工程数学概率练习——2013.06
工程数学(线性代数与概率统计)答案(1章)
工程数学（线性代数与概率统计）习题一一、 1.5)1(1222112=-⨯-⨯=-；2.1)1)(1(111232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x ；3.b a ab bab a 2222-=4.53615827325598413111=---++=5.比例）第一行与第三行对应成(,000000=dc ba6.186662781132213321=---++=。
二．求逆序数 1. 551243122=↓↓↓↓↓τ即 2. 5213423=↓↓↓↓τ即3. 2)1(12)2()1(12)1(01)2()1(-=+++-+-=-↓↓-↓-↓n n n n n nn n ΛΛτ即 4.2)1(*2]12)2()1[()]1(21[24)22()2()12(31012111-=+++-+-+-+++=--↓↓-↓-↓-↓↓↓n n n n n n n n n n n ΛΛΛΛτ三．四阶行列式中含有2311a a 的项为4234231144322311a a a a a a a a +- 四．计算行列式值1.07110851700202145900157711202150202142701047110025102021421443412321=++------r r r r r r r r2.310010000101111301111011110111113011310131103111301111011110111104321-=---⋅=⋅=+++c c c c3.abcdef adfbce ef cf bf de cd bdae ac ab4111111111=---=--- 4.dcdcba dcb a1010111011110110011001--------按第一行展开 ad cd ab dc dadc ab+++=-+---=)1)(1(1111115.ba c cbc a b a a c b a c c b c a b a a b b a c c c b c a b b a a a ba c c cbc a b b a a c b a --------------=------202022202022222222222222 其中)3)(()(3522)(22)(12221222122)(2202022202022222220222200222202222222222222ac ab a c a b a ab abc ba c c aa c ab b a a b a abc ba c c aa c a bc c b b a aa cc b b a ac cc b b b aa ab ac c b c b aa b a c c b a b a a b a c c c b b b a a a b a c c c b c a b b a a a ++++++=--+-+-=--+---=--------=----其余同法可求。
工程数学概率统计练习册(二)答案
33—34页
1、D 2、B 3、D 4、当时， ；
当时，； 当时，； 当时， 。即：
；，， ， 5、 6、（1）
（2）， 7、（1） （2）
35—36页
1、C 2、D 3、（1）略 （2）； （3） 4、； ； 5、（1） （2） 6、 这说明成绩在60和60以上的考生（第100名），在全体考生中占 84.13%，因此，考生总数大致为：100/0.8413＝119名，故前20名考生在 全体考生中的比率大致为：20/119＝0.1681。设S为第20名考生的成绩， 它满足：
，
查表得：
7、要解决此问题，首先确定，因为考试人数很多，可用频率近似概 率。
根据已知条件：
。
又因为，
反查标准正态表得：＝2 同理： ，
………①
又因为
反查标准正态表得：
………②
联立①，②解得：～。 某人是否能被录取，关键看录取率。已知录取率为155/526≈0.2947， 看某人是否录取解法有两种方法。 方法1： 因为 0.2119<0.2947（录取率），所以此人能被录取。 方法2：看录取分数线，设被录取者最低分数为，则 （录取率） 反查标准正态表得：。 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取。
31- 32页
1、A 2、
3、已知：，，，从而有： 4、用A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签，则有：
，
，
5、（1）， ，
； （2），
， 。 （3）， 6、用A、B分别表示事件“报警系统A、B有效”，则有：
，， （1） （2） 7、用A、B、C分别表示汽车到甲、乙、丙地去拉菜的事件，用D表示 一级菜，则有：
37-38页
1、
概率练习题含答案
第一章 随机事件及其概率 练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ） （2）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （3）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（4）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ）（5）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （6）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P {}1=3两个女孩。
（B ） （7）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ）（8）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（9）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ）2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则CA. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C )A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB)（3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A ) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B)D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B )A.()a c c + B . 1a c +-C. a b c +-D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D )A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率运算练习题及答案
概率运算练习题及答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性。
在概率论中，我们经常需要进行概率的计算。
以下是一些概率运算的练习题，以及相应的答案，供学习者参考和练习。
# 练习题1一个袋子里有3个红球和2个蓝球。
随机从袋子中取出一个球，然后放回，再次取出一个球。
求以下事件的概率：A) 第一次取出的是红球。
B) 第二次取出的是红球。
C) 两次取出的都是红球。
# 答案1A) 第一次取出红球的概率是3/5，因为袋子里有5个球，其中3个是红球。
B) 由于取出的球会放回，所以第二次取出红球的概率也是3/5。
C) 两次取出都是红球的概率是第一次取出红球的概率乘以第二次取出红球的概率，即 (3/5) * (3/5) = 9/25。
# 练习题2一个骰子有6个面，每个面上的数字分别是1, 2, 3, 4, 5, 6。
投掷两次骰子，求以下事件的概率：A) 第一次投掷得到的数字大于3。
B) 第二次投掷得到的数字小于4。
C) 两次投掷得到的数字之和为7。
# 答案2A) 第一次投掷得到大于3的数字的概率是3/6，因为1, 2, 3的数字小于4，而骰子有6个面。
B) 第二次投掷得到小于4的数字的概率也是3/6，因为1, 2, 3的数字小于4。
C) 两次投掷得到的数字之和为7的组合有：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)。
每一对组合出现的概率是1/36（因为每个数字出现的概率是1/6，且投掷两次是独立的）。
所以，两次投掷和为7的概率是6 * (1/36) = 1/6。
# 练习题3一个班级有30个学生，其中15个男生和15个女生。
随机选择5个学生组成一个小组。
求以下事件的概率：A) 小组中至少有3个男生。
B) 小组中恰好有3个男生。
# 答案3A) 至少有3个男生的小组可以是3个男生和2个女生，4个男生和1个女生，或者5个男生。
我们可以使用组合数学来计算这些概率。
- 3个男生和2个女生的组合数是 C(15,3) * C(15,2)。
概率论与数理统计习题-工程数学
概率论与数理统计习题集第一单元 随机变量基本概念一、 选择题1．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误的是（ ）A ．0)|(=B A P B ．P （B|A ）=0C ．P （AB ）=0D ．P （A ∪B ）=12．设A ，B 为两个随机事件，且P （AB ）>0，则P （A|AB ）=（ ）A ．P （A ）B ．P （AB ）C ．P （A|B ）D ．13．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（ ）A ．601B ．457C ．51D ．1574．设A 为随机事件，则下列命题中错误的是（ ）A ．A 与A 互为对立事件B ．A 与A 互不相容C ．Ω=⋃A AD ．A A =5. 2．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P （ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.86．设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B) >0，则有（ ）A ．P(AB )=l B ．P(A)=1-P(B)C ．P(AB)=P(A)P(B)D ．P(A ∪B)=17．设A 、B 相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（ ）A ．P(AB)=0B ．P(A-B)=P(A)P(B )C ．P(A)+P(B)=1D ．P(A|B)=08．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.509．某射手向一目标射击两次，Ai 表示事件“第i 次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（ ）A ．A1A2B ．21A AC ．21A AD ．21A A10．某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ ）A ．p2B ．(1-p)2C ．1-2pD ．p(1-p)11．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且A B ，则P(A|B)=（ ）A ．0B ．0.4C ．0.8D ．112．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（ ）A ．0.20B ．0.30C ．0.38D ．0.5713．已知P(B|A)=103,P(A)=51,则P(AB)=( ) A ．21 B.23 C ．32 D.503 14．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A.2258B.21C.83 D.43 15．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D.103 16．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，则已知甲同学排在第一跑道，乙同学排在第二跑道的概率（ ） A.52 B.51 C.92 D. 7317．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7318.福娃是2008年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组五个福娃中选取一个留作纪念。
工程数学(线性代数与概率统计)答案(2章)
工程数学（线性代数与概率统计）习题二1、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2294201722213222222222209265085031111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T2、求下列矩阵的乘积AB（1）()()7201321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121125147103121012132 （3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-119912943110231101420121301 （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000021211111 （5）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000002412122412（6）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n nnc b c b c b c b a c b a c b a 2020202000100002211222111 3、求下列矩阵的乘积（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=ni i i n n b a b b b a a a 12121（2）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 22122212121112121（3）())222(322331132112233322222111321332313232212131211321x x a x x a x x a x a x a x a x x x a a a a a a a a a x x x +++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110011A ，求与A 可交换的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211b b b b b b b b b B ；即BA AB = BA b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b AB =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=333232313123222221211312121111333231332332223121231322122111 得 为任意数13121133223221312312221121,,00b b b b b b b b b b b b b ====== ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111211131211000b b b b b b B 7、略8、计算矩阵幂（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2221141343214321432143213（2）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2cos2sin2sin2cos 1401104410013401102410010110ππππn n n n k n k n k n k n n（3）n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2312,2,1,0122312210012312231223121001100123122312=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--k k n kn n ＝＝因（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k n k k kn λλλλλλ2121（5）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1000101011000101011000101011000101011000100110001010110001030110001010110001020110001010110001020110001010110001010113k k kk k(6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---kk kk k k kk k k k λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ0002)1(00100100303300100100201200100100201200100100100100100112132323222322229、设()4321=α，()4/13/12/11=β，()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--13/4244/312/332/13/2124/13/12/114)()()4(43214/13/12/1113/4244/312/332/13/2124/13/12/114/13/12/11432111n n T T n T n T T A A ββααβαβαβα10、分块计算（略），11、12、13、14（略）15、求逆矩阵（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a c b d bc ad d c b a 11(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 1（3）02145243121≠=---，32,13,4131211-=-=-=A A A ，2,1,0,14,6,2333231232221-=-=====A A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==*-2143216130242111A A A（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111n a a a A16.解矩阵方程（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-321195532/12/312955343211X （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--861222215768211091614351211187651091614251311X （3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-98765432112523113501520950381X （4）B A E X B X A E B AX X 1)()(--=⇒=-⇒+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1102133502113/13/103/13/213/13/203502112011010111X17、1111)(66)(6-----=⇒=-⇒+=E A B A BA E A BA A BA A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------1236/13/12/16)(66/13/12/1)(,632,743111111E A B E A E A A18、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--=⇒=-⇒+=---9122692683321011324461351341321011324121011322)2()2()2(2111A E A A E A B A B E A B A AB19、A 为3阶方阵，a A =0≠m ，有a m mA 3-=-；20、A 为3阶方阵，2,2/11=⇒=-A A ；1-*⋅=A A A ，41311112222323===-=-----*-A A A A A A A21、略22、112)(212)(02---=⇒=-⇒=--E A AE E A A E A A A A E E A A E E A A 21)(2)(0212-=-⇒-=-⇒=---因020))(2(=+-⇒=+-E A E A E A E A 23、)2(51)4(05)2)(4(03212E A E A E E A E A E A A --=+⇒=+-+⇒=-+- 24、因0=mA 有1221)((----++++-=-==m m m m m m m A EA A E E A E A E EE所以121)(--++++=-m A A A E A E25、 C A C AC C B m mm11)(--==26、199991--=⇒=⇒=P PB A PBP A PB AP27、28、略29、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22112121,B A O O B A AB B O O B B A OO A A ; 30、(1)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛214321E OO E A A A A O C B O有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1214132121430C A A A B A E OO E CA CA BA BA 即逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--O B C O11 （2）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛214231214321E OO E CA AA CA AA BA BA A A A A C A O B 得逆阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1111C AB C O B31、32、略33、求迭（1）200001140432122801140432121101542143211312=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---r r r r r （2）4211103000044000100112111011110022201001110011111100222021110=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r34、求逆阵（用软件算的与书后答案有些不同，请大家验证） （1）A =3 2 1 3 1 5 3 2 3det(A)= -6 >> inv(A) ans =1.1667 0.6667 -1.5000 -1.0000 -1.00002.0000 -0.5000 0 0.5000（2）B =2 3 11 2 0-1 2 -2det(B)=2>> inv(B)ans =-2.0000 4.0000 -1.00001.0000 -1.5000 0.50002.0000 -3.5000 0.5000（3）C =3 -2 0 -10 2 2 11 -2 -3 -20 1 2 1det(C)=1>> inv(C)ans =1.0000 1.0000 -2.0000 -4.00000 1.0000 0 -1.0000-1.0000 -1.0000 3.0000 6.00002.0000 1.0000 -6.0000 -10.0000（4）D =2 1 0 03 2 0 05 7 1 8-1 -3 -1 -1det(D)=7>> inv(D)ans =2.0000 -1.0000 0.0000 0-3.0000 2.0000 0 -0.00006.4286 -4.4286 -0.1429 -1.14290.5714 -0.5714 0.1429 0.1429。
概率学练习题
概率学练习题简介：概率学是研究随机现象及其规律的数学分支。
它广泛应用于各个领域，包括统计、金融、工程、医学等。
本文将给出一些概率学的练习题，以帮助读者巩固对概率的理解。
一、基础概率题1. 一枚均匀硬币抛掷两次，求出现两个正面的概率。
2. 一个箱子中有6个红球和4个蓝球，从箱子中随机取出两个球，求两球颜色相同的概率。
3. 一张扑克牌从标准52张扑克牌中随机抽取，求抽出的牌是红心的概率。
二、条件概率题1. 一箱装有10个手机，其中有3个瑕疵品。
从箱子中连续抽取两个手机，且第一个手机是瑕疵品的概率是多少？2. 一批零件共有100个，其中有80个合格品。
从中随机抽取10个进行检验，求抽出的10个零件中恰好有9个或10个合格品的概率。
3. 甲、乙两辆车同时在同一条公路上行驶。
已知甲车的故障率为0.05，乙车的故障率为0.03。
如果突然听到有车发出故障声，求是甲车发出声音的概率。
三、排列组合与概率题1. 从1~10这10个数字中随机取出3个数字，求它们的乘积是偶数的概率。
2. 一组有5个数的集合，从中随机选择3个数，求这3个数的和是奇数的概率。
3. 有5个人随机排成一列，求两个特定人物（不一定相邻）站在一起的概率。
四、概率分布题1. 一枚公平骰子抛掷3次，求出现至少一次6点的概率。
2. 设某产品的寿命服从参数为λ=2的指数分布，求该产品寿命小于5的概率。
3. 某电子设备的寿命（以年为单位）服从正态分布N(10,2)。
求该电子设备寿命在区间 [8, 12] 内的概率。
结论：通过以上的练习题，读者应该巩固了对概率学的基础知识和应用能力。
概率学是一门重要的数学分支，它的应用范围广泛，对于理解随机现象和规律具有重要意义。
在实际应用中，我们需要熟练掌握概率的计算方法，并能够将其运用到相关领域的问题中。
希望通过本文的练习题，读者能够对概率学有更深入的理解，并能够在实际应用中灵活运用。
二项分布计算练习题求二项分布的概率
二项分布计算练习题求二项分布的概率二项分布计算练习题：求二项分布的概率在概率论中，二项分布是最重要且常用的离散概率分布之一。
它描述了在一系列独立的重复试验中成功次数的概率分布。
本文将通过几个计算练习题来帮助读者更好地理解和应用二项分布的概率计算方法。
问题一：某电子产品制造公司在生产特定型号的智能手机时，将每个手机的组装零件检测为合格（符合标准）或不合格（不符合标准）。
已知该公司的生产线在正常运行时，每个组装零件的合格率为0.85。
现在随机抽取了10个组装零件进行检测，请计算恰有7个合格零件的概率。
解答一：根据二项分布的概率公式，可以得到恰有7个合格零件的概率计算公式为：P(X=7) = C(10, 7) * p^7 * (1-p)^(10-7)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，p为每个组装零件的合格率。
代入数据进行计算，得到：P(X=7) = C(10, 7) * 0.85^7 * 0.15^3通过计算，可得P(X=7) ≈ 0.2668，即恰有7个合格零件的概率约为0.2668。
问题二：一批电子元件中有20%的不良品。
现在从中抽取了30个元件进行检验，请计算至少有5个不良品的概率。
解答二：本题可以通过计算至少有5个不良品的概率来求解。
计算过程如下：P(X≥5) = P(X=5) + P(X=6) + ... + P(X=30)依次计算每个概率值然后相加。
再利用二项分布的概率公式进行计算，得到：P(X≥5) = P(X=5) + P(X=6) + ... + P(X=30) = Σ[C(30, k) * 0.2^k *0.8^(30-k)] (k=5到30)通过计算，可得P(X≥5) ≈ 0.9988，即至少有5个不良品的概率约为0.9988。
问题三：某服装店销售一种T恤，每件T恤被退换的概率为0.1。
现在该店卖出了100件T恤，请计算有30件及以上被退换的概率。
解答三：类似于问题二的解答过程，我们可以利用概率公式计算有30件及以上被退换的概率。
工程数学概率练习
练习一.填空题1．设()0.3P A =,()0.5P A B ⋃=,则若A 与B 相互独立，则()P B = ；若A 与B 相不相容，则()P B = .2．已知随机变量X 只能取0，1，3三个值，相应概率依次为0.5，2c ，3c,则常数c= ，期望EX= .3．如果X 服从0-1分布，又知X 的期望是0.2，则X 的分布律为 .4．连续型随机变量X 的概率密度函数为(),010,a bx x f x else +<<⎧=⎨⎩，又2/3EX =，则a = ，b = .5．随机变量X 的分布函数是(),00,0x A Be x F x x λ-⎧+>=⎨≤⎩，0λ>为常数，则常数A= ，B= ,E(X)= ,D(X)= .6．设随机变量X 服从参数为6的指数分布，则D （－2X+5）=_____，E[(X+2)2]= .7. 设连续型随机变量X 的分布函数为11,0;()10,0,x F x x x ⎧->⎪=+⎨⎪≤⎩则当x >0时，X 的概率密度f (x )= .8． 已知离散型随机变量X 服从二项分布),(p n B ，且EX =5，方差DX =2.5，则n = ，p = .又~(5,0.4)Y B ,则E(Y)= ,D(Y)= .9.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律如下，则P{X Y ＝ 0}= .P(max{X,Y}=1)= . P{X+ Y ＝ 0}= .10.设随机变量X 服从参数为5的泊松分布，Y~U （0，1），且X ，Y 不相关， 则D （2X －Y －4）= ,E[(X+Y)2]= .P(-0.5<Y<0.5)= . 11.设随机变量X, Y 的方差分别是: D(X) = 9, D(Y) = 16, 相关系数ρXY =0.5, 则D(2X －3Y+5)= .又设两个相互独立的随机变量X 和Y,~(1,2)X N ,~(1)Y Exp ，则随机变量D(2X Y -)= ,相关系数ρXY = .12.一射手每次命中的概率为p ，三次射击独立，则仅第二次射中的概率为 .13．设随机变量X 的概率密度为f (x )=3,1;0,1,c x x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩则常数c 等于 .二.计算题1.一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，这三个车间产量所占比重分别为20%，30%，50%，如果每个车间成品中的次品占其产量的1%，2%，3%. 现从该厂产品中任取一件，求（1）该产品是次品的概率；（2）若已知取出的是次品，求它来自甲车间的概率.2.某型号电子管的 “寿命” X 服从指数分布，如果它的平均寿命EX =500小时，写出X 的概率密度，并计算()400500P X <≤.3.()2~3,2X N ，已知()3P X a -<=0.95，()0.0668P X b <=，分别求a 和b .求()14P X -<<，()5P X >.4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=1,101,010,x x x x +-<≤⎧⎪-<≤⎨⎪⎩其它，求EX 和DX .。
2012-2013-工程数学-期末试卷(概率)
《概率》工程数学期末试卷
2. 设 A，B 为两个不同的随机事件，则 P(A-B)= (
姓 名
密 封 线
A. P (A ) B. P (A)-P(AB ) C.P (B) D.1 3. 某人射击三次，其每次命中率为 0.9，则三次射击至少命中一次的概率 为( ) A．0.002 B．0.04 C．0.999 D．0.104； x 4. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 4 , 2 x 2; 其他, 0, 则 P {-1<X <1}=（ 1 1 A. B. 4 2 ） C.
满分 得分
10
七 . 解答题
x , 随机变量 X 的概率密度为 f ( x) 2 0, 0 x 2; 其他.
求 Y=2X+8 的概率密度。
满分 得分
11
八. 应用题
甲在上班路上所需的时间（单位：分）X~N（50，100） ．已知 上班时间为早晨 8 时，他每天 7 时出门，试求： （1）甲迟到的概率； （2）某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率． （ Φ （1）=0.8413，Φ （1.96）=0.9750，Φ (2.5)=0.9938）
1 1 3. 设 P （A） = ， P （A∪ B） = ， 且 A 与 B 互不相容， 则P （ B） =___________。 2 3 2 1 4. 一批产品，由甲厂生产的占 ，其次品率为 5%，由乙厂生产的占 ， 3 3 其次品率为 10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为 ___________。
5. 设随机变量 X~N（2，22 ） ，则 P{X≤0}=___________。 （附：Φ （1）=0.8413） 6. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
工程数学概率统计练习题
熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；
理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法；
会分块矩阵的运算。
考核要求：矩阵乘法
求逆矩阵初等行变换法
求矩阵的秩
三、线性方程组复习要求
掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性；
工程数学期末复习要点
邹斌
现在主要讨论工程数学这门课程的考核要求，08秋工程数学考试形式为半开卷，行考比例占30%，我们将分章节复习。
本课程分线性代数和概率统计两部分共7章内容。分别是行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础。
第一部分 线性代数
随机变量的概率分布概率密度的概念和性质熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的期望与方差熟练掌握用线性替代化正态分布为标准正态分布的方法分布f分布会查t了解区间估计的概念熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法
工程数学概率统计练习题
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A： 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A?{两次出现的面相同}；
记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A?{一分钟内呼叫次数不超过3次}； 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A?{寿命在2000到2500小时之间}。 解 ??{,,,}， A?{,}. 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则
??{X?k|k?0,1,2,??}， A?{X?k|k?0,1,2,3}.
P?P?P?0, P?P?1?P?1?0.6?0.4; P?P?0.6?0.4?0.2.
工程数学学复习资料五计算题(概率)
工程数学复习资料五—计算题（概率）1设X ～N （3，4），试求：（1） P （95<<X ）；（2）P （7>X ）。
（ 已知Φ（1）=0.8413，Φ（2）=0.9772，Φ（3）=0.9987）解：（1）=<-<=-<-<-=<<)3231()23923235()95(X P X P X P Φ（3）－Φ（1） =0.9987 － 0.8413 = 0.1574（2） =->-=>)23723()7(X P X P =>-)223(X P 1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228 2设X ～N （2，9），求： （1）P （11<X ）； （2）P （85<<X ）。
（ 已知Φ（1）=0.8413，Φ（2）=0.9772，Φ（3）=0.9987）解：（1）=-<-=<)321132()11(X P X P =<-)332(X P Φ（3）=0.9987（2）)2321()32832325()85(<-<=-<-<-=<<X P X P X P=Φ（2）－Φ（1）=0.9772 － 0.8413 = 0.13593设X ～N （3，22），求： （1）P （5<X ）； （2）P （1|1|<-X ）。
（ 其中Φ（0.5）=0.6915，Φ（1）=0.8413，Φ（1.5）=0.9332，Φ（2）=0.9772） 解：设)1,0(~23N X Y -= （1）=-<-=<)23523()5(X P X P =<-)123(X P Φ（1）=0.8413（2）P （1|1|<-X ）=)5.0235.1()23223230()20(-<-<-=-<-<-=<<X P X P X P =Φ（－0.5）－Φ（-1.5）=Φ（1.5）－Φ（0.5）=0.9332 － 0.6915 = 0.24174设X ～N （3，4），求： （1）P （1<X ）； （2）P （75<<X ）。
工程数学(概率)综合练习题
《概率论》部分一、设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 运算关系表示下列事件：1．A 发生，B 与C 不发生：_______________________ 2．A 、B 、C 中至少有一个发生：___________________ 3．A 、B 、C 中至少有两个发生：___________________ 4．A 、B 、C 中不多于一个发生。
_____________________ 二、填空1．设A 、B 为两个事件，且5.0)()(,7.0)(===B P A P B A P Y ，则 （1）=)(B A P ___________， （2）=)(B A P __________;2．若事件A 发生必导致事件B 发生，且==)(,4.0)(A B P A P 则____,=)(AB P ____; 3．若A 、B 为任意两随机事件，若)(),(),(AB P B P A P 已知，则=)(B A P Y ______________，=)(A P _______________;4．设有三事件A 1、A 2、A 3相互独立，发生的概率分别为1p 、2p 、3p ，则这三事件中至少有一个发生的概率为__________________,这三事件中至少有一个不发生的概率为_______;5．若随机变量X ～B （5，）,则P ｛X =3｝=___________________________,P ｛X ≥4｝=__________________________________________; 6．设随机变量X ～B ),(p n ，且EX =,DX =,则X 的分布列为{}==k X P __________________________________________, {}==3X P __________________________________________;7．已知随机变量X 的概率密度函数为),(221)(8)1(2∞-∞=--x e x f π则EX =______，DX =______，X 的分布函数=)(x F __________________;8．设X ～N （,4）,则P ｛︱X ︱＜3｝＝_________________;(已知)9878.)25.2(,7734.0)75.0(=Φ=Φ9．若X ～N （==-)(,22222Y E eY e x则），且，μμσμ___________;10．设随机变量X 的概率密度为=⎩⎨⎧≤>=-k x x ke x f x 则常数0,00,)(3_________。
工程数学(线性代数与概率统计)答案(3章)
工程数学（线性代数与概率统计）习题三1、2、3、略4、)1,0,1()1,1,0()0,1,1(21-=-=-αα)2,1,0()0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(323321=-+=-+ααα5、)523(61)(5)(2)(3321321αααααααααα-+=→+=++-6、设存在一组数r k k k ,,,21 使得 0)()()()(02212121212112211=++++++++=+++++++==+++r r r r r r r r k k k k k k k k k k k k αααααααααβββ因r ααα ,,21线性无关，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k 即021====r k k k ，所以r βββ ,,21线性无关。
7、设存在一组数4321,,,k k k k 使得044332211=+++ββββk k k k 有0)()()()(443332221141=+++++++ααααk k k k k k k k 因0000000043322141=k k k k k k k k ，且不全为0，所以4321,,,ββββ线性相关。
8、讨论向量组相关性。
（本题的特点是向量组的个数等于向量的维数， 其判断法是求向量组成的行列式值是否为0）（1）052520111631520111321===ααα，相关 （2）02102011321≠==ααα，无关 9、由向量组组成的行列式为 1221011131321111321-==t tααα（1）如果,5,41=→=-t t 行列式等于0，向量组线性相关， （2）如果,5,41≠→≠-t t 行列式不等于0，向量组线性无关， （3）当5=t 时，向量组相关，设22113αααk k += 即⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213211115312121k k k k 10、用矩阵的秩判别向量组的相关性（方法是求由向量组构成的矩阵的秩r 与向量组个数关系） （1）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==--01502601401051562641401041242031111323213321c c c c A ααα所以 2)(=A R ，相关。
概率算法练习题
概率算法练习题概率算法是一种用于解决随机事件问题的方法，在计算机科学和数学领域广泛应用。
本文将介绍一些概率算法的练习题，以帮助读者提高对概率算法的理解和应用。
一、排列组合问题1. 从1到10这10个数字中，随机选择3个数字，求这3个数字的所有排列方式数目。
2. 在一个扑克牌的牌组中，从中随机抽取5张牌，求其中有2张红心、2张黑桃的概率。
3. 有10个人排成一列，从中随机选择3个人，求这3个人不相邻的概率。
二、概率分布问题4. 一个普通的六面骰子，投掷100次，出现1的次数超过20次的概率是多少？5. 假设有一个有100个元素的数组，数组中的元素都是从1到100之间的随机整数，那么数组中最大值小于等于70的概率是多少？6. 掷两个骰子，点数之和为7的概率是多少？三、条件概率问题7. 假设一个班级中有30%的学生会打篮球，60%的学生会踢足球。
已知每个学生只会其中一种运动，如果随机选择一个学生，他会篮球的概率是多少？8. 在一批电子产品中，有20%的产品存在缺陷。
已知一台产品存在缺陷，则它是A品牌产品的概率是10%，是B品牌产品的概率是40%。
求一台随机选择的存在缺陷的产品是B品牌产品的概率。
9. 从一副扑克牌中抽取一张牌，已知抽取的牌是红心，求这张牌为K、Q、J或A的概率。
四、概率计算问题10. 一个盒子中有10个球，其中3个是红色，7个是蓝色。
现从中随机抽取3个球，求这3个球中有2个红色球的概率。
11. 有两个袋子，袋子A中有2个红球、3个蓝球，袋子B中有4个红球、1个蓝球。
现在随机选取一个袋子，并从袋子中取出一个球，结果为红色球。
求此红色球来自袋子A的概率。
12. 在1000个乒乓球选手中，有40%是女性。
现在随机选择一个球员，他是男性且是左撇子的概率是多少？总结：本文介绍了一些概率算法的练习题，涵盖了排列组合、概率分布、条件概率和概率计算等不同类型的问题。
通过解答这些练习题，读者可以巩固对概率算法的理解和运用。
大学数学 概率练习题
大学数学概率练习题
练题1
已知某班级有30名学生，其中15名是男生，15名是女生。
现从班级中随机选择2名学生，请计算以下概率：
a) 选择的两名学生都是男生的概率是多少？
b) 选择的两名学生都是女生的概率是多少？
c) 选择的两名学生一个是男生，一个是女生的概率是多少？
练题2
在一个骰子游戏中，玩家投掷两个骰子，每个骰子有6个面，分别标有1至6的数字。
请计算以下概率：
a) 两个骰子的点数之和为7的概率是多少？
b) 两个骰子的点数之和大于9的概率是多少？
c) 两个骰子的点数之和小于4的概率是多少？
练题3
一家公司拥有150名员工，其中75人是经理，剩下的是普通
员工。
现从公司中随机选择3名员工，请计算以下概率：
a) 选择的三名员工都是经理的概率是多少？
b) 选择的三名员工都是普通员工的概率是多少？
c) 选择的三名员工中至少有一名是经理的概率是多少？
练题4
一套纸牌共有52张牌，其中有4种花色（红心、方块、梅花、黑桃），每种花色有13张牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）。
现从牌中随机抽取2张，请计算以下概率：
a) 抽取的两张牌都是红心的概率是多少？
b) 抽取的两张牌都是J的概率是多少？
c) 抽取的两张牌一张是红心，一张是黑桃的概率是多少？
以上是关于大学数学概率的练习题，希望能帮助你巩固概率的相关知识。
完成这些练习题后，你可以自己计算答案，然后核对答案来检验你的理解程度。
祝你学习顺利！。
工程数学(线性代数与概率统计)第三章典型例题分析
第三章例1 设A 为n 阶方阵, 若存在正整数k 和向量, 使, 且.证明: 向量组线性无关.证明: （利用线性无关定义证明） 假设有常数, 使得1120k k A A λαλαλα-++= （1）将（1）两边左乘, 可得122120k k k k A A A λαλαλα--++=由已知条件, 可知上式从第二项全等于零, 所以, 又由条件, 所以. 类似地, 将（1）两边左乘, 可得； 类似地可证得，所以向量组线性无关.例2 设向量组线性相关, 向量组线性无关, 问:（1）能否由线性表示？ 证明你的结论; （2）能否由线性表示？ 证明你的结论. 解: （1）能由线性表示.证明：由于向量组线性无关, 那么其部分组也线性无关。
又由已知条件有线性相关, 故能由线性表示. (2) 4α不能由123,,ααα线性表示.证明:假设4α能由123,,ααα线性表示,即存在不全为零的常数123,,λλλ,使得4112233ααλαλαλ=++由(1)的结论,我们可以设12233k k ααα=+,代入上式,可得421223133()()k k αλλαλλα=+++即4α可由23,αα线性表示,从而234,,ααα线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 4α不能由123,,ααα线性表示.例3 设两向量组()()()123(1)1,2,3,3,0,1,9,6,7TTTααα=-==- ()()()123(2)0,1,1,,2,1,,1,0TTTa b βββ===已知两向量组的秩相等,且3β能由123,,ααα线性表示,求a,b. 解:令123123(,,),(,,)A B αααβββ==由于矩阵A 已知, 可以先对A 进行初等变换求秩.12231313913913925206061206123331701020000r r A r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=--+-- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此()2r A =,且12,αα为(1)的一个极大无关组.由已知条件两向量组的秩相等,所以()2r B =,从而0B =,即0121011a bB a b ==-= 所以a b =.又由条件3β能由123,,ααα线性表示而12,αα为(1)的一个极大无关组.所以3β能由12,αα线性表示,则1230ααβ=,即123132012100310b b ααβ⎛⎫⎪==-= ⎪⎪-⎝⎭,解得 5b =,所以有5a b ==.例4求向量组()11,1,1,3,T α=-()21,3,5,1Tα=-,()32,6,10,Ta α=-,()44,1,6,10Tα=-,()53,2,1,Tc α=-的秩和一个极大无关组.解:对以12345,,,,ααααα为列构成的矩阵A,做初等变换112431124313612024311510610612243110046291124311243024310243100077000110028110203A a c a c Ba c a c ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦当a=2且c=3时, ,B 中第1.2.4列线性无关, 此时向量组的秩为3, 是一个极大无关组；当时, , B 中第1.2.3.4列线性无关, 此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组；当, , B 中第1.2、4、5列线性无关此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组.例5设向量组（1）的秩为3；向量组（2）的秩为4,证明:向量组的秩为4.证明: （要证明的秩为4, 可通过证明线性无关来得到想要的结论） 由向量组（2）的秩为4, 可知线性无关, 又由向量组（1）的秩为3, 可知线性相关, 从而可由线性表示, 即存在不全为零的常数, 使得, 不妨设, 将代入, 可得14112422343345()()()0k k l k k l k k l k αααα-+-+-+= 由于线性无关, 所以1412421234343400000k k l k k l k k k k k k l k -=⎧⎪-=⎪⇒====⎨-=⎪⎪=⎩故线性无关, 从而该向量组的秩为4.例6 设向量组的秩为r, , , , , 证明向量组12,,,m βββ的秩为r证明:(由推论等价的向量组有相同的秩, 此题只需证明两个向量组等价即可)由已知可由线性表示, 且有下式成立1212(1)()m m m βββααα+++=-+++从而,于是有, 即也可由, 故向量组与向量组等价, 从而他们的秩相等, 从而向量组的秩为r.。
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练习
熟记0－1分布，二项分布b(n,p)，泊松分布P(λ)的分布律，期望，方差；熟记均匀分布
U(a,b)，指数分布Exp(λ)，正态分布N(μ,σ2)的概率密度，分布函数，期望，方差.熟记分
布律、概率密度、分布函数的性质，熟记期望、方差、协方差、相关系数的性质和计算.
一.填空题
1．设()0.3P A =,()0.5P A B ⋃=,则若A 与B 相互独立，则()P B = ；若A 与B 互不相容，则()P B = .
2.一射手每次命中的概率为p ，三次射击独立，则仅第二次射中的概率为 .
3．如果X 服从泊松分布P(2)，则P(X>1)= .
4．随机变量X 的分布函数是(),00,0x A Be x F x x λ-⎧+>=⎨≤⎩
，0λ>为常数，则常数A= ，B= ,概率密度f(x)= . E(X)= ,D(X)= .
5.设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,
.ax x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他，则常数a ＝ . 6． 已知离散型随机变量X 服从二项分布),(p n B ，且EX =5，方差DX =2.5，则n = ，p = .又~(5,0.4)Y B ,则E(Y)= ,D(Y)= .
7．设随机变量X 的概率分布为
F (x )=P( . 8．设连续型随机变量X ～N(1，2)，则－3X +4 ～ ．
9. 设~(1,2),~(3,4)X N Y N ，且X 与Y 独立，Z=X-2Y ，则Z ~ .
10．设随机变量X 服从参数为6的指数分布，则D （－2X+5）=_____，E[(X+2)2]= .
11.设随机变量X 服从参数为5的泊松分布，Y~U （0，1），且X ，Y 独立， 则D （2X －Y －4）= ,E[(X+Y)2]= .
12.设随机变量X, Y 的方差分别是: D(X) = 9, D(Y) = 16, 相关系数ρXY =0.5, 则 D(2X －3Y+5)= .
13.设两个相互独立的随机变量X 和Y,~(1,2)X N ,~(1)Y Exp ，则随机变量D(2X Y -)= .相关系数ρXY = .
14．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
,02,02,(,)0,
,c x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他，则c= ,{}1,1P X Y ≤>=_______.
二.计算题
1.一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，这三个车间产量所占比重分别为20%，30%，50%，如果每个车间成品中的次品占其产量的1%，2%，3%. 现从该厂产品中任取一件，求（1）该产品是次品的概率；（2）若已知取出的是次品，求它来自甲车间的概率.
2.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律如下，
则c= , P{X Y ＝ 0}=
.求边缘分布律.X 和Y 是否独立 ？EX= .DX= .
3.设连续型随机变量X 的分布函数为11,0;()10,
0,x F x x x ⎧->⎪=+⎨⎪≤⎩则当x >0时，X 的概率密度f (x )= .概率P(X<1)= .
4. 设随机变量X 的概率密度为f (x )=,012,120,x x x x <≤⎧⎪-<≤⎨⎪⎩
其它，求分布函数()F x ，E(X),D(X),概
率(1)P X >.
5.某型号电子管的 “寿命” X 服从指数分布，如果它的平均寿命EX =500小时，写出X 的概率密度，并计算()400500P X <≤.
6.()2~3,2X N ，已知()
3P X a -<=0.95，()0.0668P X b <=，分别求a 和b .求()14P X -<<，()5P X >.
7. 设测量的随机误差)10,0(~2
N X ，求在80次独立重复测量中至少有2次测量误差绝对值大于19.6的概率α（并用泊松分布近似计算α）.。