第二类重要极限的简易算法
求极限的方法总结
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限limx→1x 4−1x−1，本例中当x →1时，x −1→0，表明x 与1无限接近，但x ≠1,所以x −1这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限lim x→∞x 3−x 23x 3+1精品文档，你值得期待∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
limx→∞x 3−x 23x 3+1=lim x→∞1−1x3+1x 3=13三、 分子(母)有理化求极限例:求极限lim x→∞(√x 3+3−√x 2+1)分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
()()()()131313lim13lim22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x xx xx xxxx x132lim22=+++=+∞→x x x例：求极限limx→0√1+tanx−√1+sinxx 330sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限两个重要的极限(1)limx→0sinx x=1(2)lim x→∞(1+1x)x=lim x→0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限lim x→∞(x+1x−1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。
lim x→∞(x +1x −1)x =lim x→∞(1+2x −1)x =lim x→∞[(1+1x −12)2x−1(1+2x −1)12]2=e 2五、 利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
第二个重要极限
机动
目录
上页
下页
返回
结束
三
解决问题
公共基础课
假设数额A0以利率r投资了n年.如果利息按 每一年计一次复利，则上述投资的终值为：
A0 1 r
n
以年为期的复利公式
nt
r 如果每年计t次复利，则终值为：A0 1 t
当t趋于无穷大时,r就称为连续复利. 连续复利公式 此时的终值为:
1 1 n e ; 4.lim(1 ) ____ n n
1 0 3.lim x sin ____ ; x 0 x
作业 课后第2题
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2015.11 制作人：李元仙
机动 目录 上页 下页 返回
结束
内容小结
第二个重要极限
▲
1 1 lim 1 e 或 lim 1 x x e x x0 x
x
公共基础课
1 lim 1 x x
x
e 或 lim 1 x x 0
3
x2 2 3 3
x5 lim x x 2
x2 3 1 1 lim 1 1 x 2 x x 2 3 3
6
返回
结束
二
例题
例1
解
公共基础课
2 x ). 求 lim(1 x x
lim x
x 2
2 x lim(1 ) x x
2
1
1
x 2
lim 1 1 e2 x x 2
浅析第二个重要的极限
浅析第二个重要的极限高等数学是从函数及其极限为基础展开研究的。
第二个重要极限跟第一个重要极限一样是极限中特殊的极限形式。
理解第二个重要极限的本质形式，是学好第二个重要极限的前提。
文章先分析第二个重要极限本质表现形式，然后分析其应用。
用事實说明第二个重要极限在高等数学和经济上的重要性第二个重要极限是型的极限类型，为导数的学习奠定了基础，在经济上用于复利的计算。
1 结构第二个重要的极限：.当时，底数趋向于1，指数趋向于无穷大，属于型的极限类型。
利用单调有界数列必有极限，可以求得极限为。
在极限中只要是无穷小就有①型的极限类型②表达式中，只要是无穷小即这说明：当及时，函数的值会无限地趋近于。
常数就是这个极限值，即.如果令公式还可以写成. （1.5.5）这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为”。
如：；；用求极限时，函数的特点是型幂指函数，只要中是无穷小，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数就符合第二个重要极限的类型。
2 应用2.1公式的直接应用应用第二个重要极限求极限：例1 求解这道题属于求幂指函数的极限，先变形化简后整理成第二个重要极限的形式，然后应用第二个重要极限求出结果。
应用第二个重要极限推导指数和对数函数的求导公式：例2 求函数的导数解例3 求函数的导数解即特殊地运用导数的定义表达出指数函数和对数函数的导数形式，结合第二个重要极限，推导得出求导公式，为导数的进一步学习铺砖引路。
第二个重要的极限在推导求指数函数和对数函数的求导公式过程中，起到了举足轻重的作用。
第二个重要极限是基本初等函数求导公式得出的奠基石。
第二个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的桥梁纽带作用。
2.2公式的间接应用经济上连续复利计算就是以第二个重要极限为依据的：设初始本金为p （元），年利率为r，按复利付息，若一年分m次付息，则第n年末的本利和为89如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数m趋于无穷大时，t年末的本利和可按如下公式计算若要t年末的本利和为s，则初始本金。
第二类重要极限的简易算法
第二类重要极限的简易算法作者：孙明岩来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第08期摘要：两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。
关键词：第二类重要极限；系数；指数中图分类号：O13；G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0053-02一、第二类重要极限及其常规算法第二类重要极限是高等数学、微积分极限这部分内容的难点之一，学生在计算时很容易出错。
第二类重要极限的公式形式有两种：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。
对于第二类重要极限计算题可以用换元法来做。
例1 求■（1+■）x解令u=■，当x→∞时，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。
例2 求■（1+2x）■解令u=2x，当x→0时，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2第二类重要极限的推广型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（参见[1]）。
第二类重要极限的一些题目不换元，也可以直接计算：例3 求■（1-■）2x+1解■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■二、第二类极限简易算法定理1：若a≠0，c≠0，则■（1+■）■=e■。
证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
定理2：■（1+■）■=e■证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
这类极限计算值里底数都是e，计算这类的极限值关键是计算e的指数。
根据上述证明的两个定理，我们可以得出一个重要的结论：推论1：第二类重要极限■（1+■）■极限值中的指数为x与■的系数乘积。
证明：易见■的系数为■，x的系数为■，根据定理1，■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。
2.4两个重要极限
xn
. 2
例10设数列
{
xn }为：x1
c 2
,
xn1
c 2
xn 2
,
其中
0
c
1
,
求
lim
n
xn
.
解
xn
2n 1 2n c
,
lim
n
xn
lim
n
2n 2n
1
c
c.
lim1 n
1 n
n
e.
例11
第二个重要极限
说明: 此极限也可写为
1
o
12
x
定义 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数 f ( x) 的零点.
定理(零点定理) 设 f(x) 在闭区间[a,b]上连续 , 且
f(a) 与 f(b) 异号(即 f(a) f(b)<0 ) , 则至少存在一点
(a,b) 使 f()=0.
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
解 lim tan x lim sin x 1 11 1
x0 x
x0 x cosx
例6 求 lim arcsin x . x0 x
解 设 t arcsinx 则 x sin t
lim arcsinx x0 x
lim t 0
t sin t
1 lim sin t
1 1
1
t0 t
例7 求 lim sin 3x . x0 tan x
2.5两个重要极限
= e 时，
条件： ） 条件：1）1∞ 型幂指函数 f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) > 0 ); 2）括号里第一项为 ，第二项与括号 ）括号里第一项为1， 外的指数互为倒数关系。 外的指数互为倒数关系。 变形： 变形：
推广： 推广：
1 lim 1+ f ( x)→∞ f (x)
2
( 2 + t )t (4 + t ) ( 2 + t )t (4 + t ) ====== lim = lim t → 0 sin π ( 2 + t ) t →0 sin πt = 8 .
令x − 2 = t
π
1 + x sin x − cos x ex5.计算 lim . x →0 x sin x
小结： 小结： 结论1 结论 sin nx n sin x lim lim =1 = x→0 x → 0 mx x m 结论2 结论
tan x 结论3 结论 tan nx n lim =1 lim = x→0 x x→0 m m
例3 求下列函数的极限
1 − cos x (1) lim x →0 x2
.
k lim 1 + x→ ∞ x
x
=e
k
例2 求下列极限
x + 1 ( 3) lim x→∞ x − 1
2 x (1)lim(1 − ) x →∞ x −1
x
x2 x (2) lim( 2 ) x →∞ x − 1
( 4 ) lim 1 − x 2
x→ 0
于是有sin x = BD,
x = 弧 AB,
tan x = AC,
第二重要极限
第二重要极限
第二个重要极限是：n趋近于无穷大时，（1+1/n）的n次方的极限为e。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。
逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而永远不能够重合到A （永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为永远靠近而不停止，其有一个不断地极为靠近A点的趋势。
第二个重要极限公式是：lim（1+（1/x））^x=e（x→∞）。
第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它对初等函数极限的推导至关重要，是解决未定型极限的一个重要工具。
但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握是学生学习的难点。
第二个重要极限，它的结构独特、复杂，形式多样，计算灵活，许多实际问题都依赖于这种极限的应用，因此掌握第二个重要极限，也有利于解决生产和生活中的实际问题，在经济学中尤为重要。
微积分 两个重要极限 第二个公式的变形,应用,技巧
微积分两个重要极限第二个公式的变形,应用,技巧微积分中的两个重要极限是极限的无穷大的概念，即当一个连续函数的值不断接近无穷时，每个值与其前一个值的差也越来越小，甚至接近零。
极限可以用符号来表示，符号为“lim”，其后加上函数表达式，表示极限。
极限可以用来分析函数的行为，比如求得函数的极限值、求函数在某一点处的导数等。
两个重要极限，即表示函数极限的第二个公式，由拉格朗日来推导，并由它对函数的分析和应用构成了极限的基本理论。
以第二个公式的形式来表示，它可以用Symbol表示，即：lim[f(x)/(x-a)] = f′(a)即当x趋近于a时，f(x)/(x-a)的极限值等于f′(a)，其中f′(a)表示函数f在点a处的导数值。
又如：一元函数y=f(x)，当x趋近于某个常数a时，函数y=f(x)的值也趋近于某个常数L，则可以称L为函数y=f(x)在x=a时的极限，记为：lim[f(x)]=L由此可见，求函数在某一点处的极限值，可以用上述公式推导出极限值L。
若要求出函数在某一点处的导数值，则可以用上述第二个公式推导出函数在该点处的导数值。
极限的理论可以用来分析函数的行为，此外，由极限的理论可以推出许多应用，比如，解决积分和微分方面的问题，比如积分和微分是两个重要的应用，而积分和微分的最基本原理却是极限。
此外，在数学分析中，极限还可以用来求函数的单调性、最值、极点等，以及判断函数的连续性等。
极限的技巧有很多，比如用比值法求极限，即：当函数不能直接求出极限值时，可以把函数分成多个分母分子的比值，比如：lim[f(x)].lim[g(x)]/lim[h(x)]，然后再用极限技巧分别求出比值中每一项的极限值，最后把求出的每一项极限值相乘，即可求出函数的总体极限值。
另外，还可以用变量技巧求极限，即：当极限值不能用比值法求出时，可以用变量技巧把函数变形成一个容易求出极限的形式，以达到求出极限的目的，比如将函数xx改写成(x-a)f(x)/(x-a)的形式，然后再用第二个公式推导出x=a时的极限。
极限运算法则两个重要极限 PPT
那么 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 Ⅰ与准则 Ⅰ'称为夹逼准则、
注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
x
1
sin lim(
2
)
2
2 x0 x
1 12 2
1. 2
2
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的 ;
取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故 f [ (x)] A f (u) A , 因此①式成立、
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理7、 lim (x) a , 且 x 满足 0 x x0 1 时,
设
x x0
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有
个、
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 4 、 若lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式
0 准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x0 ) (或 x M )时,有
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x x g ( x ) A, x x h( x ) A, lim lim
( x )
0
( x )
0
那末 lim f ( x ) 存在, 且等于A .
2
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
极限存在准则 重要极限
2. 定义
1 n lim(1 ) e n n
1 n lim (1 ) e n n
1 n 设 x n (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
17
机动 目录 上页 下页 返回 结束
极限存在准则 重要极限
四、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
15
机动 目录 上页 下页 返回 结束
极限存在准则 重要极限
r nk Ak A0 (1 ) n
如果计息期数 n ，即利息随时计入本金（连续
复利），则 k 年末的本利和为
r nk 1 Ak lim A0 (1 ) lim A0 {[1 ] }rk A0 e rk n n n n r A A 上述两式中： 0 称为现值， k 称为将来值（终值）， 已知 A0 求 Ak ，称为复利问题， 已知 Ak ，求 A0
第二类重要极限
第二类重要极限
第二个重要极限：lim(1+1/x)^x=e（x→∞），当x→∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x→0时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
lim sinx / x = 1 (x-\ue0) 当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的就是x→∞时，1 / x就是无穷小，根据无穷小的性质获得的音速就是0。
极限的求法有很多种：
1、已连续初等函数，在定义域范围内谋音速，可以将该点轻易代入得极限值，因为连续函数的极限值就等同于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子。
（针对于0/0型）
3、利用无穷大与无穷小的关系谋音速。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替代谋音速，可以将原式化简排序。
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
极限存在准则_两个重要极限公式
单调增, 又
(1
) 1
1 (1 a1 )(1 ak )
∴数列单调递减有下界， 设 故极限存在， lim xn A n 1 a A a 则由递推公式有 A ( A ) 2 A x1 0 , xn 0 , 故 lim xn a
2013-8-20
n
20
5. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn 1 , 即
sin ( x) 注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim 1 ( x ) 0 ( x )
2013-8-20 8
t
例4 求
sin 3x 3 sin 3x 5 x lim 解: lim x 0 sin 5 x 5 x 0 3x sin 5 x 3 sin 3x 5x 3 lim lim 5 x 0 3x x 0 sin 5 x 5 1 cos x . 例5 求 lim 2 x 0 x
通常用字母 e 来表示这个极限，即
1 lim 1 e (e 2.71828) n n
也可以证明，当 x 取实数而趋于 或 时，函数
n
1 1 y 1 的极限都存在且都等于e ，即 lim 1 e x x x
x x0
lim g ( x) lim h( x) A
x x0 ( x )
( x )
x x0 ( x )
lim f ( x) A
准则I和准则I′统称为夹逼准则. 注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 z n ,
且 yn与 z n的极限是易求的.
2013-8-20 3
数列
xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
浅谈二重极限的若干计算方法
浅谈二重极限的若干计算方法二重极限是多元函数理论基础，在高等数学和数学分析中都做了介绍，对于二重极限重点是它的计算方法，虽然许多学者对此做了归纳，但由于二重极限的复杂性，他们的归纳都不是很全面，因此，本论文在已有的基础上对二重极限的计算方法做了较为全面阐述，使得二重极限的计算更为简便、快捷．1 二重极限定义设函数(,)f x y 在区域D 内有定义，000(,)p x y 是D 的内点，如果对于任意的正数ε，总存在正数σ，使得对于D 内适合不等式00p p σ<=<的一切点(,)p x y 都有(,)f x y A ε-<成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x x y y →→时的二 重极限，记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=．2 二重极限的求法2.1 定义验证法先求出一个累次极限，再用定义验证该累次极限是否为二重极限，或先猜出二重极限的值，再用定义验证．例1 设22331(,)()sinf x y x y x y=++，33(0)x y +≠，求(,)(0,0)lim (,)x y f x y →． 解 00limlim (,)0x y f x y →→=，事实上对任意(,)(0,0)x y ≠222222331(,)0()sinf x y x y x y x y x y-=+≤+≤++0,ε∀>取σ=,x y σσ<<时，有22331()sin0x y x y ε+-<+即(,)(0,0)lim (,)x y f x y →=0．例[1](278280)2P - 求(,)(0,)sin limx y c xyx → (0)c ≠．解sin sin sin sin 11xy xy cx cx xy xy cx cx-=-+-其中sin sin sin sin sin sin xy cx c xy c cx c cx y cxxy cx cxy-+--= sin sin sin sin c xy c cx c cx y cxcxy cxy --=+(第一个分式用微分中值定理)cos sin ()c cx c y xy cx cxy cx yζ-=-+⋅（ζ介于,x y 间） 进而有sin sin sin (cos )xy cx c y cx xy cx y cxζ--≤+ 由于0sin lim1x xyxy→=，所以只要x 足够小就可使得sin 2cx cx ≤． 又因为lim1y ccy→=，故对任意0,0εσ>∃>，当0,0x y σσ<<<<时，恒有sin 1,126cx c cx y εε-<-<， 从而sin sin sin sin sin sin sin 111(12)62xy xy cx cx xy cx cx xy xy cx cx xy cx cx εεε-=-+-≤-+-<++= 即(,)(0,)sin limx y c xyc x →=．由上两例可知定义验证法求二重极限要求所给函数的某个累次极限等于二重极限或者能够观察出已知函数的二重极限，因此该方法局限性较强，只适用于一些简单的二重极限的计算．2.2 利用连续函数的定义 二元函数(,)f x y 的定义域为,D 000(,)P x y D ∈且为D 的聚点，若00)00(,)(,lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续．所以，可用定义计算连续函数的二重极限．例3 求 2234lim(7)x y x xy y →→-++．解由22(,)(7)f x y x xy y =-++为连续函数且(3,4)20f =得2234lim(7)20x y x xy y →→-++=．只要所给函数为连续函数就可以用连续函数的定义求二重极限，但一般情况下所给函数都比较复杂，因此在解题时很少用到该方法．2.3 利用四则运算法则如果当00(,)(,)x y x y →时有(,)f x y A →，(,)g x y B →，则(,)(,)f x y g x y A B ±→±；(,)(,)f x y g x y A B ⋅→⋅；(,)(0)(,)f x y AB g x y B→≠．例4 求22123lim ()x y xy x y x y →→++．解 22123lim ()x y xy x y x y →→++221212lim(3)10lim()3x y x y xy x y x y →→→→+==+． 如果已知函数可以化成两个或多个易求极限的函数的加、减、乘、除的形式，那么就可以用四则运算法则求出已知函数的极限．2.4 利用两个重要极限 （1） 0sin lim 1x x x →=；（2）1lim(1)xx e x→∞+=． 例[2](133)5P 求2sin 0lim(1)xyx x y a xy →→+．解 2sin 0lim(1)xyxx y axy →→+=222sin 11sin 00lim[(1)]lim[(1)]xy t y y a xy xy t tx t y ay axy t e ⋅⋅→→→→+=+=．这种方法主要是根据已知函数的特点将它转化成一元函数（或部分转化为一元函数），然后利用两个重要极限再求值，计算过程比较简单，这里不再过多解释．2.5 利用等价无穷小代换当0,x y a →→时，有~sin ~ln(1),xy xy xy +tan ~,xy xy 211cos ~()2xy xy - arcsin ~,xy xy 1~xy e xy -．例6 求33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+．解 33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+=22(,)(0,)lim 1cos ln(1)x y a x y xyxy xy →⋅-+=22(,)(0,)2lim21()2x y a x y xyxy xy →⋅=． 例7 求20sin(3)lim 1xy x y ax y e →→-． 解 当0,x y a →→时， 22sin(3)~3,1~xyx y x y e xy -故 20sin(3)lim 1xy x y a x y e →→-2003lim lim30x x y a y ax y x xy →→→→===． 该方法主要是把已知函数的某部分用它的等价无穷小代替，使原函数化成容易计算的较简单的函数，但由于相互等价的函数很多，因此在选择用哪种形式的无穷小代替时，要具体问题具体分析．2.6 利用夹逼定理(,)f x y 与(,)g x y 在00(,)x y 连续且有相同的极限A ，若(,)h x y 在00(,)x y 的某邻域有(,)(,)(,)f x y h x y g x y ≤≤成立，则00(,)(,)lim (,)x y x y h x y A →=．例[3](27)8P 求22limx y x yx xy y →+∞→+∞+-+．解 由不等式222x y xy +≥得2222110x y x y x yx xy y x y xy xy x y+++≤≤≤≤+-++- 而11lim ()0x y x y →+∞→+∞+=，故有22lim x y x y x xy y →+∞→+∞+-+0=．利用夹逼定理求二重极限是计算二重极限常用的方法，解题时常常需要通过分子放大、分母缩小或分子缩小、分母放大即放缩原函数得到易求极限的函数．但由于该方法要求放缩后的函数与原函数的极限相同，这就使得放缩时有一定的约束性，因此用这种方法时要重点注意放缩过程．2.7 利用恒等变形如果二元函数(,)f x y 含有分式，可以让分子、分母同乘以不为零的函数，如果(,)f x y 是指数形式，可以先求它对数的极限，然后再求原函数的极限．例9求22(,)limx y →解22(,)limx y →(,)limx y →=(,)(0,0)lim x y →=(,)(0,0)lim 2)x y →=4=．例[4](1)10P 求2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+．解 令2222()x y u x y =+，则222222222222ln ln()()ln()x y u x y x y x y x y x y=+=+++ 而2222(,)(0,0)(,)(0,0)221lim lim 011x y x y x y x y x y →→==++ ，令22x y t +=则 2222(,)(0,0)lim ()ln()lim ln 0x y t x y x y t t →→++==所以2222(,)(0,0)limln()0x y x y x y →+=故2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+01e ==．这种方法要求已知函数是含有根式的二元函数或者极限是01,0∞等的未定型函数，所以很容易判断是否用该方法计算二重极限．2.8 利用变量代换利用变量代换是把二重极限转化为一元函数的极限或化为易于计算的二重极限，如利用极坐标变换令cos ,sin x r y r θθ==，利用倒数11,x y u v==，利用两个变量,x y 的和x y t +=、平方和22x y t +=及乘积xy t =等变换．例11 求2222()22(,)(0,0)lim 2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+．解 22u x y =+ 则(,)(0,0)lim 0x y u →=2222()22(,)(0,0)lim2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+00lim lim 12sin 2cos u u u u u u e e e e u u --→→-+===． 例[4](1)12P 求22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+．解 cos ,sin x r y r θθ==，由(,)(0,0)x y →得0r →22222424(,)(0,0)010limln()lim sin 2ln 4x y r x y x y r r θ→→≤+=⋅⋅而211sin 244θ≤，34444430000484ln lim ln lim lim lim()014r r r r r r r r r r r r r →→→→⋅===-=-所以4401lim ln sin 204r r r θ→⋅⋅= 从而22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+0=.例13 求21lim(1)x x yx y axy-→∞→+其中0a ≠．解 2()11(1)(1)x xxy x yx y yxyxy⋅--+=+，当,x y a →∞→时，令,xy t =相应有t →∞， 则11lim(1)lim(1)xy t x t y ae xy t→∞→∞→+=+=21lim(1)x x yx y a xy -→∞→+ 1[ln(1)]()()1lim[(1)]lim xyx xxy x y yxy x y yx x y a y ae xy +--→∞→∞→→=+=1lim [ln(1)]lim11()1xy x x y ay ax xy x y yaaeee →∞→∞→→+-⋅===.例14 求222()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+．解 222222()2()2()22()()2x y x y x y x y x y x y x y x y ee e e e-++++++==-⋅ 当,x y →+∞→+∞时，令x y t +=，相应有t →+∞则222()2()lim lim 0x y t x t y x y t e e +→+∞→+∞→+∞+==，2222lim 22lim lim 0x y x y x x x y y y x y x ye e e e →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅=⋅= 所以222()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+ 0=．例[5](3)15P 求22limx y yx y →∞→∞+．解 11,x y u v==，当,x y →∞→∞时，有0,0u v →→ 22lim x y yx y →∞→∞+12121222(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim ()()u v u v v u v u v u v ---→→==++` 令 cos ,sin u r v r θθ==，当0,0u v →→时，0r →+，2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0u v r r u v r r u v rθθθθ++→→→===+ 即 22lim0x y yx y →∞→∞=+．变量代换法也是计算二重极限常用的方法，从例题的计算过程可以看出采用恰当的变量代换可以使得二重极限的计算更为简便．综上所述，二重极限的计算与一元函数极限的求法有很多类似之处，但由于一元函数的极限至多是左、右两种方式的逼近，而二重极限是任意方向的逼近．因此，二重极限的计算比一元函数极限的计算复杂得多，在遇到求二重极限的问题时，要具体问题具体分析，找出解决问题的最恰当的方法．。
极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
注 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn ,
并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n
1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
t t 1
t 1
lim(1 1 )x e
x
x
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1
1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
三、连续复利
设本金为 A0 ，年利率为 r ，则
一年末的本利和 A1 A（0 1 r)
二年末的本利和 A2 A（1 1 r) A0 (1 r)2
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 0
)
(或
第二重要极限的推广及应用技巧
1 ( )1 ( > )A)1 ( ( 1 ( ( @ ( 1 ( ( 另一方面 $ 31 3 1 ’ 2 > 31 ’ 2 ’ 2 ( "7 ( ( "7 ( "7 ( ( #
( > 1 ( ( @ 6 ,( 故1 @% ,.3 1 3?# 3# ’ 21 ( ( 6 ’ 2 > 1 ’ 2 ( "7 ( "7 ( ( "7 > ( >
( X
( S( ( ] " % ( ( ( ( S S &S\ -%T / [ T/ / 4 P " 4 P Z 4 P QR QR QR ( - ( ] ( ]( % " " ( S ( ] % ]-S ( ( ] S( ( ]’ T</ ( S % [ -T< _< T< 4 P Z" S( QR ]/ * ‘ ( S3 % W " 例$ A 求极限 / 4 P 3 Q’ 3 解 G这是一个 ’型未定式 F要想使用第二重要极限 F必 ’ R 须将其变形为 ( 型H
( W P- P%[ T< W P 由定理 & F令 X T 3 P 3 则/ ( S % T/ 4 P " 4 P 3 QR W QR 3
W ( ( W % [ ( SX % T/ ( S " S* " % / 4 P " 4 P Z W W ( S’ 成立 T< T<
证毕 定理 # 为无穷小 F 且 X WT< A若 X GW F则 / ( SX % 4 P " W 证明 G 因为 W GXF 所以 / F即 X TW S* " % 4 P T( W X 由定理 (有
第二类重要极限的简易算法
第二类重要极限的简易算法
孙明岩
【期刊名称】《教育教学论坛》
【年(卷),期】2012(000)022
【摘要】两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。
【总页数】2页(P53-54)
【作者】孙明岩
【作者单位】中山大学南方学院,广东广州510970
【正文语种】中文
【中图分类】O13;G642
【相关文献】
1.第二个重要极限的“五步”计算法研究及应用
2.第二个重要极限的“五步”计算法研究及应用
3.第二重要极限的一种简易变形
4.多种群遗传算法求解第二类生产线平衡问题研究
5.基于改进型遗传算法的混流U型装配线第二类平衡问题
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基金项 目： 东北石油大学教育教学改革项 目
作者 简介 ： 曹丽霞 （９ ８ ）女 ， １７ 一 ， 硕士 ， 讲师 ， 主要从 事 奇异 积 分 方程 方 面 的研究 ； 田淑杰 （９ ９ ） 女 ， １７ 一 ， 硕 士， 讲师 ， 究方 向 ： 线性微分方程 ； 研 非 赵忠奎 （９ ０ ） １６ 一 ， 男， 学士 ， 副教授 ， 究方向 ： 研 数学物理方法 。
一
、
第二类重要极 限及其常规算法
第二类重 要极限是高等 数学 、微积分极 限这部分 内容 的难点之一 ， 学生在计算时很容易出错 。 第二类重
，
ｌ （＋ ｘ ＝１ （ ＋ ） ｅ ｉ １ ２ ） ［ｍ １ ｕ １ ａ ｒ ｉ ＝
第二类 重要极 限的推广 型 ：一），（ ） ， ｒ（ ＋ ｘ 【ｇ ｘ一０ ｌ １ ０ ｉ ａ
ｘ— ｝ ０
４ －
识 的对 比 ， 出差别 与联 系 ， 找 从而把数 学各分支 紧密 联
限制 到实数域 时 ， 必须与实 函数 的一切性质相吻合。另
一
系起来 ； ⑤要强调对 概念的准确理解 和掌握 （ 因为各 种 推理论证都是在 寻求 不 同概念之 间的关系 ，对概念 准 确到位 的理解 和掌握 是进行推理论 证的前提 ）⑥要 强 ； 调对解决 问题思路 的分析过程 ， 而不是 只要证 明过 程 ； ⑦要 引 导学 生发 现抽 象 的形 式理 论 的 实质 和思 想 方 法 ， 抽象为通 俗 、 体 ， 而会 拉近学 生与 数学 的距 变 具 从
ｘ＋ ＿∞ ｊＸ ｘ ∞ — ｊＸ ｒ＋∞ ｊＸ
例２ 求ｌ １ ２ ） ｉ ＋ ｘ ｍ（
ｘ
二、 第二类极限简易算法 １ ｘ ＋ ｄ ｇ定 理 １若 ａ ， ≠０ 则ｌ １ 旦 ） ＝ 。 ： ≠０ ｃ ， ｊ ＋ ｅ ｍ（
解
． －
令ｔ ２ ， 一０ ，一０ 于是有 ｌ １ ２ ） ｌ ｘ 当ｘ 时 ｕ ， ＝ ｉ ＋ ｘ ＝ ｍ（
ｌ １ ｕ ＝１ １ｕ “ ＝ ｉ ＋） ［ ｍ（ ｉ ＋ ） 】 ｅ ｍ（ 。
ｕ ０ —｝ ｕ Ｏ
ｌ 一 ）ｌ 一 ） 】 ｍ（一 ）ｅ ．＝ ’ ｉ （ ）ｌ （ ～ ｌ １ ：一 ・ ｅ＿ ｍ １ ｉ １ ＝ ｍ［ 。 ｉ ＿ ３ ＝ １
【 张恭庆． １ 】 谈数学职业 数 学通报 ，０９ （ ）卜 ７ ２ ０ ，７ ： ． 【 张奠宙． ２ 】 微积分教学 ： 从冰冷的 美丽到 火热的思考叭． 高等数
学研 究 ，０６ （ ）２ ４ ２ ０ ，２ ：－ ．
【 关 ］ ｃ ａ ｏ ｒｎ ￣ｅｔ ｂ ｉｓ ｈ ｔｉ Ｍａ ｅ ｔ ｓ ３ ¨ Ｒｉ ｒ Ｃ ｕａ ｔＨｅ ｒ Ｒｏ ｂｎ ． ａ ｓ ｔ ｍａ ｃ ｈ ｄ Ｗ ｈ ｉ
念及其性质 呈现出的差异这些 知识点外 ，在 教学 中还 应使学生 明确概念推广所遵循 的一些基本原 则 。一方
面， 概念 的推 广必须满足相容性 ， 如 当复数域 上函数 例
一
５ — ３
【 专题研讨】
浅议作 为刑诉证据 的“ 抓获经过＂
张素英 （ 河北公安警察职业学 院 ， 河北 石家庄 ００ ０ ） ５０ ０
—
上
要极 限的公 式形 式 有两种 ： ｍ（＋ ） ，ｍ（＋ ） ｌ １ ｅ ｌ １ｘ ｉ ｉ
ｘ ∞ 一’ Ｘ ｘ＋ ０
） ｅ参见［］。第二类重要极 限的一些题 目不换 ＝ （ １）
ｇ Ｘ
＝ 。对于第二类 重要极限计算题 可以用换元法来做 。 ｅ
例 １ 求 ｌ １ ） ｉ ＋ ｍ（
离。
方面， 概念堆广要尽可能保持原对象的性质， 尤其是
（） ３ 遵循 人类记忆规 律（ 见艾宾浩斯 记忆曲线 ）提 ，
运算性 质。 高学 习效率 。 ５根据 教学 内容 、 ． 教学对 象和教学 目标 ， 当运用 恰 板 书和多媒体进行教学 。
参考 文 献 ：
例如 ： 在绪论部分 ， 首要 是要学生 明确 ：微积分 主 “ 要讨 论 的是实变数 函数 的微 分和积分 ， 字面看 ， 从 似乎 只是将实数变成复数 ，那 么运算规则及定 理应该是一 样的， 为什 么还要再开一 门复变 函数 呢？” 一问题 ， 这 以 极 限及微分定义 、函数可微 与导 函数可微 的关系为例 来说 明复变 函数并非是微积 分从 “ 实数 到复数” 的平凡 推广 ， 而是有本 质 的不 同 ： 积分 中 函数 一次可微 分 ， 微
【 专题研讨 】
第 二类重要极 限的简 易算 法
孙明岩
（ 中山大学
南方学 院 ， 广东
广州
５ ０７ ） １９０
摘要 ： 两个重要 极限的计 算问题是极限这一章的重点和难点 ， 本文通过 证明推 导 出关于第二类重要 极限计算
的 一 种 简 易算 法 。 关键词 ： 第二 类 重要 极 限 ； 系数 ； 数 指 中 图 分 类 号 ： ３ Ｇ６２ Ｏ１ ； ４ 文献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６４ ９ ２ （０ ２ ０ — ０ ３ ０ １７ — ３ ４２ １ ）８ ０ ５— ２
（ 中译本 ： 么是数学—— 对思想和方法的基本研 究） ． 什 ［ 上海： Ｍ】
复旦 大 学 出版 社 ，０ ５ ２０．
其 导函数未必连续从 而 比一定二次 可微 分 ，但是 由于 复变函数可微分是很强 的一 个条件 ，所 以函数一次 可
微分 ， 就会任意次可微分 。除了强调复变 函数 中某些概
ｘ ∞ Ｘ
元， 也可 以直接计算 ： 例３ 求ｌ １ ） ｉ 一 ｍ（
解 ｌ １ ） ＿ｉ １ ）（－ ） ｌ （一 ） ｉ 一 Ｉｌ 一 １ ：ｉ １ ｍ（ ｍ（ ａ ｒ
ｘ —∞ ５ ｘ ｘ｝ —∞ ３ｘ Ｊ ｘ ｘ —∞ ｊｘ
解
令ｕ ， 一 ∞时 ，一０ 于是有 ｌ １ 三 ） ＝ 当ｘ ｕ ， ｉ ＋ ｍ（