垂径定理ppt

A B A B
C O C D O
D
（1）
（2）
A D O C
B
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
M
· N 0
G
D
B
E
F
C
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
平分弦所对的两条弧．
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
AE=BE ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
A C M
O N D B
变式3：隐去（变式1）中的大圆， 得右图连接OA，OB，设OA=OB， AC、BD有什么关系？为什么？
A C
O
D
B
变式4：隐去（变式1）中的大 圆，得右图，连接OC，OD， A 设OC=OD，AC、BD有什么关 系？为什么？
O
C
D
B
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
C M H A E D F B O N
垂径定理的推论
• 老师提示:
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
这两条弦在圆中位置有两种情况:
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
1.两条弦在圆心的同侧
O
A C
●
B D
O
B
D
C
M
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
。 O
C B D
⌒ 在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60˙，
那么弦AB的弦心距是_____
5 3cm
O D A B
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则 这弓形所在的圆的半径为
13 cm . 4
C A D O B
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O 的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等 于_______ 2 5cm
• 如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C
A
M└
●
B O

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
垂径定理及推论
条件 ①② ①③ 结论 命题
A
M└
●
B
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 .
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
应用新知识
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： 在⊙O中
CD为直径
O
·
B
A
E D
引申定理
• 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等 过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理 的变式： • 一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦 平分弦所对的劣 （优）弧
垂径定理的推论:
合作探究
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
条件 CD为直径
AE=BE
D Ｏ
CD⊥AB ⌒ ⌒ 结论 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
Ｏ
·
B D
A
(E)
·
C
B
E A
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(2）(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的推论
小 结
１、圆的轴对称性 ２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径） 直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦=>
=>
直径平分弦
直径平分弧
=>

直径平分弧所对的弦
直径垂直于弧所对的弦
常用辅助线:
垂直于弦的直径
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
A D E
O
O
B
A D
E
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
双基训练
判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.
( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
(
√
)(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
OE AB
O A
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt△AOE中
2 2
E
B
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的来自百度文库径为5cm.
变式： 图中两圆为同心圆
O
变式1：AC与BD有什么关系？
A C D B
变式2：AC＝BD依然成立吗
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90

EAD 90

ODA 90

1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其 中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的 个数为 （ A ） A A、3 B、2 C、1 D、0
• 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有: .
A
B M E D O F
C
N
• 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
例：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 37.4 主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
C
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
任何一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（X ）
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A D
A D
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦 AB有可能被直径CD平分？
挑战自我填一填
• 1、判断： • ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧. 对的另一条弧.
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（ （
（
） ）
）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）