学第二学期第一次阶段性测试高一数学模拟试题
新高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)
新高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥2．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个 B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 6．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．327．已知点()1,2-和33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或09．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1010．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 83312．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A．1B．12或2C．22或2D．13或3二、填空题13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D中，M N，分别为棱111C D C C，的中点，有以下四个结论：①直线AM与1CC是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与1MB是异面直线；④直线AM与1DD是异面直线．其中正确的结论的序号为________．14．若过点(8,1)P的直线与双曲线2244x y-=相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为________．15．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB⊥====，若E为棱PC上一点，满足BE AC⊥，则PEEC=__________．16．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．17．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________18．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______19．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 23．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．24．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ； （2）求点B 到平面ECD 的距离；25．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AACC ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ; （2）若四棱锥B ACMN -的体积为32，求1A AC ∠的正弦值. 26．求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系2．C解析：C 【解析】 【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案. 【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ， 易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.3．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.5．B解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B6．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7．D解析：D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).()121,01PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθta nθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项.8．C解析：C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).则圆心到直线0x y a -+=的距离2d ==, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.9．D解析：D【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体， 下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.11．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.12．B解析：B 【解析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1ACCC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥， 因为DFBD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AFFA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直 解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．14．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=【解析】【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.15．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定 解析：13【解析】【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE EC 的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以22AF AB ==，而22AC =，故:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.16．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△A PC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．17．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线 5【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解.【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交，其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠2321252=+⨯=，5AN ∴= 故答案为5【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.18．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ， 1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55,33a b ==， 55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=. 故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题. 19．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：262+ 【解析】【分析】 首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解． 【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而2626OC OE EC +''=+== 亦即CE OE +26+故答案为262+. 【点睛】 本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．20．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的 解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S=四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =， 由圆的性质可得2PBC PACB S S=四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2221251k +==+又0k >，∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．三、解答题21．（1）详见解析；（2）3030．【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ==== 可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-．设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由22020n PD y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得21,,22n ⎛= ⎝⎭． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：|||cos ,|30||||10PC n PC n PC n ⋅<>===⋅． 【点睛】 向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=. （2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.23．（1）4x =或3480x y +-=（2）【解析】【分析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心C 与直线l 的距离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解: (1)由题意可得()2,3C ,直线l 与圆C 相切当斜率不存在时，直线l 的方程为4x =,满足题意当斜率存在时，设直线l 的方程为14y k x +=-,即410kx y k ---=∴2234121k k k ---=+,解得34k =- ∴直线的方程为3480x y +-=∴直线l 的方程为4x =或3480x y +-=(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，直线l 的方程为30x y +-=圆心()2,3C 到直线l 的距离为23322∴弦长为2222(2)22-=【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.24．（1）见解析；（2）413 【解析】【分析】（1）取PA 的三等分点F ，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；（2）法一，利用等积转换即B ECD E BCD V V --=，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离.【详解】(1)解法一：取PA 的三等分点F ，连结,DF EF ，则13PF PA =又因为13PE PB =，所以13EF AB =且//EF AB ，因为13CD AB =且//AB CD ，所以EF CD =且//EF CD ，四边形CDFE 是平行四边形，所以//CE DF ，又平面DF ⊂平面 PAD ，CE ⊄平面 PAD ，所以//CE 平面 PAD .解法二：取AB 的三等分点G ，连结,FG CG ，则13AG AB =， 又因为13PE PB =， 所以23EG PA =且//EG PA ，EG ⊄平面PAD ， PA ⊂平面PAD ， //EG ∴平面PAD ， 因为13CD AB =且//AB CD ，所以AG CD =且//AG CD ， 四边形ADCG 是平行四边形.所以//AD CG ，CG ⊄平面PAD ，DA ⊂平面PAD ，//CG ∴平面PAD ，又因为EG CG G ⋂=，,EG CG ⊂平面CEG ，所以平面//CEG 平面PAD ，又因为CE ⊂平面CEG ，所以//CE 平面PAD .(2)解法一：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=，所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，点E 平面ABCD 的距离是43，3DF ==， 12112BCD S ∆=⨯⨯=，11122ECD S CD DF ∆=⨯⨯=⨯=，因为B ECD E BCD V V --=，所以，1141,333313h h ⨯=⨯⨯=点B 到平面ECD 解法二：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，分别以,,AD AB AP 为x 轴y 轴z 轴，建立空间坐标系，4(0,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(2,0,0),0,1,3AB C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭’40,2,3BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面CDE 法向量1(,,)n x y z =，因为04203y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以1(2,0,3)n =， 设BE 与平面ECD 所成角为θ， 则点B 到平面ECD 的距离11413||cos 13BE n h BE n θ⋅====， 点B 到平面ECD 的距离为413. 【点睛】 本题主要考查的是直线与平面平行的证明，点到面的距离的求法，以空间向量法求距离的应用，及解题时要注意认真审题，注意等价转化思想的合理应用，是中档题.25．（1）见解析；（2）32. 【解析】（1）在平面ABC 中，过点B 作棱AC 的垂线，垂足为D ，平面11AAC C ⊥平面ABC ，∴ BD ⊥平面11AAC C .在平面11AA B B 中，过点B 作棱1AA 的垂线，垂足为E ，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，∴BE ⊥平面11AAC C .过点B 与平面11AAC C 垂直的直线有且只有一条，∴BE 与BD 重合，又∵平面ABC 平面11AA B B AB =,∴BE 与BD 重合于AB ，所以AB ⊥平面11AAC C .（2）设BM 的中点为Q ，连接PQ ，NQ ，点P 为棱BC 的中点，∴PQ ∥CM 且PQ =12CM ， 1AA ∥1CC ，∴PQ ∥AN ，∴P 、Q 、N 、A 四点共面，∵AP ∥平面BMN ，∴AP ∥NQ ，∴四边形PQNA 是平行四边形，∴PQ =AN ，∵M 为1CC 的中点且12AB AC AA ===， ∴1CM =，∴PQ =AN =12， 设梯形ACMN 的高为h， 2AB =，∴11112×23222B ACMN h V h -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⨯==，∴h =∴1sin 2h A AC AC ∠==,∴1A AC ∠的正弦值为2. 26．（1）40x y -+=（2）390x y +-=【解析】【分析】【详解】得23100{3420x y x y -+=+-=⇒2{2x y =-= 即两直线交点坐标为()2,2-. ∵所求直线与已知直线平行. ∴设直线方程1:0l x y C -+=；将交点坐标代入直线方程，解得4C =. ∴直线1:40l x y -+=. （2）联立两直线方程得280{210x y x y +-=-+=⇒32x y =⎧⎨=⎩即两直线交点坐标为()3,2. ∵所求直线与已知直线垂直. ∴设直线方程2:30l x y C ++=；将交点坐标代入直线方程，解得9C =-. ∴直线2:390l x y +-=.。
【典型题】高一数学下期中第一次模拟试题带答案
【典型题】高一数学下期中第一次模拟试题带答案一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．84．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面5．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．32-B ．4C ．6D ．32+6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离7．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．2B ．32C 322D ．228．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或19．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．610．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π11．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭12．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．25二、填空题13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．14．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.15．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .16．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 17．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．18．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________19．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥； （2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角1A A B C --的余弦值．24．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．25．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ； （2）求点B 到平面ECD 的距离；26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形． （1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系3．B解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为3212+，PAB S ∆最大值为32+. 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y=1，即x-y+2=0 ∴圆心到直线AB 的距离为32. ∴△PAB 面积的最大值是1321322||(1)222222AB ++=⨯⨯=3+2 故选D ． 【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.6．B解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B7．B解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 223416,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.222222121211222161622S AC BD r d r d d d =⋅=⨯-⋅-=-⋅- 2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.11．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。
云南省文山市2024学年高三下学期第一次阶段性测试数学试题
云南省文山市2024学年高三下学期第一次阶段性测试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>2．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．15605．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．12-+ B ．12i C ．12-- D ．12i - 6．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+7．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．8．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 9．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 10．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+11．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<12．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ） A ．2B ．2C ．3D ． 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市高一下学期第一次阶段测试数学试题(解析版)
高一下学期第一次阶段测试数学试题一、单选题1．的值是（ ）19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭A ． B ．CD ． 1212-【答案】A【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.【详解】解：．19191sin sin sin 3sin 66662πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A ．2．已知，则（ ） 11cos 22cos()παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+2sin cos sin cos αααα-=+A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。
【详解】由题意，则． sin tan 2cos ααα-==--2sin cos 2tan 15sin cos tan 1αααααα--==++故选：D ﹒ 3．设，，则“”是“”的（ ） π02α<<02βπ<<sin2sin2αβ=αβ=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合正弦函数在上图像的性质，先推出的等价关系，然后判断其和[0,π]sin2sin2αβ=的关系后进行分析.αβ=【详解】，，则，，由，结合正弦函数图像π02α<<02βπ<<02πα<<02βπ<<sin2sin2αβ=在上的性质可知，或，所以不一定推出，但可[0,π]22αβ=22παβ+=sin2sin2αβ=αβ=αβ=以推出，于是“”是“”的必要不充分条件. sin2sin2αβ=sin2sin2αβ=αβ=故选：B4．若函数是奇函数，且在区间是减函数，则的值可以是()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦φA ．B ．C ．D ．3π-23π53π3π【答案】B【详解】因为函数是奇函数，所以，，则，故排()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3πφ+πk =Z k ∈ππ3k φ=-除选项D ，又因为在区间是减函数，所以，解得，即0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5ππ3π[,[,]3622φφ++⊆π2π63φ≤≤；故选B.2π3φ=点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如： 若为奇函数，则； sin()y x ωϕ=+π,Z k k ϕ=∈若为偶函数，则；sin()y x ωϕ=+ππ+,Z 2k k ϕ=∈若为偶函数，则； cos()y x ωϕ=+π,Z k k ϕ=∈若为奇函数，则.cos()y x ωϕ=+ππ+,Z 2k k ϕ=∈5．已知x ∈[0，π]，f (x )＝sin(cos x )的最大值为a ，最小值为b ，g (x )＝cos(sin x )的最大值为c ，最小值为d ，则( ) A ．b <d <a <c B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <b <a <c【答案】A【详解】 [][][][][]0,,cos 1,1,sin 0,1,sin(cos )sin1,sin1,cos(sin )cos1,1x x x x x π∈∈-∈∈-∈，又，则 sin1,sin1,1,cos1a b c d ==-==14π>cos1sin1<<则b<d<a<c6．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12函数的图象，若，则的最小值为( )()y g x =()()()12121g x g x x x =-≠122x x+A ．B ．C ．D ．3π23π12π6π【答案】D【分析】求出g (x )解析式，作出g (x )图像，根据图像即可求解﹒【详解】由题得，，，()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()max 1g x =()min 1g x =-∵，∴＝1且＝－1或且＝1， ()()()12121g x g x x x =-≠()1g x ()2g x ()11g x =-()2g x 作的图象，()g x∴的最小值为＝， 122x x +512122ππ-＋6π故选：D ．7．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将()()cos f x A x ωϕ=-0A >0ω>2πϕ<图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函()y f x =328π数的图象，则（ ）()y g x =A ．函数在上单调递减B ．点为图象的一个对称中心()g x 513,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ3,08π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．直线为图象的一条对称轴D ．函数在上单调递增2x π=()g x ()g x 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先由函数的图象求出的解析式，再结合题意求出，结合正弦函数的图()f x ()2sin 2g x x =象性质即可求解【详解】由图象知，2A =又，所以的一个最低点为， 2563212πππ+=()f x 5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭而的最小正周期为， ()f x 22033T ππ=-=所以 23Tπω==又，则， 2cos 35512122f ππϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝= ⎪⎭⎛⎫⎝⎭2os 315c 1ϕπ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭所以,即， ()524k k Z ϕπππ-=+∈()24k k Z πϕπ=-∈又，所以，2πϕ<4πϕ=所以，()2cos 34⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，()y f x =322cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再把所得曲线向右平移个单位长度得，8π2cos 22sin 22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y x x π即. ()2sin 2g x x =由得，()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以在上单调递增，()g x ,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈在上单调递减， 3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈当时，可知在递增，在递减，所以错误； 513,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x 5,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A因为 3332sin 22sin 884g p p pæöç÷=´=ç÷èø所以不是图象的一个对称中心，故B 错误；3,08π⎛⎫⎪⎝⎭()g x 因为， 2sin 22s 2i 02n g p p p æöç÷=´==ç÷èø所以直线不是图象的一条对称轴，故C 错误；2x π=()g x 因为在上单调递增，()g x 35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以函数在上单调递增，故正确；()g x 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 故选：.D 8．如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点A P A 所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（ ） P APl AP d ()d f l =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】取的中点为，设，在直角三角形求出的表达式，根据弧长公式求出的AP D DOA θ∠=d l 表达式，再用表示，再根据解析式得答案. l d 【详解】取的中点为，设，AP D DOA θ∠=则，， 2sin d θ=22l R θθ==所以，即，根据正弦函数的图象知，C 中的图象符合解析式. 12l θ=⋅2sin 2ld =故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的图象，考查弧长公式，其中表示出弦长和弧长的解析式是解题的d l 关键，属于基础题.二、多选题9．下列不等关系成立的是（ ）． A ． B ． tan1sin1cos1>>tan1cos1sin1>>C ． D ．tan 4sin 4cos 4>>tan 4cos 4sin 4>>【答案】AD【分析】.AB 选项，由，结合571602284240o o o o <<⇒<<1451o t an t an >=单调性可判断；CD 选项，由，结合单sin ,cos y x y x ==4044t an si n ,cos >>sin ,cos y x y x ==调性可判断.【详解】.571602284240o o o o <<⇒<<AB 选项，因为在上单调递增，所以.tan y x =π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1451o t an t an >=因为在上单调递增，在上单调递减，sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦cos y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以. 145451o o si n si n cos cos >=>综上，，故A 正确，B 错误；tan1sin1cos1>>CD 选项，，则. 342ππ,⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭4044t an si n ,cos >>因为在上单调递减，在上单调递增， sin y x =32ππ,⎡⎫⎪⎢⎣⎭cos y x =32ππ,⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以. 42252254o o si n si n cos cos <=<综上，，故D 正确，C 错误. tan 4cos 4sin 4>>故选：AD.10．给出的下列命题中正确的是（ ）． A ．函数是奇函数3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．若，是第一象限角，且，则αβαβ<tan tan αβ<C ．在区间上的最小值是 32sin 2y x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-D ．是函数的一条对称轴π8x =5sin 2π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】A 选项，由奇函数定义可判断选项正误；B 选项，由，即可判断选项正2361o o t an t an >误；C 选项，，则，后由单调性可判断选项正误；D 选项，将ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3π3π,224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦cos y x =代入，验证其是否等于，即可判断选项正误.π8x =52π4x +2ππ,Z k k +∈【详解】A 选项，设，则，()3πcos 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3sin 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，且可知，函数是奇函数，故A 正确；()()f x f x -=-x ∈R 3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B 选项，均为第一象限角，但，故B 错误；2361o o ,2361o o t an t an >C 选项，，则，因为在上递增，在上单调递ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦3π3π,224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦减，所以，，故C 错误； max π2sin 22y ==322224m i n ππmi n si n ,si n y ⎧⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D 选项，由可知，是函数的一条对称轴，故D 正确.532842πππ⨯+=π8x =5sin 2π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：AD.11．已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s （cm ）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（ ）．π2sin 4s t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．小球开始时在平衡位置上方2cm 处 B ．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处 C ．经过小球重复振动一次 2π s D ．小球振动的频率为 12π【答案】BCD【分析】A 选项，即判断时，s 的值是否为2； 0=t B 选项，即判断s 的最小值是否为；2-CD 选项，由周期，频率计算公式可判断选项正误.【详解】A 选项，时，cm 处，故A 错0=t π2sin 4s ⎛⎫== ⎪⎝⎭误；B 选项，由题可知s 的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处，故B 正确； 2-C 选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C 正确； 2π2π sD 选项，由C 选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D 正确. 2π12π故选：BCD12．函数的部分图象如图所示，点P ，Q ，R 在函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 的图象上，坐标分别为，，，是以PR 为底边的等腰三角形，将函数()1,A --()1,0()0,0x PQR 的图象向右平移5个单位后，得到函数的图象，则下列关于的说法中正确的是()f x ()g x ()g x （ ）．A ．是偶函数()g x B ．在区间上是减函数 ()g x []0,4C ．的图象关于直线对称 ()g x 2x =D ．在上的最小值为()g x []1,3-【答案】ABD【分析】由函数的部分图像求出函数解析式，写出的解析式，判断选项中的命题是否正()f x ()g x 确.【详解】由函数的部分图象知，()()sin f x A x =+ωϕ，所以，解得；24T =2π8ω=π4ω=,作轴于点，4PQ QR == PH x ⊥H则，时，，，2QH =A \=1x =0x ωϕ+=π4ϕ∴=-，，()ππ44⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭f x x ()()()πππ55444⎛⎫∴=-=--= ⎪⎝⎭g x f x x x 根据余弦函数的性质可知是偶函数，A 正确； ()g x 时，，是单调减函数，B 正确； []0,4x ∈[]ππ40,∈x ()g x ∴时，，的图象不关于直线对称，C 错误； 2x =()π022==g ()g x 2x =时，，，，D 正确； []13,x ∈-ππ3π444,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x πc os 14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ()⎡∈⎣∴g x故选：ABD.三、填空题13．已知，且为第四象限角，则______．()1cos 553α-=-α()sin 125α+=【分析】先求出，再求的值. ()sin 55α-= ()sin 125α+【详解】因为，且为第四象限角，()1cos 5503α-=-<α所以是第三象限角，55α- 所以()sin 55α-==所以．()()()sin 125sin 18055sin 55ααα⎡⎤+=+-=--=⎣⎦【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．函数______． y 【答案】()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据函数定义域的求法进行求解即可.【详解】根据题意，得，()tan 1πtan 06πππZ 62x x x k k ⎧⎪≥⎪⎪⎛⎫+≠⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≠+∈⎪⎩解得，()()()ππππZ 42ππZ 6ππZ 3k x k k x k k x k k ⎧+≤<+∈⎪⎪⎪≠-+∈⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩所以函数的定义域为.()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭故答案为：.()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭15．已知，则______．()()ππsin 24n f n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ()()()()1232023f f f f ++++= 【答案】【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.【详解】，()()ππsin 24+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ n f n n N 的周期为，()f n ∴2π4π2=， ()()()()12340+++== f f f f 则()()()()1232023f f f f ++++()()()()()()()5051234202120222023=⨯++++++⎡⎤⎣⎦f f f f f f f()()()123=++==f f f 故答案为：.16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.1+31cm 2cm 【答案】【分析】由已知可得,,得到，，求出，AB =2BC =4AC cm ==2B π∠,63A C ππ∠=∠=ABC S A中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三BC 个扇形的面积即可得到答案. 【详解】如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,A )1+B)1-C (3,,11AB ∴==132cm BC =+=, ,134AC cm =+=222=2AB BC AC B π∴+∠=，又,可得,2AC BC =,63A C ππ∠=∠=， )2112cm 22ABC S BC AB =⋅=⨯⨯= 中的小扇形的面积为，A ()2211)cm 26π⨯⨯+=中的小扇形的面积为，B ()2211)cm 22π⨯⨯-=中的小扇形的面积为，C(()221(32cm 23ππ⨯⨯=则三个圆之间空隙部分的面积为(()22cm π-=故答案为：【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知是第三象限角，且.α()()()()()sin cos 5tan 2cos tan 2f αππαπααπαπα----=⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若，求的值. ()tan 2πα-=-()f α【答案】(1) ()αcos αf =-(2)()f α【分析】（1）直接利用诱导公式可化简；()f α（2）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，即可得出的值. cos α()f α【详解】（1）解：为第三象限角，则αQ .()()()()()sin cos tan sin cos cos sin tan sin f παπααααααααα---==-=--（2）解：，所以，，()tan tan 2παα-=-=- tan 2α=由已知可得，解得22sin tan 2cos sin cos 1cos 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩cos α=()cos f αα=-=18．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从()2cos()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭2π条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知．条件①：函数的图象关于直线()f x 对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数x ，3x π=-()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立．5()6f x f π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭(1)求出的解析式； ()f x (2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根()f x 12π()y g x =()g x a =2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求的值及的取值范围．αβαβ+a 【答案】(1)；()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)，76παβ+=2a -<≤【分析】（1）通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得，若选条件①可得ω，则可求出，则的解析式可得；选条件②，将代入解析式，可ππ2π122k ϕ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭ϕ()f x ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭得，解出，即得答案；选条件③，可知，解出，即得答案； π2π6k ϕ⨯+=ϕ526k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ϕ（2）先根据平移变换求出，再通过整体法，利用正弦函数的图象和性质可得的()y g x =()y g x =最小值，则实数的取值范围可求.m 【详解】（1）解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，()2cos()f x x ωϕ=+2π所以，即周期，所以．所以． 22T π=T π=22T πω==()2cos(2)f x x ϕ=+若选择①：因为函数的图象关于直线轴对称，()f x 3x π=-所以，，即，．23k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭若选择②，函数的图象关于点对称，所以，()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭()2cos 2()01212f ππϕ⎡⎤-=⨯-+=⎢⎥⎣⎦所以，，即，．2+122k ππϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭若选③：对任意实数x ，恒成立，所以，，即5()6f x f π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭526k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈53k πϕπ=+，． Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以， ()f x 12π()y g x =()2cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦672,66x πππ⎡⎤⎢⎣⎦-∈当时，有最小值且关于对称，所以，26x ππ-=()g x 2-712x π=772126ππαβ+=⨯=，．6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭2a ∴-<≤19．设函数()()2cos 2103f x a x a π⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭．（1）求函数的对称轴方程；()f x （2）若时，的最大值为3，求a 的值．02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 【答案】（1）；（2）或.,6x k k Z ππ=-+∈1a =-2a =【分析】（1）利用整体代入法，令，即解得对称轴的方程；22,3x k k Z ππ+=∈（2）先计算时，，再讨论和时的最大值，令其等于02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0a >a<0()f x 3，解方程即得结果. 【详解】解：（1）令，解得，22,3x k k Z ππ+=∈,6x k k Z ππ=-+∈故函数的对称轴方程为；()f x ,6x k k Z ππ=-+∈（2）时，，故，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故时，时，，解得，0a >1cos 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()max 12132f x a =⨯+=2a =时，时，，解得， a<0cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()max 213f x a =-+=1a =-综上可知，或.1a =-2a =20．已知定义在上单调减函数使得对一切实数x 都成立，(],3-∞()f x ()()21sin 2cos f x f a x +≤-求a 的范围． 【答案】1a ≤-【分析】由题可得对一切实数成立，则222cos 32cos 31sin 2cos 1sin 2cos a x a x x a x a x x-≤≤+⎧⎧⇒⎨⎨+≥-≤++⎩⎩.{}22312m i n cos ,si n cos a x x x ≤+++【详解】因定义在上单调减函数使得对一切实数x 都成(],3-∞()f x ()()21sin 2cos f x f a x +≤-立，则对一切实数成立.对于，当222cos 32cos 31sin 2cos 1sin 2cos a x a x x a x a x x-≤≤+⎧⎧⇒⎨⎨+≥-≤++⎩⎩23cos x +时，其有最小值，2π+π,Z x k k =∈1故要使对一切实数成立，需；23cos a x ≤+1a ≤设， ()()222122213si n cos cos cos cos g x x x x x x =++=-++=--+则当，即时，有最小值，为， cos 1x =-2π+π,Z x k k =∈()g x 1-故要使对一切实数成立，需. 21sin 2cos a x x ≤++1a ≤-综上可知，.1a ≤-21．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如O 40.5m 40m 下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，30(1)求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；h t(2)若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大205m .约有多少“最佳观景时间”？【答案】(1)；()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭(2). 40min【分析】（1）设，根据已知条件求出、、的值，可得出()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>A ωϕ函数的解析式；()h t （2）解不等式，即可得解.()20.5h t >【详解】（1）解：设，则，， ()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>40A =40.5b =所以，()()()40sin 40.50h t t ωϕω=++>第一次到最高点旋转了半周期，所以 ()260min /min 30T rad T ππω=⇒==游客从最低点登上，所以，故2πϕ=-()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭（或）.()40cos40.530h t t π=-+()0t ≥（2）解：令，则，()20.5h t >40sin 40.520.5302t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1sin 3022t ππ⎛⎫⇒->- ⎪⎝⎭（或），1cos 302t π<所以， 72263026k t k ππππππ-+<-<+()5223303k t k k πππππ⇒+<<+∈Z ，()10605060k t k k ⇒+<<+∈Z 所以，()()5060106040min k k +-+=因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有最佳观景时间.40min 22．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=+-><<π2的图像先向右平移为奇函()f x π6()g x 数.(1)求的解析式；()f x (2)求图像的对称轴及的单调区间；()f x ()f x(3)若对任意，恒成立，求实数m 的取值范围.0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦()()()2220f x m f x m -+++≤【答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)对称轴为直线，，增区间为，减区间为ππ122k x =+Z k ∈()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3) ⎛-∞ ⎝【分析】（1）由正弦函数的周期公式求得，再根据函数是奇函数求得b ，得函数的解ω()g x ()f x 析式； （2）令，，，，ππ2π32x k +=+Z k ∈πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，，分别求解可得答案；Z k ∈（3）根据正弦函数的性质求得再将问题转化为恒()11f x -≤-≤()()111m f x f x ≤+--成立.令，，由函数的单调性求得的范围，由此求得()1t f x =-1y t t =+1y t t=+()()111f x f x +--的范围.m 【详解】（1）解：因为，所以，所以. 2ππ22ω=⨯2ω=()()sin 2f x x b ϕ=+-又因为，()πsin 26g x x b ϕ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0πϕ<<所以且，又， ()π+32k k Z πϕπ-+=∈0b -=0πϕ<<所以，， π3ϕ=b所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：令，，得；ππ2π32x k +=+Z k ∈ππ,Z 122k x k =+∈令，，得； πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈令，，得，. ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈所以函数图像的对称轴为直线，. ()f x ππ122k x =+Z k ∈函数的增区间为，减区间为. ()f x ()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）解：因为，所以，所以，所以π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π233x ππ≤+≤π0sin 213x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭()1f x ≤≤，所以()11f x -≤-≤要使恒成立，即恒成立.()()()2220f x m f x m -+++≤()()111m f x f x ≤+--令，，则在上单调递增， ()1t f x =-1y t t =+1y t t=+()1-∞-，又，即()11f x -≤-≤(()()1111f x f x -≤+-≤-()()111f x f x ≤+-≤-所以 m ≤即m 的取值范围是. ⎛-∞ ⎝。
安徽省蚌埠市五河第一中学2023-2024学年高一下学期学期阶段性测试 数学试卷【含答案】
2023-2024学年度五河一中第二学期阶段性测试数学试卷一、单选题1．已知(1i)2i z -=+，其中i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，则复数z =（）A ．33i22+B ．13i22+C ．13i22-D ．33i22-2．若π2cos 43θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A ．23B ．49-C ．59-D ．593．已知平面向量,a b 满足2,1a b == ，且()()432a b a b -⋅+= ，则向量,a b的夹角θ为A ．2π3B ．π3C ．π2D ．π64．9tan102tan 204tan 40tan80︒+︒+︒-︒等于（）A ．0B 33C ．1D 35．将()π2cos 84f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π16个单位长度，得到()g x 的图象，若π8g x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正数ω的取值范围为（）A ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．39,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．39,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知ABC 中，2()()AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-，则tan C 的最大值是（）A ．73B ．23C ．147D ．1427．在ABC 中，2AB =，AC 33=30BAC ∠=︒，若CP PB PA λ=+ ，若494CP BC ⋅=- ，则λ的值为（）A ．23B 3C ．1D ．28．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（）A ．22,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．22814,,9399⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22814,,9399⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D ．22814,,9399⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭二、多选题9．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别是a b c 、、．下面四个结论正确的是（）A ．2,30a A ==︒，则ABC 的外接圆半径是4B ．若cos sin a bA B=，则45A =︒C ．在5,60,4a A b ==︒=，解三角形有两解．D ．已知()()3a b c a b c ab +++-=，则60C ∠=︒；10．下列说法正确的是（）A ．已知a ，b 均为单位向量．若1a b -= ，则a 在b上的投影向量为12br B ．P 是ABC 所在平面内的一动点，且()1AP AB BC 02λλ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定通过ABC 的重心；C ．已知O 为ABC 的外心，边AB AC 、长为定值，则AO BC ⋅为定值；D ．若点O 满足,AO AB AO AC CO CA CO CBAB AC CA CB⋅⋅⋅⋅== ，则点O 是ABC 的垂心.11．已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c O 为ABC 的重心，1cos ,25A AO ==，则（）A ．1144AO AB AC =+ B ．3AB AC ⋅≤ C ．ABC的面积的最大值为D ．a的最小值为三、填空题12．已知平面向量()()sin ,cos ,3,1a b θθ== ，若//a b ，则πcos cos 4θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．13．已知复数z 满足|z 22i |1+-=，则|z 22i |--的最大值为．14．“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形ABCD 中，有4个全等的直角三角形，若图中Rt ABS △的两锐角分别为,αβ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:9，则cos()αβ-的值为．四、解答题15．已知3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且α是第三象限角.(1)求tan 2β的值；(2)求πcos 2cos(π)2πsin(π)sin 2ββββ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.16．在复数范围内有关于x 的方程210x x ++=.(1)求该方程的根；(2)求()1x x -的值；(3)有人观察到()()2110x x x -++=，得31x =，试求20242024111x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭的值.17．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AB CD AD BC ===，点E 为边AD 上靠近点A 的六等分点，F 为CD中点．(1)用,AB AD 表示EF ；(2)设G 为AB 中点，P 是线段AG （不含端点）上的动点，DP 交EF 于点M ，若EM EF λ=，AP AB μ= ，求2231λμ++的取值范围．18．已知21()cos cos 2f x x x x =-+，(1)若π0,,()43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos 2x 的值；(2)在三角形ABC 中，若 ()1f A =，求sin sin B C +的最大值；(3)若关于x 的不等式π2()206f x af x ⎛⎫++-≤ ⎪⎝⎭在ππ,63⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，求实数a 的取值范围．19．如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c AD 为BC 边上的中线，已知1c =，且2sin cos sin 15sin ,cos 7c A B a A c C BAD =-∠．(1)求b 的值；(2)求ABC 的面积；(3)设点,E F 分别为边,AB AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的16，求AG EF ⋅ 的取值范围．1．C【分析】利用复数的除法运算法则求得复数z ，从而得到结果.【详解】依题意，得()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ++++====+--+，故13i 22z =-.故选：C.2．C【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】因为π2cos 43θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2cos 43θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πsin 2cos 22θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πcos 24θ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π2cos 14θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭252199=⨯-=-.故选：C 3．A【分析】由()()432a b a b -⋅+= ，结合2,1a b ==可得1a b ⋅=- ，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】222,14,1a b a b ==⇒== ，()()432a b a b-⋅+=，所以2241232a a b a b b +⋅-⋅-=，可得161150a b +⋅-=，即1111a b ⋅=-，1a b ⋅=- ，设两向量夹角为θ，则cos 1a b θ=-，2cos 1θ=-，1cos 2θ∴=-，即θ为23π，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅= ，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a b θ= （此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b上的投影是a b b⋅ ；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅= ;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.4．A【分析】由12tan tan tan 2θθθ-=-可求三角函数式的值.【详解】由于21tan 12tan tan tan tan 2θθθθθ--==-，于是12tan10tan 80tan10tan10tan 20︒-︒=︒-=-︒︒，142tan 20tan 20tan 40⎛⎫︒-=-⎪︒︒⎝⎭，184tan 408tan10tan 40tan 80⎛⎫︒-=-=-︒ ⎪︒︒⎝⎭，三式相加即得9tan102tan 204tan 40tan800︒+︒+︒-︒=．故选：A 5．B【分析】利用三角函数图象的变换规律求得()g x 的解析式，进而得π8g x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式，再利用三角函数的单调性求得ω的范围．【详解】将()π2cos 84f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到π2cos 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移π16个单位长度，得到()π2cos 42cos4π641g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象．πππ2cos 42cos 42sin 4882g x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由π3π2π42π,Z 22k x k k ω+≤≤+∈，0ω>，得ππ3ππ,Z 8282k k x k ωωωω+≤≤+∈，∴π8g x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭的增区间为ππ3ππ,,Z 8282k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，若π8g x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则Z π,π,12ππ3ππ,82862k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎣⎦⎦⎡⎤⊆⎢⎥，∴2π2π1π8k ωω+≤且ππ326π8k ωω+≤，∴()3412k ω≥+且()3434k ω≤+，又0ω>，∴当0k =时，3924ω≤≤，故答案为：B ．6．D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边a ，b ，c 的关系，利用基本不等式求出cos C 的最小值，显然C 为锐角，要使tan C 取最大值，则cos C 取最小值，从而得出sin C 的最大值，即可求出tan C 的最大值．【详解】因为()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-，所以22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅，即2cos 2cos cos cos bc A ba C ab C ac B-=-所以2cos 3cos cos 0bc A ba C ac B -+=，由余弦定理得：()2222222223()0()22a b c a c b b c a +-+--++=-，即22223a b c +=，22222221(2)3cos 2263a b a b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥当且仅当63a bb a=即a =时取等号，显然C 为锐角，要使tan C 取最大值，则cos C 取最小值23，此时sin C所以sintancosCCC==tan C 的最大值是142．故选：D．7．D【分析】根据已知条件判断出,,A P D三点共线，然后根据向量数量积列方程，化简求得λ的值.【详解】设D是BC的中点，由于CP PB PAλ=+，所以2AP PB PC PDλ=+=，所以,,A P D三点共线，且2PD APλ=，222AD AP PD AP AP APλλ+=+=+=，且20λ+≠，所以()()22112222AP AD AB AC AB ACλλλ==⨯+=++++，令12tλ=+，则()AP t AB AC=+，所以()()CP BC AP AC AC AB⋅=-⋅-()()t AB t AC AC AC AB=+-⋅-()()1t AB t AC AC AB⎡⎤=+-⋅-⎣⎦()2214t AC AB AC t AB=-+⋅-()249271242231824t t t=-+⨯-⨯=-=-，解得14t=，则1142λ=+，解得2λ=.故选：D8．C【分析】先由()f x在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，得02ω<≤，再由()f x在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，得πππ03233π0ππ23ωω⎧-<-<⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩或ππ2π2333πππ2π23ωω⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩，取并集结合02ω<≤的前提条件，即可得答案.【详解】当π,012x⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππππ,31233xωω⎛⎫-∈---⎪⎝⎭，因为()f x 在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故πππ1232--≥-ω，则02ω<≤；当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ3ππ,32323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，且πππ2π,2333ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，3πππ8π,2333ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，又因为()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①πππ0223233π930ππ23ωωω⎧-<-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-≤⎪⎩，②ππ2π08142333π99ππ2π23ωωω⎧≤-≤⎪⎪⇒<≤⎨⎪<-≤⎪⎩，综上：ω的取值范围为22814,9399⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故选：C.9．BD【分析】A 、B 、C 选项直接由正弦定理进行判断即可；D 选项利用余弦定理判断即可.【详解】对于A ，设外接圆半径为R ，则24sin aR A==，故2R =，A 错误；对于B ，由sin sin a bA B=可得sin cos A A =，又0180A <<︒︒，故45A =︒，B 正确；对于C ，由sin sin a b A B=可得42sin 5B ==b a <，所以B A <，三角形只有一解，C 错误；对于D ，由()()3a b c a b c ab +++-=可得222a b c ab +-=，故2221cos 22a b c C ab +-==，又0180C ︒<<︒，故60C ∠=︒，D 正确.故选：BD.10．ABC【分析】A 选项，根据数量积的运算律得到12a b ⋅= ，然后求投影向量即可；BCD 选项，根据平面向量四心的结论判断即可.【详解】A 选项，22221a b a a b b -=-⋅+= ，因为,a b 为单位向量，所以12a b ⋅= ，所以a 在b 上的投影向量为12a b b b b⋅⋅= ，故A正确；B 选项，设BC 中点为D ，则12AB BC AD +=，又()102AP AB BC λλ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，所以点,,A P D 三点共线，且点P 为射线AD 上的动点，通过三角形ABC 的重心，故B 正确；C 选项，()221122AO BC AO AC AB AO AC AO AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=- ，因为AB 、AC 为定值，所以AO BC ⋅为定值，故C 正确；D 选项，AO AB AO AC AB AC⋅⋅= 表示AO 在AB、AC 上的投影相等，即点O 到AB 、AC 的距离相等，所以点O 在角A 的角平分线上，同理可得点O 在角C 的角平分线上，即点O 为内心，故D 错.故选：ABC.11．BC【分析】利用重心性质及向量线性运算得1133AO AB AC =+，即可判断A ，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得AB AC ⋅uuu r uuu r，AB AC 的最大值，直接判断B ，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD ．【详解】O 是ABC 的重心，延长AO 交BC 于点D ，则D 是BC 中点，22111()33233AO AD AB AC AB AC ==⨯+=+，A 错；由1133AO AB AC =+ 得3AB AC AO +=，所以22229()222AO AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅≥+⋅ ，又1cos 5AB AC AB AC A AB AC ⋅==，即5AB AC AB AC =⋅ 所以225292AB AC AB AC ⨯⋅+⋅≤⨯ ，所以3AB AC ⋅≤ ，当且仅当AB AC = 时等号成立，B正确；15cos AB ACAB AC A ⋅⋅=≤ ，当且仅当AB AC = 时等号成立，sin 5A =，11sin 1522ABC S AB AC A =≤⨯= ，C 正确；由22229()2AO AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 得222362365AB AC AB AC AB AC +=-⋅=-，所以22222442cos 2cos 3636152455a b c bc A AB AC AB AC A AB AC =+-=+-⋅==-≥-⨯= ，a ≥AB AC = 时等号成立，所以a 的最小值是D 错．故选：BC ．12【分析】由平行向量的坐标表示可得tan 3θ=，再由两角差的余弦公式和同角三角函数的商数关系求解即可.【详解】因为平面向量()()sin ,cos ,3,1a b θθ== ，若//a b，所以sin 3cos 0θθ-=，所以tan 3θ=，所以πcos cos cos cos sin 4θθθθθ⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222cos cos sin 1tan 1322cos sin 21tan 219255θθθθθθθ⎫+++⎫⎫=====⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：25.13．5【分析】确定22i 1z +-=表示复数z 几何意义，再结合22i z --的几何意义求解作答.【详解】由()1i 222i 2z z +-=--+=，得复数z 对应的点在以()2,2-为圆心，1为半径的圆上，()i 2222i z z --=-+表示复数z 对应的点到()2,2的距离，点()2,2-到点()2,24=，所以22i z --的最大值为415+=.故答案为：514．89【分析】由面积之比得到13RS AB =，不妨设SAB α∠=，ABS β∠=，再由锐角三角函数推导出1cos sin 3αα-=，1sin cos 3ββ-=，将两式相乘结合诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为小正方形与大正方形的面积之比为1:9，所以13RS AB =，设()0RS t t =>，则3AB t =，又BS AR =，不妨设SAB α∠=，ABS β∠=，所以cos AS AB α=，sin BS ABα=，所以1cos sin 3AS BS AS AR RS AB AB AB AB αα--=-===，又cos BS AB β=，sin AS AB β=，所以1sin cos 3AS BS AS AR RS AB AB AB AB ββ--=-===，又π2αβ+=，所以sin cos αβ=，cos sin αβ=，所以()()11cos sin sin cos 33ααββ--=⨯，即1cos sin cos cos sin sin sin cos 9αβαβαβαβ--+=，所以1cos cos cos cos sin sin sin sin 9αααβαβαα--+=，即()11cos 9αβ--=，所以()8cos 9αβ-=.故答案为：8915．(1)247(2)5【分析】（1）根据题意，求得3sin 5β=-和4cos 5β=-，得到3tan 4β=，再由正切的倍角公式，即可求解；（2）由（1），结合πcos 2cos(π)sin 2cos 2πsin cos sin(π)sin 2ββββββββ⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，代入即可求解.【详解】（1）解：由3sin()cos cos()sin sin()sin()5αβααβααβαβ---=--=-=，可得3sin 5β=-，因为α是第三象限角，可得4cos 5β=-，所以sin 3tan cos 4βββ==.则22tan 24tan 21tan 7βββ==-.（2）解：由（1）知3sin 5β=-且4cos 5β=-，可得πcos 2cos(π)sin 2cos 25πsin cos sin(π)sin 2ββββββββ⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭==-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.16．(1)11322x =-+，213i22x =--(2)(3)1-【分析】（1）根据求根公式即可求解复数根.（2）对目标式子变形，代入即可求值.（3）由于2024202421111x xx x x+⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，结合210x x ++=，即可求解.【详解】（1）因为2141130∆=-⨯⨯=-<，则在复数范围内由求根公式可得方程210x x ++=的根为12x =-±，则11322x =-+，213i 22x =-.（2）因为210x x ++=，所以21x x =--，则()2121x x x x x -=-=--，由（1）知12x =-±，故()112i 122x x ⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭.（3）因为210x x ++=，所以21x x +=-，所以20242024202420242220244048111111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=+⎪⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()674134922323111111xx x xx x x x+=+=+==-⋅⋅.17．(1)1122A EFB AD =+(2)4761,2527⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；（2）设,AB a AD b == ，将AM 通过EM EF λ= 用,a b 表示，在根据,,P M D 共线，将AM 通过DM k DP = 用,a b表示，然后利用平面向量基本定理列方程求出,λμ的关系，代入2231λμ++求范围即可.【详解】（1）由已知得()15126 2EF ED DF ED DC AD DA AB BC =+=+=+++ 5111162322AD AD AB AD AB AD ⎛⎫=+-++=+ ⎪⎝⎭；（2）设,AB a AD b ==，则1122EF a b =+ ，,22EM a b AP a λλμ=+= ，11622226AM AE EM b a b a b λλλλ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，由于,,P M D 共线，设DM k DP =，则()()11AM k AP k AD k a k b μ=+-=+- ，所以21126k k λμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，所以353λμλ=-，因为P 是线段AG （不含端点）上的动点，所以310,532λμλ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，所以50,9λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22226147332315525λλλλμ⎛⎫+=-+=-+⎪+⎝⎭，当50,9λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2247613,12527λμ⎡⎫+∈⎪⎢+⎣⎭.18．(3)(,-∞【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用角的变换即可求解；（2）由条件先求角A ，再求出角B 的范围，利用三角恒等变换化简转换sin sin B C +，结合角B 的范围，即而求解最大值；（3）由题意把π26f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为212()f x -，利用换元法及基本不等式求解即可.【详解】（1）函数211π()cos cos 2cos 2sin 2226f x x x x x x x ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭,因为π0,,()43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，所以ππππ2,,sin 266363x x ⎡⎤⎛⎫-∈--= ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，所以πcos 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππcos 2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππcos 2cos sin 2sin6666x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由π()sin 216f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而0πA <<，可得ππ262A -=，即π3A =，所以2π3πsin sin sin sin sin 326B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2π03B <<，所以ππ5π1π,sin 166626B B ⎛⎫<+<<+≤ ⎪⎝⎭,π6B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故当π3B =时，sin sin BC +（3）由（1）可知ππππππ2sin 22sin 4sin 22666662f x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22ππcos 2212sin 212()66x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,令()t f x =，因为ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以πππ2,266x ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，从而1,12t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则π2()206f x af x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭即为：21220t at -+-≤在1,12t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，所以在22112t a t t t +≤=+在1,12t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，又12t t +≥=22t =时等号成立．所以a ≤a 的取值范围为(,-∞.19．(1)4b =(3)50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先利用正弦定理将角化为边，再根据余弦定理，即可求解；（2）首先根据三角形的面积公式求解BAD ∠和CAD ∠的正弦和余弦，再利用两角和的正弦公式求sin BAC ∠，最后代入三角形的面积公式；（3）根据向量的线性关系，以及平面向量基本定理，表示AG EF ⋅，再利用所设变量，转化为函数关系求值域.【详解】（1）由2sin cos sin 15sin c A B a A c C =-，由正弦定理，可得222cos 15ac B a c =-，由余弦定理，可得222222cos 15ac B a c b a c =+-=-，得2216b c =，且1c =，所以216,4b b ==；（2）由AD 为BC 边上中线，可得ABD ACD S S = ，则11sin sin 22AB AD BAD AC AD CAD ⋅∠=⋅∠，由21cos 7BAD ∠=，可得sin BAD ∠=，则sin CAD ∠=cos CAD ∠==则()sin sin BAC BAD CAD ∠=∠+∠，sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠+∠∠，=则1sin 2ABC S bc BAC =∠=△（3）由3sin 2BAC ∠=，可得1cos ,22BAC AB AC ∠=⋅= ，设[],,,0,1AE xAB AF y AC x y ==∈，由AEF △的面积为ABC 面积的16，可得111sin sin 262AE AF BAC AB AC BAC ⋅∠=⨯⋅∠，则16xy =，则1,,16x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设AG AD λ= ，由AD 为中线，可得1122AD AB AC =+ ，则22AG AE AF x y λλ=+ ，由,,E F G 共线可得122x yλλ+=，()()()22222AG EF AB AC xAB y AC xAB y x AB AC y ACλλλ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+-⋅+ ⎪⎝⎭ ()()1831832xy y x y x x yλ-=-=+，由16xy =可得()2221173311621612616x x x AG EF x x x x⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭⋅===-++++ ，由1,16x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2761,76x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则50,2AG EF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由面积公式得16xy =，从而利用向量转化求数量积.。
【压轴题】高一数学下期末第一次模拟试题附答案
【压轴题】高一数学下期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）4．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m6．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）7．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．608．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．609．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3 B ．3(0,]4C ．3D ．3[,1)411．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒二、填空题13．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．16．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v在BC uuu v方向上的投影为________．17．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v的最小值是_____.18．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 19．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．三、解答题21．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．23．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，22243a cb S +-=，其中S 为ABC V 的面积． （1）求sin C ；（2）若23a b -=-，求ABC V 的周长． 24．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程^^^t yb a =+（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.附：回归方程^^^t y b a =+中1122211()(),{().n niii ii i nni i i i x x y y x y nxyb x x x nx a y bx ====---==--=-∑∑∑∑25．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.26．如图，在等腰直角OPQ ∆中，090POQ ∠=，22OP =，点M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若5OM =，求PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.4．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.9．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．10．A解析：A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．11．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．12．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】在ABC ∆中，5a =Q ，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <Q ，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．二、填空题13．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：511-【解析】 【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 剟时，()21x f x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则解析：4 【解析】 【分析】 【详解】由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=16．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu r方向上的投影即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，(C ，则：()2,0AB =uu u r ，(BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r且2AB =u u u r ，BC =u u u v据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-u u u v u u u vu u uv .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：77【解析】 【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-ou u u r u u u r u u u r u u u r线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r()12AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u u r u u u r u u u r222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r 221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN u u u u r 取得最小值17因而min7MN==u u u u r故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.18．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,,33OEO O E O A ∠===o ,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==o,所以外接圆半径2211421133r OA OO O A ==+=+=.19．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确；对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00ff f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为．考点：三视图．三、解答题21．（12）22x (y 1)5++=． 【解析】 【分析】()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程． 【详解】解：()121l //l Q ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=，1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l 的距离2261d 5512-===+． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-， 所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-． 由()1知C e 的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 22．(1) ． (2)．【解析】 【分析】 【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算 23．（1）264；（23263 【解析】 【分析】（1）由正弦可得R 2sin aA=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解； （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得cos 2sin aa A A=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.由2221csin 2a c b a B +-=⋅，由余弦定理可得2cos sin ac B B =，tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，()sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+=⎪⎝⎭. （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，又a b -=a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩又sin C =2c ∴==a b c ∴++=+. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.24．（Ⅰ） 1.2.6ˆ3yt =+，（Ⅱ）10.8千亿元. 【解析】试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出,x y ，211,.nnnt iny i i i i l tnt l t y nty ===-=-∑∑的值，然后代入ˆny ntl bl =求得ˆb，再代入ˆˆa y bt =-求出ˆa 值，从而就可得到回归方程 1.2.6ˆ3y t =+，（Ⅱ）将6t =代入回归方程 1.2.6ˆ3yt =+可预测该地区2015年的人民币储蓄存款． 试题解析： （1）列表计算如下这里111365,3,7.2.55n i i i i n t t y y n n =========∑∑ 又2211555310,120537.212.nnnt iny i i i i l tnt l t y nty ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑从而12 1.2,7.2 1.23 3.610ˆˆˆny nt l b a y bt l ====-=-⨯=. 故所求回归方程为 1.2.6ˆ3yt =+. （2）将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为1.26 3.610.8(ˆ).y=⨯+=千亿元 考点：线性回归方程. 25．（Ⅰ）516.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为516． （Ⅱ） 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为616； 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 26．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=︒时， OMN ∆的面积的最小值为8-【解析】 【分析】 【详解】解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理, 得sin OM OPM ∠=sin OMOPM∠,所以OM=()sin 45sin 45+OP α。
新高一数学下期中第一次模拟试卷(附答案)
考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.
6．B
解析：B
【解析】
由 为偶函数得 ,所以 , ,所以 ,故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
当且仅当 垂直于 时，四边形 的面积最小，求出 后可得最小面积，从而可求 的值.
【详解】
圆 方程为 ，圆心 ，半径为1．
【详解】
由题意得：圆心在直线x=-1上，
又圆心在直线x+y=0上，
∴圆心M的坐标为（-1，1），
又A（-3，0），半径|AM|= ，
则圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=5．
故选A．
【点睛】
这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP与BA1所成的角最大时，三棱锥C﹣PA1D1的体积．
【详解】
如图，当P与A重合时，
异面直线CP与BA1所成的角最大，
∴当异面直线CP与BA1所成的角最大时，
三棱锥C﹣PA1D1的体积：
= = = = = ．
故选:B．
【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
陕西省西安市高一下学期第一次考练数学试题(解析版)
一、单选题1．下列说法正确的是（ ）①有向线段三要素是始点、方向、长度； ②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④在平行四边形中，． ABCD AB DC =A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【答案】D【分析】根据有向线段的定义、向量的定义，同一向量的定义逐一判断即可. 【详解】由有向线段、向量、同一向量的定义可以判断①②③正确， 由平行四边形的性质可知，显然④正确， ,//AB DC AB DC =故选：D2．在平行四边形ABCD 中，A (1，2)，B (3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）AD AC BDA ．(－2，4)B ．(4，6)C ．(－6，－2)D ．(－1，9)【答案】A【分析】利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.【详解】在平行四边形ABCD 中，因为A (1，2)，B (3，5)，所以.又，所以()2,3AB =()1,2AD =- ，，所以. ()1,5AC AB AD =+= ()3,1BD AD AB =-=-- ()2,4AC BD +=-故选:A.3．已知，是平面内的一组基底，，，，若A ，B ，C1e 2e 1232OA e e =+ 124OB e ke =+ 1254OC e e -=三点共线，则实数k 的值为（ ） A ． B ．0C ．1D ．21-【答案】A【分析】A ，B ，C 三点共线可转化为，结合向量的运算与向量相等即可求解AB AC λ=【详解】因为，，，1232OA e e =+ 124OB e ke =+ 1254OC e e -=所以，()()()1212124322AB OB OA e ke e e e k e =-=-+++=- ，()()121212543622AC OC OA e e e e e e -=-=-+=- 又因为A ，B ，C 三点共线，所以，即，AB AC λ=()()1212262e k e e e λ-=+- 所以，解得，2162k λλ=⎧⎨-=-⎩11,2k λ=-=故选：A4．已知向量，夹角的余弦值为，且，，则（ ）a b14-4a = 1= b ()()2a b b a -⋅-= A ．－36 B ．－12 C ．6 D ．36【答案】A【分析】展开后直接利用向量数量积公式计算可得答案.【详解】．()()222222232-⋅-=⋅--+⋅=⋅-- a b b a a b a b a b a b b a 134********⎛⎫=⨯⨯⨯---⨯⎪⎝=- ⎭故选：A ．5．在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ）ABC ∆G ABC ∆M AC 3MC AM =GM = A ．B ．11312AB AC +11312AB AC --C ．D ．17312AB AC +17312AB AC --【答案】B【解析】首先根据为的重心得到，结合以及向量的线性运G ABC ∆()13AG AB AC =+ 3MC AM =算，求得的表达式.GM【详解】因为为的重心，所以.G ABC ∆()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+又，所以，所以3MC AM = 14AM AC = 11111334312GM GA AM AB AC AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-- ⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查三角形重心的向量表示，属于基础题.6．已知点P 是所在平面内一点，若，则与的面积之比是ABC A 3255AP AB AC =+ABP A ACP △（ ） A ． B ． C ． D ．3:12:31:31:2【答案】B【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P 的位置，再去求与的面积之比 ABP A ACP △【详解】由()()323232555555AP AB AC AP PB AP PC AP PB PC =+=+++=++可得，即点P 在线段BC 上，且32PC BP = 32PC BP =则与的面积之比等于 ABP A ACP △:BP PC =2:3故选：B7．三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（ ）．35A ．钝角三角形； B ．锐角三角形；C ．直角三角形；D ．不能确定．【答案】B【分析】由题意，利用余弦定理求得三边，再求得三角的余弦值判断.【详解】解：设三角形两边a ，b 之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，35则，，， 2a b -=3cos 5C =4sin 5C =由，得， 1sin 142ab C =35ab =解得，7,5a b ==由余弦定理得， 2222cos 32c a b ab C =+-=则c =所以，222222cos 0,cos 022c a b b c a B A ac bc +-+-==>==>所以三角形是锐角三角形， 故选：B8．如图，在中，，，与交于，，则为ABC A 2AD DB =3AE EC =CD BE F AF xAB y AC =+(),x y （ ）A ．B ．C ．D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由题意，利用三点共线和三点共线分别表示，根据平面向量基本定理,,B F E ,,C F D AF求解即可【详解】∵，，2AD DB =3AE EC =∴，34AF AB BF AB BE AB AC AB λλ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭()314AB AC λλ=-+ 同理，向量还可以表示为 AF，23AF AC CF AC CD AC AB AC μμ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭()213AB AC μμ=+- 所以 解得，所以， 21,331,4λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩23λ=1132AF AB AC =+ 所以，，所以为，13x =12y =(),x y 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A ．二、多选题9．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） a b||||1a b == |2|b a -= A ． B． C ．D ．向量，夹角为a b ⊥||2a b +=||a b -=a b60︒【答案】AC【分析】先由题给条件求得，从而得到选项A 判断正确，选项D 判断错误；求得的0a b ⋅=||a b +值判断选项B ；求得的值判断选项C.||a b -【详解】由，可得，|2|b a -=22445b a a b +-⋅= 又，则，||||1a b == 1445a b +-⋅=即，则.则选项A 判断正确；选项D 判断错误；0a b ⋅=a b ⊥B 判断错误； ||a b+== ，则选项C 判断正确.||a b -== 故选：AC10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是ABC A ,,A B C ,,a b c 60,4B b =︒=（ ） A ．若，则B ．若，则该三角形有两解 π4A=a =92a =C ．周长有最大值12D ．面积有最小值ABC A ABC A 【答案】ABC【分析】对于ABC ，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D ，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可. 164sin sin sin 23ABC S ac B A C ==A 【详解】对于A ，，，由正弦定理得60,4B b =︒=π4A =sin sin b a B A =所以A 正确；sin sin b Aa B===对于B ，由正弦定理得得，所以，sin sin b a B A=sin sin 1a B A b ====<因为有两个解， ,a b A B A >⇒>所以该三角形有两解，故B 正确； 对于C ，由，得2222cos b a c ac B =+-，2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C 8a c +≤a c =对；对于D 得, sinsin sin b a cB AC ===,a A c C ==故 164sin sin sin 23ABC S ac B A C ==Asin(120)A A ︒=-1sin )2A A A =+12(1cos 2)4A A ⎤=+-⎥⎦11cos(260)22A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1cos(2120)2A ︒⎤=-+⎥⎦由于，1(0,120),2120(120,120),cos(2120),12A A A ︒︒︒︒︒︒⎛⎤∈---∈- ⎝∈⎥⎦无最小值，所以面积无最小值，有最大值为D 错误. ABC A 故选：ABC11．如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．12EF AB = 34AF AB AD =-+C ．D ．34BE AB AD =+ ()()22916BE AF AD AB ⋅=- 【答案】AD【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算与数量积运算，对选项逐一判断即可. 【详解】对选项A ：，正确；1122EF DC AB ==对选项B ：，错误； 3344AF AD DF AD DC AB AD =+=+=+ 对选项C ：，错误；3344BE BC CE AD CD AB AD =+=+=-+对选项D ：，正确. ()()223394416BE AF AB AD AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：AD12．已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ）()cos ,sin m αα= ()cos ,sin n ββ= ()1,1m n += A ． B ．221m n += ()cos 0αβ-=C ．D ．的值为()sin 1αβ+=-m n -【答案】BD【分析】根据向量的模长的计算公式可判断A ，根据单位圆以及向量的加法平行四边形法则即可判断BC ，由模长公式以及垂直关系即可判断D.【详解】，，即有，故选项A 错误；21m = 21n = 222m n += 不妨设，如图，设点、、的坐标为，，，即可得点，αβ<A B C ()cos ,sin αα()cos ,sin ββ()1,1A 在单位圆上.B 221x y +=根据向量加法的平行四边形法则，四边形为正方形，据此不妨设，，从而可得：OACB 0α=π2β=，，即可得选项B 成立，选项C 错误. ()cos 0αβ-=()sin 1αβ+=由可得：，可得：，，则可()1,1m n += ()2222m n m n +=+⋅= 20m n ⋅=22222m n m n m n -=+-⋅=得：D 成立.m 故选：BD三、填空题13．若向量与相等，其中，则=_________. 2(3,34)a x x x =+--AB (1,2),(3,2)A B x 【答案】-1【详解】试题分析：由可得，又，所以=0且=2，解(1,2),(3,2)A B ()2,0AB =u u u r a AB =234--x x 3x +得.=1x -考点:向量的端点坐标与向量坐标间的关系，相等向量坐标间关系.14．已知向量满足且，则在方向上的投影向量为,a b||3,||2a b == ()()25a b a b -⋅+= a b __________.【答案】b -【分析】先根据数量积的运算律求，进而求在方向上的投影向量.a b ⋅ a b【详解】∵，且，()()2222a b a b a a b b -⋅+=-⋅-r r r r r r r r ||3,||2a b ==则，解得，223225a b -⋅-⨯=r r4a b ⋅=- 故在方向上的投影向量为. a b()24cos ,4b a b b a b a a ba b b b b a bb b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r r r r r r r 故答案为：.b -15．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交或其延长线ABC ∆O BC 2OC OB =O ,AB AC 于不同的两点，且，若的最小值为，则正数的值为________.,E F ,AB mAE AC nAF == 1t m n+83t 【答案】2【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则233m n AO AE AF =+ 2133m n+=，展开后利用基本不等式可得的最小值为12133t m n t m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1t m n +233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为列方程求解即可.1t m n+83【详解】因为点是的三等分点，O BC ||2||OC OB = 则， 1112123333333m n AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC AE AF =+=+=+-=+=+又由点三点共线，则， ,,E O F 2133m n+=12122333333t m n t t mt n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223333t t ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…当且仅当时，等号成立， 222tm n =即的最小值为,则有, 1t m n +233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭28333t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭解可得或(舍），故，故答案为2.2t =18-2t =【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号≥≤能否同时成立）.16．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在M N ､M N ､B C ､同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及A A M 60,MAC N ∠= 30NAB ∠=，若米，等于__________米.45MAN ∠= 100AC =AB =MN【答案】【分析】在中根据求出，在中根据求出，Rt ACM △cos 60AC AM ︒=AMR t ABN △cos30ABAN ︒=AN 在中由余弦定理得：求解. AMN A 2222cos 45MN AM AN AN AM ︒=+-⋅【详解】在中，，Rt ACM △60,MAC ∠= 100AC =所以， 1002001cos 602AC AM ︒===在中，，，R t ABN △30NAB ∠=AB =所以cos30AB AN ︒===在中，，，AMN A 45MAN ∠=200AM=AN =由余弦定理得：222222cos 4520010022200MN AM AN AN AM ︒=+-⋅=+⨯-⨯⨯22221004100210041002=⨯+⨯-⨯=⨯所以米). MN =故答案为：.四、解答题 17．计算：(1)； ()()()2310353a b b a a +--+- (2). ()()()()2353,,R a b a b λμλμλμ+--+--∈【答案】(1)1411515a b +(2) ()(578)14a b λμλμ+++【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算. （2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【详解】（1）原式=2233110335533a b b a a +-++- 231231()(0)353353a a a b b =+-+-+ . 1411515a b =+ （2）原式=()()()()2353a b a b λμλμ+--+--()()()()235335a b a b λμλμλμλμ=+-+++++()()2235915a b λμλμλμλμ=+++++--.57(81)()4a b λμλμ+++=18．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且. ABC A ()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+(1)求角A 的大小；(2)若，且的周长.a =ABC A ABC A 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+22()3b c a bc +=+余弦定理求得，即可求解； 1cos 2A =（2）由，结合余弦定理，求得. ABC A 4bc =b c +=【详解】（1）由题意及正弦定理知，，22()3b c a bc +=+222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，.0πA << π3A ∴=（2）， a = 226b c bc ∴+-=①又 1=sin 2S bc A 4bc ∴=②由①，②可得 b c +=所以的周长为ABC A 19．已知，，.1a =12a b ⋅= 1()()2a b a b =-⋅+ (1)求 与 的夹角 ；a bθ(2)求 与 的夹角的余弦值． a b-a b + α【答案】(1)；4π【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角； 1()()2a b a b =-⋅+ b （2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；a b -a b + 【详解】（1）由已知，得， 1()()2a b a b =-⋅+2212a b -= 因为，所以1a = b =r 又，12a b ⋅=所以cos ， θa b a b ⋅=== 因为，所以. []0θπ∈，4πθ=（2）因为，所以 ()222122a b a a b b -=-⋅+= a -因为. ()222522a b a a b b +=+⋅+=所以. ()()cos a b a ba b a b α⋅+===+ --20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径、两点间的距离，先在珊瑚群岛A B 上取两点、，测得米，，，.C D 40CD =135ADB ∠= 15BDC DCA∠=∠= 120ACB∠=（1）求，两点的距离；B D （2）求、两点的距离.A B 【答案】（1）2）.【分析】（1）根据已知条件可求出、，在中由正弦定理即可求； DCB ∠DBC ∠BCD △BD （2）根据已知条件求出、，在中由余弦定理即可求解.ADC ∠DAC ∠ABD △【详解】（1）由题意可知，，.15BDC DCA ∠=∠= 120ACB ∠= 40CD =所以，，135DCB ∠= 30DBC ∠= 在中，由正弦定理，得. BCD △sin sin CD BD DBC DCB=∠∠所以. sin 40sin 135sin sin 30CD DCB BD DBC ∠∠===∠∠所以，两点的距离为.B D （2）在中，，，ACD A 135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 所以，，150ADC ∠= 15DAC ∠= 所以米.40AD DC ==在中，由余弦定理得：ABD △2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，(2240240⎛=+-⨯⨯ ⎝8000=所以AB =所以、两点的距离为.A B 21．如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量.(1,1),(5,4),(2,5)A B C a AB （1）求单位向量的坐标；a（2）求向量在向量上的投影向量的模；AC a （3）求的面积. ABC A ABC S A【答案】（1）或；（2）；（3） 34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 135132【分析】（1）设出向量坐标，根据模长为1，以及与向量垂直，列方程组求解即可；AB （2）计算出向量的坐标，再根据（1）中所求，利用投影计算公式即可求得；AC （3）由（2）可知三角形的高，再利用向量的坐标求得底边长，即可求面积. AB 【详解】（1）设，根据题意可得 (),a x y = ()4,3,5,1AB AB a === 又因为与垂直，即可得AB a 0AB a ⋅=故可得： 224301x y x y +=⎧⎨+=⎩解得，或 3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以或. a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）设向量与单位向量的夹角为，在上的投影向量为，AC a θAC a h 则； AC a h AC cos AC a aθ⋅===⋅ 又因为，故当时，； ()1,4AC = a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭341314555h ⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭当时，. a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭h 341314555⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭所以向量在向量上的投影向量的模为. AC a 135（3）由（1）可知：，由（2）可知， 5AB = 135h = 故. 12ABC S AB h =⨯A 113135252=⨯⨯=【点睛】本题综合考查向量的坐标运算，涉及模长的求解，投影的求解，属综合性基础题. 22．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，ABC A A B C a b c 2b ac =D AC .sin sin BD ABC a C ∠=（1）证明：；BD b =（2）若，求.2AD DC =cos ABC ∠【答案】（1）证明见解析；（2）. 7cos 12ABC ∠=【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. ac BD b =（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的a c cos ABC ∠值.【详解】（1）设的外接圆半径为R ，由正弦定理，ABC A 得， sin sin ,22b c R ABC C R==∠因为，所以，即． sin sin BD ABC a C ∠=22b c BD a R R⋅=⋅BD b ac ⋅=又因为，所以． 2b ac =BD b =（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，① 2AD DC =ABC A 222cos 2a b c C ab+-=在中，．② BCD △222()3cos 23b a b b a C +-=⋅由①②得，整理得． 2222223()3b a bc a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦22211203a b c -+=又因为，所以，解得或， 2b ac =2261130a ac c -+=3c a =32c a =当时，（舍去）． 22,33c c a b ac ===3c a b c +=+<当时，． 2233,22c c a b ac ===22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠所以． 7cos 12ABC ∠=[方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 2AD DC =23ABD ABC S S =△△即，21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠而，即，2b ac =sin sin ADB ABC ∠=∠故有，从而．ADB ABC ∠=∠ABD C ∠=∠由，即，即，即， 2b ac =b c a b =CA BA CB BD=ACB ABD A A ∽故，即， AD AB AB AC =23b c c b=又，所以， 2b ac =23c a =则． 2227cos 212c a b ABC ac +-==∠[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得． BD b AC ==2AD DC =21,33AD b CD b ==在中，由正弦定理得． ADB A sin sin AD BD ABD A=∠又，所以，化简得． ABD C ∠=∠s 3sin n 2i C b Ab =2sin sin 3C A =在中，由正弦定理知，又由，所以． ABC A 23c a =2b ac =2223b a =在中，由余弦定理，得． ABC A 222222242793cos 221223a a a a cb ABC ac a +--⨯∠+===故． 7cos 12ABC ∠=[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E ，则．DE AB ∥BC DEC ABC △∽△由，得． 2AD DC =2,,333c a a DE EC BE ===在中，． BED A 2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅在中． ABC A 222cos 2a a BC c A b c+-=∠因为，cos cos ABC BED ∠=-∠所以， 2222222()()3322233a c b a c b a c ac +-+-=-⋅⋅整理得．22261130a b c -+=又因为，所以，2b ac =2261130a ac c -+=即或． 3c a =32a c =下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．2AD DC =2AD DC =u u u r u u u r 以向量为基底，有． ,BA BC 2133BD BC BA =+ 所以， 222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ 即， 222441cos 999b ac c ABC a ∠=++又因为，所以．③2b ac =22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++由余弦定理得，2222cos b a c ac ABC =+-∠所以④222cos ac a c ac ABC =+-∠联立③④，得．2261130a ac c -+=所以或． 32a c =13a c =下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，过点D 垂直于的直线为y 轴，AC AC 长为单位长度建立直角坐标系，DC 如图所示，则．()()()0,0,2,0,1,0D A C -由（1）知，，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．3BD b AC ===设，则．⑤()(),33B x y x -<<229x y +=由知，，2b ac =2BA BC AC ⋅=．⑥ 9=联立⑤⑥解得或（舍去），， 74x =-732x =≥29516y =代入⑥式得， ||||3a BC c BA b =====由余弦定理得． 2227cos 212a cb ABC ac +-∠==【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.。
山东省实验中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段测试(3月)数学试题
3 3
,
C．
2
3 3
,
4 3
D．
2
3 3
,
10 9
3
二、多选题
9．在
ABC
中，CD
2
CA,
P
为线段
BD
上一点，且有
AP
AB
AC,
,
0,
，
3
则下列命题正确的是（ ）
A． 1
B． 3 1
C． 的最大值为 1 12
D．
1
1
的最小值为
4
2
3
10．下列说法正确的是（ ）
而
2 AB
2 AO OB
2 OA
2 OB
2 OA OB，同理有
2 BC
2 BO OC
OC
2
OB
2
2OC OB
，
2 CA
2 CO OA
2 OA
2 OC
2
OA OC，
又因为 OA OB OB OC OC OA ，
所以
2 AB
BC
2
2 CA
，即
AB
BC
CA
，
也就是说 ABC 是等边三角形，故 C 正确；
个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托 里拆利给出了解答，当 ABC 的三个内角均小于120 时，使得 AOB BOC COA 120 的点 O 即为费马点；当 ABC 有一个内角大于或等于 120 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 ABC 的内角
B
．
13．在 ABC 中， A 60 ， b 1，其面积为
3
河南省信阳市2022-2023学年高一下学期阶段性测试(开学考)数学试题(解析版)
所以 的取值范围为 ；
小问2详解】
由（1）知， 且 ， 为减函数，
要使函数 在 上为增函数，
根据复合函数的单调性可知， ，且
则 ，解得 ，
所以存在 使得函数 在 上为增函数，并且在此区间的最小值为 .
20.已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若当 时，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
2022—2023学年（下）高一年级阶段性测试（开学考）
数学（答案在最后）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
又 ， ， ， ，
则 ．
故答案为： .
16.已知函数 ，若 有三个零点，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算出 的零点，再根据 零点的个数求得 的值.
【详解】依题意 ， 的开口向下，对称轴为 ， ，
由 解得 ， ，
由于 有三个零点，
所以 ，解得 （负根舍去）.
故答案为：
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案.
【详解】当 时， 不能推出 ，
当 时， 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
高一数学下学期第一次阶段性考试试题word版本
天津市滨海新区大港油田实验中学2017-2018学年高一数学下学期第一次阶段性考试试题选择题： (每题5分)1.．已知△ABC的三边满足，则△ABC的内角C为（）A. B. C. D.2．下列叙述中错误的是 ( )A.若且，则；B.若且，则。
C.若直线，则直线与能够确定一个平面；D.三点确定一个平面；3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A. B. C. D.4．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为l的正方形，侧棱PA=1，PB=PD=，则它的五个面中，互相垂直的面共有( )A.3对B.4对C.5对D.6对5．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 ( )A. B. C. D.6．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余棱长都为1，则二面角A-CD-B的平面角的余弦值为( )A． B. C．D．7. 已知关于x的方程x2－x cos A·cos B＋2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是 ( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形8.给出下列说法：①直线平行平面内的无数条直线，则.②若直线在平面外，则.③若直线，，则.④若直线，，则直线平行于平面内的无数条直线.⑤若，，，则.⑥若，，，则.其中说法正确的个数是（）A、2B、3C、4D、5二、填空题：（每题5分）9.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为l的等腰梯形，则该平面图形的面积等于_________．10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的最大值是__________.11.一个多面体的三视图如图，则此多面体的全面积为__________________.11题 12题 13题12. 如图所示：若△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为__________。
高一数学下学期第一次阶段性测试试题含解析 试题
第三中学2021-2021学年高一数学下学期第一次阶段性测试试题〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.中，假设，，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：在中，由正弦定理可知，∴.考点：正弦定理的应用.中，以下结论错误的选项是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项.【详解】画出图像如以下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法那么可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.应选C.【点睛】本小题主要考察向量加法运算，考察平行四边形的几何性质，属于根底题.中，根据以下条件解三角形，其中有两个解的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判断方法，判断A,B两个选项有一个解.根据判断C选项有一个解.根据判断D选项有两个解.【详解】根据“有两个角两角相等，且有一边相等的两个三角形全等〞可知A选项有一个解.根据“两边对应相等，且这两边的夹角相等，那么这两个三角形全等〞可知B选项有一个解.由于为锐角，且，故C选项有一个解.对于D选项，由于，所以D 选项有两个解.应选B.【点睛】本小题主要考察解三角形过程中，三角形解得个数的判断，属于中档题.是两个不一共线的向量，假设那么〔〕A. 三点一共线 B. 三点一共线C. 三点一共线D. 三点一共线【答案】A【解析】因为+==2，故三点一共线.故答案为：A.与的夹角为120°，那么〔〕A. 5B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】即解得〔舍去〕应选B6.的三内角所对边的长分别为设向量,,假设,那么角的大小为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为两向量平行，所以等价于，整理为，所以，所以角考点：1．向量平行的坐标表示；2．余弦定理．7.．与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，得，，，根据向量数量积的计算公式，得，解得，又与不一共线，那么，所以正确答案为A,中，点在边上，且，，那么的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，利用向量减法的运算，表示出，由此求得的值，进而求得的值. 【详解】依题意，故，故.应【点睛】本小题主要考察向量减法运算，考察平面向量根本定理，属于根底题.中，，那么的形状是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和二倍角公式，求得的值，由此判断角的大小，进而判断出角的大小，从而判断出三角形的形状.【详解】由正弦定理得，由于，故,，由于，故，故，所以三角形为钝角三角形.应选C.【点睛】本小题主要考察正弦定理，考察二倍角公式，考察三角形形状的判断，属于中档题.10.是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足，那么的最大A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，设出的坐标，代入，利用模的坐标表示出，进而求得的最大值.【详解】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，如以下图所示，，设，那么有得，化简得，故向量对应的点在以为圆心，半径为的圆上.由于圆过原点，故圆上的点到原点的间隔的最大值为直径，也即的最大值为.应选A.【点睛】本小题主要考察平面向量的坐标运算，考察数形结合的数学思想方法，考察运算求解才能以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题.中,,分别为所对边,那么为A. B. 1 C. 或者1 D. 无法确【答案】B【解析】【分析】将通分后，利用余弦定理化简，求得化简的结果.【详解】由余弦定理得.由通分得，应选B.【点睛】本小题主要考察余弦定理的运用，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，那么点为三角形的A. 外心B. 垂心C. 重心D. 内心【答案】D【解析】【分析】在上分别取单位向量，记，那么平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，那么可证明三点一共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.【详解】在，上分别取点使得，那么，作菱形，那么由所以为的平分线.因为，所以，所以，所以三点一共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，应选D.【点睛】本小题主要考察平面向量的加法运算，考察三点一共线的证明，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.，，假设，那么_____________．【答案】【解析】【分析】先求得，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，.【点睛】本小题主要考察平面向量坐标的加法运算，考察两个向量垂直的坐标表示，属于根底题.所在的平面内有一点，假设，那么的面积与的面积之比是_____________．【答案】【解析】【分析】利用向量加法和减法运算，证得是线段上，靠近点的四等分点，由此求得两个三角形面积的比值.【详解】依题意，所以，即，所以是线段上，靠近点的四等分点，故两个三角形面积的比等于.【点睛】本小题主要考察平面向量加法和减法的运算，考察平面向量方向相反的表示，属于根底题.中,内角所对应的边分别为，假设，，那么的面积为_________.【答案】【解析】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进展求解即可.详解：因为，，所以由余弦定理得：，即，因此的面积为，故答案为.点睛：此题主要考察余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕；〔2〕，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.中，内角，，的对边分别为，，，为边上的高，给出以下结论：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．其中正确的序号是__________．【答案】〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【解析】【分析】利用向量加法、减法和数量积的运算，结合余弦定理，对四个结论逐一分析，由此得出正确的序号.【详解】由于，故〔1〕正确.由于，故〔2〕正确.由于，且，故〔3〕正确.由于，故〔4〕正确.综上所述，正确的序号是〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕.【点睛】本小题主要考察平面向量加法、减法运算，考察平面向量数量积运算，考察两个向量垂直的表示，考察余弦定理，属于中档题.三、解答题：本大题一一共4小题，一共40分.解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤.中，内角的对边分别为，，，．〔1〕求的值；〔2〕假设，,求的面积．【答案】〔1〕2；〔2〕【解析】【分析】〔1〕通过将条件转化为，然后利用三角变换可得结果；〔2〕由〔1〕得，由余弦定理得，可解得，，从而解得三角形的面积。
新高一数学下期中第一次模拟试卷(带答案)
新高一数学下期中第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=2．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+= B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=4．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π6．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．327．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256πB ．8πC ．2516πD ．254π8．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A．3 B．22 C ．23 D ．259．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．10．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 12．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________14．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．15．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________17．函数2291041y x x x +-+_________.18．若直线:20l kx y --=与曲线()2111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.19．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.20．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．三、解答题21．如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点.（1）求证：//OM 平面ABD ；（2）若2AB BC ==，求三棱锥M ABD -的体积.22．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u v u u u v＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.23．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥； （2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.25．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.26．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 所以22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．4．B解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B5．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ， 则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得5R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意知，ABC V 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S V 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =V ，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO V 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积．8．D解析：D 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为 10， 过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（）， 则|AB |222(10)(5)25=-=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．9．C解析：C 【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以,所以,,,,底面边长为，所以最长的棱长为，故选C.考点：简单几何体的三视图．10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.11．B解析：B 【解析】 【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AFFA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．12．D解析：D【解析】【分析】A中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A中，若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A错误．对于B中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B错误．对于C中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C错误．对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确．故选D．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别 解析：21π【解析】 【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利用勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表面积． 【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上， ∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则222323213234R ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== . 故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．14．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围． 【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤， 则PA a k ≤-或PB a k ≥-， 即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．15．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的解析：2271416x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭(2)y < 【解析】 【分析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解. 【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即()222421a x y ++-=， 联立消去a 并由图可知2y <，可得()2271()2416x y y +-=<.故答案为：()2271()2416x y y +-=< 【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.16．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线 解析：5【解析】 【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交， 其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==，,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠ 232125=+⨯⨯⨯=，5AN ∴=. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.17．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】 解析：74【解析】 【分析】将2291041y x x x =++-+变形为()2222354y x x =++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题. 18．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则解析：4 ,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C为圆()()22111x y-+-=的右半圆，作出直线l与曲线C的图象，可知直线l是过点()0,2-且斜率为k的直线，求出当直线l与曲线C相切时k的值，利用数形结合思想可得出当直线l与曲线C有两个公共点时实数k的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx=-，则直线l是过点()0,2P-且斜率为k的直线，对于曲线()2:111C y x--=-，则101x x-≥⇒≥，曲线C的方程两边平方并整理得()()22111x y-+-=，则曲线C为圆()()22111x y-+-=的右半圆，如下图所示：当直线l与曲线C相切时，0k>()222123111k kkk---==++-，解得43k=，当直线l过点()1,0A时，则有20k-=，解得2k=.结合图象可知，当4,23k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l与曲线C有两个交点.故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．20．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析： 【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方可得CD 的长． 【详解】Q 二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==u u u r．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（23 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直推证出OM ⊥平面BCD ，再由AB ⊥平面BCD ，即可得OM //AB ，由线线平行，即可推证线面平行；（2）根据（1）中所求，结合M ABD O ABD A OBD V V V ---==，即可求解三棱锥A OBD -的体积即为所求. 【详解】（1）∵CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，点O 为CD 的中点，∴OM CD ⊥．∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD I 平面BCD CD =，OM ⊂平面CMD ， ∴OM ⊥平面BCD ．∵AB ⊥平面BCD ，∴OM //AB ． ∵AB Ì平面ABD ，OM ⊄平面ABD ，∴OM //平面ABD ．（2）由（１）知OM //平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． ∵2AB BC ==，BCD V 是等边三角形，点O 为CD 的中点∴11224BOD BCD S S ∆∆==⋅⋅2482BC =⋅=∴M ABD O ABD A OBD V V V ---==1123323BOD S AB ∆=⋅=⋅⋅=【点睛】本题考查的是空间的直线与平面平行判定定理的运用及点到面的距离的计算问题．第一问的解答时，务必要依据线面平行的判定定理中的条件要求，找出面内的线，面外的线，线线平行等三个缺一不可的条件；第二问三棱锥的体积的计算时，要运用等积转化法将问题进行转化，再运用三棱锥的体积公式进行计算． 22．（1）44(33-；（2）2． 【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在， 设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．1=，解得：12k k ==．k <<A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=，可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k ++==++，∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k=1， 故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 23．（1）证明见解析；（2）15. 【解析】 【分析】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论； （2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ∆，即可求出结论. 【详解】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =，,OC OA OC ⊥⊂平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，OC ⊂Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角， ,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，DE ∴⊥平面BOC ，CE ⊂平面,BOC DE CE ∴⊥，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，2223,2,3,()52OB OA OB OC DE CE OC ∴===∴==+=， 15tan CE CDE DE ∴∠==， 所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为15.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.24．（1）证明见详解（2）存在，95PM = 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可证AD PH ⊥，再由BD PH ⊥即可求证；（2）要证HM ⊥平面PAD ，即证MH PD ⊥，可作HM PD ⊥，连接AM ，经几何关系验证，恰好满足直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525，求得95PM =；【详解】（1）AD ⊥平面PBD ，PH 在平面PBD 上，所以，AD PH ⊥，又BD PH ⊥，AD 交BD 于D ，所以，PH ⊥平面ABCD ，所以，PH CD ⊥ （2）由题可知，6BD =，又13BH BD =，所以4HD =，132PH BD ==，5PD =，要证HM ⊥平面PAD ，由题设可知AD ⊥平面PBD ，则AD HM ⊥，即证HM PD ⊥， 作HM PD ⊥，在PHD ∆中，由等面积法可知125PH HD HM PD ⋅==， 2245HA HD AD =+=,直线HA 与平面PAD 所成角正弦值即为 12355sin 45HAM ∠==，此时3393555PH PM ==⨯= 【点睛】本题考查线面垂直的证明，由线面垂直和线面角反求满足条件的点具体位置，逻辑推理与数学计算能力，属于中档题25．（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件. 【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值.试题解析：解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值. 26．（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD 的方程，只需确定C ，D 坐标即可：34(,)55C -，(5,0)D ，直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD 的方程为750x y +-=． （2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从而()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分 又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -， 3分由4BD =，得(5,0)D ， 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=． 6分（2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==-所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分考点：直线与圆方程。
2021-2022年高一数学下学期第一次阶段性考试试题
2021-2022年高一数学下学期第一次阶段性考试试题一、选择题：（本大题共有12题，每题5分，共60分）1.数列1,3,7,15,…的通项公式等于（）A．B．C．D．2. 数列1，，……中，是这个数列的（）A. 不在此数列中B. 第13项C.第14项D. 第15项3.已知等差数列中，，则首项和公差的值分别为（）A．１，-3 B． -2， -3 C． 2，3 D．-3，14．若是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有（）①，②，③，④，⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．中，若，则的面积为（）A．B． C．1 D．6.在△ABC中, ,则此三角形解的情况是（）A. 一解B.两解C.一解或两解D.无解7. 在△ABC中，分别为角所对的边，若，，则的值为（）A． B． C．1 D．8. 设的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若，则的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定9．已知数列的前项和(是实数），下列结论正确的是（ ） A ．为任意实数，均是等比数列 B ．当且仅当时，是等比数列 C ．当且仅当时，是等比数列 D ．当且仅当时，是等比数列 10. 设等比数列中,前n 项和为,已知,则( )A.B. C. D.11. 已知数列的前n 项和,第k 项满足,则k 等于( )A.9B.8C.7D.612.设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为（ ）A.13B.12C.11D. 1013. 已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2、3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( )A. 32B. 34C.32或 3D.32或3414. 设数列的前n 项和为，令，称为数列 的“理想数”，已知数列的“理想数”为2004，那么数列8，的“理想数”为( )A ．xxB ．xxC ．xxD ．xx 附加题15. 已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈,若称使乘积为整数的数为劣数,则在区间内所有的劣数的和为 （ ）A. 2026B. 2046C. 1024D. 10221 6. 已知数列满足：，．若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题17. 已知等差数列的公差为3，若，，成等比数列，则=18. 中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为19. 已知数列的前项和，则其通项公式为20．在△ABC中，tanA是以－1为第三项，7为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，3为第六项的等比数列的公比，则________.21. 一船以每小时的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为__ __.22. 在中，角的对边分别是，若成等差数列,的面积为，则____.三、解答题23．（12分）数列中,,(c是常数,n=1,2,3,……),且成公比不为1的等比数列.(1)求c的值; (2)求的通项公式.24. （12分）在中，已知，.，求；25. （12分）已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和．26. (14分)设等差数列{ }的前n 项和为，且，． （1）求数列{}的通项公式； （2）设数列{ }满足*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，求{}的前n 项和T n ； （3）是否存在实数K ，使得T n 恒成立.若有，求出K 的最大值，若没有，说明理由.答案1-5 CDBDB 6-10 AAABA 11-16 BBDAAD8 . A 解析：由正弦定理可知，所以三角形为直角三角形，A 正确.11. B 解析：a n =即a n =因为n=1时也适合a n =2n-10,所以a n =2n-10.因为5<a k <8,所以5<2k-10<8,所以<k<9.又因为k ∈N *,所以k=8.. 12. B 解析:因为，所以，又 ，所以，则，所以n=12，选B.13. D[解析] 依题意得AB ＝，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理，得sinC AB＝sinA BC，sinC 3＝sin30°1，即sin C ＝23.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为21AB ·BC ＝23；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为21AB ·BC ·sin B ＝21××1×sin30°＝43.综上所述，选D.14. A 解析：由已知得，16. D 解析：由得，所以，则，则 若数列是单调递增数列，则 ，整理得，则排除A,B,C ，所以选D.17. -9 18. 2 19.20．试题分析：根据题意可知对应的等差数列的公差为，对应的等比数列的公比，所以有，故21. 30 22.23.……… (12)将这n-1个式子相加得24.解：由正弦定理，有，∴可设，.由已知条件得，，故.∴，即，∴或.∵当时，，故舍去，∴，∴，，.25．（1）; （2）.试题解析：（1）设数列的公差为,由和，，成等比数列,得,解得或…………2分当时, ,与成等比数列矛盾,故舍去. ………4分所以,即数列的通项公式………… 6分（2）…………… 8分…………… 12分26. 试题解析：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得（2）由已知，得：当n=1时，，当n≥2时，，显然，n=1时符合．∴，n∈N*，由（1）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴，n∈N*．又，∴，两式相减得：所以．（3），所以单调递增，所以，所以.jE27146 6A0A 樊39395 99E3 駣21619 5473 味28848 70B0 炰>24914 6152 慒 5 32335 7E4F 繏 =。
2021-2022年高一数学下学期第一次阶段测试试题
2021-2022年高一数学下学期第一次阶段测试试题考试时间：120分钟；总分150分；一、选择题（每小题5分，且只有一个正确选项，共50分）。
1、以下说法正确的是（）A、零向量没有方向B、单位向量都相等C、共线向量又叫平行向量D、任何向量的模都是正实数2、化简： +﹣=（）A． B． C．2 D．﹣23、﹣456°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α=k360°+456°，k∈Z} B．{α|α=k360°+264°，k∈Z} C．{α|α=k360°+96°，k∈Z} D．{α|α=k360°﹣264°，k∈Z} 4、已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（）A． B． C． D．5、已知，，那么的值是（）A． B． C． D．6、的值（）A．小于 B．大于 C．等于 D．不存在7、已知函数与（），它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值为（）A． B． C． D．8、将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心是（）A． B． C． D．9、同时具有性质“（1）最小正周期是；（2）图像关于直线对称；（3）在上是减函数”的一个函数可以是（）A． B．C． D．10、记，，，，则（）A． B．C． D．二、填空题（每空5分，共25分，只需写出最终结果）。
1112、若点在直线上，则的值等于．13、函数的部分图像如图所示，若，则的值为．1415、已知函数（），且（），则．三、解答题（共75分，需写明计算过程及相应的文字说明）16、（12分）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400Km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400Km到达丙地。
试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？17、（12分）一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.18、（12（1）化简；（2）若，求的值．（3）若，求的值．19、（13分）已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0. x∈（﹣∞，+∞），0＜φ＜π）在x=时取得最大值4.．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若．求的值．20、已知tanα是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．21、（13.（1）求常数a，b的值；（2）设且，求的单调递增区间.答案：一、选择题。
高一数学下学期第一次阶段性测试试题(1)(2021年整理)
2017年上学期高一第一次阶段性测试数学试卷1．化为弧度是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若角，则的终边在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D 。
第四象限3．函数的图象（ ） A ．关于轴对称 B ．关于轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线对称4．半径为 ，中心角为所对的弧长是（ ）． ． ． ． 5．下列关系式中正确的是( ）A ．B ．C ．D ． 6．已知集合，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．若直线和是异面直线， 在平面内，在平面内，是平面与平面的交线,则下列命题正确的是（ ）A ．至少与，中的一条相交B ．与，都相交C ．至多与，中的一条相交D ．与,都不相交 8．终边在直线上的角的集合是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．某正弦型函数的图像如右图，则该函数的解析式可以为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设函数，若,300-43π-53π-54π-76π-αx y cos 1+=x y 2π=x cm π060A cm 3πB cm 32πC cm 32πD cm322π168sin 10cos 11sin<<10cos 11sin 168sin <<10cos 168sin 11sin<<11sin 10cos 168sin <<{}{}23,l o g ,,Ma N ab =={}0M N =MN ={}0,1,2{}0,1,3{}0,2,3{}1,2,31l 2l 1l α2l βl αβl 1l 2l l 1l 2l l 1l 2l l 1l 2l x y =α{}Zk k ∈+⋅=,453600αα{}Zk k ∈+⋅=,2253600αα{}Z k k ∈+⋅=,451800αα{}Zk k ∈-⋅=,451800αα2s in ()26x y π=-52s i n ()212x y π=+332s i n ()24x y π=--32s i n ()24x y π=-+()s i n f xx x =12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且，则（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知函数，且,则=( ) A ．2015 B ．2016 C ．2017 D ．201812．已知函数满足，且当时，，函数，则函数在区间上的零点的个数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 二、填空题（每小题5分,共4小题) 13．已知角的终边过点，则______． 14．已知，则=．15．用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期第一阶段性测试(10月)数学试题含答案
长沙市2024年下学期高一年级第一阶段性测试数学试卷（答案在最后）分量：150分时量：150分钟命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各图中，不能表示y是x的函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.【详解】由函数的定义知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，由选项A，C和D的图象可知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，所以选项A，C和D错误，由选项B的图象知，存在x的取值，一个x的取值，有两个y值与之对应，所以不能表示y是x的函数，故选：B.2.已知：11(a ba b>∈R,，且0)ab≠，下列不等关系一定成立的是（）A.a b>B.a b<C.a b ab+> D.22ab a b>【答案】D【解析】【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得.【详解】对于A ，可取2,1a b =-=-，满足11a b>，但得不到a b >，故A 错误；对于B ，可取1,1a b ==-，满足11a b >，但不满足a b <，故B 错误；对于C ，可取2,1a b =-=-，满足11a b>，但32a b ab +=-<=，故C 错误；对于D ，因110()0b aab b a a b ab->⇔>⇔->，而22()ab a b ab b a -=-，故必有22ab a b >成立，即D 正确.故选：D.3.已知集合{}3,N A x x x =≤∈，{}221,,B m m m =-，{}3,,32C m m =-，若B C =，则A B ⋂的子集个数为（）A.2B.4C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】本题根据B 、C 两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m ，进而求出两个集合，再求集合A 、B 的交集，然后可求子集的个数.【详解】由题意得，{}0,1,2,3A =，又集合B C =，若213m -=，则2m =，此时{}2,3,4B =，则{}2,3A B =I ，故A B ⋂子集个数为224=；若21m m -=，则1m =，此时显然,B C 集合不成立，舍去；若2132m m -=-，1m =，同理舍去.综上得：2m =时，A B ⋂子集个数为4个；故选：B.4.已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则21y +=）A.[]5,5- B.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]1,5 D.35,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可.【详解】()y f x = 的定义域为[]1,4-，121410x x -≤+≤⎧∴⎨->⎩，解得：312x <≤，21y +∴=的定义域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：B.5.已知(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 是R 上的减函数，可得3100314a a a a a -<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，求解即可.【详解】∵函数()f x 是R 上的减函数，∴3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.6.为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ 群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（）A.20B.22C.26D.28【答案】B 【解析】【分析】设教师人数为，家长人数为y ，女学生人数为z ，男学生人数为t ，由题意得到46x y z t x +++≥+，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x 的范围求解.【详解】设教师人数为，家长人数为y ，女学生人数为z ，男学生人数为t ，x 、y 、z 、t ∈Z ，则1,12y x z y x ≥+≥+≥+，123t z y x ≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又教师人数的两倍多于男学生人数，23x x ∴>+，解得3x >，当=4x 时，22x y z t +++≥，此时总人数最少为22.故选:B.7.若a b >，且2ab =，则22(1)(1)a b a b-++-的最小值为（）A.2B.4-C.4-D.2-【答案】D 【解析】【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.【详解】因为2ab =，所以由题意222222(1)(1)2222a b a b a b a b aba b a b a b-++++-+++==----()()23622a b aba b a ba b-+=-=-+---，因为a b >，所以0a b ->，所以由基本不等式可得()22(1)(1)622a b a b a b a b-++=-+-≥---，当且仅当2ab a b a b=⎧⎪-=⎨⎪>⎩时等号成立，即当且仅当22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时等号成立，综上所述，22(1)(1)a b a b-++-的最小值为2-.故选：D.【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.8.关于函数()()1xf x x x=∈+R 的性质，①等式()()0f x f x -+=对x ∈R 恒成立；②函数()f x 的值域为()1,1-；③若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；④存在无数个0x ，满足()0011f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭其中正确结论个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式先判断函数奇偶性得①正确；再将定义域分段去掉绝对值，化简函数式后利用不等式性质分析判断②；利用函数的奇偶性和局部单调性得出函数为R 上的增函数即可判断③；分析发现函数在0x <时即满足条件，故可判断④正确.【详解】对于①，由()()11x xf x f x x x--==-=-+-+可得()()0f x f x -+=对R x ∈恒成立，故①正确；对于②，当0x >时，()()1111111x x f x x x x+-===-+++，因为0x >，所以11x +>，所以1011x <<+，所以1011x >->-+，所以11101x >->+，所以()01f x <<，当0x <时，()()1111111x x f x x x x--+===-+---，因为0x <，则11x ->，则1011x<<-，故得11101x-<-+<-，即()10f x -<<，当0x =时，()0f x =，综上，()f x 的值域为−1,1，所以②正确；对于③，当0x >时，()111f x x=-+为增函数，由①知()f x 为奇函数，因为()f x 的图象在R 上连续，所以()f x 在R 上为增函数，所以当12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠，所以③正确；对于④，当0x <时，10x<，()1x f x x =-，111111()x f x x x==--则()111(1111x x f x f x x x x-+=+==----，所以存在无数个00x <，满足()001()1f x f x +=-，所以④正确，即正确的结论共有4个，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.命题:p x ∃∈R ，210x x -+=．命题q ：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（）A.p 是真命题B.:p x ⌝∀∈R ，210x x -+≠C.q 是真命题 D.q ⌝：存在两个等边三角形，它们不相似【答案】BCD 【解析】【分析】根据根的判别式可判断命题p 的真假，根据等边三角形的性质判断命题q 的真假，从而判断AC ，根据命题的否定可判断BD.【详解】对于方程210x x -+=，()2141130∆=--⨯⨯=-<,所以x ∀∈R ，210x x -+=无解，故p 是假命题，故A 错误；:p x ⌝∀∈R ，210x x -+≠，故B 正确；任意两个等边三角形都相似，故q 是真命题，故C 正确；q ⌝：存在两个等边三角形，它们不相似，故D 正确.故选:BCD.10.已知集合{}222|80A x x a x a =++-=,{}2|(2)0B x x =+=,且A B A B = ．集合D 为a 的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（）A.2D -∈B.2D ∉C.D ∅⊆D.0D∉【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件得出A B =，再得出集合D ，最后结合元素和集合的关系判断各个选项.【详解】因为A B A B = ，所以A B =，因为{}2B =-，所以{}{}222802A xx a x a =++-==-∣，所以()()2224180a a ∆=-⨯⨯-=且224280a a -⨯+-=，所以24a =，{}2,2D =-，所以2,2,0,D D D D -∈∈∉∅⊆.故选：ACD.11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（）A.函数()f x 满足：()()f x f x -=B.函数()f x 的值域是[]0,1C.对于任意的x ∈R ，都有()()1ff x =D.在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形【答案】AC 【解析】【分析】利用R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A ，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A ，B 和C 的正误，选项D ，通过取特殊点()0,1,,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.【详解】由于R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A ，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B ，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C ，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x ff x f ===，当Q x ∈R ð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D ，取()330,1,,0,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时3AB AC BC ===，得到ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知14,263x y x y -≤-≤-≤+≤，则8z x y =-的取值范围是__________.【答案】510z -≤≤【解析】【分析】利用不等式的性质可求z 的取值范围.【详解】设()()()()866x y m x y n x y m n x n m y -=-++=++-，则168m n n m +=⎧⎨-=-⎩，故12n m =-⎧⎨=⎩，因为14,263x y x y -≤-≤-≤+≤，则()()228,362x y x y -≤-≤-≤-+≤，故()()52610x y x y -≤--+≤即510z -≤≤，故答案为：510z -≤≤.13.在22{|1}1x A x x -=<+，22{|0}B x x x a a =++-<，设全集U =R ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____【答案】4a ≥或3a ≤-【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，对a 进行分类讨论，可得答案.【详解】解不等式2211x x -<+，即301x x -<+，得13x -<<，得(1,3)A =-，{|()(1)0}B x x a x a =++-<，“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，∴A 为B 的真子集，分类讨论如下：①1a a -=-，即12a =时，B =∅，不符题意；②1a a -<-，即12a >时，{|1}B x a x a =-<<-，此时需满足113a a -≤-⎧⎨-≥⎩，（等号不同时成立），解得4a ≥，满足题意，③1a a ->-，即12a <时，{|1}B x a x a =-<<-，此时，113a a -≤-⎧⎨-≥⎩，（等号不同时成立），解得3a ≤-，满足题意，综上，4a ≥或3a ≤-时，满足“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件.故答案为：4a ≥或3a ≤-14.设函数()f x 的定义域为R ，满足1(1)()2f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是___________.【答案】43m ≥-【解析】【分析】求得()f x 在区间(](]1,0,2,1---上的解析式，画出()f x 的图象，结合图象列不等式，由此求得m 的取值范围.【详解】(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，而(]0,1x ∈时，()()1,f x x x =--所以()()()()11111f x x x x x ⎡⎤+=-++-=-+⎣⎦，又()()21f x f x +=，所以当(]1,0x ∈-时，()()()2121f x f x x x =+=-+，当(]2,1x ∈--时，()()()()()()2122111412f x f x x x x x ⎡⎤=+=-⨯+++=-++⎣⎦，作出示意图如下图所示：要使()89f x ≤，则需1x x ≥，结合上图，由()()84129x x -++=，解得143x =-，所以43m ≥-.【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的1(1)()2f x f x +=，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}|()(2)0A x x m x =-+<，{}|0B x x m =+<.（1）当1m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2,1A B ⋂=--（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据条件，得到{}21A x x =-<<，{}1B x x =<-，即可求出结果；（2）根据条件得到A B ⊆，再分2m =-、2m >-和2m <-三种情况进行讨论，即可求出结果.【小问1详解】当1m =时，()(){}{}12021A x x x x x =-+<=-<<，{}{}101B x x x x =+<=<-，所以()2,1A B ⋂=--．【小问2详解】）因为A B B = ，则A B ⊆，当2m =-时，A =∅，有A B ⊆，符合题意，当2m >-时，{}{}2,A x x m B x x m =-<<=<-，由A B ⊆，则m m -≥，解得0m ≤，所以(]2,0m ∈-，当2m <-时，{}{}2,A x m x B x x m =<<-=<-，由A B ⊆，则2m -≥-，解得2m ≤，所以(),2m ∞∈--，综上所述，实数m 的取值范围是(],0-∞．16.已知函数()()2,0af x x x x x=+∈≠R ．（1）若1a =，求()f x 在{10x x ∈-≤<R 或01}x <≤上的值域；（2）证明：当0a >时，函数()f x 在区间,2∞⎛-- ⎝⎦上单调递增．【答案】（1）(),⎡-∞-⋃+∞⎣（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式计算即可求解；（2）直接利用定义法即可判断函数()f x 的单调性.【小问1详解】当()11,2a f x x x==+，若(]0,1x ∈，则()12f x x x =+≥22x =时成立；若[)1,0x ∈-，则()112[(2)()]f x x x x x =+=--+-≤--，等号当且仅当22x =-时成立．所以()f x 在{10x x ∈-≤<R 或01}x <≤上的值域为：(),⎡-∞-⋃+∞⎣．【小问2详解】12,,2x x ⎛∀∈-∞- ⎝⎦，且12x x <，有()()()12121212122222a a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()211212121212222a x x x x x x x x a x x x x --=-+=-．由122,,2a x x ⎛∈-∞- ⎝⎦得：1222,22a a x x <-≤-．所以12120,202a x x x x a >>->，又由12x x <，得120x x -<．于是：()12121220x x x x a x x --<，即()()12f x f x <．所以，函数()2a f x x x =+在区间,2⎛-∞- ⎝⎦上单调递增．17.已知()y f x =在()0,∞+上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+．（1）求证：()()22f x f x =；（2）求不等式的()()32f x f x ++≤的解集．【答案】（1）证明见解析（2）{}|01x x <≤【解析】【分析】（1）根据条件，通过令y x =，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34f x x f +≤，再利用()f x 在区间()0,∞+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()f xy f x f y =+，令y x =，得到()()()()22f x f x f x f x =+=，所以()()22f x f x =.【小问2详解】()()()()()()332224f x f x f x x f f ++=+≤== ，又函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()03034x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得01x <≤，所以不等式的()()32f x f x ++≤的解集为{}|01x x <≤.18.我们知道，当0a b ≥>时，如果把2,,112a b a b a b++话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链2__________11a b a b ≥≥≥≥≥+便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题.（1）填空写出补充完整的该均值不等式链；2__________11a b a b≥≥≥≥≥+（2）如果定义：当0a b ≥>时，a b -为,a b 间的“缝隙”.2a b +间的“缝隙”为M ，2a b +与间的缝隙为N ，请问M 、N 谁大？给出你的结论并证明.【答案】（1）2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+（2）M N ≤，见解析【解析】【分析】（1）由题得2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+；（2）M N ≤（当且仅当a b =时取等号），再利用作差比较法证明即可.【详解】（1）2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+（2）M N ≤（当且仅当a b =时取等号）证明：∵()22a b a b M N a b ⎫⎛++⎛-=--=-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又∵()222222()22a b a b ab a b ab ⎫⎛⎫++-+=+-++⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭222a b ab ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭20=--≤⎭（当且仅当a b =时取=号）.∴22()a b +≤+⎭a b +≤+∴M N ≤（当且仅当a b =时取=号）.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查作差比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．（1）已知函数()23f x x x =--，求函数()f x 的不动点；（2）若对于任意的b ∈R ，二次函数()()218f x ax b x b =+-+-（0a ≠）恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()211f x mx m x m =-+++在区间()0,2上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1,3-（2）()0,6（3）11m -<≤或3m =【解析】【分析】（1）求函数()f x 的不动点，即求方程()00f x x =的根，即求方程20003x x x --=的解；（2）二次函数()()218f x ax b x b =+-+-（0a ≠）恒有两个相异的不动点，等价于方程()2280ax b x b +-+-=有两个不等实根，对于任意的b ∈R 恒成立，只需要不等式()()2414810b a b a -+++>恒成立，求实数a 的取值范围即可；（3）在区间0,2上，函数()()221g x mx m x m =-+++有唯一零点，应用零点存在性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形.【小问1详解】设0x 为不动点，因此()00f x x =，即20003x x x --=，解得01x =-或03x =，所以1,3-为函数()f x 的不动点．【小问2详解】方程()f x x =，即()218ax b x b x +-+-=，有()2280ax b x b +-+-=，因为0a ≠，于是得一元二次方程()2280ax b x b +-+-=有两个不等实根，即判别式()()()22Δ(2)480414810b a b b a b a =--->⇔-+++>，依题意，对于任意的b ∈R ，不等式()()2414810b a b a -+++>恒成立，只需关于未知数b 的方程()()2414810b a b a -+++=无实数根，则判别式()()2Δ16116810a a =+-+<，整理得260a a -<，解得06a <<，所以实数a 的取值范围是()0,6．【小问3详解】由()()211f x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()f x 在0,2上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在0,2上有且只有一个解令()()221g x mx m x m =-+++①()()020g g ⋅<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00g =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20g =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0∆=，即()()22410m m m +-+=，解得233m =±，（i ）当233m =时，方程的根为()221222m m x m m -++=-==，满足；（ii ）当3m =-时，方程的根为()221222m m x m m -++-=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是11m -<≤或3m =．。
高一下第一次阶段考试试卷(数学)
高一第一次阶段考试试卷（数学）时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1. 下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点1.[答案]C[解析]不在同一直线上的三点确定一个平面，A不能确定三点的关系，A 错误；四边形还有空间四边形，因此B也错误；梯形有两个底边互相平行，所以C正确；D显然错误．2．两个不重合的平面有一个公共点，则这两个平面()A．相交B．平行C．相交或平行D．垂直2.[答案]A[解析]根据公理3知这两个平面相交，但是不一定垂直，故选A.3.下列四个命题：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3 D．43.[答案]A[解析]①②④中，a、c相交、平行，异面都有可能，只有③是正确．4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．平面α内所有直线与l异面B．平面α内存在惟一的直线与l平行C．平面α内不存在与l平行的直线D．平面α内的直线都与l相交4[答案]C[解析]∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与平面α相交，故平面α内不存在与l平行的直线．5.圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π5.[答案] D[解析] S 表＝S 侧＋S 底＝π×1×3＋π×12＝4π.6.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．2πB ．5π2C ．4πD ．5π6.[答案] B [解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为12，高为2的圆柱．S 表＝S 侧＋S 底＝2π×12×2＋2π×14＝2π＋π2＝5π2.7．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为( ) A ．13 B ．12 C ．5D ．1497[答案] A [解析] 设球的半径为R ，则R ＝52＋122＝13.8．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )A ．2︰1B ．2︰3C ．2︰πD ．2︰58[答案] A [解析] 设半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得：V 圆锥＝13πr 2h ＝43πr 3×12.∴h ︰r ＝2︰1.9．下列叙述中，正确的有( )①若平面α内有一条直线平行于另一个平面β，则α∥β；②若平面α内有两条直线平行于另一个平面β，则α∥β； ③若平面α内有无数条直线平行于另一个平面β，则α∥β； ④若平面α内有两条相交直线都与平面β平行，则α∥β. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个9.[答案] A [解析] 在①②③中平面α与平面β可以平行，也可以相交，所以①②③错，④对，故正确的有1个．10.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B ．17C.16D ．1510[答案] D [解析] 由三视图得，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A －A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则VA －A 1B 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，故剩余几何体体积为a 3－16a 3＝56a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15，故选D.11. 如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．2(1＋2)cmB ．6cmC ．2(1＋3)cmD ．8cm11.[答案] D [解析] 由图形的直观图可知，原来的图形是一个平行四边形，如图所示，则OB＝2O′B′＝22cm，所以AB＝OB2＋OA2＝3cm.所以原图形的周长是3＋3＋1＋1＝8(cm)．12．已知圆锥的母线长为5 cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程为()A．8 cm B．5 3 cmC．10 cm D．5π cm[答案] B[解析]连接AA，作OC⊥AA1于C，因为圆锥的母线长为5 cm，1∠AOA1＝120°，所以AA1＝2AC＝5 3 cm.二、填空题13．等边△ABC的连长为6，画出直观图后，其直观图的面积为________．[答案]2分之3根号214．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．3：1：2[答案][解析] 设球半径为a ，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa 2·2a ，13πa 2·2a ，43πa 3.所以体积之比2πa 323πa 343πa 3＝2343＝15．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有________对．[答案] 3[解析] 将展开图恢复成正方体后，得到AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 三对异面直线．16．一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________ cm 3.[答案]153π [解析] 据已知可得圆锥的母线长为4，设底面半径为r ， 则2πr ＝π2·4⇒r ＝1(cm)，故圆锥的高为h ＝42－1＝15(cm)，故其体积V ＝13π·1215＝15π3(cm 3)．三、解答题17．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求(1)求其体积（2）.侧面上的等腰三角形底边上的高为多少？解析](1)3分之8根号3，(2)如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7.解Rt△SOA得OA＝2，则AC＝4，所以AB＝BC＝CD＝DA＝2 2.作OE⊥AB于E，则E为AB的中点，故OE＝12AB＝ 2.连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，因为OE＝2，SO＝3，所在SE＝5，即侧面上的等腰三角形底边上的高为 5.18.(本题满分12分)（1）.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？（2）10．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD平面APD，BC平面APD，∴BC∥平面APD.又∵平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF.∴AD∥EF.又∵E、F是△APD边上的点，∴EF≠AD.∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形.19．(本题满分10分)如图，已知AA′，BB′，CC′，不共面，且AA′//BB′,AA′=BB′, △ABC是等边三角形，BB′//CC′, BB′=CC′.（1）求证：△ABC≌△A′B′C′（2）求AB与B′C′所成的角.20．(本题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．[解析]圆台轴截面如图，设上、下底半径分别为x和3x，截得圆台的体积圆锥顶点为S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x，又轴截面积为S＝12(2x＋6x)·2x＝392，∴x＝7，∴高OO1＝14，母线长l＝2OO1＝142，∴圆台高为14 cm，母线长为14 2 cm，两底半径分别为7 cm和21 cm.21. (本题满分12分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，B1B＝4点D是AB的中点.(1)求证：三棱锥C-BD B1体积(2)求证：AC1∥平面CDB1.[解析](1)(2)如图，设BC1交B1C于点E，连接DE.∵D为AB的中点，E为BC1的中点，∴DE∥AC1.又∵AC1⊄平面CDB1，DE⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.7．(本题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2，（1）求三棱柱ABC－A1B1C1表面积（2）当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．（1）（2）[解析]当点M为AC的中点时，MB∥平面AEF.证明如下：因为M为AC的中点，取AE的中点D，连接MD，DF，则MD为△AEC的中位线，所以MD∥EC且MD＝12EC，而FB∥EC且FB＝12EC，所以MD∥FB且MD＝FB，所以四边形DMBF为平行四边形，所以MB∥DF.而MB 平面AEF，DF平面AEF，所以MB∥平面AEF.。
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2008—2009学年度江苏省泰州实验中学第二学期第一次阶段性测试高一数学模拟试题
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=4:5:6，三角形周长为30，则a=8
2．若x ≠y,两个数列x,a 1,a 2,y 和x,b 1,b 2,b 3,y 都成等差数列，则
=--1312b b a a 32 3．数列{n a n }前n 项和为S n =n(n+1)(n+2)，则a n = 33+n 4．已知△ABC 中，a=x ，b=2, B=45°，若这个三角形有两解，则x 的取值范围是)22,2(
5．在△ABC 中，a
B b A cos cos =，则△AB
C 的形状是等腰或直角三角形 6．在等比数列{a n }中，a 9+a 10=1，a 19+a 20=2，则a 99+a 100= 512
7．等差数列{a n }中有12项，奇数项与偶数项的和分别是30与90，则公差d=
___________10 8．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0, 且a 1, a 3, a 9成等比数列, 则10
42931a a a a a a ++++的值是 1613 ． 9.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 105
10.在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos 7/25
11．{a n }是等比数列，a n >0，a 3a 6a 9=4，则log 2a 2+log 2a 4+log 2a 8+log 2+a 10=_________3/8 12．已知钝角三角形的三边分别是a,a+1,a+2，其最大内角不超过120°，则a 的取值范围是 32
3<≤a 13．△ABC 中，BC=1，B A ∠=∠2，则AC 的长度的取值范围为 (
1,21) 14．在△ABC 中，面积=
--=A c b a S tan ,)(22则158 二、解答题（共7小题，共90分）
15．（本小题10分） 已知等差数列{a n }的公差为d=60,2
199531=++++a a a a ，求数列{a n }的前100项之和. 解：由条件得6099531=++++=a a a a S 奇
100642a a a a S ++++= 偶
d S S 50=-奇偶 852560=+=∴偶S
145100=+=∴偶奇S S S
16.（本小题满分12分）在锐角ABC △
中，已知cos A =
，cos C =，3BC =．求： （1）ABC △的面积；（2）AB 边上的中线CD 的长． (1)3(2)5
17．（本小题12分）在△ABC 中，.5,3
1tan ,21tan 且最长边为==C B
（1）求A ； （2）△ABC 中最短的边长
解：(1)[]113
12131211tan tan tan tan )tan()(tan tan -=-⨯+=-+=+-=+-=B A B A B A B A A π 而A ).,0(π∈ 4
3π=∴A (2)由题义及（1）的结论可知.最长边为c a 最短边为,5=
而22sin =A ,由31tan =C 知10
1sin =C 由正弦定理得
C c A a sin sin = 1210
15sin sin =⨯⨯==∴a C a c 21
中最短的边长为A B C
∆∴
18．（本小题14分）半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2，B 为半圆上任意
一点，以AB 为边向外作等边△ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？ 并求出这个最大面积.
解：设α=∠AOB
在△ABC 中，利用余弦定理得
αcos 452
-=AB
`''BC A ABCD S S ∆=四边形+S ABC ∆
435)60sin(24
35cos 3sin )cos 45(4
3sin 2121+-=+-=-+⨯⨯=
︒ααααα
︒-∈60),180,0(ααοο )120,60(O O -∈
43521)60sin(1509060+∴-==-∴O O O O 的最大面积为四边形取得最大值时即OACB ααα
19．（本小题14分）已知数列{a n }的首项a 1=3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n S n —1
(n ≥2).
（1）求证}1{n
S 是等差数列，并求公差； （2）求数列{a n }的通项公式.
解：（1）12-=n n n S S a )2(≥n
11)(2--=-∴n n n n S S S S
两边同时除以1-n n S S ,得2(1)11
(1=--n
n S S 2
1111-=-∴-n n S S ⎭⎬⎫⎩⎨
⎧∴n S 1是等差数列，公差21-=d (2)3
11111==a S 6
521)21()1(311+=-⨯-+=∴n n S n 536+=
∴n S n 当时，2≥n )
23)(53(1823653621211++=+⨯+⨯==-n n n n S S a n n n ∴⎪⎩
⎪⎨⎧≥++==2)53)(231813n n n n a n （
20．（本小题14分）已知数{a n }的各项均为正整数，且满足.11,22521=+-=+a na a a n n n
（1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测{a n }的通项公式（不要求证明）； （2）设,,)1(121n n n n c c c T a n C +++=+= 是否存在最大的整数m ，使得对任意正整数n ，均有?32m T n >若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由（舍去）
或解得得19,2811,11444245-==+-==a a a a a 由（舍去）
或解得得17,269,9333234-==+-==a a a a a 由（舍去）
或解得得15,247,7222223-==+-==a a a a a 由（舍去）
或解得得13,225,5111212-==+-==a a a a a 9,7,5,34321====∴a a a a
猜想：12+=n a n
（2）)1
11(21)1(21)1(1+-=+=+=n n n n a n c n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-=
+++=)111()3121()211(2121n n c c c T n n )1
11(21+-=n 而对于任意*N n ∈)111(21)211(211+--+-=
-+n n T T n n 0)
2)(1(21>++=n n {}成立。
均有，使得对任意正整数因此存在最大的整数又即总成立，只要对任意要使的最小值为是递增数列
数列32
,
7,832
m 41323241*1*1m T n N m m ，M T N n m T T T T n n n n >∈<∴<>∈>
=
∴∴ 21.（本小题满分14分）已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*,12N n a S n n ∈+=
（1）试求数列}{n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n B ，求证：2
1<n B . (1)12-=n a n (2)略。