高一数学教案 01-集合与简易逻辑 17

第十七教时
教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课
目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。

过程：
一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。

二、例题：
例1、解不等式 4
5312x +-
≤
解：原不等式可化为：① 24531≥+-x 和② 24531-≤+-x
解①：5
7
-≤x 解②： 59≥x
∴原不等式的解集是{x|57-≤x }∪{x|59≥x }={x|57-≤x 或5
9
≥
x }
例
2、解不等式 6
5
41352≤+-x
解：原不等式可化为：6
5
4135265≤+-≤-x 10112010≤+-≤-⇒x
∴ 2021201≤≤x ∴原不等式的解集是{x| 20
21
201≤
≤x }
或解：原不等式化为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤
+--≥+-65413
526541
3
52x x （略）
例3、解关于x 的不等式 a x <-+132 (a ∈R)
解：原不等式可化为：132+<+a x
当 a+1>0 即a>-1时 -(a+1)<2x+3<a+1 2
224-<<+-⇒a x a
当 a+1≤0即 a ≤-1时 解集为Ø ∴当a>-1时 原不等式的解集是 {x|2
2
24-<<+-a x a }； 当a ≤-1时 解集为Ø
例4、解不等式 7412<-≤x
解一：原不等式可化为：7142<-≤x
⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-714214x x ⎪⎩⎪⎨⎧
<<-≥-≤⇒2
23434
1x x x 或 2434123<≤-≤<-⇒x x 或
解二： ∵ ⎪⎩⎪⎨
⎧
<-≥
-=-时当时
当4
14141
1441x x x x x ∴ Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≥714241x x Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤<7
41241x x （下略）
解三：原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集：2≤1-4x<7 2≤-(1-4x)<7 （下略）
例5、解不等式 |x+2| + |1-x|<x -4
解：原不等式即为 |x+2| + |x -1|<x -4 Ⅰ： ⎩
⎨⎧+<-+---<4122
x x x x ⇒Ø
Ⅱ： ⎩⎨⎧+<-++<≤-4121
2x x x x ⇒ -1<x<1 Ⅲ： ⎩
⎨⎧+<-++≥4121
x x x x ⇒ 1≤x <3 ∴ 原不等式的解集为：{x|-1<x<3} 例6、解下列不等式： ① 3-6x -2x 2<0
解：整理得 2x 2+6x -3<0用求根公式求根得解集{x|2
15
32153+-<<--x } ② (x -1)(3-x)<x(x+1)+1
解：整理得 2x 2-3x+4>0 ∵023<-=∆ ∴不等式解集为 R ③
11
35
2≤--x x 解：移项，通分，整理得
0134≥-+x x 不等式解集为{x|x ≤-4或x>3
1
} 或解：取并集 ⎩⎨⎧-≤->-1352013x x x ⎩
⎨⎧-≥-<-13520
13x x x
④ 0≤x 2-2x -3<5
解：原不等式的解集为下面不等式组的解集
⎪⎩
⎪⎨⎧<--≥--5520
322
2x x x x ⎩
⎨
⎧<<-≥-≤⇒423
1x x x 或
∴原不等式的解集为 {x|-2<x ≤-1 或 3≤x<4}
例7、已知U=R 且 A={x|x 2-5x -6<0} B={x| |x -2|≥1} 求： 1）A ∩B 2)A ∪B 3)(C u A)∩(C u B)
解：A={x|-1<x<6} B={x|x ≤1或x ≥3} A ∩B={x|-1<x ≤1或3≤x<6} A ∪B=R C u A={x|x ≤-1或x ≥6} C u B={x|1<x<3} ∴(C u A)∩(C u B)= {x|x ≤-1或x ≥6}∪{x|1<x<3}=Ø 也可求 C u (A ∪B)= Ø
例8、解关于x 的不等式 (1-a)x 2+4ax-(4a+1)>0 (a ∈R)
解：1 当1-a=0即 a=1时 原不等式化为 4x -5>0 x>4
5
2 当 1-a>0即a<1时 ∵∆=4(3a+1)
(1)当⎩
⎨⎧>+<0131a a
即13
1
<<-a 时 ∆>0
此时原不等式的解集是⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++->-+--<a a a x a a a x x 11321132|或
(2)当a=3
1-时 ∆=0 原不等式化为 4x 2-4x+1>0 即 (2x -1)2
>0
此时原不等式的解集是 {x ∈R|x ≠2
1
}
(3)当a<3
1
-时∆<0 且 1-a>0 此时原不等式的解集为R
3 当1-a<0即a>1时 原不等式可化为 (a -1)x 2-4ax+(4a+1)<0 这样a -1>0这时∆=4(3a+1)>0 用求根公式求得：
此时原不等式的解集为：⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧-++<<-+-11321132|
a a a x a a a x
综上可得：当a<-3
1
时原不等式解集为R
当a=-3
1
时原不等式解集为{x ∈R|x ≠21}
当131
<<-a 时原不等式解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++->-+--<a a a x a a a x x 11321132|或
当a=1时原不等式解集为{x| x>4
5
}
当a>1时原不等式解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++<<-+-11321132|a a a x a a a x
例9、已知A={x| |x -a|≤1} B={x|03
30
2≥---x x x }且A ∩B=Ø求a 的范围。

解：化简A={a -1≤x ≤a+1}
由03302≥---x x x ⇒
3
)
5)(6(-+-x x x ≥0 介绍“标根法” B={x|-5≤x<3 或 x ≥6}
要使A ∩B=Ø必须满足 a+1<-5 或 ⎩
⎨⎧<+≥-613
1a a 即a<-6或4≤a<5
∴ 满足条件的a 的范围是a<-6或4≤a<5
例10、（1）若不等式 (1-a)x 2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}, 求a 的值；
（2）若-3<x<1时 (1-a)x 2-4x+6>0成立, 求a 的取值范围。

解：（1）由题设可知 1-a<0 ⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=--=+-=-⇒313162
1314
a
a 3=⇒a
（2）设 y=(1-a)x 2-4x+6
1。

当1-a>0即a<1时 抛物线开口向上 ∆=24a -8 当a<3
1时∆<0 解集为R -3<x<1自然成立 当3
1<a<1时∆>0 此时对称轴 x=-312
)1(24>-=--a
a 而x=1时y=3-a>0 由图象可知： -3<x<1时都有y>0
当a=3
1时 0=∆这时对x ≠3都有y>0 故-3<x<1时 不等式成立 ∴ a<1时 若-3<x<1不等式(1-a)x 2-4x+6>0都成立
2。

当a=1时不等式为-4x+6>0对于-3<x<1时 2<-4x+6<18 即-4x+6>0成立
3。

当a>1时1-a<0 抛物线开口向下 要使-3<x<1时(1-a)x 2-4x+6>0成立
必须 ⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥-=>01031y x y x a 时时 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥+->⇒02)1(018)1(91a a a 31≤<⇒a
综上：若-3<x<1时(1-a)x 2-4x+6>0成立，则a 的取值范围是a ≤3 三、作业：《教学与测试》 第10课（选部分）。