三维电阻抗成像技术正问题的研究

三角形单元插值函数 三角形单元插值函数可以利用总体笛卡尔坐标或是无量纲的局部自然坐标 构造。设三角形单元如图３．２所示，其内插函数表示为：
Ｍ＝鲁＝击（”如＋枷
其中，
ｉ＿１，２，３
（３．４）
ａ２＝ｘ３Ｙ】一ｘｔｙ３，
ａｌ＝ｘ２Ｙ３一ｘ３Ｙ２，ｂ１＝Ｙ２一ｙ３，ｃｌ＝Ｘ３一Ｘ２；
ｂ２＝Ｙ３一Ｙ１，ｃ２＝工１一工３；口３＝Ｘ１Ｙ２一ｘ２Ｙ１，ｂ３＝Ｙｌ－ｙ２，ｃ３＝ｚ２一ｘｌ，三角形 面积Ａ＝（ｘ２Ｙ３一ｘ３Ｙ２＋ｘ３ｙｌ—Ｘ１Ｙ３＋ｘｌＹ２一ｘ２Ｙ】）１２。
似阶层的速度急剧增加，随之带来解的数目的增加。在求解方程组的时候，只有 已知量的数目大于等于未知量的数目时，该方程组才是有解的。在ＥＩＴ的有限元 求解过程中，有限元的节点就是方程组的未知量，而各个电极得到的测量值就是 方程组的已知量，由于有限的电极数目，使得我们不能对模型进行无限的网格剖 分。 有限元网格模型中的节点和单元编号的排列应该遵循一定的顺序，同时要尽 可能最优化最后生成的总体系数矩阵的稀疏性，即使得相邻节点和相邻有限单元 的相关性最强。在二维情况下，由于只要考虑一个平面内的节点和有限单元，可 以比较容易的顺序生成节点编号和单元编号，如图３．３，３．４所示：
（３．６）
Ｍ，：生
‘Ｚ２一Ｚ４
（３．７）
Ｍ，：！二塾
Ｚ３一Ｚ４
（３．８）
即
ＭＩ＝Ｍ２＝Ｍ３＝丝±－
ＺＩ—Ｚ４
（３．９）
同理
Ｍ。：Ｍ；：Ｍ。：三丑
Ｚ４一ＺＩ
ｆ３．１０）
三角形棱柱单元插值函数 结合拉格朗日单元插值函数和三角形单元插值函数，三角形棱柱单元插值函 数可以表示如下： 珐＝Ｎ．‘Ｍ．
即：
（３．１１）
ｉ＝１，…，１１
Ｂ：。，
整理式（３．２１），得到如下单元矩阵：
三角形棱柱的六个顶点中：ｚ１＝ｚ２＝ｚ，，ｚ ４＝ｚ５＝ｚ。 三角形棱柱上的六个顶点的坐标由ｘ—Ｙ平面上三角形的三个顶点坐标和其 相对ｚ坐标轴的位置来决定。根据插值函数的定义，三角形插值函数确定了六个 顶点在ｘ．Ｙ平面上的唯一性，而在ｚ方向上的唯一性就要依靠一维单元的拉格 朗日单元内插函数：
Ｍ．：三羔
其网格数ｅｌｅｍｅｎｔ＿ｎｕｍｂｅｒ＝９６，节点数ｎｏｄｅ—ｎｕｍｂｅｒ＝１００。 ｌａｙｅｒ＝３情况下，其各高度的断层模型如图３．１０，图３．１１，图３．１２，图３．１３所示
薰一
图３
１０
３Ｄ．ＥＩＴ有限元网格断层模型
（１ａｙｅｒ＝３，ｈｅｉｇｈｔ＝１）
６
图３ １１ ３Ｄ．ＥＩＴ有限元网格断层模型
（１ａｙｅＦ３，ｈｅｉｇｈｔ＝２）
顶点ｉ 其它
（３．１） （３．２）
“。＝∑Ｕ。畦
其中Ｕ：为构造的有限元单元顶点ｉ上的电压，ｉｌ为单元的顶点个数。
（３．３）
为了能够方便的离散形状复杂的三维求解域，选用三角形棱柱单元作为网格 单元。三角形棱柱单元模型如图３．１所示：
／／／／７＼＼、
图３．１三角形棱柱单元模型 图３．２三角形单元
三角形棱柱单元插值函数可通过结合二维三角形单元插值函数和拉格朗日 单元插值函数得到。
Ｖ・（ａＶｕ）＝０
Ｌａｐｌａｃｉａｎ偏微分方程 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件 Ｎｅｕｍａｎ边界条件
“＋ｚ。，ａ．ｕ＝％
Ｏｎ
‰
ｆ
ｏ－ａ．Ｕ
Ｏｎ
ｄｓ＝‘
［４】
仃坐：０
ｄＨ
￡
不与电极接触的边界处电流密度为零
［５］ ［６］
∑Ｖｍ＝０
ｍ２１
电压边界条件 电流边界条件
∑ｌｍ＝０
ｍ：Ｉ
其中，仃为被测体内部的传导率分布，Ｕ为被测体内部电位分布，ｚ。为接触阻 抗（ｆ２／ｍ２），Ｈ为被测体表面外法线向量，ｅ。为第ｍ个电极与被测体表面接触 面积，‘为注入电流，Ｖｍ为相应电极上的电位，工为电极数目。 不像传统的二维电阻抗成像，在三维情况下，由于可以直观的呈现模型的侧 面信息，这也使得我们可以考虑利用更加全面的全电极模式来解决电阻抗成像问 题。
拉格朗日单元内插函数
上海大学硕士学位论文
三维电阻抗成像技术正问题的研究
拉格朗日单元内插函数 一维单元通常是指单元的节点参数中包含场函数节点值的单元。对于ｎ个节 点的一维单元，插值函数可采用ｎ一１次拉格朗日插值多项式：
（３ Ｍ：卉三生：ｊ！型竺尘』！纽堕玉止皇刍Ｌ ｉ）５
、。
Ｊ当，景，Ｚ，一Ｚ．（Ｚ。一Ｚ１）（ｚｉ—Ｚ ２）－・ｔ（ｚｊ—Ｚ。一Ｉ）（ｚ。一ｚ…）‘・’（ｚ．一Ｚ。）
ｌ海大学硕士学位论文
三维电阻抗成像技术正问题的研究
图３．７ ３Ｄ—ＥＩＴ有限元网格各高度断层模型
（１ａｙｅｒ＝２，ｈｅｉｇｈｔ＝３）
图３．８ ３Ｄ．Ｅ１Ｔ有限元网格各高度断层模型
（１ａｙｅｒ＝２，ｈｅｉｇｈｔ＝－４）
最终的３Ｄ．ＥＩＴ有元网格模型如图３．９所示
０
８
６
４
２
ｎ０
、●ｊ１』
图３．９ ３Ｄ—ＥＩＴ有限元网格模型（１ａｙｅｒ＝２）
限元网格模型中，推导出３Ｄ—ＥＩＴ有限元总体矩阵和系统方程组。
３．５．１有限元网格单元数学建模
在实际情况下，我们把％＝∑Ｕ．硪带入Ｌａｐｌａｃｉａｎ偏微分方程，得到的等式
ｉ＝１
只能近似的满足Ｌａｐｌａｃｉａｎ偏微分方程，即会存在一个余量Ｒ： Ｖ・（ｏ－Ｖｕｄ）＝Ｒ≠０ （３．１６）
在这里，我们使用加权余量法（ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｍｅｔｈｏｄ ＷＲＭ）求解ｕ，。加权 余量法是求解微分方程近似解的一种有效方法，所谓加权余量法是指采用使余量 的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法。显然，任何独立的完全函数集都 可以用来作为权函数，在这里，我们选择伽辽金法（Ｇａｒｌｅｒｋｉｎ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ）选取权 函数，即简单的用近似解的插值函数礁作为权函数：
ｆｆｃ【Ｖ・ｏＶｕｄｋ＝０，ｉ－－－ｌ，．＇ｎ
由于Ｇｒｅｅｎ第二定理，上式可变换为：
（３．１７）
ｍ仃・Ｖ≯。・Ｖｕ。ａｘａｙａｚ一儿嘶Ｖｕｄｄｓ＝ｏ，ｉ＝１，．．．，ｎ
单元表面积。
（３．１８）
其中，Ｑ：有限元网格单元的体积，ｄｓ：对Ｑ的面积分，ａＱ：有限元网格
在三维有限元情况下，对于与被测体表面电极ｆ不接触的有限元单元，上式 可表示为：
在ｌａｙｅｒ＝２的情况下，三维有限元网格模型在各高度ｈｅｉｇｈｔ＝１，２，３，４的 断层模型如图３．５，图３．６，图３．７，图３．８所示：
图３．５ ３Ｄ．ＥＩＴ有限元网格各高度断层模型
（１ａｙｅｒ＝２，ｈｅｉｇｈｔ＝１）
图３．６ ３Ｄ—ＥＩＴ有限元网格各高度断层模型
（１ａｙｅｒ＝２，ｈｅｉｇｈｔ＝－２）
ｆ『ｌ
既：
Ｏ－＂Ｖ破
Ｖｕｄ ａｘｄｙｄｚ＝０，ｉ＝１，．，ｎ
（３．１９）
鲫盯ｃ警訾＋等警＋兽学，一＝。
单元为表面有限元网格单元），式（３．１８）可表示为：
Ｂｚ∞
对于与被测体表面电极，接触的有限元网格单元（在这里我们称这些有限元
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上海大学硕上学位论文
三维电阻抗成像技术正问题的研究
薯ｊＩｃ《警＋考訾＋卺警蚴一ｆｋ谚未喜盼吃弦一
３．５
３Ｄ—ＥＩＴ有限元系统方程组
以３Ｄ—ＥＩＴ有限元网格模型为基础，利用全电极模式对３Ｄ．ＥＩＴ有限元网格
单元进行数学建模，推导出有限元网格单元矩阵。利用３Ｄ—ＥＩＴ有限元网格模型 对被测体的剖分特性，把各个网格单元的单元序号和节点序号映射到３Ｄ。ＥＩＴ有
上海人学硕士学位论文
＿三维电阻抗成像技术正问题的研究
３．２
３Ｄ．ＥＩＴ网格单元的选择和内插函数的建立
有限元法通过对连续问题的离散化来求解问题‘２ ９１。对于３Ｄ．ＥＩＴ，被测体的
电位分布ｕ被离散为ｕ。，并可以表示为有限元节点基函数的线性组合。节点基 函数是一个多项式内插函数，具有如下限制：
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三维电阻抗成像技术正问题的研究
硪（五Ⅳｚ）＝１ 珐（茸Ⅳｚ）＝ｏ
图３．３ ２Ｄ—ＥＩＴ有限元网格模型（１ａｙｅｒ＝２）
图３．４ ２ＤＩＥＩＴ有限元网格模型（１ａｙｅｒ＝３）
但在三维情况下，这个问题就变得比较复杂。在这里可以参考二维情况下的顺序
上海大学硕＋学位论文
维电阻抗成像技术正问题的研究
采用先由上到下，再由里到外的顺序产生节点编号，采用先由里到外，再由上到 下的顺序产生单元编号。在这里以ｌａｙｅｒ表示被测体有限元网格模型由外到里的 剖分层数，以ｈｅｉｇｈｔ表示被测体有限元网格模型的剖分高度，以ｅｌｅｍｅｎｔ＿ｎｕｍｂｅｒ 表示模型的网格数，以ｎｏｄｅ ｎｕｍｂｅｒ表示模型的节点数： 当ｌａｙｅｒ＝ｌ时ｅｌｅｍｅｎｔ＿ｎｕｍｂｅｒ＝８×（ｈｅｉｇｈｔ一１） 当ｌａｙｅｒ＝２时ｅｌｅｍｅｎｔ＿ｎｕｍｂｅｒ＝３２×（ｈｅｉｇｈｔ—１） 当ｌａｙｅｒ＝３时ｅｌｅｍｅｎｔ＿ｎｎｍｂｅｒ＝７２×（ｈｅｉｇｈｔ一１） 可推导出３Ｄ—ＥＩＴ有限元模型网格数的表达式：
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第三章３１）．ＥＩＴ有限元模型和数学建模
３．１有限单元法
有限单元法（Ｆｉｎｉｔｅ
Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ
ＦＥＭ）是自上世纪５０年代以来逐步发展
起来的一种数值分析方法，是当今工程分析中获得的最广泛应用的数值计算方法 之一。经过几十年的发展，其范围已由最早的杆件结构问题扩展到弹性力学，由 平面问题扩展到空间问题，由静力学问题扩展到流体力学，热力学和与ＥＩＴ相关 的电磁学问题，其应用领域主要集中在建筑、航空、机械、力学、热传导、电磁 场等领域。 有限元法的基本思路是将结构物看成由有限个被剖分的单元组成的整体，以 单元节点的位移或节点力（或节点场强的变化）作为基本未知量求解ｐ”。 通用的有限元分析软件包并不能适应三维电阻抗成像的特殊应用场合，因此 必须设计一套针对三维ＥＩＴ问题的有限元网格剖分的实现算法。电阻抗成像系统 中，已确定的测量电极数和网格剖分的单元数限定了其阻抗成像的空间分辨率。 显然，细化的网格可提供较好的精确度和空间分辨率。 本章以二维电阻抗有限元网格模型为基础（３４】，设计了一种自动生成节点和网 格单元编号，最多可对三维圆柱体的截面和高进行三层剖分的三维有限元网格生 成算法，建立３Ｄ—ＥＩＴ有限元网格模型。并以此模型为基础，利用全电极模式推 导出３Ｄ．ＥＩＴ的数学模型。