【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练 2-12 文新人教A版

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2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-13

［命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难最值问题1、65、7、1012实际应用问题38不等式恒成立问题24、911一、选择题1．f（x)＝2x4－3x2＋1在错误!上的最大值、最小值分别是( ）A．21，－18B．1，－错误! C．21，0 D．0,－错误!解析：∵函数f（x)在错误!上有最大值和最小值．∴f′（x)＝8x3－6x＝0,解得x＝0或x＝错误!或x＝－错误!(舍去)，∴f（x)max＝f（2）＝21，f（x)min＝f错误!＝－错误!.答案:A2．（2013年淄博模拟)已知a≤错误!＋ln x对任意x∈错误!恒成立，则a的最大值为（）A．0 B．1C．2 D．3解析：设f（x）＝错误!＋ln x，则f′（x)＝错误!＋错误!＝错误!.当x ∈[错误!，1)时，f′（x)〈0，故函数f（x)在错误!上单调递减；当x∈(1，2］时,f′（x）>0，故函数f(x)在(1，2］上单调递增，∴f(x）min＝f （1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0。

答案：A3．做一个圆柱形锅炉,容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h。

设造价为y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·错误!＝2πaR2＋错误!，∴y′＝4πaR－错误!。

令y′＝0，得错误!＝错误!.答案：C4．函数f(x）＝(x－3)e x的单调递增区间是（）A．（－∞，－2) B．(0,3)C．（1，4) D．(2，＋∞）解析：∵f(x)＝(x－3)e x，∴f′(x）＝e x（x－2)>0,∴x〉2。

∴f(x）的单调递增区间为(2,＋∞）．答案：D5．(2013年珠海摸底）若函数f（x)＝错误!在［－2，2］上的最大值为2，则a的取值范围是（)A。

《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：3-7

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-7[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 ．2 3 C. 3.32解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B2．(2013年安阳模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14 .24 C ．－14．－24解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12si n 30°＝－14，选C.答案：C3．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4 .π6 C.2π3.π12解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.答案：A4．(2013年江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝( )A.π6 .π4 C.π2.π3解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2.设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43×sin 30°＝12×2x 2sin 60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形解析：依题意得asin A＝bsin B，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.答案：C 二、填空题6．(2012年高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析：应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π37．(2013年大同质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为________．解析：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝ACsin B ＝7sin 60°，即R ＝73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝49π3.答案：49π38．(2012年高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解．在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：1459．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，c ＝________，求角A .(答案提示：A ＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A ＋C )＝(2－1)cos B ，所以 1－cos B ＝(2－1)cos B ，解得cos B ＝22，∴B ＝45°，又A ＝60°，所以C ＝75°.根据正弦定理得3sin 60°＝c sin 75°，解得c ＝6＋22.故应填6＋22. 答案：6＋22三、解答题10．(2013年北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，sin B ＝33. (1)求cos A 及sin C 的值； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积．解析：(1)因为A ＝2B ，所以cos A ＝cos 2B ＝1－2sin 2B . 因为sin B ＝33，所以cos A ＝1－2×13＝13.由题意可知，A ＝2B,0<A <π，所以0<B <π2.因为sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝223.所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.(2)因为b sin B ＝asin A ，b ＝2，所以233＝a223. 所以a ＝463.所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝2029.11．(2012年高考大纲全国卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6.(1)求∠BAC 的大小；(2)设E 为AB 的中点，已知△ABC 的面积为15，求CE 的长．解析：(1)由已知得tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，则tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝13＋121－13×12＝1，又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设BD ＝2t (t >0)，则DC ＝3t ，AD ＝6t ，由已知得S △ABC ＝12×(2t ＋3t )6t ＝15，则t ＝1，故BD ＝2，DC ＝3，AD ＝6，所以AB ＝AD 2＋BD 2＝2 10，AC ＝AD 2＋DC 2＝35，则AE ＝AB2＝10，由余弦定理得CE ＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos∠BAC ＝5.[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinB cos A ＝sin A cosC ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：(1)解法一由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.解法二由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)解法一因为A D →2＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(A B →2＋A C →2＋2AB →·AC →) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.解法二因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝ 1＋34＝72. 2．(2013年南昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)现给出以下三个条件：①B ＝45°；②2sin C －(3＋1)·sin B ＝0；③a ＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，并求出所确定的△ABC 的面积．解析：(1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0， ∴cos(B ＋C )＝－32， ∴cos A ＝32，又0<A <π，∴A ＝30°.(2)解法一选择①③，∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A＝6＋2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1.解法二选②③，已知A ＝30°，a ＝2， ∵2sin C －(3＋1)sin B ＝0， ∴2c ＝(3＋1)b ，∴c ＝3＋12b .由余弦定理，知a 2＝4＝b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32. ∴b 2＝8，∴b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋1.注：不能选①②，因①②不能确定△ABC .倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

高考数学总复习提素能高效题组训练 211 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-11[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难导数的运算 1导数的几何意义 2、36、7、10 综合应用4、5、8、911、12一、选择题1．y ＝cos x 1－x 的导数是( )A.cos x ＋sin x ＋x sin x1－x 2B.cos x －sin x ＋x sin x1－x 2C.cos x －sin x ＋x sin x1－xD.cos x ＋sin x －x sin x1－x2解析：y ′＝－sin x1－x －－1cos x 1－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x2. 答案：B2．已知P (x ，y )为函数y ＝x sin x ＋cos x 上的任意一点，f (x )为该函数在点P 处切线的斜率，则f (x )的部分图象是( )解析：f (x )＝y ′＝x cos x ，显然f (x )为奇函数，其图象关于原点成中心对称，排除A 、C ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，排除D.故选B.答案：B3．(2013年石家庄质检)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e，选C.答案：C4．(2013年南昌二校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：根据函数f (x )的图象可得函数f (x )的导函数f ′(x )在[0，＋∞)上是单调递减，函数f (x )在[2,3]上的平均变化率小于函数f (x )在点(2，f (2))处的瞬时变化率，大于函数f (x )在点(3，f (3))处的瞬时变化率．所以0<f ′(3)<f 3－f 23－2<f ′(2)，即0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．答案：B5．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.答案：A 二、填空题6．(2013年焦作模拟)点P 为曲线f (x )＝23x 3－2x 2上的一个动点，则曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k 的最小值为________．解析：k ＝f ′(x )＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，故k 的最小值为－2. 答案：－27．(2012年高考新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为______．解析：利用导数的几何意义先求得切线斜率．∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3 ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －38．(2013年太原四校联考)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意得y ′＝1x＋x ＋(1－a )，其中x >0.由曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角得，对于任意正数x ，均有1x ＋x ＋(1－a )≥1，即a ≤1x ＋x .当x >0时，1x ＋x ≥2 1x·x ＝2，当且仅当1x＝x ，即x ＝1时取等号，因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．答案：(－∞，2]9．(2013年长沙十二校联考)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 012的值为________．解析：∵y ′＝(n ＋1)x n，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，即y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·x 3·…·x 2 012＝12·23·34·…·2 0122 013＝12 013. 答案：12 013三、解答题10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a3)2－9－a 23，即当x ＝－a3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，∴a ＝±3.11．已知函数f (x )＝x 3－x .(1)求曲线y ＝f (x )过点(1,0)的切线方程；(2)若过x 轴上的点(a,0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围．解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2－1.曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，即y ＝(3t 2－1)·x －2t 3，将点(1,0)代入切线方程得2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或－12，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3得曲线y ＝f (x )的过点(1,0)的切线方程为y ＝2x －2或y＝－14x ＋14.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实数根．记g (t )＝2t 3－3at 2＋a ，则g ′(t )＝6t 2－6at ＝6t (t －a )．当a >0时，函数g (t )的极大值是g (0)＝a ，极小值是g (a )＝－a 3＋a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a >0且－a 3＋a <0，即a >0且a 2－1>0，即a >1；当a ＝0时，函数g (t )单调递增，方程g (t )＝0不可能有三个相异的实数根；当a <0时，函数g (t )的极大值是g (a )＝－a 3＋a ，极小值是g (0)＝a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a <0且－a 3＋a >0，即a <0且a 2－1>0，即a <－1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．(能力提升)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x. (1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间； (2)设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g (x )相切．解析：(1)∵φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1， ∴φ′(x )＝1x＋2x －12＝x 2＋1x ·x －12.∵x >0且x ≠1， ∴φ′(x )>0，∴函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1，①设直线l 与曲线y ＝g (x )相切于点(x 1，e x 1)， ∵g ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0.∴直线l 的方程为y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，②①－②，得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1. 证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一．由(1)可知，φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上递增．又φ(e)＝ln e －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)＝ln e 2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，结合零点存在性定理，说明方程φ(x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x 0.故结论成立．[因材施教·学生备选练习]1．(2011年高考重庆卷)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．解析：(1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ，因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数；当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 2．(2013年九江模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1，g (x )＝(ln x －1)e x＋x (其中e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )在(0，e]上的单调性；(2)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值，若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )＝a x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，e]上单调递增；②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增； ③若a ≥e，则f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减． (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x＋x ，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x＋(ln x －1)(e x)′＋1＝exx＋(ln x －1)e x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x －1ex ＋1，由(1)易知，当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，即x 0∈(0，＋∞)时，1x 0＋ln x 0－1≥0.又e x 0>0，∴g ′(x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋ln x 0－1e x 0＋1≥1>0.曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解．而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解．故不存在。

2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-1

［命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难函数的基本概念1、36函数解析式求法48、10分段函数求值2、95、7、1112一、选择题1．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是（）解析:从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时,增加的速度又越来越快．答案：C2．已知f（x）＝错误!若f（x)＝3,则x的值是( )A．1 B．1或错误!C．1，错误!或±错误! D.错误!解析：当x≤－1时,f(x）的值域为(－∞，1］；当－1〈x〈2时，f（x)的值域为[0，4］；当x≥2时，f(x）的值域为［4，＋∞）．而3∈［0，4），所以f(x）＝x2＝3,所以x＝±错误!，又因为－1<x〈2，所以x＝错误!.答案：D3．已知a，b为实数,集合M＝错误!，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( ) A．1 B．0C．1 D．±1解析：a＝1，b＝0,∴a＋b＝1。

答案：C4．(2013年茂名模拟)已知函数f(x）满足：f（m＋n)＝f(m）f(n）,f （1)＝3，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!的值等于( )A．36 B．24C．18 D．12解析:∵f（m＋n）＝f(m）f（n)，∴f（2n）＝f（n）f(n)，即f（2n)＝f2（n）．且有f(n＋1）＝f（n）f（1)＝3f(n)，即错误!＝3，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝2×3＋2×3＋2×3＋2×3＝24.答案:B5．(2013年太原模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x)＝错误!则f(3)的值为（）A．1 B．2C．－2 D．－3解析：依题意得f(3）＝f（2)－f(1）＝［f（1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3,选D.答案：D二、填空题6．下列四个命题正确的有________．①函数是其定义域到值域的映射;②y＝x－3＋错误!是函数；③函数y＝2x(x∈N）的图象是一条直线；④y＝错误!的图象是抛物线．解析：命题①函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②x∈∅，故不是函数；y＝2x(x∈N)的图象是一群孤立的点,故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．故只有①正确．答案:①7．已知函数f(x）＝错误!则f（log45)＝________.解析：f（log45)＝f(log45＋2）＝22＋log45＝4·2log2错误!＝4错误!.答案：4错误!8．已知函数f(x）＝2x＋1与函数y＝g（x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g（x)的解析式为________．解析：设点M（x，y）在所求函数的图象上，点M′（x′，y′)是M关于直线x＝2的对称点，则错误!又y′＝2x′＋1，∴y＝2(4－x）＋1＝9－2x，即g(x）＝9－2x。

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练 1-3 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：1-3[命题报告·教师用书独具]1．(2013年江南十校联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∨q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，所以“p ∨q ”是假命题，选B.答案：B2．已知a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，有下列四个命题：p 1：|a －b |＝13；p 2：|a ＋b |＝10；p 3：a ·b ＝－32；p 4：b >a .则其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：根据向量的知识，逐一验证各个命题的真假．对于p 1，|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，故|a －b |＝13；对于p 2，|a ＋b |＝7；对于p 3，a ·b ＝－32；对于p 4，向量不能比较大小．故选B 项．答案：B3．(2013年大同模拟)已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：注意到b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．故选D. 答案：D4．下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x cos x ＝35B ．∃x ∈(－∞，0)，2x>1 C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析：由sin x cos x ＝35，得sin 2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，所以C 正确．答案：C5．(2013年南昌联考)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞) B．[1,4] C ．[e,4] D ．(－∞，1]解析：“p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题；p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x，需a ≥e；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4；p ∧q 为真，则e≤a ≤4.答案：C 二、填空题6．(2013年连云港模拟)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥2x ，则綈p ：____________________. 解析：命题的否定为：∃x ∈R ，x 2＋1＜2x . 答案：∃x ∈R ，x 2＋1＜2x7．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min ≥a ，解得，a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)·(a ＋4)≥0，∴a ≤－4或a ≥－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，129．(2013年郑州模拟)已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③ 三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)存在一个三角形是正三角形；(2)至少存在一个实数x 0使x 20－2x 0－3＝0成立； (3)正数的对数不全是正数．解析：(1)任意的三角形都不是正三角形，假命题； (2)对任意实数x 都有x 2－2x －3≠0，假命题； (3)正数的对数都是正数，假命题．11．写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解析：(1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p ∧q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；綈p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p ：矩形的对角线不相等，假命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号不同，真命题．12．(能力提升)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解析：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时|a2|≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a >2或a <－2. 即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[因材施教·学生备选练习]1．(2013年太原联考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题解析：对于命题p ，x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立，则当m ＝0时，mx 2－mx －1<0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.因此若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，故命题q 是真命题．因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题，“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，选D.答案：D2．(2013年济南调研)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．答案：C3．已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．“p ∨q ”为假D ．“p ∧q ”为真解析：在△ABC 中，设角C 与角B 所对应的边分别为c ，b ，由C >B ，知c >b ，由正弦定理c sin C ＝bsin B可得sin C >sin B ，当sin C >sin B 时，易证C >B ，故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件．当c ＝0时，由a >b 得ac 2＝bc 2，由ac 2>bc 2易证a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，即命题p 是假命题，命题q 也是假命题，所以“p ∨q ”为假．故选C.答案：C。

高考数学总复习提素能高效题组训练 442 文新人教a版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：4-4-21. [命题报告·教师用书独具]1．(2013年湖南十二校联考)若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t ＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.答案：D2．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A. 答案：A3．曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是( )A. 6B. 3C ．2 6D ．2 3解析：曲线化为普通方程为x 212＋y 218＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6. 答案：C4．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于( )A ．2或－8B ．6或－4C ．－2或8D ．4或－6解析：将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y－3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.答案：C5．(2013年淮南模拟)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0D ．± 2解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝± 2.答案：D二、填空题6．(2013年西安八校联考)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12，则m ＝________.解析：将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.答案：±1547．(2013年江西八校联考)已知定点A (1,0)，F 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(参数θ∈R )的焦点，则|AF |＝________.解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(参数θ∈R )的普通方程为x 2＝2y ，所以焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，又A (1,0)，所以|AF |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝52. 答案：528．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：化参数方程为普通方程然后解方程组求解．C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)9．(2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析：将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32. 答案：32三、解答题10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．11．(2013年银川模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，判断直线l 和圆C 的位置关系．解析：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和⊙C 相交．12．(能力提升)(2012年高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3)解法二将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.。

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练1-1文新人教A版

A∪ ( ?UB) 等于 (
)
A．?
B． {1}
C．{1,2}
D． { － 1,0,1,2}
解析：由题意可知 ?UB＝ { － 1,0} ，所以 A∪( ?UB) ＝ { －1,0,1,2} ，选 D.
答案： D 3．(2013 年北京东城模拟 ) 设全集 U＝ R， A＝ { x| － x2－ 3x>0} ， B＝ { x| x<－ 1} ，则图中阴
答案： B
1 4．(2013 年佛山质检 ) 已知非空集合 M满足：若 x∈ M，则 1－ x∈M，则当 4∈ M时，集合 M
的所有元素之积等于 ( )
A．0
B． 1
C．－ 1
D．不确定
解析：依题意，当11 Nhomakorabea1
4∈M时，有 1－ 4＝－ 3∈ M，从而
1
1－－3
3
1
＝ 4∈M， 3＝ 4∈ M，于
所以 ( ?UA) ∩ B＝{ x| x>－1} ∩｛y| y≥0} ＝ { x| x≥0} ，故选 C.
答案： C
2．(2013 年衢州模拟 ) 已知集合 A＝ { x| －2≤ x≤7} ， B＝ { x| m＋ 1<x<2m－ 1} ，且 B≠ ?，若
A∪ B＝A，则实数 m的取值范围是 ( )
影部分表示的集合为 ( )
A．{ x| x>0}
B． { x| －3<x<－ 1}
C．{ x| － 3<x<0}
D． { x| x<－ 1}
解析：依题意，得集合 A＝ { x| － 3<x<0} ，所求的集合即为 A∩ B，所以图中阴影部分表示

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练2-2文新人教A版

答案： [ － 1,0]
9．(2013 年海口模拟 ) 在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当
a≥ b 时， a
⊕ b＝ a；当 a<b 时， a⊕ b＝ b2. 设函数 f ( x) ＝ (1 ⊕ x) x－ (2 ⊕ x) ， x∈ [ － 2,2] ，则函数 f ( x) 的
值域为 ________．
x
③
f
(
x)
＝
x2 ＋ x ＋
；④ 1
f
(
x)
是定义在
R 上的奇函数，且满足对一切实数
x1， x2 均有 | f ( x1) －
f ( x2)| ≤2| x1－ x2|. 其中是 F 函数的序号为 (
)
A．②④
B．①③
C．③④
D．①②
|f x
|f x
解析：据 F 函数的定义可知，由于 | f ( x)| ≤ m| x| ? | x| ≤ m，即只需函数 | x| 存
数且 a>0，令函数 f ( x) ＝ g( x) · h( x) ． (1) 求函数 f ( x) 的表达式，并求其定义域； 1 (2) 当 a＝ 4时，求函数 f ( x) 的值域．
1
x＋1
解析： (1) ∵f ( x) ＝ g( x) · h( x) ＝ ( x＋ 1) x＋ 3＝ x＋ 3
x＋ 1 ∴f ( x) ＝ x＋ 3 ， x∈[0 ， a] ．( a>0)
16 ∴F( t ) ∈ 3， 13 .
16 即函数 f ( x) 的值域为 3， 13 .
|f x 在最大值，函数即为 F 函数．易知①②不符合条件；对于③， | x|
1
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高考数学总复习提素能高效题组训练 94 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：9-4[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年石家庄调研)下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析：由回归分析的方法及概念判断．答案：C2．(2013年广州模拟)工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元解析：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位．答案：C3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生．答案：D4．(2011年高考江西卷)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 解析：因为x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x ，y )，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C.答案：C5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050 110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8＞6.635可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.答案：C 二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲乙丙丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则这四位同学中，A B 解析：由题中表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果表明A ，B 两变量有更强的线性相关性．答案：丁7．(2013年嘉兴模拟)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科总计男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (K 22根据表中数据，得到K 2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844>3.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%8．(2013年盐城测试)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. ∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：689．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p ：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)． ①p ∧綈q ②綈p ∧q③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s ) ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )解析：本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．答案：①④ 三、解答题10．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想．⎝⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i－n x 2＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y ＝b x 解析：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13. (2)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ＝187，再由a ＝y －b x ＝－307，得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|<2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，|787－12|<2，所以，该小组所得线性回归方程是理想的．11．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩游戏 18 9 不喜欢玩游戏8 15 总计(1)(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？附：P (K 2≥k ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k3.841 5.0246.6357.879 10.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解析：(1)认为作业多认为作业不多总计喜欢玩游戏 18 9 27 不喜欢玩游戏8 15 23 总计262450(2)将表中的数据代入公式K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得到K 2的观测值为k ＝50×18×15－8×9226×24×27×23≈5.059>5.024，查表知P (K 2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．12．(能力提升)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数x i 10 15 20 25 30 35 40 件数y i471215202327其中i ＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)⎝⎛参考数据：∑7i ＝1x i y i ＝3 245，x ＝25，y ＝15.43， ⎭⎫∑7i ＝1x 2i＝5 075，7x2＝4 375，7x y ＝2 695(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数) 解析：(1)散点图如图．a ^＝y －b x ＝－4.32，∴回归直线方程是y ^＝0.79x －4.32.(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y ＝0.79×80－4.32≈59.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年合肥检测)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝，y 0＝”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点．答案：B2．(2013年东北四校联考)某超市为了了解热茶的销售量y (单位：杯)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x 解析：根据表格中的数据可得，x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.则a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，故y ^＝－2x ＋60. 当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70. 答案：70。

【优化探究】高考数学总复习提素能高效题组训练 101 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：10-1[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对解析：由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件．答案：C2．在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.12解析：令“能上车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.答案：C3．(2013年赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A.18B.38C.58D.78解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78.答案：D4．(2013年温州五校联考)从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a ，从集合{1,2,3}中随机选取一个数记为b ，则b >a 的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：分别从两个集合中取一个数a ，b ，共有15种取法，其中满足b >a 的取法有3种，故所求事件的概率P ＝315＝15.答案：D5．(2013年江南十校联考)第26届世界大学生运动会于2011年8月12日在中国深圳举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415解析：利用对立事件“2名大学生全来自B 大学”去求， ∴P ＝1－615＝35.答案：C 二、填空题6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．∴P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E ) ＝15＋15＋15＝35. 答案：357．(2013年南通模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：238．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至少有两人排队的概率为________．解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.749．(2013年广东六校联考)盒子里共有大小相同的3个白球，1个黑球．若从中随机摸出两个球，则它们颜色不同的概率是________．解析：设3个白球为A ，B ，C,1个黑球为d ，则从中随机摸出两只球的所有可能情况有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd ，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.答案：12三、解答题10．某战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，事件A (不中靶)的概率为多少？(2)若事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数不大于6)的概率为多少？解析：(1)∵事件A (中靶)的概率为0.95，根据对立事件的概率公式得到A 的概率为1－0.95＝0.05. (2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件， ∵事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，∴事件C (中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.11．(2013年长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解析：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)解法一由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.解法二因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.12．(能力提升)(2012年高考安徽卷)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解析：(1)如下表所示．频率分布表(2)(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．[因材施教·学生备选练习]1．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：P (a ，b )的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P (C 2)＝16，落在直线x ＋y ＝3上的概率P (C 3)＝26，落在直线x＋y ＝4上的概率P (C 4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P (C 5)＝16.答案：D2．(2013年南昌模拟)三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13.答案：13。

备考2014高考数学--《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：4-2

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：4-2[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．答案：B2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为ma ＋nb 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.答案：C3．(2013年潍坊模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c ，都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：本题考查平面向量基本定理．任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a ，b 不共线，当a ∥b ，即向量a ，b 共线时，满足3m －2＝2m ，解得m ＝2.故a ，b 不共线时，m ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．答案：D4．(2013年郑州模拟)若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( ) A.10B.102 C. 2 D.22解析：依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，又a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝－2＋12＝2，选C.答案：C5．(2013年淮南质检)已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝1，OA →·OB →＝0，OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若M 为AB 的中点，并且|MC →|＝1，则点(λ，μ)在( )A ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12为圆心，半径为1的圆上 B ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为圆心，半径为1的圆上C ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12为圆心，半径为1的圆上D ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，半径为1的圆上解析：由于M 是AB 的中点， ∴在△AOM 中， OM →＝12(OA →＋OB →)，∴|MC →|＝|OC →－OM →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－12OB →＝1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－12OB →2＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－122＝1，故选D. 答案：D 二、填空题6．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，若 a ∥b ，则4x ＋8y的最小值为________．解析：∵a ∥b ，∴3×(y －1)－(－2)×x ＝0，∴2x ＋3y ＝3. 故4x＋8y＝22x＋23y≥222x ＋3y＝223＝42，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝34，y ＝12时等号成立．答案：4 27．(2013年苏州质检)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.若向量d ＝λa ＋μb 与c 共线，则实数λ，μ的关系为________．解析：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应存在实数k ，使d ＝kc ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.答案：λ＝－2μ8．(2013年济南调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．解析：因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.答案：3119．(2013年苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：∵AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →) ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝μ a ＋μ2b . ∵μ＋μ2＝1，解得μ＝23.∴AO →＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b三、解答题10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得ka ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？解析：设存在实数k ，则ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时ka ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以ka ＋b ＝－13(a －3b )．即存在实数k ，使得ka ＋b 与a －3b 共线，且方向相反． 11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．(能力提升)(2013年东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP →＋4BP →＋5CP →＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AP →、AD →.解析：∵BP →＝AP →－AB →＝AP →－a ，CP →＝AP →－AC →＝AP →－b ，又3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，∴3AP →＋4(AP →－a ) ＋5(AP →－b )＝0. 化简，得AP →＝13a ＋512b .设AD →＝tAP →(t ∈R)，则AD →＝13t a ＋512t b ．①又设BD →＝kBC →(k ∈R )，由BC →＝AC →－AB →＝b －a ，得 BD →＝k (b －a )．而AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →，∴AD →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43.代入①，有AD →＝49a ＋59b .[因材施教·学生备选练习]1．(2013年徐州质检)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．解析：如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0＜λ＜1)，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λxAB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，－λy ＝1.解得x ＝14λ，y ＝1－λ，令1λ＝t (t ＞1)，则4x ＋y ＝1λ＋1－λ＝t ＋t t －＝(t －1)＋1t －＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取等号．答案：942．(2013年西安模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .m ＝(1,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin C －32，cos B cos C ，且m∥n . (1)求A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3c ，求S △ABC . 解析：(1)m∥n ⇔sin B sin C －32－cos B cos C ＝0. ∴cos(B ＋C )＝－32. ∵B ，C 为△ABC 的内角，∴0＜B ＋C ＜π. ∴B ＋C ＝5π6，∴A ＝π6.(2)由余弦定理得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ⇒c 2＝1. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34c 2＝34.。

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[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年唐山模拟)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 214＝1C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，即 x 2λ－y 23λ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y212＝1.答案：D2．(2013年淮南模拟)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0D.()－3，0解析：双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0.答案：C3．(2013年潍坊质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为( )A ．4 B ．2 C ．3 D ．6解析：由题易知，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：A4．(2013年青岛模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10B ．210 C.5D ．2 5解析：如图，由PF 1→·PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|P Q →|＝2c ＝210，所以选B.答案：B5．(2013年银川联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三个点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线P A 、PB 的斜率的乘积k P A ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( )A.52B.62C.2D.153解析：因为A ，B 的连线经过坐标原点，所以A 、B 关于原点对称，设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，由A ，B ，P 在双曲线上得x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，两式相减并且变形得y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2.又k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2＝23，即c 2－a 2a 2＝e 2－1＝23，故双曲线的离心率e ＝153.答案：D 二、填空题6．(2013年宁波模拟)双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是________．解析：依题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x7．(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0， ∴m ＝2. 答案：28．(2013年岳阳模拟)直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2，则实数a和b 满足的一个等式是________________．解析：该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系、向量线性表示及坐标运算．可先求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0a －b ＝y 0，∴(a ＋b )2－(a －b )2＝1，∴ab ＝14，答案：ab ＝149．(2013年合肥检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．解析：由双曲线的离心率e ＝2得，ca ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立．答案：233三、解答题10．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3文档收集自网络，仅用于个人学习＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝ca ＝2， ∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．(2013年宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解析：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)可知，在双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，又∵点M (3，M )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.∴kmF 1·kmF 2＝m3＋23×m3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)由(2)知MF 1⊥MF 2， ∴△MF 1F 2为直角三角形．又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，m ＝±3，M (3，3)或(3，－3)，由两点间距离公式得 |MF 1|＝(－23－3)2＋(0－3)2＝24＋123，|MF 2|＝(23－3)2＋(0－3)2＝24－123，S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2| ＝12×24＋123·24－123＝12×12＝6.即△F 1MF 2的面积为6.12．(能力提升)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 1－3k 2≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年贵阳模拟)已知O 为平面直角坐标系的原点，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，E 为OF 2的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C 、D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C.3D.233解析：作草图，易知直线BC 的方程为x a ＋yb ＝1，圆心O 到BC 的距离为1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＝c2，∴2ab ＝c 2，∴4a 2(c 2－a 2)＝c 4，两边同除以a 4得：e 4－4e 2＋4＝0， ∴(e 2－2)2＝0，∴e 2＝2， ∴e ＝ 2或－2(舍)，∴e ＝ 2.答案：B2．(2013年苏州模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则由△PF 1F 2面积为9及PF 1⊥PF 2可得xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，故(x －y )2＝4c 2－36＝4a 2，又e ＝54，得c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.答案：7。

2014高考数学总复习：提素能高效题组训练 2-12

一、选择题1．(2012年高考辽宁卷)函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－1x≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案：B2．(2012年高考陕西卷)设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：利用导数法求解．∵f(x)＝2x＋ln x(x>0)，∴f′(x)＝－2x2＋1x.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．答案：D3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.答案：C4．若f(x)＝－12(x－2)2＋b ln x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)解析：由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋bx≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．正确选项为C.答案：C5．已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是()A．f(x)＝x2－2ln|x|B．f(x)＝x2－ln|x|C．f(x)＝|x|－2ln|x|D．f(x)＝|x|－ln|x|解析：经分析知，函数正的极小值点的横坐标应小于1，对四个选项求导可知选B项．答案：B二、填空题6．(2013年扬州检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由f ′(x )≥0，得m ≥－3x 2－2x ，令g (x )＝－3x 2－2x ，则g (x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13≤13.∴m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞7．(2013年济宁模拟)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b .当b ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )无极值．当b >0时，令3x 2－6b ＝0得x ＝±2b .由函数f (x )在(0,1)内有极小值，可得0<2b <1， ∴00，得x >1e ， ∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或者t <3<t ＋1，得0<t <1或者2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3)三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－23处都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题易知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎪⎫－23＝0，f ′(1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23和(1,2]．11．(2013年兰州调研)已知实数a >0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32.(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求实数a 的值．解析：(1)f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ， f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a .令f ′(x )＝0，得3ax 2－8ax ＋4a ＝0. ∵a ≠0，∴3x 2－8x ＋4＝0，∴x ＝23或x ＝2.∵a >0，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23和(2，＋∞)；∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.(2)∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝23时取得极大值，即a ·23⎝ ⎛⎭⎪⎫23－22＝32. ∴a ＝27.12．(能力提升)已知函数f (x )＝1x ＋a ln(x ＋1)． (1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间和极值；(2)若f (x )在[2,4]上为单调函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)由x ≠0且x ＋1>0得函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝－1x 2＋2x ＋1＝2x 2－x －1x 2(x ＋1)＝(x －1)(2x ＋1)x 2(x ＋1)，由f ′(x )>0得－1<x <－12或x >1，由f ′(x )<0得－12<x <0或0<x <1，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12和(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和(0,1)．f (x )和f ′(x )随x 的变化情况如下表：由表知f (x )的极大值为f ⎝ ⎭⎪⎫－12＝－2－2ln 2，极小值为f (1)＝1＋2ln 2.(2)f ′(x )＝ax 2－x －1x 2(x ＋1)，若f (x )在区间[2,4]上为增函数，则当x ∈[2,4]时，f ′(x )≥0恒成立，即ax 2－x －1x 2(x ＋1)≥0，则a ≥x ＋1x 2，当x ∈[2,4]时，x ＋1x 2＝1x ＋1x 2≤34，所以a ≥34.若f (x )在区间[2,4]上为减函数，则当x ∈[2,4]时，f ′(x )≤0恒成立，即ax 2－x －1x 2(x ＋1)≤0，则a ≤x ＋1x 2，当x ∈[2,4]时，x ＋1x 2＝1x ＋1x 2≥516，所以a ≤516. 综上得a ≥34或a ≤516.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年长春模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，且满足x 1∈(－1,1)，x 2∈(2,4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－11,3)D ．(－16，－8)解析：依题意得，f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，于是有⎩⎨⎧f ′(－1)＝(－1)2＋a (－1)＋b ＝1－a ＋b >0，f ′(1)＝12＋a ＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′(2)＝22＋2a ＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′(4)＝42＋4a ＋b ＝16＋4a ＋b >0，如图，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，经验证得：当a ＝－5，b ＝4时，z ＝a ＋2b 取得最大值3；当a ＝－3，b ＝－4时，z ＝a ＋2b 取得最小值－11.于是z ＝a ＋2b 的取值范围是(－11,3)，故选C.答案：C2．(2013年太原模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．解析：(1)由题知f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)． ①当a ≥0时，由于x >0，所以ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .从而易知，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)由题知，原问题可转化为当f (x )max <g (x )max 时，a 的取值范围问题．易知g (x )max ＝2.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，则有f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 3.。

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练 2-8 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-8[命题报告·教师用书独具]1．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3 B ．y ＝(x －3)2＋1 C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1解析：把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案：C2．(2013年毫州模拟)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |始终满足0<|f (x )|≤1，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的图象大致为( )解析：由f (x )＝a |x |始终满足0<|f (x )|≤1，可知0<a <1，且y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＝－log a |x |，即可以作出y ＝log a x 的图象后通过变换得到，故选B 项．答案：B3．(2013年天津河西模拟)设方程3x＝|lg (－x )|的两个根为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析：函数y ＝3x与函数y ＝|lg (－x )|的图象如图所示，由图示可设x 1＜－1＜x 2＜0，则0＜3x 1＜3x 2＜1，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝lg －x 1，3x 2＝－lg －x 2，可得3x 1－3x 2＝lg (－x 1)＋lg (－x 2)＝lg x 1x 2， ∵3x 1－3x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故应选D. 答案：D4．(2013年广州模拟)定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称 B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称解析：选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x 轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确，故选B.答案：B5．(2013年石家庄模拟)已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且对x ∈R ，恒有f (x ＋1)≥f (x )，则实数a 的取值范围为( )A ．[0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C ．[－1,1]D ．[－2,0]解析：当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，x －2a 2，x >a 2.因为函数f (x )为奇函数，故函数f (x )的图象关于原点对称，如图所示．因为f (x ＋1)的图象可以看作由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，需将函数f (x )的图象至少向左平移4a 2个单位才能满足不等式f (x ＋1)≥f (x )恒成立，所以4a 2≤1，故a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.答案：B 二、填空题6．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1， ∴1f 3＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3＝f (1)＝2.答案：27．(2013年苏州模拟)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如下图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：(数形结合法)利用函数f (x )的图象关于原点对称． ∴f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案：(－2,0)∪(2,5)8．(2013年福州质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对．解析：因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数问题．作函数图象如图，可知有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．答案：39．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．解析：根据f (x )的性质及f (x )在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；0<x <10时，|lg x |<1；x >10时|lg x |>1. 结合图象知y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象交点共有10个．答案：10 三、解答题10．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．求g (x )的解析式．解析：设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.11．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解析：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3.当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为：(－∞，－1)，(1，＋∞)．函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．12．(能力提升)已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解析：由x 2－log a x ＜0，得x 2＜log a x . 设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得116≤a ＜1.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. [因材施教·学生备选练习]1．(2013年北京东城模拟)规定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，b <a ，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：画出函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象，如图中的粗体线所示．显然(0,0)和(－t,0)关于直线x ＝－12对称，故有0＋－t 2＝－12，所以t ＝1.答案：D2．(2013年西安模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )－log 3 |x |＝0的根的个数是( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3 |x |的图象如图所示，由图示可得，函数y ＝f (x )－log 3 |x |的零点有4个，故应选B.答案：B3．已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD .若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )解析：由平面ABC ⊥平面ACD ，且O 为AC 的中点可知BO ⊥平面ACD ，易知BO ＝2，故三棱锥N AMC 的高为ON ＝2－x ，△AMC 的面积为12·MC ·AC ·sin 45°＝2x ，故三棱锥N AMC 的体积为y ＝f (x )＝13·(2－x )·2x ＝13(－2x 2＋22x )(0<x <2)，函数f (x )的图象为开口向下的抛物线的一部分，故选B.答案：B。

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练 2-10 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-10[命题报告·教师用书独具]1．(2013年某某模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析：设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3St 1＋t 2＋t 3＝3SSv 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案：D2．(2013年某某调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案：A3．(2013年某某模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：设CD ＝x m ，则AD ＝(16－x )m ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧16－x >a ，x >4，解得4<x <16－a ，矩形花圃的面积S ＝x (16－x )，其最大值f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， 0<a <8，－a 2＋16a ，8≤a <12，故其图象为C.答案：C4．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面 3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A5．某学校制定奖励条例，对在教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元解析：∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)．又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D. 答案：D 二、填空题6．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8 100×827＝2 400元．答案：2 400元7．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为______________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当0<x ≤20时y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100. 当x >20时y ＝260－100－x ＝160－x .所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，即x ＝16时y max ＝156，而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时年利润最大．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ， x >0，x ∈N * 168．(2013年某某模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________.解析：根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10.答案：109．(2013年某某模拟)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在某某省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万X ，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的X 数的积为0.6(万X)2.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为y ＝lg 2x ，则这三种门票分别为________万X 时为失学儿童募捐纯收入最大．解析：函数模型y ＝lg 2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的X 数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③把①代入③得x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6，时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，c ＝0.8.由于y ＝lg 2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万X 时为失学儿童募捐纯收入最大．答案：0.6,1,0.8 三、解答题10．(2013年某某模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 11．(2013年某某一中月考)某分公司经销某品牌产品，每件产品成本3元，且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )．解析：(1)根据题意可知，L (x )＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]．(2)由(1)知，L ′(x )＝(12－x )(18＋2a －3x )，令L ′(x )＝0，解得x ＝6＋2a3或x ＝12(舍去)，∵3≤a ≤5，∴8≤6＋2a 3≤283.①当8≤6＋2a 3<9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝9(6－a )，②当9≤6＋2a 3≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3＝4(3－a 3)3.∴Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧96－a ，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33，92≤a ≤5.∴若3≤a <92，则每件产品的售价为9元时，L 最大，最大值为9(6－a )万元；若92≤a ≤5，则每件产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3元时，L 最大，最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33万元．12．(能力提升)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解析：(1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a， t ≥1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916(小时)．[因材施教·学生备选练习]2012年7月27日第三十届奥林匹克运动会在伦敦举行．某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解析：(1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋40020－x ]x －7，0<x ≤20，[2 000－100x －20]x －7，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40025－x x －7，0<x ≤20，10040－xx －7，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－x －162＋81]，0<x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.当0<x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)．当20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．。

《优化探究》高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的是()A.a＝bb＝aB.c＝bb＝aa＝cC.b＝aa＝bD.a＝cc＝bb＝a解析：由赋值语句可知B正确．答案：B2．(2013年金华模拟)执行下面的程序框图，输出的S＝()A．25 B．9C．17 D．20解析：由结构框图中循环体执行了2次输出的结果为17.答案：C3．运行如图所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函数是() A．f(x)＝x2B．f(x)＝cos 2xC．f(x)＝e x D．f(x)＝sin πx解析：只有f(x)＝sin πx满足f(x)＝0有解，且f(x)＝f(x＋2)成立，所以可以输出的函数只有f(x)＝sin πx.答案：D4．(2013年合肥模拟)如图所示，程序框图输出的n为()A．10 B．11C．12 D．13解析：由框图可知，该程序为求数列a n＝12n－13的前n项和大于零的n的最小值，由a n的形式可知：S12＝0，a13>0，S13>0，所以选D.答案：D5．(2013年临沂检测)执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是()A．k>7? B．k>6?C．k>5? D．k>4?解析：第一次循环：k＝1＋1＝2，S＝2×0＋2＝2；第二次循环：k＝2＋1＝3，S＝2×2＋3＝7；第三次循环：k＝3＋1＝4，S＝2×7＋4＝18；第四次循环：k＝4＋1＝5，S＝2×18＋5＝41；第五次循环：k＝5＋1＝6，S＝2×41＋6＝88，满足条件则输出S的值，而此时k＝6，故判断框内应填入的条件应是“k>5？”．答案：C二、填空题6．根据下图所示的程序，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．READ a，bIF a>b THENm＝aELSEm＝bEND IFPRINT m解析：∵a ＝2，b ＝3，∴ab ，∴输出a ＋1b ＝3＋12＝2.答案：28．(2012年高考福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________．解析：逐次循环可得s 的值，注意循环结束的条件．第一次循环：s ＝1，k ＝1<4，s ＝2×1－1＝1，k ＝1＋1＝2；第二次循环：k ＝2<4，s ＝2×1－2＝0，k ＝2＋1＝3；第三次循环：k＝3<4，s＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；当k＝4时，k<4不成立，循环结束，此时s＝－3.答案：－39．(2013年郑州模拟)阅读如图所示的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝________，i＝________.解析：要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i＝3.答案：12 3三、解答题10．已知函数f(x)＝3x－1x<0，2－5x x≥0，写出求该函数的函数值的算法并画出程序框图．解析：算法如下：第一步，输入x.第二步，如果x<0，那么使f(x)＝3x－1.否则f(x)＝2－5x.第三步，输出函数值f(x)．程序框图如下：11．用循环语句来书写1＋22＋32＋…＋n2>100的最小自然数n的算法，画出算法程序框图，并写出相应的程序．解析：算法如下：第一步，S＝0.第二步，n＝1.第三步，S＝S＋n2.第四步，如果S≤100，使n＝n＋1，并返回第三步，否则输出n－1.相应的程序框图如图所示．相应的程序：12．(能力提升)甲、乙两位同学为解决数列求和问题，试图编写一程序．两人各自编写的程序框图分别如图1和如图2.(1)根据图1和图2，试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致？当n＝20时分别求它们输出的结果；(2)若希望通过对图2虚框中某一步(或几步)的修改来实现“求首项为2，公比为3的等比数列的前n项和”，请你给出修改后虚框部分的程序框图．解析：(1)图1中程序的功能是求2＋4＋6＋8＋…＋2n的和，当n＝20时，S ＝2＋4＋6＋…＋40＝420.图2中程序的功能是求2＋4＋6＋…＋2n的和，当n＝20时，S＝2＋4＋6＋…＋40＝420.所以甲、乙两位同学编写的程序输出的结果是一致的．(2)修改后部分程序框图为[因材施教·学生备选练习]1．(2013年济南模拟)如下边程序框图所示，已知集合A＝{x|框图中输出的x值}，集合B＝{y|框图中输出的y值}，全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时(?U A)∩B ＝()A．{－3，－1,5}B．{－3，－1,5,7}C．{－3，－1,7}D．{－3，－1,7,9}解析：据程序框图可得A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，故(?U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．答案：D2．根据下面的程序框图，要使得输出的结果在区间[－1,0]上，则输入的x的取值范围是________．解析：由程序框图可得输出值y＝x2，x<0，4－2x，x≥0，若y∈[－1,0]，则－1≤x2≤0，x<0，或－1≤4－2x≤0，x≥0，解得2≤x≤5 2 .答案：2，5 2高考试题库w。

高考数学总复习提素能高效题组训练 103 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：10-3[命题报告·教师用书独具]1．(2013年淄博模拟)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.14 B.13 C.427D.415解析：正方形的面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2时，边长AM ＝9， ∴P ＝9－612＝312＝14.答案：A2．在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.答案：B3．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.45 B.15 C.13D.12解析：依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15.答案：B4．如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为( )A.15 B.14 C.13D.12解析：在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧CMD 上时，MN >2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12.答案：D5．(2013年临沂模拟)若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.答案：B 二、填空题6．(2013年北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16. 答案：167．(2013年北京海淀模拟)在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________．解析：根据几何概型得所求的概率为P ＝π20021 0002＝π25. 答案：π258．(2013年泉州模拟)如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．解析：弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，设事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 答案：1－329．在体积为V 的三棱锥S ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S APC 的体积大于V3的概率是________．解析：由题意可知V S APC V S ABC >13，三棱锥S ABC 的高与三棱锥S APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S APC V S ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝APAB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．答案：23三、解答题10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解析：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，y|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1.B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，y⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y .则P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13.11．(2013年晋中模拟)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解析：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0<x <6，0<y <6，0<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <6，0<y <6，0<x ＋y <6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >6－x －y ，x ＋6－x －y >y ，y ＋6－x －y >x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3，y <3，x <3.所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14. 12．(能力提升)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解析：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y|⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( )A.12B.23C.34D.14解析：要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0. ∴a ，b ∈[0,1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.答案：C2．已知P 是△ABC 内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机投入△ABC 内，则该粒黄豆落在△PAC 内的概率是________．解析：因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →.设PB →＋PC →＝PD →，则PD →＝－2PA →，由共线向量定理知P ，D ，A 三点共线．设PD → 所在的直线与BC →所在的直线相交于点E ，则AE 为△ABC 的边BC 上的中线，且P 是中线AE 的中点，所以S △PBC ＝12S △ABC ，S △PAC ＝S △PEC ＝12S △PBC ＝14S △ABC ，从而该粒黄豆落在△PAC 内的概率为14.答案：14。

高考数学总复习提素能高效题组训练 24 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-4[命题报告·教师用书独具]1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确．答案：D2．(2013年郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x <0，则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＋f (x )＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x <0时，－x >0，f (－x )＋f (x )＝(1－2x )＋(2x －1)＝0；易知f (0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )是奇函数．当x >0时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )单调递增，选C.答案：C3．(2013年长沙模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝( )A ．1＋log 23B ．－1＋log 23C ．－1D ．1解析：∵f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (－2 011)＝f (2 011)．当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的函数．又2 011＝4×502＋3，2 012＝4×503，∴f (2 011)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，∴f (－2 011)＋f (2 012)＝－1，选C.答案：C4．(2013年杭州模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：A5．(2013年潍坊质检)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件： ①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，－x 2－4x x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：不妨设函数y ＝log 2x 的图象上的点P (x ，log 2x )，x >0，则其关于坐标原点对称的点的坐标为(－x ，－log 2x )，如果该点在函数y ＝－x 2－4x 的图象上，则－log 2x ＝－x 2＋4x ，问题等价于求这个方程的实数解的个数，不难知道这个方程有两个实数解，故选C.答案：C 二、填空题6．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f x ，x <0是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3. ∴g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋37．(2013年济南模拟)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝________.解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：38．(2013年宁波模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．解析：依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x )在R 上是单调函数，则f (x )是R 上的单调增函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.答案：－19．(2013年潍坊模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案：①②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解析：当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．(能力提升)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值．解析：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年大同模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，给出如下命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为( ) A ．①② B ．②④ C ．①②③D ．①②④解析：依题意可得f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (3)＝f (－3)＝0，①正确；由①知f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是以6为周期的周期函数，则f (x －6)＝f (x ＋6)．又f (x )＝f (－x )，因此有f (x －6)＝f (－6－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，②正确；依题意知，函数f (x )在[0,3]上是增函数，则函数f (x )在[－3,0]上是减函数，又函数f (x )是以6为周期的周期函数，因此函数y ＝f (x )在[－9，－6]上是减函数，③不正确；结合函数y ＝f (x )的图象可知f (－9)＝f (9)＝f (3)＝f (－3)＝0，故函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案：D2．(2013年哈师大附中月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2<1，由此解得a >8，即a 的取值范围是(8，＋∞)，选D.答案：D3．(2012年高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：将函数化简，利用函数的奇偶性求解．f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 答案：2。

【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练 4-1-1 文新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难平行线分线段成比例定理的应用2、57相似三角形的判定及性质的应用1、3、4、69、10、1112 射影定理的应用81．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD为( ) A．3 B．4C．5 D．6解析：∵∠BAC＝∠ADC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD，∴CD＝AC2BC＝8216＝4.故选B.答案：B2．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，则BF∶FD等于( )A．2∶5 B．3∶5C．2∶3 D．5∶7解析：∵AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，∴BE∶AD＝2∶5.∵AD∥BC，∴BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5.答案：A3．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，则S△CDE等于( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD .∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，得S △CDE ＝ 3. 答案：C4．如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，要使△ABC ∽△CDB ，那么BD 与a ，b 应满足( )A ．BD ＝b 2aB ．BD ＝b a 2C ．BD ＝a 2bD ．BD ＝a b2解析：∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， ∴当AC BC ＝BCBD 时，△ABC ∽△CDB ，即当a b ＝b BD时，△ABC ∽△CDB ，∴BD ＝b 2a.答案：A5．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG AD＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝AF AC，又∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝CF AC， ∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝ACAC＝1. 答案：A 二、填空题6．两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355.答案：3557．(2013年惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35， ∵DE ＝6， ∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ，所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4. 答案：48．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________.解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：139．△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则这个正方形的边长为________cm.解析：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为x cm.∵PN ∥BC ， ∴△APN ∽△ABC . ∴AE AD ＝PN BC ，∴8－x 8＝x 12. 解得x ＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm. 答案：4.8 三、解答题10．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .11．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF . 又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ， ∴△DBF ∽△ADF .∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DB AD. ∴AB AC ＝DF AF.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解析：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，所以S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ，又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEFS 四边形DEFC＝114.。

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《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-12[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案：B2．(2012年高考陕西卷)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：利用导数法求解．∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x.由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． ∴x ＝2为f (x )的极小值点．答案：D3．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a f (b )>f (a )，选C.答案：C4．若f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋b x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x (x ∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．正确选项为C.答案：C5．已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln|x | B ．f (x )＝x 2－ln|x | C ．f (x )＝|x |－2ln|x | D ．f (x )＝|x |－ln|x |解析：经分析知，函数正的极小值点的横坐标应小于1，对四个选项求导可知选B 项．答案：B二、填空题6．(2013年扬州检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由f ′(x )≥0，得m ≥－3x 2－2x ，令g (x )＝－3x 2－2x ，则g (x )＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13≤13.∴m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 7．(2013年济宁模拟)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b .当b ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )无极值．当b >0时，令3x 2－6b ＝0得x ＝±2b .由函数f (x )在(0,1)内有极小值，可得0<2b <1， ∴00，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或者t <3<t ＋1，得0<t <1或者2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3) 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－23处都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题易知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，f ′1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23和(1,2]． 11．(2013年兰州调研)已知实数a >0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32. (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求实数a 的值．解析：(1)f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ，f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a .令f ′(x )＝0，得3ax 2－8ax ＋4a ＝0. ∵a ≠0，∴3x 2－8x ＋4＝0，∴x ＝23或x ＝2.∵a >0，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23和(2，＋∞)；∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)∵当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝23时取得极大值，即a ·23⎝ ⎛⎭⎪⎫23－22＝32.∴a ＝27.12．(能力提升)已知函数f (x )＝1x＋a ln(x ＋1)．(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间和极值；(2)若f (x )在[2,4]上为单调函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)由x ≠0且x ＋1>0得函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝－1x 2＋2x ＋1＝2x 2－x －1x 2x ＋1＝x －12x ＋1x 2x ＋1，由f ′(x )>0得－1<x <－12或x >1，由f ′(x )<0得－12<x <0或0<x <1，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12和(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和(0,1)． f (x )和f ′(x )随x 的变化情况如下表：由表知f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＝－2－2ln 2，极小值为f (1)＝1＋2ln 2.(2)f ′(x )＝ax 2－x －1x 2x ＋1，若f (x )在区间[2,4]上为增函数，则当x ∈[2,4]时，f ′(x )≥0恒成立，即ax 2－x －1x 2x ＋1≥0，则a ≥x ＋1x 2，当x ∈[2,4]时，x ＋1x 2＝1x ＋1x 2≤34，所以a ≥34.若f (x )在区间[2,4]上为减函数，则当x ∈[2,4]时，f ′(x )≤0恒成立，即ax 2－x －1x 2x ＋1≤0，则a ≤x ＋1x 2，当x ∈[2,4]时，x ＋1x 2＝1x ＋1x 2≥516，所以a ≤516. 综上得a ≥34或a ≤516.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年长春模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，且满足x 1∈(－1,1)，x 2∈(2,4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－11,3)D ．(－16，－8)解析：依题意得，f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝－12＋a －1＋b ＝1－a ＋b >0，f ′1＝12＋a ＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′2＝22＋2a ＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′4＝42＋4a ＋b ＝16＋4a ＋b >0，如图，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，经验证得：当a ＝－5，b ＝4时，z ＝a ＋2b 取得最大值3；当a ＝－3，b ＝－4时，z ＝a ＋2b 取得最小值－11.于是z ＝a ＋2b 的取值范围是(－11,3)，故选C.答案：C2．(2013年太原模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．解析：(1)由题知f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，所以ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a.从而易知，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)由题知，原问题可转化为当f (x )max <g (x )max 时，a 的取值范围问题．易知g (x )max ＝2.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，则有f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 3.。

【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-12 文 新人教A版

2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-13

《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：3-7

高考数学总复习 提素能高效题组训练 211 文 新人教A版

2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-1

【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 1-3 文 新人教A版

高考数学总复习 提素能高效题组训练 442 文 新人教a版