2013年中考数学综合题汇编五-相似问题(含解析)

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全国各地2013年中考数学试题最新分类汇编 命题和证明

全国各地2013年中考数学试题最新分类汇编 命题和证明

命题和证明(2013•某某)下列命题中,真命题是()A.位似图形一定是相似图形B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C.四条边相等的四边形是正方形D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直考点:命题与定理分析:根据位似图形的定义、等腰梯形的性质、正方形的判定、两直线的位置关系分别对每一项进行分析即可.解答:解:A、位似图形一定是相似图形是真命题,故本选项正确;B、等腰梯形既是轴对称图形,不是中心对称图形,原命题是假命题;C、四条边相等的四边形是菱形,原命题是假命题;D、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相垂直,原命题是假命题;故选A.点评:此题考查了命题与定理,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.(2013,永州)列说法正确的是( )A. 一组数据2,5,3,1,4,3的中位数是3B. 五边形的外角和是540度C. “菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题D. 三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点(2013•某某)下列命题是真命题的是()A.无限小数是无理数B.相反数等于它本身的数是0和1C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形D.等边三角形既是中心对称图形,又是轴对称图形考点:命题与定理.分析:分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.解答:解:A、无限小数不一定是无理数,故原命题是假命题;B、相反数等于它本身的数是0,故原命题是假命题;C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故原命题是真命题;D、等边三角形是轴对称图形,故原命题是假命题;故选C.点评:此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.(2013•某某)下列命题中,真命题是A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是矩形(2013•某某)下列命题中正确的是()A.函数y=的自变量x的取值X围是x>3B.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形C.一组对边平行,另一组对边相等四边形是平行四边形D.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等考点:命题与定理.分根据菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质分别判断得出即可.析:解答:解:A、函数y=的自变量x的取值X 围是x≥3,故此选项错误;B、菱形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项错误;C、一组对边平行,另一组对边相等四边形是也可能是等腰梯形,故此选项错误;D、根据外心的性质,三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,故此选项正确.故选:D.点评:此题主要考查了菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质,熟练掌握相关定理和性质是解题关键.(2013•眉山)下列命题,其中真命题是A.方程x2=x的解是x=1 B.6的平方根是±3C.有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等D.连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形(2013•某某)下列命题正确的个数是()①若代数式有意义,则x的取值X围为x≤1且x≠0.②我市生态旅游初步形成规模,2012年全年生态旅游收入为302 600 000元,保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元.③若反比例函数(m为常数),当x>0时,y随x增大而增大,则一次函数y=﹣2x+m的图象一定不经过第一象限.④若函数的图象关于y轴对称,则函数称为偶函数,下列三个函数:y=3,y=2x+1,y=x2中偶函数的个数为2个.A.1B.2C.3D.4考点:命题与定理.3718684分析:根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案.解解:①若代数式有意义,则x的取值X围为x<1且x≠0,原命题错误;答:②我市生态旅游初步形成规模,2012年全年生态旅游收入为302 600 000元,保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元正确.③若反比例函数(m为常数)的增减性需要根据m的符号讨论,原命题错误;④若函数的图象关于y轴对称,则函数称为偶函数,三个函数中只有y=x2中偶函数,原命题错误,故选C.本题考查了命题与定理的知识,在判断一个命题正误的时候可以举出反例.点评:(2013•某某)下列几个命题中正确的个数为 1 个.①“掷一枚均匀骰子,朝上点数为负”为必然事件(骰子上各面点数依次为1,2,3,4,5,6).②5名同学的语文成绩为90,92,92,98,103,则他们平均分为95,众数为92.③射击运动员甲、乙分别射击10次,算得甲击中环数的方差为4,乙击中环数的方差为16,则这一过程中乙较甲更稳定.④某部门15名员工个人年创利润统计表如下,其中有一栏被污渍弄脏看不清楚数据,所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.个人年创利润/万元10 8 5 3员工人数 1 3 4考命题与定理.3718684点:分别根据中位数、众数、平均数、方差等公式以及性质分别计算分析得出即可.分析:解解:①“掷一枚均匀骰子,朝上点数为负”为不可能事件(骰子上各面点数依次为1,答:2,3,4,5,6),故此选项错误;②5名同学的语文成绩为90,92,92,98,103,则他们平均分为95,众数为92,故此选项正确;③射击运动员甲、乙分别射击10次,算得甲击中环数的方差为4,乙击中环数的方差为16,则这一过程中甲较乙更稳定,故此选项错误;④根据某部门15名员工个人年创利润数据,第7个与第8个数据平均数是中位数,故“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”,故此选项错误,故正确的有1个.故答案为;1.点评:此题主要考查了命题与定理,根据已知正确分析数据得出中位数是解题关键.(2013•某某)下列说法:①对顶角相等;②打开电视机,“正在播放《新闻联播》”是必然事件;③若某次摸奖活动中奖的概率是15,则摸5次一定会中奖;④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况,适合的调查方式是抽样调查;⑤若甲组数据的方差s2=0.01,乙组数据的方差s2=0.05,则乙组数据比甲组数据更稳定.其中正确的说法是_____①④___________.(写出所有正确说法的序号)(2013•某某)命题“相等的角是对顶角”是______命题.(填“真”或“假”)【答案】:假.(2013•某某)已知下列命题:①若a>b,则c﹣a<c﹣b;②若a>0,则=a;③对角线互相平行且相等的四边形是菱形;④如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个考点:命题与定理.分析:根据矩形的判定以及圆周角定理、不等式的性质和二次根式的性质分别判断得出即可.解答:解:①若a>b,则c﹣a<c﹣b;原命题与逆命题都是真命题;②若a>0,则=a;逆命题:若=a,则a>0,是假命题,故此选项错误;③对角线互相平分且相等的四边形是矩形;原命题是假命题,故此选项错误;④如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,逆命题:相等的圆心角所对的弧相等,是假命题,故此选项错误,故原命题与逆命题均为真命题的个数是1个.故选:D.点评:此题主要考查了矩形、圆周角定理、二次根式、不等式的性质,熟练掌握相关性质是解题关键.(2013•某某)下列命题中,真命题是()A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是矩形考点:命题与定理.分析:根据矩形、菱形、正方形的判定与性质分别判断得出答案即可.解解:A、根据对角线相等的四边形也可能是矩形,故此选项错误;答:B、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故此选项错误;C、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故此选项错误;D、根据四个角相等的四边形是矩形,是真命题,故此选项正确.故选:D.此题主要考查了命题与定理,熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定与性质是解题关键.点评:(2013•某某)下列命题中,真命题是A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是矩形(2013聊城)下列命题中的真命题是()A.三个角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D.正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形考点:命题与定理.分析:根据矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可.解答:解:A.根据四个角相等的四边形是矩形,故此命题是假命题,故此选项错误;B.根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形,故此命题是假命题,故此选项错误;C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形,故此命题是真命题,故此选项正确;D.正五边形是轴对称图形不是中心对称图形,故此命题是假命题,故此选项错误.故选:C.点评:此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识,熟练掌握相关定理是解题关键.2013•日照)四个命题:①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分;②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等; ③点P (1,2)关于原点的对称点坐标为(-1,-2); ④两圆的半径分别是3和4,圆心距为d ,若两圆有公共点,则.71<<d 其中正确的是A. ①②B.①③C.②③D.③④答案:B解析:三角形的中线分成两个三角形底边相等,高相同,故面积相等,①正确;两边和两边夹角对应相等的两个三角形才全等,故②错误;③正确;当d =1或d =7时,两圆有一个公共点,故④不正确,选B 。

2013数学中考试题汇编答案与解析

2013数学中考试题汇编答案与解析

2013中考全国100份试卷分类汇编答案与解析——圆的垂径定理1、(2013年潍坊市)如图,⊙O 的直径AB=12,CD 是⊙O 的弦,CD ⊥AB ,垂足为P ,且BP :AP=1:5,则CD 的长为( ).A.24B.28C.52D.54答案:D .考点:垂径定理与勾股定理.点评:连接圆的半径,构造直角三角形,再利用勾股定理与垂径定理解决.2、(2013年黄石)如右图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=,3AC =,4BC =,以点C 为圆心,CA 为半径的圆与AB 交于点D ,则AD 的长为A. 95B. 245C. 185D. 52答案:C解析:由勾股定理得AB =5,则sinA =45,作CE ⊥AD 于E ,则AE =DE ,在Rt △AEC 中,sinA =CE AC ,即453CE =,所以,CE =125,AE =95,所以,AD =1853、(2013河南省)如图,CD 是☉O 的直径,弦AB CD ⊥于点G ,直线EF 与O 相切与点D ,则下列结论中不一定正确的是【】(A )AG BG = (B )AB ∥EF(C )AD ∥BC (D )ABC ADC ∠=∠【解析】由垂径定理可知:(A )一定正确。

由题可知:EF CD ⊥,又因为AB CD ⊥,所以AB ∥EF ,即(B )一定正确。

因为ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧AC ,根据同弧所对的圆周角相等可知(D )一定正确。

【答案】C4、(2013•泸州)已知⊙O 的直径CD=10cm ,AB 是⊙O 的弦,AB ⊥CD ,垂足为M ,且AB=8cm ,则AC 的长为( )Bcm B cm cm或cm D cm或cm==3cm==4==25、(2013•广安)如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8cm,CD=3cm,则圆O的半径为()cm BcmAB=4cmAB=4cmx=故半径为6、(2013•绍兴)绍兴市著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为()求出==4m7、(2013•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是()BABABOB==8、(2013•徐州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O 的半径为()==59、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5 C 6 D. 810、(2013•宜昌)如图,DC 是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是()B、,正确,故本选项错误;11、(2013•毕节地区)如图在⊙O中,弦AB=8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半径()OB===12、(2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是()A.3B.4C.5D.7分析:过点O作OD⊥AB于点D,由垂径定理可求出BD的长,在Rt△BOD中,利用勾股定理即可得出OD的长.解:如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,∵OB=3,AB=3,OD⊥AB,∴BD=AB=×4=2,在Rt△BOD中,OD===.故选C.点评:本题考查的是垂径定理,根据题意画出图形,利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键13、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm考点:垂径定理的应用;勾股定理.分析:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,由垂径定理可知AD=AB,设OA=r,则OD=r﹣2,在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求r的值.解答:解:如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,∵OD⊥AB,∴AD=AB=×8=4cm,设OA=r,则OD=r﹣2,在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r﹣2)2+42,解得r=5cm.故选C.点评:本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.14、(2013•内江)在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为24.15、(2013•宁夏)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为2cm.==cmcm16、(2013•株洲)如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是48度.17、(2013•黄冈)如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则所在圆的半径为.CD=2x=∴所在圆的半径为:故答案为:.18、(2013•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为2.OC=1AB=2AD=2=2=2.19、(2013年广州市)如图7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,Θ与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),PΘ的半径为P13,则点P的坐标为____________.分析:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,先由垂径定理求出OD的长,再根据勾股定理求出PD的长,故可得出答案.解:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD=OA=3,在Rt△OPD中,∵OP=,OD=3,∴PD===2,∴P(3,2).故答案为:(3,2).点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键20、(2013年深圳市)如图5所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。

2013年中考数学真题试题(解析版)

2013年中考数学真题试题(解析版)

2013年中考数学试题解析一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.=9 =﹣2(2.(3分)(2013•济南)民族图案是数学文化中的一块瑰宝.下列图案中,既不是中心对称3.(3分)(2013•济南)森林是地球之肺,每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物.28.34.(3分)(2013•济南)如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,则∠B的度数为()5.(3分)(2013•济南)图中三视图所对应的直观图是()6.(3分)(2013•济南)甲、乙两人在一次百米赛跑中,路程s(米)与赛跑时间t(秒)的关系如图所示,则下列说法正确的是(),9.(3分)(2013•济南)一项“过关游戏”规定:在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次,若n次抛掷所出现的点数之和大于n2,则算过n次抛掷所出现的点数之和大于n=.10.(3分)(2013•济南)如图,扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°,以AB为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为()=,=×(OB×OA=,=11.(3分)(2013•济南)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确的个数为()12.(3分)(2013•济南)如图,动点P从(0,3)出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第2013次碰到矩形的边时,点P的坐标为()二、填空题:本大题共5小题,共20分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.13.(4分)(2013•济南)cos30°的值是.cos30°==.故答案为:14.(4分)(2013•济南)如图,为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象,请你用数学知识解释出这一现象的原因两点之间线段最短.15.(4分)(2013•济南)甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下(单位:经计算,=10,=10,试根据这组数据估计甲中水稻品种的产量比较稳定.=)﹣)的平均数为[﹣﹣16.(4分)(2013•济南)函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a,b,则+的值为﹣2 .先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到然后变形+得=xy=+==17.(4分)(2013•济南)如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F 分别在BC和CD上,下列结论:①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+.其中正确的序号是①②④(把你认为正确的都填上).∴CE=CF=﹣a==2+=2+三、解答题:本大题共7小题,共64分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.(6分)(2013•济南)先化简,再求值:÷,其中a=﹣1.﹣••﹣19.(8分)(2013•济南)某区在实施居民用水额定管理前,对居民生活用水情况进行了调查,下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量(单位:吨),并将调查数据进行如下整理:4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.74.55.16.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.64.9 3.7 3.85.6 5.5 5.96.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.26.4 3.54.5 4.5 4.65.4 5.66.6 5.8 4.5 6.27.5正正11192(2)从直方图中你能得到什么信息?(写出两条即可);(3)为了鼓励节约用水,要确定一个用水量的标准,超出这个标准的部分按1.5倍价格收费,若要使60%的家庭收费不受影响,你觉得家庭月均用水量应该定为多少?为什么?1913220.(8分)(2013•济南)如图,已知⊙O的半径为1,DE是⊙O的直径,过点D作⊙O的切线AD,C是AD的中点,AE交⊙O于B点,四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长;(2)BC是⊙O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由.AD=121.(10分)(2013•济南)某地计划用120﹣180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万米3.(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位:天)与平均每天的工作量x(单位:万米3)之间的函数关系式,并给出自变量x的取值范围;(2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石比原计划多5000米3,工期比原计划减少了24天,原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?y=y=(2≤x≤3)22.(10分)(2013•济南)设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(1)数表A如表1所示,如果经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次“操作”后所得的数表;(写出一种方法即可)表1和与每列的各数之和均为非负整数,求整数a的值表2.列≤a23.(10分)(2013•济南)(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD 和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形,并证明:BE=CD;(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹);(2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?简单说明理由;(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.∴BD=100BD=100=100米.24.(12分)(2013•济南)如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似点P的坐标;②是否存在一点P,使△PCD得面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.=3.=,,y=,t+1t+1+2 =PM•CM+PN•OM﹣(),﹣的最大值为。

湖北省襄阳市47中2013年中考数学综合题汇编5相似问题

湖北省襄阳市47中2013年中考数学综合题汇编5相似问题

2013中考综合题(五季-相似问题)(共七季)1.如图,第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ,作直径AD ,过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ,P 为直线l 上一动点,已知直线PA 的解析式为:y=kx+3。

(1) 设点P 的纵坐标为p ,写出p 随变化的函数关系式。

(2)设⊙C 与PA 交于点M ,与AB 交于点N ,则不论动点P 处于直线l 上(除点B 以外)的什么位置时,都有△AMN ∽△ABP 。

请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使△AMN 的面积等于2532的k 值?若存在,请求出符合的k 值;若不存在,请说明理由。

解:(1)、∵y 轴和直线l 都是⊙C 的切线 ∴OA ⊥AD BD ⊥AD 又∵ OA ⊥OB∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90° ∴四边形OADB 是矩形 ∵⊙C 的半径为2 ∴AD=OB=4 ∵点P 在直线l 上 ∴点P 的坐标为(4,p )又∵点P 也在直线AP 上 ∴p=4k+3 (2)连接DN∵AD 是⊙C 的直径 ∴ ∠AND=90° ∵ ∠AND=90°-∠DAN ,∠ABD=90°-∠DAN ∴∠AND=∠ABD又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN …………4分 ∵∠MAN=∠BAP …………5分 ∴△AMN ∽△ABP …………6分 (3)存在。

…………7分 理由:把x=0代入y=kx+3得y=3,即OA=BD=3 AB=5342222=+=+BD AD∵ S △ABD= 21AB ²DN=21AD ²DB ∴DN=AB DB AD ∙=512534=⨯ ∴AN 2=AD 2-DN 2=25256)512(422=-∵△AMN ∽△ABP ∴2)(AP AN S S AMNAMN =∆∆ 即222)(APS AN S AP AN S ABP ABP AMN ∆∆∆∙=∙= ……8分 当点P 在B 点上方时,∵AP 2=AD 2+PD 2= AD 2+(PB-BD)2=42+(4k+3-3)2=16(k 2+1) 或AP 2=AD 2+PD 2= AD 2+(BD-PB)2=42+(3-4k-3)2=16(k 2+1) S △ABP=21PB ²AD=21(4k+3)³4=2(4k+3) ∴2532)1(25)34(32)1(1625)34(22562222=++=+⨯+⨯=∙=∆∆k k k k AP S AN S ABP AMN整理得k 2-4k-2=0 解得k 1 =2+6 k 2=2-6 …………9分 当点P 在B 点下方时,∵AP 2=AD 2+PD 2=42+(3-4k-3)2=16(k 2+1)S △ABP=21PB ²AD=21[-(4k+3)]³4=-2(4k+3) ∴2532)1(1625)34(2256222=+⨯+⨯-=∙=∆∆k k AP S AN S ABP AMN化简,得k 2+1=-(4k+3) 解得k=-2综合以上所得,当k=2±6或k=-2时,△AMN 的面积等于2532…10分2.如图,已知点A (0,4),B (2,0). (1)求直线AB 的函数解析式;(2)已知点M 是线段AB 上一动点(不与点A 、B 重合),以M 为顶点的抛物线()n m x y +-=2与线段OA 交于点C .① 求线段AC 的长;(用含m 的式子表示) ② 是否存在某一时刻,使得△ACM 与△AMO 相似? 若存在,求出此时m 的值.解:(1)设直线AB 的函数解析式为:y=kx+b∵点A 坐标为(0,4),点B 坐标为(2,0) ∴⎩⎨⎧=+=04b 2k b ²²²²²²²²²²²² 2分解得:⎩⎨⎧=-=42b k即直线AB 的函数解析式为 y=-2x+4 ²² 4分 (2)① 依题意得抛物线顶点M (m , n )∵在点M 在线段AB 上,∴n =-2m+4 ²²² 5分当x =0时,代入()n m x y +-=2得n m y +=2 ²²²²²²²²²²²²²² 6分 ∴422+-=m m y 即C 点坐标为(0, 422+-m m ) ²²²²²²²²²² 7分 ∴AC =OA -OC =4-(422+-m m )=m m 22+- ²²²²²²²²²²²²² 8分 ② 答:存在 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 9分 作MD ⊥y 轴于点D ,则D 点坐标为(0,42+-m )∴AD =OA -OD =4-(42+-m )=2m ²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 10分 ∵M 不与点A 、B 重合,∴0<m <2又∵MD =m ,∴m MD AD AM 522=+= ²²²²²²²²²²²²²²²² 11分(第26题图)(第26题图)(另解:在Rt△AOB 中,根据勾股定理得5241622=+=+=OB OA AB 又∵DM ∥OB ,∴ABAMAO AD =,∴m m AO AD AB AM 54252=⨯=⋅= ²² 11分) ∵在△ACM 与△AMO 中,∠CAM =∠MAO ,∠MCA >∠AOM ²²²²²²²²²²² 12分 ∴设△ACM ∽△AMO ∴AOAMAM AC =²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 13分 即45522m mmm =+-,整理,得 0892=-m m 解得98=m 或0=m (舍去) ∴存在一时刻使得△ACM 与△AMO 相似,且此时98=m ²²²²²²²²²²² 14分3、如图1,已知菱形ABCD 的边长为,点A 在x 轴负半轴上,点B 在坐标原点.点D 的坐标为(3),抛物线y=ax 2+b (a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD 于点E ,交抛物线于点F ,连接DF 、AF .设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0<t )①当t=1时,△ADF 与△DEF 是否相似?请说明理由;②连接FC ,以点F 为旋转中心,将△FEC 按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t 的取值范围.(写出答案即可)解:(1)由题意得AB 的中点坐标为(﹣,0),CD 的中点坐标为(0,3), …………………………2分 分别代入y=ax 2+b 得,解得,,∴y=﹣x 2+3. ……………………………3分 (2)①如图2所示,在Rt△BCE 中,∠BEC=90°,BE=3,BC=2∴sinC===,∴∠C=60°,∠CBE=30°∴EC=BC=,DE=……………………………4分又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°∴∠ADC=180°﹣60°=120°……………………………5分 ∵t=1, ∴B 点为(1,0) ∴F(1,2) ,E(1,3)∴EF=1 ……………………………6分 在Rt △DEF 中 tan ∠EDF=3331==DE EF ∴∠EDF=300∴∠ADF=∠ADC —∠EDF=1200—300=900∴∠ADF=∠DEF∴DF=2EF=2……………………………7分 又∵3232==DF AD ,313==EF DE ∴EFDEEF AD =∴△ADF∽△DEF……………………………8分 ②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x 轴,分别交抛物线、x 轴于点M 、点N .观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′≤BE 且MN≥C′N. ∵F(t ,3﹣t 2),∴EF=3﹣(3﹣t 2)=t 2,∴EE′=2EF=2t 2, 由EE′≤BE,得2t 2≤3,解得t≤.∵C′E′=CE=,∴C′点的横坐标为t ﹣,∴MN=3﹣(t ﹣)2,又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t 2,由MN≥C′N,得3﹣(t ﹣)2≥3﹣2t 2,解得t≥.∴t的取值范围为:.……………………………11分4.如图,已知:如图①,直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点,两动点D、E 分别从A、B两点同时出发向O点运动(运动到O点停止);对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a(x﹣k)2+h(a<0)始终经过点E,过E作EG∥OA交抛物线于点G,交AB于点F,连结DE、DF、AG、BG.设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,运动时间为t秒.(1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长;(2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形?判断此时△AFG与△AGB是否相似,并说明理由;(3)当△ADF是直角三角形,且抛物线的顶点M恰好在BG上时,求抛物线的解析式.﹣x+x+中,令y=).,∴∠OAB=60°,∴EF==t.时,四边形=,t=∴BE=t=BE=),))代入得:b=x+,+)在抛物线上,=a+a=(+x+.t=∴BE=t=,),))代入得:,x+,∴M(+)在抛物线上,=a+a==x+y=x+或x+.5.已知抛物线y= x2-2x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(-1,0).(1)求D点的坐标;(2)如图1,连结AC,BD,并延长交于点E,求∠E的度数;(3)如图2,已知点P(-4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC 于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.解:(1)把x=-1,y=0代入22y x x c=-+得1+2+c=0,∴c=-3 ………………………………………………………………1分∴()222314y x x x=--=--∴顶点D的坐标为(1,-4)………………………………………………………3分(2)如图1,连结CD、CB,过D作DF⊥y轴于F点,由2230x x--=得x1=-1,x2=3,∴B(3,0).当x=0时,2233y x x=--=-.∴C(0,-3),∴OB=OC=3,∵∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,BC=4分又∵DF=CF=1,∠CFD=90°,∴∠FCD=45°,CD,∴∠BCD=180°-∠OCB-∠FCD =90°.∴∠BCD=∠COA.…………………………………5分11,=33CD OACB OC又∴=CD OACB OC,∴△DCB∽△AOC,∴∠CBD=∠OCA.…………………………6分又∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB,∴∠E=∠OCB=45°.……………………7分图1(3)如图2,设直线PQ 交y 轴于N 点,交BD 于H 点,作DG ⊥x 轴于G 点. ∵∠PMA =45°,∴∠EMH =45°,∴∠MHE =90∴∠PHB =90°,∴∠DBG +∠OPN =90°.又∠ONP +∠OPN =90°,∴∠DBG =∠ONP , 又∠DGB =∠PON =90°,∴△DGB ∽△PON , ∴2==44BG ON ONDG OP ,即, ∴ON =2,∴N (0,-2).…………………………10分 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ,则由40,2.k b b ì-+=ïïíï=-ïî 解得k =-12,b =-2, ∴122y x =--. 设Q (m ,n )且n <0,∴122n m =--. 又Q (m ,n )在223y x x =--上,∴223n m m =--,∴212232m m m --=--,解得1212,2m m ==-, ∴1273,4n n =-=-,∴点Q 的坐标为(2,-3)或(-12,-74).6.如图,点O 为矩形ABCD 的对称中心,AB =10cm ,BC =12cm .点E ,F ,G 分别从A ,B ,C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E 的运动速度为1cm/s ,点F 的运动速度为3cm /s ,点G 的运动速度为1.5cm /s .当点F 到达点C (即点F 与点C 重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB'F ,设点E ,F ,G 运动的时间为t (单位:s ).(1)当t = ▲ s 时,四边形EBFB'为正方形;(2)若以点E ,B ,F 为顶点的三角形与以点F ,C ,G 为顶点的三角形相似,求t 的值; (3)是否存在实数t ,使得点B'与点O 重合?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)若四边形EBFB′为正方形,则BE=BF,即:10﹣t=3t,解得t=2.5;(2)分两种情况,讨论如下:①若△EBF∽△FCG,则有,即,解得:t=2.8;②若△EBF∽△GCF,则有,即,解得:t=﹣14﹣2(不合题意,舍去)或t=﹣14+2.∴当t=2.8s或t=(﹣14+2)s时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.(3)假设存在实数t,使得点B′与点O重合.如图,过点O作OM⊥BC于点M,则在Rt△OFM中,OF=BF=3t,FM=BC﹣BF=6﹣3t,OM=5,由勾股定理得:OM2+FM2=OF2,即:52+(6﹣3t)2=(3t)2解得:t=;过点O作ON⊥AB于点N,则在Rt△OEN中,OE=BE=10﹣t,EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t,ON=6,由勾股定理得:ON2+EN2=OE2,即:62+(5﹣t)2=(10﹣t)2解得:t=3.9.∵≠3.9,∴不存在实数t,使得点B′与点O重合.7.如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x 轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.»AB的长;(1)当∠AOB=30°时,求(2)当DE=8时,求线段EF的长;(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出所有点E的坐标;若不存在,请说明理由.第24题图解:(1)连结BC ,∵A (10,0), ∴OA =10 ,CA =5, ∵∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°, ∴»AB 的长=35180560ππ=⨯⨯; ………………………………………………3分 (2)连结OD, ∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°, 又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线;……………………………………………………4分∴OD =OA =10, 在Rt △ODE 中,OE ==-22DE OD 681022=-,∴AE =AO -OE=10-6=4,………………5分由 ∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ,∠OEF =∠DEA ,得△OEF ∽△DEA ,∴OE EF DE AE =,即684EF=,∴EF =3; (3)设OE =x ,①当交点E 在O ,C 之间时,由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ,当∠ECF =∠BOA 时,此时△OCF 为等腰三角形,点E 为OC 中点,即OE =25, ∴E 1(25,0);…………………………………………………………………8分 当∠ECF =∠OAB 时,有CE =5-x , AE =10-x ,∴CF ∥AB ,有CF =12AB ,∵△ECF ∽△EAD, ∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得:310=x , ∴E 2(310,0);………9分 ②当交点E 在点C 的右侧时,∵∠ECF >∠BOA , ∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF =∠BAO ,连结BE ,∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线, ∴BE =AB =BD ,∴∠BEA =∠BAO,∴∠BEA =∠ECF,∴CF ∥BE ,∴OEOCBE CF =,∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠, ∴△CEF ∽△AED ,∴CF CE AD AE =, 而AD =2BE ,∴2OC CEOE AE=, 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x <0(舍去), ∴E 3(41755+,0); …………………………………………9分 ③当交点E 在点O 的左侧时,∵∠BOA =∠EOF >∠ECF .∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF =∠BAO 连结BE ,得BE =AD 21=AB ,∠BEA =∠BAO , ∴∠ECF =∠BEA, ∴CF ∥BE ,∴OEOCBE CF =, 又∵∠ECF =∠BAO ,∠FEC =∠DEA =Rt ∠, ∴△CEF ∽△AED , ∴ADCFAE CE =, 而AD =2BE , ∴2OC CE OE AE =, ∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x , 417552--=x <0(舍去),∵点E 在x 轴负半轴上,∴E 4(41755-,0); 综上所述:存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为:1E (25,0)、2E (310,0)、3E (41755+,0)、4E (41755-,0).8.如图,抛物线与x 轴交于A ()0,1 、)03(,-B 两点,与y 轴交于点C (),3,0设抛物线的顶点为D .(1)求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标. (2)试判断△BCD 的形状,并说明理由.(3)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似? 若存在,请直接写出点P解:(1)设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2由抛物线与y 轴交于点)3,0(C ,可知3=c .即抛物线的解析式为32++=bx ax y .把点A ()0,1、点)03(,-B∴抛物线的解析式为∵2--=x y ∴顶点D (2) △BCD 理由如下:解法一:过点D 分别作x 分)∵在Rt △BOC 中,3=OB 在Rt △CDF 中,,,1341=-=-==OC OF CF DF ∴2222=+=CF DF CD 在Rt △BDE 中,,4-==OB BE DE∴2BC +∴△BCD 解法二:过点D 作DF 在Rt △BOC ∴OC OB = ∴ 45=∠OCB∵在Rt △CDF 中,=DF∴CF DF = ∴ 45=∠DCF ………………………………………………(9分)∴-=∠ 180BCD DCF ∠- 90=∠OCB∴△BCD 为直角三角形. ………………………………………………………(10分) (3)坐标轴上存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似. …(11分)符合条件的点P 的坐标为:)09(),310(),00(321,,,--P P P .……………………9.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB ,O 为坐标原点, OA =1,tan ∠BAO =3,将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°,得到△DOC .抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C . (1)求抛物线的解析式.(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t .①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ,连接PE ,交CD 于F ,求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标.②是否存在一点P ,使△PCD 的面积最大?若存在,求出△PCD 面积的最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)在Rt △AOB 中,OA=1,tan ∠BAO==3,∴OB=3OA=3.∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的, ∴△DOC ≌△AOB , ∴OC=OB=3,OD=OA=1,第24题备用图∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0).代入解析式为,解得:.∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;(2)①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,∴对称轴l=﹣=﹣1,∴E点的坐标为(﹣1,0).如图,当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(﹣1,4);当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP.∴,∴MP=3EM.∵P的横坐标为t,∴P(t,﹣t2﹣2t+3).∵P在二象限,∴PM=﹣t2﹣2t+3,EM=﹣1﹣t,∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t),解得:t1=﹣2,t2=﹣3(与C重合,舍去),∴t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2﹣2³(﹣2)+3=3.∴P(﹣2,3).∴当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3);②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得,解得:,∴直线CD的解析式为:y=x+1.设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,t+1),∴NM=t+1.∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣(t+1)=﹣t2﹣+2.∵S△PCD=S△PCN+S△PDN,∴S△PCD=PM•CM+PN•OM=PN(CM+OM)=PN•OC=³3(﹣t2﹣+2)=﹣(t+)2+,∴当t=﹣时,S△PCD的最大值为.10.已知,如图(a),抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°,|x1-x2|=8. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)连结AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得⊿ABP与⊿ADB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;(3)如图(b ),点Q 为上的动点(Q 不与E 、F 重合),连结AQ 交y 轴于点H ,问:AH²AQ 是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.),的坐标为(即抛物线顶点时,当抛物线解析为:,解得:),,(抛物线过点又,解析式为:两点,所以可设抛物线、抛物线过),)、(,的坐标分别为(、点分中,在是切线,,连结解:圆的半径)(............................... .38-2,382232461261232-- .23261)6)(2(61.61)60)(20(-22-0)6)(2(y . .0602-B A ,6,22.......1.......... ,8.,60. 4,30.. 4282||2r 120021D y x x x x x y a a C x x a B A OB OA OM MN EMN ME MA ONE MNE Rt NE ME NE ME x x AB -=-⨯-⨯==⨯=∴--=-+=∴=-+=∴-+=∴==∴=∴==∠∴===∠∆⊥∴==-==(2)如图,由抛物线的对称性可知:BD AD =,DBA DAB ∠=∠.相似,与使侧图像上存在点若在抛物线对称轴的右ADB ABP P ∆∆,必须有BAD ∠=∠=∠BPA BAP . 设AP 交抛物线的对称轴于D′点, 显然)38,2(D ',∴直线OP 的解析式为3432+=x y , 由2326134322--=+x x x ,得10,221=-=x x (舍去). ∴)8,10(P . 过P 作,G x PG 轴,垂足为⊥,8,4==∆PG BG BGP Rt 中,在∵8548422≠=+=PB∴BPA BAP .∠≠∠∴≠AB PB ..∴PAB ∆与BAD ∆不相似, …………………………9分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点.所以在该抛物线上不存在点P ,使得与PAB ∆与相似.…………………… 10分(3)连结AF 、QF, 在AQF ∆和AFH ∆中, 由垂径定理易知:弧AE=弧AF.∴AFH ∠=∠AQF , 又HAF ∠=∠QAF , ∴AQF ∆∽AFH ∆,AFAHAQ AF =∴, 2AF AQ AH =⋅∴ ……………… 12分在Rt△AOF 中,AF 2=AO 2+OF 2=22+(23)2=16(或利用AF 2=AO²AB=2³8=16)∴AH²AQ=16即:AH²AQ 为定值。

全国名校近两年(2012、2013)中考数学试卷分类汇编 相似形

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相似形一、选择题1(2012荆州中考模拟).在直角坐标系中,已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3),D 为x 轴上一点.若以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似,这样的D 点有() A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 答案:C2、如图1,△ABC 和△GAF 是两个全等的等腰直角三角形,图中相似三角形(不包括全等)共 有( )A .1对B .2对C .3对D .4对答案:C3、(某某市2012年中考数学模拟)如图,在Rt ABC ∆中,,AB AC =D E 、是斜边BC 上两点,且45,DAE ∠=将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90°后,得到,AFB ∆连接,EF 下列结论:①;AED AEF ∆≅∆②;AE ADBE CD= ③ABC ∆的面积等于四边形AFBD 的面积; ④222;BE DC DE +=⑤BE DC DE += 其中正确的是( ) A .①②④ B .③④⑤ C .①③④D .①③⑤答案:C4、如图,在⊿ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 上,AD =3,DB =2,DE ∥BC ,则DE :BC 的值是 (A )23;(B )32; EABD FG C(图1)ABCDEF (10题图)E DA(C )49; (D )53. 答案:D二、填空题1、(2012某某省某某四模)如图,△ABC, △DCE,△GEF 都是正三角形,且B,C,E,F 在同一直线上,A,D,G 也在同一直线上,设△ABC, △DCE,△GEF 的面积分别为123,,S S S .当124,6S S ==时,3S =_____________ 答案:93、(2012某某市奉贤区调研试题)已知△ABC 中,点G 是△ABC 的重心,过点G 作DE ∥BC ,与AB 相交于点D ,与AC 相交于点E ,如果△ABC 的面积为9.那么△ADE 的面积是. 答案:44、2012某某高安)长为1,宽为a 的矩形纸片(121<<a ),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n 此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n =3时,a 的值为_____________. 答案:5、(2012年,瑞安市模考)如图,ABC △中,AB AC >,D E ,两点分别在边AC AB ,上,且DE 与BC 不平行.请填上一个..你认为合适的条件:,使ADE ABC △∽△.(不再添加其他的字母和线段)S3S2S1GFEDCBA第一次操作第二次操作DCBA答案:1B ∠=∠或2C ∠=∠或AE ADACAB =6、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,如果DE=1,BC =4,那么△ADE 与△ABC 面积的比是.答案:1:167马某某六中2012中考一模).如图,△ABC 中,CD ⊥A B 于D ,由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是直角三角形的是__________________.(把所有正确答案的序号都填写在横线上)一定能确定ABC △① ACD =∠B ; ②∠A ∶∠B ∶∠C =4∶3∶5; ② ③AC ·BC =AB ·CD ; ④CDDBAD CD =.答案:①③④8(2012年某某金山区中考模拟)如果线段AB =4cm ,点P 是线段AB 的黄金分割点,那么较长的线段BP=cm . 答案:252;9、(2012年某某金山区中考模拟如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,//DE AB 交AC 于E ,如果23AE EC =,那么ABAC =.1DCE 2 B AAED图4M 答案:2310、(某某市亭湖区2012年第一次调研考试)如图4,正方形ABCD 的边长为2,AE =EB 线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动,当CM =时,△AED 与以M 、N 、C 案CM =552或CM =55;三、解答题1、(2012某某贵港)(本题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1-)的抛物线交y 轴于A 点,交x 轴于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧), 已知A 点坐标为((1)求此抛物线的解析式;(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D , 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切,请判断抛物 线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点P 是抛物线上的一个动点,且位于A ,C 两点之间,问:当点P 运动到什么位置时,PAC ∆的面积最大?并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.答案:解:(1)设抛物线为2(4)1y a x =--.……………1分 ∵抛物线经过点A (0,3),∴23(04)1a =--.∴14a =.……………2分 ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. ……………………………3分(2) 答:与⊙C 相交 …………………………………………………………………4分证明:当21(4)104x --=时,12x =,26x =. ∴B 为(2,0),C 为(6,0).∴AB ==…………………5分 设⊙C 与BD 相切于点E ,连接CE ,则90BEC AOB ∠=︒=∠. ∵90ABD ∠=︒,∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠,∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆.……6分x∴CE BC OB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.…………………………7分 ∵抛物线的对称轴为4x =,∴C 点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙C 相交.……………………………………………8分 (3) 解:如图,过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q 。

2013年中考数学真题分类汇编______相似形

2013年中考数学真题分类汇编______相似形

2013中考相似1.(2013巴中)如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4米的位置上,则球拍击球的高度h为.第1题图第2题图第3题图2.(2013白银)如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为米.3.(2013厦门)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=1,AB=3,DE=2,则BC=.4.(2013乌鲁木齐)如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为.第4题图第5题图第6题图5.(2013苏州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为.6.(2013湘西)如图,在▱ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CD延长线于点F,则△EDF7.(2013温州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,已知AE=6,,则EC第7题图第8题图第9题图第10题图10.(2013黔东南)将一副三角尺如图所示叠放在一起,则的值是.11.(2013东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4及x ,那么x 的值( ) A. 只有1个 B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个12.(2013莆田)下列四组图形中,一定相似的是( )A. 正方形与矩形B. 正方形与菱形C. 菱形与菱形D. 正五边形与正五边形 13.(2013宜昌)如图,点A ,B ,C ,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C ,D ,E 为第13题图 第14题图 第15题图14.(2013重庆)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AD 上,连接CE 并延长与BA 的延长线交于点F ,若AE=2ED ,CD=3cm ,则AF 的长为( ) A .5cm B .6cm C .7cm D .8cm15.(2013六盘水)如图,添加一个条件: ,使△ADE ∽△ACB ,(写出一个即可) 16.(2013牡丹江)劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米,底边为6厘米的等腰三角形,她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1:2的平行四边形,平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角,平行四边形的其它顶点均在三角形的边上,则这个平行四边形的较短的边长为 .17.(2013牡丹江)如图,在△ABC 中,D 是AB 边上的一点,连接CD ,请添加一个适当的条件 ,使△ABC ∽△ACD .(只填一个即可)第17题图 第18题图 第19题图 第20题图 18.(2013荆门)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ,BC=6,sinA=,则DE= .19.(2013天津)如图,在边长为9的正三角形ABC 中,BD=3,∠ADE=60°,则AE 的长为 . 20.(2013恩施)如图所示,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,E 为OD 的中点,连接AE 并原点O 为位似中心,相似比为12,把△EFO 缩小,则点E 的对应点E′的坐标是( ) A .(﹣2,1) B. (﹣8,4)C. (﹣8,4)或(8,﹣4)D. (﹣2,1)或(2,﹣1)22.(2013泰州)如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,﹣3),△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形,且O′的坐标为(﹣1,0),则点B′的坐标为.23.(2013浙江丽水)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点P以每秒1cm的速度从点A出发,沿折线AC-CB运动,到点B停止。

2013中考数学函数相似三角形

2013中考数学函数相似三角形

2013中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ,抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、C 、D 三点.(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标;(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G 的坐标;(3) 在直线BG 上是否存在点Q ,使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”, 拖动点Q 在直线BG 上运动, 可以体验到,△ABQ 的两条直角边的比为1∶3共有四种情况,点B 上、下各有两种.思路点拨1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角. 2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标. 3.第(3)题判断∠ABQ =90°是解题的前提.4.△ABQ 与△COD 相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形,点Q 共有4个.满分解答(1)A (3,0),B (0,1),C (0,3),D (-1,0).(2)因为抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (3,0)、C (0,3)、D (-1,0) 三点,所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4,顶点G 的坐标为(1,4).(3)如图2,直线BG 的解析式为y =3x +1,直线CD 的解析式为y =3x +3,因此CD //BG . 因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB ⊥CD .因此AB ⊥BG ,即∠ABQ =90°.因为点Q 在直线BG 上,设点Q 的坐标为(x ,3x +1),那么BQ =.Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3,如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似,存在两种情况:①当3BQ BA =3=.解得3x =±.所以1(3,10)Q ,2(3,8)Q --. ②当13BQ BA =13=.解得13x =±.所以31(,2)3Q ,41(,0)3Q -.考点伸展第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB ⊥BG;二是BQ ==.我们换个思路解答第(3)题:如图3,作GH ⊥y 轴,QN ⊥y 轴,垂足分别为H 、N .通过证明△AOB ≌△BHG ,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG =90°. 在Rt △BGH中,sin 1∠=cos 1∠=①当3BQBA=时,BQ =在Rt △BQN 中,sin 13QN BQ =⋅∠=,cos 19BN BQ =⋅∠=.当Q 在B 上方时,1(3,10)Q ;当Q 在B 下方时,2(3,8)Q --. ②当13BQ BA =时,BQ =31(,2)3Q ,41(,0)3Q -. 例2 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D (4,m ),与AB 边交于点E (2,n ),△BDE 的面积为2.(1)求m 与n 的数量关系; (2)当tan ∠A =12时,求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式; (3)设直线AB 与y 轴交于点F ,点P 在射线FD 上,在(2)的条件下,如果△AEO 与△EFP 相似,求点P 的坐标.动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”,拖动点A 在x 轴上运动,可以体验到,直线AB 保持斜率不变,n 始终等于m 的2倍,双击按钮“面积BDE =2”,可以看到,点E 正好在BD 的垂直平分线上,FD //x 轴.拖动点P 在射线FD 上运动,可以体验到,△AEO 与△EFP 相似存在两种情况.思路点拨1.探求m 与n 的数量关系,用m 表示点B 、D 、E 的坐标,是解题的突破口. 2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是FD //x 轴.3.如果△AEO 与△EFP 相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况.满分解答(1)如图1,因为点D (4,m )、E (2,n )在反比例函数ky x =的图像上,所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理,得n =2m .(2)如图2,过点E 作EH ⊥BC ,垂足为H .在Rt △BEH 中,tan ∠BEH =tan ∠A =12,EH =2,所以BH =1.因此D (4,m ),E (2,2m ),B (4,2m +1).已知△BDE 的面积为2,所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=.解得m =1.因此D (4,1),E (2,2),B (4,3).因为点D (4,1)在反比例函数ky x=的图像上,所以k =4.因此反比例函数的解析式为4y x=. 设直线AB 的解析式为y =kx +b ,代入B (4,3)、E (2,2),得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得12k =,1b =.因此直线AB 的函数解析式为112y x =+.图2 图3 图4(3)如图3,因为直线112y x =+与y 轴交于点F (0,1),点D 的坐标为(4,1),所以FD // x 轴,∠EFP =∠EAO .因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况:①如图3,当EA EF AO FP ==.解得FP =1.此时点P 的坐标为(1,1). ②如图4,当EA FP AO EF ==.解得FP =5.此时点P 的坐标为(5,1). 考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况:第(1)题的结论m 与n 的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为12y x=-,直线AB 为172y x =-.第(3)题FD 不再与x 轴平行,△AEO 与△EFP 也不可能相似.图52013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3 如图1,已知梯形OABC ,抛物线分别过点O (0,0)、A (2,0)、B (6,3).(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标;(2)将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1,得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1.设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ,A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1,y 1)、(x 2,y 2).用含S 的代数式表示x 2-x 1,并求出当S =36时点A 1的坐标;(3)在图1中,设点D 的坐标为(1,3),动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动,动点Q 从点D 出发,以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动.P 、Q 两点同时出发,当点Q 到达点M 时,P 、Q 两点同时停止运动.设P 、Q 两点的运动时间为t ,是否存在某一时刻t ,使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”,拖动点I 上下运动,观察图形和图像,可以体验到,x 2-x 1随S 的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点Q 在DM 上运动,可以体验到,如果∠GAF =∠GQE ,那么△GAF 与△GQE 相似.思路点拨1.第(2)题用含S 的代数式表示x 2-x 1,我们反其道而行之,用x 1,x 2表示S .再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y 2-y 1=3.通过代数变形就可以了.2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB 与x 轴的夹角不变,直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ 的斜率,因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方,或者假设交点G 在x 轴的上方.满分解答(1)抛物线的对称轴为直线1x =,解析式为21184y x x =-,顶点为M (1,18-). (2) 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-,由此得到1223s x x +=+.由于213y y -=,所以22212211111138484y y x x x x -=--+=.整理,得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦.因此得到2172x x S -=. 当S =36时,212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为(6,3).(3)设直线AB 与PQ 交于点G ,直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ,直线PQ 与x 轴交于点F ,那么要探求相似的△GAF 与△GQE ,有一个公共角∠G .在△GEQ 中,∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值.在△GAF 中,∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ ≠∠GAF . 因此只存在∠GQE =∠GAF 的可能,△GQE ∽△GAF .这时∠GAF =∠GQE =∠PQD .由于3tan 4GAF ∠=,tan 5DQ t PQD QP t∠==-,所以345t t =-.解得207t =.图3 图4考点伸展第(3)题是否存在点G 在x 轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t 的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.例4 如图1,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线22y mx mx n =++上.(1)求m 、n ;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,若四边形A A ′B ′B 为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ,试在x 轴上找一个点D ,使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似.图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”,拖动点A ′向右平移,可以体验到,平移5个单位后,四边形A A ′B ′B 为菱形.再拖动点D 在x 轴上运动,可以体验到,△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况.思路点拨1.点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到,各具特色.第(1)题用在待定系数法中;第(2)题用来计算平移的距离;第(3)题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长.2.抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变.3.探求△ABC 与△B ′CD 相似,根据菱形的性质,∠BAC =∠CB ′D ,因此按照夹角的两边对应成比例,分两种情况讨论.满分解答(1) 因为点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线22y mx mx n =++上,所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-,4n =. (2)如图2,由点A (-2,4) 和点B (1,0),可得AB =5.因为四边形A A ′B ′B 为菱形,所以A A ′=B ′B = AB =5.因为438342+--=x x y ()2416133x =-++,所以原抛物线的对称轴x =-1向右平移5个单位后,对应的直线为x =4.因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y .(3) 由点A (-2,4) 和点B ′ (6,0),可得A B′=如图2,由AM //CN ,可得''''B N B C B M B A =,即28=.解得'B C =AC =ABC 与△B ′CD 中,∠BAC =∠CB ′D .①如图3,当''A B B C A C B D ==,解得'3B D =.此时OD =3,点D 的坐标为(3,0).②如图4,当''AB B D AC B C ==,解得5'3B D =.此时OD =133,点D 的坐标为(133,0).考点伸展在本题情境下,我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似,其实这是有公共底角的两个等腰三角形,容易想象,存在两种情况.我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似,这两个三角形有一组公共角∠B,根据对应边成比例,分两种情况计算.2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,△PAM的形状在变化,分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”,可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景.双击按钮“第(3)题”,拖动点D在x轴上方的抛物线上运动,观察△DCA的形状和面积随D变化的图象,可以体验到,E是AC的中点时,△DCA的面积最大.思路点拨1.已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便.2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长.3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程.4.把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为)4)(1(--=xxay,代入点C的坐标(0,-2),解得21-=a.所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=xxxxy.(2)设点P的坐标为))4)(1(21,(---xxx.①如图2,当点P在x轴上方时,1<x<4,)4)(1(21---=xxPM,xAM-=4.如果2==COAOPMAM,那么24)4)(1(21=----xxx.解得5=x不合题意.如果21==COAOPMAM,那么214)4)(1(21=----xxx.解得2=x.此时点P 的坐标为(2,1).②如图3,当点P 在点A 的右侧时,x >4,)4)(1(21--=x x PM ,4-=x AM . 解方程24)4)(1(21=---x x x ,得5=x .此时点P 的坐标为)2,5(-.解方程214)4)(1(21=---x x x ,得2=x 不合题意.③如图4,当点P 在点B 的左侧时,x <1,)4)(1(21--=x x PM ,x AM -=4. 解方程24)4)(1(21=---x x x ,得3-=x .此时点P 的坐标为)14,3(--.解方程214)4)(1(21=---x x x ,得0=x .此时点P 与点O 重合,不合题意.综上所述,符合条件的 点P 的坐标为(2,1)或)14,3(--或)2,5(-.图2 图3 图4(3)如图5,过点D 作x 轴的垂线交AC 于E .直线AC 的解析式为221-=x y . 设点D 的横坐标为m )41(<<m ,那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ,点E 的坐标为)221,(-m m .所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=.因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m . 当2=m 时,△DCA 的面积最大,此时点D 的坐标为(2,1).图5 图6考点伸展第(3)题也可以这样解:如图6,过D 点构造矩形OAMN ,那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积.设点D 的横坐标为(m ,n ))41(<<m ,那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S . 由于225212-+-=m m n ,所以m m S 42+-=.例6 如图1,△ABC中,AB=5,AC=3,cos A=310.D为射线BA上的点(点D不与点B重合),作DE//BC交射线CA于点E..(1) 若CE=x,BD=y,求y与x的函数关系式,并写出函数的定义域;(2) 当分别以线段BD,CE为直径的两圆相切时,求DE的长度;(3) 当点D在AB边上时,BC边上是否存在点F,使△ABC与△DEF相似?若存在,请求出线段BF的长;若不存在,请说明理由.图1 备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”,拖动点D可以在射线BA上运动.双击按钮“第(2)题”,拖动点D可以体验到两圆可以外切一次,内切两次.双击按钮“第(3)题”,再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”,可以体验到,△DEF为等腰三角形.思路点拨1.先解读背景图,△ABC是等腰三角形,那么第(3)题中符合条件的△DEF也是等腰三角形.2.用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第(2)题的先决条件,注意点E的位置不同,DE、MN表示的形式分两种情况.3.求两圆相切的问题时,先罗列三要素,再列方程,最后检验方程的解的位置是否符合题意.4.第(3)题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论,运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题.满分解答(1)如图2,作BH⊥AC,垂足为点H.在Rt△ABH中,AB=5,cosA=310AHAB=,所以AH=32=12AC.所以BH垂直平分AC,△ABC为等腰三角形,AB=CB=5.因为DE//BC,所以AB ACDB EC=,即53y x=.于是得到53y x=,(0x>).(2)如图3,图4,因为DE//BC,所以DE AEBC AC=,MN ANBC AC=,即|3|53DE x-=,1|3|253xMN-=.因此5|3|3xDE-=,圆心距5|6|6xMN-=.图2 图3 图4在⊙M中,115226Mr BD y x===,在⊙N中,1122Nr CE x==.①当两圆外切时,5162x x+5|6|6x-=.解得3013x=或者10x=-.如图5,符合题意的解为3013x=,此时5(3)15313xDE-==.②当两圆内切时,5162x x-5|6|6x-=.当x<6时,解得307x=,如图6,此时E在CA的延长线上,5(3)1537xDE-==;当x >6时,解得10x =,如图7,此时E 在CA 的延长线上,5(3)3533x DE -==.图5 图6 图7(3)因为△ABC 是等腰三角形,因此当△ABC 与△DEF 相似时,△DEF 也是等腰三角形. 如图8,当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时,DE 为等腰三角形DEF 的腰,符合题意,此时BF =2.5.根据对称性,当F 在BC 边上的高的垂足时,也符合题意,此时BF =4.1.如图9,当DE 为等腰三角形DEF 的底边时,四边形DECF 是平行四边形,此时12534BF =.图8 图9 图10 图11考点伸展第(3)题的情景是一道典型题,如图10,如图11,AH 是△ABC 的高,D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点,那么四边形DEHF 是等腰梯形.例 7 如图1,在直角坐标系xOy 中,设点A (0,t ),点Q (t ,b ).平移二次函数2txy -=的图象,得到的抛物线F 满足两个条件:①顶点为Q ;②与x 轴相交于B 、C 两点(∣OB ∣<∣OC ∣),连结A ,B .(1)是否存在这样的抛物线F ,使得OC OB OA⋅=2?请你作出判断,并说明理由;(2)如果AQ ∥BC ,且tan ∠ABO =23,求抛物线F 对应的二次函数的解析式.图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”,拖动点A 在y 轴上运动,可以体验到,AQ 与BC 保持平行,OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2.双击按钮“t =3”,“t =0.6”,“t =-0.6”,“t =-3”,抛物线正好经过点B (或B ′).思路点拨1.数形结合思想,把OC OB OA⋅=2转化为212t x x =⋅.2.如果AQ ∥BC ,那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形,数形结合得到t =b . 3.分类讨论tan ∠ABO =23,按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况.A 在y 轴正半轴时,分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况;A 在y 轴负半轴时,分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况.满分解答(1)因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q (t ,b ),所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(.因为抛物线与x 轴有两个交点,因此0>b t .令0=y ,得-=t OB t b,+=t OC tb . 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==.即22b t t t -=±.所以当32t b =时,存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=.(2)因为AQ //BC ,所以t =b ,于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(.解得1,121+=-=t x t x .①当0>t 时,由||||OC OB <,得)0,1(-t B .如图2,当01>-t 时,由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ,解得3=t .此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y .如图3,当01<-t 时,由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ,解得=t 53.此时二次函数的解析式为-=y 532x +2518x +12548.图2 图3②如图4,如图5,当0<t 时,由||||OC OB <,将t -代t ,可得=t 53-,3-=t .此时二次函数的解析式为=y 532x +2518x -12548或241832++=x x y .图4 图5考点伸展第(2)题还可以这样分类讨论:因为AQ //BC ,所以t =b ,于是抛物线F 为2()y t x t t =--+.由3tan 2OA ABO OB ∠==,得23OB OA =.①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+,得3t =±(如图2,图5). ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+,得35t =±(如图3,图4).。

相似三角形2013中考专题答案

相似三角形2013中考专题答案

相似三角形(2013中考)1、(2013聊城)如图,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2.∠DAC=∠B,若△ABD 的面积为a,则△ACD的面积为()A.a B.C.D.考点:相似三角形的判定与性质.分析:首先证明△ACD∽△BCA,由相似三角形的性质可得:△ACD的面积:△ABC的面积为1:4,因为△ABD的面积为a,进而求出△ACD的面积.解答:解:∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∵AB=4,AD=2,∴△ACD的面积:△ABC的面积为1:4,∴△ACD的面积:△ABD的面积=1:3,∵△ABD的面积为a,∴△ACD的面积为a,故选C.点评:本题考查了相似三角形的判定和性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方,是中考常见题型.2、(2013菏泽)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A.16 B.17 C.18 D.19考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质.专题:计算题.分析:由图可得,S1的边长为3,由AC=BC,BC=CE=CD,可得AC=2CD,CD=2,EC=;然后,分别算出S1、S2的面积,即可解答.解答:解:如图,设正方形S2的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知,AC=x,x=CD,∴AC=2CD,CD==2,∴EC2=22+22,即EC=;∴S2的面积为EC2==8;∵S1的边长为3,S1的面积为3×3=9,∴S1+S2=8+9=17.故选B.点评:本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力.3、(2013•宜昌)如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是()A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)考点:相似三角形的性质;坐标与图形性质.分析:根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断.解答:解:△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,AB:BC=2.A、当点E的坐标为(6,0)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=1,则AB:BC=CD:DE,△CDE∽△ABC,故本选项不符合题意;B、当点E的坐标为(6,3)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=2,则AB:BC≠CD:DE,△CDE与△ABC不相似,故本选项符合题意;C、当点E的坐标为(6,5)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=4,则AB:BC=DE:CD,△EDC∽△ABC,故本选项不符合题意;D、当点E的坐标为(4,2)时,∠ECD=90°,CD=2,CE=1,则AB:BC=CD:CE,△DCE∽△ABC,故本选项不符合题意;故选B.点评:本题考查了相似三角形的判定,难度中等.牢记判定定理是解题的关键.4、(2013•鄂州)如图,Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于点D,若BD:CD=3:2,则tanB=()A.B.C.D.考点:相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.3718684分析:首先证明△ABD∽△ACD,然后根据BD:CD=3:2,设BD=3x,CD=2x,利用对应边成比例表示出AD的值,继而可得出tanB的值.解答:解:在Rt△ABC中,∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠CDA,∵∠B+∠BAD=90°,∠BAD+DAC=90°,∴∠B=∠DAC,∴△ABD∽△ACD,∴=,∵BD:CD=3:2,设BD=3x,CD=2x,∴AD==x,则tanB===.故选D.点评:本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义,难度一般,解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似,根据对应变成比例求边长.5、(2013•白银)如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为 5 米.考点:相似三角形的应用.分析:易得:△ABM∽△OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.解答:解:根据题意,易得△MBA∽△MCO,根据相似三角形的性质可知=,即=,解得AM=5m.则小明的影长为5米.点评:本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.6、(2013•牡丹江)如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件∠ACD=∠ABC(答案不唯一),使△ABC∽△ACD.(只填一个即可)考点:相似三角形的判定.专题:开放型.分析:相似三角形的判定有三种方法:①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.由此可得出可添加的条件.解答:解:由题意得,∠A=∠A(公共角),则可添加:∠ACD=∠ABC,利用两角法可判定△ABC∽△ACD.故答案可为:∠ACD=∠ABC.点评:本题考查了相似三角形的判定,解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法,本题答案不唯一.7、(2013•巴中)如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4米的位置上,则球拍击球的高度h为 1.5米.考点:相似三角形的应用.分析:根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知,△ADE∽△ACB,根据其相似比即可求解.解答:解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB,即=,则=,∴h=1.5m.故答案为:1.5米.点评:本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.8、(2013•黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起,则的值是.考点:相似三角形的判定与性质.分析:由∠BAC=∠ACD=90°,可得AB∥CD,即可证得△ABE∽△DCE,然后由相似三角形的对应边成比例,可得:,然后利用三角函数,用AC表示出AB与CD,即可求得答案.解答:解:∵∠BAC=∠ACD=90°,∴AB∥CD,∴△ABE∽△DCE,∴,∵在Rt△ACB中∠B=45°,∴AB=AC,∵在RtACD中,∠D=30°,∴CD==AC,∴==.故答案为:.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.9、(13年北京4分5)如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上。

(含答案)2013中考数学真题有关相似的综合题精选(期末复习拔高专题)

(含答案)2013中考数学真题有关相似的综合题精选(期末复习拔高专题)

12013中考真题有关相似的综合题精选一、应用题1. (2013 天津市) 在平面直角坐标系中,已知点()20A -,,点()04B ,,点E 在OB 上,且OAE OBA ∠=∠.(Ⅰ)如图①,求点E 的坐标;(Ⅱ)如图②,将AEO △沿x 轴向右平移得到A E O '''△,连接A B '、BE '.①设AA m '=,其中02m <<,试用含m 的式子表示22A B BE ''+,并求出使22A B BE ''+取得最小值时点E '的坐标;②当A B BE ''+取得最小值时,求点E '的坐标(直接写出结果即可).22. (2013 内蒙古包头市) 如图,在正方形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,点E 是BC 上的一个动点,连接DE ,交AC 于点F . (1)如图①,当13CE EB =时,求CEF CDF S S △△的值;(2)如图②,当DE 平分CDB ∠时,求证:AF =;(3)如图③,当点E 是BC 的中点时,过点F 作FG BC ⊥于点G ,求证:12CG BG =.3. (2013 广西来宾市) 在AOB△中,90AOB∠=°,AO=6厘米,BO=8厘米,分别以OB和OA 所在直线的x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,动点M从点A开始沿AO方向以2厘米/秒的速度向点O移动,同时动点N从点O开始沿OB方向以4厘米/秒的速度向点B移动(其中一点到达终点时,另一点随即停止移动).(1)求过点A和点B的直线表达式;(2)当点M移动多长时间时,四边形AMNB的面积最小?并求出四边形AMNB面积的最小值;(3)在点M和点N移动的过程中,是否存在以O,M,N为顶点的三角形与AOB△相似?若存在,请求出点M和点N的坐标;若不存在,请说明理由.34. (2013 浙江省丽水市) 如图1,点A是x轴正半轴上的动点,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点.将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线,垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,点D是点A关于直线CF的对称点,连结AC,BC,CD,设点A的横坐标为.t(1)当2t时,求CF的长;(2)①当t为何值时,点C落在线段BD上;②设△BCE的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(3)如图2,当点C与点E重合时,将△CDF沿x轴左右平移得到C D F△′′′,再将A,B,C′,D′为顶点的四边形沿C F′′剪开,得到两个图形,用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的点C′的坐标.45. (2013 山东省枣庄市) (本题满分8分)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,C的坐标为(-18,0).(1)求点B的坐标;(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD,求直线DE的解析式;566. (2013 四川省绵阳市)如图,已知矩形OABC 中,OA =2,AB =4,双曲线k y x(k >0)与矩形两边AB 、BC 分别交于E 、F 。

2013年中考数学三角形相似试题汇编

2013年中考数学三角形相似试题汇编

2013年中考数学三角形相似试题汇编65、(2013•温州压轴题)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0.8),点C的坐标为(0,m),过点C 作CE⊥AB于点E,点D为x轴上的一动点,连接CD,DE,以CD,DE 为边作▱CDEF.(1)当0<m<8时,求CE的长(用含m的代数式表示);(2)当m=3时,是否存在点D,使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得▱CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.考点:相似形综合题.分析:(1)首先证明△BCE∽△BAO,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得;(2)证明△EDA∽△BOA,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得;(3)分m>0,m=0和m<0三种情况进行讨论,当m=0时,一定不成立,当m>0时,分0<m<8和m>8两种情况,利用三角函数的定义即可求解.当m<0时,分点E与点A重合和点E与点A不重合时,两种情况进行讨论.解答:解:(1)∵A(6,0),B(0,8).∴OA=6,OB=8.∴AB=10,∵∠CEB=∠AOB=90°,又∵∠OBA=∠EBC,∴△BCE∽△BAO,∴=,即=,∴CE=﹣m;(2)∵m=3,∴BC=8﹣m=5,CE=﹣m=3.∴BE=4,∴AE=AB﹣BE=6.∵点F落在y轴上(如图2).∴DE∥BO,∴△EDA∽△BOA,∴=即=.∴OD=,∴点D的坐标为(,0).(3)取CE的中点P,过P作PG⊥y轴于点G.则CP=CE=﹣m.(Ⅰ)当m>0时,①当0<m<8时,如图3.易证∠GCP=∠BAO,∴cos∠GCP=cos∠BAO=,∴CG=CP•cos∠GCP=(﹣m)=﹣m.∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+.根据题意得,得:OG=CP,∴m+=﹣m,解得:m=;②当m≥8时,OG>CP,显然不存在满足条件的m的值.(Ⅱ)当m=0时,即点C与原点O重合(如图4).(Ⅲ)当m<0时,①当点E与点A重合时,(如图5),易证△COA∽△AOB,∴=,即=,解得:m=﹣.②当点E与点A不重合时,(如图6).OG=OC﹣OG=﹣m﹣(﹣m)=﹣m﹣.由题意得:OG=CP,∴﹣m﹣=﹣m.解得m=﹣.综上所述,m的值是或0或﹣或﹣.点评:本题是相似三角形的判定于性质以及三角函数的综合应用,正确进行分类是关键.66、(13年山东青岛、24压轴题)已知,如图,□ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1),解答下列问题:(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形?(2)设四边形ANPM的面积为(cm²),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半,若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由(4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分?若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由解析:解得:t=,当AE:EC=1:时,同理可得:,即,解得:t=,答:当t=或t=时,NP与AC的交点把线段AC分成的两部分67、(13年安徽省14分、23压轴题)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

全国各地名校2013年中考数学5月试卷分类汇编 相似的应用

全国各地名校2013年中考数学5月试卷分类汇编 相似的应用

NM K QP CBEG FHAD相似的应用一、选择题1、(2013届某某市金台区第一次检测)如图是跷跷板横板示意图,横板AB 绕中点O 上下转动,立柱OC 与地面垂直,设B 点的最大高度为h 1.若将横板AB 换成横板A′B′,且A′B′=2AB,O 仍为A′B′的中点,设B′点的最大高度为h 2,则下列结论正确的是( )A .h 2=2h 1B .h 2=h 1C .h 2=h 1D .h 2=h 1 答案:C2、(2013某某模拟)10. 如图,矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的,AH 与BE 、BF 、 DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ,设△BPQ, △DKM, △H 的面积依次为S 1,S 2,S 3。

若S 1+S 3=10,则S 2的值为( ▲ ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【答案】C二、填空题1.(2013房山区一模)如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M 处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B ,已知网高OA =,OB =4米,OM =5米,则林丹起跳后击球点N 离地面的距离MN =米. 答案:2、(2013某某某某二模)15.如图,直线43y x =与双曲线ky x=(0x >)交于点A .将NMOAB第 1 题直线43y x =向右平移92个单位后,与双曲线ky x =(0x >)交于点B ,与x 轴交于点C ,若2AO BC=,则k =.【答案】123、(2013某某永嘉一模)16.如图,Rt △ABC 中,∠B =Rt ∠,点D 在边AB 上,过点D 作DG∥AC 交BC 于点G ,分别过点D ,G 作DE ∥BC ,FG ∥AB ,DE 与FG 交于点O .当阴影面积等于梯形ADOF 的面积时,则阴影面积与△ABC 的面积之比为▲.【答案】1654、(2013某某某某特长展示)如图,矩形ABCD 中,E 为DC 的中点, AD : AB = 3:2,CP :BP =1:2,连接EP 并延长,交AB 的延长线于点F ,AP 、BE 相交于点O .下列结论:①EP 平分∠CEB ;②△EBP ∽△EFB ;③△ABP ∽△ECP ;④AOAP =OB 2.其中正确的序号是_______________.(把你认为正确的序号都填上)①②③5、(2013某某某某二模)15.如图,直线43y x =与双曲线ky x=(0x >)交于点A .将直线43y x =向右平移92个单位后,与双曲线ky x=(0x >)交于点B ,与x 轴交于点C ,若2AO BC=,则k =. 【答案】12三、解答题1、(2013某某市景山中学模拟题)(本题满分10分)如图,△ABC 是等边三角形,且AB ∥CE .OFED CABGyOO 3 x2y 第16题图(第11题)Oy ABC(1) 求证:△ABD ∽△CED ; (2) 若AB =6,AD =2CD ,①求E 到BC 的距离EH 的长. ② 求BE 的长答案:(1)略(2)EH =233 (2)BE 的长为732、(2013某某江干区模拟)(本小题12分)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,小明把一个三角板的直角顶点放置在点D 处两条直角边分别交线段BC 于点E ,交线段AC 于点F ,在三角板绕着点D 旋转的过程中他发现了线段BE ,CE ,CF ,AF 之间存在着某种数量关系.(1)旋转过程中,若点E 是BC 的中点,点F 也是AC 的中点吗?请说明理由; (2)旋转过程中,若DE ⊥BC ,那么AFCFCE BE成立吗?请说明理由; (3)旋转过程中,若点E 是BC 上任意一点,(2)中的结论还成立吗?【答案】解:(1)∵CD ⊥AB ,E 是BC 中点 ∴DE =CE =BE ∴∠DCE =∠EDC 1分 ∵∠ACB =∠FDE =90°∴∠FCD =∠FDC ∴∠FAD =∠FDA (等角的余角相等) 2分∴AF =FD =FC 即F 也是AC 中点 1分(2)DE ⊥BC 则四边形DECF 为矩形, 1分所以DE =CF ,FD =CE , 1分(第22题)(第22题备用图)由△DEB ∽△AFD 得AFFDDE BE =, 1分 则AFCFCE BE =成立 1分 (3)由△DEB ∽△DFC ,△DEC ∽△DFA , 1分得DF DE CF BE =,DF DEAF CE =, 2分 则AFCF CE BE =成立 1分3、(2013年某某省某某市模拟)“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程,对倍角三角形(一个内角是另一个内角的2倍的三角形)进行研究.得出结论:如图8,在ABC ∆中,C B A ∠∠∠、、的对边分别是c b a 、、,如果B A ∠=∠2,那么bc b a =-22. 下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法. 已知:如图9,在ABC ∆中,︒=∠90A ,︒=∠45B . 求证:bc b a =-22.证明:如图9,延长CA 到D ,使得AB AD =.∴ABD D ∠=∠,∵D ABD D CAB ∠=∠+∠=∠2,︒=∠90CAB ∴︒=∠45D ,∵︒=∠45ABC , ∴ABC D ∠=∠,又C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽BCD ∆ ∴BC AC CD BC =,即abc b a =+∴bc b a =-22根据上述材料提供的信息,请你完成下列情形的证明(用不同于材料中的方法也可以): 已知:如图8,在ABC ∆中,B A ∠=∠2.求证:bc b a =-22.证明: 延长CA 到D ,使得AB AD =.…………………………(2分) ∴ABD D ∠=∠, …………………………………………………(3分)(第22题)AC Ba b cD图9∵D ABD D CAB ∠=∠+∠=∠2,………………………………(5分) ∵ABC CAB ∠=∠2, ∴ABC D ∠=∠,又C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽BCD ∆ ∴BC AC CD BC =,即abc b a =+………………………………………(10分)∴bc b a =-22………………………………………………………(12分)4、(2013某某永嘉一模)16.如图,Rt △ABC 中,∠B =Rt ∠,点D 在边AB 上,过点D 作DG∥AC 交BC 于点G ,分别过点D ,G 作DE ∥BC ,FG ∥AB ,DE 与FG 交于点O .当阴影面积等于梯形ADOF 的面积时,则阴影面积与△ABC 的面积之比为▲.【答案】1655、(2013某某某某二模)23.如图1,已知O 是锐角∠XAY 的边AX 上的动点,以点O 为圆心、R 为半径的圆与射线AY 切于点B ,交射线OX 于点C .连结BC ,作CD ⊥BC ,交AY 于点D .(1)求证:△ABC ∽△ACD ;(2)若P 是AY 上一点,AP=4,且sinA=35,①如图2,当点D 与点P 重合时,求R 的值; ②当点D 与点P 不重合时,试求PD 的长(用R 表示).【答案】.(1)由已知,CD ⊥BC ,∴∠ADC =90°–∠CBD ,b C ABac(图8)图2图1 O FEDA又∵⊙O 切AY 于点B ,∴OB ⊥AB ,∴∠OBC =90°–∠CBD ,∴∠ADC =∠OBC .又在⊙O 中,OB =OC =R ,∴∠OBC =∠ACB ,∴∠ACB =∠ADC . 又∠A =∠A ,∴△ABC ∽△ACD .……6分 (2) 由已知,sin A =35,又OB =OC =R ,OB ⊥AB ,∴ 在Rt △AOB 中,AO =sin OB A =35R =53R ,AB=43R ,∴AC =53R +R =83R .由(1)△ABC ∽△ACD ,∴AC AD AB AC =,∴834833RAD R R =,因此 AD =163R . ①当点D 与点P 重合时,AD =AP =4,∴163R =4,∴R =34.② 当点D 与点P 不重合时,有以下两种可能: i) 若点D 在线段AP 上(即0<R <34),PD =AP –AD =4–163R ;ii) 若点D 在射线PY 上(即R >34),PD =AD –AP =163R –4. 综上,当点D 在线段AP 上(即0<R <34)时,PD =4–163R ;当点D 在射线PY 上(即R >34)时,PD =163R –4.又当点D 与点P 重合(即R =34)时,PD =0,故在题设条件下,总有PD =|163R –4|(R >0).……6分(没分类或缺少绝对值的扣2分) 6、(2013某某某某二模)24.如图,已知抛物线y=12x 2–2x +1的顶点为P ,A 为抛物线与y 轴的交点,过A 与y 轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B ,与抛物线对称轴交于点O′,过点B 和P 的直线l 交y 轴于点C ,连结O′C ,将△ACO′沿O′C 翻折后,点A 落在点D 的位置.(1)求直线l 的函数解析式; (2)求点D 的坐标;(3)抛物线上是否存在点Q ,使得S △DQC = S △DPB ? 若存在,求出所有符合条件的点Q 的坐标;若不存在请说明理由.【答案】(1)配方,得y =12(x –2)2–1,∴抛物线的对称轴为直线x =2,顶点为P (2,–1) .取x =0代入y =12x 2–2x +1,得y =1,∴点A 的坐标是(0,1).由抛物线的对称性知,点A (0,1)与点B 关于直线x =2对称,∴点B 的坐标是(4,1).设直线l 的解析式为y =kx +b (k ≠0),将B 、P 的坐标代入,有 14,12,k b k b =+⎧⎨-=+⎩解得1,3.k b =⎧⎨=-⎩∴直线l 的解析式为y =x –3.……4分 (2)连结AD 交O ′C 于点E ,∵点D 由点A 沿O ′C 翻折后得到,∴O ′C 垂直平分AD . 由(1)知,点C 的坐标为(0,–3),∴在Rt△AO ′C 中,O ′A =2,AC =4,∴O ′C =25. 据面积关系,有12×O ′C ×AE =12×O ′A ×CA ,∴AE =455,AD =2AE =855. 作DF ⊥AB 于F ,易证Rt △ADF ∽Rt △CO ′A ,∴AF DF ADAC O A O C=='', ∴AF =AD O C '·AC =165,DF =AD O C '·O ′A =85, 又∵OA =1,∴点D 的纵坐标为1–85= –35,∴点D 的坐标为(165,–35).……4分 (3)显然,O ′P ∥AC ,且O ′为AB 的中点, ∴点P 是线段BC 的中点,∴S △DPC =S △DPB . 故要使S △DQC =S △DPB ,只需S △DQC =S △DPC .过P 作直线m 与CD 平行,则直线m 上的任意一点与CD 构成的三角形的面积都等于S △DPC ,故m 与抛物线的交点即符合条件的Q 点.容易求得过点C (0,–3)、D (165,–35)的直线的解析式为y =34x –3,据直线m 的作法,可以求得直线m 的解析式为y =34x –52.令12x 2–2x +1=34x –52,解得x 1=2,x 2=72,代入y =34x –52,得y 1=–1,y 2=18, 所以抛物线上存在两点Q 1(2,–1)(即点P )和Q 2(72,18),使得S △DQC = S △DPB .……6分 (仅求出一个符合条件的点Q 的坐标,扣2分)7、(2013某某模拟)24.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点C 的坐标为(0,-3),B 是射线CO 上的一个动点,经过B 点的直线交x 轴于点A(直线AB 总有经过第二、四象限), 且OA=2OB ,动点P 在直线AB 上,设点P 的纵坐标为m ,线段CB 的长度为t. (1)当t=7,且点P 在第一象限时,连接PC 交x 轴于点D.①直接写出直线AB 的解析式; ②当CD=PD 时,求m 的值;③求△ACP 的面积S.(用含m 的代数式表示)(2)是否同时存在m 、t ,使得由A 、C 、O 、P 为顶点组成的四边形是等腰梯形?若存在,请求出所有满足要求的m 、t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)①421+-=x y ……………2分 ②过P 作PH ⊥OA 交OA 于H当CD=PD 时,△COD ≌△PHD ∴PH=OC ,即m=3 ……………1分 ③由PH ∥OB ,得△APH ∽△ABO ∴OAAH OB PH =,即84AHm = ∴AH=2m ,即OH=8-2m ∴S △BCP =21×7×(8-2m)=28-7m ……………2分 ∴S=S △ABC -S △BCP =28-(28-7m)=7m ……………2分 (2)①当B 运动在y 轴的正半轴上时.a .当点P 在第一象限时,如图1,若四边形OCAP 是等腰梯形,则 AP=OC=3,由△APH ∽△ABO ,得55353==PH ,即5531=m ……………………1分由∠BCA=∠BAC ,得 BA=BC=t在Rt △AOB 中,AB=5OB ,即t=5(t-3) ∴4531515531+=-=t ……………………1分 (注:t 的值没有化简的不扣分) b .当点P 在第二象限时,如图2,四边形AOPC 为凹四边形(或说明两组对边都相交),a .当点P 在第二象限时,如图4,四边形OACP 为凹四边形(或说明两组对边都相交),不可能为等腰梯形;b .当点P 在第三象限时,如图5,四边形OACP 为凹四边形(或说明两组对边都相交),不可能为等腰梯形;c .当点P 在第四象限时,如图6,若四边形OACP 是等腰梯形,则 AP=OC=3,由△APH ∽△ABO ,得55353==PH ,即5532-=m …………………1分由∠BCA=∠BAC ,得 BA=BC=t8、(2013某某永嘉一模)22.(本题10分)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠ACB 的平分线交AB 于点O ,以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D .(1)求证: ⊙O 与BC 相切;(2)当AC =3,BC =6时,求⊙O 的半径. 【答案】解:(1)证明:如图,连结OD ,作OE ⊥BC 于点E , …………1分∵⊙O 与AC 相切于点D ,∴OD ⊥AC .…………1分 ∵OC 是∠ACB 的平分线,∴OD =OE .…………1分 ∴⊙O 与BC 相切…………2分(2)解:∵OD ⊥AC ,∠ACB =90°,∴OD ∥CB ,∴△AOD ∽△ABC ,1分解法1 ∴,BC ODAC AD =即,2163===BC AC OD AD ……………………2分∴,2121CD OD AD ==∴,232===AC OD CD 即圆的半径为2.……2分解法2 ∴,BCODAC AD =设半径为x ,∵OC 是∠ACB 的平分线,∴∠DCO =45° ∴CD =OD =x ,∴AD = AC -CD =3-x ,……………………2分,633xx =-解得x =2,即圆的半径为2.……………………2分 9、(2013某某永嘉一模)24.(本题14分)如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =4.动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动,同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动,到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回.点P ,Q 运动速度均为每秒1个单位长度,当点P 到达点C 时停止运动,点Q 也同时停止.连结PQ ,设运动时间为t (t >0)秒. (1)求线段AC 的长度;(第4题图)(2)当点Q 从B 点向A 点运动时(未到达A 点),求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式,并写出t 的取值X 围;(3)伴随着P ,Q 两点的运动,线段PQ 的垂直平分线为l : ①当l 经过点A 时,射线QP 交AD 于点E ,求AE 的长; ②当l 经过点B 时,求t 的值. 【答案】解:(1)在矩形ABCD 中,225AC AB BC =+=……2分(2)如图①,过点P 作PH ⊥AB 于点H ,AP=t ,AQ=3-t ,由△AHP ∽△ABC ,得BC PH AB AP =,∴PH=45t ,……2分 t t t t S 565254)3(212+-=⋅-=,…………2分)30(<<t .…………1分(3) ①如图②,线段PQ 的垂直平分线为l 经过点A ,则AP=AQ ,即3-t=t ,∴t=,∴AP=AQ=,…………………………1分 延长QP 交AD 于点E ,过点Q 作QO ∥AD 交AC 于点O , 则,BC QO AB AQ AC AO ==25=⋅=∴AC AB AQ AO , 2=⋅=BC ABAQ OQ ,∴PO=AO -AP=1.由△APE ∽△OPQ ,得3,=⋅=∴=OQ OPAPAE OP AP OQ AE .……2分 ②(ⅰ)如图③,当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ,BQ =CP =AP =t ,∠QBP =∠QAP∵∠QBP +∠PBC =90°,∠QAP +∠PCB =90° ∴∠PBC =∠PCB CP =BP =AP =t ∴CP =AP =21AC =21×5=∴t =2.5. ………2分 (ⅱ)如图④,当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ,BP =BQ =3-(t -3)=6-t ,AP =t ,PC =5-t ,过点P 作PG ⊥CB 于点G 由△PGC ∽△ABC , 得()t AB AC PC PG BC GC AB PG AC PC -=⋅=∴==553, 图②()t BC AC PC CG -=⋅=554,BG =4-()t -554=t 54由勾股定理得222PG BG BP +=,即()222553)54()6(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-t t t ,解得1445=t .………2分 10、(2013某某一中一模)25. 如图,在平面直角坐标系中,点)32(,A 为二次函数)0(22≠-+=a bx ax y 与反比例函数)0(≠=k xky 在第一象限的交点,已知该抛物线)0(22≠-+=a bx ax y 交x 轴正 负半轴分别于E 点、D 点,交y 轴负半轴于B 点,且21tan =∠ADE .(1)求二次函数和反比例函数的解析式;(2)已知点M 为抛物线上一点,且在第三象限,顺次连接点E B M D 、、、,求四 边形DMBE 面积的最大值;(3)在(2)中四边形DMBE 面积最大的条件下,过点M 作x MH ⊥轴于点H ,交 EB 的延长线于点F ,Q 为线段HF 上一点,且点Q 到直线BE 的距离等于线段 OQ 的长,求Q 点的坐标.【答案】11解:(1)将A (2,3)代入k y x =中,6k =∴6y x=..............1分解得13,22a b ==∴213222y x x =+-...........4分xy21tan =∠ADE 又)(,0,4)32(-∴D A 中代入到将2,2-+=bx ax y D A ⎩⎨⎧=--=-+024163224b a b a22224,6),2(,5363)6,2(,22),2,0()0,1(,232,223213b OQ QP b FQ b Q EF F x y EB B E a b x x x y +==+=∴-=+=∴--∴-=∴-∴-=-=-+=,设解析式为:又且对称轴为)( ∴当2a =时,四边形DMBE 的面积最大为9 . .................8分...............12分12. (2013某某一中一模)26.已知矩形纸片ABCD 中,6,23AB BC ==,将该矩形纸片沿对角线AC 剪开,得到两X 三角形纸片(如图1),再将这两X 三角形纸片摆成如图2的形状,使得点B 、C 、F 、D 在同一直线上,且点C 与点F 重合.此时将△ABC 以每秒1个单位长度的速度沿直线BD 向左平移,直至点B 与点D 重合时停止运动.设△ABC 运动的时间为t ,(1)当t 为何值时,点E 落在线段AC 上?(2)设在平移的过程中△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为S ,请直接写出S 与t 之间的函数关系式,并写出相对应t 的取值X 围;(3)当点B 与点D 重合时如图3,将△ABC 绕点B 旋转得到△A 1BC 1,直线EF 分别与直线A 1B 、直线A 1C 1交于点M 、N ,是否存在这样的点M 、N ,使得△A 1MN 为等腰三角形?若存在,请求出此时线段EM 的长度;若不存在,请说明理由.H EPF QO)12(1,4043)6(520,53634212222--∴-===--∴+=+∴+=+∴=∴∆∆,上在线段又,∽Q HF Q b b b b b b b b EFQFEH QP EHF QPF【答案】13.解:(1)由题意知,Rt△ABC 与Rt△DEF 中,∠CAB=∠DFE=30°当点E 落在AC 上时,6,23,CD t DE =-=∠DCE=60° ∴3CD =DE ,即3(6)23t -=, ∴8t =................2分(2)22223(023)83223(236)24133(632)203(68)243243(8623)6t t t t t S t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-+-<≤⎪⎪=⎨⎪-++-<≤⎪⎪⎪-++<≤+⎪⎩.................8分(3)存在这样的点M 、N ,理由如下:如下图,由题意得△A 1MN∽△FMB,即当△A 1MN 为等腰三角形时,△FMB 也为等腰三角形. ①.当A 1M=A 1N 时,即FB=FM=6,若点M 在线段EF 上时,EM=436-; 若点M 在线段EF 的延长线上时,EM=436+.②.当MA 1=MN 时,即MB=MF ,则点M 在线段BF 的中垂线上,过M 作MT⊥BF 于点T ,则BT=FT=3,∴MT=3,MF=23,∴EM=EF -MF=4323-=23. ③.当NA 1=NM 时,即BM=BF=6,此时点M 在线段FE 的延长线上, ∠BMF=∠BFM=30°,可得MF=63,则EM=MF-EF=634323-=. ∴综上所述,存在这样的点M 、N ,使得△A 1MN 为等腰三角形,此时线段EM 的长度为436±或23 ..............12分14. (2013某某饶鹰中考模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,AC是弦,∠ACD =21∠AOC ,AD ⊥CD 于点D . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若AB=10,AD =2,求AC 的长. 答案:解:(1)证明:∵OC=OA , ∴∠ACO =∠CAO ,∴∠AOC =180°-2∠ACO ,即21∠AOC +∠ACO =90°. ∵ ∠ACD =21∠AOC, ∴∠ACD+∠ACO=90° ∴CD 是⊙O 的切线 (2)连接BC .∵AB 是直径,∴∠ACB =90°.DOCBA在Rt △ACD 与△RtABC 中, ∵∠AOC =2∠B ,∴∠B =∠ACD , ∴△ACD ∽△ABC ∴ACAD AB AC =,即AC 2=AB ·AD . ∴AC =5215、(2013凤阳县县直义教教研中心)如图1,△ABC 是等腰直角三角形,四边形ADEF 是正方形,D 、F 分别在AB 、AC 边上,此时BD =CF ,BD ⊥CF 成立.(1)当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ(090θ<<)时,如图2,BD =CF 成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(2)当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时,如图3,延长BD 交CF 于点G .① 求证:BD ⊥CF ;② 当AB =4,AD时,求线段BG 的长.图1 图2 图3解(1)BD =CF 成立.理由:∵△ABC 是等腰直角三角形,四边形ADEF 是正方形,∴AB =AC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =90°,∵∠BAD =DAC BAC ∠-∠,∠CAF =DAC DAF ∠-∠,∴∠BAD =∠CAF ,∴△BAD ≌△CAF .∴BD =CF .……………………………………………………………………(4分)图13.3图13.2图13.1A45°θGABCDEFFED C BF E D C BA(2)①证明:设BG 交AC 于点M .∵△BAD ≌△CAF (已证),∴∠ABM =∠GCM . ∵∠BMA =∠CMG ,∴△BMA ∽△CMG .∴∠BGC =∠BAC =90°.∴BD ⊥CF .……………………………………(7分)②过点F 作FN ⊥AC 于点N .∵在正方形ADEF 中,AD =2, ∴AN =FN =121=AE . ∵在等腰直角△ABC 中,AB =4, ∴=AC -AN =3,BC =2422=+AC AB .Rt △F ∽Rt △ABM ,∴ABCNAM FN =∴AM ==⨯AB 3134. ∴CM =AC -AM =4-34=38,310422=+=AM AB BM .…… (9分) ∵△BMA ∽△CMG ,∴CGCMBA BM =. ∴CG3843104=. ∴CG =5104.…………………………………… (11分)∴在Rt △BGC 中,=-=22CG BC BG 5108. …………………….. (12分) 16、(2013凤阳县县直义教教研中心)如图,已知:直线y=-x+3交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C (1,0)三点. (1)求抛物线的解析式;(2)若点D 的坐标为(-1,0),在直线y=-x+3上有一点P ,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ,使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由.MN FE DCBAG 45°图13.3解:(1):由题意得,A (3,0),B (0,3)∵抛物线经过A 、B 、C 三点,∴把A (3,0),B (0,3),C (1,0)三点分别代入2y ax bx c得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==++03039c b a c c b a 解得:⎪⎩⎪⎨⎧=-==341c b a∴抛物线的解析式为243yx x …………………………… (4分)(2)由题意可得:△ABO 为等腰三角形,如图所示, 若△ABO ∽△AP 1D ,则1DP OBAD AO = ∴DP 1=AD =4 , ∴P 1(1,4)若△ABO ∽△ADP 2 ,过点P 2作P 2 M ⊥x 轴于M ,AD =4, ∵△ABO 为等腰三角形, ∴△ADP 2是等腰三角形,由三线合一可得:DM =AM =2= P 2M ,即点M 与点C 重合∴P 2(1,2) ……………………(8分) (3)如图设点E (,)x y ,则||2||21y y AD S ADE =⋅⋅=∆ ①当P 1(-1,4)时,S 四边形AP 1CE =S 三角形ACP 1+S三角形ACE ||2214221y ⋅⨯+⨯⨯== 4y∴24y y ∴4y∵点E 在x 轴下方 ∴4y代入得: 2434x x ,即 0742=+-x x∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解②当P 2(1,2)时,S 四边形AP 2CE =S 三角形ACP 2+S 三角形ACE = 2y∴22yy ∴2y∵点E 在x 轴下方 ∴2y 代入得:2432x x即 0542=+-x x ,∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述,在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E 。

2013年全国中考数学试题分类解析汇编专题46相似和位似(包含答案)

2013年全国中考数学试题分类解析汇编专题46相似和位似(包含答案)

专题46相似和位似一、选择题1. (2012海南省3分)如图,点D 在△ABC 的边AC 上,要判断△ADB 与△ABC 相似,添加一个条件,不正确...的是【 】A .∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C.AB CB BD CD = D .AD AB AB AC= 【答案】C 。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】由∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC,加上∠A 是公共角,根据两组对应相等的两三角形相似的判定,可得△ADB∽△ABC;由AD AB AB AC=,加上∠A 是公共角,根据两组对应边的比相等,且相应的夹角相等的两三角形相似的判定,可得△ADB∽△ABC;但AB CB BD CD =,相应的夹角不知相等,故不能判定△ADB 与△ABC 相似。

故选C 。

2. (2012陕西省3分)如图,在△ABC 中,AD ,BE 是两条中线,则EDC ABC S S :∆∆=【 】A .1∶2B .2∶3C .1∶3D .1∶4【答案】D 。

【考点】三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC 中,AD 、BE 是两条中线,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥AB,DE=12AB 。

∴△EDC∽△ABC。

∴()2EDC ABC S :S ED:AB =1:4∆∆=。

故选D 。

3. (2012浙江湖州3分)△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ,则△ABC 的周长为【 】A .60cmB .45cmC .30cmD .152cm 【答案】C 。

【考点】三角形中位线定理,相似三角形的性质。

【分析】∵三角形的中位线平行且等于底边的一半,∴△ABC 三条中位线围成的三角形与△ABC 相似,且相似比是12。

∵△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ,∴△ABC 的周长为30cm 。

故选C 。

4. (2012湖北咸宁3分)如图,正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形,O 为位似中心,相似比为1∶2,点A 的坐标为(1,0),则E 点的坐标为【 】.A .(2,0)B .(23,23)C .(2,2)D .(2,2)【答案】C 。

2013年全国各地中考数学试卷分类汇编:图形的相似与位似

2013年全国各地中考数学试卷分类汇编:图形的相似与位似

图形的相似与位似一.选择题1.(2013湖北孝感,9,3分)在平面直角坐标系中,已知点E (﹣4,2),F (﹣2,﹣2),以原点O 为位似中心,相似比为,把△EFO 缩小,则点E 的对应点E ′的坐标是( ) A . (﹣2,1) B . (﹣8,4) C . (﹣8,4)或(8,﹣4) D . (﹣2,1)或(2,﹣1)考点: 位似变换;坐标与图形性质. 专题: 作图题. 分析: 根据题意画出相应的图形,找出点E 的对应点E ′的坐标即可. 解答: 解:根据题意得:则点E 的对应点E ′的坐标是(﹣2,1)或(2,﹣1).故选D . 点评: 此题考查了位似图形,以及坐标与图形性质,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其对应的面积比等于相似比的平方. 2.(2013湖北孝感,12,3分)如图,在△ABC 中,AB=AC=a ,BC=b (a >b ).在△ABC 内依次作∠CBD=∠A ,∠DCE=∠CBD ,∠EDF=∠DCE .则EF 等于( )A .B .C .D .考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质. 分析: 依次判定△ABC ∽△BDC ∽△CDE ∽△DFE ,根据相似三角形的对应边成比例的知识,可得出EF 的长度.解答:解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵∠CBD=∠A,∴△ABC∽△BDC,同理可得:△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE,∴=,=,=,解得:CD=,DE=,EF=.故选C.点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,本题中相似三角形比较容易找到,难点在于根据对应边成比例求解线段的长度,注意仔细对应,不要出错.3.(2013湖北宜昌,15,3分)如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是()A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)考点:相似三角形的性质;坐标与图形性质.分析:根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断.解答:解:△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,AB:BC=2.A、当点E的坐标为(6,0)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=1,则AB:BC=CD:DE,△CDE∽△ABC,故本选项不符合题意;B、当点E的坐标为(6,3)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=2,则AB:BC≠CD:DE,△CDE与△ABC不相似,故本选项符合题意;C、当点E的坐标为(6,5)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=4,则AB:BC=DE:CD,△EDC∽△ABC,故本选项不符合题意;D、当点E的坐标为(4,2)时,∠ECD=90°,CD=2,CE=1,则AB:BC=CD:CE,△DCE∽△ABC,故本选项不符合题意;故选B.点评:本题考查了相似三角形的判定,难度中等.牢记判定定理是解题的关键.4. .[2013湖南邵阳,14,3分]如图(四)所示,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,连结DE,若DE=5,则BC=___________.ADEC图(四)知识考点:三角形中位线定理.审题要津:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.满分解答:解:∵点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线.又DE=5,则BC=2DE=10.故答案为10.名师点评:本题考查了三角形中位线的性质,解题时注意数形结合思想的运用.5.(2013·聊城,11,3分)如图,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2.∠DAC =∠B,若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为()A.a B.C.D.考点:相似三角形的判定与性质.分析:首先证明△ACD∽△BCA,由相似三角形的性质可得:△ACD的面积:△ABC的面积为1:4,因为△ABD的面积为a,进而求出△ACD的面积.解答:解:∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∴△ACD的面积:△ABC 的面积为1:4,∴△ACD的面积:△ABD的面积=1:3,∵△ABD的面积为a,∴△ACD的面积为a,故选C.点评:本题考查了相似三角形的判定和性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方,是中考常见题型.6.(2013•东营,10,3分)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值()A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个答案:B解析:当直角边为6,8时,且另一个与它相似的直角三角形3,4也为直角边时,x的值为5,当8,4为对应边且为直角三角形的斜边时,x7故x的值可以为57两种情况。

全国各地名校2013年中考数学5月试卷分类汇编 相似形

全国各地名校2013年中考数学5月试卷分类汇编 相似形

相似形一、选择题1、(2013年某某荆州模拟题)如图, △ABC 中,DE∥BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE 的值为( ▲ )A.9B.6 C 答案:B2. (2013年某某荆州模拟题)已知矩形ABCD 中,AB =1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△ABE 向上折叠,使B 点落在AD 上的F 点,若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,则AD 为( ▲ ) A .215-B .215+ C . 3D .2 答案:B3.(2013年平谷区一模)如图,点D E F ,,分别是ABC △三边的中点,若ABC △的周长为20cm ,则DEF △的周长为A .15cmB .20cm 3C .5cmD .10cm答案:DP 处放一水平的平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处,已知 AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,且测得AB =,BP =,PD =12米,那么该古城墙的高度是( B )A.6米B.8米C. 18米D.24米5、(2013某某勐捧中学二模)如图,DE 是ABC △的中位线, 则ADE △与ABC △的面积之比是( )A BPDCEDBC第1题图A .1:1B .1:2C .1:3D .1:4【答案】D 第8题图6、(2013年某某省某某市一模)如图,DE 与ABC △的边AB AC ,分别相交于D E ,两点,且DE BC ∥.若AD :BD=3:1, DE=6,则BC 等于( ).A. 8B.92C. 35D. 2答案:A7、(2013某某五校联考二模)如图,ABC ∆中,D 、E 是BC 边上的点,1:2:3::=EC DE BD ,M 在AC 边上,2:1:=MA CM ,BM 交AD 、AE 于H 、G ,则GM HG BH ::等于 ( )A .1:2:3B .1:3:5C .5:12:25D .10:24:51 答案:D8、(2013某某某某特长展示)如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m 的竹竿作测量工具,移动竹竿,使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时竹竿与这一点相距6m ,与树相距15m ,则树的高度为 ( )A .9mB .7mC .4mD .5mB9. (2013某某黄浦二摸)如图,E 、F 分别是平行四边形ABCD 边BC 、CD 的中点,AE 、AF 交BD 于点G 、H ,若△AGH 的面积为1,则五边形CEGHF 的面积是 (A )1 (B )2 (C )3(D )4ABCD E15m6m 2m第1题图BCHGF EAAD BFE1 2二、填空题1、(2013年某某奉贤区二模)如图,已知∠E =∠C ,如果再增加一个条件就可以得到DEBCAD AB =,那么这个条件可以是▲(只要写出一个即可).答案:∠B =∠D (等);2、(2013年某某长宁区二模)已知,△ABC 的重心G 到BC 边中点D 的距离是2,则BC 边上的中线长是. 答案: 63、(2013年某某某某一模)根据图中所给两个三角形的角度和边长,可得x =▲.4、如图,Rt △ABC 中,∠B =Rt ∠,点D 在边AB 上,过点D 作DG ∥AC 交BC 于点G ,分别过点D ,G 作DE ∥BC ,FG ∥AB ,DE 与FG 交于点O .当阴影面积等于梯形ADOF 的面积时,则阴影面积与△ABC 的面积之比为516▲ .且ABC S ∆∶C B A S ''''∆=16∶9,5、(2013某某勐捧中学三模)已知△ABC ∽△C B A ''',若AB =2,则B A ''=.(第1题)45°81°754°81° 3xOFED A第13题图6、 (2013某某市文园中学一模)如图,平行四边形ABCD 中,5AB =,3AD =,AE 平分DAB ∠交BC 的延长线于F 点,则CF =___________. 答案:2;三、解答题1.(2013年龙文教育一模)在Rt△ABC 中,∠ACB =90°,tan∠BAC =12. 点D 在边AC 上(不与A ,C 重合),连结BD ,F 为BD 中点.(1)若过点D 作DE ⊥AB 于E ,连结CF 、EF 、CE ,如图1. 设CF kEF =,则k =; (2)若将图1中的△ADE 绕点A 旋转,使得D 、E 、B 三点共线,点F 仍为BD 中点,如图2所示.求证:BE -DE =2CF ;(3)若BC =6,点D 在边AC 的三等分点处,将线段AD 绕点A 旋转,点F 始终为BD 中点,求线段CF 长度的最大值.答案:解:(1)k =1;…………………1分(2)如图2,过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ,设BD 与AC 的交点为Q . 由题意,tan∠BAC =12, B CA DEFB DEA FCBAC1图2图备图∴12 BC DEAC AE==.∵ D、E、B三点共线,∴ AE⊥DB.∵ ∠BQC=∠AQD,∠ACB=90°,∴ ∠QBC=∠EAQ.∵ ∠ECA+∠ACG=90°,∠BCG+∠ACG=90°,∴ ∠ECA=∠BCG.∴ BCG ACE△∽△.∴12 BC GBAC AE==.∴ GB=DE.∵ F是BD中点,∴ F是EG中点.在Rt ECG△中,12CF EG=,∴ 2BE DE EG CF-==. .……………4分(3)情况1:如图,当AD=13AC时,取AB的中点M,连结MF和CM,∵∠ACB=90°,tan∠BAC=12,且BC= 6,∴AC=12,AB=.∵M为AB中点,∴CM=∵AD=13 AC,∴AD=4.∵M为AB中点,F为BD中点,∴FM=12AD= 2.∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大,此时CF=CM+FM=2+..…………………………….……………………………5分B 2图BDEAFC GQA DF C MB情况2:如图,当AD =23AC时,取AB的中点M,连结MF和CM,类似于情况1,可知CF的最大值为435+.………6分综合情况1与情况2,可知当点D在靠近点C的三等分点时,线段CF的长度取得最大值为435+.7分2、(2013年聊城莘县模拟)如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD 交于点F,DE=CD。

全国名校近两年(2012、2013)中考数学试卷分类汇编 相似的应用

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相似的应用一、选择题1、10.如图,△ABC 中,点DE 分别是ABC 的中点,则下列结论:①BC =2DE ; ②△ADE ∽△ABC ;③ACABAE AD =.其中正确的有【 】 (A )3个 (B )2个 (C )1个 (D )0个 答案:A2、如图,AB ∥CD ,AD ,BC 相交于O 点,∠BAD=35°, ∠BOD=76°,则∠C 的度数是 ( ) A .31° B .35° C .41°D .76°答案:C3、平面直角坐标系中,已知点O(0,0)、A(0,2)、B(1,0),点P 是反比例函数1y x=-图象上的一个动点,过点P 作PQ ⊥x 轴,垂足为点Q .若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似,则相应的点P 共有() A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 答案:D4、(2012年中考数学新编及改编题试卷)图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。

已知;甲的路线为:A →C →B 。

乙的路线为:A →D →E →F →B ,其中E 为AB 的中点。

丙的路线为:A →G →H →K →B ,其中H 在AB 上,且AH>HB 。

若符号「→」表示「直线前进」,则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据, 则三人行进路线长度的大小关系为( )(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲ED CBA(第10题)ABOCD(第4题)答案:A5、(2012某某贵港)小刚身高m 7.1,测得他站立在阳光下的影子长为m 85.0,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为m 1.1,那么小刚举起的手臂超出头顶 A .m 5.0 B .m 55.0 C .m 6.0 D .m 2.2 答案:A二、填空题1、(2012某某省泸县福集镇青龙中学一模)如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m 的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6m ,与树相距15m ,则树的高度为_________m. 答案: 72、[某某市洞山中学第四次质量检测,12,5分] 将一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点的连线对折,要使矩形AEFB 与原矩形相似,则原矩形的长和宽的比应为 答案:1:23、(某某市2012年中考数学模拟)已知△ABC 与△DEF 相似且相似比为3︰5,则△ABC 与△DEF的面积比为. 答案:9︰25;4、(某某市亭湖区2012年第一次调研考试)如图4,正方形ABCD 的边长为2,AE =EB ,MN =1,线第1题图A BCD E O 段MN 的两端在CB 、CD 上滑动,当CM =时,△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似。

2013年浙江中考图形的相似

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【解析】(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=∠D=90° ,∴∠DCE+∠DEC=90° . ∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠DEC=90° , ∴∠DCE=∠AEF.∴△AEF∽△DCE. AE EF (2)由(1)可知:△AEF∽△DCE,∴ = . DC CE 在矩形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,AB=2AD=4AE, ∴DC=AB=4AE, EF AE AE 1 ∴tan∠ECF= = = = . CE DC 4AE 4
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(ⅰ)若∠ADF=90° , ∠EDF=120° -90° =30° , 在 Rt△DEF 中,DE= 3,求得 EF=1,DF=2. 又∵E(t,3),F(t,-t2+3),∴EF=3-(-t2+3)=t 2. ∴t2=1,∵t>0,∴t=1. AD 2 3 DF 2 AD DF 此时 = =2, = =2,∴ = , DE EF 1 DE EF 3 又∵∠ADF=∠DEF,∴△ADF∽△DEF. (ⅱ)若∠DFA=90° , DE EF 可证得△DEF∽△FBA,则 = , FB BA 设 EF=m,则 FB=3-m, 3 m ∴ = ,即 m 2-3m+6=0,此方程无实数根, 3-m 2 3 ∴此时 t 不存在. (ⅲ)由题意,∠DAF<∠DAB=60° , ∴∠DAF≠90° ,此时 t 不存在. 综上所述,存在 t=1,△ADF 与△DEF 相似. ② 6- 3≤t≤
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2013中考综合题五相似问题1.如图,第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ,作直径AD ,过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ,P 为直线l 上一动点,已知直线PA 的解析式为:y =kx +3。

(1) 设点P 的纵坐标为p ,写出p 随变化的函数关系式。

(2)设⊙C 与PA 交于点M ,与AB 交于点N ,则不论动点P 处于直线l 上(除点B 以外)的什么位置时,都有△AMN ∽△ABP 。

请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明;(3)是否存在使△AMN 的面积等于2532的k 值?若存在,请求出符合的k 值;若不存在,请说明理由。

解:(1)、∵y 轴和直线l 都是⊙C 的切线 ∴OA ⊥AD BD ⊥AD 又∵ OA ⊥OB∴∠AOB =∠OAD =∠ADB =90° ∴四边形OADB 是矩形 ∵⊙C 的半径为2 ∴AD =OB =4 ∵点P 在直线l 上 ∴点P 的坐标为(4,p ) 又∵点P 也在直线AP 上∴p =4k +3 (2)连接DN∵AD 是⊙C 的直径 ∴ ∠AND =90° ∵ ∠AND =90°-∠DAN ,∠ABD =90°-∠DAN ∴∠AND =∠ABD又∵∠ADN =∠AMN ∴∠ABD =∠AMN …………4分 ∵∠MAN =∠BAP …………5分 ∴△AMN ∽△ABP …………6分 (3)存在。

…………7分 理由:把x =0代入y =kx +3得y =3,即OA =BD =3 AB =5342222=+=+BD AD∵ S △ABD = 21AB ·DN =21AD ·DB ∴DN =AB DB AD ∙=512534=⨯ ∴AN 2=AD 2-DN 2=25256)512(422=-∵△AMN ∽△ABP ∴2)(AP AN S S AMNAMN =∆∆ 即222)(AP S AN S AP AN S ABP ABP AMN ∆∆∆∙=∙= ……8分当点P 在B 点上方时,∵AP 2=AD 2+PD 2 = AD 2+(PB -BD )2 =42+(4k +3-3)2 =16(k 2+1) 或AP 2=AD 2+PD 2 = AD 2+(BD -PB )2 =42+(3-4k -3)2 =16(k 2+1) S △ABP = 21PB ·AD =21(4k +3)×4=2(4k +3) ∴2532)1(25)34(32)1(1625)34(22562222=++=+⨯+⨯=∙=∆∆k k k k AP S AN S ABP AMN整理得k 2-4k -2=0 解得k 1 =2+6 k 2=2-6 …………9分 当点P 在B 点下方时,∵AP 2=AD 2+PD 2 =42+(3-4k -3)2 =16(k 2+1) S △ABP =21PB ·AD =21[-(4k +3)]×4=-2(4k +3)∴2532)1(1625)34(2256222=+⨯+⨯-=∙=∆∆k k AP S AN S ABP AMN化简,得k 2+1=-(4k +3) 解得k =-2综合以上所得,当k =2±6或k =-2时,△AMN 的面积等于2532…10分2.如图,已知点A (0,4),B (2,0). (1)求直线AB 的函数解析式;(2)已知点M 是线段AB 上一动点(不与点A 、B 重合),以M 为顶点的抛物线()n m x y +-=2与线段OA 交于点C .① 求线段AC 的长;(用含m 的式子表示) ② 是否存在某一时刻,使得△ACM 与△AMO 相似? 若存在,求出此时m 的值.解:(1)设直线AB 的函数解析式为:y=kx+b∵点A 坐标为(0,4),点B 坐标为(2,0) ∴⎩⎨⎧=+=04b 2kb ·················································· 2分解得:⎩⎨⎧=-=42b k即直线AB 的函数解析式为 y=-2x+4 ········ 4分 (2)① 依题意得抛物线顶点M (m , n )∵在点M 在线段AB 上,∴n =-2m+4 ········· 5分当x =0时,代入()n m x y +-=2得n m y +=2··························································· 6分 ∴422+-=m m y 即C 点坐标为(0, 422+-m m ) ··········································· 7分 ∴AC =OA -OC =4-(422+-m m )=m m 22+- ················································ 8分 ② 答:存在 ················································································································ 9分 作MD ⊥y 轴于点D ,则D 点坐标为(0,42+-m )∴AD =OA -OD =4-(42+-m )=2m ····································································· 10分 ∵M 不与点A 、B 重合,∴0<m <2又∵MD =m ,∴m MD AD AM 522=+= ·························································· 11分 (另解:在Rt △AOB 中,根据勾股定理得5241622=+=+=OB OA AB(第26题图)(第26题图)又∵DM ∥OB ,∴ABAMAO AD =,∴m m AO AD AB AM 54252=⨯=⋅= ··········11分) ∵在△ACM 与△AMO 中,∠CAM =∠MAO ,∠MCA >∠AOM ··························· 12分 ∴设△ACM ∽△AMO ∴AOAM AM AC =····································································· 13分 即45522m mmm =+-,整理,得 0892=-m m 解得98=m 或0=m (舍去) ∴存在一时刻使得△ACM 与△AMO 相似,且此时98=m ······································ 14分3、如图1,已知菱形ABCD 的边长为A 在x 轴负半轴上,点B 在坐标原点.点D 的坐标为(3),抛物线y =ax 2+b (a ≠0)经过AB 、CD 两边的中点. (1)求这条抛物线的函数解析式;(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE ⊥CD 于点E ,交抛物线于点F ,连接DF 、AF .设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0<t①当t =1时,△ADF 与△DEF 是否相似?请说明理由;②连接FC ,以点F 为旋转中心,将△FEC 按顺时针方向旋转180°,得△FE ′C ′,当△FE ′C ′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t 的取值范围.(写出答案即可)解:(1)由题意得AB 的中点坐标为(﹣,0),CD 的中点坐标为(0,3), …………………………2分 分别代入y =ax 2+b 得,解得,,∴y =﹣x 2+3. ……………………………3分 (2)①如图2所示,在Rt △BCE 中,∠BEC =90°,BE =3,BC =2∴sinC ===,∴∠C =60°,∠CBE =30°∴EC =BC =,DE =……………………………4分又∵AD ∥BC ,∴∠ADC +∠C =180°∴∠ADC =180°﹣60°=120°……………………………5分 ∵t =1, ∴B 点为(1,0) ∴F (1,2) ,E (1,3)∴EF =1 ……………………………6分 在Rt △DEF 中tan ∠EDF =3331==DE EF ∴∠EDF =300∴∠ADF =∠ADC —∠EDF =1200—300=900 ∴∠ADF =∠DEF∴DF =2EF =2……………………………7分 又∵3232==DF AD ,313==EF DE ∴EFDEEF AD =∴△ADF ∽△DEF ……………………………8分②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE ′C ′,过C ′作MN ⊥x 轴,分别交抛物线、x 轴于点M 、点N .观察图形可知,欲使△FE ′C ′落在指定区域内,必须满足:EE ′≤BE 且MN ≥C ′N . ∵F (t ,3﹣t 2),∴EF =3﹣(3﹣t 2)=t 2,∴EE ′=2EF =2t 2, 由EE ′≤BE ,得2t 2≤3,解得t ≤.∵C ′E ′=CE =,∴C ′点的横坐标为t ﹣,∴MN =3﹣(t ﹣)2,又C ′N =BE ′=BE ﹣EE ′=3﹣2t 2,由MN ≥C ′N ,得3﹣(t ﹣)2≥3﹣2t 2,解得t ≥.∴t 的取值范围为:.……………………………11分4.如图,已知:如图①,直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点,两动点D、E 分别从A、B两点同时出发向O点运动(运动到O点停止);对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a(x﹣k)2+h(a<0)始终经过点E,过E作EG∥OA交抛物线于点G,交AB于点F,连结DE、DF、AG、BG.设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,运动时间为t秒.(1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长;(2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形?判断此时△AFG与△AGB是否相似,并说明理由;(3)当△ADF是直角三角形,且抛物线的顶点M恰好在BG上时,求抛物线的解析式.﹣+﹣中,令,.==.=,.,=))))代入得:=,.,,==+..,,))))代入得:=,.),==+=+或.5.已知抛物线y= x2-2x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(-1,0).(1)求D点的坐标;(2)如图1,连结AC,BD,并延长交于点E,求∠E的度数;(3)如图2,已知点P(-4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC 于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.解:(1)把x=-1,y=0代入22y x x c=-+得1+2+c=0,∴c=-3 ………………………………………………………………1分∴()222314y x x x=--=--∴顶点D的坐标为(1,-4)………………………………………………………3分(2)如图1,连结CD、CB,过D作DF⊥y轴于F点,由2230x x--=得x1=-1,x2=3,∴B(3,0).当x=0时,2233y x x=--=-.∴C(0,-3),∴OB=OC=3,∵∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,BC=分又∵DF=CF=1,∠CFD=90°,∴∠FCD=45°,CD,∴∠BCD=180°-∠OCB-∠FCD =90°.∴∠BCD =∠COA.…………………………………5分11,=33CD OACB OC又∴=CD OACB OC,∴△DCB∽△AOC,∴∠CBD=∠OCA.…………………………6分又∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB,∴∠E=∠OCB=45°.……………………7分(3)如图2,设直线PQ交y轴于N点,交BD于H点,作DG⊥x轴于G点.∵∠PMA=45°,∴∠EMH =45°,∴∠MHE =90°,……………………………8分∴∠PHB =90°,∴∠DBG+∠OPN=90°.又∠ONP+∠OPN=90°,∴∠DBG=∠ONP,又∠DGB=∠PON=90°,∴△DGB∽△PON,图1∴2==44BG ON ONDG OP ,即, ∴ON =2,∴N (0,-2).…………………………10分 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ,则由40,2.k b b ì-+=ïïíï=-ïî 解得k =-12,b =-2, ∴122y x =--. 设Q (m ,n )且n <0,∴122n m =--. 又Q (m ,n )在223y x x =--上,∴223n m m =--,∴212232m m m --=--,解得1212,2m m ==-, ∴1273,4n n =-=-,∴点Q 的坐标为(2,-3)或(-12,-74).6.如图,点O 为矩形ABCD 的对称中心,AB =10cm ,BC =12cm .点E ,F ,G 分别从A ,B ,C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E 的运动速度为1cm /s ,点F 的运动速度为3cm /s ,点G 的运动速度为1.5cm /s .当点F 到达点C (即点F 与点C 重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB 'F ,设点E ,F ,G 运动的时间为t (单位:s ).(1)当t = ▲ s 时,四边形EBFB '为正方形;(2)若以点E ,B ,F 为顶点的三角形与以点F ,C ,G 为顶点的三角形相似,求t 的值; (3)是否存在实数t ,使得点B '与点O 重合?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)若四边形EBFB′为正方形,则BE=BF,即:10﹣t=3t,解得t=2.5;(2)分两种情况,讨论如下:①若△EBF∽△FCG,则有,即,解得:t=2.8;②若△EBF∽△GCF,则有,即,解得:t=﹣14﹣2(不合题意,舍去)或t=﹣14+2.∴当t=2.8s或t=(﹣14+2)s时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.(3)假设存在实数t,使得点B′与点O重合.如图,过点O作OM⊥BC于点M,则在Rt△OFM中,OF=BF=3t,FM=BC﹣BF=6﹣3t,OM=5,由勾股定理得:OM2+FM2=OF2,即:52+(6﹣3t)2=(3t)2解得:t=;过点O作ON⊥AB于点N,则在Rt△OEN中,OE=BE=10﹣t,EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t,ON=6,由勾股定理得:ON 2+EN 2=OE 2, 即:62+(5﹣t )2=(10﹣t )2 解得:t =3.9. ∵≠3.9,∴不存在实数t ,使得点B ′与点O 重合.7.如图,在平面直角坐标系中,点A (10,0),以OA 为直径在第一象限内作半圆C ,点B 是该半圆周上的一动点,连结OB 、AB ,并延长AB 至点D ,使DB =AB ,过点D作x 轴垂线,分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ,点E 为垂足,连结CF .(1)当∠AOB =30°时,求»AB 的长; (2)当DE =8时,求线段EF 的长;(3)在点B 运动过程中,是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,若存在,请求出所有点E 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)连结BC ,∵A (10,0), ∴OA =10 ,CA =5, ∵∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°, ∴»AB 的长=35180560ππ=⨯⨯; ………………………………………………3分 (2)连结OD, ∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°, 又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线;……………………………………………………4分第24题图∴OD =OA =10, 在Rt △ODE 中,OE ==-22DEOD 681022=-,∴AE =AO -OE=10-6=4,………………5分由 ∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ,∠OEF =∠DEA ,得△OEF ∽△DEA ,∴OE EF DE AE =,即684EF=,∴EF =3; (3)设OE =x ,①当交点E 在O ,C 之间时,由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ,当∠ECF =∠BOA 时,此时△OCF 为等腰三角形,点E 为OC 中点,即OE =25, ∴E 1(25,0);…………………………………………………………………8分 当∠ECF =∠OAB 时,有CE =5-x , AE =10-x ,∴CF ∥AB ,有CF =12AB ,∵△ECF ∽△EAD, ∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得:310=x , ∴E 2(310,0);………9分 ②当交点E 在点C 的右侧时,∵∠ECF >∠BOA , ∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF =∠BAO ,连结BE ,∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线, ∴BE =AB =BD ,∴∠BEA =∠BAO,∴∠BEA =∠ECF ,∴CF ∥BE ,∴OEOCBE CF =,∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠, ∴△CEF ∽△AED ,∴CF CE AD AE =, 而AD =2BE ,∴2OC CEOE AE=, 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x <0(舍去), ∴E 3(41755+,0); …………………………………………9分 ③当交点E 在点O 的左侧时,∵∠BOA =∠EOF >∠ECF .∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF =∠BAO 连结BE ,得BE =AD 21=AB ,∠BEA =∠BAO , ∴∠ECF =∠BEA, ∴CF ∥BE ,∴OEOCBE CF =, 又∵∠ECF =∠BAO ,∠FEC =∠DEA =Rt ∠,∴△CEF ∽△AED , ∴ADCFAE CE =, 而AD =2BE , ∴2OC CE OE AE =, ∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x , 417552--=x <0(舍去),∵点E 在x 轴负半轴上,∴E 4(41755-,0); 综上所述:存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为:1E (25,0)、2E (310,0)、3E (41755+,0)、4E (41755-,0).8.如图,抛物线与x 轴交于A ()0,1 、)03(,-B 两点,与y 轴交于点C (),3,0设抛物线的顶点为D .(1)求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标. (2)试判断△BCD 的形状,并说明理由.(3)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似? 若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.+3. 把点A ()0,1、点)03(,-B 代入,得⎩⎨⎧=+-=++033903b a b a 解得2,1-=-=b a∴抛物线的解析式为322+--=x x y .…(3分)∵4)1(3222++-=+--=x x x y ∴顶点D 的坐标为)4,1-(…………(5分) (2) △BCD 是直角三角形.…………(6分)理由如下:解法一:过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为F E 、(7分)∵在Rt △BOC 中,,,33==OC OB ∴18222=+=OC OB BC在Rt △CDF 中,,,1341=-=-==OC OF CF DF ∴2222=+=CF DF CD中,,,2134=-=-==OE OB BE DE ∴20222=+=BE DE BD∴222BD CD BC =+∴△BCD 为直角三角形.………………(10分)解法二:过点D 作DF ⊥y 轴于点F …(7分)在Rt △BOC 中,∵33==OC OB ,∴ 45=∠OCB ……………………………………………………(8分)∵在Rt △CDF 中,1341=-=-==OC OF CF DF ,∴ 45=∠DCF ………………………………………………(9分)∴-=∠ 180BCD DCF ∠- 90=∠OCB∴△BCD 为直角三角形. ………………………………………………………(10分) (3)坐标轴上存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似. …(11分)符合条件的点P 的坐标为:)09(),310(),00(321,,,--P P P .……………………9.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB ,O 为坐标原点, OA =1,tan ∠BAO =3,将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°,得到△DOC .抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C . (1)求抛物线的解析式.(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t .①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ,连接PE ,交CD 于F ,求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标.②是否存在一点P ,使△PCD 的面积最大?若存在,求出△PCD 面积的最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)在Rt △AOB 中,OA =1,tan ∠BAO ==3,∴OB =3OA =3.∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的, ∴△DOC ≌△AOB , ∴OC =OB =3,OD =OA =1,∴A 、B 、C 的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0). 代入解析式为,解得:.∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣2x +3; (2)①∵抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣2x +3, ∴对称轴l =﹣=﹣1,∴E 点的坐标为(﹣1,0).如图,当∠CEF =90°时,△CEF ∽△COD .此时点P 在对称轴上,即点P 为抛物线的顶点,P (﹣1,4);第24题备用图当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP.∴,∴MP=3EM.∵P的横坐标为t,∴P(t,﹣t2﹣2t+3).∵P在二象限,∴PM=﹣t2﹣2t+3,EM=﹣1﹣t,∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t),解得:t1=﹣2,t2=﹣3(与C重合,舍去),∴t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3.∴P(﹣2,3).∴当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3);②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得,解得:,∴直线CD的解析式为:y=x+1.设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,t+1),∴NM=t+1.∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣(t+1)=﹣t2﹣+2.∵S△PCD=S△PCN+S△PDN,∴S△PCD=PM•CM+PN•OM=PN(CM+OM)=PN•OC=×3(﹣t2﹣+2)=﹣(t+)2+,∴当t=﹣时,S△PCD的最大值为.10.已知,如图(a),抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°,|x1-x2|=8. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)连结AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得⊿ABP与⊿ADB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;(3)如图(b),点Q为上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问:AH·AQ是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.分),的坐标为(即抛物线顶点时,当分抛物线解析为:,解得:),,(抛物线过点又,解析式为:两点,所以可设抛物线、抛物线过),)、(,的坐标分别为(、点分中,在是切线,,连结解:圆的半径)(5............................... .38-2,382232461261232--4 .23261)6)(2(61.61)60)(20(-22-0)6)(2(y . .0602-B A ,6,22.......1.......... ,8.,60. 4,30.. 4282||2r 120021D y x x x x x y a a C x x a B A OB OA OM MN EMN ME MA ONE MNE Rt NE ME NE ME x x AB -=-⨯-⨯==⨯=∴--=-+=∴=-+=∴-+=∴==∴=∴==∠∴===∠∆⊥∴==-==(2)如图,由抛物线的对称性可知:BD AD =,DBA DAB ∠=∠.相似,与使侧图像上存在点若在抛物线对称轴的右ADB ABP P ∆∆,必须有BAD ∠=∠=∠BPA BAP . 设AP 交抛物线的对称轴于D ′点, 显然)38,2(D ',∴直线OP 的解析式为3432+=x y , 由2326134322--=+x x x ,得10,221=-=x x (舍去). ∴)8,10(P . 过P 作,G x PG 轴,垂足为⊥,8,4==∆PG BG BGP Rt 中,在∵8548422≠=+=PB∴BPA BAP .∠≠∠∴≠AB PB ..∴PAB ∆与BAD ∆不相似, …………………………9分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点.所以在该抛物线上不存在点P ,使得与PAB ∆与相似.…………………… 10分 (3)连结AF 、QF , 在AQF ∆和AFH ∆中,由垂径定理易知:弧AE =弧AF . ∴AFH ∠=∠AQF , 又HAF ∠=∠QAF , ∴AQF ∆∽AFH ∆,AFAHAQ AF =∴, 2AF AQ AH =⋅∴ ……………… 12分在Rt △AOF 中,AF 2=AO 2+OF 2=22+(23)2=16(或利用AF 2=AO ·AB =2×8=16) ∴AH ·AQ =16即:AH ·AQ 为定值。

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