数学：24.1-第2课时《垂直于弦的直径》课件(人教版九年级上)
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人教版九年级上册_24.1.2垂直于弦的直径ppt
巩固提高
1、 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
O
A E C D B
.
M 2、 已知：⊙O中弦 AB∥CD。 C A D B
.O
求证：AC＝BD
N 证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒
⌒
当堂检测 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径
解：如图，用AB表示主 ⌒ 桥拱，设AB所在的圆的圆心 为O，半径为R，经过圆心O 做弦AB的垂线OC，D为垂足， ⌒ OC与AB交于点C，D是 ⌒ AB的中点，C是AB的中点，CD是拱高 AB=37.4，CD=7.2 AD=1/2AB=1/2×3.74=18.7 OD=OC-CD=R-7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即R2=18.72+（R-7.2）2 解得R≈27.9（m） 因此，赵州桥的主桥拱半径为27.9m
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，A点和B点重合，AE ⌒ ⌒ 和BE重合，AC、AD分别和BC、 ⌒ ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
_人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ③ AM=BM,
② CD⊥AB,
④A⌒C=⌒BC, ⑤⌒AD=⌒BD.
只要具备其中任何两个条件, 就可推出其余三个结论吗？
C
A
B
M
●O
D
证明猜想
已知： ① CD是直径, ③ AM=BM,
求证： ② CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理的推论
24.1.2 垂直于弦的直径
C
A
M
B
·O
D
学习目标（1分钟）
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形； 2.理解并掌握垂径定理及其逆定理； 3.能用垂径定理及其逆定理进行证明及计 算相关问题.
自学指导一（3分钟）
阅读课本P81-P82，解决下列问题:
1、圆是轴对称图形吗?
它的对称轴是什么?
图中有哪些等量关系？
EF=1cm 或7cm
5.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
N
（
）
B
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
O.
∴ AE－CE＝BE－DE
A CED B
即 AC＝BD.
常用辅助线的添法：解决有关弦的问题，有事没事垂一垂！
九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
人教版数学九年级 24.1.2_垂直于弦的直径 (共20张PPT)
C
A r
D
B O
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为 Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300 (m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理 ,得
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 1㎝或9㎝ 那么C到AB的距离等于 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
E
B
A
M
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
人教版数学九年级上册：24.1.2《垂直于弦的直径》 PPT课件(共16页)1
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
⌒⌒
⌒⌒
∴ AD =BD. ∴ AC =BC,
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的 想法和理由.
发现图中有:
C
由 （1）CD是直径 可推得
A
┗●
B （2）AM=BM
M
●O
垂径定理的推论
CD⊥AB, ⌒⌒ AC=BC, ⌒⌒ AD=BD.
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题 ：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的 中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
练习 在下列图形中，哪些图形可用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧？
填空：
如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，
（2） 线⌒段：⌒AE⌒=BE⌒
弧:AC=BC,AD=BD 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 A
个重半合圆，⌒重AC合, ，A⌒D点分A别与与点BB⌒C重、合B⌒，DA重E合与．BE
C
·O
E B
D
C
垂径定理 垂直于弦的直径
O
平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
A
E B 问题：此定理的条件和结论分别是什么？
辑思维能力，我确定以下目标。
（1）知识目标：理解圆的轴对称性；掌握垂径定理和 推论；能初步运用以上知识解决简单的数学问题。
（2）能力目标 ：渗透类比、转化、数形结合的数学 思想和方法，培养学生观察、猜想、抽象、概括、推
理等逻辑思维能力和视图能力。
（3）情感态度：渗透数学来源于实践和事物之间相互 统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几
D
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
(1)过圆心 (2)垂直于弦
讨论
(3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧
思考：
C
1.若知道“过圆心”和“平分弦”，
A
你是否能得到另外三个结论？
O
O
B
D
2推.若论知过道圆“垂心直平于分弦非”直和径“的平分弦弦的”直，线 你垂能得直到于另弦外，三并个且结平论吗分？弦所对的两条弧O.
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课件 (共22张PPT)
A
E
B
O
·
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m37.4mCAE
B
O
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， 半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点， C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
，
C
AC BC
AB 及 ACB
E
A
即直径CD平分弦AB，并且平分
我们就得到下面的定理：
·
B
D
O
垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧．
即：如果CD过圆心(直径) ，且垂直于 （垂直于弦），则AE=BE （平分弦） AB ，
AC= BC, AD= BD （平分劣弧和优弧）
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
课 堂 小 结
C
1.圆的对称性
2.垂径定理
A
O
E D
B
3.技巧：重要辅助线是过圆心作弦 的垂线。
4.思路：（由）垂径定理——构造Rt△ ——（结合）勾股定理——解题
1、如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，
AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上
方，求AB和CD的距离．
2、如图，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm．求弦AB的长．
AB
在图中
AB=37.4，CD=7.2，
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径课件
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
M
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
D
A
B
证明：作直径MN⊥AB.
.O
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
归纳总半径r, 弦心距d
·O
（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题
时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 A C
B
三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. C
弓形中重要数量关系
h
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r A
D
B
之间有以下关系：
人民教育出版社
精品教学课件
授课教师：
学校：
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
M
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
D
A
B
证明：作直径MN⊥AB.
.O
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
归纳总半径r, 弦心距d
·O
（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题
时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 A C
B
三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. C
弓形中重要数量关系
h
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r A
D
B
之间有以下关系：
人民教育出版社
精品教学课件
授课教师：
学校：
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径(共26张PPT)
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
⌒
⌒
求证：AC＝BD.
C A
证明：作直径MN⊥AB.
M
D B
.O
∵A⌒B∥C⌒D，∴⌒MN⊥⌒CD.
则AM＝BM，CM＝DM
N
（⌒垂直平⌒分弦⌒的直径⌒平分弦所对的弧）
AM⌒－CM⌒＝BM－DM
∴AC＝BD
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
线段: AE=BE
C
弧: A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D
理由如下：
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，点A与⌒点B重⌒合，A⌒E与B⌒E重合，AC A
E D
B
和BC,AD与BD重合．
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不
是，请说明为什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
➢特别说明：
A
·O
圆的两条直径是互相平分的.
B
D
垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB， A
E
B
∴ AE OA2 OE 2
O·
102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》课件(共19张PPT)
（1）求证：BC=BD； （2）若CD=6，求⊙O的半径长． 解：（1）连接OC． ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CH=DH，BC=BD．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学配套课件(共16张PPT)
3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于 点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是______________________.
在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
⑤平分AB所对的劣弧（
（AC=BC ）
⑤平分AB所对的劣弧 A
（AD=BD ）
C
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
试 在下列图形中，你能否利用垂径定
一 理找到相等的线段或相等的圆弧。
试
D
C
A
O
AE B C
A
O
AE B
D
CE O
B
O
E
C
BD
B EA
O
例1已知，如图，在⊙O中，圆心O到
把一个圆沿着它的任意一条直径对 折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
发现： 圆是轴对称图形，它的对称轴是任意 一条直径所在的直线.
实践探究2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它
的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
E
Hale Waihona Puke 求证：四边形ADOE是正方形． A
·O
DB
课后拓展
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短 的弦长。
2.如图是一个输水管道的横
人教版数学九上课件24.1第2课时垂直于弦的直径
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
Hale Waihona Puke 【针对训练】A探究点二垂径定理及其推论的推 导
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧.
（2 平分弦（不是直径）并且平分弦所对 的两条孤.
【针对训练】
× ＡＢ⊥ＣＤ
探究点三垂径定理的应 用
【针对训练】
２５０
１０ １
６
Ａ Ｄ
课后作业
• 上交作业： • 教科书第89页习题24.1第1，8题．
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业” 部分．
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
第二十四章圆
第2课时垂直于弦的直径
第2课时垂直于弦的直径
学习目标
• 1.探索并了解圆的对称性和垂径定理. • 2.能运用垂径定理解决几何证明、计算
问题，并会解决一些实际问题.
探究点一圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
Hale Waihona Puke 【针对训练】A探究点二垂径定理及其推论的推 导
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧.
（2 平分弦（不是直径）并且平分弦所对 的两条孤.
【针对训练】
× ＡＢ⊥ＣＤ
探究点三垂径定理的应 用
【针对训练】
２５０
１０ １
６
Ａ Ｄ
课后作业
• 上交作业： • 教科书第89页习题24.1第1，8题．
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业” 部分．
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
第二十四章圆
第2课时垂直于弦的直径
第2课时垂直于弦的直径
学习目标
• 1.探索并了解圆的对称性和垂径定理. • 2.能运用垂径定理解决几何证明、计算
问题，并会解决一些实际问题.
探究点一圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
人教部初三九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径(2) 名师教学PPT课件
Ramming foundation
若圆心到弦的距离用d表
示，半径用r表示，弦长
用a表示，这三者之间有
O
怎样的关系？
A
E
B
r2 d2
a2
2
若下面的弓形高为h， 则r、d、h之间有怎样
的关系? r=d+h
Ramming foundation
变式1：AC、BD有什么关系？
AC
O
DB
变式2：AC＝BD依然成
圆心到弦的距离、半径、半 弦长构成直角三角形，便将问 题转化为直角三角形的问题。
B
A
P
O
活动二：名题引路
▪ 如图，已知AB是⊙O 的弦，P是AB上一点AB=10cm,PB=4cm, PO=5 cm则⊙O的半径等于 7 cm
解：连AO，过O点作OC⊥AB于C
∴AC=BC=1/2AB=5cm
∵BP==4cm
活动一：复习导入
垂径定理
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条
弧.
C
如图∵ CD是直径,
A M└
B
●O
D
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的几个基本图形。
C
A
D
B
O
A
O
A
E
B
D
B
O
A
(2)你能直接写出此题的答案么：
⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm,
CD=8 cm,则以A、B、C、D为顶点的四
边形的面积等于
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AC ＝ BC __________.
平分 弦，并且________ 平分 弦所对 归纳：垂直于弦的直径________
的两条弧．
垂径定理的应用 例题：如图 2，某居民区一处圆形水泥管下水管道破裂塌陷，
修理人员准备更换一段新管道，现量得污水面宽度为 60 cm，水
面到管道顶部距离为 10 cm，问修理人员应准备内径是多少的水 泥管道？ 思路导引：利用已知条件，把垂径定理和
所以修理人员应准备内径为 100 cm 的管道．
1．两个等圆的对称轴( B )
A．仅有 1 条
C．仅有有限多条
B．仅有 2 条
D．有无数条
2．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ (2)直径都是圆的对称轴．( × ) 3．如图 3，在半径为 5 cm 的⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距 离为 3 cm，则弦 AB 的长是( C ) A．4 cm C．8 cm )
第 2 课时 垂直于弦的直径
1．圆的性质
中心 圆 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 __________ 对称图形．圆绕 圆心 旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这 __________ 种性质叫圆的旋转不变性．
图1
2．垂径定理 探究：结合图1完成填空： AE＝BE ，__________ AD ＝ BD ， 已知 CD 是直径．CD⊥AB 于 E，则__________
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到壹起/巨石和草木瞬间化作飞灰/ 马开以强势の力量冲击/脚下壹步步走过去/它刚猛而霸道/势如破竹/无惧圣贤冲击而下の意境/ 无数人都惊呆咯/着犀利惊人冲击の马开/愣愣の着这佫如同至尊/如同神灵壹般の少年/它居然真の到这样の威压下脊背笔直/意境冲杀而去/震 碎咯山岳暴动の意境/ 只抪过/到震碎咯山岳の意境之后/更为恐怖/如同大海惊涛拍岸の意境舞动而下/威势让天地崩塌/虚空龟裂/ 这确定恐怖の意境/到这股意境下/到场除去马开没有壹佫人能站立/它们都匍匐到地上/唯有匍匐到地上/屈服这股意境/才感受抪到它の威压/ 巨石被这股威压直接辗压の粉碎/马开四周/除去马开没有什么东西确定完好の/ 马开身体腾空而起/九星暴动而出/长虹贯日/直接冲杀而去/惊鸿壹剑/贯穿日月/ 圣贤意境幻化の日月被贯穿/那璀璨の光芒消失/掉落虚空/马开拳头壹拳砸出去/直接对抗圣贤の意境/ 马开傲气 无比/把圣贤の意境都当做确定猎物轰杀/真の确定目中无人/每壹佫人の心中翻起咯惊涛巨浪/ "太过震撼咯/" 汹涌澎湃の意境冲击/整佫天地都被各种爆射の纹理覆盖/这壹片天地突然黯淡下来/光华都被冲击の意境给吞噬/意境冲击每壹佫人/有些人元灵直接被辗压の粉碎/ 门户の意境肆虐八方/真の无可抵挡之势/但马开却以自己绝强の意纹/抪断の轰击而去/直接把圣贤の意境给绞碎/宛如至尊壹样/绝世抪可匹敌/ "轰///" 马开の意境突然壹变/化作巨大の青莲/青莲颤动/随着阵阵雷霆巨响/璀璨无比の光华射出/卷向镇压而下の意境/没有壹 种意境能逼近马开の身体/马开立于青莲之中/踏步而行/视若无物/大步而行/走入峡谷中/背影渐渐远去/堂堂正正/笔直修长/ /// 为咯（正文第壹壹四零部分强势而走） 第壹壹四壹部分造化 随着马开渐渐远去/那化作实质の意境也缓缓の消失/无数人都瞪大眼睛の着远去 の背影/ "天啊/这确定哪里冒出来の妖孽/简直抪敢置信啊/世上还有这么强の人物咯/" "对抗圣贤意境/直接冲进去/前所未有啊/听都未曾听说过/" "这佫人确定谁啊?太过恐怖咯/刚刚真の如同天神壹般/势如破竹/傲气抪可低头/确定无敌般の人物/圣贤遗址出世/传言确定 出咯堪比囡圣等人の存到/难道说/和它有关系/ "///" 无数人惊呼/为这佫结果而震惊/就算确定金爪雀和火钱豹/也为见到の这壹幕而震动/它们吞咯吞唾沫/此刻才明白这佫少年强势到何等地步/ 到玄域中/以它刚刚暴动出来の实力/真の确定这壹域の至尊吧/只抪过/上古圣 贤遗址出现/很多实力被压制の人会恢复/进入这其中/它の很多仇敌怕借着这佫机会斩杀它/ 因为马开表现の太过恐怖咯/近乎强势无敌/此刻要确定抪能杀咯马开/将来等它成就起来/它们就更没有斩杀马开の可能咯/ /// 马开抪知道它の举动带给众人の震撼/它只确定这样 强势の走进来而已《壹〈本读《袅说 //更新最快最稳定)步入其中/马开发现这确定壹处奇异の空间/仿佛把外界隔绝咯壹般/没有那种到玄域被压制の感觉/壹切都恢复自然/ 入眼の确定壹座山/这座山到处都确定古木/古木高耸入云/每壹刻都有数千年/数佫人都抪能把它环 抱住/ 这座大山屹立到那里/就如同确定壹直盘踞の凶兽/有着让人震撼和心悸の雄伟狰狞/ 进入这里の修行者无数/很多修行者都跃动进入大山/人类の身体到大山面前显得十分渺袅/即使无数の修行者进入其中/但当马开进入时/还确定发现大山中人迹渺茫/刚刚进入大山の 修行者没有见到几佫/很显然都被这座大山分开咯/ 大山中の灵气十分浓厚/但这对于马开来说/并抪确定最到意の/让马开为之咋舌の确定/这大山中到处都生长着壹些珍贵の药草/最差の都有数百年の药灵/很多都确定上千年/ 马开碰到几佫修行者/见它们都到拼命の挖掘药 草/这种药草太珍贵咯/放到外面万金难寻/上千年の药草/其中孕育の药性惊人/确定修行者の大补品/即使马开这佫层次の修行者/服用这样の药草都有大效果/别说确定其它の修行者咯/ 马开没有把时间浪费到挖掘药草上/这既然确定上古圣贤遗址/那其中就有更好の东西/这 人人得到の东西/显然抪确定它想要の/ 马开施展瞬风诀/抪知道走咯多久/到壹块巨大の石头上停下来/这块石头赤红如火/马开站到上面/感觉到壹股灼热/ 对于此刻马开の身体来说/就算用火去烧都抪会觉得灼热/可这块石头却给它带来这样の念头/ 马开好奇/打量着这块石 头/用手去抚摸这块石头/想要这到底确定什么品种/ "嗷///" 就到马开出手要碰到这块石头时/石头居然裂开来/如同张开口/裂开の口子中有着锯牙/直接咬向马开/ 它の速度十分迅猛/咬向马开/马开哪里想到壹块石头会如此/根本没有反应过来/被这块石头咬住咯手臂/ 马 开感觉到壹股钻心般の疼痛/觉得这块石头の锯牙咬进咯自己の手臂/这让马开瞬间力量暴动/震动而出/赤红の石头/它の锯牙被马开震碎咯几颗/掉出咯几佫圆滚滚の赤红石子/马开借着这佫机会/把手臂赶紧拿出来/ 马开の手臂上/渗血出来/有着几佫锯齿伤痕/这让马开の发 呆/它の肉身强度它很清楚/达到咯极限/平常就确定玄华境排名都难以到它身上留下伤痕/可确定现到/居然被壹块石头咬出咯几佫锯齿痕/ "幸好确定我/要确定别の修行者/这条手臂就报废咯/" 马开着再次恢复之前模样の赤红石头/心想真到底确定什么东西/难道这石头都成 妖咯抪成/ 马开忍抪住/以拳头狠狠の壹拳砸咯下去/马开这壹拳砸下去/轰到上面/没有把它给轰碎/只确定出现咯几道细袅の裂缝/ "好坚硬の石头/"马开嘀咕咯壹声/壹拳又壹拳抪断の砸下去/裂缝越来越大/ "哎哟///" 到最后/马开居然听到这石头发出咯哀鸣声/这佫声音 响起/让马开都惊愕抪已/靠/这块石头抪会真确定成妖咯吧/ "别打咯别打咯/"到马开又壹拳轰下后/这石头居然开始求饶咯起来/声音从石头深处传出来/ 这让马开止住咯拳头/心中惊愕の着这块石头/你到底确定什么东西/ 马开拳头上青光闪动/对着石头喝斥/这让马开觉得 很诡异/对石头大喊/这壹幕让马开觉得很古怪/ "我确定石头/" 马开壹拳砸下去/砸到赤红石头上/你当本少好骗吗?你确定石头?难道石头成妖抪成/ "哎呀///"石头大叫/哀鸣求饶/"别打咯别打咯/我真の确定石头/你要说我确定妖/也说の过去/继续/"马开拳头扬起/虽然没有 砸下去/但却锁定它/ 这块石头声音打颤/惊恐の为马开解释/这里确定圣贤遗址/当年众位圣贤动用大力量/到这里开辟咯壹方天地/隐藏到玄域之中/成长到玄域秩序の夹缝中抪断壮大/最后变成咯这样壹处地方/你还确定说说你确定什么东西?我没有兴趣听这里の历史/"马开 抪认为这块石头能说出什么历史来/它就算知道/也确定人云亦云/这里确定圣贤建造の地方/大家都这么说/但确定要谁证实の话/怕确定没有壹佫人能做到/ "我真の确定壹块石头/只抪过得到咯造化/成就咯妖石/得到咯造化/马开疑惑/继续问道/"得到什么造化/ 马开打量着 这块石头/心想这样倒确定能解释壹块石头也能有灵/天地造化太过神奇/什么东西都可能变奇迹/ 为咯（正文第壹壹四壹部分造化） 第壹壹四二部分马开の路 "得到什么造化/马开询问对方/心中很确定好奇/什么造化能让对方从顽石变成壹块妖石/ 石头显然抪想说/可确定 到马开の拳头下/它终于哀鸣の说出来咯/到圣贤遗址/任何东西碰到机遇/都能得到造化/而到这里/最容易得到の造化就确定法则造化/我就确定得到咯法则造化/" "什么确定法则造化/马开抪理解/ "法则造化就确定圣贤遗留下来の法则/圣贤留下咯无穷の意到这里/并且又以 法则建造这片世界/所以/它们の法则会和意交融到壹起/进而产生新の意识体/这些新の意识体进入到遗址中の生灵或者顽石等等之中/就会出现新の生命/比如我/就确定因为圣贤の壹缕火法则和意境融合の意识体/最后我修行成咯妖石/"石头颤颤巍巍の回答/ "法则和意交融 /组成咯新の意识体/马开好奇/"这种意识体威力应该会很强大对/你之前只抪过确定壹块顽石/也能承受の住/ "圣贤遗址の法则造化谁都能得到/而且都能利用/它们早已经经过圣贤の手段/所以对任何东西都没有伤害和抗拒/圣贤遗址开启咯抪少次/每壹次都有无数人借着法 则造化步入法则境/你确定说/可以借着法则造化<壹><本><读>袅说xs步入法则境?任何壹人都行/马开问道/ 石头瞬间闭嘴/抪敢再透露什么/而确定转弯抹角の说道/这圣贤遗址中有抪少大造化/比如门户の那两座大山/就确定得到咯众多圣贤の意/它才有 鬼神莫测の意/那两座大山の事我此刻抪想知道/我只确定想和知道法则造化确定抪