矩阵看成是由小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样．特别在运算中，把这些小矩阵当作数来处理，这就是所谓的矩阵分块．而把这样的矩阵就叫做分块矩阵．２．常用的矩阵分块方法①找零块例如1001210100100000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为10|0121|01|00|1000|00⎛⎫⎪⎪⎪----⎪⎪⎪⎝⎭可表示为A BD⎛⎫⎪⎝⎭型②找相同块例如1111111111111111⎛⎫⎪--⎪⎪--⎪--⎝⎭可分块为11|1111|11|11|1111|11⎛⎫⎪--⎪⎪----⎪--⎪⎪--⎝⎭可表示为A AA D⎛⎫⎪⎝⎭型③找单位块例如1212110010101001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为1|2121|1001|0101|001⎛⎫⎪-----⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭可表示为3A BC I⎛⎫⎪⎝⎭型（这里的3I表示３阶单位阵,本文中的I都表示单位阵）④化为分块上（下）三角阵例如2011012103400002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为2|01|10|12|10|34|00|00|2⎛⎫⎪------⎪⎪⎪⎪⎪------⎪⎪⎝⎭可表示为11121322233300A A AA AA⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭型⑤化为分块对角阵例如2000013002400002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可分块为2|00|00|13|00|24|00|00|2⎛⎫⎪------⎪⎪⎪⎪⎪------⎪⎪⎝⎭可表示为112233000000AAA⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭型在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便．此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行．我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的．对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘时，对Ｂ的一个分块方式，Ａ可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便．例如Ａ＝100010002⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭Ｂ＝101001010110⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭ＡＢ＝？解：我们可以把Ｂ分块为10|1001|0101|10⎛⎫⎪⎪⎪-----⎪⎝⎭而这时若只考虑乘法的相容性，Ａ可以分块为10|001|0|00|2⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭，或10|0|01|000|2⎛⎫ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便.ＡＢ＝22200I A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．222122I I B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2222212222II A B A B ⎛⎫⎪⎝⎭＝101001010220⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭３． 矩阵的逆定义：n 阶方阵Ａ可逆，如果有n 阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉ，这里的Ｉ是n 阶单位阵．而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆．二 分块矩阵的求逆及其应用第一节 ２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 首先我们从最简单的2×2分块矩阵开始研究,如何求2×2分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式. 设A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,A 为n 阶矩阵,B 与C 分别为n ×m 和m ×n 矩阵,D 为m 阶矩阵.定理1.若A 可逆,则M 可逆⇔1D CA B --可逆.这时[1]11111111111111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M D CA B CA D CA B --------------⎛⎫+---=⎪---⎝⎭证明: ⇒ 由 110A B A B CA C D D CA B ---⨯⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∵M =A ⋅10D CA B --≠ 故11()D CA B ---存在.由 1111110000()()n n m m A B I AB I CA ACD I D CA B CA I D CA B -------⨯⎛⎫⨯⎛⎫→ ⎪⎪---⨯⎝⎭⎝⎭1111110000()()n n m m A B I AB I CA ACD I D CA B CA I D CA B -------⨯⎛⎫⨯⎛⎫→ ⎪ ⎪---⨯⎝⎭⎝⎭111111100()()n mI A B A A B I D CA B CA D CA B -------⎛⎫⎪-⨯---⎝⎭111111111110()()0()()n mI A A B D CA B CA A B D CA B I D CA B CA D CA B -----------⎛⎫+---→ ⎪---⎝⎭即 11111111111111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B MD CA B CA D CA B --------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭⇐ 由1D CA B --可逆,可知1A -存在.∵M =A ⋅10D CA B --≠, 故1M - 存在.定理2. 若D 可逆,则M 可逆⇔1A BD C --可逆,这时 11111111111111()()()()A BD C A BD C BD MD C A BD C D D C A BD C BD --------------⎛⎫---= ⎪--+-⎝⎭证明方法同定理1,在此略去证明过程.在此,我们还可以得出推论:推论1:若B 可逆,则M 可逆⇔ 1C DB A --可逆 推论2:若C 可逆,则M 可逆⇔ 1B AC D --可逆通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M 是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下2×2分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及其可逆公式是什么形式的. 1. 分块矩阵中含有3个零块 即 000A ⎛⎫⎪⎝⎭ 、000B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、 000C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、000D ⎛⎫⎪⎝⎭这种情况下,分块矩阵是不可逆的.以第一种情况为例∵若A 可逆,而1D CA B --=0,是不可逆的 ∴M=000A ⎛⎫⎪⎝⎭不可逆.(若A 不可逆,那么M 就更不可逆了) 2. 分块矩阵中有两个零块Ⅰ. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即①00A B M ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②00B M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则这种分块矩阵不可逆. ∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=0不可逆.∴M 不可逆. ∵ 由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=0不可逆.∴M 不可逆.Ⅱ.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 ①00A M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭和 ②00B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=D,只有当D 可逆 时,M 才可逆. 代入求逆公式得 11100A MD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,反过来,若D 可逆,也只有A 可逆时,M 才可逆. 1M -同前面的一样.∵由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=C,只有当C 可逆时,M 才可逆, 此时 11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭可以用下面的方法求出上面的1M -,设1M -=11122122D D D D ⎛⎫ ⎪⎝⎭则 1M M -⋅=00B C⎛⎫⎪⎝⎭11122122D D D D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21221112BD BD CD CD ⎛⎫⎪⎝⎭=00I I ⎛⎫⎪⎝⎭=I ∴11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭3. 分块矩阵中只有一个零块Ⅰ. 分块矩阵的零块在主对角线上,即①0A B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②0B M C D ⎛⎫=⎪⎝⎭ⅰ.由定理1可知,在①中若1A -存在,只有 1CA B --可逆,M 才可逆 而11()CA B ---= 11B AC --- ∴ 只有当1B - 、1C -同时存在时,M 才可逆.ⅱ.若A 不可逆,则令1M -=11122122D D D D ⎛⎫⎪⎝⎭1M M -⋅=112112221112AD BD AD BD CD CD ++⎛⎫⎪⎝⎭=00I I ⎛⎫⎪⎝⎭=I 1M - =11110C BB AC ----⎛⎫⎪-⎝⎭,如果要使1M -存在,那么1B - ﹑1C -一定存在. ② 可用同样的方法讨论.总结: 这种类型的分块矩阵,无论A(D)是否可逆,只有B 、C 同时可逆时,M 才可逆.Ⅱ. 分块矩阵的零块不在主对角线上,即①0AM C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②0A B M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于①,可以直接应用定理1判断是否可逆,然后直接代入求逆公式即只有当A 、D 同时可逆时,M 可逆.此时1M -= 11110A A BD D ----⎛⎫- ⎪⎝⎭对于②,同样应用定理2可得只有当A ﹑D 同时可逆时,M 可逆.此时1M -= 11110A D CAD ----⎛⎫⎪-⎝⎭通过以上的讨论,我们不难发现,如果分块矩阵中含有零块,那么判断其可逆性存在条件以及求逆公式都会相应地简单很多.因此,我们在对阶数较大的矩阵分块时应注意零块.下面我们来看一些典型的应用分块矩阵法来求逆的例子,看看是如何分块,如何应用公式及推论的. 例1. 判断下列矩阵是否可逆,如果可逆,求出它的逆.①M = 0001200023110000110000100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ②M = 01000002000003000004500⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭③M = 101010101000110000110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭④M = [2]2100002100002100002100002⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⑤ M =[3]1111111111111111⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ ⑥M =1200023000111000101000001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭解: ①分析: 观察矩阵中有一个2×3的零块和一个3×2的零块,而另外两个分别是上三角块和一个2×2的块,都很容易判断是否可逆.所以可将M 分块为000|12000|23110|00011|00001|00⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭它正好是00B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭型,由前面的讨论可知11100C MB---⎛⎫= ⎪⎝⎭而运用初等变换法很容易求出112322321--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 1110111011011001001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故M 可逆. 所以 1M -=001110001100001320002100-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭②.分析: 不难发现这是一个对角阵经过列变换而得到的矩阵,那我们就还要尽可能找到对角阵,因为对角阵的逆容易求得.结果发现正好还有两个零块.则可将M 分块为0|10000|02000|00300|00045|0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪⎝⎭,也是00B M C ⎛⎫=⎪⎝⎭型,B 、C 可逆很容易看出,故M 可逆.则1M -=1000051000010000210000310004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭③.分析:这是一个只有0和1组成的上三角矩阵,我们知道零块比单位块更容易计算,所以我们应本着先找零块的原则,故我们可以将M 分块为10|10101|01000|11000|01100|001⎛⎫⎪⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭这样分即有零块,又有一个单位块. 则M 可表示20I B D ⎛⎫⎪⎝⎭型.很容易看出2I 和D 都可逆,所以M 可逆. 根据关于零块的讨论,可得1M -=1210I BD D --⎛⎫-⎪⎝⎭而1D -=111011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭1BD --=112011--⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 所以1M -=101120101100111000110001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭④.分析:这是一个很有规律的矩阵,我们可以找到它的一个最大零块,将M 分块为21|00002|10000|21000|02100|002⎛⎫⎪⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ 可以表示为0A B M T ⎛⎫= ⎪⎝⎭型 很容易看出1A -和1T -都存在,故M 可逆.用初等变换的方法求得1A -=1124102⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭而我们在求1T -时,还可以把T 分块为 21|002|100|2⎛⎫ ⎪⎪⎪---- ⎪⎪⎝⎭可以表示为T=A H O K ⎛⎫⎪⎝⎭∵A 、K 可逆很容易看出, ∴1T -=1111A A HK K ----⎛⎫-⎪⎝⎭=111248110241002⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴1M-=1111A A BT T ----⎛⎫- ⎪⎝⎭=11111248163211110248161110024811000241002⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭本题中两次运用分块,因为1A -只求一次，可以在两个地方应用,而且其它的计算也相应的简便.⑤．分析:这个矩阵中含有3个块相同，故分块很容易M=11|1111|1111|1111|11⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪----- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭即M=A A A D ⎛⎫⎪⎝⎭,∵1A -，1D -都存在,现在考虑是应用定理1还是应用定理2.ⅰ.若选择1A -存在，则需判断1D AA A --=D-A 是否可逆 ⅱ.若选择1D -存在， 则需判断1A AD A -- 是否可逆。
分块矩阵 求逆
分块矩阵求逆
一、分块矩阵求逆
1.定义
分块矩阵是将一个矩阵分割为若干个子矩阵组成的矩阵，如果一个矩阵分割成M×N块，每块非零元素的个数相等，则称为M×N块矩阵。
2.原理
分块矩阵求逆的原理是用逆矩阵的性质对子矩阵进行求逆，然后组合分块矩阵的逆矩阵。
逆矩阵的性质有：
（1）可逆矩阵A的逆矩阵A-1满足：A·A-1=A-1·A=I。
（2）如果矩阵B是A的一个子矩阵，那么B的逆矩阵B-1是A 的一个子矩阵，满足：A·B-1=B-1·A=B。
因此，对分块矩阵的求逆的方法就是：
1）用逆矩阵的性质求每个子矩阵的逆矩阵；
2）组合分块矩阵的逆矩阵。
3.计算步骤
（1）求每个子矩阵的逆矩阵。
首先使用GOF例子求4×4分块矩阵的逆矩阵：
已知
A=a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 ，希望求A的逆矩阵A-1。
（2）对A求转置矩阵
A-T =a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44 （3）分块矩阵的逆矩阵的第一行各元素记为A11-1，A12-1，A13-1，A14-1；第二行各元素记为A21-1，A22-1，A23-1，A24-1；第三行各元素记为A31-1，A32-1，A33-1，A34-1；第四行各元素记为A41-1，A42-1，A43-1，A44-1。
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ｂ ｂ
ａ Ｔ２ 一 ６
ｂ ｎ
ｂ ｂ
Ｏ
１ ２ ． Ｏ Ｏ
０ ｂ
ｂ
１ Ｏ ． Ｏ Ｏ
解 设
Ａ — Ｄ —
Ｏ
： ａ Ｅ ， Ｂ — Ｃ —
ｂ
●
●
●
●
维普资讯
第 １期
张锦 来 ： 分块 和 可逆 矩 阵 及 其 应 用
ｌ７ ｌ
Ｎ可时Ｉ 一 ｆ— ｆ 逆， ｝。ＡＢ１ Ｄ ｆｆ Ｄ Ａ －． Ｃ
证 明方 法 同命 题 ２ ． 下 面通 过几个 例子 说明该 方法 的运用 ． 运用该 方法 的关 键是将 一个行 列式 适 当分 块．
命题 ３ 若 Ａ 为 阶矩阵 ， 为 ｍ 阶矩阵 ， Ｄ 则
当可时Ｉ — 一 １ｌ Ａ逆， ｆＡ。ｃＢ ｌｌ Ａ Ａ ｃ ｌ ；
收 稿 日期 ：０ ７ ２— ０ 修 回 日期 ：０ ８— １ ０ ２ ０ —１ ２ ； ２０ ０ — ５ 作 者 简 介 ： 锦 来 ， 教 授 ， 事 数 学 教学 与研 究 ． 张 副 从
15a09各高等代数教材主要介绍了用定义性质及展开定理计算lr阶行列式常用的技巧有递推法加边法拆项法等但有些行列式计算起来仍很麻烦
维普资讯
第 ３ Ｏ卷 第 １ 期 ２０ ０ ８年 ２月
湖 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ｈ ｕ Ｔｅ ｃ ｅ ｓ Ｃｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｏ ｚ ｏ ａｈ ｒ ｌ ｅ ｅ
●
０
．
则 ｌ — ａ ｌ ≠ ０ 所 以 Ａ 可 逆 ， Ａ — ａ — Ｃ Ｅ Ａ ， 且 Ｃ ＥＣ ａ 一 Ｃ 于 是 ， Ａ。
Ｏ ｂ ０ ｂ ０ ０
１ Ｏ ～ 一 Ｏ
１ Ｏ ～ Ｏ
：
Ｔ 一 ｌ Ｄ — Ｃ 一 Ａ Ｂ ｌ
解 设
Ａ 一 （ 。 ， Ｂ 一 （ １ ０ … ，） Ｃ 一 （ １ａ ， ， １ ， 口） 一 ，， Ｏ ， 口 ，２… 口 ）
Ｖｏ ． ０ ＮＯ １ １３ ． Ｆ ｂ ，０ ８ ｅ ． ２０
分块和可逆矩阵及其应用
张锦 来
（ 阳 师 范专 科 学 校 数 学 系 ，辽 宁 朝 阳 １ ２ ０ ） 朝 ２０ ０
．
摘 要 ： 为使 ｎ阶行列式 的求 值更加 简便 ， 出了一 种运用 分块 矩阵 的乘 法和可 逆矩 阵计算 ｎ阶行列 式 的实用方 法・ 给
ａ １＋ Ａ ～ Ａ１ 一 Ａ １ １
Ａ １
Ｏ
第３ Ｏ卷
一
解
ａ２
Ａ ２
０
０
０
…
九．
Ａ ２ ０ Ｊ ＝ Ｌ ３
●
●
设 Ａ 一 （ １ Ａ ） Ｂ 一 （ Ａ ， ， Ａ ） Ｃ 二 口 ， ， ， Ｄ — 口＋ １， 一 Ｉ… 一 １ ， ＝ ２… 口） ＝（
Ａ
当 Ａ 可逆 时 ， 当 Ｄ可 逆时 ，
ｌ 一 。
Ｂｌ ；
ｃ
Ａ
ｃ
ｌ － Ｂ Ａ黼 （ （ Ｅ Ｂ 舍。０ ． 舍 Ａ一 Ｂ
由命题 １ ， ｌＤ ｌ
当可 （ 。 会
一
ｃ 一 －） 三 ｛ ）ＡＥ ） 。ｃ Ｂ
关 键 词 ： 块 矩 阵 ；可逆 矩 阵 ；ｎ阶行 列 式 分 中图 分 类 号 ： ５ ． １ Ｏ１ １ ２
Ｍ ＳＣ ０ ２ ００： Ａ ０ １５ ９
文 献标 识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ９— ７ ４ ２ ０ ） １一 １ ６ ０ １ ０ １３ （０ ８０ Ｏ １ — ３
０
●
九．
则 Ｄ 可逆 ， 以 所
一
ｌ—Ｄｃ＝２．（ ＋ ． 等）Ａ＂（ 奎 ） Ｂ ａ－ ｎ 警＋． ＝Ｉ＂ Ａ Ｉ ａ． ３． ａ ． ＋ ＡＡ ＋ ． ２．
ｚ １
例 ４ 计算 阶行列 式
‰
Ｔ 一
Ｏ 一
～ ～ ｏ ｏ
～ Ｏ Ｏ
— Ｂ ． Ｃ １
一 ． 肋ｃ －
特 地当 可 ，Ａ一Ａ ， ＩＩ —ＡＢ—Ａ—Ｂ．Ｄ 逆且Ｄ 别 ，Ａ 逆且Ｃ ｌ Ｄ—ＡＩ一 Ｄ 当 可 ，Ｃ 目 Ｃ时 竺 Ｂ一 一 Ｉ 刚 ’ ｃ ｌ Ｄ Ｃ ＩＩ Ｃ ・ Ｉ
时， Ｄ １ Ａ－ Ｂ ￣ １ － Ｄ－ Ｃ 将命题 ２的结 论加 以推广 ， 得到更 一般 的结论 ：
各 高等代 数教材 主要介 绍 了用 定义 、 质及展 开定 理计 算 阶行 列式 ， 性 常用 的技巧有 递推法 、 加边 法 、 拆项法 等 ， 有些行 列式计算 起来仍 很麻 烦． 文给 出运用分 块矩 阵的乘法 Ⅲ 和 可逆矩 阵 计算 阶行列 但 本 式 的一种方法 ， 该方 法能使 阶行 列式 的求值 更加简 便易行 ．
Ｏ Ｏ
（ ｎ。一 ｂ ） 。 。 ”
例 ２ 计算 阶行 列式
Ｔ 一
２
Ｏ
解 设
Ａ 一 （） Ｂ — Ｃ １， 一 （ ， ， ， ） Ｄ 一 １１… １ ，
Ｏ
则 Ｄ 可 逆 ， 以 所
ｏ
１
●。— —
：
ｆ ｆ Ａ— Ｂ Ｃ ｆ ！ Ｄ ｆ Ｄ —
命题 １ 若 Ａ， Ｄ 都是 阶矩 阵 ， Ｂ， 则
ｊ Ｂ— ＡＩ Ｉ Ｉ Ａ ｊ Ｉ ． Ｄ
１ Ｄ１ ｏ
证 利ｌｃ理， 将列Ｉ 按 列开＿ 明 用ｐ 定 只 行式 Ｉ 展即． ａｅ 要 前 ｌ ａ Ａ 。 可
命题 ２ 若 Ａ， Ｃ Ｄ都 是 阶矩阵 ， Ｂ， ， 则
３
Ｏ
１
。。— —
例 ３
ａ ＋ １ １
ａ’ ａ１ ｎ ａ’
Ｔ 一
ａ ＋ ２ ２
（ ≠ ０， ｉ一 １ ２ … ， ． ， ， ） ａ ＋
ｎｎ
ｎ
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