(完整word版)高中数学必修5等差数列进阶练习一

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必修5等差数列复习总结练练习习题.docx

《等差数列》同步练习基达： 1．等差数列 40，37， 34 中的第一个数是( )A ．第 13B ．第 14C ．第15D ．第 162．在 -1 与 7 之次插入三个数，使五个数成等差数列，此数列 ________.3. 增等差数列 {a } 中，若 a +a +a =12, a · a · a =28,a =______.n 3 6 9 3 6 9 n4. 数列 {a } 中， a =3n-5,S =__________.nn 95. 等差数列 {a n } 中，已知 a 2+a 9 +a 12+a 19 =100,S 20 =________.6. 等差数列 {a } 中， a >0, d ≠0, S =S S 取得最大的n 的 _____.n 1 2030, n7. 在公差 d=1的等差数列 {a n } 中，已知 S 100=145， a 1+a 3+a 5+⋯⋯ +a 99 的 _____.28. 把 20 分成四个数成等差数列，使第一与第四的同第二与第三的的比2∶ 3，四个数从小到大依次 ____________.9. -401 是不是等差数列 -5 ， -9 ， -13 ⋯的？如果是，是第几？10. 求等差数列 10， 8， 6，⋯⋯的第 20 .11. 在等差数列 {a n } 中，已知 a 4=1， a 7+a 9=16，求通公式 .12. 在等差数列 {a n } 中， a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，求 a 2+a 8. 13．已知数列 {a n } 是等差数列，令 b n a n 2 1 a n 2 ，求： {b n } 也是等差数列 .能力提升：14．等差数列 {a n } 中， a 2+a 5=19，S 5=40， a 10 ( )A ．27B ．28C ．29D ．3015、已知等差数列{a n }的前 3 依次a 1， a 1 ， 2a 3 ，通公式a n （） .A. 2n 5B. 2n 3C.2n 1 D. 2n 116．已知等差数列 {a } 足： a a =-12 ， a +a =-4 ，通公式a =________.n3 746n17、已知等差数列 { a n } 中， a mn ， a n m ，且 m n ， a m n __________.18、首24 的等差数列，从第10 开始正数，公差的取范是__________.19、等差数列 { a n } 中， a 1 a 4 a 7 39 ， a 2 a 5 a 8 33 ， a 3 a 6 a 9 _________.20、已知ABC 中，角 A ， B ， C 依次成等差数列，cos 2 A cos 2 C 的取范是 __________.21．已知等差数列 {a n } 足： S 10=310， S 20=1220，求 a n .22．已知等差数列 {a } 中， a +a =4，求 S .n3131523．一个有 n 的等差数列，前四和 26，最后四和 110，所有之和187，求数 n.24．已知等差数列 {a n } 的前 n 和 S n ，求： S n ， S 2n -S n ， S 3n -S 2n ，⋯⋯成等差数列 .25．已知等差数列 {a n } 足， S p =q ， S q =p ， (p ≠ q) ，求 S p+q .26．已知等差数列 {a } 中， a ＜0， S =S ，求 S 何取最小 .n1912 n合探究：27. 求 : 数列 {lg(100sin n 1 )} 是等差数列，并求它的前n 和的最大. （精确到十分位，4lg 2 B 0.3010 ）参考答案：基础达标： 1． C2. -1 ，1，3，5，73. n-2 ；提示 : 由 a 3+a 6+a 9=12 得 3a 6=12 即 a 6=4,又 a 3· a 6·a 9=28 有 (4-3d) · 4· (4+3d)=28 ，解得 d=± 1( 舍负 ) ， ∴ a n =a 6+(n-6)d=n-2. 4.90 ；提示 : 依题意知数列 {a n } 成等差数列，故 S 99(a 1a 9 )90 .25. 500 ；提示 : ∵ a 2+a 19=a 9+a 12=a 1+a 20=50, ∴S 20 =20(a 1a 20 )=500.26. 25 ；提示 : 等差数列前 n 项和 S n =an 2+bn 可判断 a<0，故考查函数 S(x)=ax 2+bx.由 S(20)=S(30) 知抛物线对称轴 x=20 30即 x=25，故 n=25.27.60 ；提示 : 原式 =(145-50d)× 1=60.28. 2 ，4， 6， 8；提示 : 设这四个数依次为 :x-3d, x-d, x+d, x+3d.9. 解析：由 a 1 5, d 9 ( 5)4 ，得数列通项公式为： a n 5 4(n 1) .令 4015 4( n 1) ，解之得 n=100，即 -401 是这个数列的第100项.10. 解析：根据题意可知： a 1 =10,d=8 － 10=－ 2.∴该数列的通项公式为：a n =10+（ n － 1）×（－ 2） , 即 a n =－ 2n+12,∴ a 20 =－ 2× 20+12=－ 28.11. 解析：设等差数列 {a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，则a 1 3d 1a 117 42a 1 14d, 解方程组得7 16d4∴ a na 176 .(n 1)dn412. 解析：解法一：统一成关于 a 1， n ， d 的表达式 .设 {a } 的首项和公差分别为 a 和 d ，则n1a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 1+20d=450a 2 a 82a 1 8d2(5a 120d )2 450 180 .解法二： a +a =a +a55qm+n=p+qmnp由等差数列的性质可知a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5∴ a 2 a 82a 1 8d 2 (a 3 a 7 a 4 a 6 a 5 )2450 180 .13．证明： 55设 {a } 公差为 d ，则nb n 1bna n 2 2 a n 2 1 ( a n 2 1a n 2 )=(a n+2+a n+1) · d-(a n+1+a n ) ·d =d· [(a n+2+a )-(a n+1 +a )]n+1n=d · (a n+2-a n )=d · 2d2∵ 2d 2 是与 n 无关常数∴ {b n } 是等差数列 .能力提升：14． C ； 15 、 B16． a n =2n-12 或 a n =-2n+8 ；； 18．(8,3]； 19 ．27； 20． (1,5]21．解析：3 2 4解法一：利用公式S nna 1 n(n 1)d ，列方程组求 a 1， d.10 9 d2S1010a 1310 ①2S2020a 1 20 19d 1220②2①、②联立解方程得 a 1=4， d=6∴ a n =4+6(n-1)=6n-2.解法二：利用公式 S n =An 2+BnS nAn2Bnd n 2 (a 1 d)n22S 10100A 10B 310 A 3∴400A，解方程得1S2020B 1220 B∴ S n =3n 2+nd3a 1 4 ∴2dd 6a 1 21∴ a n =6n －2. 22．解析：解法一：一成关于 a 1， n ， d 的表达式 . a 3+a 13=4，∴ 2a 1+14d=4即 a 1+7d=2S1515 (15 1)d7d ) 15 2 30.15a 1215 ( a 1解法二：利用 a +a =a +a .115 3 13S15(a 1 a 15 ) 15 (a 3 a 13 ) 154 152230 .223．解析：a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 1+a 4)=26 ，∴ a 1+a 4=13a n-3 +a n-2 +a n-1 +a n =2(a n-3 +a n )=110 ，∴ a n-3 +a n =55 a 1+a 4+a n-3 +a n =2(a 1+a n )=13+55 ，∴ a 1+a n =34(a 1 a n ) n2 18711.S n187 ，∴ n34224．明：取数列 S n ， S 2n -S n ，⋯⋯中的第k+1 和第 k 作差：(S (k+1)n -S kn )-(S kn -S (k-1)n )=a kn+1+a kn+2+⋯+a (k+1)n -(a (k-1)n+1 +⋯ +a kn )=(a kn+1-a (k-1)n+1 )+(a kn+2-a (k-1)n+2 )+ ⋯+(a (k+1)n -a kn )nd ndnd n 2 dn 个故 S n ， S 2n － S n ，⋯⋯成公差 n 2d 的等差数列 . 25．解析：S ppa 1 p ( p 1) dq2S qqa 1q (q 1) dp2①②①－②得d p 2 p q 2q q p()( p q)a 12即d p q pqqp( pq) a 1()(1)2p ≠ q ，∴ a 1d( p q 1) 12 dSp q ( p q)a ( p q)( p q 1) ( p q).1226．解析：S － S =a +a +a =0∴3a +30d=0 ∴ a =－ 10d ， a ＜ 0，∴ d ＞ 0129101112111S n na 1n (n 1)dd n 2 ( a 1 d) n ， d ＞ 0，22 2∴ f ( x)d x 2 (a 1 d) x 是开口向上的二次函数且 f (9) f (12)2291210 1 a 1 d 1∴ f (x) 的图象对称轴为x2 10 ，∴2 22 d22*n又 n ∈ N ，故 n=10 或 11 时 S 最小∴S 和S 最小.10 11综合探究： 27. 解析：（ 1）证明： ∵ a n lg(100sin n 1) ，41∴a n 1 a n lg(100sin n ) lg(100sin n 1 ) lg(sin )lg 244 4 2∴数列 {lg(100sin n 1 )} 是等差数列 .4 1lg 2（ 2）解： ∵ a 1 lg100 2 0 , d0. 2a nlg(100sinn 1) 0n 1 415∴由4，解得lg 24 ，an 1lg(100sin n ) 0n 1144lg 2∴数列 {lg(100sin n 1 )} 从第 15 项起，它及其后每一项都是负数，前14 项都为正数 .414(14 1)1 故它的前 n 项和的最大值为前14 项的和 S 1414 ( 2lg 2) 14.3.22。

人教A版高中数学必修五2.2等差数列练习.doc

一、本节学习目标掌握等差数列的定义，通项公式及有关性质．二、重难点指引1.重点：等差数列的概念及通项公式．2.难点：等差数列的性质三、学法指导等差数列是一类重要的特殊数列，在学习时一定要注意它相对一般数列所独有特征．四、教材多维研读▲ 一读教材1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列＿＿＿＿＿，每一项与它前一项的差等于，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）．用符号语言可表示为．其中，若{}n a d ,0>是；{}n a d ,0=是； {}n a d ,0< ． 2．等差数列的通项公式：或． 3．等差中项：a ，A ，b 成等差数列，A 为a ,b 等差中项．即．4．等差数列的性质：在等差数列中，若()*∈+=+N q ,p ,n ,m q p n m ，则．▲ 二读教材1．求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.2．求等差数列10，8，6，……的第20项.3．100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.4．在等差数列{}n a 中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .▲ 三读教材1．在等差数列{}n a 中，已知90,104515==a a ，求60a2．首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )A.d ＞83B.d ＞3C.83≤d ＜3D.83＜d ≤3 五、典型例析例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？六、课后自测◆ 基础知识自测1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( )A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项2．若b a ≠,数列b x x a ,,,21和数列b y y y a ,,,,321都是等差数列，则=--1212y y x x ( ) A ．32 B ．43 C ．1 D ．34 3.在-1和8之间插入两个数b a ,，使这四个数成等差数列，则( )A. 5,2==b aB. 5,2=-=b aC. 5,2-==b aD.5,2-=-=b a 4.已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是．5.在等差数列{}n a 中，已知48111032=+++a a a a ，则=+76a a ．◆ 能力提升自测1.等差数列{}n a 中，1a =-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是（）A.11aB. 10aC.9aD.8a 2.设函数)(x f 满足)1(+n f =2)(2n n f +(n ∈N *)且2)1(=f ,则)20(f 为 ( ) A.95 B.97C.105D.192 3．若关于x 的方程02=+-m x x 和),,(02n m R n m n x x ≠∈=+-的四个根组成首项为41的等差数列，求=+n m ◆ 智能拓展训练已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列，302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.(Ⅰ)若4020=a ，求d ；(Ⅱ)试写出30a 关于d 的关系式，并求102030a a a ++的取值范围.2.2等差数列答案▲ 一读教材1．从第二项起，同一个常数，n a －1-n a =d ，n ≥2，n ∈N +，递增数列，常数列，递减数列2．d n a a n )1(1-+=，=n a d m n a m )(-+3．2b a A +=4．q p n m a a a a +=+▲ 二读教材1．分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n－1（n ≥1,n ∈N *）∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.2．解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12,∴20a =－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.3．分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7. ∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项.4．分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……解：∵ {}n a 是等差数列∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2∴ d=4a －3a =7－2=5∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32∴ 3a =2, 9a =323▲ 三读教材 1．方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130．方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由=n a d m n a m )(-+ ⇒4560a a =＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．2．D课后自测◆ 基础知识自测1. B ；2.D ；3.A ；4.22 ；5.24． ◆ 能力提升自测1.A ；2.B ；3.7231． ◆ 智能拓展训练（Ⅰ）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （Ⅱ）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ,()22210203010202010103210[2(1)]a a a a a a d d d d ++=+++=++=++ 当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)10203020,a a a ++∈+∞。

高中数学必修5等差数列精选题目(附答案)

高中数学必修5等差数列精选题目（附答案）1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .一、等差数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．122.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10注：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．3．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－3405．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12B ．18C ．24D ．30二、等差数列的判定与证明6.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．注：等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n (n ≥2)，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{an }是等差数列通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．638．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．三、等差数列的性质与应用(一)等差数列项的性质9.已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 2510.(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6(二)等差数列前n 项和的性质11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(三)等差数列前n 项和的最值12.在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17注：1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .13．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12D ．1314．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．1315．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．巩固练习:1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．1302．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．273．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．64．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－665．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A．20 B．40C．60 D．806．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n}的各项均不为零，其前n项和为S n.若a2n＋1＝a n＋2＋a n，则S2n＋1＝()A．4n＋2 B．4nC．2n＋1 D．2n7．已知等差数列5,427，347，…，则前n项和S n＝________.8．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.9．等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为________．10．在等差数列{a n}中，公差d＝12，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n.参考答案：1.[解析]设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d ＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2.解：因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝(22－4a2)2＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，a n＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.3.解析：选B设等差数列{a n}的公差为d，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，故选B.4.解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192× (－2)＝－340，选D.5.解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 5＋a 10＝12，所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. 6.[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.7.解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.8.证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．9.[解析]因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.10.解：由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.11.[解析] 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. 12.[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．13.解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B. 14.解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.15.解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.练习：1.解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2.解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3.解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列．令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4.解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5.解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6.解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)． 8.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.9.解析：∵⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎨⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.10.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 11.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 12.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8， ∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， ∴⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.。

人教B版人教B版高中数学必修五等差数列练习题及答案.doc

等差数列练习一、选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（）A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120C ．135D ．160．4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A. 0B. 90C. 180D. 3606、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A. 13B. 12C. 11D. 109、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（）A ．)1(32+-n n B ．)34(2-n nC ．23n - D ．321n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A ．6B ．8C ．10D ．12 二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是*6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S n n ，则88a b = . 三．解答题1、在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围； ②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？4、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.参考答案一、 1-5 B A C B C 6-10 C B A B A二、 1、0 2、6 3、1650 4、-10 5、3 6、6 三．1、n a n 2.0=，393805251=+++a a a ．2、①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩ 解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S 中6S 最大.3、解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴14d =，∴172(1)44n n b n +=+-⨯= 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴43nn ab -=即原数列的第n 项为新数列的第4n －3项．（1）当n=12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；（2）由4n －3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

必修5 数列2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．173．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大．解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>，，又4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为．解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，，中哪一个值最大，并说明理由．解：①)(6)(610312112a aa a S +=+=36(27)0a d =+>②12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴，最大。

1．已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64794121215a a a a a +=+∴= A2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．543．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则． 4．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ．解：d n a a n )1(1-+=111020193012305021019502n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩，解方程组5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?故第一次相遇是在开始运动后7分钟．故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列．②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n +++n 三、等比数列知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．④若项数为()*2n n N ∈，则S q S =偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列．性质运用1．103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．D2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则，．3．⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若119=b ，则有等式成立．解：⑴①由等比数列的性质可知：16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又，解得，②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为⑵由题设可知，如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ，成立，我们知道，如果q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于等比数列{}n b ，则有q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若所以可以得出结论，若n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-<N n m n ，成立，在本题中 n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ，1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21，则公比q 的值为 ( )A ．1B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 ( ) A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( ) A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 ( )A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6]一、选择题： BDCAD BACDB BC13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．二、填空题：13.2， 3·2n －2． 14.251+．15.512 ．16.123-n ． 17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式． (1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析：由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n－1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．解析：由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ① n ∈N *，知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4 即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1 根据已知条件121(1)481(1)601n na q qa q q ⎧-=⎪-⎪⎨-=⎪⎪-⎩①②②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41 ③ ③代入①得q a -11＝64 ④解析二：∵｛a n｝为等比数列∴(S2n－S n)2＝S n(S3n－S2n)20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．解析：当x=1时，S n=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2当x≠1时，∵S n=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1，①等式两边同乘以x得：xS n=x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)x n．②21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．解析：∵a1a n=a2a n－1=128，又a1＋a n=66，∴a1、a n是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，∴a1=2，a n=64或a1=64，a n=2，显然q≠1．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11 则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)。

人教B版高中数学高一必修5练习2.2.1等差数列(一)

§2.2 等差数列2．2.1 等差数列(一)一、基础过关1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．524．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，若a n ＝2 011，则n 等于( ) A ．671 B ．670 C ．669 D ．6685．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64 6．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________. 7．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值． 8．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？二、能力提升9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－610．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．11．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，那么项数n 的取值有____种可能．12．若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？试说明理由．(2)若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．答案1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6. 37．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23. ∴a n ＝a 1＋(n －1)×23＝23n －13. 由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50. 8．解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么，当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．9．C [由题意，知a 6≥0，a 7＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝23＋5d ≥0a 1＋6d ＝23＋6d ＜0， ∴－235≤d ＜－236. ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.]10.4311.5 12．证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列， ∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a . ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )，∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )，∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2，∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列．13．解a1＝3，d＝4，a n＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令a n＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是数列{a n}中的第34项．令a n＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*.∴4m＋19是{a n}中的第m＋5项．(2)∵a p，a q是{a n}中的项，∴a p＝4p－1，a q＝4q－1.∴2a p＋3a q＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，∴2a p＋3a q是{a n}中的第2p＋3q－1项．。

(完整word版)高中数学必修五等差数列测试题

等差数列测试题、选择题（每小题 5分，共40 分）i.设数列、2, ..5,2、2, .. ii ,……则2 5是这个数列的C.第八项D.第九项2•在1和8之间插入两个数a,b ，使这四个数成等差数列，则A. a 2, b 5B. a 2, b=5C. a 2, b 5 3.首项为 24的等差数列，从第i0项开始为正数，则公差 d 的取值范围是则该数列的公差为C . 2是4,则抽取的是 A. d > - 3 B.d >3 C. 8<d v 3 3 8 D. — v 3 d <34.等差数列｛a n ｝共有2n 项, 其中奇数项的和为 90,偶数项的和为72,且a 2n a i33 , A.第六项B.第七项 D. a 2，b5.在等差数列｛a n ｝中, a io 0, a ii0,且a ii | a io |,则在S n 中最大的负数为A . S ]7 S i8 C . S ]9 D . S 206•等差数列｛a n ｝中, a i 5，它的前ii 项的平均值是5,若从中抽取i 项，余下的i0项的平均值 A. a ii B.a i0 C.a 9 D.a 87.设函数f (x)满足f (n+i)= 2f (n) “(n € N *)且 f (i)=2,则 f (20)为A.95B.97C.i05D.i92&已知无穷等差数列｛a n ｝, 前n 项和SA .在数列｛a n ｝中a 7最大B .在数列｛a n ｝中,a 3或a 4最大C .前三项之和S 3必与前 ii 项之和S ii 相等D .当n 》8寸，a n <0二、填空题（每小题 6分，共30 分）9 .集合M mm 6n,n N ,且 m 60 中所有元素的和等于L a n，则i0 .在等差数列｛a n｝中，a3 a7印。

8且a ii i4.记S n a i a2 a3S311 •已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 16,1，则a 16的值是13.等差数列｛a n ｝、｛ b n ｝、｛ c n ｝与｛ d n ｝的前n 项和分别记为 3、T n 、P n 、Q n .f(n)空；C ^ = 5^-2，g( n) 旦•则也的最小值= __________________________b n d n 3 n 2 Q n g(n)三、解答题(每小题 10分，共30分)114. (1)在等差数列｛a n ｝中，d —月7 8，求a n 和S n ; 3⑵等差数列｛a n ｝中，a 4=14，前10项和S 10 185 .求a .；15•数列｛a n ｝中，a 1 8, a 4 2，且满足 a n 2 2a n 1 a n 0(1)求数列的通项公式； ⑵设S n 61 ai L |a n |，求S n 。

(完整word版)等差数列进阶练习题1

(完整word版)等差数列进阶练习题1题目1给定一个等差数列，首项为16，公差为3。

求该等差数列的前10项。

解答：根据等差数列的通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ ，其中 $a_n$ 表示第n项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差。

代入已知条件，可得到该等差数列的通项公式为 $a_n = 16 + (n-1)3$。

将每个 n 的值代入公式，计算出前10项的结果如下：因此，该等差数列的前10项为 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43。

题目2给定一个等差数列，已知首项为7，公差为-2。

求该等差数列的第15项。

解答：根据等差数列的通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ ，其中 $a_n$ 表示第n项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差。

代入已知条件，可得到该等差数列的通项公式为 $a_n = 7 + (n-1)(-2)$。

将 n 取 15，代入公式进行计算，可得到第15项的结果为$a_{15} = 7 + (15-1)(-2) = -23$。

因此，该等差数列的第15项为 -23。

题目3给定一个等差数列，已知首项为2，公差为4。

求该等差数列的前5项的和。

解答：等差数列的前n项和可以由求和公式 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ 来计算，其中 $S_n$ 表示前n项的和，$a_1$ 表示首项，$a_n$ 表示第n项。

代入已知条件，可得到该等差数列的前5项和的公式为 $S_5 = \frac{5}{2}(2 + a_5)$ 。

由于公差已知为4，可以通过通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 来计算第5项的值：$a_5 = 2 + (5-1)4 = 18$将该值代入前5项和的公式，可得到 $S_5 = \frac{5}{2}(2 + 18) = 50$。

因此，该等差数列的前5项的和为 50。

题目4给定一个等差数列，前5项的和为25，公差为3。

人教A版高中数学必修五等差数列作业1.docx

等差数列作业1（ D ）1.2011是数列7,13,19,25,31,,L 中的第几项？A. 332B. 333C. 334D. 335（ A ）2.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列（ D ）3.若关于x 的方程x 2-x +a =0和x 2-x +b =0(a b ≠)的四个根可以组成首项为41的等差数列，则a +b 的值为A ．83B ．2411C ．2413D ．7231 （ D ）4.等差数列3,7,11,,---L 的一个通项公式为A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+（ D ）5.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A. 83d > B. 3d < C. 833d ≤< D. 833d <≤ （ C ）6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，L ，32313n n n a a a --++，是A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = 10 .8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = 21 .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = 32-n .10.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第 8 项.11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---L 中的项，若是，是第几项？不是是第7+k 项12.已知(1)2f =，2()1(1)()2f n f n n N +++=∈，求(2013)f . 100813．己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？（1）45 （2）814．已知无穷数列{}n a 为等差数列，各项均为正数，给出方程02212=++++i i i a x a x a ),3,2,1(Λ=i 。

北师大版高中数学必修五练习等差数列

第2课时等差数列的性质及应用课时过关·能力提升1.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于 ()A.12B.16C.20D.24,a2+a10=a4+a8=16,故选B.2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9m+2n=8,2m+n=10,∴3(m+n)=18,∴m+n=6.∴m和n的等差中项是3.故选B.3.在3与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则插入的这7个数中的第4个数为()A.18B.9C.12D.154.在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为()A.6B.12C.24D.48a1+3a8+a15=a1+a15+3a8=5a8=120,∴a8=24.又3a9-a11=2a9+a9-a11=2a9-2d=2(a9-d)=2a8=2×24=48.5.已知中位数为1 011的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为.a1+a n=2×1 011=a1+2 019,∴a 1=2 022-2 019=3.6.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为 .a-d ,a ,a+d , 则a-d+a+a+d=3a=9,即a=3.∵(a-d )2+a 2+(a+d )2=35, ∴d=±2.∴所求数列为1,3,5或5,3,1.或5,3,17.已知关于x 的方程(x 2-2x+m )(x 2-2x+n )=0的4个根组成一个首项为14的等差数列,则|m −n|等于__________.(x 2-2x+m )(x 2-2x+n )=0的4个根分别为x 1,x 2,x 3,x 4,则由题意可知x 1+x 2=x 3+x 4=2. 由等差数列的性质知,若x 1为数列的第1项,则x 2为第4项,由此可得数列为14,34,54,74. 由根与系数的关系可知,m =716,n =1516. ∴|m-n|=12.8.若x ≠y ,两个数列x ,a 1,a 2,a 3,y 和x ,b 1,b 2,b 3,b 4,y 都是等差数列,则a 2-a 1b 3-b 2=__________.d 1,d 2, 由已知得{y =x +4d 1,y =x +5d 2,即{4d 1=y -x ,5d 2=y -x ,解得d 1d 2=54,即a 2-a 1b 3-b 2=d 1d 2=54.9.若有穷数列a 1,a 2,…,a m (m 为正整数)满足条件:a 1=a m ,a 2=a m-1,…,a m =a 1,则称其为“对称”数列.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n }中,c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c 2= .c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19.因为数列{c n}为21项的“对称”数列,所以c2=c20=19.10.已知1,1,1成等差数列,并且a+c,a−c,a+c−2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a−c),lg(a+c−2b)也成等差数列.2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b).1,1,1成等差数列,∴2 b =1a+1c,∴2ac=ab+bc.∴-2ac=2ac-2b(a+c),∴-2ac+a2+c2=2ac-2b(a+c)+a2+c2,∴(a-c)2=(a+c)(a+c-2b).∵a-c,a+c,a+c-2b都是正数,∴2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b).∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.★11.已知函数f(x)=3xx+3,数列{xn}的通项公式由xn=f(xn−1)(n≥2,n∈N+)确定.(1)求证:{1x n}是等差数列;(2)当x1=1时,求x100.n =f(x n-1)=3x n-1x n-1+3(n≥2,n∈N+),∴1 x n =x n-1+33x n-1=13+1x n-1.∴1 x n −1x n-1=13(n≥2,n∈N+).∴{1x n }是公差为13的等差数列.x1=12,1x n=1x1+(n−1)×13,∴1x 100=2+(100−1)×13=35,∴x 100=135.★12.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图.甲调查表明:从第1年起平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:养鸡场个数由第1年30个减少到第6年10个.根据提供的信息说明.(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.(2)到第6年这个县的养鸡规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由. (3)哪一年的规模最大?请说明理由.,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列,记为{a n },公差为d 1,且a 1=1,a 6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{b n },公差为d 2,且b 1=30,b 6=10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n },则c n =a n b n . (1)由a 1=1,a 6=2,得{a 1=1,a 1+5d 1=2,∴{a 1=1,d 1=0.2,∴a 2=1.2.由b 1=30,b 6=10,得{b 1=30,b 1+5d 2=10,∴{b 1=30,d 2=-4,∴b 2=26.∴c 2=a 2b 2=1.2×26=31.2.故第2年养鸡场的个数为26,全县出产鸡的总只数是31.2万. (2)缩小了.理由如下:c 6=a 6b 6=2×10=20<c 1=a 1b 1=30,故到第6年这个县的养鸡规模比第1年缩小了. (3)第2年的规模最大.理由如下:∵a n=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6,n∈N+), b n=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6,n∈N+), ∴c n=a n b n=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6,n∈N+).,∵其图像的对称轴为直线n=94∴当n=2时,c n最大.故第2年的规模最大.。

新教材高中数学北师大版必修5同步精练：1.2.1等差数列 Word版含答案

（新教材）北师大版精品数学资料第一课时基础巩固1下列说法中正确的是( )A ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列B ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列C ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于常数，这个数列就叫等差数列D ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列2已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )A ．4－2nB ．2n －4C ．6－2nD ．2n －64已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．75在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 009等于( )A ．2 007B ．2 008C ．2 009D ．不确定 6已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2 7已知数列{a n }的通项公式是a n ＝7n ＋2，求证：数列{lg a n }是等差数列． 8夏季高山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米？综合过关9已知关于x 的方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于 ( )A ．1 B.34 C.12 D.3810有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行铺瓦多少块？11已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100. 12一个等差数列首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范围．能力提升13某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2 009 时对应的指头是______．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)14设{a n }为a 1＝4的递增数列，且满足a 2n ＋1＋a 2n ＋16＝8(a n ＋1＋a n )＋2a n ＋1a n ，则a n ＝__________.参考答案1解析：仅有D 是等差数列的定义．答案：D2解析：可得a n ＋1－a n ＝－2或a 2－a 1＝(3－4)－(3－2)＝－2.答案：C3解析：通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .答案：C4解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝105，a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝99，解得a 1＝39，d ＝－2，∴a 20＝a 1＋(20－1)×d ＝1.答案：B5解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，∴a 2 009＝2 009.答案：C6解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，a 1＋2d ＝0，解得d ＝－12. 答案：B7分析：转化为证明lg a n ＋1－lg a n 是一个与n 无关的常数．证明：设b n ＝lg a n ，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋3)lg7－(n ＋2)lg7＝lg7＝常数．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．8解：∵每升高100米温度降低0.7 ℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，∴26＋(n －1)×(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．9解析：设这四个根组成的等差数列为{a n }，则a 1＝14，设公差为d ，方程x 2－2x ＋m ＝0的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0的两根之和也为2，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝4a 1＋6d ＝4，则1＋6d ＝4，所以d ＝12.则这四个根是14，34，54，74.又14＋74＝2，34＋54＝2，则m ＝14×74＝716，n ＝34×54＝1516或n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516，则|m －n |＝|716－1516|＝12. 答案：C10分析：转化为求等差数列的第15项．解：设从上面开始第n 行铺瓦a n 块，则数列{a n }是首项为30，公差为3的等差数列．则a 15＝a 1＋14d ＝30＋14×3＝72(块)，即该侧面最下面一行铺瓦72块．11(1)证明：x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， 1x n －1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴{1x n}是等差数列． (2)解：1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53. ∴1x 100＝100＋53＝35. ∴x 100＝135. 12分析：转化为解不等式组．解：∵d ＞0，设等差数列为{a n }，则a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a 10<a 11<…，a 1<a 2<…<a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>1a 9≤1⇔⎩⎨⎧ 125＋(10－1)d >1，125＋(9－1)d ≤1，解得875＜d ≤325. 13解析：把这些数分成“层”，则第1层有5个数，其他层都是有4个数，奇数层小拇指对应的数最大，偶数层大拇指对应的数最大，则2 009＝5＋2 004＝5＋4×501，则2 009在第502层，并且是该层最大的数，所以2 009位于大拇指的位置上．答案：大拇指14解析：a2n＋1＋a2n＋16＝8(a n＋1＋a n)＋2a n＋1a n ⇔(a n＋1＋a n)2－8(a n＋1＋a n)＋16＝4a n＋1a n⇔(a n＋1＋a n－4)2＝4a n＋1a n⇔a n＋1＋a n－4＝2a n＋1a n(由题意可知取正号) ⇔(a n＋1－a n)2＝4⇔a n＋1－a n＝2，因此，{a n}是公差为2的等差数列．则a n＝a1＋(n－1)×2＝2n，从而可得a n＝4n2.答案：4n2第二课时基础巩固1a＝13＋2，b＝13－2，则a、b的等差中项为()A.3B.2C.33 D.222等差数列{a n}的公差为d，则数列{ca n}(c为常数，且c≠0)是()A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列C．不是等差数列D．以上都不对3在a和b(a≠b)两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为______．4等差数列{a n}中，a5＝10，a20＝7，则a2＋a23＝______.5已知a，b，c成等差数列，请问b＋c，c＋a，a＋b是否构成等差数列，为什么？6在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，求这5个数．7四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．综合过关8已知1a 、1b 、1c成等差数列，并且a ＋c 、a －c 、a ＋c －2b 均为正数，试证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．9在数列{a n }中，相邻两项a n 和a n ＋1是相应的二次方程x 2＋3nx ＋b n ＝0(n ∈N ＋)的两根．若a 1＝2，试求b 100的值．能力提升10在等差数列{a n }中，已知a 1＝83，a 4＝98，则这个数列有多少项在300到500之间？参考答案1答案：A2解析：设b n ＝ca n ，则b n ＋1－b n ＝ca n ＋1－ca n ＝c (a n ＋1－a n )＝cd .答案：B3解析：b ＝a ＋(n ＋2－1)d ，则d ＝b －a n ＋1. 答案：b －a n ＋14答案：175分析：要证明三个数成等差数列，可用等差中项的性质去说明．解：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 构成等差数列．∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又∵(b ＋c )＋(a ＋b )＝(a ＋c )＋2b ＝2(a ＋c )，∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．6分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解．解法一：设这5个数构成的等差数列为{a n }，公差是d ，由已知，有a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d .解得d ＝2.∴所求数列为－1,1,3,5,7.解法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，a 是－1与b 的等差中项，c 是b 与7的等差中项，即b ＝－1＋72＝3，a ＝－1＋b 2＝1，c ＝b ＋72＝5. ∴所求数列为－1,1,3,5,7.7解：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即4a 2＋20d 2＝94. ①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，∴d ＝±32. 代入①得a ＝±72， ∴所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1. 8分析：转化为证明2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．证明：∵1a 、1b 、1c成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c. ∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数，∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．9分析：依题意有：a n ＋a n ＋1＝－3n 且a n ·a n ＋1＝b n ，欲求b 100，需求a 100和a 101的值，可由递推或a n ＋a n ＋1＝－3n ，找到a n 的通项公式，进而求出a 100和a 101.解：依题意得：a n ＋a n ＋1＝－3n ， ① a n ·a n ＋1＝b n (n ∈N ＋)， ② 由②知：b 100＝a 100·a 101.∵a n ＋a n ＋1＝－3n ， ① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝－3(n ＋1)， ③ ③－①得：a n ＋2－a n ＝－3.∴a 1，a 3，a 5，…，a 99，a 101构成公差为－3的等差数列． ∴a 101＝a 2×51－1＝a 1＋(51－1)d ＝2＋50×(－3)＝－148，代入a 100＋a 101＝－3×100得a 100＝－152.∴b 100＝a 100·a 101＝(－152)×(－148)＝22 496.10分析：可先利用a 1＝83，a 4＝98求出首项和公差，确定通项公式后再求解．解：公差d ＝a 4－a 13＝98－833＝5， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝83＋5(n －1)＝5n ＋78.令300＜a n ＜500得300＜5n ＋78＜500，解得44.4＜n ＜84.4.∴从第45项到第84项，共有40项在300到500之间．。

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等差数列题型汇总题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为（）A ．49B ．50C ．51D ．523．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a Λ______. 10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ . 题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（）(A)4 (B)5(C)6(D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（）A ．8B ．7C ．6D ．53、若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（） A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A ）13项（B ）12项（C ）11项（D ）10项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=L ，98n n n a a a q --+++=L ，则其前n 项和n S = ．2、等差数列Λ,4,1,2-的前n 项和为（）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则（）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a [来源:学科网ZXXK] 4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

5、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2462,10,S S S ==则等于（） A ．12 B ．18 C ．24 D ．426、若等差数列共有12+n 项()*N n ∈，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（）A. 5B. 7C. 9D. 117、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= 8、若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T ，，已知73n n S n T n =+，则55a b 等于（）Ａ．7Ｂ．23Ｃ．278Ｄ．214题型四、等差数列综合题精选1、等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a（Ⅰ）求通项n a ；（Ⅱ）若S n =242，求n.2、已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。

3、设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T 。

4、已知{}n a 是等差数列，21=a ，183=a ；{}n b 也是等差数列，4a 22=-b ，3214321a a a b b b b ++=+++。

（1）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 的公式；（2）数列{}n a 与{}n b 是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

5、设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (Ⅰ)若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式.6、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设1n n n a a 3b +=,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；五、等差数列习题精选1、等差数列}{n a 的前三项依次为x ，12+x ，24+x ，则它的第5项为（）A 、55+xB 、12+xC 、5D 、4 2、设等差数列}{n a 中，17,594==a a ,则14a 的值等于（）A 、11B 、22C 、29D 、123、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=( )A ．120B ．105C ．90D ．75 4、若等差数列}{n a 的公差0≠d ，则（）（A ） 5362a a a a > （B ） 5362a a a a <（C ） 5362a a a a = （D ） 62a a 与53a a 的大小不确定5、已知{}n a 满足，对一切自然数n 均有1n n a a +>，且2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是（）Ａ．0λ>Ｂ．0λ<Ｃ．0λ=Ｄ．3λ>-6、等差数列{}d a a a d a a n 成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1≠=为（） (A) 3 (B) 2 (C) 2- (D) 2或2- 7、在等差数列{}n a 中，)(,q p p a q a q p ≠==，则=+q p aA 、q p +B 、)(q p +-C 、0D 、pq8、设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A 、1 B 、2 C 、4 D 、8 9、已知为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（）A. -1B. 1C. 3D.710、已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.12D.2 11、在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则其前9项的和S 9等于（） A ．18 B 27 C 36 D 912、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 13、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

14、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为（） A. C Bn An S n ++=2 B. Bn An S n +=2 C. C Bn An S n ++=2()0≠a D. Bn An S n +=2()0≠a小结1、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）3、当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

4、当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.5、若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；等差数列参考答案题型一：计算求值题型二、等差数列的性质1、C2、D3、12（a 3+a 7-a 10+a 11-a 4=8+4=a 7=12）4、C5、C6、B7、A8、C9、B 10、A题型三、等差数列前n 项和1、5n(p+q)2、B3、C4、n=105、246、S 奇/S 偶=n/n-1=4/3, n=47、458、D （a 5/b 5=S 9/T 9）题型四：等差数列综合题精选1、解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分解得).(2211舍去或-==n n 2、解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，得11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解出13a =，2d =-．所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．（Ⅱ）21(1)42n n n S na d n n -=+=-+24(2)n =--．所以2n =时，n S 取到最大值4．3、解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 ()d n n na S n 1211-+= ∵ 77=S ，7515=S ， ∴ ⎩⎨⎧=+=+, 7510515, 721711d a d a 即 ⎩⎨⎧=+=+, 57,1311d a d a解得 21-=a ，1=d 。