2011届高三数学一轮复习测试：分类与整合思想

·高三数学·单元测试卷(十七) 第十七单元 分类与整合思想(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数f (x )＝log a x 在[2，π]上的最大值比最小值大1，则a 等于 A ．2πB ．π2C ．2π或π2D ．不同于A 、B 、C 答案2．已知椭圆1522=+m y x 的离心率 e ＝－510， 则m 的值为 A ．3B ．253或3 C ．5 D ．3155或153．设P ＝log a (a 2＋1)， Q ＝log a (a 3＋1)，a >0且a ≠1，则P 、Q 的大小关系是 A ．P>Q B ．P<QC ．P ＝QD ．与a 有关 4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3，2]上的最大值为４，则a 的值为 A ．－3B ．－38C ．3D ．－3或385．如果log a 23<1，那么a 的取值范围是A ．(0，23)∪(1，+∞)B ．(23， +∞)C ．(23，1)D ．(0，23)∪(23，+∞)6．函数y ＝log a x 在x ∈[2，+∞)上恒有|y |>1，则a 的取值范围为A ．12<a <2，且a ≠1B ．0<a <12或1<a <2C ． 1<a <2D ． a >2或0<a <17．若对任意x ∈R ，(m －2)x 2＋4(2―m)x ―4的值恒为负值，则m 的取值范围为 A ．(1， 2) B ．(－∞，2) C ．(1，2] D ．(∞，2]8．设0< x <1，0<a ≠1，则 A ．|log a (1－x )|<| log a (1+x )| B ．|log a (1－x )|＝| log a (1+x )| C ．|log a (1－x )|>| log a (1+x )|D ．|log a (1－x )|与| log a (1+x )|的大小与a 值有关9．已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为A ．1B ．2C ．1或2D ．0或110．若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 A ．252252+-<<--aB ．a ＝1C ．252252+-<<--a 或a ＝1 D．2222a ---≤≤或a =1二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y+1＝0, 2x+y －5＝0，此双曲线的离心率为 12．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共 有 种．13．已知0sin2xx π≤≤=，则tan x ＝ 。

14．若不等式组22202(52)50x x x a x a ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩ ①　②的解集中的整数有且只有—2，则a 的取值范围 ．15．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知函数f(x)＝cos 2x+asinx －a 2+2a+5．有最大值2，求实数a 的值．17．（本小题满分12分）解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax(a ∈R)．18．（本小题满分14分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值．19．（本小题满分14分）已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图．20．（本小题满分14分）已知函数f x ax bx a ()()=+≠20满足f(2) = 0且方程f(x) = x 有两个相等的实根。

（1）求f(x)的解析式： （2）是否存在m 、n ∈R(m < n)，使f(x)的定义域为［m, n ］且值域为［2m, 2n ］？若存在，找出所有m , n ；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足 （Ⅰ）若{a n }是等比数列，试求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；（Ⅱ）当{b n }是等比数列时，甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分类与整合思想参考答案1有关，故应对a 进行分类讨论。

解：⑴当a >1时，f (x )在[2，π]上是增函数，最大值是f (π)，最小值是f (2)，据题意，f (π)－f (2)＝1，即log a π－log a 2＝1，∴a ＝π2，⑵当0<a <1时，f (x )在[2，π]上是减函数，最大值是f (2)，最小值是f (π)，故f (2)－f (π)＝1，即log a 2－log a π＝1，∴a ＝2π。

由⑴⑵知，选C 。

说明：题中字母a 的取值范围的不同，直接影响了函数的性质，从而导致了两种不同的情形，所以必须对字母a 进行分类讨论。

2．分析：椭圆的离心率e ＝c，题中不能确定5与m 中哪个是a ，哪个是b ，故应将5与m 比，分类讨论。

解：据题意m>0且m ≠5⑴当m>5时，a 2＝m ， b 2＝5，∴c 2＝a 2－b 2＝m －5，∴c 2/a 2＝(m －5)／m ， 又e ＝510 ∴m ＝253⑵当<m<5时，a 2＝5， b 2＝m ， ∴c 2＝5－m ， ∴(5－m)／5＝2/5 ∴m ＝3由⑴⑵知 m ＝25/3或m ＝3 故选Ｂ在运用分类讨论思想解决含参数字母的问题时，要克服动辄加以分类讨论的思维定势，应充分挖掘问题的特征，多角度审视参数，变更或变换命题，简化分类讨论，甚至避免分类讨论。

8．析与解：常规思路是分a>1与0<a<1两种情况讨论，过程冗长。

深挖隐含条件 ①log ()log ()log ();a a a x x x 1112-=--+②由0<x <1，有 0101122<<<-<x x ,,1+x >1，则l o g()l o g ()aa x x 112-+与异号。

于是|log a (1－x )|＝|log a (1－x 2)－log a (1＋x )| ＝|log a (1－x 2)|＋|log a (1＋x )|> |log a (1＋x )|。

9．解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或2 10．解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解.当a －1=0时，满足.当a －1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 二、填空题11．255或12．12 13．0 14．［—3，2) 15．300 11．分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．解:（1）当双曲线的焦点在直线y ＝3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴ b ＝2．∴ 555222==+==a a a b a c e ．（2）当双曲线的焦点在直线x ＝1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=ba，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 12．解：分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法。

而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．评注：由以上可以得知：分类讨论的方法步骤：明确讨论对象，确定对象的全体 → 确定分类标准，正确进行分类 →逐步进行讨论，获取阶段性结果 → 归纳小结，综合得出结论． 13．解：常规思路是对左边化简，去根号，讨论cos sin x x22与的大小，从而得到tan x 的值，势必运算量大。

若抓住隐含条件sin x20≥，则十分简捷。

0sin 0x ≥⇒≤。

又 0≤≤x π，则 sin x =0，故 tan x ＝0。

14．分析：常规思路是将②变形为 2520()()x a x ++<。

对a 进行分类讨论，过程复杂。

若挖掘隐含条件，则可得如下简捷解法。

解：不等式①的解集为（—∞，—1）∪（2，+∞）。

又原不等式组的解集中的整数只有—2，则原不等式组的解集为(－3，－1)∪(2，3)的子集。

不等式②变形为2520（。

x a x ++<)() ③ 又—2属于不等式③的解集，知不等式③的解集为（，）--52a , 因此—a 的取值范围只能是（—2，3］。

从而a 的取值范围为［—3，2）。

15．300 三、解答题16．解:f(x)＝1－sin 2x+asinx －a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x 令sinx ＝t, t ∈[－1,1]． 则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[－1,1])． (1)当12>a即a>2时，t ＝1，2533max =++-=a a y 解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）． (2)当121≤≤-a 时，即－2≤a ≤2时，2a t =,262432max =++-=a a y ,解方程为:34-=a 或a ＝4（舍）．(3)当12-<a即a<－2时， t ＝－1时，y max ＝－a 2+a+5＝2即 a 2－a －3＝0 ∴ 2131±=a , ∵ a<－2, ∴ 2131±-=a 全都舍去．综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2． 17．分析： 含参的一元不等式的解集问题，先讨论二次项系数，再对开口方向讨论，再对其两根大小进行分类讨论．解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a －2)x －2≥0, (1)a ＝0时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1]． (2)a ≠0时，不等式即为(ax －2)(x+1)≥0． ① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ． 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在．② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a a ，即－2<a<0时，不等式解为]1,2[-a当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1．综上: a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a；－2<a<0时，x ∈]1,2[-a ； a<－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x|x ＝－1}．评述:本题分类讨论后采用分列式归纳结论，即针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用分列式．18．解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增.从而函数f (x )在［a ,+∞）上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43.19．分析：由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx 2＋y 2＝4的特点，对参数k 分k>1、k ＝1、0<k<1、k ＝0、k<0五种情况进行讨论．解：由方程kx 2＋y 2＝4，分k>1、k ＝1、0<k<1、k ＝0、k<0五种情况讨论如下：① 当k>1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y 轴上，a ＝2，b ＝2k；② 当k ＝1时，表示圆，圆心在原点，r ＝2；③ 当0<k<1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在x 轴上，a ＝2k，b ＝2； ④ 当k ＝0时，表示两条平行直线 y ＝±2；⑤ 当k<0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y 轴上．评述：以上都是由图形的不确定性所引起的分类讨论型问题，应把所有情况分类讨论后，找出满足条件的条件或结论．20．分析：此题属于“轴定区间动”型，常规思路是根据对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论。