学业水平考试复习《第八章 直线和圆的方程》
中职数学第八章直线方程和圆知识点
中职数学第八章直线方程和圆知识点直线方程和圆1.两点间距离公式：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则AB的长度为AB = √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
当x1=x2时，AB = |y2-y1|。
当y1=y2时，AB = |x2-x1|。
2.中点坐标：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则线段AB的中点M的坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。
当x1≠x2时，M的纵坐标为(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)+y1.3.直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角α∈[0,π)。
直线的斜率k=tanα (α≠π/2)。
当α=30°时，k=√3/3；当α=45°时，k=1；当α=60°时，k=√3；当α=120°时，k=-√3；当α=150°时，k=-√3/3.4.直线方程：点斜式：设直线过点A(x1,y1)，斜率为k，则直线的点斜式方程为y-y1=k(x-x1)。
斜截式：设直线与y轴交点为b，则直线的斜截式方程为y=kx+b。
两点式：设直线过点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则直线的两点式方程为(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)。
截距式：设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，则直线的截距式方程为x/a+y/b=1 (a≠0,b≠0)。
一般式：设直线的一般式方程为Ax+By+c=0 (A和B不同时为0)。
5.两直线的位置关系：当两直线斜率都不存在时，若它们的截距不相等，则两直线平行；若它们的截距相等，则两直线重合。
当两直线斜率都存在时，若它们的斜率相等且截距不相等，则两直线平行；若它们的斜率相等且截距相等，则两直线重合；若它们的斜率乘积为-1，则两直线垂直。
当一条直线斜率不存在时，另一条直线斜率存在且不为0时，它们不可能平行或垂直。
当两直线斜率都存在且不为0时，若它们的斜率不相等，则它们相交，且夹角为arctan|k1-k2|；若它们的斜率相等且截距不相等，则它们平行；若它们的斜率相等且截距相等，则它们重合。
甘肃省学业水平测试复习第8课时 圆与方程
(1) 圆心在过切点且垂直 切线的直线上； (2) 圆心在任一弦的中垂 线上； (3)两圆内切或外切时， 切
2 2
半径 ．
3．圆的标准方程 (x－a) ＋(y－b) ＝r (r>0)，其中
2
点与两圆圆心三点共线．
(a，b) 为圆心， r 为半径．
难点正本 疑点清源 2．圆的一般方程的特征
圆的一般方程： x2 ＋ y2 ＋Dx＋Ey＋F＝0，若化 D 2 为标准式，即为x＋ 2 2 2 E2 D ＋E －4F ＋y＋ 2 ＝ . 4 由 于 r2 相 当 于 D2＋E2－4F . 4
基础知识·自主学习
课后作业：完成学业水平测试备考训练，综合测试2 预习作业：算法初步
基础知识·自主学习
要点梳理
4．圆的一般方程 x ＋ y ＋ Dx＋ Ey＋ F ＝ 0 表示圆的充 要条件是 D ＋E －4F>0 ， 其中圆心
D E － ，－ 2 为 2
2 2
难点正本 疑点清源 1.确定圆的方程时，常用 到的圆的三个性质
(1) 圆心在过切点且垂直 切线的直线上； (2) 圆心在任一弦的中垂
第8课时 圆与方程
学习目标： 1.掌握圆的标准方程和一般方程，会利用配方法将圆 的一般方程化为标准方程； 2.掌握利用待定系数法求解圆的方程； 3.掌握直线与圆以及圆的位置关系的判断方法； 4.掌握直线和圆的方程的简单应用，几类最值问题（斜率、 距离）的求解方法；
基础知识·自主学习
要点梳理
1．圆的定义 在平面内，到 定点 的距离等于 定长 的点的 集合 叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是 圆心 和
根据中职体育第八章直线方程和圆形知识点,给出10个例子。
根据中职体育第八章直线方程和圆形知识点，给出10个例子。
根据中职体育第八章直线方程和圆形知识点，给出10个例子1. 直线方程例子：- 给定两个点A(3, 4)和B(7, -2)，求过这两点的直线方程。
- 已知直线过点C(2, 5)，斜率为2，求直线方程。
2. 圆形知识点例子：- 已知圆心为(2, -3)，半径为4，求圆的方程。
- 圆O的半径为6，圆心为(-5, 2)，点A(-1, -4)在圆上，求圆的方程。
3. 直线与圆交点例子：- 已知直线方程为y = 2x - 1，圆的方程为(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 5，求直线与圆的交点。
- 直线y = -3x + 2与圆(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9交于两个点，求这两个点的坐标。
4. 直线与圆相切例子：- 直线y = -2x + 5与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相切，求切点的坐标。
- 已知直线方程为2x + y = 7，圆的方程为(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5，求直线与圆相切的点。
5. 直线与圆无交点例子：- 直线y = x + 2与圆(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4无交点。
- 已知直线方程为2x + 3y = 6，圆的方程为(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 1无交点。
6. 直线与圆平行或重合例子：- 直线y = 3x - 1与圆(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9无交点，但直线平行于圆的切线。
- 已知直线方程为4x - 2y = 8，圆的方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1与直线重合。
7. 直线与圆相交于两个交点例子：- 直线y = -x + 3与圆(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4相交于点A和点B，求点A和点B的坐标。
- 已知直线方程为2x + y = 6，圆的方程为(x - 3)^2 + (y - 4)^2 =9相交于两个点，求这两个点的坐标。
五、中职数学学业水平测试知识点直线与圆的方程
六、中职数学学业水平测试知识点直线与圆的方程
1.直线的倾斜角
(1)定义:x 轴正方向与直线l 向上的方向之间所成的角称为直线l 的倾斜角
(2)范围:直线l 倾斜角α的范围是0°≤a<180°.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
2.斜率公式
(1)若直线l 的倾斜角α≠90°,则其斜率k =______________.
(2若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线12x x ,则直线l 的斜率k =_____________. (3)当直线的倾斜角α=π
2时,直线的斜率不存在.
求直线方程的一般步骤：
4.两条直线的位置关系
(1)两条直线的交点：联立方程求解. 5.中点公式与距离公式
(1)已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则AB 的中点坐标为_____________,线段AB 的长度为_____________. (2)点A (x 0,y 0)到直线Ax +By +C =0的距离：d =_____________________. (3)两平行线直接距离：方法①取直线上一点，转化为点到直线的距离;
方法② Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 1=0的距离：d =_____________________________.
7.直线与圆的位置关系
切线模型割线模型。
高中数学会考复习直线与圆的方程(贺思轩)
高中数学会考专题复习直线与圆的方程篇基础知识：1、直线的斜率与倾斜角（1）tan k α=，[)0απ∈，，2πα=时，直线不存在斜率；（2）斜率公式 2121y y k x x -=-（()111P x y ，、()222P x y ，） 2、直线的五种方程（1）点斜式 ()11y y k x x -=- （直线l 过点()111P x y ，，且斜率为k ）． （2）斜截式 y kx b =+（b 为直线l 在y 轴上的截距）.（3）两点式112121y y x x y y x x --=--（12y y ≠）（()111P x y ，、()222P x y ， （12x x ≠））。
（4）截距式 1x y a b+=（a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、） （5）一般式 0Ax By C ++=（其中A 、B 不同时为0）. 说明：点到直线的距离公式里面用的直线的一般式。
3、两条直线的平行和垂直（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212//l l k k b b ⇔=≠，②12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零， ①11112222//A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 4、点到直线的距离d =（点()00P x y ，，直线l ：0Ax By C ++=）。
5、中点公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），中点坐标是（122x x +，122y y +） 6、圆的方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=（224D E F +-＞0）.特别提醒：只有当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ，7、点与圆的位置关系 点()00P x y ，与圆()()222x a y b r -+-=的位置关系有三种若d =（说明：这里d 表示点到圆心的距离） 则d r >⇔点P 在圆外；d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内。
中职数学基础模块知识点、典型题目系列---直线与圆的方程(适合打印,经典
中职数学基础模块知识点、典型题目系列---直线与圆的方程(适合打印,经典第八章直线与圆的方程第一节两点间的距离与线段中点的坐标一、两点间的距离及线段中点的坐标：设点P1(x1.y1)和点P2(x2.y2)，则点P1P2的距离为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
线段中点P(x,y)的坐标为x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.题】1.已知点A(28,10)和点B(12,22)，求线段AB的长度。
2.已知三角形的顶点分别为A(2,6)，B(-4,3)，C(0,3)，求三角形ABC的三条边长。
3.已知点A(1,4)，点B(5,1)，点C(1,1)，证明三角形ABC为直角三角形。
题】1.已知点M(-1,-3)和点N(-1,5)，求线段MN的长度，并求线段MN的中点坐标。
2.已知三角形ABC的三个顶点为A(1,0)、B(-2,1)、C(0,3)，求BC边上的中线AD的长度。
第二节直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角α：直线向上的方向与x轴正方向所夹的最小正角。
范围：0≤α<180.直线的斜率k：k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)。
注：①当直线平行于x轴或重合时，斜率k不存在。
②当直线垂直于x轴时，斜率k=0.③斜率k与两点的位置无关。
题】1.已知直线的倾斜角，求斜率。
(1)α=π/6 (2)α=135° (3)α=90°2.已知直线的斜率，求倾斜角。
(1)k=3 (2)k=-3 (3)k=1/33.求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角。
(1)A(-2,-1)和B(1,3) (2)M(1,4)和N(3,2)4.证明三点A(1,-1)，B(3,1)，C(-3,-3)在同一条直线上。
作业布置：1.已知点P1(4,2)、点P2(-5,y)，且过点P1、P2的直线的斜率为1/3，求y的值。
2.已知三角形ABC的三个顶点为A(2,1)、B(8,3)、C(1,-1)，分别求三角形ABC三条边所在的直线的斜率。
《直线和圆的方程》复习
圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系 判断两圆的位置关系. 2.圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
知识网络
《直线和圆的方程》复习
两直线的平行与垂直
1.判断两直线平行、垂直的方法 (1) 若 不 重 合 的 直 线 l1 与 l2 的 斜 率 都 存 在 ， 且 分 别 为 k1 ， k2 ， 则 k1 ＝ k2⇔l1∥l2. (2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2.讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养.
跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a， b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为
A.2 3
B. 2
C.2 2
√D.3 2 2
根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，
ab＝－2，
∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，
将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0， 得 a＝－12，则 kl1 kl2＝－12×2＝－1，∴l1⊥l2.
一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2： A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且 C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
中职数学第八章直线和圆的方程小测(2018级)+参考答案
2019-2020学年第一学期2018级中职数学第八章《直线和圆的方程》测试卷（时间：90分钟，总分：100分）班级： 姓名： 座号：二、填空题：（3′×5=15′） 1.直线132y x =+，则该直线的斜率k = ； 2．已知点(2,0)A 和点(0,6)B ，则线段AB 的中点坐标为 ； 3. 如果直线670x y m -+=过原点，则m = ；4. 已知直线12:20,:210,l kx y l x y --=+-=若12l l ⊥，则k = ；5. A(1,0), B(4,4) , 求AB 的距离为 .三、解答题：（40′，每题8分）1.已知直线l 经过点(,0)A a 和(3,1)B ，问a 为何值时，直线l 的倾斜角 （1）是锐角？（2）是钝角？（3）是直角？2.如图，已知圆C 的一般方程是222440x y x y +--+=. （1）求该圆的圆心坐标和直径；（2）该圆的过原点的切线方程.3. 已知直线1l ：30x y ++=， 2l ：10x y -+=，且A 为直线1l 与2l 的交点 （1）求交点A 的坐标；（2）求过点A ，并且倾斜角为3π的直线方程.4.如图，直线与两坐标轴的交点为A (2,0)，B (0,2).（1）求该直线的方程；（2）求以A 为圆心，以线段AB 为半径的圆的方程.5. 如图，直线3y x m =-+与y 轴交于点(0,4)A（1）求m 的值；（2）求以A 为圆心，且过原点的圆的方程.一、 选择题：（3′×15=45′）1．已知两点(1,0),(3,3)A B ，则直线AB 的斜率为（ ） A23 B 32C 2D 3 2．已知直线l 过点(0,1)，且与直线l '：y x =平行，则l 的方程为（ ） 1010A x y B x y --=+-= C 10x y -+= D 10x y ++=3．若直线1l ：2y x =与直线2l ：y ax b =+平行，则实数a 等于（ ） A 1 B 2 C -2 D 4 4．经过点（1，2），且倾斜角为4π的直线方程为（ ） A 10xy B 10xyC 10xy D 10xy5．过点(1,5)A ，且平行于直线250x y +-=的直线方程为（ ） A 270xyB 210xy C 210xy D 270x y6.若第一象限的点(2,)A m 到直线3420x y -+=的距离为4，则m 的值为（ ） A 3m =- B 7m = C 37m m =-=或 D 37m m ==或7.圆22410200x y x y ++-+=的圆心在第几象限（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 8. 340x y +=与圆22(2)(1)4x y -+-=的位置关系（ ）A 相离B 相切C 相交且过圆心D 相交但不过圆心 9.过圆225x y +=上一点(1,2)A ，并与该圆相切的直线方程为（ ）A 250x y ++=B 250x y +-=C 250x y ++=D 250x y +-= 10．半径为2，且与x 轴相切于原点的圆的方程为（ ）A 22(2)4x y -+=B 22(2)4x y ++=C 22(2)4x y ++=或22(2)4x y +-=D 22(2)2x y -+=或22(2)2x y ++= 11. 已知直线过点(0,2)，斜率为4- ,则直线方程是（）A. 420x y --=B. 420x y +-=C. 420x y ++=D.420x y -+= 12.过点A(2,3)、B(1,0)的直线方程是（ ）A 330x y --=B 330x y +-=C 330x y --=D 330x y +-=13.如图所示，直线l 经过（ ）A 第一、二、三象限B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限14.直线1:10l y -=与直线2:20l x y +-=的交点坐标是（ ） A (1,1) B (1,2) C (2,1) D (2,2)15. 已知直线12:250:4270l x y l x y --=-+=与，则12l l 与的位置关系是 （ ） . A 重合 . B 平行 . C 相交且垂直 . D 相交不垂直参考答案二、填空题：（3′×5=15′） 1.12； 2．(1,3)； 3. 0； 4. 2； 6. 5.三、解答题：（40′，每题8分）1．（1）3a > （2）3a < （3）3a = 2.（1）(1,2)，2d =； （2）340x y -=和0x =.3.（1）(2,1)--； （210y --+=.4.（1）20x y +-=； （2）22(2)8x y -+=.5.（1）4m =； （2）22(4)16x y +-=.。
(完整版)职高数学第八章直线和圆的方程及答案
第8章直线和圆的方程练习8.1 两点间的距离与线段中点的坐标1.根据下列条件，求线段P 1P 2的长度：（1）P 1（0，-2）、P 2（3，0） （2）P 1（-3，1）、P 2（2，4）（3）P 1（4，-2）、P 2（1，2） （4）P 1（5，-2）、P 2（-1，6）2.已知A(2,3)、B （x ，1），且|AB 求x 的值。
3.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：（1）P 1（2，-1）、P 2（3，4） （2）P 1（0，-3）、P 2（5，0）（3）P 1（3，2.5）、P 2（4，1.5） （4）P 1（6，1）、P 2（3，3）4.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：（1）P 1（3，-1）、P 2（3，5） （2）P 1（-3，0）、P 2（5，0）（3）P 1（3，3.5）、P 2（4，2.5） （4）P 1（5，1）、P 2（5，3）参考答案：2.-1或53.(1) 53(,)22;(2) 53(,)22-;(3) 7(,2)2; (4) 9(,2)24. (1) (3,2);(2) (1,0);(3) (3.5,3); (4) (5,2)练习8.2.1 直线的倾斜角与斜率1．选择题（1）没有斜率的直线一定是（ ）A.过原点的直线B.垂直于y 轴的直线C.垂直于x 轴的直线D.垂直于坐标轴的直线(2)若直线l 的斜率为-1，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 90︒B. 0︒C. 45︒D. 135︒2已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：（1）30,____k α=︒= （2）45,____k α=︒=（3）120,____k α=︒= （4）150,____k α=︒=参考答案：1.（1）C （2）D2.（1;(2) 1 ;(3) 练习8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程写出下列直线的点斜式方程（1）经过点A （2,5），斜率是4；（2）经过点B （2,3），倾斜角为45︒；（3）经过点C （-1,1），与x 轴平行；（4）经过点D （1,1），与x 轴垂直。
江苏省数学学业水平测试指导用书第八章直线与圆的方程
第八章 直线与圆的方程§8.1两点间距离公式及中点公式【知识要点】 1．两点间距离公式设点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则两点间距离公式：|P 1P 2| =212212)()(y y x x -+-2．中点公式设点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则中点公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x【基础训练】1．在平面直角坐标系中，已知A (1，-2)，B (3，5)，则|AB |= ，线段AB 的中点坐标是 。
2．在平面直角坐标系中，已知C (-1，3)，D (2，- 4)，则|CD |=________，线段CD 的中点坐标是 。
3．已知点A (7，-2)，B (-1，3)，则|AB |=________，线段AB 的中点坐标是_________。
4．已知点A (4，-4)，B (8，10)，则|AB |等于（ ）．A ．12B ．56C ．65D ．532 5．已知两点A (2，-4)，B (-2，3)，则线段AB 的中点坐标为（ ）． A ．(0，-1) B ．(0，-0.5) C ．(4，-7) D ．(2，-3.5) 【能力训练】1．已知点A (-4，4)，B (a ，9)，且|AB |=13，求a 的值。
2. 已知点A (-2，4)，AB 的中点为M (0，3)，求点B 的坐标。
§8.2直线的倾斜角和斜率【知识要点】 1．直线的倾斜角我们把一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。
2．直线的倾斜角范围若直线的倾斜角α ，则0°≤ α <180°。
直线与x 轴平行时，倾斜角为0°。
3．直线的斜率把直线倾斜角α ( α ≠ 90° )的正切值叫做直线的斜率。
直线的斜率用k 表示，k = tan α。
【中职专用】温州市中职基础模块上册单元复习《数学学测复习》第8章 直线和圆的方程(简)
注：直线方程
化成一般式
d C1 C2 A2 B2
注：两直线A、B
值化为一致
(2019) 练1: 点 A(3, 2), B(5, 4) , 则线段AB的中点坐标为( B )
A. (2,6)
B. (1,3)
C. (8,2)
D. (4,1)
(2021) 练2: 点M (10, 0), B(2, 4) , 则线段MN的中点坐标为( A )
方
已知一点，
法
利用条件求斜率
过已知点与垂直直线（斜率乘积为-1）
待定系数法 设y kx b，把点代入求值
考点三 圆的定义与方程
(201250)练21: 圆 (xx2 1y)22 (6yx38)2y10 的圆心和半径分别为（ ）
A．(6-1, 8, )3), 5, 10
B．(31 , -34) ), ,150
3.斜率为2, 在y轴上的截距为5.
①两个点； ②一个点+倾斜角 (斜率)
y
y
l
P2 (x2 , y2 )
P1(x1, y1) l
P1(x1, y1)
B(0, b)
A(a, 0)
O
x
O
x
1.点斜式:
y y0 k x x0
当倾斜角为90°时，方程是: x x0
2.斜截式：
纵截距
y kx b
(2020)已知点A(-1,2) , B(3,-2),
则直4线a A9B0的斜率为5_a__1_2_0___.
k不存在
k 3
3
考点三 直线方程的三种形式
12思.0过1考8点.直：(4线确, 39定x),+一倾y-条斜5=直角0线,在是要y4轴5什º；上么的条截件距？; 2.0过21两.直点线(3x-, 2y)、+2(=-01,,在-1y)轴；上的截距.
高中学考复习导学案 第八章 直线与圆的方程(5课时)
第八章 直线与圆的方程第1课时:直线的倾斜角与斜率及直线方程■ 知识梳理1．直线的倾斜角的概念:（1）规定：当直线与x 轴平行或重合时倾斜角为__________ （2）倾斜角α的取值范围：_____________________ 2.直线的斜率:直线的斜率：_________________________________________________________ 斜率常用小写字母k 表示,也就是 αtan =k (︒≠90α) (1)当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°， k = tan0°=0； (2)当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.(3)当)90,0[︒︒∈α时，k 随 增大而增大，且k>0 (4) 当)180,90(︒︒∈α时，k 随 增大而增大，且k<0(5)经过两点),(111y x P 、),(222y x P （)21x x ≠的直线斜率k = 3. 直线方程的形式■ 预习自测1、直线1=x 的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．1,450B ．1,1350-C ．不存在,900D ．不存在,1800 2、过点),2(m P -和)4,(m Q 的直线的斜率为1，则=m 过点P (－2,2)和Q (－2,4)的直线的倾斜角为 3、若直线斜率是23，且过点)2,1(，则其方程为___________________________ 4、若直线过点)0,4(),3,0(，则其方程为 ________________________5、已知直线0=++C By Ax ，0≠B 时，斜率是__________，0=B 时，斜率是__________，系数取_____________时，方程表示通过原点的直线 ■ 例题分析例1：（1）分别写出下列倾斜角α对应斜率k43,65,32,2,3,4,6,0πππππππα=则斜率k ？（2）已知三点)2,(a A ，)7,3(B ，)9,2(a C --在一条直线上，求实数a 的取值范围例2：根据所给条件求直线的方程. （1）直线过点)0,4(-，倾斜角的正弦值为1010； （2）直线过点)10,5(，且到原点的距离为5. （3）过点)3,2(P ，且在两轴上截距相等（4）过点)2,1(P 引一直线，使其倾斜角为直线03:=--y x l 的倾斜角的两倍■ 巩固练习1、如图，直线1l 的倾斜角0130=α，直线21l l ⊥， 则2l 的斜率是2、直线0233=++x y的倾斜角是（ ）A ．030B ．060C ．01203、直线026=++y x 在x 轴、y 轴上的截距分别为（ ） A ．31,2 B ．31,2-- C ．3,21--D ．3,2-- 4、直线062=+-y x 的斜率与纵截距分别是第2课时 两直线的平行与垂直以及两线的交点坐标的求法■ 知识梳理两直线平行或垂直的判定若111:b x k y l +=与222:b x k y l += 直线21//l l 或重合⇔ 直线21//l l ⇔ 直线21l l ⊥⇔若直线0:1111=++C y B x A l ，直线0:2222=++C y B x A l ，且2121B B A A 、、、都不为零。
复习直线和圆的方程
复习直线和圆的方程第八章直线和圆的方程高考导航考试要求重难点击命题展望1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式. 本章重点：1.倾斜角和斜率的概念;2.根据斜率判定两条直线平行与垂直;3.直线的点斜式方程、一般式方程;4.两条直线的交点坐标;5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法;6.圆的标准方程与一般方程;7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系;8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系;2.根据斜率判定两条直线的位置关系;3.直线方程的应用;4.点到直线的距离公式的推导;5.圆的方程的应用;6.直线与圆的方程的综合应用. 本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题;如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.知识网络8.1 直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcos α-y-3=0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是( )A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]【解析】直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，k=2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知M(2m+3，m)，N(m-2,1)，当m∈ 时，直线MN的倾斜角为锐角;当m= 时，直线MN的倾斜角为直角;当m∈ 时，直线MN的倾斜角为钝角.【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5>0⇒m<-5或m>1;直线MN的倾斜角为直角时，2m+3=m-2⇒m=-5;直线MN的倾斜角为钝角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5<0⇒-5题型二直线的斜率【例2】已知A(-1，-5)，B(3，-2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.【解析】由于A(-1，-5)，B(3，-2)，所以kAB=-2+53+1=34，设直线AB的倾斜角为θ，则tan θ=34，l的倾斜角为2θ，tan 2θ= 2tanθ1-tan2θ=2×341-(34)2=247.所以直线l的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sin α+cos α=15，则直线l的斜率为( )A.34B.43C.-43D.-34或-43【解析】选C.sin α+cos α=15⇒sin αcos α=-1225<0⇒sin α=45，cos α=-35或cosα=45，sin α=-35(舍去)，故直线l的斜率k=tan α=sin αcos α=-43.题型三直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等;(2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x-3y=0;当截距不为0时，设方程为xa+ya=1，把(3,2)代入，得a=5，直线方程为x+y-5=0.故所求直线方程为2x-3y=0或x+y-5=0.(2)当斜率不存在时，直线方程x-2=0合题意;当斜率存在时，则设直线方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0，所以|1-2k|k2+1=2，解得k=-34，方程为3x+4y-10=0.故所求直线方程为x-2=0或3x+4y-10=0.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P(3，-4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y=kx.因为直线过点P(3，-4)，所以-4=3k，得k=-43.此时直线方程为y=-43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa+y-a=1，因为直线过点P(3，-4)，所以a=3+4=7.此时方程为x-y-7=0.综上，所求直线方程为4x+3y=0或x-y-7=0.题型四直线方程与最值问题【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程.【解析】方法一：设直线方程为xa+yb=1(a>0，b>0)，由于点P在直线上，所以2a+1b=1.2a•1b≤(2a+1b2)2=14，当2a=1b=12时，即a=4，b=2时，1a•1b取最大值18，即S△AOB=12ab取最小值4，所求的直线方程为x4+y2=1，即x+2y-4=0.方法二：设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)，直线与x轴的交点为A(2k-1k，0)，直线与y轴的交点为B(0，-2k+1)，由题意知2k-1<0，k<0,1-2k>0.S△AOB=12(1-2k)•2k-1k=12[(-1k)+(-4k)+4]≥12[2(-1k)•(-4 k)+4]=4.当-1k=-4k，即k=-12时，S△AOB有最小值，所求的直线方程为y-1=-12(x-2)，即x+2y-4=0.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式;若已知直线过两点，一般考虑两点式;若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式;若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l：mx-(m2+1)y=4m(m∈R).求直线l的斜率的取值范围.【解析】由直线l的方程得其斜率k=mm2+1.若m=0，则k=0;若m>0，则k=1m+1m≤12m•1m=12，所以0若m<0，则k=1m+1m=-1-m-1m≥-12(-m)(-1m)=-12，所以-12≤k<0.综上，-12≤k≤12.总结提高1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k=y2-y1x2-x1求斜率;其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k=tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线;设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.8.2 两条直线的位置关系典例精析题型一两直线的交点【例1】若三条直线l1：2x+y-3=0，l2：3x-y+2=0和l3：ax+y=0 不能构成三角形，求a的值.【解析】①l3∥l1时，-a=-2⇒a=2;②l3∥l2时，-a=3⇒a=-3;③由 ⇒ 将(-1，-1)代入ax+y=0⇒a=-1.综上，a=-1或a=2或a=-3时，l1、l2、l3不能构成三角形.【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.【变式训练1】已知两条直线l1：a1x+b1y+1=0和l2：a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3)，则过A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是.【解析】由P(2,3)为l1和l2的交点得故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程2x+3y+1=0，即直线2x+3y+1=0必过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点.题型二两直线位置关系的判断【例2】已知两条直线l1：ax-by+4=0和l2：(a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1过点(-3，-1);(2)l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k2=1-a，若k2=0，则1-a=0，即a=1.因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b=0，又l1过点(-3，-1)，所以-3a+b+4=0，而a=1，b=0代入上式不成立，所以k2≠0.因为k2≠0，即k1，k2都存在，因为k2=1-a，k1=ab，l1⊥l2，所以k1k2=-1，即ab(1-a)=-1，又l1过点(-3，-1)，所以-3a+b+4=0，联立上述两个方程可解得a=2，b=2.(2)因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k 1=k2，即ab=(1-a)，因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以 l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b=b，联立上述方程解得a=2，b=-2或a=23，b=2，所以a，b的值分别为2和-2或23和2.【点拨】运用直线的斜截式y=kx+b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为(1b-1c)x+(1p-1a)y=0，则直线OF的方程为.【解析】由截距式可得直线AB：xb+ya=1，直线CP：xc+yp=1，两式相减得(1c-1b)x+(1p-1a)y=0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故所求直线OF的方程为(1c-1b)x+(1p-1a)y=0.题型三点到直线的距离【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1【解析】因为A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|=(4-1)2+(2-1)2=10，又因为直线AB的方程为x-3y+2=0，则点C(m，m)到直线AB的距离即为△ABC的高，设高为h，则h=|m-3m+2|12+(-3)2，S=12|AB|•h=12|m-3m+2|，令m=t，则1由图象可知，当t =32时，S有最大值18，此时m=32，所以m=94.【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.【变式训练3】若动点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)分别在直线l1：x-y-5=0，l2：x-y-15=0上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，所以(①+②)÷2，得x1+x22-y1+y22-10=0，所以P1P2的中点P(x1+x22，y1+y22)在直线x-y-10=0上，点P到原点的最小距离就是原点到直线x-y-10=0的距离d=102=52.所以，点P到原点的最小距离为52.方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.令l：x-y-c=0，则5解得c=10.所以l的方程为x-y-10=0.由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d=102=52，所以点P到原点的最小距离为52.总结提高1.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法.3.运用公式d=|C1-C2|A2+B2求两平行直线之间的距离时，要注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等.8.3 圆的方程典例精析题型一求圆的方程【例1】求经过两点A(-1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.【解析】方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为(-D2，-E2)，由已知得即解得 D=0，E=-2，F=-9，所求圆的方程为x2+y2-2y-9=0.方法二：经过A(-1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1)，即y=2x+1.令x=0，y=1，圆心为(0,1)，r=(3-0)2+(2-1)2=10 ，圆的方程为x2+(y-1)2=10.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练1】已知一圆过P(4，-2)、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，①将P、Q两点的坐标分别代入①得令x=0，由①得y2+Ey+F=0，④由已知|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程④的两根.所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，⑤解②、③、⑤组成的方程组，得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.题型二与圆有关的最值问题【例2】若实数x，y满足(x-2)2+y2=3.求：(1)yx的最大值和最小值;(2)y-x的最小值;(3)(x-4)2+(y-3)2的最大值和最小值.【解析】(1)yx=y-0x-0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx=k，y=kx，kx-y=0.由|2k|k2+1=3，得k=±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为-3.(2)令x-2=3cos α，y=3sin α，α∈[0,2π).所以y-x=3sin α-3cosα-2=6sin(α-π4)-2，当sin(α-π4)=-1时，y-x的最小值为-6-2.(3)(x-4)2+(y-3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.|AB|=(4-2)2+(3-0)2=13，则|BC|=13-3，|BD|=13+3，所以(x-4)2+(y-3)2的最大值为(13+3)2，最小值为(13-3)2.【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题;②形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.【变式训练2】已知实数x，y满足x2+y2=3(y≥0).试求m=y+1x+3及b=2x+y的取值范围.【解析】如图，m可看作半圆x2+y2=3(y≥0)上的点与定点A(-3，-1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2+y2=3(y≥0)上的点且斜率为-2的直线的纵截距.由图易得3-36≤m≤3+216，-23≤b≤15.题型三圆的方程的应用【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围;(2)求圆C的方程;(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.【解析】(1)令x=0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，由题意b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b.令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为b，代入得出E=-b-1.所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20+y20+2x0-y0+b(1-y0)=0，(*)为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1-y0=0，结合(*)式得x20+y20+2x0-y0=0，解得或经检验知，点(0,1)，(-2,1)均在圆C上，因此圆C 过定点.【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.【变式训练3】(2019安徽)动点A(x，y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t=0时，点A的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[ 0,1]和[7,12]【解析】选D.由题意知角速度为2π12=π6，故可得y=sin(π6t+π3),0≤t≤12，π3≤π6t+π3≤π2或32π≤π6t+π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].总结提高1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程;条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2+y2=2，直线y=x+b，当b为何值时，(1)直线与圆有两个公共点;(2)直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：(几何法)设圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离为d，d=|b|12+12=|b|2，半径r=2.当d所以当-2当d=r时，直线与圆相切， |b|2=2，b=±2，所以当b=±2时，直线与圆只有一个公共点.方法二：(代数法)联立两个方程得方程组消去y得2x2+2bx+b2-2=0，Δ=16-4b2.当Δ>0，即-2当Δ=0，即b=±2时，有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.【变式训练1】圆2x2+2y2=1与直线xsinθ+y-1=0(θ∈R，θ≠kπ+π2，k∈Z)的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r=22，设圆心到直线的距离为d，则d=1sin2θ+1.因为θ≠π2+kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ<1，所以22r，所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆C：(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2+y2=1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2-1<|OC|<2+1，所以1所以-322【变式训练2】两圆(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1)，(2，-2)，则过它们圆心的直线方程为x-(-1)2-(-1)=y-1-2-1，即y=-x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由P(1,2)可得它关于直线y=-x的对称点，即点Q的坐标为(-2，-1).题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程;(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图，AB=43，D是AB的中点，则AD=23，AC=4，在Rt△ADC中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y-5=kx，即kx-y+5=0.由点C到直线的距离公式|-2k-6+5|k2+1=2，得k=34，此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x=0.所以所求直线为x=0或3x-4y+20=0. (也可以用弦长公式求解)(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，因为CD⊥PD，所以 =0，即(x+2，y-6)•(x，y-5)=0，化简得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由得k=y1-y2x1-x2=-x1+x2y1+y2=-x0y0.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A.106B.206C.306D.406【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x-3)2+(y-4)2=25，过点(3,5)的最长弦为AC=10，最短弦为BD=252-12=46，S=12AC•BD=206.总结提高1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l=2R2-d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.8.5 直线与圆的综合应用典例精析题型一直线和圆的位置关系的应用【例1】已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).(1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点;(2)判断直线l与圆C的位置关系;(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【解析】(1)证明：直线方程可写作x+y-4+m(2x+y-7)=0，由方程组可得所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1).(2)由(3-1)2+(1-2)2=5<5，故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交.(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短.|AB|=2r2-|CM|2=225-[(3-1)2+(1-2)2]=45，此时 k=-1kCM，即-2m+1m+1=-1-12=2，解得m=-34，代入原直线方程，得l的方程为2x-y-5=0.【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.【变式训练1】若函数f(x)=-1beax的图象在x=0处的切线l与圆C：x2+y2=1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是( )A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不能确定【解析】选B.f(x)=-1beax⇒f′(x)=-abeax⇒f′(0)=-ab.又f(0)=-1b，所以切线l的方程为y+1b=-ab(x-0)，即ax+by+1=0，由l与圆C：x2+y2=1相离得1a2+b2>1⇒a2+b2<1，即点P(a，b)在圆内，故选B.题型二和圆有关的对称问题【例2】设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x+my+4=0对称，又满足 • =0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.【解析】(1)曲线方程可化为(x+1)2+(y-3)2=9，是圆心为(-1,3)，半径为3的圆.因为点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，所以圆心(-1,3)在直线x+my+4=0上，代入得m=-1.(2)因为直线PQ与直线y=x+4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线PQ的方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0，Δ=4(4-b)2-4×2(b2-6b+1)>0，解得2-32 x1+x2=b-4，x1x2=b2-6b+12，y1y2=(-x1+b)(-x2+b)=b2-b(x1+x2)+x1x2=b2+2b+12，因为 • =0，所以x1x2+y1y2=0，即b2-6b+12+b2+2b+12=0，得b=1.故所求的直线方程为y=-x+1.【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.【变式训练2】若曲线x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q 满足①关于直线kx-y+4=0对称;②OP ⊥OQ，则直线PQ 的方程为.【解析】由①知直线kx-y+4=0过圆心(-12，3)，所以k=2，故kPQ=-12.设直线PQ的方程为y=-12x+t，与圆的方程联立消去y，得54x2+(4-t)x+t2-6t+3=0.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(-12x1+t)(-12x2+t)=0，所以(x1+x2)(-12t)+54x1x2+t2=0.由(*)知，x1+x2=4(t-4)5，x1x2=4(t2-6t+3)5，代入上式，解得t=32或t=54.此时方程(*)的判别式Δ>0. 从而直线的方程为y=-12x+32或y=-12x+54，即x+2y-3= 0或2x+4y-5=0为所求直线方程.题型三与圆有关的最值问题【例3】求与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程.【解析】曲线x2+y2-12x-12y+54=0可化为(x-6)2+(y-6)2=18，它表示圆心为(6,6)，半径为32的圆.作出直线x+y-2=0与圆(x-6)2+(y-6)2=18，由图形可知，当所求圆的圆心在直线y=x上时，半径最小.设其半径为r，点(6,6)到直线x+y=2的距离为52，所以2r+32=52，即r=2，点(0,0)到直线x+y=2的距离为2，所求圆的圆心为(22cos 45°，22sin 45°)，即(2,2)，故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.【变式训练3】由直线y=x+1上的点向圆C：(x-3)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为( )A.17B.32C.19D.25【解析】选A.设M为直线y=x+1上任意一点，过点M 的切线长为l，则l=|MC|2-r2，当|MC|2最小时，l最小，此时MC与直线y=x+1垂直，即|MC|2min=(3+2+12)2=18，故l的最小值为17.总结提高1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决;另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.。
2023年职高数学二轮复习——直线与圆的方程
第八章：直线与圆一、知识点汇总：1、两点间距离公式与中点坐标公式：①2122122211)()(),,(),,(y y x x AB y x B y x A -+-=则设 ②)2,2(2121y y x x ++中点坐标为 2、直线的斜率：⎪⎩⎪⎨⎧--==已知坐标时用）已知倾斜角时用()(tan 1212x x y y k k α 注意：直线倾斜角不存在轴时，直线斜率或者直线垂直k x 090=α 3、直线方程：①)(00x x k y y -=-点斜式：（已知点（ y x ,），斜率k ） ②b kx y +=斜截式： （b 叫直线在y 轴上的截距） ③ ）不同时为、一般式：0B A (0C By Ax =++，其中斜率BCb B A k -=-=截距, ④特殊直线的方程： 0y y = (1)垂直于x 轴或平行y 轴的直线方程：0x x =(2)垂直于y 轴或平行x 轴的直线方程：0y y = 0x x = 4、方向向量和法向量①方向向量：指与直线平行或重合的向量，其中一个方向向量),1(k a = ②法向量：指与直线垂直的向量，其中一个法向量),(B A n = 5、两直线的平行和垂直：① 212121b k k //b l l ≠=⇔， ② ⎩⎨⎧=+-=⇔⊥0121212121B B A A k k l l规律总结：①与直线0=++C By Ax 平行的直线是0=++D By Ax②与直线0=++C By Ax 垂直的直线是0=+-D Ay Bx1、点到直线的距离公式和平行线间的距离公式:22BA C By Ax d +++=2212BA C C d +-=平yxo2、圆的方程：①标准方程：222)()(r b y a x =-+- r b a 半径圆心),,( ②一般式方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x24),2,2(22FE D r ED -+=--半径圆心8、如图.圆半径为r ，圆心到直线距离为d.9、圆与直线的弦长：222||d r AB -=10、.,2222r y y x x y x r y x =+=+ ）的圆的切线方程为：上一点（经过圆二、题型训练1. 过两点C(-m,2),D(1,3m)的直线的斜率为21，则m=( ) A.1 B.75 C.53 D.21 2. 直线)2(31--=+x y 所过定点和倾斜角分别是（ ） A.（2,1），32π B.（2,-1），3π- C.（2,-1），32π D.（2,-1），65π 3.直线）象限时，此直线必不过第（当0,0,0a ,0>>>=++c b c by ax A. 一 B. 二 C. 三 D. 四4.过点（1，-1），且与直线,02=+-y x 平行的直线方程是（ ） A.02=+-y x B.02=++y x C.02y x =-+ D.02=--y x5.直线与02)1()1(:1=--++y a x a L 03)21()1(:2=+-+-y a x a L 垂直，则a=( ) A.0或1 B.1或-3 C.0 D.1位置d 与rdrd=rr d6. 已知A(0,2), B(-2,0),则线段AB 的垂直平分线方程为（ ） A.0=+y x B.01=-+y x C.02=+-y x D.02=-+y x7. 方程）的取值范围（表示圆的方程，则实数a 022=++-+a y x y x A.a<21 B. a>21 C. a<21- D. a>21- 8. 圆）的距离的最小值为（上的点到直线0254x 3122=-+=+y y x A.6 B.5 C.4 D.19. 以点A （-3,2）为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为（ ）9)2()3(.22=-++y x A 4)2()3(.22=-++y x B 9)2()3(.22=++-y x C 4)2()3(.22=++-y x D10. 以两点A(5,5), B(-3,-1)为直径端点的圆的方程是（ ）25)2()1(.22=+++y x A 100)2()1(.22=-+-y x B 100)2()1(.22=++-y x C 25)2()1(.22=-+-y x D11在点Q （2,1）处与圆522=+y x 相切的直线方程为（ ）A. 2x+y -5=0B. 2x+y+5=0C. x -2y -5=0D. x -2y+5=0 12.过圆044222=---+y x y x 圆心，且在y 轴上的截距是该圆的半径的直线方程（ ）A. x -y+3=0B. x -y -3=0C. x+y+3=0D. x +y -3=0 13.x ²+y ²+(m-1)x+2my+m=0表示圆,则m 的取值范围是( )A. m ＞0B. 51≤m ≤1C. m ＞1或m ＜51D. R14.一条直线平行于3x+4y-6=0，且原点到直线的距离是9，则该直线方程是（ ）Ａ、3x+4y+45=0 Ｂ、3x+4y-45=0 Ｃ、3x+4y-45=0或3x+4y+45=0 Ｄ、4x-3y-45=015.直线01)1(:062:221=-+-+=++a y a x l y ax l 与直线垂直，则等于a ( )。
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c b b b c
要点解读 1．两直线的位置关系.
▲实战1 导引P106 . A第17题,B第2题
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★要点解读
2．根据条件求圆的方程.
(1) 选择一般方程或者标准方程.
待定系数法 找圆心,求半径
(2) 确定求方程的方法.
▲实战：导引 P106 . 第23,24题.
考试要求
c b c c b
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★考试内容与考试要求
单元 知识条目
▲1. 圆的标准方程 ①圆的标准方程 ②判断点与圆的位置关系
考试要求
c a
圆的方 ▲2. 圆的一般方程 程 ①圆的一般方程 ②化圆的一般方程为标准方程 ③求曲线方程的基本方法 ▲1.直线与圆的位置关系 ①判断直线与圆的位置关系 ②已知直线与圆的位置关系，求直线或圆的方程 直线、 ▲2.圆与圆的位置关系 圆的位 ①判断圆与圆的位置关系 置关系 ▲3.直线与圆的方程的应用 ①利用坐标法来解直线与圆的方程 ②直线与圆的方程的综合应用
▲3.直线的一般式方程 b ①直线的一般式方程 c ②直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式化为一般式 湖南省长沙市一中卫星远程学校
★考试内容与考试要求
单元
直线 的交 点坐 标与 距离 公式
知识条目
▲1.两条直线的交点坐标 ①两条直线的交点坐标 ②根据直线方程确定两条直线的位置关系 ▲2.两点间的距离 平面上两点间的距离公式 ▲3.点到直线的距离 点到直线的距离公式 ▲4.两条平行线间的距离 两平行线距离的求法
▲1. 倾斜角与斜率 ①直线的倾斜角及其取值范围 直线的倾 ②直线的斜率的概念 斜角与斜 ③经过点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线的斜率公式 率 ▲2. 两条直线平行与垂直的判定 ①两条直线平行的判定 ②两条直线垂直的判定
▲1.直线的点斜式方程 ①直线的点斜式方程 ②直线的斜截式方程 ▲2.直线的两点式方程 直线的方 ①直线的两点式方程 程 ②直线的截距式方程 ③平面上两点连线的中点坐标公式
PQ是圆的直径.
P x 2
O -2 Q
mx+2y+6=0
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学业水平取得好成绩三大法宝：
1.靠每天写好并记住10个公式. 2.靠独立完成每天布置的作业. 3.靠及时订正整理作业中的错误和盲点.
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2014年1月 学业水平考试复习
第8章 直线和圆的方程
嵊州长乐中学 湖南省长沙市一中卫星远程学校
★考试内容与考试要求
单元 知识条目 考试要求 b b c c c c c b b c
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★要点解读
3．解“直线与圆的位置关系”基本方 法. (1) 韦达定理. (2) d - r法.
(3) 图像法.
▲实战：导引 P105 . 第9,13题.
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★要点解读
4．用好“平行关系”和“垂直关系”.
(1) 平行关系.
第21题
(3) 垂直关系.
第8题 第18题
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★学会读题与解题. 第21题
l C d1 d2 B
d2=2d1
A
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★学会读题与解题. 第8题
y P A -2 B 2 x
问题的本质：
直线与圆相切
3x-4y+m=0
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★学会读题与解题. 第18题
y
问题的本质：