河南省2014年高中数学优质课：平面向量数量积 作课课件
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平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
平面向量的数量积课件
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
注意：
“ · ”不能省略不写，也不能写成“×”
0≤θ≤π 两向量的数量积是数量，而且这个数量的
大小与两向量的大小和他们的夹角有关。
向量的数量积是一个实数，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a b a b cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当0
时，a
b
0
当
2时，a
b
0
2
当
时，a
b
0
2
数量积的性质：
(1)当a与b同向时，a b a b 当a与b反向时， a b a b
(2)当a b时， a b 0
数量积的性质：
(3)特别a地 a，当aaaba时 2
或a
a a
a2
5 a
b
a
b
例1.已知 a
5,
b
4, a与b的夹角为。
分别在下列条件下求
2.4平面y 向量的数量积
我们学过功的概念，即一个物体在力 F 的作用下产生位移 S（如图）
F
θ
S
S
力F 所做的功W为
W
F
S
cos ,其中为F与S的夹角
已知两个非零向量a
与
b，它们的
夹a与角为b 的θ，数我量a们积·b把（数=或|量内a||积a| b|）||b，c|co记ossθθ作叫a做·b
a
b。
(1) 120
(2解)a ： b（1）a
b
a
b
cos
= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）
（2）
a
= b
－10
0
作业： 1，Ｐ106 1 2,作业108 2,6
2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ) · ａ·ｂ · ｂ c= ( c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2. a b a b 0
2 2 a | a |
可用来求向量的模
3.投影
a b | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求 的值。 k 2、设a是非零向量，且 c , 求证： b a b a c a (b c )
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 | a | a a 4 cos =
平面向量的数量积_图文_图文
平面向量的数量积_图文_图文.ppt
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
平面向量的数量积课件PPT
想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？ 提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一 个向量． 做一做 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×－ 22＝－12 2.
答案：－12 2
想一想 3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或 相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方 向不一定相同，故该等式不一定成立．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60°，
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×12＝9.
【名师点评】 求两向量数量积的步骤是： (1)求a与b的夹角； (2)分别求|a|，|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用 “·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练
1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a 与b的夹角是60°时，分别求a·b.
a·b
(4)cos θ＝____|a_||_b|____.
(5)|a·b|___≤____|a||b|.
平面向量的数量积_教学PPT课件
a
与
b
的夹角的余弦值为－
2 10 .
(2)设 a 与 c 的夹角为 θ，
则 cos θ＝|aa|··c|c|＝－25·－229＝－75858，
所以 c 在 a 方向上的投影为|c|cos θ＝－72 2.
(3)因为 c＝λ1a＋λ2b，所以5－＝2＝ －λλ11＋ ＋43λλ22， ，
解得 λ1＝－273，λ2＝37.
【解析】 (1)证明：由已知得，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，A→B·A→D＝－3 ＋3＝0，所以A→B⊥A→D.
(2)设 C(x，y)，则由A→D＝B→C得，(－3,3)＝(x－3，y－2)， 所以xy－－32＝＝－3. 3， 解得xy＝ ＝05.， 所以 C(0,5)．
(3)易求得 OD 的方程为 4x＋y＝0.设 M(a，b)，因为点 M 为直 线 OD 上的一个动点，所以 4a＋b＝0，即 b＝－4a.于是M→A·M→B＝ (2－a,1－b)·(3－a,2－b)＝(2－a)(3－a)＋(1－b)(2－b)＝6－5a＋a2 ＋(1＋4a)·(2＋4a)＝17a2＋7a＋8.
|a|＝ x21＋y21
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
典例剖析
知识点 1 平面向量数量积的坐标运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向，且 b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量 a 的坐标； (2)若 c＝(2，－1)，求(b·c)a. 思路点拨： (1)设出向量 a 的坐标，由已知列出方程，即可解得 a 的坐标． (2)用向量的坐标直接计算即可．
解：由向量的数量积的坐标表示可知，a·b＝3k＋0×5， 又 a·b＝3 k2＋25cos 135°， ∴3k＝3 k2＋25cos 135°，得 k＝－5.
2014版高考数学 第四章 第三节 平面向量的数量积课件
设点P，Q满足 AP AB，AQ (1-λ) AC ，λ∈R，若 BQ CP =- 3 ，则λ=______.
2
(3)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB
边上的动点.则 DE CB的值为____，DE DC 的最大值为____.
【思路点拨】
【规范解答】(1)由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x， 即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.
结论
几何表示
模
|a|= a a
数量 积
a•b=|a||b|cos θ
坐标表示 |a|=___x_12__y_12__
a•b=x1x2+y1y2
夹角 cos θ= a • b
| a || b |
| a || b | 2 2 2
又〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉＝ .
3
答案：
3
考向 1 平面向量数量积的概念及运算
【典例1】(1)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中
x∈(0，π).若|a·b|＝源自a||b|，则tan x的值等于_____.
(2)(2012·天津高考改编)已知△ABC为等边三角形，AB=2，
所以sin x＝cos x， 即 x＝故，tan x＝1.
4
答案：1
(2)由题意得 BQ AQ AB 1 AC AB，
CP AP AC AB AC，
又∵ BQ CP且 3， | A〈B || AC〉|=26，0°，AB,AC
2 AB AC | AB || AC | cos 60 2，
2
(3)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB
边上的动点.则 DE CB的值为____，DE DC 的最大值为____.
【思路点拨】
【规范解答】(1)由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x， 即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.
结论
几何表示
模
|a|= a a
数量 积
a•b=|a||b|cos θ
坐标表示 |a|=___x_12__y_12__
a•b=x1x2+y1y2
夹角 cos θ= a • b
| a || b |
| a || b | 2 2 2
又〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉＝ .
3
答案：
3
考向 1 平面向量数量积的概念及运算
【典例1】(1)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中
x∈(0，π).若|a·b|＝源自a||b|，则tan x的值等于_____.
(2)(2012·天津高考改编)已知△ABC为等边三角形，AB=2，
所以sin x＝cos x， 即 x＝故，tan x＝1.
4
答案：1
(2)由题意得 BQ AQ AB 1 AC AB，
CP AP AC AB AC，
又∵ BQ CP且 3， | A〈B || AC〉|=26，0°，AB,AC
2 AB AC | AB || AC | cos 60 2，
平面向量的数量积课件
简化计算过程。
乘法交换律
在计算数量积时，可以运用乘法 交换律，将向量的顺序进行交换
，从而得到不同的结果。
代数化简
在计算数量积时，可以通过代数 化简的方法，将复杂的表达式进 行化简，从而得到更简洁的结果
。
向量分解技巧
向量分解
在计算数量积时，可以将向量分解为若干个简单向量的和或差， 从而简化计算过程。
单位向量的运用
单位向量是模长为1的向量，在计算数量积时，可以运用单位向量 的性质，将复杂的向量进行转化。
向量投影
在计算数量积时，可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到 一个新的向量，简化计算过程。
坐标变换技巧
1 2 3
坐标变换
在计算数量积时，可以通过坐标变换的方法，将 复杂的几何问题转化为代数问题，从而简化计算 过程。
在解析几何中的应用
直线方程
利用平面向量数量积，可 以推导直线的方程，特别 是当已知直线上两点坐标 时。
平面方程
通过平面向量数量积，可 以推导平面的方程，例如 已知平面上的三个点坐标 时。
曲线方程
利用平面向量数量积，可 以推导曲线的方程，特别 是当已知曲线上两点坐标 时。
在物理中的应用
力的合成与分解
与自身正交时取等号。
交换律
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积课件
目录 CONTENTS
乘法交换律
在计算数量积时，可以运用乘法 交换律，将向量的顺序进行交换
，从而得到不同的结果。
代数化简
在计算数量积时，可以通过代数 化简的方法，将复杂的表达式进 行化简，从而得到更简洁的结果
。
向量分解技巧
向量分解
在计算数量积时，可以将向量分解为若干个简单向量的和或差， 从而简化计算过程。
单位向量的运用
单位向量是模长为1的向量，在计算数量积时，可以运用单位向量 的性质，将复杂的向量进行转化。
向量投影
在计算数量积时，可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到 一个新的向量，简化计算过程。
坐标变换技巧
1 2 3
坐标变换
在计算数量积时，可以通过坐标变换的方法，将 复杂的几何问题转化为代数问题，从而简化计算 过程。
在解析几何中的应用
直线方程
利用平面向量数量积，可 以推导直线的方程，特别 是当已知直线上两点坐标 时。
平面方程
通过平面向量数量积，可 以推导平面的方程，例如 已知平面上的三个点坐标 时。
曲线方程
利用平面向量数量积，可 以推导曲线的方程，特别 是当已知曲线上两点坐标 时。
在物理中的应用
力的合成与分解
与自身正交时取等号。
交换律
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积课件
目录 CONTENTS
平面向量的数量积优秀PPT课件
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c
（ √）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=பைடு நூலகம்a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│ =│a││b││COSθ│
又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│
思考：在什么情况下取等号？ 0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
平面向量的数量积教学课件
注意向量的夹角和方向
总结词
平面向量的数量积不仅与向量的模长有关，还与向量 的夹角和方向密切相关。
详细描述
平面向量的数量积是两个向量夹角的余弦值与向量模 长的乘积。因此，向量的夹角和方向对数量积的计算 至关重要。当两个向量的夹角为90度时，它们的数量 积为0；当两个向量的夹角为180度时，它们的数量积 为负；当两个向量的夹角为锐角时，它们的数量积为 正。此外，当两个向量的方向相同时，它们的数量积 为正；当两个向量的方向相反时，它们的数量积为负 。
平行四边形的面积
总结词
平行四边形的面积等于两向量坐标对应 乘积的和。
VS
详细描述
设平行四边形ABCD的两条边AB和AD分 别对应于向量a和向量b，则平行四边形 的面积可以表示为S=|a||b|cos(π−θ)，其 中θ是向量a和向量b之间的角度。可以看 出，当向量a和向量b垂直时， cos(π−θ)=-1，此时面积最小，为0；当 向量a和向量b平行时，cos(π−θ)=1，此 时面积最大，为|a||b|。因此，平行四边 形的面积与两向量的长度和夹
交换律
01
02
03
交换律描述
两个向量的数量积不改变 ，即向量a和向量b的数量 积等于向量b和向量a的数 量积。
数学符号表示
若a = (x1, y1) ，b = (x2, y2)，则a·b = b·a。
交换律的意义
在解决平面向量数量积问 题时，可以任意调换两个 向量的位置，而不会改变 问题的结果。
注意向量的模长和坐标表示
要点一
总结词
要点二
详细描述
平面向量的模长和坐标表示是数量积计算的两种常用方法 ，需注意它们之间的区别和联系。
平面向量的数量积可以通过两种方法进行计算：一种是直 接使用向量的模长和夹角进行计算，另一种是使用向量的 坐标表示进行计算。在使用模长和夹角进行计算时，需要 注意向量的单位长度为1的限制，同时还要考虑向量的方向 。在使用坐标表示进行计算时，需要注意向量的起点是否 重合，以及坐标轴的方向和单位。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
《平面向量的数量积 》课件
平面向量的数量积
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
平面向量的数量积(PPT)5-3
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，怎样 表示向量 AB
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
还”
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
j
a=(x , y)
OiBiblioteka x那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳 聆教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经” 的否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在 句末，表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指 数量或大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来 的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不 逞】动不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、 知识比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己 的见解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，怎样 表示向量 AB
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
还”
5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
j
a=(x , y)
OiBiblioteka x那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳 聆教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经” 的否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在 句末，表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指 数量或大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来 的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不 逞】动不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、 知识比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己 的见解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、
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投影（Projection）：
a
a
b 投影是一个数量 . b a
b cos
A a
a cos A a 叫做向量 b a 在b
1
b
方向上的投影 A. B O
叫做向量 b在a b 方向上的投影 . B A O
1
投影与数量积的结果都是数量. 什么时候为正（Positive）， 什么时候为负（Negative）？ 例1：计算 a b 与 b 在 a 方向上的投影. Task 1 0° 30° 90° 120° 180°
36 6| cos 6 已知| a | 6,|b 44,( a 60 2 b) (4 a 3b) 72,
2.4 平面向量的数量积
The Dot Product of Vectors 第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
Physical Background & Meaning of the Dot Product of Vectors
学习目标(Learning Objectives )：
1.理解平面向量数量积 的概念及几何意义； 2.掌握向量数量积的性 质，会用平面向量的数 量积表示向量的模及向 量的夹角；
a 5
投影
数量积
4
b 4
Task 2
a 3
b 6
投影
数量积
0 -2 -4 20 10 3 0 -10 -20 0° 60° 90° 150° 180°
2 3
6
3
0
18
9
0
3 3 9 3
-6
-18
投影与数量积
1.投影与数量积都与向量的 夹角有关. [0, ) a b 0 2 a b 0 2 数量积 ( , ] a b 0 几何意义 2 2.数量积 a b等于 a 的长度与 b 在 a 方向上 投影 的乘积. a b a b cos
2. ( a) b (a b) a (b)
0
a
a
b
0
a
b
b
(a b) a b cos
( a ) b a cos( ) b ( ( a )b b a b cos aa b cos cos )
3.掌握向量数量积的运 算律.
数量积(Dot Product)的概念：
b 的夹角 为 aa 与 已知两个非零向量 ，我们把数量 b a a与 b bcos [0, ] a b cos 叫做 a 与 b 的数量积(Dot Product) 1.数量积中“·”不能省略； (Inner Product) ，即 （或内积）， 记作 a b 2.数量积的结果是数量；
b
a
a b cos
3. (a b ) c a c b c B
A
b
a
C1
O
A1
c
左边=| OB1 || c | 右边=| OA1 || c | | A1B1 || c |
B1 C
(| OA1 | | A1B1 |) | c | | OB1 || c | =左边
人教版普通高中课程标准实验教科书A版· 必修4
2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
Physical Background & Meaning of the Dot Product of Vectors
问题：物理中力（Force）对物体所 做的功（Work）是什么？
F
θ
S
FW S | F || S | cos
数量积 性质与运算律
1. (a b)c 与 a(b c) 相等吗？
，对吗？ a b. 2. 若 a b 0, 则 a 0或 b 0 或
a 3.若 a c b c, c 0, 则 ( a b)，对吗？ c 0.
（注意不能等号两边约去 c ）
探究： 数量积的性质（Property）
设 a 与 b 都是非零向量，则
1. a b a b 0 2.当 a 与 b 同向时，a b | a || b |;
当 a 与 b 反向时，a b | a || b | .
3. a a | a | 或 | a | a a a
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
3. 0 a 0 .
a b a b cos
a
|a|
b
a cos
We take the component
of a that lies alongside b .
Like shining a light to see where the shadow lies .
2
2
自主探究：
例3.已知 | a | 6,| b | 4, a 与 b 的夹角为60°，
求 (a 2b) (a 3b). 解： (a 2b) (a 3b)
a a a b 6b b =-72 2 2 | a | a b 6 | b | 变式：
自主探究：
例2. 我们知道，对任意 a, b R, 恒有
2 2 2
(a b) a 2ab b ,(a b)(a b) a b . 对任意向量 a, b, 是否也有类似的结论？
2 2
(1)(a b) a 2a b b ;
2
2
2
(2)(a b) (a b) a b . 2 2 (3)(a 3b) (2a b) 2a 5a b 3b 2 2 (4)(a 2b) (a 3b) a a b 6b
2
2
a b 4. cos | a 源自| b |5. | a b || a || b |
什么情况下取等号？
数量积的运算律
已知向量 a, b, c和实数 ，则
1.
a b b a
2. ( a) b (a b) a (b) 3.
(a b) c a c b c