ADAMS动力学仿真算法及参数设置分析

文章编号:100628244(2005)03227204ADAMS动力学仿真算法及参数设置分析The Analysis on Adams Dynamic Simulation Algorithm andP arameters Selection(上海交通大学机械与动力工程学院赫雄)(He X ion g,S chool of Mechanical En gi neeri n g,S J TU)[摘要]首先,介绍了ADAMS中的机械系统动力学方程;其次,分析了ADAMS中GISTIFF刚性积分算法;然后,对ADAMS动力学仿真参数的设置进行了总结;最后,指出了本文的意义和进一步研究的方向。

[Abstract]Firstly,give an introduction mechanical dynamics equations;Secondly,give an analysis on AD2 AMS stiff integrator algorithm2GISTIFF;Thirdly,give a summary on ADAMS dynamic simulation parame2 ters selection.Finally,point out the meaning of t his article and t he way to furt her st udy. 关键词:ADAMS算法 Key words:ADAMS algorit hm 中图分类号:TP391.9 文献标识码:A1　ADAMS的机械系统动力学方程机械系统可以由非自由质点系表示。

将描述非自由质点系的动力学普遍方程用广义坐标表示就可以得到所谓的拉格朗日方程。

在拉格朗日方程的基础上用拉格郎日乘子法处理带多余自由度的完整约束方程(位置约束)和非完整约束方程(运动约束)就可以得到一般机械系统的运动微分方程[1]。

ADAMS用刚体j的直角坐标和欧拉角作为广义坐标q j=[x,y,z,Ψ,θ,φ]T j,对于有n个刚体的系统q=[q T1,q T2,…,q T n]T,则机械系统的运动微分方程如式(1)所示[2]。

式(1)是二阶代数微分方程组。

d dt 5T5q・T-5T5qT+ρφT q+μθT q=Q(1)其中:T系统动能;q系统广义坐标列阵;Q广义力列阵;ρ完整约束的拉氏乘子列阵;μ非完整约束的拉氏乘子列阵;φ(q,t)=0完整约束方程;θ(q,q・,t) =0非完整约束方程令u-q=0把式(1)降阶为一阶代数微分方程组并改写成一般的形式:F(q,u, u,λ,t)=0Φ(q,t)=0G(u,q・)=u- q=0(2)其中:λ约束反力及作用力列阵;Φ描述约束的代数方程列阵;F系统动力学微分方程及用户定义的微分方程定义系统的状态向量y=[q T,u T,λT]T,则式(2)可改写为更简单的形式:g(y,y・,t)=0(3) 2　GISTIFF刚性积分算法GSTIFF积分器(IN TEGRA TOR)是ADAMS 默认的积分器,它的主要求解步骤是:预测、迭代校正、积分误差分析、对积分步长和积分多项式阶的优化。

(1)预测:GSTIFF积分器分别采用泰勒级数和所谓的隐含向后差分的Gear积分多项式在t n时刻对t n+1时刻的状态向量y n+1和y・n+1进行预测。

式(5)称为隐含向后差分的Gear积分多项式,它是由最高阶为6的牛顿后插多项式推导得到的[3,4]。

y n+1=y n+5y n5t h+12!52y n5t2h2+ (4)y・n+1=1hβ0y n+1-∑ki=1αi y n-i+1(5)其中:h时间步长h=t n+1-t n;y n+1,y・n+1为y(t), y・(t)在t=t n+1时的近似值;β0,αi为Gear积分程序的系数值(2)迭代校正:将状态向量y n+1、y・n+1值代入系统方程(3)中。

则一阶微分方程组转变为非线性代数方程组。

若g(y n+1,y・n+1,t n+1)=0则状态向量y n+1的值就是t n+1时刻的状态;若g(y n+1,y・n+1, t n+1)≠0,则进行下一步:用修正的牛顿(Newton2 Rap hson)迭代法进行校正,以求出满足系统方程(3)的状态。

—72—第19卷第3期2005年9月传 动 技 术DRIV E SYSTEM TECHN IQU EVol.19　No.3September2005将式(2)在t =t n +1展开,得:F (q n+1,u n+1, u n+1,λn+1,t n+1)=0G (u n+1, q n+1)=u n+1--1h β0[q n+1-∑k i =1αiq n-i+1]=0Φ(q n+1,t n+1)=0(6) 迭代校正公式为式(7):F k +5F 5q Δq k +5F 5u Δu k +5F 5 u Δ u k +5F 5λΔλk =0G k +5G 5q Δq k +5G5u Δu k =0Φk +5Φ5qΔq k =0(7)其中:k 表示第k 次迭代;Δq k =q k+1-q k ;Δu k =u k+1-u k ;Δλk =λk+1-λk(8)由式(5)知:Δ u k =-(1/h β0)Δu k(9)由式(6)知:5G /5q =(1/h β0)I 5G /5u =I(10) 将式(9)(10)代入(7):5F 5q5F 5q -1h β05F 5u ・5Φ5q T 1h β0I I05Φ5qkΔq Δu Δλk =-F-G -Φk(11)其中:方程左边的系数为系统的J acobi 矩阵;5F/5q 系统刚度矩阵;5F/5u 系统阻尼矩阵;5F/5 u 系统质量矩阵式(11)表明,求解非线性代数方程组的问题已转化为求解线性方程组的问题。

通过分解系统J acobi 矩阵,可算出q k +1,u k +1,λk +1, q k +1, u k +1,λ・k +1,重复迭代校正步骤,直到状态向量满足收敛条件,使系统方程g (y n +1, y n +1,t n +1)=0近似成立。

(3)检查积分误差并优化积分步长和多项式阶对状态向量的预测值和校正值进行比较,若其差小于规定的积分误差限,则接受该解,否则拒绝该解。

无论是否接受该解都要进行积分步长和积分多项式阶的优化。

GISTIFF 积分器优化的原则是:尽量不变阶,若要变阶则优先降阶,这样可以避免频繁的变阶计算,使计算效率较高。

重复进行先前的预估、校正、检查积分误差、优化积分步长和多项式阶的过程,直到求解时间达到规定的时间。

3　ADAMS 动力学仿真的参数设置通过对ADAMS 动力学仿真算法的分析可以得到图1。

1.机械系统动力学方程的秩式(1)～(3)是代数微分方程组而不是常微分方程组[5],即方程中的导数项不能化为显式的形式(常微分方程)。

由式(11)可以看出,当步长很小时,J a 2cobi 阵将出现很大的项,这在数学上称为病态。

病态的J acobi 阵将使求解线性方程组时产生严重的舍入误差,这是由代数微分方程自身的特点决定的。

式(1)可以转化为式(12a )的形式,在数学上称这样的方程为指数3(index -3)公式[5]。

所谓指数是指:将代数微分方程转化为常微分方程所需要的微分的次数。

(a )M u +φTqλ-A T F =0u - q =0φ(q ,t )=0(b )M u +φTq λ-A T F =0u - q +φTq μ=0φ・(q,u ,t )=0φ(q,t )=0(c )M u +φT q η・-A TF =0u - q +φT qζ・=0φ・(q,u ,t )=0φ(q,t )=0(12)其中:η・=λ,ζ・=μ 解决指数3公式计算问题的方法是所谓的指数下降法(Index reduction methods ):将高指数的方程化为低指数的形式。

ADAMS12.0提供了三种系统公式:I3就是前面分析所用的公式,它是系统默认的公式。

SI2(Stabilized 2Index 2)是所谓的指数2公式,公式的形式如式(12b )所示。

SI1(Stabilized 2In 2dex1)是所谓的指数1公式,公式的形式如式(12c )所示。

SI2公式(12b )不但可以避免J acobi 矩阵的病态,而且状态方程中出现了约束方程的导数项,所以在求解中可以对系统状态的速度误差进行控制,求解更为精确。

SI1公式也有类似的结论,但它计算量太大,一般不采用。

2.刚性微分方程的求解所谓刚性是指系统各分量之间变化速度相差很大,例如各部件由于质量差别大而导致的运动变化在速度上的差别。

求解这样的系统时如果积分步长总是用与变化快的分量所对应的小步长求解的话,会导致计算量过于庞大而使问题不可解。

所以,当变化快的分量衰减后希望能够使用较大的步长来求解系统方程。

机械系统一般都具有刚性。

—82—图1　ADAMS刚性算法流程和参数设置Fig.1　ADAMS stiff integrator algorithm and parameters selection 微分方程数值解法的基本思想是:将微分方程转化为差分方程来求解,式(5)就是差分多项式。

所谓差分方程的稳定性是指:差分方程在求解过程中的舍人误差,在计算过程中是否会累积。

对稳定性的研究表明,传统的数值积分方法(包括尤拉公式、亚当姆斯公式,和龙格2库塔公式等)稳定性对步长的限制很苛刻,即不能使用很大的步长。

这样这类公式就不适合求解刚性系统。

Gear 证明了在一定条件下,积分多项式最高阶数为6的隐含向后差分的数值积分公式,如式(5)所示,在一定条件下可以取很大的步长而保证计算的稳定性,其中1阶和2阶公式在任意条件下都可以取任意长的步长[4]。

式(5)又称为Gear 积分公式,它可以通过改变步长的方法同时保证刚性系统的可解性和稳定性。

ADAMS 采用了三大类共五种积分器:(1)使用向后差分方法的GSTIFF 、WSTIFF 和Constant BDF ;(2)使用单步法的R KF45(龙格2库塔方法);(3)使用坐标分离算法的ABAM (亚当姆斯方法)。

其中,前三种积分器适用于刚性系统,后两种积分器适只用于非刚性系统。

WISTIFF 积分器采用的Gear 积分系数,如式(5)中的β0,αi ,不是固定值而是步长的函数,这样在预测动态很强的情况时,预测值更精确。

Constant 2BDF 对积分步长和积分多项式的阶优化的原则是:尽量使用规定的最大步长,对积分误差的控制主要通过改变多项式的阶数的方法。

这与GISTIFF 积分器采用的原则是不一样的。

步长的固定也有利于积分精度的提高。

3.ADAMS 动力学参数的设置(1)数字积分器(Integrator ):如前所述,AD 2AMS 提供了五种积分器:GSTIFF 、WSTIFF 、Con 2stant BDF 、ABAM 和R KF45。