2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系课件文
2．过原点的直线与圆 x2＋y2－4x＋3＝0 有公共点，则直线
的倾斜角的取值范围是____0_，__π6__∪___5_6π_，__π____________．
[解析] 由题意，设过原点的直线为 y＝kx，即 kx－y＝0，因 为过原点的直线与圆 x2＋y2－4x＋3＝0 有公共点，所以 |2kk2－＋01|2≤1，解得－ 33≤k≤ 33，所以直线的倾斜角的取值
(2)法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，
可设直线方程为 kx－y－k＝0.
由x＋2y＋2＝0，得 kx－y－k＝0，
N22kk－＋21，－2k3＋k 1.
又直线 CM 与 l1 垂直，
y＝kx－k， 由y－4＝－1k（x－3），得
Mk2＋1＋4kk＋2 3，41k＋2＋k22k.
化简得 x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是关于 m 的恒等
式，
故x2＋y2－2y＝0，解得x＝0，或
2x＋y－2＝0，
y＝2
x＝45， y＝25.
所以经过 A，P，M 三点的圆必过定点(0，2)或45，25.
第一与第二问是平面几何性质与代数计算相结合，这种运用 要多加关注，第三问求圆的方程注意到利用定义，求定点时 用了等式恒成立思想，这种方法很重要．
(2)求圆的弦长的常用方法
①几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则2l 2＝
r2－d2. ②代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： AB＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].
1．过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为 _x_＝__2__或__4_x_－__3_y_＋__1_＝__0_______________． [解析] 当切线斜率存在时，设圆的切线方程为 y＝k(x－2)＋ 3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝43，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0，当切线斜率不存在时，直线 x＝2 也 是圆的切线，所以直线方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
答案：B
角度二：求弦长
2．若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋
3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截
得的弦长为
()
A．4 6
B．2 6
C．6
D．5
解析：由正弦定理及csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝
3(a2＋b2)．
的方程为 y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆 相切，得 d＝|－3k－k22－＋21k－3|＝1，解得 k＝－43或 k＝－34.
答案：D
2．(2018·山西三地五校联考)过原点且与直线 6x－ 3y＋1＝0 平行的直线l被圆x2＋(y－ 3)2＝7所截得的弦长为______． 解析：由题意可得 l 的方程为 2x－y＝0， ∵圆心(0， 3)到 l 的距离 d＝ 33＝1， ∴所求弦长 l＝2 R2－d 2＝2 7－1＝2 6. 答案：2 6
的距离
d＝
a， 2
所以 2 a2－a22＝2 2，解得 a＝2.
圆 M，圆 N 的圆心距|MN|＝ 2，两圆半径之差为 1，
故两圆相交．
答案：B
2．(2018·嘉兴高级中学模拟)圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－2)2 ＝4相交所得公共弦所在的直线方程为________；其长度 为________．
因为圆O：x2＋y2＝12的圆心O(0,0)，半径r＝2 3 ，圆心O
到直线l的距离d＝
|c| a2＋b2
＝
3 ，所以直线l被圆O所截得
的弦长为2 r2－d2＝2 2 32－ 32＝6. 答案：C
角度三：由弦长及切线问题求参数
3．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，
2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案
第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系考纲要求考情分析命题趋势1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2016·全国卷Ⅱ，42016·全国卷Ⅲ，162015·重庆卷，82015·江苏卷，10圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题．但有时也与圆锥曲线等知识综合，重点考查函数与方程，数形结合及转化与化归思想的应用.分值：5分1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：__相交__、__相切__、__相离__．(2)两种研究方法(3)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y ＝r2.2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离__d>r1＋r2____无解__外切 __d ＝r 1＋r 2__ __一组实数解__ 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2__两组不同的实数解__ 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)__一组实数解__ 内含__0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)____无解__1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦所在直线方程．( × ) (5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )解析 (1)正确．直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交．(2)错误．因为除外切外，还可能内切．(3)错误．因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含． (4)错误．只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程． (5)正确．由已知可得O ，P ，A ，B 四点共圆， 其方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 022，即x 2＋y 2－x 0x －y 0y ＝0，① 又圆O 方程为x 2＋y 2＝r 2，② ②－①得x 0x ＋y 0y ＝r 2， 而两圆相交于A ，B 两点， 故直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( B ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交且直线过圆心D ．相离解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．3．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 ( B ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析 圆O 1的圆心为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( D ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33. ∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 5．直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，则||AB ＝ 2 3 .解析 如图，取AB 中点C ， 连接OC ，OA ，则OC ⊥AB ， |OA |＝22，|OC |＝|0－2×0＋5|12＋(－2)2＝5， ∴|AC |＝8－5＝3， ∴|AB |＝2|AC |＝2 3.一 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离，注意求距离时直线方程必须化成一般式．【例1】 (1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( A ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是 ( D )A ．b ∈(－1,1]B ．b ＝－ 2C ．b ＝± 2D ．b ∈(－1,1]或b ＝－ 2解析 (1)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．(2)由x ＝1－y 2知，曲线表示半圆(如图所示)，当－1<b ≤1时，直线y ＝x ＋b 与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b |2＝1(b <－1)，解得b ＝－ 2.二 弦长问题求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑弦心距、垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．【例2】 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求||MN . 解析 (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8.由题设得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.三 圆的切线问题求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．【例3】 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解析 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0. 又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意， ∴直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2， 解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.四 圆与圆的位置关系(1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 【例4】 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1. (1)若圆C 1与圆C 2外切，求ab 的最大值； (2)若圆C 1与圆C 2内切，求ab 的最大值；(3)若圆C 1与圆C 2相交，求公共弦所在的直线方程；(4)若圆C 1与圆C 2有四条公切线，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解析 (1)由圆C 1与圆C 2相外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.(2)由C 1与C 2内切得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝1， 即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 当且仅当a ＝b 时等号成立，可知ab 的最大值为14.(3)由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①，得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在的直线方程． (4)由两圆存在四条切线，可知两圆外离， 故(a ＋b )2＋(－2＋2)2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.又圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．1．(2018·广东揭阳一模)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( B ) A ．(3，＋∞) B ．[2，22) C ．[2，＋∞)D ．[3，22)解析 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2，又k >0，故0<k <2 2.①如图，取AB 的中点为M ，则由|OA →＋OB →|≥33|AB →|得2|O M →|≥33|2M B →|， 即|OM →|≥33|BM →|，即∠MBO ≥π6，因为|OB |＝2，|OM ||OB |＝sin ∠MBO ≥sin π6＝12，所以|OM |≥1，即|k |2≥1，所以k ≥ 2.②综合①②得，2≤k <22，故选B ．2．若直线x －y ＝2被圆(x －1)2＋(y ＋a )2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为 ( D )A ．－2或6B ．0或4C ．－1或 3D ．－1或3解析 圆心坐标为(1，－a )，弦长为22，∴圆心到直线x －y －2＝0的距离为d ＝4－2＝2，即2＝|1＋a －2|2，∴|a －1|＝2，∴a ＝－1或3，故选D ．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝__1__. 解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y ＝1a.又a >0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.4．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －1＝0上，则||PQ 的最小值为 35－3－ 6 .解析 圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0的标准方程为(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －1＝0的标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝6.|PQ |min ＝两圆圆心距－R －r (R ，r 分别为两圆半径)，圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35， ∴|PQ |min ＝35－3－ 6.易错点 缺乏转化思想致误错因分析：不能将问题等价转化为两圆的位置关系，而是根据题意设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立等式，但因运算太复杂而无法求解．【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为________．解析 因为与点A (2,2)的距离为1的直线都是以点A (2,2)为圆心，半径为1的圆的切线，与点B (m,0)的距离为3的直线都是以点B (m,0)为圆心，半径为3的圆的切线，所以与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，即圆A 与B 有两条公切线，也即两圆相交，所以2＜||AB ＜4，解得2－23＜m ＜2或2＜m ＜2＋2 3.答案 (2－23，2)∪(2,2＋23)【跟踪训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__.解析 由mx －y －2m －1＝0可得m (x －2)＝y ＋1，易知该直线过定点(2，－1)，当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.课时达标 第49讲[解密考纲]直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现．一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( A )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析 由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，故圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( B ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3，两圆的圆心距为(－2－2)2＋(0－1)2＝17，则R －r <17<R ＋r ，所以两圆相交，故选B ．3．过点P (2,0)的直线l 被圆(x －2)2＋(y －3)2＝9截得的线段长为2时，直线l 的斜率为( A )A ．±24B ．±22 C ．±1D ．±33解析 由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.由点到直线的距离公式，得圆心到直线l 的距离d ＝|2k －3－2k |k 2＋1＝3k 2＋1.由圆的性质可得d 2＋12＝r 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋12＋12＝9，解得k 2＝18，即k ＝±24.4．已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得AM ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( C )A ．[－2.6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]解析 过M 作⊙C 的切线，两切点为E ，F ，当且仅当∠EMF ≥90°时，圆C 上才存在使MA ⊥MB 的两点A ，B ， 若∠EMF ＝90°，则四边形CEMF 是正方形，|MC |＝25， 即(5－1)2＋(t －4)2＝20，解得t ＝2或t ＝6，故2≤t ≤6.5．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( D )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.易知定点P (0,1)在圆内，由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.6．圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( A )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题7．若直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是__±33___. 解析 因为直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，所以圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2k |k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝±33.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 作圆C 的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是__[－22，22]__.解析 圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.“圆的两条切线相互垂直”转化为“点到圆心的距离不大于22”，故|3k |k 2＋1≤22，解得－22≤k ≤2 2.9．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝ 12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则||CD ＝__4__.解析 圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝23，过C 作CE ⊥BD 于E ，因为直线l 的倾斜角为30°， 所以|CD |＝|CE |cos 30°＝|AB |cos 30°＝2332＝4.三、解答题10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解析 (1)由圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4， 知圆C 的圆心为(0,4)，半径为2. 若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a|a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1. 故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 11．已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程． 解析 设圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，∵圆心(2，－1)到直线x －y －1＝0的距离d ＝2，∴r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4，故圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，解得弦的两端点为(2,1)和(0，－1)． ∴过弦的两端点的圆的切线方程为y ＝1和x ＝0.12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标． 解析 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)， 因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3， 所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，所以圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)， 即y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3， 解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时，|PB |＋|PQ |最小， 故|PB |＋|PQ |的最小值为|B ′C |－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件
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1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 如果 两个 圆 的方 程 组成 的方 程 组只 有一 组 实数 解 ，则 两 圆 外
切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
(4)由题意知圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0， －1)，半径为 2，则圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝|－1－2 1|＝ 2， 所以|AB|＝2 22－ 22＝2 2.
(5)由xx22＋ ＋yy22－ －44＝ x＋04，y－12＝0， 得两圆公共弦所在直线为 x －y＋2＝0.又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 2
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( A )
A．4π
B．2π
C．9π
D．22π
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【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
a2|c＋| b2＝
|c| ＝ 2|c|
22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半
就等于 1－ 222＝ 22，所以弦长为 2. (2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为
置关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1) 在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交．
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2．(方向 2)已知直线 y＝ax 与圆 C：x2＋y2－6y＋6＝0 相交于 A，B
新人教版通用2019高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书文新人教A版
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋－－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]的位置关系是( )【导学号：31222298】A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.](2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．图841[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． [解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.7分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.10分所以直线MN的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．(2017·山西太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20A [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)． 又圆的半径r ＝12|OP |＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A ．1013B ．921C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则 |OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________．－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． [解] (1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0.5分 (2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ， 则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( )A ．2B ．2 2C ．3D ．2 3D [由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1，则C (3，－1)．依题意，圆C 的圆心(3，－1)在直线kx ＋y －2＝0上，所以3k －1－2＝0，解得k ＝1，则点A (0,1)，所以|AC |＝13，故|AB |＝|AC |2－r 2＝13－1＝2 3.]2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________.32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？ 若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).5分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧， 则劣弧所对的圆心角∠MCN ＝90°， 由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2.8分在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2，故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k 2＝2， ∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，10分故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .12分。
高考数学一轮复习第八章第二节第1课时系统知识__圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系讲义含解析
第二节圆与方程第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．圆的定义及方程点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：当F＝0时，圆过原点.当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上.当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点.当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A版教材P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝01．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard.[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|.[谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＞交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λAx ＋By ＋C ＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝05．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋y 2＝86．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 2圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交时：将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 两圆圆心的连线垂直平分公共弦；x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λx 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C 2[小题练通]1.[人教A 版教材P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋－2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( ) A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.。
2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课件
是
()
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
解：因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2>1，而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0a＋2＋b·b02－1|＝ a21＋b2<1，所以直线与圆相交. 故选 B.
(2) 圆 x2 ＋ y2 － 2x ＋ 4y ＝ 0 与 直 线 2tx － y － 2 － 2t ＝ 0(t∈R) 的 位 置 关 系 为
命题角度 2 已知位置关系求参数值(范围)
【多选题】若圆 C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0 上有四个不同的点到直线 l：4x＋
3y＋c＝0 的距离为 2，则 c 的取值可能是
()
A. －13
B. 13
C. 15
D. 18
解：圆 C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0 化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心为 C(1，－2)， 半径为 r＝5， 若圆 C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0 上有四个不同的点到直线 l：4x＋3y＋c＝0 的距离为 2，则圆心 C(1，－2)到直线 l 的距离 d<3， 如图，即|4×1＋3×5（－2）＋c|＝|c－5 2|<3， 所以－13<c<17. 故选 BC.
解：由题意，C1，C2 到直线 y＝kx＋b 的距离都等于半径，即
|b| ＝
k2＋12
|4kk2＋＋b1|2＝1，
所以|b|＝|4k＋b|，解得 k＝0(舍去)或 b＝－2k，解得 k＝
33，b＝－2
3
3 .
故填
33；－23 3.
考点一 直线与圆的位置关系
命题角度 1 位置关系判断
(1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系
2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】
6．若圆 x2＋y2＝1 与圆 x2＋y2－6x－8y－m＝0 相切，则 m 的值为_－__9__或__1_1．
【解析】 x2＋y2－6x－8y－m＝0 可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，因为两圆相切， 所以 32＋42＝1＋ 25＋m或 32＋42＝|1－ 25＋m|，解得 m＝－9 或 m＝11.
易错易混 5．已知圆 C：x2＋y2＝9，过点 P(3,1)作圆 C 的切线，则切线方程为 _____x＝__3__或__4_x_＋__3_y_－__1_5_＝__0___．
【解析】 由题意知 P 在圆外．当切线斜率不存在时，切线方程为 x＝3，满足题意； 当 切 线 斜 率 存 在 时 ， 设 切 线 方 程 为 y － 1 ＝ k(x － 3) ， 即 kx － y ＋ 1 － 3k ＝ 0 ， 所 以 |k×0k－2＋0＋－11－23k|＝3，得 k＝－43，切线方程为 4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为 x＝3 或 4x＋3y－15＝0.
(2)解法一：∵直线 kx－y＋1＝0 与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4 有公共点，∴直线与圆相切 或相交，又圆心(－1,2)到直线 kx－y＋1＝0 的距离 d＝|－k－k2＋2＋1 1|＝ |kk＋2＋1|1，r＝2，∴d≤r， 即 |kk＋2＋1|1≤2，∴3k2－2k＋3≥0，又∵Δ＝4－36＝－32<0，∴k∈R，∴实数 k 的取值范围 为(－∞，＋∞)．故选 D.
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
图形
量的 关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2
d＝|r1－r2|Fra bibliotek内含 d<|r1－r2|
2019年高三一轮总复习理科数学：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系
答案：B
4．直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线
x＋2y－3＝0
的距离
d＝|2－25－3|＝
3 ，所以直 5
线 x＋2y－3＝0 被圆截得的弦长为 2
4－95＝2
55 5.
答案：2
55 5
3
考点疑难突破
直线与圆的位置关系
直线 y＝2x＋b 所得线段的长度相等，则 b＝( )
A．－ 6
B．± 6
C．－ 5
D．± 5
解析：记圆 C 与 y 轴的两个交点分别是 A，B，由圆心 C 到 y 轴的距离为 1，|CA| ＝|CB|＝ 2可知，圆心 C(1,2)到直线 2x－y＋b＝0 的距离也等于 1 才符合题意，于是 |2×1－52＋b|＝1，解得 b＝± 5，选 D.
[题 组 训 练]
1．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系
是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
解析：因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，
所以 a2＋b2>1，从而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0＋a2b＋·0b－2 1|＝
切线、弦长问题
[考 向 锁 定] 与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点． 常见的命题角度有 (1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数．
角度一 求圆的切线方程
[多 维 视 角]
平行于直线 2x＋y＋1＝0 且与圆 x2＋y2＝5 相切的直线的方程是 ()
[自 主 演 练]
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第8章8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r )相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)图形量的关系外离d >r 1＋r 2外切d ＝r 1＋r 2相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2内切d ＝|r 1－r 2|内含d <|r 1－r 2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d 、半径r 和弦长|AB |的一半构成直角三角形，弦长|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，代入，消去y ，得关于x 的一元二次方程，则|MN |＝1＋k 2· x M ＋x N 2－4x M x N .常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )；②过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，所以注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(√)(4)在圆中最长的弦是直径．(√)教材改编题1．直线3x ＋4y ＝5与圆x 2＋y 2＝16的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案A解析圆心到直线的距离为d ＝532＋42＝1<4，所以直线与圆相交．2．直线m ：x ＋y －1＝0被圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为()A ．4B ．23 C.12D.13答案B解析∵x 2＋y 2－2x －4y ＝0，∴(x －1)2＋(y －2)2＝5，∴圆M 的圆心坐标为(1,2)，半径为5，又点(1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|12＋12＝2，∴直线m被圆M截得的弦长等于2 5 2－ 2 2＝2 3.3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()A．±3B．±5C．3或5D．±3或±5答案D解析圆C1与圆C2的圆心距为d＝ a－0 2＋ 0－0 2＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1(1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d＝r2a2＋b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2＋b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2＋b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()A．相交、相切或相离B．相交或相切C．相交D．相切答案C解析方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为|k＋2－k|1＋k2＝21＋k2≤2<3，所以直线与圆相交．思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．命题点2弦长问题例2(1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k 的值为()A．±33B.33C.3D．±3答案D解析圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝|2k|12＋k2，则弦长为2r2－d2＝2，得24－4k21＋k2＝2，解得k＝± 3.(2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝23时，直线l的方程为________．答案x＝0或3x＋4y－4＝0解析因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，因为|AB |＝23，所以圆心到直线的距离为d ＝22－ 3 2＝1，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时圆心(－1,3)到直线x ＝0的距离为1，满足条件；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心(－1,3)到直线l 的距离d ＝|－k －3＋1|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0，综上，所求直线的方程为3x ＋4y －4＝0或x ＝0.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.命题点3切线问题例3已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴过点P 的切线的斜率为－1k PC＝1，∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x ＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，由圆心C 到切线的距离d ′＝|k －2＋1－3k |k 2＋1r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.∵|MC |＝ 3－1 2＋ 1－2 2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．命题点4直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4(2023·龙岩模拟)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 的面积的最小值为________．答案23解析由圆O ：x 2＋y 2＝2，得r ＝2，四边形PAOB 的面积S ＝2S △PAO ＝|PA |·|AO |＝2|PA |，∵点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，∴P (x 0，4－x 0)，则|PA |＝|PO |2－|OA |2＝|PO |2－2，又|PO |2＝x 20＋(4－x 0)2＝2x 20－8x 0＋16＝2(x 0－2)2＋8≥8，∴|PO |2－2≥6，则|PA |≥6，∴四边形PAOB 的面积的最小值为2×6＝2 3.思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．跟踪训练1(1)(2022·宣城模拟)在平面直角坐标系中，直线3x cos α＋2y sin α＝1(α∈R )与圆O ：x 2＋y 2＝12的位置关系为()A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切答案D解析因为圆心到直线的距离d ＝13cos 2α＋2sin 2α＝12＋cos 2α≤22，当且仅当α＝k π＋π2(k ∈Z )时，取得等号，又圆x 2＋y 2＝12的半径为22，所以直线与圆相交或相切．(2)(2023·昆明模拟)直线2x ·sin θ＋y ＝0被圆x 2＋y 2－25y ＋2＝0截得的弦长的最大值为()A ．25B ．23C ．3D ．22答案D解析易知圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，所以圆心为(0，5)，半径r ＝3，由题意知圆心到直线2x ·sin θ＋y ＝0的距离d ＝|5|4sin 2θ＋1<3，解得sin 2θ>16，所以弦长为2r 2－d 2＝23－54sin 2θ＋1，因为53<4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin 2θ＋1<3，所以2r 2－d 2＝23－54sin 2θ＋1∈(0,22]．所以当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.题型二圆与圆的位置关系例5(1)(2023·扬州联考)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋22)2＝16和两点A (0，－m )，B (0，m )，若圆C 上存在点P ，使得AP ⊥BP ，则m 的最大值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案C解析因为两点A (0，－m )，B (0，m )，点P 满足AP ⊥BP ，故点P 的轨迹C 1是以A ，B 为直径的圆(不包含A ，B )，故其轨迹方程为x 2＋y 2＝m 2(x ≠0)，又圆C ：(x －1)2＋(y ＋22)2＝16上存在点P ，故两圆有交点，又|CC1|＝12＋ 22 2＝3，则|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得|m|∈[1,7]，则m的最大值为7.(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．答案x－2y＋4＝025解析2＋y2－2x＋10y－24＝0，2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，则圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝|1－2× －5 ＋4|1＋ －2 2＝3 5.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(35)2＋l2，解得l＝5，故公共弦长为2 5.思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．跟踪训练2(1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为()A．内含B．相交C．外切D．外离答案B解析圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，则|MN|＝22＋12＝5，故有|R－r|<|MN|<R＋r.故两圆是相交关系．(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．答案x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3,4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l 21设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0,0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直，设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t >0，则点O (0,0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54或t ＝－54(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.课时精练1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不确定答案B解析由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝|－3＋8＋5|32＋42＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切．2．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切答案B解析由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距|O1O2|＝1＋4＝5，则2－1<5<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交．3．(2022·沈阳模拟)已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2,2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为()A．25 B.4215C.21055D.655答案D解析设圆心坐标为(a，b)，0，＝ a＋2 2＋ b－2 2，解得a ＝－1，b ＝4.则圆心坐标为(－1,4)，半径r ＝ －1＋2 2＋ 4－2 2＝5，则圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离d ＝|－2＋4－6|22＋12＝455，则弦长为2r 2－d 2＝2×5－165＝655.4．(多选)(2023·滁州模拟)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝25，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋a )2＝4，若圆C 1与圆C 2内切，则实数a 的值是()A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案BC解析由题可知圆心C 1(a ，－2)，半径r 1＝5，圆心C 2(－1，－a )，半径r 2＝2，因为圆C 1与圆C 2内切，所以|C 1C 2|＝ a ＋1 2＋ －2＋a 2＝|r 1－r 2|＝3，解得a ＝－1或a ＝2.5．(2022·深圳模拟)若圆C ：x 2＋y 2－6x －6y －m ＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m 的取值范围为()A ．(－18,6]B ．[－2,6]C ．[－2,18]D ．[4,18]答案C解析将圆C 的方程化为标准方程得(x －3)2＋(y －3)2＝m ＋18，所以m >－18.因为圆C 上有到(－1,0)的距离为1的点，所以圆C 与圆C ′：(x ＋1)2＋y 2＝1有公共点，所以|m ＋18－1|≤|CC ′|≤m ＋18＋1.因为|CC ′|＝ 3＋1 2＋32＝5，所以|m ＋18－1|≤5≤m ＋18＋1，解得－2≤m ≤18.6．(多选)在平面直角坐标系中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2,0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC (图略)，所以四边形PACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，结合选项知实数k 的可能取值是1,2.7．(2022·阳泉模拟)若直线(m ＋1)x ＋my －2m －1＝0与圆x 2＋y 2＝3交于M ，N 两点，则弦长|MN |的最小值为________．答案2解析直线MN的方程可化为m(x＋y－2)＋x－1＝0＋y－2＝0，－1＝0，＝1，＝1，所以直线MN过定点A(1,1)，因为12＋12<3，即点A在圆x2＋y2＝3内，圆x2＋y2＝3的圆心为原点O，半径为3，当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值，此时|MN|取最小值，故|MN|min＝23－|OA|2＝2.8．(2022·鸡西模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，12|OP|＝5为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 9．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，则圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－1 2＋ 6－3 2＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的长为2×27.10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；(2)若过点P (1,0)的直线m 与圆C 相交于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值，并求此时直线m 的方程．(1)证明转化l 的方程(m －2)x ＋(1－m )y ＋m ＋1＝0，可得m (x －y ＋1)－2x ＋y ＋1＝0，－y ＋1＝0，2x ＋y ＋1＝0，＝2，＝3，所以直线l 恒过点(2,3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，得点(2,3)在圆内，即直线l 恒过圆内一点，所以无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交．(2)解由C 的圆心为(3,4)，半径r ＝2，易知此时直线m 的斜率存在且不为0，故设直线m 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，直线m 的一般方程为my －x ＋1＝0，圆心到直线m 的距离d ＝|4m －3＋1|m 2＋ －12＝|4m －2|m 2＋1，所以|AB |＝2r2－d 2＝24－ 4m －2 2m 2＋1，所以S 2|·＝4－4m －2 2m 2＋1· 4m －2 2m 2＋1，令t ＝ 4m －2 2m 2＋1，可得S 2＝4t －t 2，当t ＝2时，S 2max ＝4，所以△ABC 面积的最大值为2，此时由2＝4m －2 2m 2＋1，得7m 2－8m ＋1＝0，得m ＝1或m ＝17，符合题意，此时直线m 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.11．若一条光线从点A (－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案D解析点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，得|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.12．(2022·合肥模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2－x ＋3y －3＝0相交于A ，B 两点，则sin ∠AOB ＝________.答案158解析因为圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2－x ＋3y －3＝0相交于A ，B 两点，所以直线AB 的方程为(x 2＋y 2－4)－(x 2＋y 2－x ＋3y －3)＝0，即x －3y －1＝0，所以圆心O (0,0)到弦AB 的距离为d ＝12，所以|AB |＝222－d 2＝15，所以在△AOB 中，|OA |＝|OB |＝2，由余弦定理得cos ∠AOB ＝4＋4－152×2×2＝－78，所以sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝1－4964＝158.13．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4,0)，B (0,2)，则()A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，因为4＋115<5＋1255＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4<1255－4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋ 5－2 2－42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确．14．(2023·衡水中学模拟)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0,0)，半径r1＝3，依题意，得圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图，因为圆C2与圆C1内切，则|OC2|＝r1－r2，即r2＝r1－|OC2|，而点C2在线段AB上，过O作OP⊥AB于P，则|OP|＝|－5|32＋42＝1，显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2，即圆C2的半径的最大值是2.。
高考数学总复习 第八章 解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文_00001
解：由题意得圆心 C(1,2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，∴点 P 在圆 C 上． 又 kPC＝2－2＋21－ －21＝－1， ∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
提醒：上述方法中最常用的是几何法． 2．已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结 合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．
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(1)(2019·湖北七市联考)已知圆 C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，设条件 p： 0＜r＜3，条件 q：圆 C 上至多有 2 个点到直线 x－ 3y＋3＝0 的距离为
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又圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心 N(1,1)，半径 r2＝1， ∴|MN|＝ 0－12＋2－12＝ 2.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3， ∴两圆相交．
法二：由题知圆 M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直
线
x＋y＝0
的距离
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【条件探究 3】 若将本典例(1)中的条件“外切”变为“相交”， 求公共弦所在的直线方程．
解：由题意把圆 C1，圆 C2 的方程都化为一般方程，得 圆 C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，① 圆 C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，② 由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0， 即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0 为所求公共弦所在的直线方程．
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2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
消去y，整理得(1＋
则Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20＞0，所以直线 l与圆C相交．故选A.
方法技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1．几何法：利用 d 与 r 的关系．见典例 1，典例 2 答 案解法二． 2．代数法：联立方程之后利用 Δ 判断．见典例 2 答案 解法一． 3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆 内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法， 点与圆的位置关系法适 用于动直线问题．
冲关针对训练 3 直线 y＝－ x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个 3 不同的交点，则 m 的取值范围是( A．( 3，2)
C.
)
B．( பைடு நூலகம்，3)
2 3 D.1， 3
3 2 3 ， 3 3
解析 |m|
当直线经过点 (0,1)时，直线与圆有两个不同的
3．小题热身 (1)(2017· 西安调研)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2 ＝2 有公共点，则实数 a 的取值范围是( A．[－3，－1] C．[－3,1] B．[－1,3] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) )
解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2， |a－0＋1| ∴ 2 2≤ 1 ＋－1 选 C. 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故
第8章
平面解析几何
8． 4
直线与圆、圆与圆的位置关系
基础知识过关
[知识梳理] 1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程， 消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.
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5年22考
(1)方程中含有参数的直线与圆 的位置关系的判断；
(2)利用相切或相交的条件确定 参数的值或取值范围； (3)利用相切或相交求圆的切线 或弦长.
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．直线与圆的位置关系(半径 r，圆心到直线的距离为 d)
2.圆与圆的位置关系(两圆半径 r1，r2，d＝|O1O2|)
「应用提示研一研」 1．辨明两个易误点 (1)对于圆的切线问题， 尤其是圆外一点引圆的切线， 易忽视切线斜率 k 不存在的 情形． (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
2．求圆的弦长的常用方法 (1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 (2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝
3．两圆 x2＋y2－2y＝0 与 x2＋y2－4＝0 的位置关系是( A．相交 C．外切 B．内切 D．内含
)
解析：两圆方程可化为 x2 ＋ (y － 1)2 ＝ 1， x2 ＋ y2 ＝ 4. 两圆圆心分别为 O1(0,1)， O2(0,0)，半径分别为 r1＝1，r2＝2. ∵|O1O2|＝1＝r2－r1.∴两圆内切，故选 B.
3
考点疑难突破
直线与圆的位置关系
[题 组 训 练] 1．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系 是( ) A．相切 C．相离 B．相交 D．不确定
解析：因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外， |a· 0＋b· 0－1| 1 所以 a ＋b >1，从而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝ ＝ 2 2 2 2 a ＋b a ＋b
|a×0＋b×0－1| 2 2 解析： <1 ，∴ a ＋ b >1，∴P(a，b)在圆外． 2 2 a ＋b
答案：B
2．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( A．x＋ 3y－2＝0 C．x－ 2y＋4＝0 B．x＋ 3y－4＝0 D．x－ 3y＋2＝0
)
解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为 2，点 P 在圆上，设 切线方程为 y－ 3＝k(x－1)， |2k－k＋ 3| 3 即 kx－y－k＋ 3＝0，∴ ＝2，解得 k＝ ， 2 3 k ＋1 3 ∴切线方程为 y－ 3＝ (x－1)，即 x－ 3y＋2＝0. 3 答案：D
答案：B
4．直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为________．
|2－2－3| 3 解析：因为圆心(2，－1)到直线 x＋2y－3＝0 的距离 d＝ ＝ ，所以直 5 5 线 x＋2y－3＝0 被圆截得的弦长为 2 9 2 55 4－ ＝ . 5 5
2 55 答案： 5
必修部分
第八章 解析几何
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
栏 目 导 航
考情分析
1 3
考点疑难突破
基础自主梳理
2 4 课时跟踪检测
Байду номын сангаас
1
考 情 分 析
考点分布
考纲要求
考点频率
命题趋势
直线与圆，圆与圆的位置关系 一直是高考考查的热点，主 要考 查：
1.能根据给定直线、圆的 方程判断直线与圆的位 置关系；能根据给定两 直线与圆、 个圆的方程判断两圆的 圆与圆 位置关系． 的位置 2.能用直线和圆的方程解 关系 决一些简单的问题． 3.初步了解用代数方法处 理几何问题的思想.
2 2
<1， 所以直线与圆相交．
答案：B
2．若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x－2)2＋y2＝1 有公共点，则直线 l 的斜率的取 值范围为( ) B．(－ 3， 3)
D． －
A．[－ 3， 3]
C. －
3 3 ， 3 3
3 3 ， 3 3
解析：设直线方程为 y＝k(x－4)，即 kx－y－4k＝0，因为直线 l 与曲线(x－2)2＋ y2＝1 有公共点， 所以圆心到直线的距离 d 小于或等于半径， |2k－4k| 3 3 所以 d＝ 2 ≤1，解得－ ≤k≤ . 3 3 k ＋1
l 2 2 2 l，则 ＝ r － d . 2
1＋k2[x1＋x22－4x1x2].
「基础小题练一练」 1．(2017 届衡水中学月考)若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交，则 P(a，b)与 圆 x2＋y2＝1 的关系为( A．在圆上 C．在圆内 ) B．在圆外 D．以上都有可能
圆与圆的位置关系
[典 例 导 引] 圆 O1 的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，圆 O2 的圆心坐标为(2,1)． (1)若圆 O1 与圆 O2 外切，求圆 O2 的方程； (2)若圆 O1 与圆 O2 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 2，求圆 O2 的方程．
【解】 (1)∵圆 O1 的方程为 x2＋(y＋1)2＝4， ∴圆心 O1(0，－1)，半径 r1＝2. 设圆 O2 的半径为 r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2. 又|O1O2|＝ 2－02＋1＋12＝2 2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝2 2－2. ∴圆 O2 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2.
答案：C
判断直线与圆的位置关系一般有两种方法 (1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关 系．这种方法的特点是计算量较小． (2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次 方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．
答案：C
3． (2017 届聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9 上到直线 3x＋4y－11＝0 的距离等于 1 的点的个数为( A．1 C．3 ) B．2 D．4
|9＋12－11| 解析：因为圆心到直线的距离为 ＝2，又因为圆的半径为 3，所以直线 5 与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个．