抛物型方程的计算方法
抛物型方程的galerkin有限元方法
抛物型方程的Galerkin有限元方法一、引言抛物型方程是一类常见的偏微分方程，具有广泛的应用。
在数值解中，Galerkin有限元方法是一种常用且有效的方法。
本文将介绍抛物型方程的基本概念，并详细讲解Galerkin有限元方法在求解抛物型方程中的应用。
二、抛物型方程的基本概念抛物型方程是指具有二阶时间导数和二阶空间导数的偏微分方程。
一般形式为：∂u−Δu=f∂t其中，u为未知函数，t为时间变量，Δ为Laplace算子，f为给定的函数。
抛物型方程的一个重要特点是初始条件和边界条件对解的影响非常大。
合适的初始条件和边界条件能够唯一确定方程的解。
三、Galerkin有限元方法Galerkin有限元方法是一种利用函数空间进行近似的数值计算方法。
它基于以下思想：将问题的解表示为函数空间中的一个函数，通过求解一组代数方程组来近似求解原始方程。
1. 函数空间的选择在应用Galerkin有限元方法求解抛物型方程时，需要选择合适的函数空间。
常用的函数空间有有限维函数空间和无限维函数空间。
具体的选择需要根据问题的特点和计算的要求来确定。
2. 弱形式的推导对于抛物型方程，我们可以将其转化为弱形式。
弱形式是通过将方程两边乘以一个测试函数，并进行积分得到的。
这样可以减小对解的要求，并使得问题更容易求解。
3. 数值离散和代数方程的建立接下来，需要对时间和空间进行离散。
通常使用网格来进行离散，将时间和空间分割为有限个小区域。
然后，通过选择适当的基函数，在每个小区域上近似原方程的解。
最终得到一组代数方程组。
求解代数方程组是Galerkin有限元方法的最后一步。
可以使用常用的数值方法，如迭代法、直接法等，来求解代数方程组。
根据计算要求和问题特点，选择合适的求解方法。
四、应用案例以一维热传导方程为例，展示Galerkin有限元方法在求解抛物型方程中的应用。
热传导方程是一个典型的抛物型方程，描述了物体内部的温度分布随时间变化的规律。
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解摘要：一、引言二、一维抛物型偏微分方程1.定义与性质2.初边值问题三、求解方法1.紧差分格式2.追赶法3.有限元算法四、Matlab程序实现1.紧差分格式程序2.追赶法程序五、结论与展望正文：一、引言在数学、物理等领域，偏微分方程是一类重要的方程。
其中，一维抛物型偏微分方程在科学研究和实际应用中具有广泛的意义。
本文将探讨一维抛物型偏微分方程的初边值问题的求解方法，并介绍相应的Matlab程序实现。
二、一维抛物型偏微分方程1.定义与性质一维抛物型偏微分方程是指具有如下形式的方程：u_t = a * u_xx其中，u(x, t) 表示未知函数，t 表示时间，x 表示空间坐标，a 为常数。
2.初边值问题初边值问题是指在给定的初始条件和边界条件下求解偏微分方程的问题。
在一维抛物型偏微分方程中，初边值问题可以表示为：u(x, 0) = u_0(x)u(x, t) = u_t(x, t) 在边界x=0，x=L上三、求解方法1.紧差分格式紧差分格式是一种求解偏微分方程的方法，其精度为O(h^(1/2) * Δt)，无条件稳定。
在这种方法中，我们首先需要建立离散的网格系统，然后通过数值积分求解离散化的偏微分方程。
2.追赶法追赶法是一种求解线性方程组的方法，也可以用于求解初边值问题。
在这种方法中，我们首先需要将偏微分方程转化为线性方程组，然后使用追赶法求解线性方程组。
3.有限元算法有限元算法是一种基于变分原理的求解方法，可以将偏微分方程问题转化为求解有限元空间的线性方程组。
这种方法在求解一维抛物型偏微分方程时具有较高的精度和可靠性。
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
抛物型方程差分法资料
1. 区域剖分(区域离散）
用两族平行线
x t
xi tk
i h,
k,
0 i m 1/h
0 k n T /
将原方程的求解区域分割成矩形一致网格。
t
t k 1 tk
t k 1
t2 t1
O x1 x2
h — 空间步长， — 时间步长，
(xi ,tk )
( xi , tk ) — 网格节点
用 uik 表 示 温 度 分 布 函 数 u( x, t ) 在 点( xi , tk ) 处 的 网 格 函 数, 相 当 于
x xi1 xi xi1
u( x, t) 在 该 点 的 近 似.
2. 原方程弱化为节点处的离散方程
连续方程
u t
a
2u x 2
f (x,
t ),
0 x 1,
0 t T
u( x,0) ( x), 0 x 1
u(0, t) (t), u(1, t) (t), 0 t T
离散方程
)
u( xi1, tk
)
误差为 O(h2 )
( xi ,tk )
将上面的式子代入离散方程，可得
u(
xi
,
tk
1
)
u(
xi
,
tk
)
a
u(
xi 1
,
tk
)
2u( xi , h2
tk
)
u(
xi
1
,
tk
)
f ( xi , tk ) O(
h2 )
0 i m, 0 k n.
u( xi ,0) ( xi ),
uk i 1
)
f
抛物方程的向前向后差分格式例题
抛物方程的向前向后差分格式例题抛物方程是描述物体受重力影响下的运动的数学模型，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
而求解抛物方程的数值方法中，向前差分和向后差分是最常用的两种格式之一。
向前差分格式是一种一阶时间导数的数值逼近方法，它将时间上的变化分为离散的小步长，并根据当前时刻的值和之前时刻的值来逼近下一个时刻的值。
其数值逼近公式可以表示为：u_i^{n+1} = u_i^n + alpha(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n)其中，u_i^{n+1}表示网格点(i,n+1)处的解值，u_i^n表示网格点(i,n)处的解值，u_{i+1}^n和u_{i-1}^n分别表示网格点(i+1,n)和(i-1,n)处的解值，alpha是时间步长与空间步长的比值。
向后差分格式则是一种一阶时间导数的数值逼近方法，它与向前差分格式相比，将当前时刻的值和之后时刻的值来逼近下一个时刻的值。
其数值逼近公式可以表示为：u_i^{n+1} = u_i^n + alpha(u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} +u_{i-1}^{n+1})其中，u_{i+1}^{n+1}和u_{i-1}^{n+1}分别表示网格点(i+1,n+1)和(i-1,n+1)处的未知解值，而u_i^{n+1}表示网格点(i,n+1)处的解值。
为了更好地理解这两种差分格式的应用，下面举一个例题：考虑一个一维热传导问题，其抛物方程可以表示为：frac{partial u}{partial t} = kfrac{partial^2 u}{partialx^2}其中，u是温度分布关于时间和空间的函数，k是热导率。
假设我们要求解在0≤x≤1的区域上的温度分布，且边界条件为u(0,t)=u(1,t)=0。
初始条件为u(x,0)=f(x)，其中f(x)是已知的初始温度分布。
我们可以使用向前差分或者向后差分格式来求解该问题。
抛物型方程的galerkin有限元方法
抛物型方程的galerkin有限元方法抛物型方程是一类重要的偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
而galerkin有限元方法是一种常用的数值解法，可以有效地求解抛物型方程。
本文将介绍抛物型方程的galerkin有限元方法。
一、抛物型方程抛物型方程是一类偏微分方程，其一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (a\nabla u) + cu = f $$其中，$u$是未知函数，$a$和$c$是已知函数，$f$是给定函数。
抛物型方程的特点是时间和空间都是连续的，因此需要使用时间和空间上的离散化方法来求解。
二、galerkin有限元方法galerkin有限元方法是一种常用的数值解法，它将偏微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，然后通过求解系数来得到解。
具体来说，galerkin有限元方法将偏微分方程的解表示为：$$u_h(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$其中，$u_i(t)$是待求系数，$\phi_i(x)$是一组基函数，$N$是基函数的个数。
将上式代入偏微分方程中，得到：$$\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial u_i}{\partial t} - \nabla \cdot(a\nabla \phi_i) + c\phi_i \right) \phi_j = \int_\Omega f\phi_j $$对于任意的$j=1,2,\cdots,N$，上式都成立。
因此，可以得到一个关于系数$u_i(t)$的线性方程组，通过求解该方程组即可得到解$u_h(x,t)$。
三、抛物型方程的galerkin有限元方法将抛物型方程代入galerkin有限元方法中，得到：\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial u_i}{\partial t} - \nabla \cdot (a\nabla \phi_i) + c\phi_i \right) \phi_j = \int_\Omega f\phi_j $$对于任意的$j=1,2,\cdots,N$，上式都成立。
抛物型偏微分方程
抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程（Parabolic Partial Differential Equation）是数学分析中重要的一个分支，研究对象主要是关于时间和空间变量的二阶偏微分方程。
在物理、工程和经济等领域中，抛物型偏微分方程有着广泛的应用，比如热传导方程、扩散方程和波动方程等。
1. 定义和形式抛物型偏微分方程是指对于函数 u(x, t) 存在连续二阶偏导数，并满足形式如下的方程：∂u/∂t = a∇²u + bu + f(x, t)其中，a 是常数，∇²u 是 u 关于空间变量 x 的拉普拉斯算子，b 是各项异性系数，f(x, t) 是给定的源项函数。
该方程描述了函数 u 关于时间t 的演化过程，与空间变量 x 的变化有关，反映了物理现象在时间和空间上的动态发展。
2. 物理意义和应用抛物型偏微分方程在物理学领域中有着重要的应用。
其中，热传导方程是抛物型偏微分方程的典型例子，描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。
热传导方程在热力学、材料科学和地球物理学等领域中具有广泛的应用，例如预测地球内部热流、分析塑料注塑过程中温度分布等。
此外，扩散方程也是抛物型偏微分方程的重要应用之一。
扩散过程描述了物质在空间中传播的方式，常用于研究化学反应、人口扩散和金融市场中的价格传播等问题。
波动方程则描述了波在空间中传播的规律，例如声波、电磁波和水波等。
3. 解法和数值模拟抛物型偏微分方程的解法可以通过变量分离、变换等方法获得解析解。
然而，在实际问题中，解析解往往难以求得，需要借助数值方法进行近似计算。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
有限差分法将方程离散化为差分格式，通过迭代求解差分方程组得到数值解。
有限元法则将求解区域划分为有限单元，通过构建矩阵方程来求解问题的数值解。
此外，谱方法基于傅里叶级数展开，通过选择适当的基函数将方程转化为代数方程组求解。
谱方法在高精度计算和边界层问题的处理上有一定优势。
数学中的抛物型方程
数学中的抛物型方程抛物型方程（parabolic equation）是数学中一类重要的偏微分方程，它在物理学、工程学和社会科学等领域中具有广泛的应用。
本文将从抛物型方程的定义、特征和解法等方面进行论述，以帮助读者更好地理解和应用抛物型方程。
一、抛物型方程的定义在数学中，抛物型方程是一类二维或三维偏微分方程，其形式可以表示为：∂u/∂t = a∇²u + bu + c其中，∂u/∂t 表示函数 u 对时间 t 的偏导数，∇²u 表示函数 u 对空间坐标的拉普拉斯算子，a、b、c 是常数。
抛物型方程通常描述了某一物理现象随时间变化的规律，比如热传导、扩散等。
通过解抛物型方程，我们可以预测和分析这些物理现象。
二、抛物型方程的特征1. 热传导方程抛物型方程在热传导方程中的应用是最常见的。
热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间的变化情况。
在一维情况下，热传导方程具有以下形式：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在时刻 t 位置为 x 的温度，α 是热扩散系数。
2. 扩散方程抛物型方程在扩散方程中的应用也是非常重要的。
扩散方程描述了物质在浓度梯度驱动下的扩散过程。
在一维情况下，扩散方程具有以下形式：∂u/∂t = D∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在时刻 t 位置为 x 的物质浓度，D 是扩散系数。
三、抛物型方程的解法对于抛物型方程，我们通常采用偏微分方程的求解方法，如分离变量法、格林函数法等。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解抛物型方程的方法。
它的基本思想是将多元函数分解为几个一元函数的乘积，并利用分离后的一元函数满足各自的方程来求解。
以热传导方程为例，我们可以将其分离变量为时间部分和空间部分：u(x, t) = X(x)T(t)代入原方程，得到两个方程：X''(x)T(t)/X(x) = T'(t)/T(t) = -λ²其中，λ² 是常数。
抛物型方程范文
抛物型方程范文抛物型方程是描述一类物理现象的偏微分方程，主要用于描述质点在受力作用下的运动。
常见的抛物型方程包括热传导方程、亥姆霍兹方程和波动方程等。
在这篇文章中，我将从热传导方程和亥姆霍兹方程两个方面来介绍抛物型方程的基本概念、特点和解法。
热传导方程是描述物质热传导过程的方程，其一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \cdot\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$表示物质的温度分布，$x$表示空间变量，$t$表示时间变量，$\alpha$表示热扩散系数。
这个方程可以用来描述物体在温度差驱动下的热传导过程。
其特点是，如果初始时刻温度分布和边界条件已知，则可以求解出任意时刻的温度分布。
亥姆霍兹方程是描述波动现象的方程，其一般形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + k^2 u = f$$其中，$u(x)$表示波函数，$x$表示空间变量，$k$表示波数，$f(x)$表示外力源。
这个方程可以用来描述各种波动现象，如声波、光波等。
其特点是，如果已知边界条件和外力源，则可以求解出任意位置的波函数。
下面我们来具体介绍一些解抛物型方程的方法。
对于热传导方程，最常用的求解方法是分离变量法。
这种方法假设温度分布可以表示为一个时间函数和空间函数的乘积形式，然后将原方程代入得到两个常微分方程，再求解这两个方程得到温度分布。
但是这种方法只适用于一些简单的边界条件和外力源。
对于亥姆霍兹方程，常用的求解方法是格林函数法。
这种方法是先求解格林函数的方程，再利用格林函数和外力源的卷积来得到波函数。
格林函数可以看作是在单位脉冲作用下产生的响应波函数，因此利用外力源的线性叠加性质，可以得到任意外力源下的波函数。
此外，还有一些其他的数值方法可以用来求解抛物型方程，如有限差分法、有限元法等。
有限差分法求解抛物型方程说明
有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。
工程抛物运动方程
上缘高度
碰撞速度计算式
汽 车 事 故 工 程
VC=5.15ln(LB)+2.55
50
0.85
1.35
VC=5.66ln(LM)－1.70 VC=7.81ln(LE)－11.08 VC=10.07ln(DL)－13.16 VC=1.74LB+1.91
45
0.55
Hale Waihona Puke 0.70VC=0.96LM+0.70 VC=0.78LE VC=1.41DL－1.45
V2 f vV1 f V
2
2 v 0
2 f 1 f 0
x2 V2 t sin 2
g 2 y 2 V2 t cos 2 t 2
L2 fV V0 g [sin( 2 f 0 )]
4 2 2
第n次弹跳 汽 车 事 故 工 程
Vn
n f v V0
H 0.5 gt 2 H x H V0 t H g V x 0 H 2H
V0 g 1 x( ) 2 H h
三 、 抛 物 汽 运 车 动 事 方 故 程 应 工 用 程 局 限 性 的 验 证
错误！
x x H xh 15.8m
g 1 V C 0 x( ) 2 H h 165 .78 m / s
汽车事故工程
汽 车 事 故 工 程
第九章 广义抛物理论与汽车 碰撞速度
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 汽车速度与撒落物分布 抛物运动方程 抛物运动理论 典型撒落物在分析事故中的应用 坠车速度 汽车与道路外缘碰撞的速度界限 汽车翻滚与车速
第一节 汽车速度与撒落物分布
试验总次数 下缘高度 上缘高度 碰撞速度计算式 VC=1.67LB+2.40 VC=1.02LM+0.31 VC=0.67LE－1.49 VC=1.02DL－3.43 VC=1.1.41LB+2.51
抛物型方程
抛物型方程
抛物型方程是一个有关抛物线的函数，用于描述物体沿着抛物线运行的轨迹。
它的一般形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
其中，a是方程的系数，通过它可以控制抛物线的开口向上或向下；b是系数，控制抛物线的拐点位置；c是系数，控制抛物线的顶点位置。
如果a为正，则抛物线开口向上，如果a为负，则抛物线开口向下。
抛物型方程有许多应用，比如在物理学中，可以用它来描述物体发射或自由落体的轨迹，如子弹发射，行星运行等。
在数学中，可以用来描述由多个维度构成的平面曲线。
它还可以用于宏观经济学研究中的投资组合、外汇交易和风险管理等。
抛物型方程极值原理及其简单推广
maxu ( x,t ) = maxu ( x,t ) 。
—
Γ
Q
(2) 引理 1[2] . 设在 x,t 平面的区域 Q 中 u 满足如下的不等
式 Lu ≡ ut - a ( x,t ) uxx + b ( x,t ) ux £0, 又 设 在 Q 的 某 内 点 ( x0 ,t0 ) 上 u < M , 而 在 Q 处 处 u £M , 若 l 是 Q 中 包 含 ( x0 ,t0 ) 的任何水平线段,则在 l 上 u < M 。
科教论坛 DOI:10. 19392 / j. cnki. 1671-7341. 201815023
科技风 2018 年 5 月
抛物型方程极值原理及其简单推广
麻 芮 刘海燕 韩 菲
新疆师范大学数学科学学院 新疆乌鲁木齐 830017
n
n
∑ ∑ 摘 要:本文从热传 导 方 程 入 手, 讨 论 了 一 般 形 式 的 抛 物 型 方 程 Lu ≡ ut - aij ( x,t ) uij + bi ( x,t ) ui + c ( x,t ) u =
(3) 引 理 2[3] . 设 u 在 x,t 平 面 的 区 域 Q 内 满 足 不 等 式
. AlLlu ≡Riutg-hat(sx,t)Ruexxs+ebr(vx,et)du.x £0,又设对某两个固定的数
t0 ,t1 ,在位于带形 t0 < t < t1 中 Q 的部分中 u < M ,则在直线 t = t1 的包含于 Q 内的部分上 u < M 。
达 到, 若 不 然, 则 存 在 某 点 ( x0 ,t0 ) ∈ Q , 使 得
v ( x0 ,t0 )
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪 论1.1 引 言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1） 其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件： 初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3） 第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4） 第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5） 第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6） 其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。
一维热传导方程证明抛物型
一维热传导方程证明抛物型抛物型方程在数学和物理学中非常常见，它描述了许多自然现象和物理过程。
其中，一维热传导方程就是一个典型的抛物型方程。
在本文中，我将以一维热传导方程为例，来说明抛物型方程的特点和应用。
热传导是指热量从高温区域传递到低温区域的过程。
一维热传导方程描述了在一维空间中热量的传递方式，它的数学形式为：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u(x, t)是温度分布随时间和空间的变化函数，α是热扩散系数。
这个方程说明了温度随时间的变化率与温度在空间上的曲率之间的关系。
具体来说，方程右侧的第二个偏导数表示了温度分布的曲率，而左侧的偏导数表示了时间上的变化率。
通过这个方程，我们可以研究温度如何在空间和时间上演化。
在解决一维热传导问题时，我们需要给定初始条件和边界条件。
初始条件是指在初始时刻的温度分布，边界条件是指在空间的两个端点上的温度值。
通过这些条件，我们可以求解出一维热传导方程的解，得到温度随时间和空间的变化规律。
抛物型方程的一个特点是信息的传播速度是有限的。
由于热量的传递是通过分子之间的碰撞来实现的，因此信息的传递速度受限于分子的速度。
这就意味着在边界条件给定的情况下，热量将从高温区域向低温区域传导，直到达到热平衡。
一维热传导方程有许多应用。
例如，在材料科学中，它可以用来研究材料的热传导性能。
通过求解一维热传导方程，可以得到材料中温度的分布情况，从而评估材料的热传导能力。
在工程领域中，一维热传导方程也有广泛的应用。
例如，在建筑物的能耗分析中，可以使用一维热传导方程来模拟建筑物内部的温度分布，从而评估建筑物的节能性能。
一维热传导方程是一个典型的抛物型方程，描述了在一维空间中热量的传递方式。
通过求解这个方程，我们可以研究温度在空间和时间上的演化规律，应用于材料科学和工程领域。
抛物型方程的特点使得信息的传播速度是有限的，这对于理解热传导过程非常重要。
通过深入研究抛物型方程，我们可以更好地理解自然界的现象和物理过程。
各类抛物型微分方程的解法
各类抛物型微分方程的解法抛物型微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理学中具有重要意义。
本文将介绍一些常见的抛物型微分方程，并探讨它们的解法。
热传导方程热传导方程描述了热量在物体中的传导过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u$ 是温度分布函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$k$ 是热传导系数。
热传导方程的解法主要基于分离变量法、傅里叶级数法和格林函数法。
扩散方程扩散方程描述了物质在空间中的扩散过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = D \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是物质浓度分布函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$D$ 是扩散系数。
扩散方程的解法也可以利用分离变量法、傅里叶级数法和格林函数法。
波动方程波动方程描述了波在介质中的传播过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \cdot \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是波函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$c$ 是波速。
波动方程的解法可以利用分离变量法、傅里叶级数法和变换法等。
Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它的一般形式为：$$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v}$$其中，$\mathbf{v}$ 是流体速度矢量，$t$ 是时间变量，$p$ 是压力函数，$\rho$ 是密度，$\nu$ 是运动粘度。
流体有限元-抛物型方程
§6非定常流的有限元方法考虑一个 2m 阶的抛物型微分方程定解问题（初边值问题）： 求 ()()2,m u C 孜W x ，()()1,0,u t C T 轾孜犏臌，满足 112220 , 00 , 0, 0 t u A u f t t B u t B u g t u f =ìï¶ï+=W >ïï¶ïïïïï=G ïïíïïï=G ïïïïïï=Wïïïî（6.1）式中 A 仍是一个 2m 阶椭圆型空间微分算子。
根据 §3中的分析，只需考虑齐次强制边界条件。
我们还是像 §3那样，将它改写成积分形式（变分方程）。
首先，任取函数 ()0v C ¥蜽 ，用它乘以方程的两边，并在 W 上积分，得uvd Auvd fvd t WWW¶W+W=W ¶蝌上式除了左边第一项之外，其余两项仍可以按照 §3中的步骤改写成某个Sobolev 空间 V 上的变分方程()(),B u v F v = ， v V "原有的第一项，可将时间导数写到空间积分外面，即uvd uvd t t WW骣抖÷ç÷çW=W ÷ç÷抖ç桫蝌并推广到可积函数空间（广义的，指Lebesgue 可积）()20,L T 轾犏臌 上。
还有，定解条件中的初始条件也要写成积分形式()0t u vd vd f =WWW=W 蝌这些加在一起，就得到非定常问题的变分方程：求 u U Î ，满足()()()()()0,,,t u v B u v F v t u v v F =ìï¶ï+=ïï¶ïíïïï=ïïî， v V " （6.2）这里，空间()()()(){}2, , , ,0, U u x t u V u t L T 轾=孜孜犏臌x 内积 (),u v 表示积分uvd WW ò ，(),B u v 和 ()F v 仍是空间 V上的双线性泛函和线性泛函，初值泛函 ()v vd F f W=W ò。
抛物计算公式
抛物计算公式
抛物线是一种非常常见的曲线形状，可以用于描述物体的运动轨迹、建筑物的设计等。
在物理学和工程学中，我们需要计算抛物线的各种参数，如顶点坐标、焦点坐标、方程式等。
为了方便计算，我们可以使用抛物计算公式。
抛物计算公式包括以下内容：
1. 抛物线顶点坐标公式
抛物线的顶点坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出，其中 a, b, c 为抛物线方程 ax^2+bx+c=0 的系数，f(x) 为抛物线
的方程式。
2. 抛物线焦点坐标公式
抛物线的焦点坐标可以通过公式 (h, k+p) 计算得出，其中 h, k 为抛物线的顶点坐标，p 为抛物线的离心率。
离心率的计算公式为 p = 1/4a，其中 a 为抛物线的开口方向所在的轴的长度。
3. 抛物线方程式
抛物线的一般方程式为 y = ax^2+bx+c，其中 a, b, c 为抛物
线的系数。
如果已知抛物线的顶点坐标和焦点坐标，可以使用公式
(y-k)^2 = 4p(x-h) 推导出抛物线的方程式。
以上是抛物计算公式的主要内容，了解这些公式可以方便我们在物理学和工程学中应用抛物线。
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分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪 论1.1 引 言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1） 其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件： 初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3） 第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4） 第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5） 第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6） 其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。
我们以一维热传导方程为例，给出其差分格式并讨论其收敛性，稳定性等基本问题.本章内容主要引用文献[1].用差分法计算抛物型方程的初边值问题时，可以先考虑在区域Ω上引入空间网格，例如在直角坐标系中采用平行于坐标轴的等距离直线族形成的矩形网格，其次，将定义在+⨯ΩR 上的函数),(t x u 替换成定义在空间网格节点集上的离散函数)(t U ;然后，用适当的差分格式将微分算子L 替换成差分算子h L ，这一过程称为半离散化.对由半离散化得到的常微分方程初值问题，再进一步对时间离散化，选用适当的求解常微分方程初值问题的数值方法，就得到求解抛物型方程的初边值问题的全离散化格式.接下来，将按照这一处理思路对热传导方程的差分计算格式进行探讨. 2.1 差分格式考虑一维热传导方程：)(22x f x u a t u +∂∂=∂∂，0<T t ≤ （2.1.1）其中a 是正常数，)(x f 连续。
下面给出两类定解条件：第一，初值问题：求可微函数),(t x u ，满足（1.1.1）和初始条件：∞<<-∞=x x x u ),()0,(φ （2.1.2） 第二，初边值问题：求可微函数满足方程),,(t x u （1.1.1）和初始条件：l x x x u <<=0),()0,(φ （2.1.3） 以及边值条件T t t l u t u ≤≤==0,0),(),0( （2.1.4） 现在考虑边值问题（1.2.1），（1.2.3），（1.2.4）的差分格式.取步长空间J l h =和时间步长NT =τ，其中N J ,都是自然数.用两族平行直线)....1,0(J j jh x x j ===和)....1,0(N n n t t n ===τ将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(n j t x .以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合.其次，用n j u 表示定义在网点),(n j t x 上的函数N n J j ≤≤≤≤0,0，用适当的差商代替方程（1.2.1）中相应的偏微商，便得到以下几种最简单的差分格式. 2.1.1 向前差分格式 考虑,22111jnj n j n j n j n j f h u u u a u u ++-=--++τ （2.1.5）其中 0),(),(00=====n Jn j j jj j u u x u x f f φφ1...1,0,1...2,1-=-=N n J j以2h a r τ=表示网比，将（2.2.5）整理成易于计算的形式，使得第n 层值，即上标为n 在等式右边，第1+n 层值在等式左边，则可得到j nj n j n j n j f ru u r ru u τ++-+=-++111)21( （2.1.6） 这样的话，又（2.1.6）取0=n ，利用初值条件j j u ϕ=0和边值条件00==nJ n u u 可计算出1j u .再将1=n 的值带入计算，从而就可逐次迭代计算出所以的n j u ，并且视其为精确解),(n j t x u 的近似，由于第（1+n ）层的值通过第n 层值明显表示，无需求解线性代数方程组，如此差分格式称为显示格式. 下来给出这种计算格式的误差分析：记22x ua t u Lu ∂∂-∂∂=2111)1(2hu u u au u u L nj n j n j n jn j n jh-+++---=τ显然截断误差 )()()~](21121[][),()(22222)1(h O h O tur Lu t x u L u R n jnjn j hu j+=++∂∂--=-=τττ （2.1.7） 2.1.2向后差分格式 考虑,0),(,2002111111====++-=-+-++++nJ n j j j j n j n j n j n jn j u u x u f hu u u au u ϕϕτ (2.1.8）1....1,0,1....2,1-=-=N N J J 将上式改写为.)21(11111j nj n j n j n j f u ru u r ru τ+=-++-+-+++ (2.1.9)显然，第（1+n ）层的值不能用第n 层值明显表示，而是由线性代数方程组（2.1.9）确定，这样的差分格式称为隐格式. 令 ,22111111)2(hu u u au u u L n j n j n j n jn j n jh+-+++++---=τ则截断误差为).()()~](21121[][),()(22222)2(h O h O tur Lu t x u L u R n jn jn j hn j+=++∂∂+-=-=τττ （2.1.10）此外，还有六点差分格式以及Richardson 格式，具体可以参见文献[1]，都是简单的抛物型方程差分格式.2.2 差分格式的稳定性与收敛性差分格式的稳定性概念见文献[1]，此处本文只给出相关的稳定性定理及实例分析.2.2.1判别稳定性的直接估计法（矩阵法）命题1[1]（必要条件）以）（C ρ表示矩阵）（τC 的谱半径，则差分格式稳定性的必要条件是存在与τ无关的常数M 使））（）（（）（τρτρO C M C +≤+≤11 （2.2.1） 命题2[1]（充分条件）若）（τC 是正规矩阵，及C 和它的共轭转置*C 成绩可交换：C C CC **=，则（2.2.1）也是差分格式稳定的充分条件.推论1 若S 是对称矩阵，）（τC 是矩阵S 的实系数有理函数：)()(S R C =τ,则差分格式稳定的充要条件是τλM R +≤1)(max s j j，其中s j λ是S 的特征值。