第五章 第2节 等差数列同步课时作业

第五章 第二节 等差数列及其前n 项和

1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b

＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件

B ．甲是乙的必要不充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲是乙的既不充分也不必要条件

解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b ＋c b

≠2. 答案：B

2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .

(1)设b n ＝a n 2

n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .

解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得

b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2

n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1，

因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知a n 2

n －1＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，

两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n .

两式相减得

S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n

＝－(2n －1)＋n ·2n

＝(n －1)2n ＋1.

3.(2009·福建高考)n n 334，则公差d 等于 ( )

A ．1 B.53

C ．2

D ．3

解析：∵S 3＝

(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12

＝2. 答案：C

4．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于 ( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －8 (n ＝1)

－10＋2n (n ≥2)＝2n －10，

∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8，

∴152

5．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于________．

解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15，⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，

b n ＝a 2n ＝6n ，∴S 5＝6＋302

×5＝90. 答案：90

6．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝6n ＋(－1)n －1λ·2a n (λ为正整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有b n ＋1＞b n 成立．

解：(1)∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，

由a 3＝5，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知

b n ＝6n ＋(－1)n －1·λ·22n －1，要使得对任意n ∈N *都有b n ＋1＞b n 恒成立， ∴b n ＋1－b n ＝6

n ＋1＋(－1)n ·λ·22n ＋1－6n －(－1)n －1·λ·22n －1＝5·6n －5λ·(－1)n －1·22n －1＞0恒成

立，

即12λ·(－1)n －1＜(32

)n . 当n 为奇数时，

即λ＜2·(32)n ，而(32)n 的最小值为32

， ∴λ＜3.

当n 为偶数时，λ＞－2(32

)n ， 而－2(32)n 的最大值为－92，∴λ＞－92

. 由上式可得－92

＜λ＜3，而λ为正整数， ∴λ＝1或λ＝2.

7.设等差数列{a n }的前n n 36a 7＋a 8＋a 9等于 ( )

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

解析：由{a n }是等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．

由2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)得到

S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.

答案：B

8．在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________. 解析：∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.

∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82

＝52. 答案：52

9．(2009·辽宁高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d )＝2，

所以a 4＝13

. 答案：13

10.设数列{a n }49n n n 项和，则 ( )

A ．S 5＜S 6

B ．S 5＝S 6

C ．S 7＝S 5

D ．S 7＝S 6

解析：因为a 4＝－4，a 9＝4，所以a 4＋a 9＝0，即a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5＋a 6＋a 7＝S 5. 答案：C

11．(文)在等差数列{a n }中，若a 1<0，S 9＝S 12，则当n 等于________时，S n 取得最小值．

解析：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得