运筹学练习试题部分参考答案1

③闭回路调整： 销地 A B C 产地 (-)1500 (+)1000 甲 4 0 5
D
E
供应量 2500
7
6
10
乙 丙 需求量 调整后： 销地 产地 甲 乙 丙 需求量
3000 2 1(+) 1500 8 3 3 1000 7(-) 6 2000 3000
0 10 3000 4 3000 1000 10 1000
解： （1）将原问题划为标准形得： max z = 6 x1 − 3x2 + 3x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 = 60 ⎧3 x1 + x2 + x3 + x4 ⎪2 x − 2 x + 4 x + x5 = 20 ⎪ 1 2 3 s.t. ⎨ + x6 = 60 ⎪3 x1 + 3 x2 − 3 x3 ⎪ x j ≥ 0, j = 1, 2,⋯ , 6 ⎩
x2
A
B
x2 = 4
C O
2 x1 + x2 = 8
x1
5
由上图可知：在 B(2,4)处，目标函数达到最大值。 即最优解为 x*=(2,4)T 最优解目标函数值 z*=10 min w = 8 y1 + 4 y2 ⎧ 2 y1 ≥ 1 ⎪ s.t. ⎨ y1 + y2 ≥ 2 ⎪ y ≥ 0, y ≥ 0 2 ⎩ 1 （3）原问题的最优解 x*=(2,4)T 代入约束条件，可知约束条件取等式，因为 为唯一最优解 （2）该问题的对偶问题为：
x1*，x2*不为 0，在对偶问题中相应的约束条件为紧约束，
∗ 即 2 y1∗ = 1, y1∗ + y2 =2
对偶问题的最优解及最优目标函数值为： y ∗ = (1/ 2,3 / 2)
w∗ = 10
运输问题
1、某百货公司到甲、乙、丙三地采购 A、B、C、D 四种规格服装，预计销售后 每套服装可得利润如下表： 服装 A B C D 供应量 产地 10 5 6 4 2500 甲 8 2 7 7 3000 乙 9 3 4 6 5000 丙 需求量 1500 2000 3000 3000 请帮助该公司设计一个预期利润最大的方案。 解：产量〉销量，假想一个销地 E，销量为 1000 日韩淘宝网
−1
cj → cB xB b
10
6
4
0
0
0
8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
θ
6 10 0
x2 x1 x6
200/3 100/3 100
0 1 0
1 0 0
5/6 1/6 4
5/3 -2/3 -2
-1/6 1/6 0
0 0 1
[1] 0 1
200/3 100
σj
-2200/3
0
0
-8/3 -10/3
-2/3
cj → cB xB b
10
6
4
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
θ
0
x4
100
1
1
1
1
0
0
100
0 0
x5 x6
600 300
[10] 2
4 2
5 6
0 0
1 0
0 1
60 150
1
σj
0
0
10 0
6 [0.6]
4 0.5
0 1
0 -0.1
0 0 200/3
x4
40
10 0
x1 x6
60 180
1 0
σ13= c13 –u1– v3 = 4 –0– 2=2 2 –u2– v2 = 8 –1– 5=2 σ31= c31 –u3– v1 = 1–2– 0= -1<0
σ14= c14 –u1– v4 = 6 –0– 2=4 σ21= c21 –u2– v1 = 2 –1– 0=1 σ25= c25 –u2– v5 = 10 –1– 8=1 σ33= c33 –u3– v3 = 6 – 2– 2=2
线性规划问题
1、某工厂生产 I、II、III 三种产品，分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生 产单位各种产品所需的设备台时、 设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见 下表：日韩淘宝网 I II III 设备能力（台时） A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单位利润（元） 10 6 4 （1） 求获利最大的产品生产计划； （2） 产品 III 每件的利润增加到多大时才值得安排生产； （3） 如有一种新产品，加工一件需设备 A、B、C 的台时各为 1，4，3 小 时，预期每件的利润为 8 元，是否值得安排生产。 解：（1）设 x1，x2，x3 分别为 I、II、III 三种产品的产量，z 表示利润。该 问题的线性规划模型为： max z = 10 x1 + 6 x2 + 4 x3 ⎧ x1 + x2 + x3 ≤ 100 ⎪10 x + 4 x + 5 x ≤ 600 ⎪ 2 3 s.t. ⎨ 1 ⎪ 2 x1 + 2 x2 + 6 x3 ≤ 300 ⎪ ⎩ x1 , x2 , x3 ≥ 0 用单纯形法求上述线性规划问题。化为标准形式： max z = 10 x1 + 6 x2 + 4 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 = 100 ⎧ x1 + x2 + x3 + x4 ⎪10 x + 4 x + 5 x + x5 = 600 ⎪ 1 2 3 s.t. ⎨ + x6 = 300 ⎪ 2 x1 + 2 x2 + 6 x3 ⎪ x j ≥ 0, j = 1, 2,⋯ , 6 ⎩
0
所以最优解为 x* =(100/3，200/3，0，0，0，100)T，即产品 I、II、III 的产 量分别为：100/3，200/3，0；最优解目标函数值 z* =2200/3 （2）设产品 III 每件的利润为 c3
σ 3 = c3 − CB B −1P3 = c3 − CB P3′
⎛5/ 6⎞ ⎟ = c3 − ( 6,10, 0 ) ⎜ ⎜1/ 6 ⎟ = c3 − 20 / 3 ≥ 0 ⇒ c3 ≥ 20 / 3 ⎜4 ⎟ ⎝ ⎠ 产品 III 每件的利润增加到 20/3 时才值得安排生产。
0.4 1.2
0.5 5
0 0
0.1 -0.2
0 1
150 150
σj
6 10 0
-600
0 0 1 0
2 1 0 0
-1 5/6 1/6 4
0 5/3 -2/3 -2
-1 -1/6 1/6 0
0 0 0 1
x2 x1 x6
200/3 100/3 100
σj
-2200/3
0
0
-8/3 -10/3 -2/3
（3）设 x7 为新产品的产量。日韩淘宝网 ⎛1 ⎞ 10 2 ⎟ σ 7 = c7 − cB B −1P7 = 8 − ( , , 0) ⎜ 4 ⎟ = 2 > 0 ⇒ 值得投产 ⎜ 3 3 ⎜ ⎟ ⎝3⎠
2
⎡ 5 / 3 −1/ 6 0 ⎤ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ P7′ = B P7 = ⎢ ⎢ −2 / 3 1/ 6 0 ⎥ ⎜ 4 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ 0 1⎥ ⎣ −2 ⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝1 ⎠
σ12= c12 –u1– v2 = 5 –u1– v2 =0 σ24= c24 –u2– v4 = 3 –u2– v4 =0 σ34= c34 –u3– v4 = 4 –u3– v4 =0
u1 =0 易得：u2= 1，u3= 2，v1=0，v2=5，v3=2，v4=2，v5=8
计算非基变量的检验数：
0 1
5
4
σj
0
-60
0 0
3 0
-9 1
0 1
-3
0
x4
10
-1/2 -2/3
6 -3
x1 x2
15 5
1 0
0 1
1/2 -3/2
0 0
1/4 -1/4
1/6 1/6
σj
-75
0
0
-9/2
0
-9/4 -1/2
所以最优解为 x* =(15，5，0，10，0，0)T 最优解目标函数值 z* =75 非基变量的检验数<0, 为唯一最优解. （2）该问题的对偶问题为： min w = 60 y1 + 20 y2 + 60 y3 ⎧3 y1 + 2 y2 + 3 y3 ≥ 6 ⎪ y − 2 y + 3 y ≥ −3 ⎪ 2 3 s.t. ⎨ 1 ⎪ y1 + 4 y2 − 3 y3 ≥ 3 ⎪ ⎩ y1 , y2 , y3 ≥ 0 对偶问题的最优解：y* =(0，9/4，1/2) 3、已知线性规划问题： max z = x1 + 2x2 ⎧2x1 + x2 ≤ 8 ⎪ s.t. ⎨ x2 ≤ 4 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 求： （1）用图解法求解； （2）写出其对偶问题； （3）根据互补松弛定理，写出对偶问题的最优解。 解： （1）图解法
-1/3
0
0
所以最优解为 x* =(100/3，0，0，0，0，200/3)T，即产品 I 的产量：100/3， 新产品的产量：200/3；最优解目标函数值 z* =2600/3 2、已知下列线性规划问题：
3
maxz = 6 x1 − 3 x2 + 3 x3
⎧3 x1 + x2 + x3 ≤ 60 ⎪2 x − 2 x + 4 x ≤ 20 ⎪ 2 3 s.t. ⎨ 1 ⎪3 x1 + 3 x2 − 3 x3 ≤ 60 ⎪ ⎩ x1 , x2 , x3 ≥ 0 求： （1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；