一类特殊的三色有向图的本原指数

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一类恰含两个圈的本原不可幂定号有向图的广义基

ＧｅｅａｉｅｓｓｏａｓｏｉｉｉｅＮｏ ’ ｗｅｆｌＳｇｅａｌｎｒｌｚｄＢａｅｆａＣｌｓｆＰｒｍｔｖｎｐｏｒｕｉｎｄＮｅｒｙ
ＲｅｃｂｅＤｉｒｐｈｔｄｕｉｌｇａｓｗｉｈＴｗｏＣｙｌｓｃｅ
记为ｓｎ．ｇＷ
定义１４在定号有向图中的两条途径．号，则称它们为ＳＳＳＤ途径对．
ＨＵＯｉａｇＬ — ｎ～．பைடு நூலகம்ＡＯ — ｉｆＹｕｂｎ
（．ｌｅｅｏｃｅｃ，ＮｏｔｉｅｓｔｆＣｈｎ，Ｔａｙａ３０１Ｓａｘ，Ｃｈｎ１ＣｏｌｇｆＳｉｎｅｒｈＵｎｖｒｉｙｏｉａｉｕｎ００５，ｈｎｉｉａ；２Ｄｅａｔｎｆ．ｐｒｍｅｔｏ
ｅｐ（）ｘＤ，称ｅｐ（）为Ｄ的第ｋ个广义本原指数，记为ｅｐ（）ｘＤｘＤ屉．
定义１３设Ｄ是有向图，将Ｄ中的每条弧被标记１为一１．，则称为定号有向图，记为５定号有向．图Ｓ中的一条途径ｗ是由一系列的弧ｅ，ｅ，… ，ｅ组成的，并且ｅ的终点与ｅ的始点相同（一１。。ｉ，２，… ，ｋ１．途径中弧的条数就是途径ｗ的长度，记为ｚｗ）－）（．途径ｗ的符号被定义为 Ⅱ ｓｎ｛，ｇｅ｝
１基本概念
定义１１设Ｄ是一个有向图（．允许有环但不能有重弧），如果存在一个正整数ｋ，使得Ｄ中任意两个顶点和，（以相同）都有长为是的途径，则称Ｄ是本原的，最小的ｋ就是Ｄ的本原指数，记作可

含环三圈双色有向图的本原指数

Ｏ引言
一
个双色有向图是一个其弧被着色为红、蓝颜色的有向图，其中允许有环，且对任意顶点ｆｆ、，可同
．
时有从ｆ７到的红弧和蓝弧．有向图Ｄ的任意顶点对ｉＪ有从ｆ．的途径，则称图Ｊ是强连通的．若、都到，亡）
ａｅｇｉｎ．ｒｖｅ
Ｋｅｒｓｐｉｔｖｘｏｅｔｌｏ；ｗｏｃｌｒｄｄｇａｈｐｉｔｅｃｎｉｏｙｗｏｄ：ｒｍｉｅｅｐｎｎ；ｏｐｔ－ｏｏｅｉｒｐ；ｒｍｉｖｏｄｔｎｉｉｉ
Ｆｂ２１ｅ．０２
含环三圈双色有向图的本原指数
周栋，邵燕灵
（中北大学理学院，太原００５）３０１
摘要：考虑了一类特殊的双色有向图，它的未着色图含有ｎ个顶点，且包含一个ｎ圈和两个（一１ｎ）圈，在每个顶点上有环．给出了本原条件和指数上界．关键词：本原指数；环；双色有向图；本原条件
个数．本原指数ｅｐＤ）ｈｋ的最小值．ｘ（是＋
设Ｃ＝｛，２…，为Ｄ的圈的集合，，ｒ｝ｉ，为２ｆ × 阶矩阵，其中Ｍ的第ｆ为ｒ列的分解，则称为Ｄ的
的容度记为ｃｎｅｔ）ｏｔ（，ｎＭ圈矩阵，Ｍ由是中不同的列组成的子矩阵，Ｍ称作的严格圈矩阵，
一
些有向图本原指数已经有了较成熟的方法，并得出一些很好的结果Ｉ４２】－．

一类特殊本原有向图的广义的scrambling指数

第３１卷
第４期
一
类特殊本原有向图的广义的ｓｒｍｌｇ指数ｃａｂｉｎ
孙琳莉，雷英杰
（中北大学数学系，山西太原００５）３０１
［摘
要］文章研究一类合有３个圈的本原有向图的广义ｓｒｍｌｇ指数，中２个圈的长度ｃａｂｉｎ其
相同，通过运用本原有向图的ｓｒｍｂｉｇ指数和广义ｓｒｍｂｎｃａｌｎｃａｌｇ指数的概念，ｉ分析图中点的特点，出此类特殊的本原有向图的ｓｒｍｌｇ数和广义ｓｒｍｌｇ指数．得ｃａｂｉ指ｎｃａｓｒｍｌｇ数ｓｒｍｌｎ广ｃａｂｉ指ｎ
为
阶本原有向图，Ｄ中最小圈长为ｓ，１≤ ｓｎ且 ≤
一
１，如果ｇｄ，）＝１，０：ｃ（Ｓ贝有
（Ｄ）≤ Ｋ（，）＝ｎ—ｓ＋／ｓｎｓ（，）．／，
其中
（）：ｍｎＤｉ｛ｚｌ厂
显然有：
，— －∞ ∞ＥＤ｝＋；（）．
２０（３）：１１—１３．０９４０１１１０
［］ｈｎＳｅｉｉＢｌｎｈｃａｂｉｄｘｏｍ— ３Ｃｅｈｘ，Ｌｕｏａ．Ｔｅｓｒｍｌｇｉｅｆｙｉｎｎｓ
Ｊ
［］ｋｌｅ２ＡｅｂｋＭ，Ｋｒｌｎ．ｏｆｃｎｓｏｒｏｉｔａｄｉａｄＳＣｅｉｅｔｆｅｇｄｃｙｎｋｉｉｔｅｓｒｍｌｇｎｅＪ．ＬｎａＡｇｂａＡｐｉｔｎ，ｈａｂｉｄｘ［］ｉｅｒｌｒｐｌａｏｓｃｎｉｅｃｉ

一类本原不可幂定号有向图的k重上广义基

ｋ
【ｓ（）记为ｓ如果一个定号有向图中的两条途径和有相同的起点和终点，＿ｇｅ，】ｎｇｎ长度也相同，
ｉｌ＝
但是符号相反，则称它们为一个ＳＳＳＤ途径对ｊ．
定义１设Ｄ为有向图，果存在正整数ｌ使得对于Ｄ的任意顶点ｉ可以相同）在， ¨ 如，，Ｊ（，Ｊ中都存在从ｉ到的长为ｚ的途径，则称Ｄ为本原有向图．上述最小的Ｚ称为Ｄ的本原指数，记为ｅｐＤ）ｘ（．
基金项目：山西省自然科学基金资助项目（０７１０７２００ｔ０）２００１１，８１０９．０
作者简介：张波（９３）男，１８一，湖北监利人，中北大学数学系２００８级硕士研究生，主要从事组合数学方面的研究．通讯作者：邵燕灵（９３）女，１６一，山西平定人，中北大学数学系教授，博士，博士生导师，主要从事图论与组合数学方面的研究
个圈的ｋ本原不可幂定号有向图的ｋ重上广义基进行了研究，这类图中存在两个长度相同的圈．运用 “ 异圈对 ” Ｆｏｅｉｓ以及本原指数等相关知识，、ｒｂｎｕ集分别讨论了在这类图中长度相同的两个圈的同号或异号的情况下，是否存在相应的ＳＳＳＤ途径对，而获得了这类本原不可幂定号有向图在这两种情况下的ｋ从
山西师范大学学报（自然科学版）
第２４卷第３期
２１００年９月
ＪｕｎｌｏｈｎｉｒｌＵｉｅｓｔｏｒａｆａｘｍａｎｖｒｉＳＮｏｙ

一个本原图的scrambling指数

到Ｉ和都有长为的途径，ｔ且这个ｋ是所有满足上述条件中的最小的整数，就是Ｄ的ｓｒｃａｍ— ｂｉｇｌ指数，ｎ记作ｋＤ）．（文章给出了一个特殊的本原图的ｓｒｍｌｇ指数．ｃａｂｉｎ
［关键词］原图；本对称图；ｃａｌｇ指数ｓｒｉｍｂｎ
（）２
（）＝ｍｘｋ（，ｆ， ∈ＶＤ｝３Ｄａ｛。ｕ）（）．（）
定义３Ｃ是指在本原图Ｄ中，。含有一个长
［稿日期］００—１收２１２—２１
奇数Ｐ的圈Ｃ，（，。．『）∈ ＶＤ），：（则
［基金项目］山西省自然科学基金资助项目（０８１０９．２００１０）
（＜Ｄ）
．
这与２ …（＜ｄｕｋＤ）（，）矛盾．故
（。Ｄ）：盟
（ｉ在Ｃ圈上可找到一点ｉ）得Ｗ和Ｗ＿有长为２２÷
．
图ｌ所示，则（Ｄ）＝［＋ｔ
ｌ１
．
２
∈ ＶＣ），（使的途径，
［者简介］作王小书（９８一）女，徽宿州人，士研究生，要从事组合数学方面的研究１８，安硕主８
…
Ｊ
（Ｄ）≤ ｍＤｄａ｛（，ｃ
证明
），（，）ｄ，
）｝）＋
．
，
ｍ｝，（，）∈ ＶＤ），时即ｕ（有如下情况：
１９（５）９９７２８：５—１７２．

一类重要的本原(带号)有向图的指数值

一类重要的本原(带号)有向图的指数值吴钰涵;尤利华【摘要】设q,s是任意的2个正整数,满足1≤s＜q≤n,g.c.d.(q,s)=1,且q+s≥n+1.定义有向图Dn,q,s=(V,E),其中V={v1,v2,…,vn},E={(vi,vi+t)/1≤i≤n-1}U{(v,,v1),(vn,vn-q+1)},定义Sn,q,s是以Dn,q,s为基础有向图的带号有向图.显然Dn,q,s(Sn,q,s)是本原(带号)有向图,得到了本原有向图Dn,q,s的本原指数和局部指数,以及本原带号有向图Sn,q,s的基指数和局部基指数.%Let q,s be integers such that 1≤s＜q≤n,g.c.d (q,s) =1, and q + s≥n + I. Define the digraph Dn,q,a= (V,E), where V=｛v1,v2,…,vn｝E=｛(vi,vi+1)11≤I≤n-1∣∪∣(v,v1),(vn,vn-q+1)｝, and Sn,q,s is a signed digraph with Dn,q,s as its underlying digraph. Clearly ,Dn,q,s(Sn,q,s) is primitive. The exponent and the local exponent of the primitive digraph Dn,q,s, as well as the base and the local base of primitive signed digraph Sn,q,s are obtained.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(000)003【总页数】5页(P44-48)【关键词】本原;有向图;带号有向图;局部本原指数;局部基指数【作者】吴钰涵;尤利华【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州510631;华南师范大学数学科学学院,广东广州510631【正文语种】中文【中图分类】O151.21称有向图D是本原的,如果存在正整数k,使得对于D中的任意2点vi 和vj(允许i=j),在D中都存在从点vi到点vj长为k的有向途径.这样的最小正整数k称为D的本原指数,记为exp(D).众所周知,有向图D 是本原的当且仅当D是强连通的且其所有圈长的最大公约数(简记为g.c.d.)为1.设D是一个本原有向图,vi,vjV(D),定义点vi到点vj的指数expD(vi,vj)为这样的最小整数p,使得对于任意的整数t≥p,D中从点vi到点vj有长为t的有向途径.顶点vi 的点指数定义为expD(vi)=maxvj V(D){expD(vi,vj)},即expD(vi)是这样的最小整数p,使得对于任意的整数t≥p,D 中从点vi 到任一点vj都有长为t的有向途径.由此可知,exp(D)=maxviV(D){expD(vi)}=maxvi,vjV(D){expD(vi,vj)}.设V(D)={v1,v2,…,vn},则可以适当地对D中的顶点重新编号,使其满足expD(v1)≤expD(v2)≤…≤expD(vn),此时称expD(vk)是D 的第k个局部指数,记为expD(k),于是exp(D)=expD(n).对有向图D的每条边赋以符号+1或者-1 得到的图称为带号有向图,通常用S表示,此时,称D为S的基础有向图,记作D(S).称n阶带号有向图S 是本原的当且仅当其基础有向图D是本原的，定义exp(S)=exp(D),expS(k)=expD(k) (1≤k ≤n).在一个带号有向图中,有向途径W的符号定义为∏e Wsgn(e),记为sgn W.进而,称途径W1 和W2是一个三同一异途径对(简记为SSSD途径对),若途径W1 和W2是一对有相同的起点、相同的终点和相同的长度的异号途径.称带号有向图S是可幂的(powerful),如果S中没有SSSD途径对;否则,称S为不可幂的(non-powerful). 设S是一个n阶本原不可幂带号有向图 (允许有环,但不允许有重弧),u,v V(S),S 中从点u 到点v 的基指数定义为最小的正整数b,使得对于任意的整数t≥b,S中从点u 到点v 有长为t 的SSSD途径对,记作bS(u,v).S在点u处的基指数定义为最小的正整数b,使得对于任意的整数t≥b,S中从点u到任意一点v有长为t的SSSD途径对,记作bS(u).S 的基指数定义为最小的正整数b,使得对于任意的整数t≥b,S从任意一点u 到任意一点v 均有长为t 的SSSD途径对,记作b(S).显然b(S)=maxuV(S){bS(u)}=maxu,vV(S){bS(u,v)},设V(S)={v1,v2,…,vn},则可以适当地对S 中的顶点重新编号,使其满足bS(v1)≤bS(v2)≤… ≤bS(vn),此时称bS(vk)是S的第k个局部基指数,记为bS(k),于是b(S)=bS(n).设a1,a2,…,ak是k个正整数,定义这一组正整数的Frobenius集如下：S(a1,a2,…,ak)={r1a1+r2a2+…+rkak|r1,r2,…,rk是非负整数}.由Schur引理知，若g.c.d.(a1,a2,…,ak)=1,则S(a1,a2,…,ak)包含所有充分大的正整数.由此可定义Frobenius数φ(a1,a2,…,ak)为满足如下条件的最小正整数φ,使得对于任意的整数m,若m≥φ,则m S(a1,a2,…,ak).显然φ(a1,a2,…,ak)-1S(a1,a2,…,ak).对于任意的2个正整数a,b,若g.c.d.(a,b)=1,则φ(a,b)=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1.设q,s 是任意的2个正整数,满足1≤s< q≤n,g.c.d.(q,s)=1,且q+s≥n+1,定义有向图[1]Dn,q,s=(V,E),其中V={v1,v2,…,vn },E={(vi,vi+1)|1≤i≤n-1}∪{(vs,v1),(vn,vn-q+1)}.定义Sn,q,s 是以Dn,q,s为基础有向图的带号有向图.显然Dn,q,s(Sn,q,s)是本原(带号)有向图.事实上,Dn,q,s(Sn,q,s)是组合矩阵论中一类重要的(极)图.由文献[2],在研究本原有向图的本原指数时,Dn,n,n-1 就是取到本原指数最大值(n-1)2+1 的图D1;由文献[3],在研究本原几乎可约有向图的本原指数时,Dn,n-1,s就是取到其本原指数最大值n+s(n-3)的图Dn-1,s;由文献[1],在研究本原有向图的Lewin数时，Dn,n-1,s就是取到Lewin数最大值的图Dn-1,s;同样,在本原有向图的局部指数和本原带号有向图的基指数和局部基指数的研究中所涉及到的极图也是图类Dn,q,s和Sn,q,s中某些具体的图[4-12].本文研究了本原有向图Dn,q,s 和本原带号有向图Sn,q,s.第1节得到了Dn,q,s的本原指数及局部本原指数.第2节得到了本原带号有向图Sn,q,s 的基指数及局部基指数.记Dn,q,s 中长为s,q 的圈分别为Cs,Cq.以下,令U=V(Cs)∩V(Cq)={vn-q+1,…,vs}.因为q+s≥n+1,故U≠ φ.以dU(vi,vj)表示从点vi 到点vj 接触到U 的最短有向途径的长度.定理1 若Dn,q,s是本原的，以expDn,q,s(vk)表示Dn,q,s在点vk处的点指数,则证明根据k的取值分3种情形讨论.情形1:1≤k≤n-q+1.先证expDn,q,s(vk)≤sq-s-q+1+n-k.为此只需证对Dn,q,s 中的任意一点vi(允许i=k),从点vk到点vi存在长为sq-s-q+1+n-k的途径.设dU(vk,vi)=l,且记从点vk到点vi接触到U的最短有向途径为W′.注意到当1≤i< k时,l=s-(k-i)=s+i-k<s≤n-k; 当k≤i≤n-q时,l=s+i-k≤s+(n-q)-k<n-k; 当k≤n-q+1≤i≤n时，0≤l=i-k≤n-k.故总有0≤l≤n-k.由于sq-s-q+1+n-k-l≥sq-s-q+1+n-k-(n-k)=φ(s,q),所以存在非负整数a,b,使得sq-s-q+1+n-k-l=as+bq.从而从点vk到点vi存在长为sq-s-q+1+n-k 的途径W=W′+aCs+bCq (a≥0,b≥0),这里aCs表示绕圈Cs走a 次,而途径W是从vk出发沿途径W′到达U中某点w的途径W1、a个圈Cs、b个圈Cq和从w出发沿途径W′到达点vi的途径W2之并,则下证expDn,q,s(vk)> sq-s-q+n-k.由于dU(vk,vn)=maxi {1,2,…,n} {dU(vk,vi)},故下证从点vk 到点vn 不存在长为sq-s-q+n-k的途径.用反证法证明.假设从点vk到点vn存在长为sq-s-q+n-k的途径W,则W是点vk 到点vn的惟一路P与若干个圈Cs 和若干个圈Cq 之并,故W=P+aCs+bCq(a≥0,b≥0),且l(W)=sq-s-q+n-k=l(P)+as+bq,从而φ(s,q)-1=sq-s-q=l(W)-(n-k)=l(W)-l(P)=as+bq S(s,q),矛盾.所以假设不成立.故综上，当1≤k≤n-q+1时,expDn,q,s(vk)=sq-s-q+1+n-k 成立.情形 2:n-q+2≤k≤s.当k=n-q+2 时,设点vi 是Dn,q,s中的任意一点(允许i=k).由情形1已证可知从点vn-q+1 到点vi存在长为sq-s 的途径,但点vn-q+1到点vn不存在长为sq-s-1 的途径.再由点vn-q+1 仅有惟一的出弧,且其邻接点vn-q+2也仅有惟一的入弧可知从点vn-q+2到点vi 存在长为sq-s-1的途径,但点vn-q+2到点vn不存在长为sq-s-2的途径,故expDn,q,s(vn-q+2)=sq-s-1=sq-s-q+1+n-(n-q+2).依此类推,可证对于任意的n-q+3≤k≤s,expDn,q,s(vk)=expDn,q,s(vk-1)-1.所以当n-q+2≤k≤s时,expDn,q,s(vk)=sq-s-q+1+n-k.情形3:s+1≤k≤n.先证expDn,q,s(vk)≤sq-s+1+n-k.为此只需证对Dn,q,s 中的任意一点vi(允许i=k),点vk到点vi存在长为sq-s+1+n-k的途径.设dU(vk,vi)=l,且记从点vk到点vi接触到U的最短有向途径为W′.注意到当1≤i≤n-q时,l=i+q+s-k≤n+s-k<n+q-k; 当n-q+1≤i≤k≤n时,l=q-(k-i)=q+i-k≤q<n+q-k; 当k≤i≤n时，l=q+i-k≤n+q-k.故总有0≤l≤n+q-k.由于sq-s+1+n-k-l≥sq-s+1+n-k-(n+q-k)=φ(s,q),所以存在非负整数a,b,使得sq-s+1+n-k-l=as+bq.从而从点vk到点vi存在长为sq-s+1+n-k 的途径W=W′+aCs+bCq(a≥0,b≥0),所以expDn,q,s(vk)≤sq-s+1+n-k.下证从点vk 到点vn 不存在长为sq-s+n-k的途径.用反证法证明.假设从点vk到点vn存在长为sq-s+n-k的途径W,则W是vk到点vn的惟一路P与若干个圈Cs 和若干个圈Cq 之并,故W=P+aCs+bCq (a≥0,b≥0),且l(W)=sq-s+n-k=l(P)+as+bq.综上，当s+1≤k≤n时,expDn,q,s(vk)=sq-s+1+n-k成立.证毕.由定理1，适当地对Dn,q,s中的顶点重新编号,使其满足expDn,q,s(v1)≤expDn,q,s(v2)≤…≤expDn,q,s(vn),于是expDn,q,s(vk)是Dn,q,s 的第k个局部指数,记为expDn,q,s(k).从而有下面的推论.推论1 若有向图Dn,q,s是本原的，则(1)当q=n时,expDn,n,s(k)=sn-2s+k.(2)当q<n时,其中「x⎤表示大于或等于x的最小整数.推论2 若Dn,q,s是本原的,则推论3[2] exp(Dn,n,n-1)=(n-1)2+1.推论4[3] 若Dn,n-1,s是本原的,则推论5[5] expDn,n,n-1(k)=n2-3n+2+k.推论6[6] 若Dn,n-1,s是本原的,则由文献[13]可知,若本原带号有向图Sn,q,s是可幂的,则其基指数b(Sn,q,s)=exp(Dn,q,s),进而Sn,q,s 的局部基指数bSn,q,s(k) (1≤k≤n)的研究也就等价于其基础有向图Dn,q,s 的局部指数expDn,q,s(k) (1≤k≤n)的研究.由定理1和推论1可得Sn,q,s的基指数和局部基指数.因此只需研究Sn,q,s 为不可幂的情形. 定理A[7] 设S是一个本原带号有向图,则S 是不可幂的当且仅当S中有长度为p1,p2的圈C1,C2,满足以下两情形之一:(A1)p1是奇数,p2是偶数,sgn C2=-1;(A2)p1和p2都是奇数,并且sgn C1=-sgn C2.称满足条件(A1)或者(A2)的圈对C1,C2为违规圈对[7].容易验证,如果C1,C2是长度分别是p1,p2 的违规圈对,则闭途径W1=p2C1(走长为p1的圈p2次)和W2=p1C2有相同的长度p1p2,且有不同的符号:记Sn,q,s 中长为s,q的圈分别为Cs,Cq,则由定理A可知,圈Cs,Cq 是带号有向图Sn,q,s中的违规圈对,故闭途径W1=qCs和W2=sCq是SSSD途径对.定理2 若带号有向图Sn,q,s是本原不可幂的,令bSn,q,s(vk) 表示Sn,q,s在点vk 处的基指数,则证明由于Sn,q,s是本原不可幂的,则圈Cs和Cq是违规圈对,故sgn(qCs)=-sgn(sCq).从而对于任意的点k U,从点k 到点k 存在长为sq 的SSSD途径对.根据k的取值可分为如下2种情形来讨论.情形1:1≤k≤s.先证bSn,q,s(vk)≤2sq-s-q+1+n-k.为此只需证对Sn,q,s中的任意一点vi(允许i=k),从点vk到点vi存在长为2sq-s-q+1+n-k的SSSD途径对.由定理1的结论expDn,q,s(vk)=sq-s-q+1+n-k(1≤k≤s)可知,从点vk到点vi存在长为sq-s-q+1+n-k 的途径W,且W 经过U 中的点.记W1=W+qCs,W2=W+sCq,则W1,W2是从点vk到点vi的长为2sq-s-q+1+n-k的SSSD途径对,所以bSn,q,s(vk)≤2sq-s-q+1+n-k.下证从点vk到点vn 不存在长为2sq-s-q+n-k的SSSD途径对.设W1和W2是任意2条从点vk到点vn长为2sq-s-q+n-k的有向途径,则W1和W2是vk到vn的惟一路P与若干个圈Cs和若干个圈Cq之并,即且l(Wi)=(n-k)+ais+biq (ai≥0,bi≥0,i=1,2).所以2sq-s-q=l(Wi)-(n-k)=a1s+b1q=a2s+b2q.进而(b2-b1)q=(a1-a2)s.由于g.c.d.(s,q)=1,可设a1-a2=qx (x为整数),则b2-b1=sx.下证此时必有x=0.若x≥1,则b2≥s+b1≥s,所以φ(s,q)-1=sq-s-q=a2s+(b2-s)q S(s,q),矛盾.同理,若x≤-1,也得出矛盾.故x=0,a1=a2,b1=b2,从而sgn(W1)=sgn(W2).这表明从点vk 到点vn长为2sq-s-q+n-k的途径均同号,从而bSn,q,s(vk)≥2sq-s-q+1+n-k.综上可知,bSn,q,s(vk)=2sq-s-q+1+n-k.情形2:s+1≤k≤n.先证bSn,q,s(vk)≤2sq-s+1+n-k.为此只需证对Sn,q,s中的任意一点vi(允许i=k),点vk到点vi存在长为2sq-s+1+n-k的SSSD途径对.由定理1的结论expDn,q,s(vk)=sq-s+1+n-k (1≤k≤s) 可知点vk到点vi存在长为sq-s+1+n-k的途径W,且W 经过U 中的点.记W1=W+qCs,W2=W+sCq,则W1,W2是从点vk到点vi的长为2sq-s+1+n-k 的SSSD途径对,所以bSn,q,s(vk)≤2sq-s+1+n-k.下证从点vk到点vn 不存在长为2sq-s+n-k的SSSD途径对.设W1,W2是任意2条从点vk到点vn长为2sq-s+n-k 的有向途径,则W1,W2是点vk到点vn的惟一路P与若干个圈Cs和若干个圈Cq(至少一个,因为点vk与点vn均仅在圈Cq上)之并,即Wi=P+aiCs+biCq (ai≥0,bi≥1,i=1,2),且l(Wi)=(n-k)+ais+biq (ai≥0,bi≥1,i=1,2).所以2sq-s-q=l(Wi)-q-(n-k)=a1s+(b1-1)q=a2s+(b2-1)q.进而(b2-b1)q=(a1-a2)s.由于g.c.d.(s,q)=1,可设a1-a2=qx (x为整数),则b2-b1=sx.下证此时必有x=0.若x≥1,有b2≥s+b1≥s+1,则φ(s,q)-1=sq-s-q=a2s+(b2-s-1)q S(s,q),矛盾.同理,若x≤-1,也得出矛盾.故x=0,a1=a2,b1=b2,从而sgn(W1)=sgn(W2).这表明从点vk到点vn长为2sq-s-q+n-k的途径均同号,从而bSn,q,s(vk)≥2sq-s+1+n-k. 综上可知,bSn,q,s(vk)=2sq-s+1+n-k.证毕.由定理2,适当地对Sn,q,s中的顶点重新编号,使其满足bSn,q,s(v1)≤bSn,q,s(v2)≤…≤bSn,q,s(vn),于是bSn,q,s(vk)是Sn,q,s的第k个局部基指数,记为bSn,q,s(k).从而有下面的推论.推论7 若Sn,q,s是本原不可幂的,则(1)当q=n 时,bSn,q,s(k)=2sq-2s+k.(2)当q<n 时,推论8 若Sn,q,s是本原不可幂的,则推论9[7] 若Sn,n,n-1是本原不可幂的,则推论10[8-9] 若Sn,n,n-1是本原不可幂的,则推论11 若Sn,n-1,s是本原不可幂的,则推论12[10] 若Sn,n-1,n-2是本原不可幂的,则推论13[10] 若Sn,n-1,n-3是本原不可幂的(这里n为偶数),则推论14[10] 若Sn,n-2,n-3是本原不可幂的,则推论15 设n-1≢0(mod 3),若Sn,n-1,n-4 是本原不可幂的,则推论16[11] 若Sn,n-1,n-2是本原不可幂的,则推论17[11] 若Sn,n-1,n-3是本原不可幂的(这里n为偶数),则推论18[11] 若Sn,n-2,n-3是本原不可幂的, 则推论19[11] 若Sn,n-1,n-4是本原不可幂的(这里n-1≢ 0(mod 3)),则事实上，关于上述推论16、推论17和推论19,由推论7易得更一般的结论.推论20[12] 若Sn,n-1,s是本原不可幂的,则Key words： primitive; digraph; signed digraph; local exponent; local base 【相关文献】[1] SHEN J.On a problem of Lewin[J].Linear Algebra and Its Applications,1998,274:411-426.[2] BRUALDI R A ,RYSER H binatorical matrix theory[M].Combridge: Combridge Univ Press,1991: 53-87.[3] BRUALDI R A,ROSS J A.On the exponent of a primitive nearly reducible matrix[J].Math of Operations Research,1980,5(2):229-241.[4] LIU B binatorial matrix theory[M].Beijing: Science Press,2005: 126-142.[5] BRUALDI R A,LIU B L.Generalized exponents of primitive digraphs[J].J Graph Theory,1990,14:483-499.[6] LIU B L.Generalized exponents of primitive,nearly reducible matrices[J].Ars Combin,1999,51: 229-239.[7] YOU L H,SHAO J Y,SHAN H Y.Bounds on the bases of irreducible generalized sign pattern matrices[J].Linear Algebra Appl,2007,427:285-300.[8] WANG L Q,MIAO Z K,CHAO Y.Local bases of primitive non-powerful signed digraphs[J].Discrete Math,2009,309:748-754.[9] LI Q,LIU B L,STUART J.Bounds on the k-th generalized base of a primitive sign pattern matrix[J].Linear and Multilinear Algebra,2010,58:355-366.[10] LIU B L,YOU L H.Bounds on the base of primitive nearly reducible sign pattern matrices[J].Linear Algebra Appl,2006,418:863-881.[11] LI Q,LIU B L.Bounds on the kth multi-g base of nearly reducible sign pattern matrices[J].Discrete Math,2008,308:4846-4860.[12] MA H P.Bounds on the local bases of primitive non-powerful minimally strong sign digraphs[J].Linear Algebra Appl,2009,430:718-731.[13] LI Z,HALL F,ESCHENBACH C.On the period and base of a sign parrernmatrices[J].Linear Algebra Appl,1994,212/213:101-120.。

一个含四个圈的本原有向图的m-competition指数

一个含四个圈的本原有向图的m-competition指数宋卓蓉;高玉斌【摘要】对于n阶本原有向图D中任意顶点u和v,若都存在m(1≤m≤n)个不同的顶点v1,v2,…,vm∈ V(D),使得u(k→)vi,v(k→)vi(1≤i≤m)成立,则称最小正整数k 为本原有向图D的m-competition指数.本文研究了一类含有一个n长圈、三个n-2长圈的本原有向图,确定了本原有向图的m-competition指数.【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2015(034)005【总页数】4页(P18-21)【关键词】本原有向图;m-competition指数;圈【作者】宋卓蓉;高玉斌【作者单位】中北大学数学系,山西太原030051;中北大学数学系,山西太原030051【正文语种】中文【中图分类】O157.5本原有向图本原指数的研究已经逐步扩展到了对本原有向图的scrambling指数的研究.本原有向图的scrambling 指数是一个新兴研究分支，也是近两年来在组合数学中较为活跃的一个研究方向，在计算机科学中具有广泛的实际应用背景.2009年,文献[2]中作者提出了本原图的scrambling指数的概念. 2010年,文献[4]将本原图的scrambling指数推广到m-competition指数，并对指数达到的上界进行了极图刻画．设D=(V,E)是一个n阶有向图, 其中顶点集V=V(D), 弧集E=E(D)(允许有环但无重弧).一个有向图D是本原的，当且仅当存在正整数k，使得D中的任意一点u到另外一点v(v可能等于u)都存在k长途径.称满足上述条件的最小正整数k为有向图D的本原指数，记为exp(D).设D一个n阶本原有向图,k∈Z+, 对于任意x,y∈V(D),用N+(Dk:x，y)=N+(Dk:x)∩N+(Dk:y)表示顶点x的k步外邻域.用N+(Dk:x，y)表示顶点x,y的k步公共外邻域.如果D为一个n阶本原有向图, k为正整数,则Dk也是本原有向图.其中,在D中有}. 定义 1[2] 设D是n阶本原有向图,如果存在k∈Z+,对于D中任意顶点u和v, 都存在顶点w∈V(D),使得从u和v到w都有k长途径,满足上述条件的最小正整数k 称为本原有向图D的scrambling指数,记为k(D).顶点u、v的局部scrambling指数,记为≥1}顶点u的局部scrambling指数,记为}.显然,定义 2[4] 设D是n阶本原有向图,如果存在正整数k,对D中任意顶点u和v,都存在m(1≤m≤n)个不同的顶点v1,v2,…,vm∈V(D)使得,满足上述条件的最小正整数k称为本原有向图D的m-competition指数,记为km(D).特殊地,k(D)=k1(D), exp(D)=kn(D).定义3[4] 设D是n阶本原有向图,如果存在正整数k,对D中两个不同的顶点x和y,都存在m(1≤m≤n)个不同的顶点v1,v2,…,vm∈V(D)使得,满足上述条件的最小正整数k称为顶点x和y的局部m-competition指数,记为km(D:x,y).显然,设n≥7,n为奇数,本文主要研究了一个含一个n圈和3个n-2圈的n阶本原有向图，计算得到了此类本原有向图的m-competition指数.定理1 设D是一个n阶本原有向图,如图1所示,其中n≥7,n为奇数,则对任意1≤m≤n:证明由本原有向图D，可以得到有向图Dn-2和Dn.1)m=1首先证明,即证明对任意u,v∈V(D),均有n.因，故n.(i,j=1,…,n-3,n-2,n).又因为，故).所以以下仅需证明).观察图D，顶点v1,v2,…,vn-4,vn-1,vn构成一个n-2圈，不妨将这个n-2圈记为C. 在图Dn中，令M=Dn[{v1,v2,…,vn-4,vn-1,vn}]，M为Dn的一个导出子图.其中在图M中,对任意vi、vj∈V(M),因为故.因此任取vi,vj∈V(D),均有). 所以n.下面证明n.故所以综上所述, .2)m为奇数，3≤m≤n首先证明，即证明对任意u、v∈V(D),均有).在Dn-2中,故对任意u,v∈V(D),均有下面证明).故所以综上所述, .3)m为偶数，2≤m≤n-1首先证明.即证明对任意u、v∈V(D),均有故对任意u、v∈V(D),均有所以下面证明.故所以综上所述, .定理得证.【相关文献】[1]Brualdi R A, Ryser H J. Combinatorial matrix theory[M].Cambridgc：Cambridge University Press,1991.[2]Akelbek M, Kirkland S. Coefficients of ergodicity and the scrambling index[J]. Linear Algebra and its Applications, 2009, 430:1099-1110.[3]Huang Y F, Liu B L. Generalized scrambling indices of a primitive digraphs[J]. Linear Algebra and its Applications, 2010, 433:1798-1808.[4]Kim H K. Generalized competition index of a primitive digraph[J]. Linear Algebra and its Applications, 2010, 433: 72-79.[5]Gao Y B, Shao Y L. The scrambling indices of primitive digraphs with exactly two cycles[J]. Ars Combination, 2013, 108:505-513.[6]Shao Y L, Gao Y B. The m-competition indices of symmetric primitive digraphs with loop[J]. Ars Combination, 2013, 108: 217-223.[7]Kim H K, Pank S G. A bound of generalized competition index of a primitive digraph[J]. Linear Algebra and its Applications, 2012, 436: 86-98.[8]Kim H K, Lee S H. Generalized competition indices of symmetric primitive digraphs[J]. Discrete Applied Mathematics， 2012, 160: 1583-1590.。

一类本原有向图m-competition指数的刻画

一类本原有向图m-competition指数的刻画申佳;高玉斌【摘要】本文对一类含有一个n圈和两个s圈的n阶本原有向图的m-competition指数进行了研究,通过分析本原有向图的特点,结合图论原理并根据本原有向图的本原指数,scrambling指数和m-competition指数的定义,综合运用已知文献里提到的证明方法,给出了一类含有一个n圈和两个s圈的n阶本原有向图的m-competition指数,其中n=2s-1,两个s圈有l(1≤l≤s-1)个公共顶点.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(029)004【总页数】6页(P1-6)【关键词】本原有向图;本原指数;scrambling指数;m-competition指数【作者】申佳;高玉斌【作者单位】中北大学理学院,山西太原030051;中北大学理学院,山西太原030051【正文语种】中文【中图分类】O157.51 预备知识设有向图D，若存在一个正整数l，使得D中任意两个顶点x,y(可以相同)，在D 中都存在从x到y的l长途径，则称D是本原有向图，其中最小的正整数l称为D的本原指数，记为exp(D).D是本原有向图的充分必要条件是D强连通，且D的所有圈长的最大公因子为1[1].用表示从x到y有l长的途径.定义Dl为一个本原有向图, 其中V(Dl)=V(D), (vi,vj)∈E(Dl)当且仅当在D中有在2009年, Akelbek和Kirkland在文献[1]中提出了本原图的scrambling指数的概念，本原有向图D的scrambling指数是最小的正整数k, 对任意一对顶点u和v，都存在w∈V(D),使得从u和v到w都有k长途径，这样的k称为本原有向图D的scrambling指数，记为k(D).2010年, Hwa Kyung Kim在文献[2]中提出了本原图的m-competition指数这一概念.设D是n阶本原有向图,1≤m≤n, 若存在正整数k, 使得对于任意的顶点u,v∈V(D)，在D中总能找到m个不同顶点，使得u,v经过k长途径都能到这m 个点，上述k的最小值称为D的m-competition指数，记作km(D). 如果上述顶点u,v∈V(D)已给定，则满足上述条件的最小的k称为点x,y在D中的局部m-competition指数,记为km(D:u,v).对于n阶本原有向图D, 显然有k(D)=k1(D)≤k2(D)≤…≤kn(D)=exp(D).近年来, 对scrambling指数和m-competition指数的研究已取得很多成果, 如在文献[3]中, 作者获到了本原有向图scrambling指数的上界, 并找到了取得上界的极图; 文献[4]中, 作者研究了对称本原有向图的scrambling指数; 文献[5]中, 作者研究了仅含两个圈的本原有向图的scrambling指数; 文献[6]中，作者研究了对称含环本原图的m-competition指数问题.文中用文献[7]中的记号N+(Dk:x)表示点x在D中经过k长途径所到达点的集合, 用|N+(Dk:x)|表示集合中点的个数.N+(Dk:x,y)=N+(Dk:x)∩N+(Dk:y).deg+(x)表示顶点x的出度.2 主要结论设n≥5为奇数, 用D表示由全体恰含一个n圈和两个s圈的n阶有向图所构成的集合, 显然, 对任意D∈D, D是本原的. 下面我们将给出D中所有图的m-competition指数(1≤m≤n).定理1 设D∈D, 如图1所示, 当s为奇数时, 则对任意1≤m≤n, 有其中,l表示D中两个s圈的公共顶点个数.证明证明过程中需用到有向图Ds和Dn,其中图1 本原有向图DFig.1 Primitive digraph DV(Ds)=V(D)E(Ds)= {(vi,vi+s)|i=1,2,…,s-1}∪{(vi,vi)|i=1,2,…,n-l+1}∪{(vi,vi-s+1)|i=s,s+1,…,n}∪{(vi,vi-s)|i=s+1,…,n-l+1}V(Dn)=V(D)E(Dn)= {(vi,vi)|i=1,2,…,n}∪{(vi,vi-1)|i=2,3,…,n-l+1}∪{(vi,vi+s-1)|i=1,2,…,s}∪{(vi,vi-s)|i=s+1,…,n}∪{(vi,vi-s-1)|i=s+2,…,n-l+1}情形1 m=1时, 一方面证明情形1.1 l=1，在图Dn中, 可以得到故对于任意的i≠j 都有成立, 所以情形图1中, 取{v1,v2,…,vs,v1}圈记为C1, 则所有顶点可分为两部分, 一部分为不能经过l-1长途径到达C1上的顶点集{vs+1,…,vn-2l+2}, 记为V1, 顶点V1集经过l-1长途径到达的顶点集为V′={vs+l,…,vn-l+1}. 另一部分为可经过l-1长途径到达C1上的顶点集V(D)-V1, 记为V2.情形1.2.1 若vi,vj∈V2, 在D中总有和而在图Dn中, V2中的点均为环点且C1仍为一个s圈, 令C′=Dn[{V(C1)}]为Dn的一个导出子图, 则在图C′中有又因为C′⊂Dn, 因此情形1.2.2 若vi,vj∈V1, 在D中总有和而在图Dn中, V′中的点依次相连均为环点且deg+(vx)≥2(与vx关联的其他边的另一个顶点也依次相连且为V2中的顶点)，因此同理所以情形1.2.3 若vi∈V2,vj∈V1, 在D中总有和而在图Dn中, 所有点均为环点且有而对于任意的vx,vy,{vy-1,vy-2,…,vx,vy-1} 总能形成一个s圈, 因此所以综上情形1.3 ≤l≤s-1,图1中的顶点均可经过l-1长途径到达C1, 根据情形1.2.1, 可以得到综合以上三种情形, 即任取vi,vj∈V(D), vi,vj在D中经过长途径到达的公共点个数至少有1个, 根据m-competition指数的定义, 因此另一方面证明取点vn-l+2和点由图1可知,∅, 因此综上,情形2 m≥3且m为奇数时, 一方面证明图1中所有顶点均可经过l-1长途径到达任意一个s圈, 任意一个s圈上的顶点集{v1,v2,…,vn-l+1}记为V1(特殊地，l=1时, V(D)=V1), 则对于任意vi,vj∈V(D), 在D中总有和而在本原有向图Ds中, V1中的点均为环点且顶点集{v1,v1+s,v2,v2+s…,vs-1,vn,v1}形成一个n圈, 所以即任取两点vi,vj∈V(D), vi,vj在D中经过长途径到达的公共点个数至少为m. 根据m-competition指数的定义，因此另一方面证明当m=3+4k时, 取点vn-l+2和点由图1可知当m=5+4k时, 取点vn-l+2和点由图1可知因此综上,情形3 m=2+4k,4+4k且时, 一方面要证明图1中所有顶点均可经过l-1长途径到达任意一个s圈, 任意一个s圈上的顶点集{v1,v2,…,vn-l+1}记为V1(特殊地，l=1时, V(D)=V1), 则对于任意vi,vj∈V(D), 在D中总有和从而也有和而在本原有向图Ds中, V1中的点均为环点且顶点集{v1,v1+s,v2,v2+s,…,vs-1,vn,v1}形成一个n 圈, 所以即任取两点vi,vj∈V(D), vi,vj在D中经过长途径到达的公共点个数至少为m. 根据m-competition指数的定义，因此另一方面, 证明取点vn-l+2和点由图1可知即点vn-l+2和点在D中经过长途径到达的公共点个数为m-1.所以综上,综合上述三种情形,定理得证.定理2 设D∈D, 如图1所示, 当s为偶数时, 则对任意1≤m≤n, 有其中,l表示D中两个s圈的公共顶点个数.证明情形1:m=2时, 一方面证明情形1.1:l=1, 根据定理1的情形1.1类似的方法可以得到情形图1中, 取{v1,v2,…,vs,v1}圈记为C1, 则所有顶点可分为两部分, 一部分为不能经过l-1长途径到达C1上的顶点集{vs+1,…,vn-2l+2}, 记为V1, 顶点集V2经过l-1长途径到达的顶点集为V′={vs+l,…,vn-l+1}. 另一部分为可经过l-1长途径到达C1上的顶点集V(D)-V1, 记为V2.情形1.2.1:若vi,vj∈V2, 在D中总有和而在图Dn中, V2中的点均为环点且C1仍为一个s圈, 令C′=Dn[{V(C1)}]为Dn的一个导出子图, 则在图C′中有又因为C′⊂Dn, 因此情形1.2.2 若vi,vj∈V1, 在D中总有和而在图Dn中, V′中的点依次相连均为环点且deg+(vx)≥2(与vx关联的其他边的另一个顶点也依次相连且为V2中的顶点), 因此同理, 所以情形1.2.3: 若vi∈V2,vj∈V1, 在D中总有和而在图Dn中, 所有点均为环点且有而对于任意的vx,vy, {vy-1,vy-2,…,vx,vy-1}总能形成一个s圈, 因此所以综上情形图1中的顶点均可经过l-1长途径到达C1, 根据情形1.2.1, 可以得到综合以上三种情形, 即任取vi,vj∈V(D), vi,vj在D中经过长途径到达的公共点个数至少有2个, 根据m-competition指数的定义, 因此另一方面证明取点vn-l+2和点由图1可知因此综上,情形2: m≥1且m为奇数时, 一方面证明图1中所有顶点均可经过l-1长途径到达其中一个s圈, 任意一个s圈上的顶点集{v1,v2,…,vn-l+1}记为V1(特殊地，l=1时, V(D)=V1), 则对于任意vi,vj∈V(D), 在D中总有和而在本原有向图Ds中, V1中的点均为环点且顶点集{v1,v1+s,v2,v2+s,…,vs-1,vn,v1}形成一个n圈, 所以即任取两点vi,vj∈V(D), vi,vj在D中经过长途径到达的公共点个数至少为m. 根据m-competition指数的定义，因此另一方面,证明当m=1+4k时, 取特殊点vn-l+2和由图1可知当m=3+4k时, 取点vn-l+2和由图1可知所以综上,情形3 m=2+4k,4+4k且时, 一方面要证明图1中所有顶点均可经过l-1长途径到达任意一个s圈, 任意一个s圈上的顶点集{v1,v2,…,vn-l+1}记为V1(特殊地，l=1时, V(D)=V1), 则对于任意vi,vj∈V(D), 在D中总有和从而也有和而在本原有向图Ds中, V1中的点均为环点且顶点集{v1,v1+s,v2,v2+s,…,vs-1,vn,v1}形成一个n 圈, 所以即任取两点vi,vj∈V(D), vi,vj在D中经过长途径到达的公共点个数至少为m. 根据m-competition指数的定义, 因此另一方面, 证明取点vn-l+2和点由图1可知,即点vn-l+2和点在D中经过长途径到达的公共点个数为m-1,所以综上,综合上述三种情形,定理得证.【相关文献】[1] Akelbek M, Kirkland S. Coefficients of ergodicity and the scrambling index [J]. Linear Algebr-a and its Applications,2009,430(4):1111～1130.[2] Kim H K. Generalized competition index of a primitive digraph [J].Linear Algebra and its Applications,2010, 433 (1):72～79.[3] Akelbek M, Kirkland S. Primitive digraphs with the largest scrambling index [J].Linear Algebra and its Applications,2009, 430:1099～1110.[4] Chen S X, Liu B L. The scrambling index of symmetric primitive matrices[J].Linear Algebra and its Applications,2010,433(6):1110～1126.[5] Yubin Gao, Yanling Shao. The scrambling indeces of primitive digraphs with exactly two cycles [J].Ars Combinatoria,2013,108:505～513.[6] Shao Y L, Gao Y B.The m-competition indices of symmetric primitive digraphs with loop[J].Ars Combination, 2013, 108:217～223.[7] Kim H K, Pank S G. A bound of generalized competition index of a primitive digraph [J]. Linear Algebra and its Applications,2012, 436(1):86～98.。

两个双向圈的双色有向图的本原指数

两个双向圈的双色有向图的本原指数
周会玲;邵燕灵
【期刊名称】《中国钢笔书法》
【年(卷),期】2007(000)006
【摘要】一个双色有向图D是本原的,如果存在非负整数h和k,且h+k＞0,使得D 中的每一对顶点(i,j)都存在从i到j的(h,k)-途径,则称h+k的最小值为D的本原指数.本文考虑了一类特殊的双色有向图,它的未着色图有(2n-1)个顶点,包含4个n-圈和2n个2-圈,给出了本原条件和指数上界,没有给出一个紧上界.
【总页数】4页(P471-474)
【作者】周会玲;邵燕灵
【作者单位】中北大学,理学院,山西,太原,030051;中北大学,理学院,山西,太
原,030051
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.一类含两个圈的特殊本原双色有向图的指数 [J], 张晓东;邵燕灵
2.一类含有两个圈的双色有向图本原指数 [J], 罗美金;高玉斌
3.两个双向圈的双色有向图的本原指数 [J], 周会玲;邵燕灵
4.一类含有两个圈的双色有向图本原指数 [J], 罗美金;高玉斌
5.一类双圈双色有向图的本原指数集 [J], 罗美金;侯宗毅
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三色问题的代数解法

前言熟知，我们可用带余除法求一个整数被另一个非零整数除所得的商和余数，可用辗转相除法求两个整数或多个整数的最大公因子。

同样地，对于有理系数多项式或者系数在，一般域上的多项式，可用长除法求一个多项式被另一个非零多项式除得到的商多项式和余多项式，用欧几里得算法，即多项式的辗转相除法，求两个或多个多项式的最大公因子．实际上，这两者十分相似．用代数学中环论的观点看，整数全体组成的环和任意域走上单变元多项式全体组成的环[]k x 都是欧几里得环，当然也是主理想环．在这两个环中都有有效的除法算法和基于除法算法的用于求两个或多个元素的最大公因子的欧几里得算法．在主理想整环中，任意给定的”个元素12,,,n a a a 的最大公因子()12gcd ,,,n a a a 就是由12,,,n a a a 这卵个元素生成的理想I 的生成元．特别，在整数环Z 中，()12gcd ,,,n a a a 是由整数12,,,n a a a 生成的理想I 中绝对值最小的整数；而在域上单变元多项式环[]k x 中，()12gcd ,,,n a a a 是由多项式12,,,n a a a 以生成的理想I 中的多项式次数最低或最小的多项式．在环Z 中和环[]k x 中，判断断一个元素a 是否属于由12,,,n a a a 生成的理想I ，只要检验a 是否能被()12gcd ,,,n a a a 整除，即余数或余项是否为零．如果余数或余项为零，说明a 不能被()12gcd ,,,n a a a 整除，则a 属于理想I ；如果余数或余项不为零，说明a 不能被()12gcd ,,,n a a a 整除，则a 不属于理想I .如果我们不利用()12gcd ,,,n a a a 或者没有算法可由12,,,n a a a 求出()12gcd ,,,n a a a ，判断元素 a 是否属于理想I 就不会这样简单．事实上，()12gcd ,,,n a a a 作为理想I 的生成元，它不但具有好的性质，而且又有算法保让可具体求出它，这样才使得理想成员的判定问题得以解决。

围长为2的本原极小强连通有向图的1-指数集

围长为2的本原极小强连通有向图的1-指数集
王晋;胡亚辉
【期刊名称】《数学理论与应用》
【年(卷),期】2008(28)4
【摘要】本文研究了团长为2的本原极小强连通有向图的1-指数,证明了:当,n为偶数时{4,5,7,8,9,11,…,2n-7,2n-5,2n-4|(∪)En(1).
【总页数】3页(P68-70)
【作者】王晋;胡亚辉
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410075;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410075
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.围长为2的奇数阶本原极小强连通有向图的1-指数集 [J], 胡亚辉;王晋
2.围长为2的奇数阶本原极小强连通有向图的1-指数集 [J], 胡亚辉;王晋
3.围长为2的偶数阶本原极小强连通有向图的1-指数集 [J], 胡亚辉;王晋
4.恰含两圈长的n阶本原极小强连通有向图的广义指数集 [J], 胡亚辉;杨玲;邓新春
5.极小强连通本原有向图的本原指数集 [J], 邵嘉裕
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三色树算法

三色树算法
三色树是一种常见的算法，也被称为三色标记算法或者遍历算法。

这个算法是在计算机科学领域中广泛应用的一种数据结构算法，可以用来解决许多实际问题。

三色树算法的主要思想是将树中的节点分为三种颜色：红色、绿色和蓝色。

红色表示节点尚未被访问，绿色表示节点已经被访问过，蓝色表示节点已经被完全处理。

通过这种颜色标记的方式，我们可以有效地遍历树的所有节点，并按照一定的规则来处理它们。

三色树算法通常用来解决图遍历、深度优先搜索和广度优先搜索等问题。

它的一个典型应用是检测一个图是否为连通图。

通过使用三种颜色来标记节点，我们可以在图中找到所有的连通分量，并将它们分别标记为不同的颜色。

这样一来，我们就可以通过判断颜色来判断图是否为连通图。

除了在图遍历中的应用，三色树算法还可以用来解决其他问题，比如拓扑排序、最小生成树、最短路径等。

通过使用不同的颜色来标记节点的状态，我们可以对树进行一系列的操作和处理，从而得到我们所需要的结果。

在实际应用中，我们可以使用递归或者迭代的方式来实现三色树算法。

递归方法一般使用深度优先搜索的方式，而迭代方法则使用广度优先搜索的方式。

具体实现时，我们需要定义相应的数据结构和算法，来表示和处理树的节点和颜色。

总之，三色树算法是一种常用的数据结构算法，可以用来解决许多实际问题。

它通过使用三种颜色来标记节点的状态，实现了对树的全面遍历和处理。

无论在图遍历、深度优先搜索还是其他问题中，三色树算法都有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种复杂的计算机科学问题。

希望本文能对读者理解三色树算法有所帮助。

围长为2的本原有向图的最小顶点指数

围长为2的本原有向图的最小顶点指数
陈小亘
【期刊名称】《华南理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(028)005
【摘要】研究一类本原有向图的顶点指数，证明了ｎ（≥３）阶围长为２的本原有向图的最小顶点指数的最大值ｅｘｐ２（ｎ，１）是：若ｎ是奇数，则ｅｘｐ２（ｎ，１）＝２ｎ－３，若ｎ是偶数，则ｅｘｐ２（ｎ，１）＝２ｎ－４。

【总页数】1页(P119)
【作者】陈小亘
【作者单位】湛江师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.围长为2的奇数阶本原极小强连通有向图的1-指数集 [J], 胡亚辉;王晋
2.围长为2的本原有向图的广义本原指数 [J], 李修清;魏海新
3.围长为2的本原不可幂带号有向图的Lewin指数集 [J], 孟凡永;苗正科;沈磊
4.围长为2的本原有向图的最小顶点指数集 [J], 陈小亘
5.围长为2的本原不可幂带号有向图的Lewin指数集 [J], 孟凡永;苗正科;沈磊因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

本原有向图的指数

本原有向图的指数
董伟铨;邵喜裕
【期刊名称】《上海工业大学学报》
【年(卷),期】1989(010)003
【总页数】11页(P272-282)
【作者】董伟铨;邵喜裕
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.直径≤d的对称本原有向图的广义本原指数集 [J], 李修清;魏海新
2.围长为2的本原有向图的广义本原指数 [J], 李修清;魏海新
3.一个本原有向图的scrambling指数与不可幂定号有向图的基 [J], 刘晓美;邵燕灵;杨盼足
4.对称本原有向图的广义本原指数集 [J], 李彬; 邵嘉裕
5.两个本原有向图的广义本原指数 [J], 陈小亘
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引理１】一个至少包含一条红弧、＿］一条蓝弧和一条黄弧的三色有向图
Ｄ是本原的，当且仅当Ｄ是强连通的，ｃｎｅｔ）．且ｏｔ（一１ｎ
在文献［～５中已经给出一些有向图的本原指数，２］本文研究一类特殊的
ｚ一２ｎ一５ａ一１．
其余情况的考虑与第四种情况类似，故省略，且得到下面的定理１并．
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Ｌｎ— ａ — ｚ
在第四种情况，ｅ（）ａ一２根据引理１Ｄ本原当且仅当ｄｔＭ）ｄｔＭ：５＋ｚ，，ｅ（一± １即ｚｎ５＋１或，一２一ａ
三色有向图Ｄ州，５，的未着色图如图１示． ≥ ）它（所对任意的Ｄ∈Ｄ州Ｄ中恰有三个圈，圈长分别为ｎ３４并且３圈和４圈的着色有三种情况，，，，一一分别为着一种颜色，两种颜色和三种颜色．不失一般性，假设当着一种颜色时着为
Ｖｌ７ｏ。Ｎｏ２．
Ｊｎ２０ｕ．０８
２００８年６月
一
类特殊的三色有向图的本原指数
李娟邵燕灵
（北大学数学系，中山西太原００５）３０１
［要］一个三色有向图Ｄ是本原的，且仅当存在非负整数ｈ，ｚ且ｈ＋五ｚ０使得Ｄ摘当五，，＋＞，中的每一对顶点（，都存在从ｉ到的（五，）途径，称ｈ五ｚ的最小值为Ｄ的本原指数．）＾，ｚ一并＋＋文章研究一类特殊的三色有向图，未着色图恰含一个一、个３圈和一个４圈，们研究了该图其圈一一一我的本原性并给出了在一种本原条件下的三色有向图的本原指数．［键词］三色有向图；原条件；原指数关本本［章编号］１７ — ０７（０８０ — ０１０［图分类号］ｏ１７［献标识码］Ａ文６２２２２０）２００ — ５中５文
０引言
均存在一条从ｉＪ的途径，们称三色有向图Ｄ是强连通的．中从ｉＪ的一条（ｋｚ一径是指从ｉ到我Ｄ到＾，，）途到Ｊ的一条包含ｈ条红弧，ｋ条蓝弧和ｚ条黄弧的途径．给定Ｄ中的一条途径Ｗ，（、（和（分别表ｒ叫）６叫）叫）
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１三色有向图的本原性
本节给出三色有向图Ｄ∈Ｄ， ≥５的本原条件．（）
收稿日期：０８０— ３２０ —３０基金项目：家自然科学基金（０７１３；西省自然科学基金（０７１Ｏ７２００１０）国１５１６）山２００１１，０８１０９。
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第７卷
第２期
太原师范学院学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＡＩＹＵＡＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＴＹ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎＩＮａｕａｉｎｅＥｄｔ）Ｓｏ
一
个三色有向图Ｄ是本原的，当且仅当存在非负整数ｈ，，，ｈ＋ｌ，ｋｚ且＋ｋ＞Ｏ使得Ｄ中的每一对顶点（，
）存在从ｉＪ的（，，）途径，把满足上述条件的ｈ＋ｚ都到＾ｋｚ一并＋ｋ的最小值定义为三色有向图Ｄ的本原指
红色，当着两种颜色时着为红色和蓝色且红弧的条数大于等于蓝弧的条数，
当着三种颜色时为红色，色和黄色且红弧的条数大于等于蓝弧的条数，蓝蓝弧的条数大于等于黄弧的条数．
图１未着有向图Ｄ，
Ｆｇ１Ｕｎｌｕｅｉｒｐ，，ｉ．ｃｏｒｄｄｇａｈＤ４３
作者简介：李
娟（９２）女，１８一，河北保定人，中北大学在读硕士研究生，主要从事应用数学组合数学的研究
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太原师范学院学报（自然科学版）
Ｄ结合矩阵与图 ∈ Ｄ。的圈矩分别为
，
第７卷
ＩＺ以１．Ｚ
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