抛物型方程的计算方法

分类号：O241.82

本科生毕业论文（设计）

题目：一类抛物型方程的计算方法

作者单位数学与信息科学学院

作者姓名

专业班级2011级数学与应用数学创新2班

指导教师

论文完成时间二〇一五年四月

一类抛物型方程的数值计算方法

(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)

指导教师

摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.

关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性

Numerical computation methods for a parabolic equation

Yan qian

(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)

Advisor: Nie hua

Abstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.

Key words: differential method, finite element method, convergence, stability

1 绪 论

1.1 引 言

自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.

抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.

有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].

本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识

抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：

)()(x f u L t

u

=-∂∂ （1.1.1） 其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即

f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件

Ω

∈∀∈=∀>≥∑∑==x x i

x x a

R n

n n

i j i n

j i ij

,}0{).....(,0)()()(11

2

1

,ξξξααξξξ

（1.1.2）

当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.

下面给出抛物型方程的定解条件： 初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则

Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3） 第一类边值条件：

0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4） 第二类边值条件：

0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x v

u

（1.1.5） 第三类边值条件：

0,),,(),)((

>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u t

u

α （1.1.6） 其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为

的单位外法向量Ω∂.

2，有限差分法

本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。我们以一维热传导

方程为例，给出其差分格式并讨论其收敛性，稳定性等基本问题.本章内容主要引用文献[1].

用差分法计算抛物型方程的初边值问题时，可以先考虑在区域Ω上引入空间网格，例如在直角坐标系中采用平行于坐标轴的等距离直线族形成的矩形网格，其次，将定义在+⨯ΩR 上的函数),(t x u 替换成定义在空间网格节点集上的离散函数)(t U ;然后，用适当的差分格式将微分算子L 替换成差分算子h L ，这一过程称为半离散化.对由半离散化得到的常微分方程初值问题，再进一步对时间离散化，选用适当的求解常微分方程初值问题的数值方法，就得到求解抛物型方程的初边值问题的全离散化格式.接下来，将按照这一处理思路对热传导方程的差分计算格式进行探讨. 2.1 差分格式

考虑一维热传导方程：

)(22x f x u a t u +∂∂=∂∂，0

其中a 是正常数，)(x f 连续。下面给出两类定解条件：