不定积分的第一换元积分法
不定积分的计算
1 2
1 u
du
1ln|u| C 2
注意换回原变量
1ln|2x1|C. 2
例2 求 xsinx2dx.
解： ux2,du2xdx 则
想到公式
sinudu
co suC
xsinx2d x1 2sinx22xd x
1 2
sinudu
1cosuC. 2
1cosx2 C. 2
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进 一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练 以后, 可以不写出中间变量 u.
分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积 的不定积分问题的.
例1. 求 xlnxdx.
u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.
解: 令 ulnx, v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 x2 2
ln x
1 2
(1x3)2dx3
1
(1x3)2d1x3
2(1x3)32 C. 3
例14
求
dx x2 a2 .
解x2d xa2(xa d )(xxa)21a(x 1ax 1a)dx
2 1 a(x 1adxx 1adx)
2 1 a [ x 1 a d (x a ) x 1 a d (x a ) ]
1(x2 1 )arctanx1x C .
2
2
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
例5 求 ln xdx.
解 设 u = lnx, dv = dx, 则 du1dx,vx, x
于是lnxdxx1nx
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
不定积分的计算
u3 u 2 du C 3
cos 2 xd cos x d cos x
1 cos3 x cos x C. 3
1 例8 求 e x e x dx.
1 e 解 x x dx 2 x dx e e e 1
x
de x e x dx
d sin x cos xdx
sin x (1 sin x ) d (sin x )
2 2 2
(sin x 2 sin x sin x )d (sin x ) 1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7
2 4 6
sin 2 x cos xdx. 例5 求
d sin x cos xdx
2
解
sin
2
x cos xdx
sin x
d sin x
u3 u 2 du C 3
1 3 sin x C. 3
一般地, 有
sin x f (cos x)dx f (cos x)d cos x;
2 t ln 1 t C.
2
x ln 1 x C.
例2 求
1 dx . x 1 e
解 令 t 1 e x 则 ex t 2 1, x ln t 2 1 ,
2t dx 2 dt , t 1 1 1 2 1 1 e x dx t 2 1dt t 1 t 1 dt
则
f ( x)dx F x +C ,
1
若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法
不定积分是微积分中的一个重要概念，可以用来求解函数的原函数。
其中，不定积分第一类换元法是常用的一种方法之一。
不定积分第一类换元法，也叫做一般换元法，是指通过代入新的自变量来将被积函数化为更简单的形式，从而便于求取原函数的方法。
具体来说，将被积函数中的自变量用一个新的变量替代，然后将原本的自变量用新变量的函数表示出来，并将其代入被积函数中，最后通过简单的代数运算求取原函数。
换元法的主要思想是通过变量代换，将一个复杂的函数转化为一个简单的函数，从而使不定积分的计算更加容易。
在进行不定积分第一类换元法时，需要注意两个方面：
1、选择合适的换元变量：要选择一个能够将被积函数转化为更简单形式的变量，通常选择被积函数中的某个因子或者某个函数。
2、确定新的积分上下限：在将原函数用新变量表示出来后，需要将积分上下限也用新变量表示出来，以便对新函数进行积分。
例如，对于不定积分∫x^2/(x+1)^3 dx，我们可以选择x+1 作为新变量，即令t=x+1，则原不定积分可以表示为∫(t-1)^2/t^3 dt。
然后，我们对新函数
进行简单的代数运算，得到原函数为-1/(2(t+1)) - 1/(t+1)^2 + C。
需要注意的是，在换元法中，要保证函数的可导性和单调性，以便进行变量代换和积分。
此外，还需要注意积分上下限的变换，避免出现错误的结果。
综上所述，不定积分第一类换元法是一种常用的方法，可以通过选择合适的换元变量将被积函数转化为更简单的形式，并通过代数运算求得原函数。
这种方法在解决某些特定的积分问题时非常有用。
不定积分的第一类换元积分法
第二节 不定积分的换元积分法
第一类换元法. 第一类换元法.
3
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一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
f[j(x)j](x)dx[ f(u)du]uj(x)
(1)
证 因 [F(j(x)])F(j(x))j(x)
结束
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例12Hale Waihona Puke 求11 e
x
dx
解 法一
1 1 ex
dx
1 e x
1ex
e
x
dx
11exex dx
dx ex dx 1ex
dx
1
1ex
d(1ex)
u = ex
exdxd(ex)
xln1(ex)C
12
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例9
x
1 x4 dx
1
2
1 1(x2)2
d
(x2)
1dxd(lnx) x xdx1d(x2)
2
1arctax2n)(C. 2
10
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jj jjj f [ ( x ) ( x ) ] d x f [ ( x ) d ( x ] ) ,u ( x ) ?
例 4 . x 1 x 2 d 1 2 x 1 x 2 ( 1 x 2 ) d 1 2 x 1 x 2 d ( 1 x 2 ) u2x.
微积分不定积分__换元积分法(第一类)
例18 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 x 1 d dx = ∫ 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1− arcsin 2 2 2
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
小结 常用简化技巧 常用简化技巧:
§3.2 换元积分法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 ③1 ①1 ②1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C= 2 sin 2 x + C .
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a a +x
1 x 1+ a
2
dx
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ 记住此公式 a
1 1 x dx = arctan + C ∴∫ 2 2 a a a +x
例7. 求 解法1 解法
dx ∫1+ ex .
(1+ e ) −e = =∫ dx ∫ x 1+ e −ln( + ex ) +C 1 =x
x x
d(1+ ex ) dx − ∫ 1+ ex
解法2 解法
e d(1+ e ) =∫ dx = −∫ −x −x 1+ e 1+ e = −ln(1+ e−x ) +C
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
不定积分求解方法换元法
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C
a
a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
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例3. （P223） 求
dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
d (ax)
a2 x2 a 1 (ax)2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u )f(u ),u(x)可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)d x
f[(x) ](x)d x F[(x) ]CF(u)Cu(x) f(u)duu (x)
f[(x) ](x)dx 第一类换元法 f (u)du 第二类换元法
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a f(axb) d(axb)
(2 ) f(xn)xn 1d x1 f (xn) d x n n
万 能
(3) f(xn)1dx1 xn
f
du u2 a2
lnuu2a2C 1
lnxx2a2C 1
ln a2 x x2a2
C1
lnx x2a2 C(C C 1 2 la n )
x a 时，
dx x2 a2
lnx x2a2C
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不定积分换元法公式
不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。
不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。
接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。
一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。
下面举例说明这两种换元法的应用。
（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。
设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。
20-不定积分的第一类换元积分法
例6
求
1 ln x (x ln x)2
dx.
解
1 ln x
(x ln x)2 dx
(x
1 ln
x)2
d(xlnx)
u x ln x,
du (1 ln x)dx.
1 C. x ln x
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
通过凑微分确定 u
例7
ln x x
dx
ln x d(ln x)
1 ln 2 x C. 2
例8
x
1 x4 dx
1
2
1
1 (x2 )2
d(x2 )
1 arctan(x2 ) C. 2
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1 dx d(ln x) x
xdx 1 d(x2 ) 2
x2, d(1 x2) 2 xdx.
原式 x
u ( 1 )du 2x
dx 1 du, 2x
1212
1
u u2
d12 duu11uu23 33
23CC11(1(1xx2)223) 33
3
2CC
du
1
u
3 2
3
C
1
(1
x2
)
3 2
4
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一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
不定积分的计算(凑微分法)
ln u C
5
u 35 x
1
ln 3 5x C
5
例3 求
1
1
e x dx
.
x2
解：
1
x2
1 凑微分
e x dx
1 u
1
ex
d
1
x
x
eudu
基本的积分公式
eu C
u1 x
1
ex C
方法熟练之后，可以不用写出换元过程，使计算简便。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos2xdx
1 2
cos2xd(2x)
2x u
1
c
基本的积分公式1 osudu
s
in
u
C
2
2
u 2x
1 sin 2x C 2
这样不定积分的基本积分公式的适用范围就更加广泛。
1.第一类换元法（凑微分法）
定理 若 f (u)du F(u) C ，且u ( x) 有连续函数，则
f ((x))(x)dx f ((x))d((x)) F((x)) C
这种积分方法成为第一类换元积分法，也叫凑微分
法，可以用形象的式子表示如下：
凑微分
f ((x))(x)dx f ((x))d ((x))
变量替换
变量替换
f (u)d (u) F(u) C F ((x)) C
( x)u
u ( x)
说明 使用此公式的关键在于将所求积分
f [(x)](x)dx 凑成 f ((x))d((x))
本节主要讲了不定积分的第一类换元积分法，也称 凑微分法。
第一类换元积分法的步骤：先凑微分，然后换元 （可省略换元过程），根据基本的积分公式计算结果。
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
不定积分的第一类换元积分法
例 6 求不定积分 sin x cos xdx ．
1 2
解法一 sin x cos xdx sin xd(sin x) sin x C ．
2
1 2
解法二 sin x cos xdx cos xd( cos x) cos xd(cos x) cos x C ．
关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．
如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就是第一类换元积分
法，又称为凑微分法．
31-4
第一类换元法(凑微分法)
定理
设函数 f (u ) 在区间 D 上有一个原函数 F (u ) ，u ( x) 在
1 x3 3
解： 原式 e dx
3
u x3
1 u
= e du
3
1 u
e C
3
1 x3
e C
3
解：
ln x
例 3 求
dx ．
x
1 2
解： 原式 lnxdlnx ln x C
2
eex
解
dx
x
1 e
1
x
d(1
区间 I 上（内）可导，且有 { (x)|x I } D ，则
f ( ( x)) (x)dx f ( ( x))d (x)
u ( x )
f (u)du F (u) C F ( ( x)) C ．
31-5
熟记常用微分形式
例1
2 x3
求 x e dx ．
1
[ln|a+x| ln|a-x|] C
不定积分之第一换元法
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解 原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。 对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数 对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法(凑微分法)—、方法简介设/W 具有原函数F("),即F(“) = /(“)，J7("M" = F(“) + C,如果U 是中间变量，“ = 0(X),且设0(X)可微，那么根据复合函数微分法，有dF[(p{x)] = f[(p(x)](p'(x)dx 从而根据不定积分的定义得J f{(p(x)](p\x}dx = F[^(x)] + C = ||/(")如“=如)• 则有定理：设/(“)具有原函数，”=朋)可导，则有换元公式J f[(p(x)](p\x)dx =【]*/(")〃"]“=*)由此定理可见，虽然打[血)]03心是一个整体的记号，但如用导数记号贽中的心及心可看作微分，被积表达式中的心也可当做变量x的微分来对待，从而微分等式(P\x)dx = du可以方便地应用到被积表达式中。
儿大类常见的凑微分形式：① J f (ax + b)dx = —J* f (ax + b)d(ax + Z?) (a H 0)；(2)|/(sinx)cosAz/x = J/(sinx)J sinx ,|f(cosx)sinxdx = -j/(cosx)Jcosx , [/(tanx) —= f/(tanx)J tanx , [ f(cotx) — = - f /(cotxX/cotx:J cos" x J J sinr J'③J f(hyx)-dx = j/(lnx)〃Inx, f(e x)e x dx = jf(e x)de x ;X④|7(疋貯加=丄|7(兀")〃兀"(心o) , ,J n J J x J x x “(石)牛= 2“(仮M(低)；⑤ J* /(arcs in x) : = | /(arcs in x)d arcs in x ；j /(arctanx)〔、= J /(arctanx)J arctanx:⑥复杂因式【不定积分的第一类换元法】已知J = F(u) + C求J g(x)dx = J f ((p(x))(p\x)dx = | 【凑微分】== F(“) + C【做变换，令u =(p{x)»再积分】=F@(x)) + C[变量还原，"=(p(x)]【求不定积分\gMdx的第一换元法的具体步骤如下:1(1)变换被积函数的积分形式：,(兀)心=]7(傾功0(.巧心⑵ 凑微分：Jg(x)〃x=J/(0(x))0a)〃x=“(0(x))心心)(3)作变量代换u =(p(x)得：Jg(x)& = J/0・X))0G皿=打(傾功〃处:)=j f(u)du(4)利用基本积分公式J/(“)血=F(W) + C求岀原函数:J gWdx = | f((p(x))(p\x)dx = J /(仅x))〃傾x) = j f(u)du = F(u) + C(5)将=(p(x)代入上面的结果，回到原来的积分变量x得:J gWdx = J/(0(x))0G)dx = j f((p(x})d(p{x) = = F(u) + C = F((p(x)) + C 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变^u =(p(x).省略⑶⑷步骤，这与复合函数的求导法则类似。
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不定积分的第一换元积分法
不定积分的第一换元积分法也称为凑微分法，这部分内容在解题过程中不易灵活运用。
下面我们把这个方法以及在解题过程的一些技巧简单地向大家介绍一下。
一、第一换元积分法运用的前提条件
由于第一换元积分法是由复合函数求导法导出的，所以当被积函数的形式为
f(u(x))·g(x)，即被积函数为某个复合函数与某个基本初等函数的乘积时，我们可以想到用第一换元积分法来求此不定积分。
二、第一换元积分法的基本解题思路
首先利用g(x)dx凑出微分形式du(x)，然后换元(令u=u(x)) 使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式来求积分，求出积分后再还原。
其中关键的一步是凑成微分形式du(x)，也是大家感觉最困难的一步，因为题中需要有u′(x)dx才能凑成微分形式du(x)，而u′(x)在题中不易被观察出，也就无法凑出微分形式了。
但反过来如已知u(x)，那么它的微分很容易被求出：du(x)=u′(x)dx，只要在原题中凑出u′(x)dx，就可以写出它的微分形式了。
因此找到u(x)成为灵活运用第一换元积分法的关键。
如何找到u(x)呢？u(x)是一个怎么样的函数呢？其实u(x)就是被积函数中复合函数的中间变量。
三、第一换元积分法的具体求解步骤
被积函数一般都可以看成由两部分组成：一部分是一个复合函数f(u(x))，另一部分是某个函数g(x)，即求∫f(u(x))g(x)dx。
其次找出复合函数的中间变量u(x)，求这个中间变量的微分du(x)=u′(x)dx。
将题中的g(x)写成ku′(x)，即
∫f(u(x))g(x)dx=∫f(u(x))ku′(x)dx=k∫f(u(x))u′(x)dx最后根据第一换元积分法的
公式求出积分：
k∫f(u(x))·u′(x)dx=kF(u(x))+c
四、举例
例1、∫x(1-3x2)10dx
解：观察此被积函数有两部分组成：x和(1-3x2)10，
其中(1-3x2)10是一个复合函数，中间变量u(x)=1-3x2，求中间变量的微分du=u′dx=-6xdx，然后就需要在题中凑这个微分，
∫x(1-3x2)10dx
=-■∫(1-3x2)10(-6xdx)
=-■∫u10du
=-■·■u10+1+C
=-■u11+C=-■(1-3x2)11+C
例2、∫■dx
解：观察此被积函数有两部分组成：■和ln3x
其中ln3x是一个复合函数，中间变量u(x)=lnx，求中间变量的微分d(lnx)=(lnx)′dx
=■dx，然后就需要在题中凑这个微分，
∫■dx=∫ln3x(■dx)=∫u3dx
=■u4+C=■(lnx)4+C=■ln4x+C
例3：∫tanxdx
解：此题被积函数为tanx，似乎不能用第一换元积分法来解，但是利用同角三角函数的关系式有tanx=■，就是由两部分组成：sinx和■。
其中■是复合函数，中间变量u(x)=cosx，求中间变量的微分d(cosx)
=(cosx)′dx=-sinxdx。
∫tanxdx=∫■dx=-∫■(-sinxdx)=-∫■d(cosx)=-∫■du=-ln|u|+C
=-ln|cosx|+C
例4：∫■dx (a>0)
解：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元。
设x=asint(-■<t<■)，那末
■=■=acost，dx=acostdt,于是有：
∫■dx=∫acost·acostdt
=a2∫cos2tdt=a2∫■dt=a2(■+■)+C
=■arcsin■+■x■+C
求不定积分不象求导那样有规则可依，根据复合函数求导法则变化而来的不定积分第一换元法，只是其中一种常用技巧。
在使用这种方法求积分时，只有熟悉公式，多练习、多解题，打下基础扎实，才能加以灵活运用。