最新数学人教版八年级上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题课件

（来自《典中点》）
1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题；
(3)两点两线型的线段和最小值问题；
(4)造桥选址问题． 2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值．
短路线．
（来自《点拨》）
知2－讲
解： 如图13.4-5，作点P关于直线a的对称点P1，关于 直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于 点A，B，连接PA，PB.由轴对称的性质知，PA＝ P1A，PB＝P2B，所以先到点A处吃草，再到点B 处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走
的总路程最短．
知1－导
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小(如图)．
BHale Waihona Puke ACl知1－导
作法： (1)作点B 关于直线l 的对称
点B′；
(2)连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
·
A
·
B
C
l
B′
知1－讲
例1 体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是( C ) A．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且 只有一条 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
知1－练
1 如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里
的水从 A处引到田地里去，则应从河边 l 的何处
开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明
理由. 解：图略. 理由：垂线段最短.
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
·
B
你能用所学的知识证 明AC +BC最短吗？
·
A
C
l
B′
知2－讲
证明： 如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接
AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC A · C′ B · l C
追问
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
B
·
A·
l
知1－导
追问
你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？ (1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
第十三章
轴对称
13.4
课题学习
最短
路径问题
1
课堂讲解 运用“垂线段最短”解决最短路径问题
运用“两点之间线段最短”解决最短路
径问题
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中， 线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短 路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问 题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军 饮马问题”.
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
（来自《典中点》）
知2－练
2
如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)， 在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，
则点P的坐标是( C )
A．(－2，0) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，0)
知1－导
知识点
问题
2 运用“垂线段最短”解决最短路径问题
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的
学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教 一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马
可使他所走的路线全
程最短？
B
A
l
知1－导
（来自《点拨》）
知2－讲
解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作
两次轴对称，从而构造出最短路径．
知2－练
1
(中考•黔南州)如图，直线l外不重合的两点A、B，在直
线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交 于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运 用到的知识或方法是( D )
即为所求作的点．
知2－讲
例3 如图13.4-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要 赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最
后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走
的总路程最短．
图13.4-5
（来自《点拨》）
知2－讲
导引：要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间， 线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段 上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关 于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a， b于点A，B，连接PA，PB，即得放牧所走的最
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′ = AC′+B′C′．
B′
知1－导
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即AC +BC 最短．
知2－讲
例2
某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支
线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个 居民小区送电． (1)如果居民小区A，B在主干线l的两旁，如图 13.4-3，那么分支点M在什么地方时总线路
知2－讲
(1)如图13.4-3，连接AB，与l的交点即为所求分支 解：
点 M.
(2)如图13.4-4，作点B关于l的对称点B1，连接AB1 交l于点M，点M即为所求分支点．
图13.4-3
图13.4-4
（来自《点拨》）
知2－讲
解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：当 两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所 求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于 直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点
最短？
图13.4-3 （来自《点拨》）
知2－讲
(2)如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图13.4-4， 那么分支点M在什么地方时总线路最短？ (1)连接AB，与l的交点即 导引：
为所求分支点M；
(2)作点B关于l的对称点B1， 连接AB1交l于点M，点 M即为分支点．
图13.4-4
（来自《点拨》）