材料力学课件第3章 扭转
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材料力学 电子课件 第三章 扭转
扭转实验技术
探索弹性复合材料的扭转试验、微型扭转试验，以及反复扭转试验。
扭转的应用
展示扭转在应用领域和对象中的应用，以及其在设计、制造、研究和开发中的应用。
扭转的挑战和前景
探讨扭转对材料力学学科的挑战和发展，未来的前景和应用趋势，以及其对 材料科学的贡献和价值。
材料力学 电子课件 第三章 扭 转
扭转概述
定义和描述扭转，扭矩和角位移的关系，扭转变形和应变的特点。
立方体的扭转
探讨立方体的基本几何形状、方程，扭转实验和几何形状、方程，扭转实验和现象，以及圆柱的切应力和张应力。
圆棒的扭转
研究圆棒的几何形状、方程，扭转实验和现象，以及圆棒的切应力和张应力。
材料力学 第三章 扭转 PPT课件
§3.1扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算、扭转和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d
2π( 4
)
d/2
πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d
2π( 4
)
d/2
πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
材料力学第四版课件 第三章 扭转
在 AD段内 T −MeD = 0 AD段内 3
T3
Me4 D
T = MeD = 446N⋅ m 3
注意：若假设扭矩为正值, 注意：若假设扭矩为正值, 则扭矩的实际符号与计算符号相同. 则扭矩的实际符号与计算符号相同. （3）作出扭矩图
T _ 350 N·m 700 N·m 1146 N·m N·
§3-2
外力偶矩的计算
扭矩
一、外力偶矩的计算 力偶矩M作功： 力偶矩M作功： W = Meθ 功率： 功率： P = Meω 已知轴的传递功率P kW（千瓦） 已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n r/min（ 分钟） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
ω = n×2π =n
{ P}kW 外力偶矩： 外力偶矩： { M }N m = 9 549 e {n}r/min
Me Me
解: (1)确定实心轴的直径 d 确定实心轴的直径
τ max
Tmax πd T = ≤ [τ ] ∴Wp = ≥ 16 [τ ] Wp
3
16T ∴d ≥ 3 = 54mm π[τ ]
取 d = 54mm
(2)确定空心轴的内外径 di 、d0 确定空心轴的内外径
T 1−α ≥ ∴Wp = 16 [τ ]
MeB 1
MeC 2 C 2 x MeB
MeA 3 MeD A 3 D
由平衡方程
∑M ∑M
B 1Βιβλιοθήκη x= 0 T +MeB = 0 Me2 1
B
T = −MeB = −350N⋅ m 1
同理, 同理,在 CA 段内
x
T1
MeC T 2 C
= 0 T +MeC +MeB = 0 2
T3
Me4 D
T = MeD = 446N⋅ m 3
注意：若假设扭矩为正值, 注意：若假设扭矩为正值, 则扭矩的实际符号与计算符号相同. 则扭矩的实际符号与计算符号相同. （3）作出扭矩图
T _ 350 N·m 700 N·m 1146 N·m N·
§3-2
外力偶矩的计算
扭矩
一、外力偶矩的计算 力偶矩M作功： 力偶矩M作功： W = Meθ 功率： 功率： P = Meω 已知轴的传递功率P kW（千瓦） 已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n r/min（ 分钟） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
ω = n×2π =n
{ P}kW 外力偶矩： 外力偶矩： { M }N m = 9 549 e {n}r/min
Me Me
解: (1)确定实心轴的直径 d 确定实心轴的直径
τ max
Tmax πd T = ≤ [τ ] ∴Wp = ≥ 16 [τ ] Wp
3
16T ∴d ≥ 3 = 54mm π[τ ]
取 d = 54mm
(2)确定空心轴的内外径 di 、d0 确定空心轴的内外径
T 1−α ≥ ∴Wp = 16 [τ ]
MeB 1
MeC 2 C 2 x MeB
MeA 3 MeD A 3 D
由平衡方程
∑M ∑M
B 1Βιβλιοθήκη x= 0 T +MeB = 0 Me2 1
B
T = −MeB = −350N⋅ m 1
同理, 同理,在 CA 段内
x
T1
MeC T 2 C
= 0 T +MeC +MeB = 0 2
材料力学-扭转ppt课件
´
a
b
dy
´
c
d
T
①无正应力 dx
②横截面上各点处只产生垂直于半径
的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小
不变，. 方向与该截面的扭矩方向一19 致。
二、薄壁圆筒剪应力
根据实验观测的结果，圆轴截面
上应力应该如右图分布:
且扭矩T应该是截面上所有剪切
力对圆心的矩的总和。因此有
T
AdAr0 T
r0 AdAr02r0tT
由 m 0 x
m2 1 m3 2
T1
A1 B2
m1 3 m4
x
C 3D
分别有
T1m2 0 T1m2 4.78kNm
.
13
②求扭矩（扭矩按正方向设）
利用截面法: 分别用1-1 ， m2
2-2 ， 3-3截面将AB ， BC与CD段截开,选研究 对象，画受力图：
由 m 0 x
A
m3 2 m1
T2
.
21
四、薄壁圆筒扭转变形
L
A
A'
在圆轴截面上 AA' R
在圆轴表面上 AA' L
RL
.
22
五、剪切虎克定律：
T=m
T ( 2A0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系:
.
23
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
薄壁圆筒横截面
T T 2 r02 t 2A0 t
扭转剪应力的计
算公式
其中A0：平均半径所作.圆的面积。
材料力学 第三章 扭转PPT课件
8
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
材料力学(扭转) PPT课件
y
3、斜截面上的 应力分析
x
n
x
z
t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形
Mnl GI p
强度条件 max
Mn Wp
刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
河海大学 , 材料力学 , 课件 , 第3章 , 扭转
又
Mx 2 2r0
(a)
l r0
r0 l
b
τ b τs a τp O
τp——剪切比例极限 τs——剪切屈服极限
γ
α
低碳钢τ-γ曲线
切变模量 G = τ/ γ= tanα
α——直线的倾角
各向同性材料：
E G 21
铸铁扭转破坏试验：
τ
τb——剪切强度极限
∴ 横截面上最大切应力发生在厚度δi 最大的狭 长矩形的长边中点处。
max
MX 1 3 max 3 hi i
例3-5：两薄壁钢管。（a）为闭口薄同，且δ / D0= 1 / 10，试求在相同的外力偶
矩作用下，哪种截面形式较好。
P(kW) T 9.55 (kN m) n(rpm)
§3-2 圆杆扭转时的应力
一、横截面上的应力
Mx
分析步骤？
变形分析→应变分布
应力应变关系→应力分布 静力学关系→应力值
周线 T
纵线 T υ 轴线
1、几何方面
a
b
c
γ
d
（1）变形现象
A、周线大小、形状和周线间距不变，只是绕
轴线作相对转动。
d dx
—单位长度相对扭转角
γρ——切应变
dυ
2、物理方面
γρ
e e`
弹性变形时: τ= Gγ
——剪切胡克定律。 G—材料的切变模量。
d G G －－－（a） dx
τmax τ
O
3、静力学方面
A
dA M x
2
τ
r
ρ
dA
d （b ）式代入， A G dA M x dx
Mx 2 2r0
(a)
l r0
r0 l
b
τ b τs a τp O
τp——剪切比例极限 τs——剪切屈服极限
γ
α
低碳钢τ-γ曲线
切变模量 G = τ/ γ= tanα
α——直线的倾角
各向同性材料：
E G 21
铸铁扭转破坏试验：
τ
τb——剪切强度极限
∴ 横截面上最大切应力发生在厚度δi 最大的狭 长矩形的长边中点处。
max
MX 1 3 max 3 hi i
例3-5：两薄壁钢管。（a）为闭口薄同，且δ / D0= 1 / 10，试求在相同的外力偶
矩作用下，哪种截面形式较好。
P(kW) T 9.55 (kN m) n(rpm)
§3-2 圆杆扭转时的应力
一、横截面上的应力
Mx
分析步骤？
变形分析→应变分布
应力应变关系→应力分布 静力学关系→应力值
周线 T
纵线 T υ 轴线
1、几何方面
a
b
c
γ
d
（1）变形现象
A、周线大小、形状和周线间距不变，只是绕
轴线作相对转动。
d dx
—单位长度相对扭转角
γρ——切应变
dυ
2、物理方面
γρ
e e`
弹性变形时: τ= Gγ
——剪切胡克定律。 G—材料的切变模量。
d G G －－－（a） dx
τmax τ
O
3、静力学方面
A
dA M x
2
τ
r
ρ
dA
d （b ）式代入， A G dA M x dx
大学课程材料力学第三章_扭转(上)课件
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
n : 转速 ( r m i n ) 功率：K W 力偶矩：N . m
P 103 M 2 n 60
P
M 9549 kW
N m
n
r / min
6
材料力学 第三章 扭转
16
材料力学 第三章 扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
17
材料力学 第三章 扭转
例：如图已知d面上切应力大小和方向，求a, b, c面上的切应 力，并标明方向。
切应力互等定理：在微体互垂截面上，垂直于交线的切应 力数值相等，方向均指向或离开交线。
a b
c
d
450 450
2 2
2 2
2
d
2
2
2
b d
2 2
2
2d
2 2 2
2
d
2 2
2 2
18T1 ( x)ຫໍສະໝຸດ xT mlO
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T 1 x m x
BC段： T 2 m l
CD段： T 3 2 m l
画扭矩图
x
•以右段作为研究对象时，不要忘 记约束反力!
9
材料力学 第三章 扭转
扭矩图对应的轴力图
m
A
M 3ml
切应力 与切应变 成正比：
G
切变模量：G 钢：G=75～80GPa 铝：G=26～30GPa
各向同性材料：G=E/2(1+)
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
n : 转速 ( r m i n ) 功率：K W 力偶矩：N . m
P 103 M 2 n 60
P
M 9549 kW
N m
n
r / min
6
材料力学 第三章 扭转
16
材料力学 第三章 扭转
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
17
材料力学 第三章 扭转
例：如图已知d面上切应力大小和方向，求a, b, c面上的切应 力，并标明方向。
切应力互等定理：在微体互垂截面上，垂直于交线的切应 力数值相等，方向均指向或离开交线。
a b
c
d
450 450
2 2
2 2
2
d
2
2
2
b d
2 2
2
2d
2 2 2
2
d
2 2
2 2
18T1 ( x)ຫໍສະໝຸດ xT mlO
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T 1 x m x
BC段： T 2 m l
CD段： T 3 2 m l
画扭矩图
x
•以右段作为研究对象时，不要忘 记约束反力!
9
材料力学 第三章 扭转
扭矩图对应的轴力图
m
A
M 3ml
切应力 与切应变 成正比：
G
切变模量：G 钢：G=75～80GPa 铝：G=26～30GPa
各向同性材料：G=E/2(1+)
东南大学材料力学课件第三章 扭转.ppt
使用截面法易算
7640N.m
T1=-7640N.m T2=-4580N.m
四、圆轴扭转时截面上的应力(Stress)计算
横截面的扭矩T是由一点一点的应力所组成，它们 的大小与分布规律不能仅仅用静力学知识来解决，所 以，扭转应力分析是一个高度的静不定问题，必须由 几何、物理和静力学三方面来解决。
d T
d3
16
对于空心圆，外径为D，内径为d, d D
I p
2dA
(D4 d 4)
A
32
空心轴
D4 (1 4 )
32
Wp
Ip
max
D3 (1 4 )
16
3. 公式分析和适用范围
d T
dx G I p
•单位扭角公式，是计算扭转变形的重要公式；
T
Ip
max
T Wp
•圆轴受扭的剪应力公式，式中ρ为计算之点到
和2d，单位长度扭转角相同，则有（ D）。
A. m1 m2 B. m2 2m1 C. m2 7m1
m2 m1
D. m2 15m1
分析：单位长度扭转角 T
GI P
m1
d 4
G
32m1
d 4G
32
2
m1
G
m2 (2d )4
2(m1 m2
d 4G
)
1
32
2(m1 m2 ) 32m1
且最大剪应力相等。求两轴外直径之比 。
解:
T
D13
T
D23 (1 0.84 )
16
16
D2 1.192 D1
例3.在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取 代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
材料力学课件三章扭转
r
令
Wp =
τmax
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
Ip =
W = p
π D3
16
Ip =
π D4
32
1−α 4 ) (
Wp =
π D3
16
1−α4 ) (
d α= D
应力分布
GIp
供 参 考
rad=
N·m·mm GPa·mm4
二、刚度条件
单位长度 扭转角
dϕ MT = θ= （ rad/m ） d x GIp
度/米（°/m） 米 ）
dϕ MT 180 θ= = ⋅ ≤ [θ ] d x GIp π
[θ] 值 一 般 为 精密机器的轴 一般传动轴 较低精度的轴
( 0.25～0.5)°/m ～ ° (0.5 ～1.0)°/m ° (1.0 ～2.5)°/m °
横截面上各点处， 横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力τ ，沿周向大 小不变， 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 扭矩方向一致 横截面上分布力的合成为扭矩
τ
τ
∫
∴ ∴
A
τ ⋅ dA ⋅ r0 = M T
τ ⋅ r0 ⋅ ∫ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = M T
例:
功率为200 1200转 功率为200kW，转速为1200转/分钟的电动机转子轴如 200 ，转速为1200
试校核其强度。 图，许用切应力[τ]=30 Pa, 试校核其强度。 许用切应力[ =30M Me Me C D2=75 D1=70 解：①求扭矩
令
Wp =
τmax
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
Ip =
W = p
π D3
16
Ip =
π D4
32
1−α 4 ) (
Wp =
π D3
16
1−α4 ) (
d α= D
应力分布
GIp
供 参 考
rad=
N·m·mm GPa·mm4
二、刚度条件
单位长度 扭转角
dϕ MT = θ= （ rad/m ） d x GIp
度/米（°/m） 米 ）
dϕ MT 180 θ= = ⋅ ≤ [θ ] d x GIp π
[θ] 值 一 般 为 精密机器的轴 一般传动轴 较低精度的轴
( 0.25～0.5)°/m ～ ° (0.5 ～1.0)°/m ° (1.0 ～2.5)°/m °
横截面上各点处， 横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力τ ，沿周向大 小不变， 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 扭矩方向一致 横截面上分布力的合成为扭矩
τ
τ
∫
∴ ∴
A
τ ⋅ dA ⋅ r0 = M T
τ ⋅ r0 ⋅ ∫ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = M T
例:
功率为200 1200转 功率为200kW，转速为1200转/分钟的电动机转子轴如 200 ，转速为1200
试校核其强度。 图，许用切应力[τ]=30 Pa, 试校核其强度。 许用切应力[ =30M Me Me C D2=75 D1=70 解：①求扭矩
材料力学课件第3章扭转
扭转外力及变 形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
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i 1
n
6366 N· m
即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。
M ei
+ _
指向所求截面时代负 背离所求截面时代正
4774.5 N· m 9549 N· m
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D 轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N m
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 扭转内力的计算 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件 §3-5 圆轴在扭转时的变形 ·刚度条件 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆的扭转 §3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相
P—轴传递的功率(kW)
二、内力的计算
1.求内力 截面法 在n-n 截面处假想将轴截开， 取左侧为研究对象 Me Me
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me
n
Me • x
应力的分布规律
建立公式
一、变形几何关系
1.变形现象 （1） 纵向线仍为直线,且长度不变； （2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；
（3） 径向线保持为直线,只是绕轴线旋转；
（4） 各圆周线的大小、形状、间距保持不变。
2.平面假设
变形前为平面的横截面 ,变形后 仍保持为平面.
3.几何关系
倾角 是横截面圆周上 任一点A 处的切应变, d 是 b-b截面相对于a-a 截面象刚 性平面一样绕杆的轴线转动 的一个角度. ρ a A T
注意：若假设扭矩为正值,
Me2
则扭矩的实际符号与计算符号相同. 作出扭矩图 从图可见,最大扭矩在 CA段内. _
4774.5 N· m
9549 N· m
6366 N· m
+
Tmax 9549 N m
总结：扭矩的计算规律
Me2 1 Me3 B 1 C
Me1 3 Me4 A 3 D
T M ei
τ
x
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.
其矩为( dy dz) dx
z
2. 要满足平衡方程
M z 0 Fx 0
τ
dy
y
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素. 它们组成力偶，其矩为 ( dxdz )dy 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
同一圆周上各点切应力 均 相同,且其值与 成正比, 与半 径垂直.
D G T d O2 G' D
dx b
a
三、静力关系
1.公式的建立 dA T O ρ dA
dφ A ρ G ρ dx dA T d 2 G dA T A dx d T 结论 dx GI p
M1
M2
A l
B l
C
解:（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+Me2=0 （ -） A l
2
Me1
1
M e2
T1 = -4kN· m AB段
B l T1
C M e2
T2+Me2-Me1=0 （+）
T2 =2kN· m
最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kN· m 2kN· m +
T2 Me1
_ 4kN· m
出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW.
试做扭矩图. Me1 Me2Leabharlann Me3nMe4
B
C
A
D
Me1
Me2 Me3 n Me4
B 解: 计算外力偶矩
C
A
D
M e1 15915 N m M e 4 6366 N m
pkw M e 9 549 nr / min
max
max
max
ρ ρ
r
Wt
Ip
max
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算
（1）实心圆截面
dA 2π (d )
4 π d 2 3 I p dA 2π d A 32 Ip πd 4 / 32 πd 3 Wt max d /2 16 d 2 0
n 外力偶作功： W M e 2
P 60 P (马力) Me 0.7355 7024 ( N m ) n 2n( r / min)
一、外力偶矩的计算
Me2 Me1 Me3
{ M e }Nm
{P} kW 9549 {n}r/min
n
从动轮
主动轮
从动轮
Me—作用在轴上的力偶矩( N · m ) n—轴的转速( r/min )
该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？
B
C
A
D
1 传递的外力偶矩
PA M A 9.549 318.3( N m ) n PB M B 9.549 63.7( N m ) n
M C 95.5( N m ),
B、C、D:
2、3、5KW
n=300r/min
M D 159.2( N m ),
B
C
A
D
2、求内力
MB
T1
T1 M B 0
T1 M B 63.7( N m )
T2 M B M C 0 T2 M B M C 159.2( N m )
MB MC
T3
T2
T3 M D 0
T3 M D 159.2( N m )
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直, 指向与扭矩的转向一致. τ T τ
二、切应力互等定理
1.在单元体左、右平面（杆的横截面）只有切应力, y 其方向于 y 轴平行. 由平衡方程 dy
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
τ
dx
n Me T • x Me • T + •
x
横截面的位置;用垂直于杆轴线的
坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的 扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x 轴下方. T
_
x
例题1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的 功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输
C Me2
B
C
（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置
M1
M2
max
Tmax Wt
Tmax πD 4 (1 ) 16
3
A l
B l T
C
34.5MPa
max
最大切应力发生在截面的周边上,且 垂直于半径.
max
四、强度条件
1. 数学表达式 2.强度条件的应用
强度校核
max
Tmax [ ] Wt Tmax [ ] Wt
Tmax Wt [ ]
设计截面
确定许可载荷
Tmax Wt [ ]
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax [ ] Wt
max
T Wt
T [ ] Wt max
例题3 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径
τ
x
dx 数量相等而转向相反，从而可得 z 3.切应力互等定理 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
三、剪切胡克定律
G
该式称为材料的剪切胡克定律 O
G –剪切弹性模量
E 三个弹性常数的关系 G 2(1 )
O
思考题：指出下面图形的切应变
切应变为
2
切应变为
0
§3-4 圆轴扭转的应力分析 ·强度条件
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形 提出假设
变形的分布规律
MD
I B I C II II A III III D
3、绘出扭矩图：
T1 63.7( N m ) T2 159.2( N m) T3 159.2( N m )
B
C
A
D
T
Nm
-
+
159 .2
63.7
159 .2
Tmax 159.2( N m )
在CA段和AD段
反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.
三、变形特点
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
§3-2 扭转的内力的计算
一、外力偶矩的计算
已知:轴转速－n 转/分钟；输出功率－P 千瓦，计算：力偶矩Me
n
6366 N· m
即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。
M ei
+ _
指向所求截面时代负 背离所求截面时代正
4774.5 N· m 9549 N· m
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D 轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N m
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 扭转内力的计算 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件 §3-5 圆轴在扭转时的变形 ·刚度条件 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆的扭转 §3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相
P—轴传递的功率(kW)
二、内力的计算
1.求内力 截面法 在n-n 截面处假想将轴截开， 取左侧为研究对象 Me Me
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me
n
Me • x
应力的分布规律
建立公式
一、变形几何关系
1.变形现象 （1） 纵向线仍为直线,且长度不变； （2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；
（3） 径向线保持为直线,只是绕轴线旋转；
（4） 各圆周线的大小、形状、间距保持不变。
2.平面假设
变形前为平面的横截面 ,变形后 仍保持为平面.
3.几何关系
倾角 是横截面圆周上 任一点A 处的切应变, d 是 b-b截面相对于a-a 截面象刚 性平面一样绕杆的轴线转动 的一个角度. ρ a A T
注意：若假设扭矩为正值,
Me2
则扭矩的实际符号与计算符号相同. 作出扭矩图 从图可见,最大扭矩在 CA段内. _
4774.5 N· m
9549 N· m
6366 N· m
+
Tmax 9549 N m
总结：扭矩的计算规律
Me2 1 Me3 B 1 C
Me1 3 Me4 A 3 D
T M ei
τ
x
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.
其矩为( dy dz) dx
z
2. 要满足平衡方程
M z 0 Fx 0
τ
dy
y
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素. 它们组成力偶，其矩为 ( dxdz )dy 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
同一圆周上各点切应力 均 相同,且其值与 成正比, 与半 径垂直.
D G T d O2 G' D
dx b
a
三、静力关系
1.公式的建立 dA T O ρ dA
dφ A ρ G ρ dx dA T d 2 G dA T A dx d T 结论 dx GI p
M1
M2
A l
B l
C
解:（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+Me2=0 （ -） A l
2
Me1
1
M e2
T1 = -4kN· m AB段
B l T1
C M e2
T2+Me2-Me1=0 （+）
T2 =2kN· m
最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kN· m 2kN· m +
T2 Me1
_ 4kN· m
出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW.
试做扭矩图. Me1 Me2Leabharlann Me3nMe4
B
C
A
D
Me1
Me2 Me3 n Me4
B 解: 计算外力偶矩
C
A
D
M e1 15915 N m M e 4 6366 N m
pkw M e 9 549 nr / min
max
max
max
ρ ρ
r
Wt
Ip
max
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算
（1）实心圆截面
dA 2π (d )
4 π d 2 3 I p dA 2π d A 32 Ip πd 4 / 32 πd 3 Wt max d /2 16 d 2 0
n 外力偶作功： W M e 2
P 60 P (马力) Me 0.7355 7024 ( N m ) n 2n( r / min)
一、外力偶矩的计算
Me2 Me1 Me3
{ M e }Nm
{P} kW 9549 {n}r/min
n
从动轮
主动轮
从动轮
Me—作用在轴上的力偶矩( N · m ) n—轴的转速( r/min )
该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？
B
C
A
D
1 传递的外力偶矩
PA M A 9.549 318.3( N m ) n PB M B 9.549 63.7( N m ) n
M C 95.5( N m ),
B、C、D:
2、3、5KW
n=300r/min
M D 159.2( N m ),
B
C
A
D
2、求内力
MB
T1
T1 M B 0
T1 M B 63.7( N m )
T2 M B M C 0 T2 M B M C 159.2( N m )
MB MC
T3
T2
T3 M D 0
T3 M D 159.2( N m )
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直, 指向与扭矩的转向一致. τ T τ
二、切应力互等定理
1.在单元体左、右平面（杆的横截面）只有切应力, y 其方向于 y 轴平行. 由平衡方程 dy
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
τ
dx
n Me T • x Me • T + •
x
横截面的位置;用垂直于杆轴线的
坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的 扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x 轴下方. T
_
x
例题1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的 功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输
C Me2
B
C
（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置
M1
M2
max
Tmax Wt
Tmax πD 4 (1 ) 16
3
A l
B l T
C
34.5MPa
max
最大切应力发生在截面的周边上,且 垂直于半径.
max
四、强度条件
1. 数学表达式 2.强度条件的应用
强度校核
max
Tmax [ ] Wt Tmax [ ] Wt
Tmax Wt [ ]
设计截面
确定许可载荷
Tmax Wt [ ]
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax [ ] Wt
max
T Wt
T [ ] Wt max
例题3 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径
τ
x
dx 数量相等而转向相反，从而可得 z 3.切应力互等定理 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
三、剪切胡克定律
G
该式称为材料的剪切胡克定律 O
G –剪切弹性模量
E 三个弹性常数的关系 G 2(1 )
O
思考题：指出下面图形的切应变
切应变为
2
切应变为
0
§3-4 圆轴扭转的应力分析 ·强度条件
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形 提出假设
变形的分布规律
MD
I B I C II II A III III D
3、绘出扭矩图：
T1 63.7( N m ) T2 159.2( N m) T3 159.2( N m )
B
C
A
D
T
Nm
-
+
159 .2
63.7
159 .2
Tmax 159.2( N m )
在CA段和AD段
反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.
三、变形特点
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
§3-2 扭转的内力的计算
一、外力偶矩的计算
已知:轴转速－n 转/分钟；输出功率－P 千瓦，计算：力偶矩Me