福建省南平一中2018年第二批次自主招生(实验班)考试数学试卷
2018届福建省南平市高三第二次(5月)综合质量检查数学理试题(word版)含答案
2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位,复数()2i z a =-,a ∈R ,若复数z 是纯虚数,则z =( )A .1B .2 D .4 2.若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A . C .- D3.命题:,sin cos p x x x ∀∈+≥R :0,e 1xq x -∃<<,真命题的是( )A .p q ∧B .()p q ⌝∨C .()p q ∧⌝D .()()p q ⌝∧⌝4.如图,半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆,其圆心分别为,,,A B C D ,这四个小圆都与圆O 内切,且相邻两小圆外切,则在圆O 内任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为( )A .12-.6-.9-.3-5.过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线,交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点,若O 为坐标原点,则AOB ∆的面积为( ) A .4 B .3 C .2 D .16.5112x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为( )A .20B .-20C .40D .-407.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.现有一块底面两直角边长为3和4,侧棱长为12的“堑堵”形石材,将之切削、打磨,加工成若干个相同的石球,并让石球的体积最大,则所剩余的石料体积为( ) A .7216π- B .7212π- C .728π- D .726π- 8.已知函数()()()cos 30f x x ϕϕπ=+<<,将()f x 的图象向右平移6π个单位后所得图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称,将()f x 的图象向左平移()0θθ>个单位后所得图象关于y 轴对称,则θ的值不可能是( )A .4πB .512π C .712π D .1112π9.在ABC ∆中,若8BC =,BC 边上中线长为3,则AB AC ⋅=uu u r uu u r( )A .-7B .7C .-28D .28 10.执行如图所示的程序框图,输出s 的值为( )A .-1008B .-1010C .1009D .100711.已知顶点在同一球面O 上的某三棱锥三视图中的正视图,俯视图如图所示.若球O 的体积为,则图中的a 的值是( )A .. D .12.若函数()sin e xxg x mx =+在区间()0,2π有一个极大值和一个极小值,则实数m 的取值范围是( ) A .22e ,e ππ--⎛⎫- ⎪⎝⎭ B .()2e ,e ππ--- C .52e ,e ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭D .()3e ,e ππ-- 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若实数,x y 满足,22,0,x y x y y ≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,且()0,0z mx ny m n =+>>的最大值为4,则11m n +的最小值为 .14.已知实数,x y 满足2sin 1x y -=,则sin y x -的取值范围是 .15.直线l 与椭圆22:142x y Γ+=相交于,P Q 两点,若OP OQ ⊥(O 为坐标原点),则以O 点为圆心且与直线l 相切的圆方程为 .16.在ABC ∆中,若222sin 3sin 3sin sin sin C A B A B C =+-,则角C = .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知0n a >,11a =()2,n a n n =≥∈*N .(Ⅰ)求证:是等差数列;(Ⅱ)设12n n n b a -=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 某地区某农产品近五年的产量统计如下表:(Ⅰ)根据表中数据,建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+,并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量;(Ⅱ)若近五年该农产品每千克的价格V (单位:元)与年产量y (单位:万吨)满足的函数关系式为3.780.3V y =-,且每年该农产品都能售完.求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值,附:对于一组数据(),,1,2,,i i t y i n =L ,其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式:()()()121ˆniii ni i t t y y bt t==--=-∑∑,ˆˆay b t =-⋅. 19. 如图,在四棱锥S ABCD -中,侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ,CD SD =,点M 是SA 的中点,AD BC ∥,90ABC ∠=︒,12AB AD BC ==. (Ⅰ)求证:平面MBD ⊥平面SCD ;(Ⅱ)若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60°,求二面角B MD C --余弦值.20. 过点()1,2D 任作一直线交抛物线24x y =于,A B 两点,过,A B 两点分别作抛物线的切线12,l l . (Ⅰ)记12,l l 的交点M 的轨迹为Γ,求Γ的方程;(Ⅱ)设Γ与直线AB 交于点E (异于点,A B ),且1EA AD λ=uu r uuu r ,2EB BD λ=uu r uu u r.问12λλ+是否为定值?若为定值,请求出定值.若不为定值,请说明理由. 21. 己知函数()()1ln 2f x x m m x ⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 的最小值为-1,m ∈*N ,数列{}n b 满足11b =,()()13n n b f b n +=+∈*N ,记[][][]12n n S b b b =+++L ,[]t 表示不超过t 的最大整数.证明:11112ni i i S S =+<∑. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的方程为2212x y +=,曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数),曲线3C 的方程为tan y x α=,(0,02x πα<<>),曲线3C 与曲线12C C 、分别交于,P Q 两点.(Ⅰ)求曲线12C C 、的极坐标方程; (Ⅱ)求22OP OQ ⋅的取值范围. 23.选修4-5:不等式选讲已知函数()32f x x a x =--+,()0a >. (Ⅰ)当1a =时,解不等式()1f x x >-;(Ⅱ)若关于x 的不等式()4f x >有解,求a 的取值范围.2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学试题 参考答案及评分标准一、选择题1-5:CDCAD 6-10:CCBAC 11、12:BA二、填空题13.2 14.5,14⎡-+⎢⎣ 15.2243x y += 16.23π三、解答题17.(Ⅰ)证:当2n ≥时,1n n n a S S -=-,1n n S S --,=,因为0n a >0≠,()12,n n =≥∈*N ,故是等差数列;(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知是以1为首项,1为公差的等差数列,()111n n=+-⋅=从而2nS n=,当2,n n≥∈*N时,121na n n n==+-=-,又11a=适合上式,所以21na n=-.所以()112212n nn nb a n--=⋅=-⋅012123252nT=⨯+⨯+⨯+L()()21232212n nn n---⨯+-⨯①1232123252nT=⨯+⨯+⨯+L()()1232212n nn n--⨯+-⨯②()123122222222nnT-=-⨯+⨯+⨯++⨯L()2121nn+-⨯-()()232222121n nn=-++++-⨯-=L()()1412212112nnn---+-⨯--1124221n n nn++=-++⋅--=12323n nn+⋅-⋅+18.解:(Ⅰ)由题意可知:1234535t++++==,5.6 5.766.2 6.565y++++==,()()()()()()5120.410.3i iit t y y=--=-⨯-+-⨯-∑010.220.5 2.3++⨯+⨯=()()()25222212101210iit t=-=-+-+++=∑()()()1212.3ˆ0.2310ni iiniit t y ybt t==--===-∑∑,ˆˆ60.233 5.31a b=-⋅=-⨯=,∴y关于t的线性回归方程为ˆ0.23 5.31y t=+;当6t=时,ˆ0.236 5.31 6.69y=⨯+=,即2018年该农产品的产量为6.69万吨(Ⅱ)当年产量为y时,年销售额()33.780.310S y y=-⋅⨯()230012.6y y=-(万元),因为二次函数图像的对称轴为 6.3y=,又因为{}5.6,5.7,6,6.2,6.5y∈,所以当 6.2y =时,即2016年销售额最大,于是4t =.19.(Ⅰ)证明:取BC 中点E ,连接DE ,设AB AD a ==,2BC a =,依题意得,四边形ABED 为正方形,且有BE DE CE a ===,BD CD ==, 所以222BD CD BC +=,所以BD CD ⊥,又平面SCD ⊥底面ABCD ,平面SCD I 底面ABCD CD =,BD ⊂底面ABCD , 所以BD ⊥平面SCD .又BD ⊂平面MBD ,所以平面MBD ⊥平面SCD(Ⅱ)过点S 作CD 的垂线,交CD 延长线于点H ,连接AH ,因为平面SCD ⊥底面ABCD ,平面SCD I 底面ABCD CD =,SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ,所以SH ⊥底面ABCD ,故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影, SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角,即60SDH ∠=︒由(Ⅰ)得,SD =,所以在Rt SHD ∆中,SD =,2DH =,2SH a =,在ADH ∆中,45ADH ∠=︒,AD a =,2DH a =,由余弦定理得2AH a =, 所以222AH DH AD +=,从而90AHD ∠=︒, 过点D 作DF SH ∥,所以DF ⊥底面ABCD ,所以,,DB DC DF 两两垂直,如图,以点D 为坐标原点,DB uu u r 为x 轴正方向,DC u u u r 为y 轴正方向,DF uuu r为z 轴正方向建立空间直角坐标系,则),0,0B,(),0C ,0,2S a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,,0A ⎫⎪⎪⎝⎭,,M ⎫⎪⎪⎝⎭, 设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu u r得00x y z =-+= 取1z =得n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ,设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=u r00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu u r得0042x y z '='''-+=⎩, 取1z '=得,()m =u r,所以cos ,n mn m n m⋅===⋅r u rr u r r u r 故所求的二面角B MD C --的余弦值为7. 20.解(Ⅰ)设切点()11,A x y ,()22,B x y ,12,l l 交点(),M x y '' 由题意得切线AM 的方程为()112x x y y =+, 切线BM 的方程为()222x x y y =+, 又因为点(),M x y ''分别在直线,AM BM 上, 所以()112x x y y ''=+,()222x x y y ''=+则直线AB 的方程为()2x x y y ''=+,又因为点()1,2D 在直线AB 上, 所以()22x y ''=+,即切线交点M 的轨迹Γ的方程是240x y --=.(Ⅱ)设点()00,E x y ,()1010,EA x x y y =--uu r()111,2AD x y =--uuu r ,因为1EA AD λ=uu r uuu r ,所以()()1010111,1,2x x y y x y λ--=--, 因此()10111x x x λ-=-,()10112y y y λ-=-,即01111x x λλ+=+,011121y y λλ+=+,又因为点()11,A x y 在抛物线24x y =上,所以2010*******x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()22100100722440y x y x λλ⇒++-+-=(1)由于点()00,E x y 在直线上,所以00240x y --=,把此式代入(1)式并化简得:22100740y x λ+-=(2),同理由条件2EB BD λ=uu r uu u r 可得:22200740y x λ+-=(3),由(2),(3)得12,λλ是关于λ的方程2200740y x λ+-=的两根,由韦达定理得120λλ+=.即12λλ+为定值.21.解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()0,+∞.()221m x mf x x x x-'=-= 1、当0m ≤时,()0f x '>,即()f x 在()0,+∞上为增函数;2、当0m >时,令()0f x '>得x m >,即()f x 在(),m +∞上为增函数; 同理可得()f x 在()0,m 上为减函数.()f x 有最小值为-1()f x 的最小值点为x m =,即()1f m =-,则ln 121m m +-=-, 令()()ln 22,1g m m m m =-+≥()12g m m'=- 当1m >时,()120g m m'=-<,故()g m 在()1,+∞上是减函数 所以当1m >时()()10g m g <=∵m ∈*N ,∴1m =.(未证明,直接得出不扣分)则11ln 1n n nb b b +=++.由11b =得22b =, 从而33ln 22b =+.∵1ln 212<<,∴323b <<.猜想当3,n n ≥∈*N 时,23n b <<. 下面用数学归纳法证明猜想正确. 1、当3n =时,猜想正确.2、假设()3,n k k k =≥∈*N 时,猜想正确.即3,k k ≥∈*N 时,23k b <<. 当1n k =+时,有11ln 1k k kb b b +=++, 由(Ⅰ)知()1ln 1h x x x =++是()2,3上的增函数, 则()()()23k h h b h <<,即134ln 2ln 323k b ++<<+,由15ln 2,ln 323><得123k b +<<.综合1、2得:对一切3,n n ≥∈*N ,猜想正确. 即3,n n ≥∈*N 时,23n b <<.于是,[][]()11,22n b b n ==≥,则[][][]1221n n S b b b n =+++=-L .故()()111112121nni i i i S S i i ==+==-+∑∑111111123352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭L 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭22.解:(Ⅰ)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 12ρθρθ+=,即2221sin ρθ=+由cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数),消去ϕ,即得曲线2C 直角坐标方程为()2211x y +-=将cos x ρθ=,sin y ρθ=,代入化简, 可得曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=(Ⅱ)曲线3C 的极坐标方程为θα=,0,02πρα⎛⎫><< ⎪⎝⎭由(1)得2221sin OP α=+,224sin OQ α=即22228sin 1sin OP OQ αα=+2811sin α=+ 因为02πα<<,所以0sin 1α<<, 所以()220,4OP OQ ∈23.解:(Ⅰ)当1a =时,即解不等式1321x x x --+>-当1x >时,不等式可化为231x x -->-,即23x <-,与1x >矛盾无解 当213x -≤≤时,不等式可化为411x x -->-, 即0x <,所以解得203x -≤< 当23x <-时,不等式可化为231x x +>-, 即4x >-,所以解得243x -<<- 综上所述,不等式的解集为()4,0-(Ⅱ)()222,3242,322,x a x f x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪--->⎪⎪⎩因为函数()f x 在2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增,在2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23x =-时,()max 23f x a =+ 不等式()4f x >有解等价于()max 243f x a =+>, 故a 的取值范围为10,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭。
2019年南平一中自主招生考试数学学科试卷和答案
2019 年南平一中自主招生考试数学学科试卷和答案南平一中第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷考试时间: 90 分钟满分100分就读学校:姓名:考场号:座位号:一、选择题(本大题共10 小题,每小题 3 分,共 30 分。
每小题只有一个正确答案)1.实数p、q、r在数轴上的位置如图,化简p r p 2p q 2q r 2的值为()A. 2r pB.pC. 3 p2qD. 3 p2r2.已知a为实常数,则下列结论正确的是()A. 关于x的方程a x a 的解是 x1B. 关于x的方程a x a 的解是 x1C. 关于x的方程a x a 的解是 x1D. 关于x的方程a 1 x a 1的解是 x 13.抛物线y ax2bx c (a0) 的对称轴为直线x1,图象如图所示,给出以下结论:①b24ac ;②abc 0;③2a b0 ;④ 9a3b c 0 ;错误的结论的个数为()A. 0B.1C.2D.34.设方程(k1) x22x 1 0 的两根为 x1、 x2122,第3题图,若x1 x2x1x2则满足条件的整数k 的值有()A. 无数个B.2, 1,0C. 1 , 0D. 2 , 05.如图,平行四边形ABCD 中,点 E 在边 AD 上,以 BE 为折痕,将 ABE 向上翻折,点 A 正好落在 CD 上的点 F ,若FDE 的周长为 29,FCB 的周长为51,则FC的长为()A. 9 B.10 C.11 D.126.已知a, b都是实数且1110 ,则b第 5题图的值为()a b a b aA.1 5 或125 B.1 5 或 15 C.15 D.15222227.如图,在Rt ABC 中, AC BC,过 C作CD AB ,垂足为 D ,若AD 3, BC2,则ABC 的内切圆的面积为()A. B. 4 2 3 C. 3 1 D. 28.已知x是正整数,则当函数y1取得最小值时x 的值为()第7题图x290A. 16B.17C.18D.199.观察下列数的规律:1,1, 2, 3 ,5 ,8,,则第9 个数是()A. 21B.22C.33D.3410.如图,在四边形ABCD 中,B135,C120, AB3,AD 16,CD 2 2 ,则BC边的长为()A.2251C.3D.2B.2第 10题图22二、填空题(本大题 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)m2n22mnm n , mn 0的解为11.xx 1x 1 x 1x 112.甲、乙、丙三人在一起做“剪子、布、锤子”游戏,约定每个人在每一个回合中只能随机出“剪子、布、锤子”中的一个,那么在一个回合中三个人都出“锤子”的概率是13.矩形ABCD中,AB 4 , AD 3 ,将该矩形按照如图所示位置放置在直线AP 上,然后不滑动的转动,当它转动一周时(A A1)叫做一次操作,则经过 5 次这样的操作,顶点 A 经过的路线长等于14.在ABC 中, AB AC 5 ,cos B 417 为半径的圆经过B、C 两点,,若以 M 为圆心,5则线段 AM 的长等于三、解答题(本大题 5 小题,共 58 分)15.(本题满分7 分)将下列式子因式分解:( 1)x2x a a2(2)x33x216.(本题满分9 分)1( 1)化简x1;1111x( 2)已知x21,用含 a 的式子表示x.x4x2 1 a1x 2117.(本题满分12 分)x2k x0已知函数 y2 x k x ,其中 k 为实数.x20(1)当k 0时,在所给的网格内做出该函数图象的简图,并利用图象求 x 0时,函数的最大值;( 2)当k变化时,探究函数图象与x 轴的交点个数.18.(本题满分 12 分)如图①,正方形 ABCD 的边长为 7, ADB 的角平分线 DE 交 AB 与点 E .( 1)求BE的值;AE( 2)若 P 在线段 BD 上运动,如图②,当 BP 为何值时, EP AP 的值最小 .第 18 题图①第 18 题图② 第 18 题备用图19.(本题满分 18 分)如图①,抛物线yax 2 c a 0 与 y 轴交于点 A ,与 x 轴交于 B 、C 两点(点 C 在 x 轴正半轴上), ABC 为等腰直角三角形, 且面积为 4. 现将抛物线沿 BA 方向平移,平移后的抛物线过点 C 时,与 x 轴的另一个交点为 E ,其顶点为 F ,对称轴与 x 轴的交点为 H .( 1) 求 a 、 c 的值;( 2) 连接 OF 、CF ,求证 : OFE FCE ;( 3) 在 y 轴上是否存在点P ,当以 PE 为直径的圆交直线 FH 于点 Q 时,以点 P 、 Q 、E 为顶点的三角形与EOP 全等,若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 .第 19 题图① 第 19 题图② 第 19 题备用题2019 年南平一中自主招生考试数学学科试卷和答案南平一中第二批次自主招生(实验班)考试数学学科答案一、选择题(每小题3 分,共 30 分。
2019年南平一中第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案
第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷考试时间:90分钟 满分100分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。
每小题只有一个正确答案)1.21)2(--m m 化简后的结果为( ) A.2-m B.m -2 C.m --2 D.2--m2.式子||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能值的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个3.某班开展课外选修课活动,班级的50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择,每位学生至少选择一门,选择音乐的有21人,选择美术的有28人,选择体育的有16人,既选择音乐又选择美术的有7人,既选择美术又选择体育的有6人,既选择体育又选择音乐的有5人,则三项都参加的人数为( )A. 2B. 3C. 4D. 54.已知二次函数622--=x x y ,当4≤≤x m 时,函数的最大值为2,最小值为7-,则满足条件的m 的取值范围是( )A.1≤mB.12<<-mC.12≤<-mD.12≤≤-m 5.适合13≤--yx yx ,且满足方程13=+y x 的x 的取值范围是( ) A.410<≤x B.4121<≤-x C.410≤≤x D.4121≤≤-x 6.已知B A 、两点在一次函数x y =的图象上,过B A 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线)0(2>=x xy 于N M 、两点,O 为坐标原点。
若AM BN 3=,则229ON OM -的值为( )A. 8B. 16C. 32D. 36 7.在N M BAC ABC Rt 、,中,︒=∠∆90是BC 边上的点,MN CN BM 21==,如果8=AM ,6=AN ,则MN 的长为( )A.104B.102C.1023D.10 8.将正奇数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对),(m n 表示第n 排,从左到右第m 个数,如)2,4(表示奇数15,则表示奇数2017的有序实数对是( )A.)19,44(B.)26,45(C.)19,45(D.)27,45(9.如图,在矩形ABCD 中,过点B 作AC BF ⊥,垂足为F ,设n CF m AF ==,,若CD CF 2=,则mn的值为( ) A.222+ B.123+ C.132+ D.152- 10.已知正整数b a 、满足5350≤+≤b a ,8.079.0<<ba,则a b -等于( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7二、填空题(本大题4小题,每小题3分,共12分)11.函数3172--+--=x x x y 的最大值为 .12.如图,在平行四边形ABCD 中,4===BD BC AB ,N M 、分别是CD AD 、上的动点(含端点),︒=∠60MBN ,则线段MN 的长的取值范围是 .13.毕业季将至,宿舍的四位同学每人写了一张明信片放进纸盒,准备毕业时每个人随机抽取一张,则每个人都拿到的是别人的明信片的概率是 .14.如图,直线AB 和AC 与圆O 分别相切于C B 、两点,P 为圆上一点,且点P 到BC AB 、的距离分别为6和4,则点P 到AC 的距离为 .第一排 第二排 第三排 第四排7 (13)15 178 193 51 911三、解答题(本大题5小题,共58分)15.(10分)(1)计算:︒+++-+-30cos 2323|323|)3(0π(2)因式分解:65223+--x x x16.(10分)(1)已知有理数b a ,满足2234102)2(+-=-+b a ,求b a ,的值; (2)解方程2989=---x xx x17.(12分)已知21,x x 是一元二次方程0122=++-k kx kx 的两个实数根; (1)若k x x x x 8)2)(2(2121-=--成立,求实数k 的值; (2)是否存在整数k ,使2112x x x x +的值为整数?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案2018年XXX第二批次自主招生(实验班)数学考试试卷考试时间:90分钟,满分100分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。
每小题只有一个正确答案)1.化简 (2-m)/(m-2) 的结果是:A。
m-2B。
2-mC。
-m-2D。
-2/(m-2)2.表达式 abc+abc+abc 的所有可能值的个数是:A。
2个B。
3个C。
4个D。
无数个3.某班50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择,每位学生至少选择一门。
选择音乐的有21人,选择美术的有28人,选择体育的有16人,既选择音乐又选择美术的有7人,既选择美术又选择体育的有6人,既选择体育又选择音乐的有5人,则三项都参加的人数是:A。
2B。
3C。
4D。
54.已知二次函数 y=x^2-2x-6,当m≤x≤4 时,函数的最大值为2,最小值为-7,则满足条件的 m 的取值范围是:A。
m≤1B。
-2<m<1C。
-2≤m<1D。
-2≤m≤15.适合不等式 2/(3x-y) ≤ 1,且满足方程 3x+y=1 的 x 的取值范围是:A。
x≤1/3B。
-1≤x<1/3C。
x≤1D。
-1≤x≤16.已知 A、B 两点在一次函数 y=x 的图像上,过 A、B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y=1/x (x>0) 于 M、N 两点,O 为坐标原点。
若 BN=3AM,则 9OM^2-ON^2 的值为:A。
8B。
16C。
32D。
367.在直角三角形 ABC 中,∠BAC=90°,M、N 是 BC 边上的点,BM=MN=CN/2,如果 AM=8,AN=6,则 MN 的长为:A。
4√3B。
2√3C。
10D。
10/38.将正奇数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m) 表示第 n 排,从左到右第 m 个数,如 (4,2) 表示奇数 15,则表示奇数 2017 的有序实数对是:A。
南平一中自主招生数学试题及答案
数 学 试 题(满分:100分 考试时间:90分钟)一、选择题(每小题3分,共10题,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知6,5==+xy y x ,则=+22y x ( )A. 1B. 13C. 17D. 252.已知圆锥的底面半径为9㎝,母线长为30㎝,则圆锥的侧面积为( ) A .π270cm 2 B .π360cm 2 C .π450cm 2 D .π540cm 23.代数式5432--x x 的值等于7,则5342--x x 的值为( )A. 7B. 12C. 1D. -14.x 、y 都是正数,并且成反比,若x 增加了p ﹪,设y 减少的百分数为q ﹪,则q 的值为( ) A.1001%p p + B. 100%p C. 100p p + D. 100100pp+5.下列命题:①若0=++c b a ,则042≥-ac b ;②若c a b +>,则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根; ③若c a b 32+=,则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根;④若042≥-ac b ,则二次函数c bx ax y ++=2的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3.正确命题的个数有( )A.1B.2C.3D.4 6.一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的,其俯视图 与主视图如图所示,则组成这个几何体的小正方块最多..有( ) A .4个 B .5个 C .6个 D .7个7.如图,∠ACB =60○,半径为2的⊙0切BC 于点C ,若将⊙O 在CB上向右滚动,则当滚动到⊙O 与CA 也相切时,圆心O 移动的水平距离为( )A .π2B .π4C .32D .4俯视图 主视图(第6题图)第7题图BAc o8.父亲每天都爱带报纸去上班,父亲离开家的时间记为x ,送报人来的时间记为y ,若00:830:7≤≤x ,00:800:7≤≤y ,则父亲能拿不到报纸上班的概率为( )A.41B.31C.21D. 439.在平面直角坐标系中,已知点A (4-,0),B (2,0),若点C 在一次函数221+-=x y 的图象上,且△ABC 为直角三角形,则满足条件的点C 有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个10.如图,AB 为半⊙O 的直径,C 为半圆弧的三等分点,过B ,C 两点的02=++c bx ax 半⊙O 的切线交于点P ,若AB 的长是2a ,则P A 的长是( )A. a 25 B.a 7 C. a 22 D.a 3二、填空题(每小题4分,共5小题) 11.分解因式:2242x x -+= .12.从一副扑克牌中取出的两组牌,一组为黑桃1、2、3,另一组为方块1、2、3,分别随机地从这两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面数字之和是奇数的概率是 .13.对于实数b a 、定义一种运算“*”为:a b a b a )(+=*,则关于x 的方程0)(=**x m x )1(-≠m 的解是_________________.14.如图,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC ,E 为垂足,若cosB 54=, EC =2,P 是AB 边上的一个动点,则线段PE 的长度的 最小值是__________.15.如图,已知点F 的坐标为(3,0),点A B ,分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点,点P 是此图象上的一动点...设点P 的横坐标为x ,PF 的长为d ,且d 与x 之间满足关系:355d x =-(05x ≤≤),则结论:①2AF =;②5BF =;③5OA =;④3OB =中,正确结论的序号是 .ABO PC(第10题图)A BCDE PxyOA FB P (第15题图)三、解答题(6小题,满分50分) 16.(本题满分5分)计算:02)1(60tan 1132++︒---x + ︒-45cos 21417.(本题满分5分)先化简,再求值2113,124x x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪++-⎝⎭其中21x =- 18.(本题满分10分)某大型超市元旦假期举行促销活动,规定一次购物不超过100元的不给优惠;超过100元而不超过300元时,按该次购物全额9折优惠;超过300元的其中300元部分仍按9折优惠,超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元,现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品,则小丽应该付款多少元? 19.(本题满分15分,第(1)小题6分,第(2)小题3分,第(3)小题6分) 在半径为4的⊙O 中,点C 是以AB 为直径的半圆的中点,OD ⊥AC ,垂足为D ,点E 是射线AB 上的任意一点,DF //AB ,DF 与CE 相交于点F ,设EF =x ,DF =y .(1) 如图1,当点E 在射线OB 上时,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义域; (2) 如图2,当点F 在⊙O 上时,求线段DF 的长; (3) 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切,求线段DF 的长.20. (本题满分15分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题6分)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6,AC =8.点P ,Q 都是斜边AB 上的动点,点P 从B 向A 运动(不与点B 重合),点Q 从A 向B 运动,BP=AQ .点D ,E 分别是点A ,B 以Q ,P 为对称中心的对称点, HQ ⊥AB 于Q ,交AC 于点H .当点E 到达顶点A 时,P ,Q 同时停止运动.设BP 的长为x ,△HDE 的面积为y . (1)求证:△DHQ ∽△ABC ;(2)求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值; (3)当x 为何值时,△HDE 为等腰三角形?A B EF C D O (第19题图1) A B E F C DO (第19题图2) (第20题)DEQB ACPH稿纸数学试题参考答案一、选择题(每小题3分,共10题,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BADCBCCADB二、填空题(每小题4分,共5小题)11.2)1(2-x ; 12.94; 13.1,0221+-==m m x x ;14.532; 15.①②③.三、解答题(共5小题,共50分) 16.(本题满分5分)解:原式=222231)13(13-++--+ … ………3分 =3+2 ………………………………………5分17.解:原式=()()()()()()()212131222x x x x x x x x -+-++÷+++-=()()()()()2222122123x x x x x x x x x +--+++-+++=()()()()()322123x x x x x x -++-+++=21x x --+ …………4分 把21x =-代入上式得:原式=2122332122112-----==--+ …………5分18.(本题满分为10分)解:因为100×0.9=90<94.5<100,300×0.9=270<282.8,所以有两种情况:设小美第二次购物的原价为x 元,则(x -300)×0.8+300×0.9=282.8解得,x =316………………………………………………………………4分 情况1:小美第一次购物没有优惠,第二次购物原价超过300元 则小丽应付(316+94.5-300)×0.8+300×0.9=358.4(元)………7分 情况2:小美第一次购物原价超过100元,第二次购物原价超过300元; 则第一次购物原价为:94.5÷0.9=105(元)所以小丽应付(316+105-300)×0.8+300×0.9=362.8(元).……10分 19.(本题满分15分,第(1)小题6分,第(2)小题3分,第(3)小题6分) 解:(1)连结OC ,∵AC 是⊙O 的弦,OD ⊥AC ,∴OD =AD . …………………1分 ∵DF //AB ,∴CF =EF ,∴DF =AE 21=)(21OE AO +. ………………………2分 ∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点,∴CO ⊥AB . …………………………3分 ∵EF =x ,AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =421642222-=-=-x x OC CE .…4分∴42)424(2122-+=-+=x x y . 定义域为2≥x . ……………………6分 (2)当点F 在⊙O 上时,联结OC 、OF ,EF =421==OF CE ,344822=-=OE …………………7分∴DF =)(21OE AO +=2+442-=2+23. …………………………9分(3)当⊙E 与⊙O 外切于点B 时,BE =FE .∵222CO OE CE =-, ∴,4)4()2(222=+-x x 032832=--x x ,∴=1x 3744+,=2x 舍去(3744-) ………………………………10分 ∴DF =37214)37448(21)(21+=++=+BE AB . …………………11分当⊙E 与⊙O 内切于点B 时,BE =FE .∵222CO OE CE =-,∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ,∴=1x 3744+-,=2x 舍去(3744--). ……………………………12分∴DF =37214)37448(21)(21-=+--=-BE AB . ……………………13分当⊙E 与⊙O 内切于点A 时,AE =FE .∵222CO OE CE =-,∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ,∴=1x 3744+-,=2x 舍去(3744--).……………………………14分∴DF =327221-=AE . ………………………………………………15分 20.本题满分15分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题6分)(1)∵A 、D 关于点Q 成中心对称,HQ ⊥AB ,∴C HQD ∠=∠=90°,HD =HA ,∴A HDQ ∠=∠,∴△DHQ ∽△ABC .……………4分(2)①如图1,当5.20≤<x 时,ED =x 410-,QH =x A AQ 43tan =∠,此时x x x x y 4152343)410(212+-=⨯-=.当45=x 时,最大值3275=y .……………6分②如图2,当55.2≤<x 时,ED =104-x ,QH =x A AQ 43tan =∠,此时x x x x y 4152343)104(212-=⨯-=.当5=x 时,最大值475=y .……………8分∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).55.2(41523),5.20(4152322x x x x x x yy 的最大值是475. ……………9分(3)①如图1,当5.20≤<x 时,若DE =DH ,∵DH =AH =x A QA 45cos =∠, DE =x 410-,∴x 410-=x 45,2140=x . 显然ED =EH ,HD =HE 不可能; ……………11分 ②如图2,当55.2≤<x 时,DHQE BACP(图1)HQD EPB AC (图2)若DE =DH ,104-x =x 45,1140=x ; ……………12分 若HD =HE ,此时点D ,E 分别与点B ,A 重合,5=x ;……………13分 若ED =EH ,则△EDH ∽△HDA ,∴AD DH DH ED =,x xx x 24545104=-,103320=x . ……………14分 ∴当x 的值为103320,5,1140,2140时,△HDE 是等腰三角形. ……………15分。
2017年南平一中第二批次自主招生(实验班)考试理化学科试卷(无答案)
2017年南平一中第二批次自主招生(实验班)考试理化学科试卷考试时间:90分钟 满分:100分就读学校: 姓名: 考场号: 座位号: 相对原子质量:H-1 C-12 O-16 Na-23 Mg-24 S-32 Cl-35.5 Ca-40 Fe-56 Zn-65一、选择题(本大题共21小题,每小题2分,共42分。
每小题只有一个正确答案)1.下列说法不.正确的是( ) A .《梦溪笔谈》记载有“热胆矾铁釜,久之亦化为铜”这个过程中发生了置换反应B .《本草纲目》中“冬月灶中所烧柴薪之灰,令人以灰淋汁,取碱浣衣”中的碱是K 2CO 3C .“火树银花”中的焰火实质上是金属元素的焰色反应,属于物理变化D .“春蚕到死丝方尽”中的蚕丝是纤维素,属于高分子化合物2.下列溶液中通入(或加入)括号中的物质,能使溶液的pH 值明显增大的是( )A .稀硝酸(氢氧化钡溶液)B .氢氧化钠溶液(二氧化碳)C .氢氧化钙的饱和溶液(消石灰)D .稀硫酸(氯化钙)3.将下列各组中的物质混合,若每组中最后一种物质足量,充分反应后过滤,则滤纸上留下的不溶物种数最多的是( )①NaOH 溶液、MgCl 2溶液、HNO 3溶液 ②Fe 2(SO 4)3溶液、NaNO 3溶液、Ba(OH)2溶液③CuCl 2溶液、FeCl 3溶液、锌粒 ④NaCl 溶液、AgNO 3溶液、盐酸A .①B .②C .③D .④4.下列有机物无论以何种比例混合,只要混合物的总质量一定,完全燃烧时消耗氧气,生成二氧化碳的质量均保持不变的组合是( )①乙醇 ②乙烷 ③乙酸 ④葡萄糖 ⑤蔗糖(C 12H 22O 11)A .①②B .②③C .③④D .④⑤5.已知溶液显电中性是由于溶液中阳离子所带的正电荷总数与阴离子所带的负电荷总数相等。
现有某溶液中大量存在X 、-24SO 、-Cl 、+4NH 、+3Fe 五种微粒,其微粒个数之比为1:3:4:2:2,试推断X 为( )A .+2BaB .-OHC .-3NOD .+2Mg6. 在配制质量分数为10%的氯化钠溶液的过程中,导致溶液中氯化钠质量分数大于10%的可能原因是( )A .在托盘天平的左盘称取氯化钠前,游码不在零位置就调节天平平衡,后将游码移动得到读数B .用量筒量取水时俯视读数C .配制溶液的烧杯用少量蒸馏水润洗D .氯化钠晶体不纯7. 下列装置所示的实验中,能达到实验目的的是( )A .图1用于分离碘和酒精B .图2用于实验室制取少量CO 2 ,该装置的优点是可控制反应随时发生随时停止C .图3用于检查装置的气密性:将小针筒的活塞下压,若水槽中导管口有气泡生成,说明装置气 密性良好D .图4用于检验病人是否患有糖尿病8.初中化学中几种常见物质之间的相互转化关系如图所示。
南平市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
南平市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 1F ,2F 分别为双曲线22221x y a b-=(a ,0b >)的左、右焦点,点P 在双曲线上,满足120PF PF ⋅=,若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为31-,则该双曲线的离心率为( )A.2B.3C. 21+D. 31+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查基本运算能力及推理能力.2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=﹣1,其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1,则下列结论中一定错误的是( )A .B .C .D .3. 下列正方体或四面体中,P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图形是 ( )4. 已知函数f (x )=x 2﹣,则函数y=f (x )的大致图象是( )A .B .C .D .5. 已知在数轴上0和3之间任取一实数,则使“2log 1x <”的概率为( ) A .14 B .18 C .23 D .1126. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是,则循环体的判断框内①处应填( )A .11?B .12?C .13?D .14?7. 如果集合 ,A B ,同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠,A=,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时,(),A B 和(),B A 是不同的集对, 那么“好集对” 一共有( )个A .个B .个C .个D .个 8. 数列﹣1,4,﹣7,10,…,(﹣1)n (3n ﹣2)的前n 项和为S n ,则S 11+S 20=( )A .﹣16B .14C .28D .309. 过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AB|=10,则AB 的中点到y 轴的距离等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10.某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布,即()2~100,X N a (0a >),试卷满分150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110,则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( ) (A ) 400 ( B ) 500 (C ) 600 (D ) 800 11.命题:“∀x >0,都有x 2﹣x ≥0”的否定是( )A .∀x ≤0,都有x 2﹣x >0B .∀x >0,都有x 2﹣x ≤0C .∃x >0,使得x 2﹣x <0D .∃x ≤0,使得x 2﹣x >012.三个实数a 、b 、c 成等比数列,且a+b+c=6,则b 的取值范围是( ) A .[﹣6,2] B .[﹣6,0)∪( 0,2] C .[﹣2,0)∪( 0,6] D .(0,2]二、填空题13.【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足,为的导函数,且对恒成立,则的取值范围是__________________.14.自圆C :22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线,切点为Q ,切线的长度等于点P 到原点O 的长,则PQ 的最小值为( ) A .1310 B .3 C .4 D .2110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想.15.某公司对140名新员工进行培训,新员工中男员工有80人,女员工有60人,培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人,则女员工应抽取人数为 . 16.已知正四棱锥O ABCD -的体积为23则该正四棱锥的外接球的半径为_________17.函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ,,规定(),A Bk k A B ABϕ-=(AB 为线段AB 的长度)叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”,给 出以下命题:①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2,则(),3A B ϕ ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点,则(),2A B ϕ≤;④设曲线xy e =(e 是自然对数的底数)上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且,若(),1t A B ϕ⋅<恒成立,则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上)18.设函数f (x )=的最大值为M ,最小值为m ,则M+m= .三、解答题19.设函数f(x)=lg(a x﹣b x),且f(1)=lg2,f(2)=lg12(1)求a,b的值.(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的最大值.(3)m为何值时,函数g(x)=a x的图象与h(x)=b x﹣m的图象恒有两个交点.20.巳知二次函数f(x)=ax2+bx+c和g(x)=ax2+bx+c•lnx(abc≠0).(Ⅰ)证明:当a<0时,无论b为何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;(Ⅱ)在同一函数图象上取任意两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点C(x0,y0),记直线AB的斜率为k若f(x)满足k=f′(x0),则称其为“K函数”.判断函数f(x)=ax2+bx+c与g(x)=ax2+bx+c•lnx 是否为“K函数”?并证明你的结论.21.已知(+)n展开式中的所有二项式系数和为512,(1)求展开式中的常数项;(2)求展开式中所有项的系数之和.22.某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数;(Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高;(Ⅲ)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分数在[90,100)之间的概率.23.(本小题满分10分)如图⊙O经过△ABC的点B,C与AB交于E,与AC交于F,且AE=AF.(1)求证EF∥BC;(2)过E 作⊙O 的切线交AC 于D ,若∠B =60°,EB =EF =2,求ED 的长.24.(本小题满分12分)已知椭圆1C :14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、,过点1F 作垂直 于轴的直线,直线2l 垂直于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . (1)求点M 的轨迹2C 的方程;(2)过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、,且分别交椭圆于D C B A 、、、,求四边形ABCD 面积 的最小值.南平市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1. 【答案】D【解析】∵120PF PF ⋅=,∴12PFPF ⊥,即12PF F ∆为直角三角形,∴222212124PF PF F F c +==,12||2PF PF a -=,则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-,2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==,外接圆半径R c =.12c c =,整理,得2()4ca=+1e =,故选D. 2. 【答案】C【解析】解;∵f ′(x )=f ′(x )>k >1,∴>k >1,即>k >1,当x=时,f ()+1>×k=,即f ()﹣1=故f ()>,所以f ()<,一定出错, 故选:C .3. 【答案】D 【解析】考点:平面的基本公理与推论.4. 【答案】A【解析】解:由题意可得,函数的定义域x ≠0,并且可得函数为非奇非偶函数,满足f (﹣1)=f (1)=1,可排除B 、C 两个选项.∵当x >0时,t==在x=e 时,t 有最小值为∴函数y=f (x )=x 2﹣,当x >0时满足y=f (x )≥e 2﹣>0,因此,当x >0时,函数图象恒在x 轴上方,排除D 选项 故选A5. 【答案】C 【解析】试题分析:由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202303-=-.故本题答案选C. 考点:几何概型. 6. 【答案】C【解析】解:由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+++…+=的值,若输出的结果是,则最后一次执行累加的k 值为12, 则退出循环时的k 值为13, 故退出循环的条件应为:k ≥13?, 故选:C【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.7. 【答案】B 【解析】试题分析:因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠,A =,所以当{1,2}A =时,{1,2,4}B =;当{1,3}A =时,{1,2,4}B =;当{1,4}A =时,{1,2,3}B =;当{1,2,3}A =时,{1,4}B =;当{1,2,4}A =时,{1,3}B =;当{1,3,4}A =时,{1,2}B =;所以满足条件的“好集对”一共有个,故选B.考点:元素与集合的关系的判断.【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用,其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查,着重考查了分类讨论思想的应用,以及学生分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题,本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]8. 【答案】B【解析】解:∵a n =(﹣1)n(3n ﹣2),∴S 11=()+(a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=﹣(1+7+13+19+25+31)+(4+10+16+22+28)=﹣16,S 20=(a 1+a 3+...+a 19)+(a 2+a 4+...+a 20) =﹣(1+7+...+55)+(4+10+ (58)=﹣+=30, ∴S 11+S 20=﹣16+30=14.故选:B .【点评】本题考查数列求和,是中档题,解题时要认真审题,注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用.9. 【答案】D【解析】解:抛物线y2=4x焦点(1,0),准线为l:x=﹣1,设AB的中点为E,过A、E、B分别作准线的垂线,垂足分别为C、G、D,EF交纵轴于点H,如图所示:则由EG为直角梯形的中位线知,EG====5,∴EH=EG﹣1=4,则AB的中点到y轴的距离等于4.故选D.【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想.10.【答案】A【解析】P(X≤90)=P(X≥110)=110,P(90≤X≤110)=1-15=45,P(100≤X≤110)=25,1000×25=400. 故选A.11.【答案】C【解析】解:命题是全称命题,则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是:∃x>0,使得x2﹣x<0,故选:C.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.12.【答案】B【解析】解:设此等比数列的公比为q,∵a+b+c=6,∴=6,∴b=.当q>0时,=2,当且仅当q=1时取等号,此时b∈(0,2];当q<0时,b=﹣6,当且仅当q=﹣1时取等号,此时b∈[﹣6,0).∴b的取值范围是[﹣6,0)∪(0,2].故选:B.【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题13.【答案】【解析】点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。
南平一中2018年实验班第二批次自主招生考试试卷答案
南平一中2018年第二批次自主招生(实验班)考试语文学科参考答案及评分说明1. B(3分)2.①语言诗化,(1分)多用整齐、对仗句式,具有音韵美;(1分)②多处与读者对话,(1分)拉近距离,亲切自然;(1分)③富有哲思,(1分)抒情性强。
(1分)(共6分)3. C(3分)4.①形象上,强调羊的“聪明”,耐人寻味,引人入胜。
②结构上,承上启下。
“另外”紧承上文;“还有它的聪明……”引起下文羊“看家”“找我”两件事。
③手法上,将过去与今天联系起来,以突出羊的灵性和“我”的情感。
(意思对即可)(1点1分,共3分)5.①一只羊其实和一个人没有本质上的区别;②羊最终还是逃脱不了被人类屠杀的宿命,批判人类忽视和俯视比我们弱小的生命;③宣扬人类应公正平等地看待这世上的万事万物;④表达了对生命的敬畏,强调人类与自然万物应和谐共处。
(1点1分,4点5分,共5分)6. B(3分)7. C(3分)8. A(3分)9.(1)阎应元命令用铁片裹着门板,取来空的棺材用泥土装满其中,堵在倒塌处。
(铁叶,1分;“实以土”,状语后置,实,1分;障溃处,1分。
共3分)(2)(你)却甘做敌人的马前卒,有什么脸面来见我们城里深明大义的士民呢?(为,1分;前驱,若译为“前锋”亦可,1分;面目,1分。
共3分)10. AC(3分,选对C得1分,选对A得2分,共3分)11. ①视听结合,风吹芳芷,杜鹃啼鸣;(以有声衬无声或动静结合,亦可)②照应颔联,渲染荒凉寂寥的氛围;③寓情于景,间接强化了悲戚之情。
(一点1分,每点都包含两个得分点,共3分)12.(一题1分,共3分)(1)箫鼓追随春社近衣冠简朴古风存(2)高者挂罥长林梢下者飘转沉塘坳(3)水尤清冽13. D(3分)14. A(3分)15.⑴2017年福州市实体书店图书零售都实现了正增长。
⑵除中型书店外,2017年其它实体书店图书零售都较2016年增幅大。
(1点1分,2点3分)16. ①科普无须严肃②科普类综艺前景光明吗③但科学确实能为节目创作提供资源(一句1分,共3分)17.答案示例:通知高一年级全体师生:学校政教处和语文组拟联合举办2018年朱子成人礼活动,活动时间是2018年4月23日(周一)上午8点,地点为江南校区大操场。
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题(本大题共6小题,共24.0分)1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立,则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1,则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d,直线a、b与水平线平行,以其中一条为x轴,d与水平线垂直,取向右为正方向;直线c、以其中一条为y轴,取向上为正方向.某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图,则下面结论正确的是()A.a为x轴,c为y轴B.a为x轴,d为y轴C.b为x轴,c 为y轴D.b为x轴,d为y轴5.如图,已知AB为圆的直径,C为半圆上一点,D为半圆的中点,xx⊥xx,垂足为H,HM平分∠xxx,HM交AB于x.若xx=3,xx=1,则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图,△xxx中,∠x=90°,D是BC边上一点,∠xxx=3∠xxx,xx=8,xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题(本大题共10小题,共40.0分)7.已知实数x、y满足x+2x=5,则x−x=3.8.分解因式:x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(x,3),(3x−1,3),若线段AB与直线x=2x+1相交,则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240°的扇形,则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D、N处,B在同一直线上,分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3,那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图,已知点x1,x2,…,xx均在直线x=x−1上,点x1,x2,…,xx均在双曲线x=−x上,x1x1⊥x并且满足:x1x2⊥x轴,x2x2⊥x轴,…,xx−1xx⊥x轴,xxxx⊥x轴,且x1x2=x2x3=…=xx−1xx,则n的最小值为2.1.由题意可知,点B在x轴负半轴,点A在x轴正半轴,且AB垂直于x轴,因此AB的斜率为0,即AB为x轴,所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴,所以其横坐标为负数,设为-a。
2017年福建省南平市第一中学第二批次自主招生考试五科(语文、数学、英语、物理、化学)试卷及参考答案汇总
就读学校:
考试时间:90 分 钟 满分 100 分
姓名:
考场号:
座位号:
第Ⅰ卷(阅读题 共 44 分)
一、现代文阅读( 18 分) (一)论述类文本阅读(6 分) 阅读下面的文字,完成 1~2 题。
哲学这个术语来自西方,一般定义为“理论化、系统化的世界观”。而“中国哲学”,尤其是儒家 学说,大体上只是半哲学,是一种实用理性。它不重视抽象的思辨论证、严密的逻辑推理、系统的
性的狂热,从而产生注重“热情”而忽视理性的倾向。 (二)文学类文本阅读(12 分) 阅读下面的文字,完成 3~5 题。
沂蒙山的儿子 孙艳梅
绵延、巍峨、广阔的沂蒙山。 密集的枪声响了一夜。天亮后,李老汉像往常一样往外走,老伴儿鼓着瘦削的腮帮子吓唬他:“小 鬼子的枪子儿可没长眼,嗖一声你这条老命就没了。”李老汉 不听,他惦记着半山腰他种的地瓜。兵 荒马乱年景,只要是吃的就稀罕,何况一窝憨头憨脑的地瓜蛋儿。李老汉怕刨晚了,被人偷了,那
界是非常不完善的,最好的世界有待于通过人们努力去创造和复兴。因此,在儒家思想中,真正的
紧张仍存乎理想的乌托邦远古世界与污浊的现实世界之间。孔子梦周公,儒家老要“复三代之盛”。 即使到了宋代,朱熹仍抱怨,较之三代,汉唐盛世也只能算是衰落。去创造一个不同于现实世界的 理想世界,在地上建立天国,实现大同太平,这构成了中国士大夫知识分子伟大的使命感。这使命 虽属人事,却关乎天命。因为这种使命感并不只是纯粹的主观意愿和主观理想,而是来自一种宇宙
李老汉连滚带爬地往家跑,一个踉跄摔到坡坎上。到家,他一脚把门踹开。破院子里有一口水 缸,李老汉把自己的头埋进水里,等憋得快要断气时,出来,又把头埋进去。老伴儿一把把他的头 从水缸里拽出来:“咋啦?咋啦?这是咋啦?”李老汉水淋淋像个水鬼似的,翻来覆去就一句话:“我 寻 思着自己娃担待,我寻思着自己娃担待。”老伴儿厉声喝道:“到底咋回事?”李老汉在大太阳底下 打哆嗦:“刚才我碰见两个受伤的战士,有一个是咱儿子,我先救了另一个,回来,咱儿子就……”
南平一中2018年实验班第一批次自主招生数学物理面试初试试卷
南平一中2018年实验班第一批次自主招生面试初试试卷考试时间:90分钟 总分:120分就读学校 姓名 考场号 座位号第二部分 数学、物理试题本部分试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),在第Ⅰ卷中每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
第1-6题每小题4分,第7-10题每小题5分,共44分。
在第Ⅱ卷中,第11-15题为填空题,每小题5分,只需写出最后答案;第16-19题为解答题,解答题时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案的不得分。
第Ⅰ卷(选择题)1.如图所示,重为500N 的甲、乙两同学,分别静止于水平地面的台秤P 、Q 上,他们用手分别竖直牵拉一只弹簧秤的两端,稳定后弹簧秤的示数为10N ,若弹簧秤的质量不计,下列说法正确的是( ) A .台秤Q 的读数为480N B .台秤P 的读数为510NC .两台秤的读数之和为980ND .甲受到的拉力大于10N ,乙受到的拉力小于10N2.如图所示,AB 长为6m ,传送带以s m v /1=的速度向左(逆时针)运动时,有一木块在水平力F 的作用下以s m v /4=的速度向右匀速运动,则木块从A 端滑到B 端所需的时间t 为( ) A .s t 2.1= B .s t 5.1=C .s t 2=D .s t 6=3.足够长的斜面上物块ABC 的上表面AB 光滑水平,AC 面光滑竖直,AB=80cm ,AC=60cm 。
大小忽略不计的小球放在物块水平表面A 处,现物块以速度v =0.25m/s 沿固定斜面匀速下滑,则( ) A .小球与物块一起沿斜面下滑B .小球受到的重力大于支持力C .小球的运动轨迹是一条曲线D .4s 后小球与斜面接触4.如图所示,已知定值电阻R 1=12 Ω,滑动变阻器R 2的阻值范围为0~10 Ω,现将它们接入电压U=12V 的电路中,以下说法正确的是( )A .R 2=10Ω时,R 2消耗的功率最大B .滑片从最左端移到最右端的过程中R 2的功率先增大后减少C .滑片从最左端移到最右端的过程中R 2的功率与电路总功率的比值先增大后减小D .滑片从最左端移到最右端的过程中R 的功率与电路总功率的比值先减小后增大5.某学习小组在研究光的折射定律后发现:光从空气进入某一种介质时,不仅发生折射,而且入射角i 的正弦值与折射角r 的正弦值的比值为一定值,物理上把这比值叫做该介质的折射率n ,即rin sin sin =。
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版)
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版) XXX自主招生试卷1.已知 $x+x=-3$,求 $x^3+x^3+1000$。
2.已知 $x+1/x=x/(x+t)$,求所有可能的 $t$ 之和。
3.平行四边形 $ABCD$ 中,$AB=15$,$CD=10$,$AD=3$,$CB=4$,求其面积。
4.已知 $y=x^3-4x+6$,其中 $a\leq x\leq b$,且 $x$ 的最小值为 $a$,最大值为 $b$,求 $a+b$。
5.已知 $y=2(x-2)^2+m$,若抛物线与 $x$ 轴交点与顶点组成正三角形,求 $m$ 的值。
6.正方形 $ABCD$ 边长为 $200$,$BC$ 以 $BC$ 为直径的半圆,$DE$ 为 $BC$ 的切线,求 $DE$ 的长。
7.在直角坐标系中,已知 $\triangle ABC$,$B(2,0)$,$C(9/2,0)$,过点 $O$ 作直线 $DMN$,$OM=MN$,求$M$ 的横坐标。
8.四圆相切,$\odot B$ 与 $\odot C$ 半径相同,$\odotA$ 过 $\odot D$ 圆心,$\odot A$ 的半径为 $9$,求 $\odotB$ 的半径。
9.横纵坐标均为整数的点为整点,$1/2<m<a$,$y=mx+a(1\leq x\leq 100)$,不经过整点,求 $a$ 可取到的最大值。
10.已知 $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心,$DE$ 过重心,$S_{\triangle ABC}=1$,求 $S_{\triangle ADE}$ 的最大值,并证明结论。
科学素养1.已知直角三角形三边长为整数,有一条边长为 $85$,求另两边长(写出 $10$ 组)。
2.阅读材料,根据凸函数的定义和性质解三道小题,其中第(3)小题为不等式证明 $f[bx_1+(1-b)x_2]<bf(x_1)+(1-b)f(x_2)$,分别取 $b=11/4$ 和 $b=3$。
2018年中考数学试卷及答案(pdf解析版)
2018年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共9小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个正确的选项,请在答题卡的相应位置填涂)1.(4分)(2014•南平)﹣4的相反数( ) A.4B.﹣4C.D.﹣分析:根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.解答:解:﹣4的相反数4.故选:A.点评:本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.3.(4分)(2014•南平)一个袋中只装有3个红球,从中随机摸出一个是红球( ) A.可能性为B.属于不可能事件C.属于随机事件D.属于必然事件考点:随机事件;可能性的大小.分析:根据要求判断事件的类型,再根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念选择即可.解答:解:因为袋中只装有3个红球,所以从中随机摸出一个一定是红球,所以属于必然事件,故选:D.点评:本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念.确定事件包括必然事件和不可能事件.理解概念是解决这类基础题的主要方法.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.4.(4分)(2014•南平)下列计算正确的是( ) A.(2a2)4=8a6B.a3+a=a4C.a2÷a=a D.(a﹣b)2=a2﹣b2考点:同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式.分析:根据合并同类项的法则,同底数幂的除法,完全平方公式以及幂的乘方的知识求解即可求得答案.解答:解:A、(2a2)4=16a8,故A选项错误;B、a3+a,不是同类项不能计算,故B选项错误;C、a2÷a=a,故C选项正确;D、(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab,故D选项错误.故选:C.点评:本题主要考查了合并同类项的法则,同底数幂的除法,完全平方公式以及幂的乘方的知识,解题的关键是熟记法则及公式.5.(4分)(2014•南平)将直尺和三角板按如图的样子叠放在一起,则∠1+∠2的度数是( ) A.45°B.60°C.90°D.180°考点:平行线的性质.分析:利用平行线的性质和对顶角的性质进行解答.解答:解:如图,∵a∥b,∴∠1=∠3,∠2=∠4.又∵∠3=∠5,∠4=∠6,∠5+∠6=90°,∴∠1+∠2=90°.故选:C.点评:本题考查了平行线的性质.正确观察图形,熟练掌握平行线的性质和对顶角相等.6.(4分)(2014•南平)下列说法正确的是( ) A.了解某班同学的身高情况适合用全面调查 B.数据2、3、4、2、3的众数是2 C.数据4、5、5、6、0的平均数是5 D.甲、乙两组数据的平均数相同,方差分别是S=3.2,S=2.9,则甲组数据更稳定考点:方差;全面调查与抽样调查;算术平均数;众数.分析:根据调查方式,可判断A;根据众数的意义可判断B;根据平均数的意义,可判断C;根据方差的性质,可判断D.解答:解:A、了解某班同学的身高情况适合全面调查,故A正确;B、数据2、3、4、2、3的众数是2,3,故B错误;C、数据4、5、5、6、0的平均数是4,故C错误;D、方差越小越稳定,乙的方差小于甲得方差,乙的数据等稳定,故D错误.故选:A.点评:本题考查了方差,方差越小数据越稳定是解题关键.7.(4分)(2014•南平)下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( ) A.1,2,1B.1,2,2C.1,2,3D.1,2,4考点:三角形三边关系.分析:根据三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,计算两个较小的边的和,看看是否大于第三边即可.解答:解:A、1+1=2,不能组成三角形,故此选项错误;B、1+2>2,能组成三角形,故此选项正确;C、1+2=3,不能组成三角形,故此选项错误;D、1+2<4,能组成三角形,故此选项正确;故选:B.点评:此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握三角形的三边关系定理.8.(4分)(2014•南平)一名老师带领x名学生到动物园参观,已知成人票每张30元,学生票每张10元.设门票的总费用为y元,则y与x的函数关系为( ) A.y=10x+30B.y=40x C.y=10+30x D.y=20x考点:函数关系式.分析:根据师生的总费用,可得函数关系式.解答:解:一名老师带领x名学生到动物园参观,已知成人票每张30元,学生票每张10元.设门票的总费用为y元,则y与x的函数关系为y=10x+30,故选:A.点评:本题考查了函数关系式,师生的总费用的等量关系是解题关键.9.(4分)(2014•南平)如图,△ABC中,AD、BE是两条中线,则S△EDC:S△ABC=( ) A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析:在△ABC中,AD、BE是两条中线,可得DE是△ABC的中位线,即可证得△EDC∽△ABC,然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案.解答:解:∵△ABC中,AD、BE是两条中线,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,DE=AB,∴△EDC∽△ABC,∴S△EDC:S△ABC=()2=.故选D.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质.此题比较简单,注意中位线的性质的应用,注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键.10.(4分)(2014•南平)如图,将1、、三个数按图中方式排列,若规定(a,b)表示第a排第b列的数,则(8,2)与(2014,2014)表示的两个数的积是( ) A.B.C.D.1考点:规律型:数字的变化类;算术平方根.分析:根据观察数列,可得,每三个数一循环,根据有序数对的表示方法,可得有序数对表示的数,根据是数的运算,可得答案.数解答:解;每三个数一循环,1、,(8,2)在数列中是第(1+7)×7÷2+2=30个,30÷3=10,(8,2)表示的数正好是第10轮的最后一个,即(8,2)表示的数是,(2014,2014)在数列中是第(1+2014)×2014÷2=2029105个,2029105÷3=676368…1,(2014,2014)表示的数正好是第676369轮的一个数,即(2014,2014)表示的数是1,1=,故选:B.点评:本题考查了数字的变化类,利用了数字的变化规律.二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.请将答案填入答题卡的相应位置)11.(3分)(2014•南平)请你写出一个无理数 π .考点:无理数.专题:开放型.分析:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,由此可写出答案.解答:解:由题意可得,π是无理数.故答案可为:π.点评:此题考查了无理数的定义,关键是掌握无理数的三种形式,①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,难度一般.12.(3分)(2014•南平)已知点P在线段AB的垂直平分线上,PA=6,则PB= 6 .考点:线段垂直平分线的性质.分析:直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可.解答:解:∵点P在线段AB的垂直平分线上,PA=6,∴PB=PA=6.故答案为:6.点评:本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.13.(3分)(2014•南平)五名学生的数学成绩如下:78、79、80、82、82,则这组数据的中位数是 80 .考点:中位数.分析:将这组数据从小到大的顺序排列后,处于中间位置的那个数是80,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是80.解答:解:将这组数据从小到大排列,中间的数为80,所以中位数是80.故答案为:80.点评:本题为统计题,考查中位数的意义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.14.(3分)(2014•南平)点P(5,﹣3)关于原点的对称点的坐标为 (﹣5,3) .考点:关于原点对称的点的坐标.专题:几何图形问题.分析:两点关于原点对称,横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.解答:解:∵5的相反数是﹣5,﹣3的相反数是3,∴点P(5,﹣3)关于原点的对称点的坐标为(﹣5,3),故答案为(﹣5,3).点评:主要考查两点关于原点对称的坐标的特点:两点关于原点对称,两点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,用到的知识点为:a的相反数为﹣a.15.(3分)(2014•南平)同时掷两枚硬币,两枚硬币全部正面朝上的概率为 .考点:概率公式.分析:列举出所有情况,看所求的情况占总情况的多少即可.解答:解:可能出现的情况有:正正,正反,反正,反反,所以全部正面朝上的概率为.点评:此题考查了列举法求概率,解题的关键是找到所有的情况.16.(3分)(2014•南平)分解因式:a3﹣2a2+a= a(a﹣1)2 .考点:提公因式法与公式法的综合运用.分析:此多项式有公因式,应先提取公因式a,再对余下的多项式进行观察,有3项,可利用完全平方公式继续分解.解答:解:a3﹣2a2+a=a(a2﹣2a+1)=a(a﹣1)2.故答案为:a(a﹣1)2.点评:本题考查了提公因式法与公式法分解因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解.17.(3分)(2014•南平)将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图的图形.已知∠CEB′=50°,则∠AEB′= 65 °.考点:角的计算;翻折变换(折叠问题).分析:根据折叠前后对应部分相等得∠AEB′=∠AEB,再由已知求解.解答:解:∵∠AEB′是△AEB沿AE折叠而得,∴∠AEB′=∠AEB.又∵∠BEC=180°,即∠AEB′+∠AEB+∠CEB′=180°,又∵∠CEB′=50°,∴∠AEB′==65,故答案为:65.点评:本题考查了角的计算以及折叠问题.图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称,所以折叠前后的两个图形是全等三角形,重合的部分就是对应量. 18.(3分)(2014•南平)如图,等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心O2,点A在x轴的正半轴上,两圆分别与x轴交于C、D两点,y轴与⊙O2相切于点O1,点O1在y轴的负半轴上.①四边形AO1BO2为菱形;②点D的横坐标是点O2的横坐标的两倍;③∠ADB=60°;④△BCD的外接圆的圆心是线段O1O2的中点.以上结论正确的是 ①③ .(写出所有正确结论的序号)考点:圆的综合题.分析:①连接AO1,AO2,BO1,BO2根据菱形的判定定理即可得出结论;②根据垂径定理即可得出结论;③连接O1O2,AB,BD,根据三角形中位线定理即可得出结论;④先判断出△BCD是等边三角形,再根据等边三角形外心的性质即可得出结论.解答:解:①如图1所示,连接AO1,AO2,B O1,BO2,∵圆⊙O1与⊙O2是等圆,∴AO1=AO2=BO1=BO2,∴四边形AO1BO2为菱形,故此小题正确;②∵AD是⊙O2的弦,∴O2在线段AD的垂直平分线上,∴点D的横坐标不是点O2的横坐标的两倍,故此小题错误;③连接O1O2,AB,BD,∵y轴是⊙O2的切线,∴O1O2⊥y轴,∵AD∥1O2.∵四边形AO1BO2为菱形,∴AB⊥O1O2,O1E=O2E,∴∠BAD=90°,∴BD过点O2,∴O2E是△ABD的中位线,∴AD=O1O2=BD,∴∠ADB=60°;④∵由③知,2AD=BD,∴CD=BD=BC,∴△BCD的外心是各边线段垂直平分线的交点,∵O1O2的中点是△BCD中位线的中点,∴△BCD的外接圆的圆心不是线段O1O2的中点,故此小题错误.故答案为:①③.点评:本题考查的是圆的综合题,涉及到切线的性质、菱形的判定定理及直角三角形的性质,难度适中.三、解答题(本大题共9小题,共86分.请在答题卡的相应位置作答)2.(4分)(2014•南平)如图,几何体的主视图是( ) A.B.C.D.考点:简单组合体的三视图.分析:找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.解答:解:从正面看易得第一层有4个正方形,第二层从左起第二个有一个正方形.故选:B.点评:本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.19.(14分)(2014•南平)(1)计算:﹣(π﹣3)0+()﹣1+|﹣1|.(2)化简:(﹣)•.考点:实数的运算;分式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.专题:计算题.分析:(1)原式第一项利用立方根定义计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用负指数幂法则计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果;(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.解答:解:(1)原式=2﹣1+2+﹣1=2+;(2)原式=•=.点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.20.(8分)(2014•南平)解不等式组:.考点:解一元一次不等式组.分析:先求出每个不等式的解集,再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可.解答:解:由①得:x<2,由②得:2﹣(x+1)≥0,2﹣x﹣1≥0,1﹣x≥0,x≤1,即不等式组的解集为x≤1.点评:本题考查了解一元一次不等式,解一元一次不等式组的应用,解此题的关键是能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集.21.(8分)(2014•南平)如图,已知△ABC中,点D在AC上且∠ABD=∠C,求证:AB2=AD•AC.考点:相似三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:利用两个角对应相等的两个三角形相似,证得△ABD∽△ACB,进一步得出,整理得出答案即可.解答:证明:∵∠ABD=∠C,∠A是公共角,∴△ABD∽△ACB,∴,∴AB2=AD•AC.点评:此题考查相似三角形的判定与性质:①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似.⑤相似三角形的对应边成比例,对应角相等.22.(10分)(2014•南平)在2014年巴西世界杯足球赛开幕之前,某校团支部为了解本校学生对世界杯足球赛的关注情况,随机调查了部分学生对足球运动的喜欢程度,绘制成如下的两幅不完整的统计图.请你根据以上统计图提供的信息,回答下列问题:(1)随机抽查了 50 名学生;(2)补全图中的条形图;(3)若全校共有500名学生,请你估计全校大约有多少名学生喜欢(含“较喜欢”和“很喜欢”)足球运动.考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.分析:(1)用一般的人数除以它所占的百分比即可得抽查的学生总数;(2)用抽查的学生总数减去不喜欢、一般、很喜欢的学生人数,得到较喜欢的人数,再补全图中的条形图即可;(3)用全校的学生数乘以学生喜欢(含“较喜欢”和“很喜欢”)足球运动所占的百分比即可.解答:解:(1)10÷20%=50(名),故答案为:50;(2)50﹣5﹣10﹣15=20(名),补全统计图如下:(3)500×(1﹣10%﹣20%)=350(名).答:全校约有350名学生喜欢足球运动.点评:本题主要考查了条形统计图,用样本估计总体及扇形统计图,解题的关键是把条形统计图和扇形统计图中的数据正确的结合起来求解.23.(10分)(2014•南平)如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB.(1)求证:直线AB是⊙O的切线.(2)若∠A=34°,AC=6,求⊙O的周长.(结果精确到0.01)考点:切线的判定;解直角三角形.分析:(1)连接OC,根据等腰三角形的性质求出OC⊥AB,根据切线的判定得出即可;(2)解直角三角形求出OC,即可求出答案.解答:(1)证明:连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB,∴AB是⊙O的切线.(2)解:∵由(1)得OC⊥AB,∴∠ACO=90°,∴OC=AC▪tan34°=6×tan34°≈4.047,∴⊙O的周长=2π▪OC=2×3.142×4.047≈25.43.点评:本题考查了等腰三角形的性质,切线的判定,解直角三角形的性质,主要考查学生的计算和推理能力,题目比较好,难度适中.24.(10分)(2014•南平)如图,已知反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象相交于A(4,1)、B(a,2)两点,一次函数的图象与y轴的交点为C.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)若点D的坐标为(1,0),求△ACD的面积.考点:反比例函数与一次函数的交点问题.分析:(1)把点A、B的坐标代入反比例函数解析式,求得m、a的值;然后把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式来求k、b的值;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标;然后由S△ACD=S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA进行解答.解答:解:(1)∵点A(4,1)在反比例函数上,∴∴k=4×1=4,∴.把B(a,2)代入,得2=,∴a=2,∴B(2,2).∵把A(4,1),B(2,2)代入y=kx+b∴解得,∴一次函数的解析式为;(2)∵点C在直线AB上,∴当x=0时,y=3,∴C(0,3)过A作AE⊥x轴于E.∴S△ACD=S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA==5.点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.解题时,注意“数形结合”数学思想的应用.25.(12分)(2014•南平)如图,已知抛物线y=﹣+bx+c图象经过A(﹣1,0),B(4,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若C(m,m﹣1)是抛物线上位于第一象限内的点,D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过点D分别作DE∥BC交AC于E,DF∥AC交BC于F.①求证:四边形DECF是矩形;②连结EF,线段EF的长是否存在最小值?若存在,求出EF的最小值;若不存在,请说明理由.考点:二次函数综合题.分析:(1)根据待定系数法即可求得;(2)把C(m,m﹣1)代入求得点C的坐标,从而求得AH=4,CH=2,BH=1,AB=5,然后根据,∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB,根据相似三角形的对应角相等求得∠ACH=∠CBH,因为∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°从而求得∠ACB=90°,先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形求得四边形DECF是平行四边形,进而求得□DECF是矩形;(3)根据矩形的对角线相等,求得EF=CD,因为当CD⊥AB时,CD的值最小,此时CD 的值为2,所以EF的最小值是2;解答:(1)∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,∴根据题意,得,解得,所以抛物线的解析式为:;(2)①证明:∵把C(m,m﹣1)代入得∴,解得:m=3或m=﹣2,∵C(m,m﹣1)位于第一象限,∴,∴m>1,∴m=﹣2舍去,∴m=3,∴点C坐标为(3,2),由A(﹣1,0)、B(3,0)、C(3,2)得AH=4,CH=2,BH=1,AB=5过C点作CH⊥AB,垂足为H,则∠AHC=∠BHC=90°,∵,∠AHC=∠BHC=90°∴△AHC∽△CHB,∴∠ACH=∠CBH,∵∠CBH+∠BCH=90°∴∠ACH+∠BCH=90°∴∠ACB=90°,∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DECF是平行四边形,∴□DECF是矩形;②存在;连接CD∵四边形DECF是矩形,∴EF=CD,当CD⊥AB时,CD的值最小,∵C(3,2),∴DC的最小值是2,∴EF的最小值是2;点评:本题考查了待定系数法求解析式,抛物线上点的坐标的求法,三角形相似的判定和性质,矩形的判定和性质等,本题是二次函数的综合性题,其难点是三角形相似的判定:两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;26.(14分)(2014•南平)在图1、图2、图3、图4中,点P在线段BC上移动(不与B、C重合),M在BC的延长线上.(1)如图1,△ABC和△APE均为正三角形,连接CE.①求证:△ABP≌△ACE.②∠ECM的度数为 60 °.(2)①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形,连接CE.则∠ECM的度数为 45 °.②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形,连接CE.则∠ECM的度数为 36 °.(3)如图4,n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形,连接CE,请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系(用含n的式子表示∠ECM的度数),并利用图4(放大后的局部图形)证明你的结论.考点:四边形综合题.分析:(1)①由△ABC与△APE均为正三角形得出相等的角与边,即可得出△ABP≌△ACE.②由△ABP≌△ACE,得出∠ACE=∠B=60°,即可得出∠ECM的度数.(2)①作EN⊥BN,交BM于点N,由△ABP≌△ACE,利用角及边的关系,得出CN=EN,即可得出∠ECM的度数.②作EN⊥BN,交BM于点N,由△ABP≌△ACE,得出角及边的关系,得出CN=EN,即可得出∠ECM的度数.(3)过E作EK∥CD,交BM于点K,由正多边形的性质可得出△ABP≌△PKE,利用角及边的关系,得出CK=KE,即△EKC是等腰三角形,根据多边形的内角即可求出∠ECM的度数.解答:解:(1)①证明:如图1,∵△ABC与△APE均为正三角形,∴AB=AC,AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°,∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC即∠BAP=∠CAE,在△ABP和△ACE中,,∴△ABP≌△ACE (SAS).②∵△ABP≌△ACE,∴∠ACE=∠B=60°,∵∠ACB=60°,∠ECM=180°﹣60°﹣60°=60°.故答案为:60.(2)①如图2,作EN⊥BN,交BM于点N∵四边形ABCD和APEF均为正方形,∴AP=PE,∠B=∠ENP=90°,∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°,即∠BAP=∠NPE,在△ABP和△PNE中,,∴△ABP≌△ACE (AAS).∴AB=PN,BP=EN,∵BP+PC=PC+CN=AB,∴BP=CN,∴CN=EN,∴∠ECM=∠CEN=45°②如图3,作EN∥CD交BM于点N,∵五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形,∴AP=PE,∠B=∠BCD,∵EN∥CD,∴∠PNE=∠BCD,∴∠B=∠PNE∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°﹣∠B,即∠BAP=∠NPE,在△ABP和△PNE中,,∴△ABP≌△ACE (AAS).∴AB=PN,BP=EN,∵BP+PC=PC+CN=AB,∴BP=CN,∴CN=EN,∴∠NCE=∠NEC,∵∠CNE=∠BCD=108°,∴∠ECM=∠CEN=(180°﹣∠CNE)=×(180°﹣108°)=36°.故答案为:45,36.(3)如图4中,过E作EK∥CD,交BM于点K,∵n边形ABC…和n边形APE…为正n边形,∴AB=BC AP=PE∠ABC=∠BCD=∠APE=∵∠APK=∠ABC+∠BAP,∠APK=∠APE+∠EPK∴∠BAP=∠KPE∵EK∥CD,∴∠BCD=∠PKE∴∠ABP=∠PKE,在△ABP和△PKE中,,∴△ABP≌△PKE(AAS)∴BP=EK,AB=PK,∴BC=PK,∴BC﹣PC=PK﹣PC,∴BP=CK,∴CK=KE,∴∠KCE=∠KEC,∵∠CKE=∠BCD=∴∠ECK=.点评:本题主要考查了四边形综合题,涉及三角形全等的判定及性质,正多边形的内角及等腰三角形的性质,解题的关键是正确作出辅助线,运用三角形全等求出对应边相等.。
【数学】福建省南平市2018届高三第二次(5月)综合质量检查数学理试题含解析
2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位,复数,,若复数是纯虚数,则()A. 1B.C. 2D. 4【答案】C【解析】分析:由纯虚数的概念,令其实部为0,得,进而可求模长.详解:,若复数是纯虚数,则,所以.所以,则.故选C.点睛:本题主要考查了复数的概念,属于基础题.2. 若,是第三象限的角,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:由同角三角函数的平方关系,利用两角和的正弦展开求解即可详解:由,是第三象限的角,所以,.故选D.3. 命题,命题,真命题的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:由,可知命题为真,由指数函数单调性可知命题为假,从而得解.详解:由,可知命题为真命题;当时,,则,所以不存在. 命题为假命题.所以为真命题.故选C.点睛:要判断复合命题的真假,首先必须判断简单命题的真假,再由真值表确定复合命题真假.属于基础题.4. 如图,半径为的圆内有四个半径相等的小圆,其圆心分别为,这四个小圆都与圆内切,且相邻两小圆外切,则在圆内任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:由圆与圆的位置关系得到小圆半径与大圆半径的比值,利用几何概型的概率等于面积比,列式求解即可.详解:设小圆的半径为,根据四个小圆与大圆内切可得,四个小圆互相外切,可知四边形为正方形,.所以:,解得.大圆的面积为:,四个小圆的面积为.由几何概型的的概率公式可得:该点恰好取自阴影部分的概率为.故选A.点睛: (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.5. 过双曲线上任意点作双曲线的切线,交双曲线两条渐近线分别交于两点,若为坐标原点,则的面积为()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】分析:本题采用“小题小做”的方式,在题中没有限定切线的位置时,可以将切线特殊为,从而可迅速准确的得解.详解:过双曲线上任意点作双曲线的切线,不妨设点为右顶点.此时易知切线即为.两条渐近线为:.即为等腰直角三角形,则的面积为.故选D.点睛:当题中没有限定情况时,我们考虑问题可以从最特殊的情况分析,特殊情况往往可以帮助我们排除错误,选出正确选项.通常这种方法被称为:特殊位置法,在选择题中常常被广泛应用.6. 的展开式中的常数项为()A. 20B. -20C. 40D. -40【答案】C【解析】分析:先求的二项展开的通项,结合条件知求的展开式中的常数项,只需找到的和的项即可,令,,求解相加可得常数项.详解:的二项展开的通项为:..由.可知要求的展开式中的常数项,只需找到的和的项即可.令,得,令,得,此时常数项为:.故选D.点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.7. 我国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.现有一块底面两直角边长为3和4,侧棱长为12的“堑堵”形石材,将之切削、打磨,加工成若干个相同的石球,并让石球的体积最大,则所剩余的石料体积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:由球与三侧面相切得半径为1,进而得有6个石球,利用球和棱柱的体积公式计算即可得解.详解:当每个石球与各侧面相切时,半径为.由半径为的圆与两直角边长为3和4的直角三角形内切,由等面积法可得:,解得.由题可知,可以得到6个这样的石球.6个半径为的石球的体积为:.则所剩余的石料体积为:.故选C.点睛:本题主要考查了三角形内球圆的半径的求法——等面积法,同时也考察了空间想象力,属于中档题.8. 已知函数,将的图象向右平移个单位后所得图象关于点对称,将的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称,则的值不可能是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意集合对称中心可得:,据此有:,结合对称轴有:,据此有:,据此可得:的值不可能是.本题选择B选项.9. 在中,若,边上中线长为3,则()A. -7B. 7C. -28D. 28【答案】A【解析】分析:设的中点为,由向量的加法运算可得:,代入长度可得解.详解:在中,设的中点为,则.由题意知:.则.故选A.点睛:平面向量的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式.二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用,利用向量数量积的坐标运算,即可求解,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.10. 执行如图所示的程序框图,输出的值为()A. -1008B. -1010C. 1009D. 1007【答案】C【解析】分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当时,满足条件,退出循环,利用并项求和计算结果即可.详解:执行程序框图:,否;否;否;……,是.输出.故选C.点睛:本题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.11. 已知顶点在同一球面上的某三棱锥三视图中的正视图,俯视图如图所示.若球的体积为,则图中的的值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:首先由三视图的正视图和俯视图可以还原三棱锥,做出图像,建立空间直角坐标系,由外接球球心到各点的距离为半径,列方程组求解即可.详解:由三视图还原几何体,如图所示:由正视图和俯视图得三棱锥为,其外接球的体积为,设半径为,则,解得.如图所示建立空间直角坐标系.则,由三角形为直角三角形,所以可设外接球的球心为.则有:.解得.故选B.点睛:本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法,属于难题.求外接球半径或圆心的常见方法有:①若三条棱两垂直则用(为三棱的长);②若面(),则(为外接圆半径)③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径;⑤通过建立空间直角坐标系,利用代数法解方程组.12. 若函数在区间有一个极大值和一个极小值,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:求函数导数,分析导数的单调性,根据极值和端点的大小关系,使其有两个变号零点即可.详解:函数,求导得:.令,.易知,在,单调递减;在,单调递增;在,单调递减.且.有.根据题意可得:,解得.故选A.点睛:(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 若实数满足,且的最大值为4,则的最小值为__________.【答案】2【解析】分析:作出可行域,易知在处得最大值,进而由,可利用基本不等式求最小值.详解:作出不等式组表示的可行域,如图所示:易知可行域内的点,均有.所以要使最大,只需最大,最大即可,即在点A处取得最大值.,解得.所以有,即..当且仅当时,有最小值2.故答案为:2.点睛:利用基本不等式证明不等式、求最值时应注意基本步骤和应用的条件:一正、二定、三相等.这类问题一般有一定的技巧性,需要构造出符合要求的基本形式,这是解决这类问题的关键,但也是问题的难点.14. 已知实数满足,则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析:现有得,再由,利用二次函数性质求值域即可.详解:由,可得.又,所以,解得..结合,可得.故答案为:.点睛:本题主要考查求二次函数值域,需要注意定义域,属于中档题.15. 直线与椭圆相交于两点,若(为坐标原点),则以点为圆心且与直线相切的圆方程为__________.【答案】【解析】分析:将直线直线特殊为:,从而得坐标,由求解即可.详解:直线与椭圆相交于两点,若(为坐标原点)不妨设直线为:.则有:.由,可得,解得.所以此时为:.则以点为圆心且与直线相切的.故答案为:.点睛:当题中没有限定情况时,我们考虑问题可以从最特殊的情况分析,特殊情况往往可以帮助我们排除错误,选出正确选项.通常这种方法被称为:特殊位置法,在选择题中常常被广泛应用.16. 在中,若,则角__________.【答案】【解析】分析:由正弦定理可得,结合余弦定理得,从而得,结合左右两边式子的有界性可得,从而得解. 详解:由正弦定理,由,可得.由余弦定理可得,代入上式得:.所以.因为.所以.解得.故答案为:.点睛:解三角形问题,主要是确定选用什么公式:正弦定理、余弦定理、三角形的面积,一般可根据已知条件和要求的问题确定,本题由正弦定理角化边,再由余弦定理,这样才能达到迅速化简的目的.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 设为数列的前项和,已知,,.(Ⅰ)求证:是等差数列;(Ⅱ)设,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】分析:(Ⅰ)当时,,带入可得:,从而得证;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,进而得,,利用错位相减即可得解.详解:(Ⅰ)证:当时,,代入已知得,,所以,因为,所以,所以,故是等差数列;(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知是以1为首项,1为公差的等差数列,所以从而,当时,,又适合上式,所以.所以①②②- ①得,.................................18. 某地区某农产品近五年的产量统计如下表:(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程,并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量;(Ⅱ)若近五年该农产品每千克的价格(单位:元)与年产量(单位:万吨)满足的函数关系式为,且每年该农产品都能售完.求年销售额最大时相应的年份代码的值,附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的计算公式:,.【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析.【解析】分析:(Ⅰ)计算得,,利用公式得,,从而得回归方程为,代入可得解;(Ⅱ)当年产量为时,年销售额,结合二次函数求最值即可.详解:(Ⅰ)由题意可知:,,.,,∴关于的线性回归方程为;当时,,即2018年该农产品的产量为6.69万吨.(Ⅱ)当年产量为时,年销售额(万元),因为二次函数图像的对称轴为,又因为,所以当时,即2016年销售额最大,于是.点睛:求解回归方程问题的三个易误点:①易混淆相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过点,可能所有的样本数据点都不在直线上.③利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为准确值,而实质上是预测值(期望值).19. 如图,在四棱锥中,侧面为钝角三角形且垂直于底面,,点是的中点,,,.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若直线与底面所成的角为60°,求二面角余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】分析:(Ⅰ)取中点,连接,设,,由勾股定理可得,结合面面垂直的性质定理可得证;(Ⅱ)过点作的垂线,交延长线于点,连接,可证得为斜线与底面所成的角,进而得,过点作,所以底面,所以两两垂直,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解二面角即可.详解:(Ⅰ)证明:取中点,连接,设,,依题意得,四边形为正方形,且有,,所以,所以,又平面底面,平面底面,底面,所以平面.又平面,所以平面平面(Ⅱ)过点作的垂线,交延长线于点,连接,因为平面底面,平面底面,平面,所以底面,故为斜线在底面内的射影,为斜线与底面所成的角,即由(Ⅰ)得,,所以在中,,,,在中,,,,由余弦定理得,所以,从而,过点作,所以底面,所以两两垂直,如图,以点为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面的法向量得取得,设平面的法向量得,取得,,所以故所求的二面角的余弦值为.点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,一是空间垂直关系的证明,二是求二面角的大小,在求解的过程中,需要对空间平行垂直关系的有关定理的条件和结论要熟记,再者就是用空间向量求解二面角的问题要明确思路,还有就是该题第一问也可以应用空间向量来证明,借用向量数量积等于零来达到证明垂直的目的,还有就是利用法向量求二面角的余弦值的时候一定要结合法向量的方向确定是其补角还是其本身.20. 过点任作一直线交抛物线于两点,过两点分别作抛物线的切线.(Ⅰ)记的交点的轨迹为,求的方程;(Ⅱ)设与直线交于点(异于点),且,.问是否为定值?若为定值,请求出定值.若不为定值,请说明理由.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析.【解析】分析:(Ⅰ)设切点,,交点,得切线的方程为,切线的方程为,带入点,进而得交点的轨迹的方程是;(Ⅱ)设点,将条件向量坐标表示可得,,代入抛物线得,结合,可得,同理得,从而得是关于的方程的两根,由韦达定理可得解.详解:(Ⅰ)设切点,,交点由题意得切线的方程为,切线的方程为,又因为点分别在直线上,所以,则直线的方程为,又因为点在直线上,所以,即切线交点的轨迹的方程是.(Ⅱ)设点,,因为,所以,因此,,即,,又因为点在抛物线上,所以(1)由于点在直线上,所以,把此式代入(1)式并化简得:(2),同理由条件可得:(3),由(2),(3)得是关于的方程的两根,由韦达定理得.即为定值.点睛:本题主要考查了求直线交点交点轨迹和抛物线中的定值问题,利用“抽线”的思想,即根据两点在直线可得直线方程;“抽二次方程”的思想,即两实数满足同一二次方程,则这两实数为此二次方程的两个根,属于难题.21. 己知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的最小值为-1,,数列满足,,记,表示不超过的最大整数.证明:.【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析.【解析】分析:(Ⅰ)函数求导,讨论和两种情况即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数的最小值点为,得,令,进而得,则由归纳可猜想当时,,利用数学归纳法可证得,于是,,则,从而利用裂项相消法可得证.详解:(Ⅰ)函数的定义域为.1、当时,,即在上为增函数;2、当时,令得,即在上为增函数;同理可得在上为减函数.(Ⅱ) 有最小值为-1, 由(Ⅰ)知函数的最小值点为,即,则,令,当时,,故在上是减函数所以当时∵,∴.(未证明,直接得出不扣分)则.由得,从而.∵,∴.猜想当时,.下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当时,猜想正确.2、假设时,猜想正确.即时,.当时,有,由(Ⅰ)知是上的增函数,则,即,由得.综合1、2得:对一切,猜想正确.即时,.于是,,则.故点睛:本题主要考查了函数的单调性和最值,数学归纳猜想的思想,以及数列的裂项相消法,综合性较强,属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,曲线的参数方程为(为参数),曲线的方程为,(),曲线与曲线分别交于两点.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;(Ⅱ)求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】分析:(Ⅰ)由,,可得普通方程的极坐标方程;(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,由(1)得,,即,利用三角的范围求解范围即可.详解:(Ⅰ)因为,,所以曲线的极坐标方程为,即由(为参数),消去,即得曲线直角坐标方程为将,,代入化简,可得曲线的极坐标方程为(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,由(1)得,即因为,所以,所以点睛:本题主要考查了参数方程与普通方程的互化,普通方程与极坐标方程的互化,以及极坐标的应用,属于基础题.23. 选修4-5:不等式选讲已知函数,.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若关于的不等式有解,求的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】分析:(Ⅰ)分段讨论去绝对值求解不等式即可;(Ⅱ)不等式有解,等价于,所以讨论分段函数的最大值即可.详解:(Ⅰ)当时,即解不等式当时,不等式可化为,即,与矛盾无解当时,不等式可化为,即,所以解得当时,不等式可化为,即,所以解得综上所述,不等式的解集为(Ⅱ)因为函数在上单调递增,在上单调递减,所以当时,不等式有解等价于,故的取值范围为.点睛:本题主要考查了(1)解绝对值不等式;(2)求含两个绝对值的函数的最值,属于基础题.2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z 满足iii z 2|2|++=,则=||z ( ) A .3 B .10 C .9 D .102.已知全集R U =,集合}012|{2≥--=x x x M ,}1|{x y x N -==,则=N M C U )(( )A .}1|{≤x xB .}121|{≤<-x xC .}121|{<<-x x D .}211|{<<-x x3.已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行,则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为( ) A .631π-B .43C .63π D .414.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ,且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ,则双曲线的离心率是( ) A .12+ B .2 C .3 D .13+5.一个算法的程序框图如图所示,如果输出y 的值是1,那么输入x 的值是( )A .2-或2B .2-或2C .2-或2D .2-或2 6.已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π,将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后,得到的图象关于y 轴对称,那么)(x f y =的图象( ) A .关于点)0,12(π对称 B .关于点)0,12(π-对称C .关于直线12π=x 对称 D .关于直线12π-=x 对称7.如下图,网格纸上小正方形的边长为1,图中实线画的是某几何体的三视图,则该几何体最长的棱的长度为( )A.32 B.43C. 2D. 411 8.已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项,则=+102a a ( )A .160B .160-C .350D .320- 9.已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A .)2,(--∞B .)2,(-∞C .)22,(--∞D .)22,22(- 10.已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2,高为2,则其外接球的表面积为( )A .π16B .π20C .π65D .π465 11.平行四边形ABCD 中,2,3==AD AB ,0120=∠BAD ,P 是平行四边形ABCD 内一点,且1=AP ,若y x +=,则y x 23+的最大值为( ) A .1 B .2 C .3 D .412.设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,,n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …,若n n a a a c b ==++1111,2,2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++,则( ) A .}{n S 为递减数列 B .}{n S 为递增数列C .}{12-n S 为递增数列,}{2n S 为递减数列D .}{12-n S 为递减数列,}{2n S 为递增数列二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数,则实数=a .14.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x (R y x ∈,),则22y x +的最大值为 .15.已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ,直线1l 与C 交于B A ,两点,直线2l 与C 交于E D ,两点,则||||DE AB +的最小值为 . 16.在锐角三角形ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且满足ac a b =-22,则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 (本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足)(221R m m S n n ∈+=+. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .18.小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时,顾客从装有1个黑球,3个红球和6个白球(除颜色外其他都相同)的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球,根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖,二等奖,三等奖,四等奖时分别可领取的奖金为a 元,10元,5元,1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况:1:A 个黑球2个红球;3:B 个红球;:c 恰有1个白球;:D 恰有2个白球;3:E 个白球,且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖,中二等奖,中三等奖,中四等奖,不中奖.(1)通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况(写出字母即可); (2)已知顾客摸出的第一个球是红球,求他获得二等奖的概率;(3)设顾客抽一次奖小张获利X 元,求变量X 的分布列;若小张不打算在活动中亏本,求a 的最大值.19.如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,0160=∠CBB ,1AC AB =.(1)证明:平面⊥C AB 1平面C C BB 11;(2)若C B AB 1⊥,直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030,求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20.如图,圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点,过D 作圆O 的切线,分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点,连接BE AF ,,相交于点G ,若点G 的轨迹为曲线C .(1)记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,,与直线2=x 交于点S ,与直线1-=y 交于点T ,求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.(注:222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+)21.已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. (1)若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直,求实数a 的值;(2)设)()()(x g x f x h +=,若对任意两个不等的正数21,x x ,2)()(2121>--x x x h x h 恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若在],1[e 上存在一点0x ,使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立,求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x (其中t 为参数,0>a ),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l :0sin cos =+-b θρθρ与2C :θρcos 4-=相交于B A ,两点,且090=∠AOB . (1)求b 的值;(2)直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点,证明:||||22N C M C ⋅(2C 为圆心)为定值. 23.选修4-5:不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . (1)解不等式9)(≤x f ;(2)若不等式a x x f +<2)(的解集为A ,}03|{2<-=x x x B ,且满足A B ⊆,求实数a的取值范围.参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.3 14.8 15.16 16.)332,1( 三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.解:(1)由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ,)(R m ∈,从而有4,2233122=-==-=S S a S S a , 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ,首项11=a ,因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.(2)由(1)可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n , ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18.解:(1)4011203)(31023===C C A P ;12011)(310==C B P ,10312036)(3102416===C C C C P ,2112060)(3101426===C C C D P ,6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<, ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.(2)记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球,事件G 为顾客获得二等奖,则181)|(2912==C C F G P .(3)X 的取值为3,2,2,7,3---a ,则分布列为由题意得,若要不亏本,则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a , 解得194≤a ,即a 的最大值为194.19.解:(1)证明:连接1BC ,交C B 1于O ,连接AO , ∵侧面C C BB 11为菱形,∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点,∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1,∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11,∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.(2)由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11,得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ,∴C B AO 1⊥,从而1,,OB OB OA 两两互相垂直,以O 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030,∴030=∠ABO设1=AO ,则3=BO ,∵0160=∠CBB ,∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ,则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ,令1=x ,则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ, 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20.解:(1)易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ,其中42020=+y x ,则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--, ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ,则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k (0≠y ) 故曲线C 的方程为1422=+y x (0≠y ) (2)联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ,得0448522=-++m mx x ,设),(),,(2211y x Q y x P ,则544,5822121-=-=+m x x m x x ,由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=,易得)1,1(),2,2(---+m T m S , ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=,∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ,令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t , 则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ, 当431=t ,即43=t 时,λ取得最大值552,此时35-=m . 21.解:(1)x a x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a ,解得2-=a (2))()()(x g x f x h +=x a x ln 212+= 对任意两个不等的正数21,x x ,2)()(2121>--x x x h x h 恒成立, 令21x x >,则)(2)()(2121x x x h x h ->-,即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xa x x F ,则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立,即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立, 所以1)2(max 2=-≥x x a ,即实数a 的取值范围是),1[+∞.(3)不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x a x a x x -<+, 整理得01ln 000<++-x a x a x ,构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(, 由题意知,在],1[e 上存在一点0x ,使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--= 因为0>x ,所以01>+x ,令0)('=x m ,得a x +=1①当11≤+a ,即0≤a 时,)(x m 在],1[e 上单调递增,只需02)1(<+=a m ,解得2-<a ; ②当e a ≤+<11,即10-≤<e a 时,)(x m 在a x +=1处取得最小值.。
福建省南平市 中考数学试卷
福建省南平市2018年中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.)1、(2018•南平)2的相反数等于()A、﹣2B、2C、﹣D、2、(2018•南平)方程组的解是()A、B、C、D、3、(2018•南平)下列调查中,适宜采用全面调查方式的是()A、了解南平市的空气质量情况B、了解闽江流域的水污染情况C、了解南平市居民的环保意识D、了解全班同学每周体育锻炼的时间4、(2018•南平)下列运算中,正确的是()A、a3•a5=a15B、a3÷a5=a2C、(﹣a2)3=﹣a6D、(ab3)2=﹣ab65、(2018•南平)下列说法错误的是()A、必然事件发生的概率为1B、不确定事件发生的概率为0.5C、不可能事件发生的概率为0D、随机事件发生的概率介于0和1之间6、(2018•南平)边长为4的正三角形的高为()A、2B、4C、D、27、(2018•南平)已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4,若O1O2=6,则⊙O1和⊙O2的位置关系是()A、内切B、相交C、外切D、外离8、(2018•南平)有一等腰梯形纸片ABCD(如图),AD∥BC,AD=1,BC=3,沿梯形的高DE剪下,由△DEC与四边形ABED不一定能拼成的图形是()A、直角三角形B、矩形C、平行四边形D、正方形9、(2018•南平)某商店销售一种玩具,每件售价92元,可获利15%,求这种玩具的成本价.设这种玩具的成本价为x元,依题意列方程正确的是()A、=15%B、=15%C、92﹣x=15%D、x=92×15%10、(2018•南平)观察下列各图形中小正方形的个数,依此规律,第(11)个图形中小正方形的个数为()A、78B、66C、55D、50二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11、计算:=_________.12、分解因式:mx2+2mx+m=_________.13、(2018•南平)已知△ABC的周长为18,D、E分别是AB、AC的中点,则△ADE的周长为_________.14、(2018•南平)抛掷一枚质地均匀的硬币两次,正面都朝上的概率是_________.15、(2018•南平)已知反比例函数y=的图象经过点(2,5),则k= _________ .16、(2018•南平)某次跳绳比赛中,统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩(单位:次)情况如下表:班级 参加人数 平均次数中位数方差甲45 135 149180 乙45 135 151 130 下列三个命题:(1)甲班平均成绩低于乙班平均成绩;(2)甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大;(3)甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数(跳绳次数≥150次为优秀).其中正确的命题是 _________ .(只填序号)17、(2018•南平)如图是一个几何体的三视图,根据图中标注的数据可得该几何体的体积为 _________ .(结果保留π)18、(2018•南平)一个机器人从点O 出发,每前进1米,就向右转体a°(1<a <180),照这样走下去,如果他恰好能回到O 点,且所走过的路程最短,则a 的值等于 _________ .三、解答题(本大题共8小题,共86分.)19、(2018•南平)先化简,再求值:x (x+1)﹣(x ﹣1)(x+1),其中x=﹣1.20、(2018•南平)解不等式组:,并把它的解集在数轴上表示出来.21、(2018•南平)如图,△ABC 三个顶点坐标分别为A (1,2),B (3,1),C (2,3),以原点O 为位似中心,将△ABC 放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′;(不要求写画法)(2)△A′B′C′的面积是: _________ .22、(2018•南平)在“5•12防灾减灾日”之际,某校随机抽取部分学生进行“安全逃生知识”测验根据这部分学生的测验成绩(单位:分)绘制成如下统计图(不完整):请根据上述图表提供的信息,完成下列问题:(1)分别补全频数分布表和频数分布直方图;(2)若从该校随机1名学生进行这项测验,估计其成绩不低于80分的概率约为_________.23、(2018•南平)为落实校园“阳光体育”工程,某校计划购买篮球和排球共20个.已知篮球每个80元,排球每个60元.设购买篮球x个,购买篮球和排球的总费用y元.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍,应如何购买,才能使总费用最少?最少费用是多少元?24、(2018•南平)如图,已知点E在△ABC的边AB上,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,且D在以AE为直径的⊙O上.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)已知∠B=28°,⊙O的半径为6,求线段AD的长.(结果精确到0.1)25、(2018•南平)(1)操作发现:如图1,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD 内部,延长AF交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论.(2)类比探究:如图2,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.26、(2018•南平)定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),若b2=ac,则称该抛物线为黄金抛物线.例如:y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线.(1)请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式;(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)是黄金抛物线,请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况(要求说明理由);(3)将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位①直接写出平移后的新抛物线的解析式;②设①中的新抛物线与y轴交于点A,对称轴与x轴交于点B,动点Q在对称轴上,问新抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由[注:第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图(画图不计分)]【提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=﹣,顶点坐标是(﹣,)】.答案与评分标准一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1、(2018•南平)2的相反数等于()A、﹣2B、2C、﹣D、考点:相反数。
南平市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
南平市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 函数y=(x 2﹣5x+6)的单调减区间为( )A .(,+∞)B .(3,+∞)C .(﹣∞,)D .(﹣∞,2)2. 设函数()()()21ln 31f x g x ax x ==-+,,若对任意1[0)x ∈+∞,,都存在2x ∈R ,使得()()12f x f x =,则实数的最大值为( )A .94B . C.92D .4 3. 如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为( )A .20B .25C .22.5D .22.754. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A . B . C . D .5. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是( )A.﹣3 B.﹣C.D.26.已知AC⊥BC,AC=BC,D满足=t+(1﹣t),若∠ACD=60°,则t的值为()A.B.﹣C.﹣1 D.7.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为()A.B.C.D.8.等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a2a6=()A.6 B.9 C.36 D.729.已知命题p:对任意x∈R,总有3x>0;命题q:“x>2”是“x>4”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q10.已知x>1,则函数的最小值为()A.4 B.3 C.2 D.111.已知两点M(1,),N(﹣4,﹣),给出下列曲线方程:①4x+2y﹣1=0;②x2+y2=3;③+y2=1;④﹣y2=1.在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( ) A .①③ B .②④ C .①②③ D .②③④12.函数f (x )=有且只有一个零点时,a 的取值范围是( )A .a ≤0B .0<a <C .<a <1D .a ≤0或a >1二、填空题13.设变量x ,y 满足约束条件,则的最小值为 .14.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且,则= .15.已知a ,b 是互异的负数,A 是a ,b 的等差中项,G 是a ,b 的等比中项,则A 与G 的大小关系为 .16.已知点A (﹣1,1),B (1,2),C (﹣2,﹣1),D (3,4),求向量在方向上的投影.17.对于|q|<1(q 为公比)的无穷等比数列{a n }(即项数是无穷项),我们定义S n (其中S n 是数列{a n }的前n 项的和)为它的各项的和,记为S ,即S=S n =,则循环小数0. 的分数形式是 .18.已知等差数列{a n }中,a 3=,则cos (a 1+a 2+a 6)= .三、解答题19.【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ (1)当1m =时,求()f x 的单调区间;(2)令()()g x xf x =,区间1522,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭,e 为自然对数的底数。
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南平一中第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷
考试时间:90分钟 满分100分
就读学校: 姓名: 考场号: 报名号:
1.2
1
)
2(--m m 化简后的结果为( ) A.2-m B.m -2 C.m --2 D.2--m
2.式子
|
|||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能值的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个
3.某班开展课外选修课活动,班级的50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择,每位学生至少选择一门,选择音乐的有21人,选择美术的有28人,选择体育的有16人,既选择音乐又选择美术的有7人,既选择美术又选择体育的有6人,既选择体育又选择音乐的有5人,则三项都参加的人数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.已知二次函数622
--=x x y ,当4≤≤x m 时,函数的最大值为2,最小值为7-,则满足条件的m 的取值范围是( )
A.1≤m
B.12<<-m
C.12≤<-m
D.12≤≤-m 5.适合
13≤--y
x y
x ,且满足方程13=+y x 的x 的取值范围是( ) A.410<
≤x B.4121<≤-x C.410≤≤x D.4
121≤≤-x 6.已知B A 、两点在一次函数x y =的图象上,过B A 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线
)0(2
>=x x
y 于N M 、两点,O 为坐标原点。
若AM BN 3=,则229ON OM -的值为( )
A. 8
B. 16
C. 32
D. 36 7.在N M BAC ABC Rt 、,中,︒=∠∆90是BC 边上的点,MN CN BM 2
1
=
=,如果8=AM ,6=AN ,则MN 的长为( )
A.104
B.102
C.
102
3
D.10
8.将正奇数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对
),(m n 表示第n 排,从左到右第m 个数,如)2,4(表示奇
数15,则表示奇数2017的有序实数对是( )
A.)19,44(
B.)26,45(
C.)19,45(
D.)27,45(
9.如图,在矩形ABCD 中,过点B 作AC BF ⊥,垂足为F ,设
n CF m AF ==,,若CD CF 2=,则
m
n
的值为( ) A.222+ B.123+ C.132+ D.152- 10.已知正整数b a 、满足5350≤+≤b a ,8.079.0<<
b
a
,则a b -等于( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题(本大题4小题,每小题3分,共12分)
11.函数3172--+--=
x x x y 的最大值为 .
12.如图,在平行四边形ABCD 中,4===BD BC AB ,N M 、分别是CD AD 、上的动点(含端点),︒=∠60MBN ,则线段MN 的长的取值范围是 .
13.毕业季将至,宿舍的四位同学每人写了一张明信片放进纸盒,准备毕业时每个人随机抽取一张,则每个人都拿到的是别人的明信片的概率是 .
14.如图,直线AB 和AC 与圆O 分别相切于C B 、两点,
P 为圆上一点,且点P 到BC AB 、的距离分别为6和4,
则点P 到AC 的距离为 .
三、解答题(本大题5小题,共58分)
15.(10分)
(1)计算:︒+++
-+-30cos 23
23
|323|)3(0
π
第一排 第二排 第三排 第四排
7
(13)
15 178 19
3 5
1 9
11
(2)因式分解:6522
3+--x x x
16.(10分)
(1)已知有理数b a ,满足2234102)2(+-=-+b a ,求b a ,的值; (2)解方程
29
89=---x x
x x 17.(12分)已知21,x x 是一元二次方程0122
=++-k kx kx 的两个实数根; (1)若k x x x x 8)2)(2(2121-=--成立,求实数k 的值; (2)是否存在整数k ,使2
1
12x x x x +的值为整数?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。
18.(12分)已知函数||a x y -=,
(1)当2=a 时,在图1所示的平面直角坐标系内作出该函数图象的简图;
(2)若长方形ABCD 四个顶点的坐标分别为)2,2(),2,2(),0,2(),0,2(--,设长方形ABCD 在函数
||a x y -=的图象以上部分的面积为S ,当40<<a 时,求S 关于a 的函数关系式。
第18题图1 第18题图2 第18题(备用图)
19.(14分)在平面直角坐标系中,一次函数33
3
-=
x y 的图象与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C ,抛物线)0(3
3
22
≠+-
=a c x ax y 经过C B 、两点,设抛物线与x 轴的另一个交点为A ; (1)求该抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P ,使ABP ∆为直角三角形,若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说
明理由;
的周长最小,若存在,求出点M的坐标;(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得MBF
若不存在,请说明理由。
第19题图1 第19题图2 第19题(备用图)。