有答案 1.1.2 集合间的基本关系

1.1.2集合间的基本关系
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．
2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．集合相等与真子集的概念
A
B
(1)定义：______________的集合叫做空集．
(2)用符号表示为：____.
(3)规定：空集是任何集合的______．
5．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．
一、选择题
1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()
A．P＝Q B．P Q
C．P Q D．P∩Q＝∅
2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()
A．3 B．6 C．7 D．8
3．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B中的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
4．下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅A，则A≠∅.
其中正确的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()
6．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }
之间的关系是( )
A ．S P M
B ．S ＝P M
C ．S P ＝M
二、填空题
7．已知M ＝{x |x ≥22，x ∈R }，给定下列关系：①π∈M ；②{π}M ；③πM ；④{π}∈M .其中正确的有________．(填序号)
8．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________．
9．已知集合A {2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．
三、解答题 10．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，
(1)当Δ＝1－4a <0，即a >14
时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12
}，B ⊆A 不成立； (3)当Δ＝1－4a >0，即a <14
时，若B ⊆A 成立， 则B ＝{－3,2}， ∴a ＝－3×2＝－6. 综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6. 11．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 11．解 ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1，∴m <2.
②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．
要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，
2m －1≤5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，
m ≤3，∴2≤m ≤3.
由①、②，可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.
能力提升
12．已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．
12．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .
(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }．
又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，
∴⎩⎨⎧
1
a ≥－1，
2
a ≤1，∴a ≥2.
(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a
}． ∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧
2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2. 综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.
13．已知集合A {1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个. 解析 若A 中有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，
若A 中有2个奇数，则A ＝{1,3}．
1．子集概念的多角度理解
(1)“A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，即由任意x ∈A 能推出x ∈B .
(2)不能把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为当A ＝∅时，A ⊆B ，但A 中不含任何元素；又当A ＝B 时，也有A ⊆B ，但A 中含有B 中的所有元素，这两种情况都有A ⊆B .
拓展 当A 不是B 的子集时，我们记作“A B ”(或B A )．
2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展
(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．
(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含 (⊇)、真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A ⊆B 与B ⊇A 是相同的．
1．1.2 集合间的基本关系
知识梳理
1．任意一个 A ⊆B B ⊇A A 含于B B 包含A 2.封闭
3．A ⊆B 且B ⊆A x ∈B ，且x ∉A 4.(1)不含任何元素 (2)∅
(3)子集 5.(1)A ⊆A (2)A ⊆C
作业设计
1．B [∵P ＝{x |y ＝x ＋1}＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ≥0}
∴P Q ，∴选B.]
2．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]
3．C
4．B [只有④正确．]
5．B [由N ＝{－1,0}，知N M ，故选B.]
6．C [运用整数的性质方便求解．集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．]
7．①②
解析 ①、②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．
8．a ≥2
解析 在数轴上表示出两个集合，可得a ≥2.
9．6
解析 (1)若A 中有且只有1个奇数，
则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；
(2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅.。