九年级数学下册 第7章 锐角三角形 7.4 由三角函数值求锐角作业设计 (新版)苏科版
锐角三角函数（含习题及答案）
锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力．二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=35m，求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即==可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90º，∠A=45º，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90º，由于∠A=45º，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 = 2BC2，AB =BC故===结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45º，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．认识正弦如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c．师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA．板书：sinA＝= (举例说明：若a = 1，c = 3，则sinA=)注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56º、sin∠DEF；3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，求sinA和sinB的值.分析：可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长，再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程（一）复习引入1.口述正弦的定义2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C．D．（二）实践探索一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90o，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90o，∠B=∠B’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；即cosA ==类似地，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA =锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，BC=6，sinA =，求cosA和tanB的值．解：∵sinA =，∴AB == 6×= 10又AC === 8∴cosA ==，tanB ==30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1.能推导并熟记30º、45º、60º角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．2.能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记30º、45º、60º角的三角函数值，能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式难点：30º、45º、60º角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30º =，sin45º=你还能推导出sin60º的值及30º、45º、60º角的其它三角函数值吗？(二)实践探索让学生画30º、45º、60º的直角三角形，分别求sin30º、cos45º、tan60°归纳结果（三）教学互动例1、求下列各式的值：(1) cos260º+cos245º+sin30ºsin45º(2)+解：(1)原式 = ()2+()2+××=++= 1(2)原式 =+=+= −(1+)2−(1−)2=−3−2−3+2= −6说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值．易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错例2、(1)如图(1), 在RtΔABC中，∠C = 90º，AB =，BC =，求∠A的度数．(2)如图(2)，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α.解：(1)在图(1)中，∵sinA ===，∴∠A = −45º，(2)在图(2)中，∵tanα ===，∴α = 60º用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1.让学生熟识计算器一些功能键的使用2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点：知道值求角的处理三、教学过程（一）复习引入通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值．（二）实践探索1.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37º24′sin37°23′cos21º28′ cos38°12′tan52°tan36°20′ tan75°17′2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝；cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝．典型例题1．若把ΔABC中锐角A的两边AB、AC分别缩小为原来的，已知其中∠C = 90º，则锐角A的正弦，则sinA的变化情况为( )A．nsinA B．sinA C． D．保持原值不变答案：D说明：因为当一个锐角大小不变时，其正弦值是固定的，与∠A的两边大小无关，所以正确答案为D．2．已知ΔABC中，∠C = 90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c、且c = 3b，则cosA = ( )A． B． C．D．答案：C说明：因为cosA =，而c = 3b，所以cosA =，答案为C．3．a、b、c是ΔABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2= 4(c+a)(c−a)，且有5a−3c = 0，求sinA+sinB的值．分析：用正弦的定义把正弦换为边的比，再由所给的边与边的关系即可求值．解：由(2b)2 = 4(c+a)(c−a)得b2 = c2−a2，∴c2 = a2+b2，∴ΔABC是直角三角形，且∠C = 90º；由5a−3c = 0，得=，即sinA =设a = 3k，则c = 5k，∴b == 4k，∴sinB ===∴sinA+sinB =+=．4．如图，∠POQ = 90º，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC = 30º；分别求点A、D到OP的距离．分析：由正方形的性质可证ΔABE≌ΔBCO≌ΔCDG，再由∠OBC = 30º，即可求出OC、CG、AE的长．解：过点A、D分别作AE⊥OP、DF⊥OP，DG⊥OG，垂足分别为E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC =∠BCD = 90º∵∠OBC = 30º，∴∠ABE =∠BCO = 60º同理可求∠CDG = 60º，又AB = BC = CD = 2 cm，∴RtΔABE≌RtΔBCO≌RtΔCDG∴CG = AE = AB•sin∠ABE = 2•=(cm)OC = BC•sin∠OBC = 2•= 1(cm)∴DF = OG = GC+OC = (+1)(cm)即点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为(+1)cm．习题精选选择题：1．如图，CD是RtΔABC斜边上的高，AC = 4，BC = 3，则cos∠BCD的值是( )A．B．C． D．答案：D说明：因为CD⊥AB，所以∠BCD+∠B = 90º；又∠A+∠B = 90º，所以∠BCD =∠A；由BC = 3，AC = 4，得AB === 5，∴cos ∠BCD = cosA ==，所以答案为D．2．如图，以平面直角坐标系的原点为圆心，以1为半径作圆，若点P是该圆在第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标是( )A．(cosα，1)B．(1，sinα)C．(sinα，cosα)D．(cosα，sinα)答案：D说明：如图，作PA⊥x轴于点A；由锐角三角函数定义知，cosα =，sinα =，所以OA = OPcosα = cosα，PA = OPsinα，所以点P的坐标为(cosα，sinα)，所以答案为D．3．如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，下列结论不一定成立的是( )A．AD = BC’B．∠EBD =∠EDBC．ΔABE与ΔBCD相似D．sin∠ABE =答案：C说明：因为ΔBC’D≌ΔBCD，所以BC’ = BC；又BC = AD，所以AD = BC’；因为AD//BC，所以∠EDB =∠CBD，而∠CBD =∠EBD，所以∠EDB =∠EBD，所以EB = ED；而sin∠ABE ==，所以A、B、D都是成立的，答案为C．4．如图，RtΔABC中，∠C = 90º，D为BC上一点，∠DAC = 30º，BD = 2，AB = 2，则AC的长是( )A． B．2 C．3D．答案：A说明：在RtΔACD中，因为∠CAD = 30º，设CD = x，因为tan∠DAC =，则AC =x，在RtΔABC中，由勾股定理得AB2= AC2+BC2= AC2+(CD+DB)2，即(2)2= (x)2+(x+2)2，∴x2+x−2 = 0，解得x1 = 1或x2 = −2(舍去)，即DC = 1，AC =，答案为A．5．在RtΔABC中，∠C = 90º，如果∠A = 30º，那么sinA+cosB的值等于( )A．1 B． C．D．答案：A说明：因为在RtΔABC中，∠C = 90º，∠A = 30º，所以∠B = 60º，所以sinA = sin30º =，cosB = cos60º =，故sinA+cosB =+= 1，所以答案为A．6．在矩形ABCD中，BC = 2，AE⊥BD于E，∠BAE = 30º，那么ΔECD的面积是( )A．2 B． C．D．答案：C说明：如图，由题意得，ΔABE与ΔBDC相似，∴∠CBD =∠BAE = 30º，∴CD = BC•tan∠CBD = 2•=，AB = CD =，BE = AB•sin30º =×=，EF = BE•sin30º =×=，∴SΔECD = SΔBCD−SΔEBC =BC•CD−BC•EF =×2×−×2×=，答案为C．7．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中黄色部分)的面积为( )A． B．sinα C． D．cosα答案：C说明：如图，过点A作AN⊥CD于N，过点D作DM⊥BC于M，则AN = DM = 1，∠DCM =α，在RtΔDCM中，CD == ，所以S平行四边形ABCD = CD•AN =，答案为C．解答题：1．如果α是锐角，且cosα =，求sinα及tanα的值．分析：事实上，因为α为锐角，所以可构造一个RtΔABC，使∠C = 90º，∠A = α，则有AC = 4k，AB = 5k，由勾股定理得BC == 3k，从而可求sinα；还可直接用公式sinA =求解．解：构造RtΔABC，使∠A = α，∠C = 90º，如图，∵cosα = cosA =，∴可令AC = 4k，AB = 5k，∴BC == 3k，∴sinA ===，tanA ===，即sinα =，tanα =．2．若tan2x−(+1)tanx+= 0，求锐角x．分析：这是以tanx为未知数的一元二次方程，可先求出tanx，再求x．解：tan2x−(+1)tanx+= 0，(tanx−1)(tanx−) = 0，得tanx = 1或tanx =；当tanx = 1时，x = 45º；当tanx =时，x = 60º；∴x1 = 45º，x2 = 60º．。
7.4 由三角函数值求锐角
例 1 的 2 个小题 考查的利用计 算器求锐角的 大小，比较简 单，学生一般可 独立完成。 例 2 是一道简单 的应用题，是对 情境二的问题 的复习和巩固。
四、 小 试 牛 刀
五、 课 堂 小 结
让学生进行小 结，不仅有利于 生： 总结本节课的内容， 对本节课所学 本节课学习了哪些知识？ 并发言，其它学生补充 的知识系统把 1、利用计算器由三角函数值求锐角； 握，更能够培养 师：在学生完成小结后 2、用所学知识解决实际问题。 学生用简洁的 给出完善的小结 数学语言进行 表达。
师：出示情境一。 生：独立思考，小组交 流，并作回答。 师：你是如何求解的， 说出你的方法。 生：由三角函数值可以 求出对应的锐角，从而 可求出∠A、∠B 的度 数，再通过三角形的内 角和求出∠C=90°。 师：本题中，∠A 的大
本情境是由两 个问题组成。情 境一的安排从 两个方面考虑， 既是对上节课 知识的复习，更 是让学生明白 由三角函数值 可以求出对应 的锐角。情境二 是从实际问题
3
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六、 拓 展 延 伸
有一段倾斜角为 30°的斜道长 30m， 为方便行人推车过桥，将斜道延长 10m， 该斜道的倾斜角减少了多少度？
师：出示拓展题。 生：独立思考后小组交 流。 师：请同学谈谈自己的 做法， 后师生共同总结。
这是一道综合 题，综合运用所 学知识，既巩固 了近两节课所 学知识，又能够 培养学生分析 问题和解决问 题的能力。
教学 重点 教学 难点 教学 程序 设计
3 ，试判断△ 境中的两个问题。 3
一、 情 境 创 设
ABC 的形状。 情境二： 如图，小明沿斜坡 AB 行走了 13m， 他的相对应的位置升高了 5m， 你能知 道这个斜坡的倾斜 A 的大小吗？
新人教版九年级数学锐角三角函数教案
新人教版九年级数学锐角三角函数教案新人教版九年级数学锐角三角函数教案1一、复习巩固：1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则BC：AC：AB = 。
2、在△ABC中，∠C=90°。
(1)已知∠A=30°，BC=8cm， (2)已知∠A=60°，AC= cm，求：AB与AC的长; 求：AB与BC的长。
二、例题学习：问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。
小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)?拓展延伸：1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m?2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中?思考与探索1：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东60°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。
概念：仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
问题2：为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°。
若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢?思考与探索(2)：大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。
一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。
如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗?三、板演练习1、如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB'的位置时，∠BAB'=30°。
问这时摆球B'较最低点B升高了多少?2、飞机在一定高度上飞行，先测得正前方某小岛的俯角为30°，飞行10km后，测得该小岛的俯角为60°，求飞机的高度。
九年数学下册第7章锐角函数71正切712锐角三角函数的计算习题课件新版苏科版
(2) 锐角的正切函数值随角度的增大而__增__大____．
9 【2021·南京】如图，为了测量河对岸两点A，B之间的 距离，在河岸这边取点C，D.测得CD＝80 m， ∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′， ∠BDC＝56°19′.设A、B、C、D在同一平面内，求A、 B两点之间的距离．(参考数据：，tan 56°19′≈1.50.)
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD 于 E，AF⊥BE， ∴四边形 ACEF 是矩形． ∴AF＝CE≈48 m，EF＝AC≈28 m， ∴BF＝BE－EF≈20 m， 在 Rt△ ABF 中， AB＝ AF2＋BF2＝ 482＋202＝52(m)． 答：A、B 两点之间的距离是 52 m.
解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于 F，如图． ∵∠BCD＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形． 设CE＝x，则BE＝x， ∵CD＝80 m， ∴DE＝(80－x)m.
在 Rt△ BDE 中，∠BDC＝56°19′， ∴tan 56°19′＝DBEE，即80x－x≈1.5， 解得 x≈48(m)． ∴BE＝CE≈48 m. 在 Rt△ ACD 中，∠ADC＝19°17′，CD＝80 m， ∴tan 19°17′＝CADC，即A8C0 ≈0.35，解得 AC≈28 m，
6 用计算器比较tan 25°，tan 27°，tan 26°的大小关 系是( A ) A．tan 25°<tan 26°<tan 27° B．tan 25°<tan 27°<tan 26° C．tan 27°<tan 25°<tan 26° D．tan 26°<tan 25°<tan 27°
7 用计算器求 tan 10°，tan 20°，tan 30°，tan 40°，tan 50°，
锐角三角函数教案设计
锐角三角函数教案设计锐角三角函数教案设计作为一位杰出的老师，就有可能用到教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
那么写教案需要注意哪些问题呢？下面是店铺整理的锐角三角函数教案设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
锐角三角函数教案设计篇1知识目标：1.理解锐角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的意义。
2.会由直角三角形的边长求锐角的正、余弦，正、余切函数值。
能力、情感目标：1.经历由情境引出问题，探索掌握数学知识，再运用于实践过程，培养学生学数学、用数学的意识与能力。
2.体会数形结合的数学思想方法。
3.培养学生自主探索的精神，提高合作交流能力。
重点、难点：1.直角三角形锐角三角函数的意义。
2.由直角三角形的边长求锐角三角函数值。
教学过程：一、创设情境前面我们利用相似和勾股定理解决一些实际问题中求一些线段的长度问题。
但有些问题单靠相似与勾股定理是无法解决的。
同学们放过风筝吗？你能测出风筝离地面的高度吗？学生讨论、回答各种方法。
教师加以评论。
总结：前面我们学习了勾股定理，对于以上的问题中，我们求的是BC的长，而的AB的长是可知的，只要知道AC的长就可要求BC 了，但实际上要测量AC是很难的。
因此，我们换个角度，如果可测量出风筝的线与地面的夹角，能不能解决这个问题呢？学了今天这节课的内容，我们就可以很好地解决这个问题了。
（由一个学生比较熟悉的事例入手，引起学生的学习兴趣，调动起学生的学习热情。
由此导入新课）二、新课讲述在Rt△ABC中与Rt△A1B1C1中∠C=90°, C1=90°∠A=∠A1，∠A 的对边、斜边分别是BC、AB，∠A1的对边、斜边分别是B1C1、A1B2 （学生探索，引导学生积极思考，利用相似发现比值相等）（）若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么问题1：从以上的探索问题的过程，你发现了什么？（学生讨论）结论：这说明在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么无论这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题
c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（ ）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（ ：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．不能确定2．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A等于（）A．1B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）A．6B．6C．7D．75．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．+1C．D．+16．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）A．米B．米C．50sin40°米D．50cos40°米7．如图，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（）mA．8B．16C．4D．48．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．比较大小：tan50°tan60°．10．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠P AB+tan∠PBA ＝．12．如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为，则河堤的高BE为米．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．16．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．计算：﹣2（1+sin60°）18．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD ＝6．求AD的长．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．20．如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．（1）求点E到水平地面的距离；（2）求楼房AB的高．21．某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A 处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）22．如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC 的高度．（参考数据：）23．阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sin B＝，sin C＝，于是AD＝c sin B，AD＝b sin C，也就是c sin B ＝b sin C，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，∴边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．故选：C．2．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故选：D．3．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tan A＝＝，故选：D．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝4×＝4，BD＝AB cos45°＝4×＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD tan∠CAD＝4×＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，故选：C．5．解：过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠B，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝x，∵∠C＝30°，∴tan C＝，∴，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，即AD＝1，∴．故选：A．6．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故选：A．7．解：Rt△ABC中，BC＝4m，tan A＝1：2；∴AC＝＝8m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAC＝．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．10．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．11．解：设小正方形的边长是a，∵tan∠P AB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠P AB+tan∠PBA＝+＝．12．解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，设AE＝5x米，则BE＝12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132＝5x2+（12x）2，即169x2＝169，解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），5x＝5，12x＝12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．13．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作直线F A∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥F A于点H，则∠F AE＝90°，∵F A∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EF cos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠F AE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．15．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．16．解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：原式＝﹣2（1+）＝+﹣2﹣＝﹣2．18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．19．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．20．解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，∴设EF＝a米，则CF＝2a米，在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE＝＝＝a（米），∵CE＝8米，∴a＝8，∴a＝8，∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），∴点E到水平地面的距离为8米；（2）如图：延长FE交AG于点H，由题意得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），∴楼房AB的高为48米．21．解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝5海里，∴CD＝5+5≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，22．解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，∴CF＝EF＝50＝86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．答：建筑物BC的高度约为136.6米．23．解：（1）根据阅读材料可知，，∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，∴＝，∴AB＝＝2；（2）证明．理由如下：如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，∴CD＝．在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，∴CD＝，∴＝，∴＝，即在△ABC中，．。
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)
锐角三角函数与解直角三角形之羊若含玉创作【考纲领求】锐角三角函数的界说、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为依据题中给出的信息构建图形，树立数学模子，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．ab要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中界说的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确准时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分离是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及懂得成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；别的，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的界说知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0．考点二、特殊角的三角函数值应用三角函数的界说，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以便利地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的纪律会发明：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变更纪律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的盘算中，盘算时巧用这些关系式可使运算轻便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的进程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分离为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的懂得和记忆要联合图形，可以加倍清楚、直不雅地懂得.考点五、解直角三角形的罕有类型及解法已知条件解法步调Rt△ABC 双方两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行盘算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很普遍，症结是把实际问题转化为数学模子，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的症结.解这类问题的一般进程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、偏向角等概念，然后依据题意画出几何图形，树立数学模子.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)依据直角三角形(或通过作垂线结构直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并磨练答案是否相符实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指南偏向线按顺时针转到目的偏向的水平角叫做方位角，如图①中，目的偏向PA，PB，PC的方位角分离为是40°，135°，245°.(4)偏向角：指北或指南偏向线与目的偏向线所成的小于90°的水平角，叫做偏向角，如图②中的目的偏向线OA，OB，OC，OD的偏向角分离暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南偏向指的是南偏东45°，东南偏向指的是北偏东45°，西南偏向指的是南偏西45°，西南偏向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值盘算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要不雅察图形特点，恰当引帮助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(症结弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而依据条件选择适合的办法求解.【典范例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50°B．10·cos50°C．10·sin50°D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，依据锐角三角函数的界说，可以用某个锐角的三角函数值和一条边暗示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中双方之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k暗示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的办法是：应用界说，依据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接应用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己测验测验完成．触类旁通：【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分离是∠A、∠B、∠C 的对边，那么c等于( )(A) a cosA bsin B+ (B)asin A bsin B+(C)a bsin A sin B+(D)a bcos A sin B+类型二、特殊角的三角函数值2．解答下列各题：(1)化简求值：tan60tan45sin45sin30sin60cos30cos45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．．【总结升华】 由第(2)题可得到往后经常使用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-．触类旁通：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.3．(1)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长?(3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 知足12sin 13A =，如何求BC 的长及△ABC 的面积？若AC ＝3，其他条件不变呢?【思路点拨】第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“双方一夹角”，均可用相似的办法解决．类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的界说【专题解读】 锐角三角函数界说的考核多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32 D ．tan B ＝3 例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．43专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值．例4 盘算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0． 例5 盘算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋9＋(－1)2007－cos 60°．例6 盘算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．例7 盘算312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-.专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考核综合运用知识解决问题的才能.BC 例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝4 5．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝12，求AD的长．例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋303，求AB的长．专题4 用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】增强数学与实际生活的接洽，提高数学的应用意识，造就应用数学的才能是当今数学改造的偏向，围绕本章内容，纵不雅近几年各地的中测验题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有汽船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各类应用问题时要注意掌控各类图形的特征及解法．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外运动小组的同学应用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处不雅测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你依据这些数据算出河宽是若干?(成果保存小数点后两位)例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发明海中的B点有人求救，便立刻派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以算作是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7)例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东偏向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°偏向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°偏向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船持续向正东偏向航行，该货船有无触礁危险?试说明来由．例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块告白牌CD，甲、乙两人分离在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分离为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE ＝15米，求这块告白牌的高度．(3≈1.73，成果保存整数)例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高 4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，或人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)二、纪律办法专题专题5 公式法【专题解读】本章的公式许多，熟练掌握公式是解决问题的症结．例19 当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值．三、思想办法专题专题6 类比思想【专题解读】求方程中未知数的进程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的进程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的懂得可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分离为a，b，c，已知a＝52，b＝152，解这个直角三角形．．专题7 数形联合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙联合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题经常使用的办法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－33x＋33，则cosα等于 ( )A．12 B．22C．32 D．33专题8 分类讨论思想【专题解读】当成果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条器械走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°偏向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经由C修一条笔挺的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(成果可保存根号)专题9 转化思想例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100km．现筹划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经丈量，森林呵护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的偏向上．已知森林呵护区的规模在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问筹划修筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为什么?(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个极点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(成果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)例26 如图28－142所示，某居平易近楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现筹划在I楼的正南边距1楼30米处新建一居平易近楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖若干米?。
人教版九年级数学下册教学课件 用计算器求三角函数值和锐角度数
的形式．
例3 如图，某校自行车车棚的人字架顶棚为等腰三角形，D是AB的中 点，中柱CD＝1 m，∠A＝27°，求跨度AB的长．(精确到0.1 m)
解：∵tan A＝CADD， ∴AD＝tan127°≈1.96(m)， ∴AB＝2AD≈3.9(m)．
练习
1．教材P68练习第1，2题． 2．已知tan α＝0.324 9，则α约为(
活动2 (1) 教材P69习题28.
924 811 845
探究新知
(A1．)请1注7°1意．计算教器材上的BP．671练8°习键，下它面有什部C么．作分38用°内？ 容． D．39° 提出问题： 001 314 153
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且AD＝6，BD＝3，求∠C的度数．(精确到1′)
(2)已知sin A＝0. ∴∠C≈71°34′.
按键顺序
显示结果
或或
，再输入数值，得到的结果为 的形式．
或 ，si再n输6入7°38．′24″
0.924 811 845
2．已知tan α＝0.
2(2．)已教知材sPin6tA8a上＝n面06. 部3分°2内7容′．
2.001 314 153
A．tan 78°>tan 52°>tan 23°
2．已知锐角三角函数值，利用计算器求角．
3．下列各式一定成立的是(
)
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且AD＝6，BD＝3，求∠C的度数．(精确到1′)
3例．3下如列解图各，式：某一∵校定自成F行立G车的＝车是棚(8的3－人)字(架1顶50棚－为等1腰2三4)角＝形，57D是，AB的中点，中柱CD＝1 m，∠A＝27°，求跨度AB的长．(精确到0.
初三数学家庭作业 由三角函数值求锐角
初三数学家庭作业第七章 锐角三角函数7.4 由三角函数值求锐角一、知识要点1、利用计算器，可以由一个锐角的三角函数值求这个角的＿＿＿＿＿＿.2、已知sinA ＝135，用计算器求∠A 的大小，依次按键为：＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿，则∠A ＝＿＿＿＿°.二、基础训练1、若α为锐角，tan α＝0.2，则α＝＿＿＿＿＿＿2、若α为锐角，cos α＝0.5127，则α＝＿＿＿＿＿＿3、已知斜坡AB 的高为3m ，长为15m ，则斜坡AB 的倾斜角为＿＿＿＿＿＿4、用计算器比较两个锐角α，β的大小（1）sin α＝0.55，tan β＝0.68，α＿＿＿＿＿β（2）sin α＝0.47，cos β＝0.89，α＿＿＿＿＿β5、一架梯子斜靠在一面墙上，已知梯长5m ，梯子位于地面上的一端离墙壁25m ，则梯子与地面所成的锐角为＿＿＿＿＿＿6、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若AD ＝4，BD ＝1，则∠A ＝＿＿（精确到0.1°）7、如图，桌球台上有一只小球A ，按图中的路线击打小球，撞击台边C 后反弹入B 洞，则小球撞击台边时的入射角θ＝＿＿＿＿＿＿（精确到0.1°）8、已知sinA ＝0.6820，利用计算器求出锐角∠A 的值约为（ ）A 、43°B 、42°C 、41°D 、44°9、若三个锐角α、β、γ，满足sin α＝0.8480，cos β＝0.4540，tan γ＝1.8040，则α、β、γ的大小关系是（ ）A 、β＜α＜γB 、α＜β＜γC 、α＜γ＜βD 、β＜γ＜α10、比较tan10°，sin10°，cos10°的大小关系为（ ）A 、tan10°＜sin10°＜cos10°B 、tan10°＞sin10°＞cos10°C 、sin10°＜tan10°＜cos10°D 、sin10°＞tan10°＞cos10°11、大楼每层的高度为6m ，若选用长14m 的直型手扶电梯通向上一层，则电梯的倾斜角约为（ ）A 、62°B 、28°C 、25°D 、65°12、如图，在距离高为30m 的灯塔48m 处观察灯塔，塔顶的仰角为（ ）A 、39°B 、32°C 、51°D 、58°13、用计算器求下列各式中的锐角α（精确到0.1°）（1）sin α＝0.8936 （2）cos α＝0.0794 （3）tan α＝0.86314、如图，在离旗杆6m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为50°，已知测角仪高AD ＝1.5m ，求旗杆BC 的高（结果是近似数，请你自己选择合适的精确度）.如果你没有带计算器，也可选用如下：sin50°≈0.7660 cos50≈0.6428 tan50°≈1.192三、能力提升1、用计算器探索：按一定规律排列的一组数：201,191,,121,111,101 ，如果从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选＿＿＿＿＿个数.2、用计算器探索规律：3、如图，小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20米，斜坡坡面上的影长CD ＝8米，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度.（精确到1米）4、已知：如图，C为半圆上一点，，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F.（1）求证：AD＝CD；5、如图，H是⊙O的内接锐角△ABC的高线AD、BE的交点，过点A引⊙O的切线，与BE的延长线相交于点P，若AB的长是关于x的方程x2－63x＋36（cos2C－cosC＋1）＝0的实数根.（1）求：∠C＝＿＿＿＿度；AB的长等于＿＿＿＿（直接写出结果）.★（2）若BP＝9，试判断△ABC的形状，并说明理由.四、预习感知1、阅读课本P51-522、如图，在直角三角形中，∠C为直角，除直角外三边之间的关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿锐角之间的关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿边角之间的关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、由直角三角形的＿＿＿＿＿＿＿，求出＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，叫做解直角三角形.4、已知条件中至少有一个是＿＿＿＿＿＿，才能求出其它未知元素.5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，b＝3，解这个直角三角形.。
(完整word版)苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案
课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能:1.理解正切的概念, 能通过画图求出一个角的正切的近似值。
能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。
过程与方法:1.经历探索表示物体倾斜程度, 形成正切的概念的过程, 练就创造性解决问题的能力。
1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。
学习重点理解并掌握正切的含义, 会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
学习难点计算一个锐角的正切值的方法。
教学流程预习导航观察回答: 如图某体育馆, 为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答: 图的台阶更陡, 理由合作探究一、新知探究:1.思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外, 还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度。
（思考: BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答: _________________. 讨论: 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答: ________________________. 2.思考与探索二:（1）如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1, RtAB2C2, RtAB3C3……, 那么有: Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质,得: ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。
3.正切的定义如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______, 记作______。
即: tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？ ）试试看.4．思考: 当锐角α越来越大时, α的正切值有什么变化？ 二. 例题分析:例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm, 一个台阶的高度为15cm, 求 楼梯倾斜角的正切值。
苏科版九年级数学下册由三角函数值求锐角课件
3 3
,则A=
300
(4)2sinA- 3 =0,则A= 600
3.已知sinα·cos300= 3 ,求锐角α. 4
4. 一梯子斜靠在一面墙上,已知梯子长4m,梯子位于地 面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角.
5 . 一个人由山底爬到山顶,需先爬400的山坡300m, 再爬300 的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m).
300 tanA =
3 ∠A= 600
tan A = 1 ∠A= 450
练一练
1.sin700= 0.9397
cos500= 0.6428
2.(1)sinA=0.3475 ,则A= 20020'4" (精确到1")
(2)cosA=0.4273,则A= 64042'13"(精确到1")
(3)tanA=
解 :Q tan ∠ACD= AD = 10 0.5208,
CD 19.2
∴∠ACD≈27.50 . ∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50 =550.
∴V型角的大小约550.
例２:如图，一段公路弯道Ａ⌒Ｂ两端的距离为200m, A⌒B的半径为1000m,求弯道的长（精确到0.1m）。
Ｂ
Ｏ
Ｃ
Ａ
课内练习:
A
例如，已知sin α＝０.２９７４，求锐角α．
按键顺序如下：
SHIFT sin 0 . 2 9 7 4 =
即α=17.30150783
17.30150783
例1 根据下面的条件,求锐角β的大小(精确到 1)
(1)sinβ=0.4511；
SHIFT sin 0 . 4 5 1 1 =
由三角函数值求锐角(课件)-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)
例题讲授
例1
根据下列三角函数值，求锐角A (精确到0.01°) ：
（1）cosA＝ ；
（2）tanA＝2 .
解：(1)依次按键
，
显示结果为75.522 487 81，即∠A≈75.52°；
(2)依次按键
，
显示结果为63.434 948 82，即∠A≈63.43°．
新知归纳
用计算器由已知三角函数值求它的对应锐角的一般步骤：
在Rt△ABC中，
B
？
A
5m
∠ACB=90°，AB=13，BC=5，
则sinA=
，
利用计算器可以由一个锐角的三
C
角函数值求得这个角的大小.
视察与操作
利用科学计算器依次按键
,
(或
)
结果显示为22.619 864 95，即∠A≈22.62°．
友谊提醒：第一要把科学计算器调至DEG(角度
单位)状态下，再进行操作．
第7章 锐角三角函数
7.4
由三角函数值求锐角
学习目标
1. 会使用计算器由已知三角函数值求它的对应锐角；
2. 能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的简
单实际问题.
知识回顾
抢答：
我们发现：
三角函数值
30°
已知任意一个特殊角，能确定它的三
sin θ
cos θ
tan θ
45°
60°
注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同
用计算器辅助解决一些简单的实际问题
当堂检测
1. 利用计算器求值：
(1) 若sinA=0.5225，则∠A≈
7.4 由三角函数值求锐角
课题：§7.4由三角函数值求锐角主备：杨守德 审核：周飞 班级： 姓名： 使用时间：【学习目标】知识与技能：会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。
过程与方法：能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题情感、态度与价值观：在学习中体会数学与生活的联系，培养应用意识。
【学习重难点】1、会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。
2、能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题【学习过程】一、出示目标二、自主学习1．利用计算器求下列各角的正弦、余弦值（精确到0.01）（1）15° （2）72° （3）55°12′ （4）22.5°2.问题：如图，小明沿斜坡AB 行走了13cm 。
他的相对位置升高了5cm ，你能知道这个斜坡的倾斜角A 的大小吗？分析：根据已知条件，有：sinA=利用计算器，可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。
依次按键为：结果显示为 ，得∠A ≈ （精确到0.01）三、交流展示1．求满足下列条件的锐角A （精确到0.01°）（1）41cos =A （2）23.0sin =A （3）2tan =A2．如图，已知秋千吊绳的长度3.5m ，求秋千升高1m 时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度（精确到0.01°）四、释疑解答1．如图,工件上有一V 型槽,测得它的上口宽AB=20mm,深CD=19.2mm.求V 型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).★2．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成.每个三角形都是以点O 为一顶点.(1)求∠A 0OA 1,∠A 1OA 2,∠A 2OA 3,的大小.(2)已知∠A n-1OA n ,是一个小于200的角,求n 的值.五、达标检测1．已知sinA=0.9816，∠A= ； cosA ＝0.8607，∠A= ； tanA=0.1890，∠A= ；(结果精确到10 )2．根据下列条件求锐角θ的大小：(结果精确到10 )(1)sin θ＝23； (2)cos θ＝23； (3)tan θ=3； (4)sin θ=0.3957； （5）cos θ＝0.7850；3．如图,为了方便行人，市政府在10m 高的天桥.两端修建了40m 长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?★4．如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是45o ,而大厦底部的俯角是37o ,求该大厦的的高度(结果精确到0.1m).。
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第5章 二次函数2020来自科版九年级数学下册电子课 本课件【全册】
5.2 二次函数的图象和性质
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5.3 用待定系数法确定二次函数 的表达式
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2020苏科版九年级数学下册电子 课本课件【全册】目录
0002页 0046页 0061页 0063页 0133页 0148页 0211页 0251页 0281页 0345页 0385页 0445页 0489页
第5章 二次函数 5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式 第6章 图形的相似 6.2 黄金分割 6.4 探索三角形相似的条件 6.6 图形的位似 第7章 锐角函数 7.2 正弦、余弦 7.4 由三角函数值求锐角 7.6 用锐角三角函数解决问题 8.1 中学生的视力情况调查 8.3 统计分析帮你做预测 8.5 概率帮你做估计
初中数学单元教学设计与实践研究——以“锐角三角函数”为例
㊀㊀㊀１１９㊀㊀初中数学单元教学设计与实践研究初中数学单元教学设计与实践研究㊀㊀㊀ 以 锐角三角函数 为例Һ李㊀慧㊀（镇原县新城初级中学，甘肃㊀庆阳㊀７４４５１８）㊀㊀ʌ摘要ɔ初中数学单元教学模式能够有效瓦解 课时主义 的束缚，为学生创造一个思维系统㊁架构立体的数学学习场域，对于初中阶段学生展开数学知识内化㊁实现数学思维提升㊁形成数学核心素养等具有积极作用．文章立足新课标要求，阐释初中数学实施单元教学的意义，提出初中数学单元教学的设计思路，并结合 锐角三角函数 案例提出实践策略，以供借鉴参考．ʌ关键词ɔ初中数学；课时主义；单元教学；锐角三角函数引㊀言关于如何组织和呈现数学课程内容，‘义务教育数学课程标准（２０２２）“（以下简称‘标准“）中提出了明确的要求，即对课程内容进行结构化整合及重视数学知识与方法的多样化和层次性，这恰是数学单元教学的基本特征．所谓 单元教学 ，即将 单元 视为知识传授与知识学习的基本单位，它是打破长期以来 课时主义 弊端的有效途径，其自身也包含多重属性，如 数学知识单元 数学主题单元 数学实践单元 等，这些属性的共性之处是对数学知识点的高度集成，避免数学教学中出现碎片化信息，旨在构建梯度性㊁进阶性㊁螺旋性的教学架构，从而实现 １＋１＞２ 的数学教学效果．一㊁初中数学单元教学的意义（一）推动数学教学内容结构化直观上看，数学知识不仅抽象，且知识点之间的关系十分密切，按照 从易到难 的学习规律来说，可谓环环相扣㊁层层嵌套．例如，苏科版九年级（下）数学第７章 锐角三角函数 单元，其中涉及正切㊁正弦㊁余弦等概念，学生想要掌握这些知识点，就需要以 三角形认识 三角形边角关系 分数 等知识做铺垫．从这个角度出发，数学教学从来都不是知识点的简单罗列㊁堆砌，教师应将相关性较强的知识点进行充分聚合，使其成为一个具有结构性的 数学有机体 ，很显然， 单元教学 就是数学有机体的构建及应用途径．基于单元教学视角，初中数学知识摆脱了线性罗列㊁点状堆砌的状态，凝聚成一个结构性强的 知识团 ，这样可以很好地避免知识点碎片化传授，以及知识点之间关系割裂的现象．初中数学单元教学在推动学科内容结构化的同时，也能够帮助师生形成 数学大局观 ，即教学工作从大框架㊁大思路展开，学习活动从大背景㊁大问题展开．这种方式能将数学教材中一个单元或 跨单元 内容结成网㊁连成面，构建强大的学科知识支架．（二）提高学生的解决问题能力课时主义 理念下，初中数学教学容易出现过度强调阶段性教学成就的现象，一个突出表现就是让学生多做习题，一些课堂教学设计也采取 习题分析ң特征归纳ң反复训练 的步骤，其目的就是让学生在短时间内掌握知识点．客观地说，刷题教学虽然能够提高解题速度和答案正确率，但容易造成学生数学思维僵化，久而久之，学生只会模仿例题解法，一旦问题发生变化，就会陷入手足无措的境地．‘标准“指出，数学是一门广泛应用于社会各领域的学科，故初中数学教学目的不是狭隘地培养学生的 解决题目能力 ，而是使学生形成综合的 解决问题能力 ．结合生活实际与现实场景，要解决一个具体的问题，往往需要利用多方面的数学知识．初中数学单元教学的突出特征是知识整合㊁高度联动，强调真实情境与现实任务的介入，相比侧重某个知识点的讲解和某类题型的解答，单元教学模式更有利于学生数学实战素养的生成，同时，能让学生从 题海 困扰中脱离出来．（三）促进学生的数学思维发展数学思维是初中数学课程的核心素养之一，它的训练过程相对枯燥，形成条件相对苛刻，需要学生基于数学问题付出艰苦的脑力劳动，具体形式包括质疑㊁分析㊁辩证㊁推理等．初中常规数学教学不利于数学思维的生成，一方面，是因为采取线性结构呈现内容㊀㊀㊀㊀１２０㊀会导致知识点过度分散，学生 只见树木不见森林 ，数学思维发展容易受阻．另一方面，则是因为学生面对的大多是 良构问题 ，即问题的条件充分㊁答案唯一，学生只需要正确使用公式㊁定理即可解决问题，很容易陷入定式思维㊁正向思维中．单元教学可以设置分层化目标，关联多个知识点，由此形成 问题链 ，加上具有开放性㊁拓展性的 非良构问题 的运用，可以满足 最近发展区 的平稳过渡与积极跨越，再配合问题驱动㊁案例解析等手段，可帮助学生突破定式思维，从机械模仿㊁死扣公式等局囿行为中解脱出来．二、初中数学单元教学的设计思路（一）依据教材对比重组教学单元数学教材是数学教学活动的依据，但不能过分强调其权威性，其本质是基于一定逻辑（如认知逻辑㊁关联逻辑等）组织起来的教学资源．事实上，国内各种版本的初中数学教材并非采用一种逻辑，如人教版初中数学教材是基于同一主题组织内容，各个单元的独立性较强，苏教版初中数学教材更强调知识的相关性，如九年级（下）的四个单元的基本逻辑为数形结合．很显然，在初中数学单元教学设计视域下， 单元 是教学内容的容器，对于数学知识的接纳具有开放性，而不局限于固定教材，教师可以通过对比不同版本初中数学教材，选取多元化知识点进行重组㊁优化㊁聚合．例如，以苏科版初中数学教材 锐角三角函数 单元为基础，对比人教版㊁沪科版㊁北师大版等初中数学教材中 锐角三角函数 的单元部分，汲取精华部分㊁典型案例等，按照一定主体进行 结构化整合 ，如将现有苏科版教材中 锐角三角函数 知识划分成四个主题单元，依次为 三角函数概念㊁内涵㊁特征 三角函数与锐角的关系 直角三角形求解 及 锐角三角函数运用 ．而人教版初中数学教材直接抛出了 正弦 余弦 及 正切 等知识点．对比来看，苏科版教材关于 锐角三角函数 知识的介绍，具有鲜明的先阐述理论㊁后实践运用特征，而人教版教材关于 锐角三角函数 知识的介绍，采取了 理实一体化 的深度整合方式．教师可通过对比教材差异，关联学生真实水平，对单元教学内容进行重组．（二）依据‘标准“设计教学目标受到 课时主义 教学理念的影响，初中常规数学教学普遍采用一节课一个（套）教学目标的方式，而在现实操作中，经常会遇到因为某个知识点理解困难而延长课时的情况，这就会导致多节课基于同一个教学目标展开．过于分散㊁碎片化的教学目标设计，势必会造成对同一知识点的过度切割，使学生难以精准把控学习重点与难点．此外，初中常规数学教学基于课堂环境㊁教材框架进行，但由于学生的数学资质㊁天赋存在差异，为了兼顾 学困生 及 优等生 的均衡发展，设定教学目标时需要进行分层处理，这就容易导致教学目标差异性大㊁离散度高，最终无法满足 总目标 的教学要求．采取单元教学模式，可依据‘标准“设计教学目标，形成 从整体到局部 的层级目标体系．例如， 锐角三角函数 的单元教学，第一层目标包括 立德树人目标 知识能力目标 方法过程目标 三个．第二层目标是关键所在，其知识能力目标包括 求三角函数值 解直角三角形 正切㊁正弦㊁余弦概念及运用 等．（三）依据整体思维优化教学结构单元教学视域下的教学优化，是指在教学设计㊁教学实施㊁教学管理㊁教学评价等各环节都突出整体性，它可以打破传统教学模式下 一节一备 的被动性，并在此基础上合理设置 分课时 的内容．例如，结合苏科版初中数学 锐角三角函数 单元的内容，设置三类课型，具体 分课时 的划分如下表．锐角三角函数分课时设计课型分课时内容起始课数学活动课，测量学校旗杆的高度；测量台阶，明确正切的概念（１课时）探究课１．探究什么是锐角三角函数（１课时）２．探究锐角与其三角函数的关系，关联正切㊁余弦㊁正弦（２课时）３．探索锐角三角函数的特殊表现（１课时）４．探究锐角三角函数 特殊到一般 的规律，求锐角（１课时）．５．探究锐角三角函数的现实应用（１ ２课时）总结课Ｐ１１９ 小结与思考 （１课时）（四）依据核心素养改进学习评价‘标准“将初中数学课程核心素养概括为 数学眼光 数学思维 及 数学语言 ．数学眼光为认识世界㊁观察世界提供了一扇窗，数学思维为思考现实世界的现象㊁探究现实世界的问题提供了科学范式，数学语言能够将现实世界表达得更加简约和精准．在单元教㊀㊀㊀１２１㊀㊀学评价方面，应依据核心素养的相关要求，进一步改进学习评价体系，从整体上减少对学生结果性评价的比例，提高对过程性评价㊁多主体评价㊁多维度评价的重视．三㊁初中数学单元教学的实践策略（一）关注整体建构，上好单元起始课初中数学单元教学实践的基本原则是 温故知新㊁循序渐进 ，即从单元知识的整体建构出发，先让学生回忆㊁联想起已有的知识经验，然后通过一系列问题导入新学知识要素，这是上好单元起始课的关键．例如，在 测量学校旗杆的高度 活动课基础上，设计以下问题：（１）结合自身影长㊁旗杆影长能否确定旗杆真实高度？（２）测得旗杆影长（１５米），水平夹角分别为３０ʎ，４５ʎ，６０ʎ，能否确定旗杆的真实高度？（３）测得旗杆影长（１５米）与水平夹角（５５ʎ），能够确定旗杆的真实高度吗？以上三个问题中，问题（１）用来调动学生固有的知识经验，即根据三角形相似，通过比例计算得到旗杆的真实高度．问题（２）则过渡到了直角三角形 边角关系求解 的范畴，基于特殊角的条件，便于学生进行探索．问题（３）更进一步让学生开展 从特殊到一般 的探究过程，了解任意三角形的锐角确定后，通过 边边关系 即可确定旗杆的真实高度．从单元起始课角度，利用递进式问题跨过了单元整体性的门槛，在此基础上引入正切概念㊁正弦概念㊁余弦概念显得水到渠成．（二）紧扣关键问题，上好自主探究课初中数学单元教学中的 探究课型 发挥了承上启下的作用，其中承上部分指本单元的基础知识，启下部分则是 最近发展区 的新知识．在这一阶段的教学中，教师要适时抛出关键问题，即揭示单元主题内涵㊁突出单元知识点关联的问题．例如，探究锐角三角函数 从特殊到一般 的规律时，承上部分主要利用到勾股定理的旧有知识体系，在此基础上进一步扩展，探索直角三角形两锐角关系㊁边角关系（即 启下 部分），在３０ʎ，４５ʎ，６０ʎ锐角的基础上，逐步拓展到解任意三角形，使学生加深对数学化归思想的认识．（三）通过方法提炼，上好单元总结课一般来说，基于单元教学的 总结课型 实施，需要确保全面梳理㊁系统归纳，不遗漏任何一个知识点，这样才能确保整个 知识树 的清晰呈现．具体策略方面，可通过方法提炼的形式实现，如在 锐角三角函数 的单元总结课上，可从数学关系（正切㊁正弦㊁余弦）㊁数学思想（抽象㊁推理㊁建模）㊁数学图式三个方面进行总结．其中，数学图式总结包括两种情况：（１）特殊情况，直角三角形内包含特殊锐角．（２）任意三角形，通过转化为两个直角三角形来解决问题．（四）聚焦拓展应用，上好综合实践课数学不仅是工具㊁方法，它本身也属于应用科学的范畴，如果在教学活动中 重解答题目，轻解决问题 ，数学就会沦为复杂乏味的数字游戏．尤其在单元教学设计视域下，差异化的知识点同时陈列在学生面前，基于学以致用㊁知行合一的教学理念，能够很好地帮助学生理解知识和使用知识．据此，在单元教学体系中应创设一个常态项目，即 综合实践课 ，用来引导学生拓展数学视野，应用数学观察㊁分析㊁解决现实问题．例如，在 锐角三角函数 单元教学结束之后，组织学生开展 寻宝 活动，将所要寻找的物品放在特定位置（如建筑物角落㊁树木下面），要求学生通过测量校园建筑物㊁树木等的高度，找到符合 藏宝图 要求的位置．结㊀语整体来说，单元教学模式更符合初中数学课程特点，可以使教学活动更加有条理，突出系统性优势．同时，以 单元 为最小单位整合一组数学知识点，是解决现阶段初中数学 课时主义 弊端的有效手段．在‘标准“不断强调数学核心素养培育的视域下，初中数学单元教学设计与实践活动能够帮助学生强化知识关联和建构知识，更重要的是，对于数学思维训练具有事半功倍的效果．ʌ参考文献ɔ［１］杨锋斌．探究初中数学个性化单元教学设计的路径［Ｊ］．中学课程辅导，２０２２（２６）：１０２－１０４．［２］黄勤程．浅谈初中数学整体单元教学设计的策略［Ｊ］．当代家庭教育，２０２２（１９）：１６－１８．［３］李玉凤．单元教学背景下的初中数学分层作业设计：以‘一次函数“为例［Ｊ］．数理天地（初中版），２０２２（１２）：４０－４２．［４］司卫秀，徐丽．数学大概念视角下的单元教学设计：以 函数的概念与性质 单元教学为例［Ｊ］．新课程导学，２０２２（１６）：２２－２４．。
学案05.7.4由三角函数值求锐角.
C §7.4由三角函数值求锐角班级 姓名【学习目标】1.会根据锐角的正弦、余弦值，利用科学计算器求该锐角的大小.2.进一步体会三角函数的意义.【学习重点】会根据锐角的正弦、余弦值，利用科学计算器求该锐角的大小.【学习活动】〖问题引入〗如图，小明沿斜坡AB 行走了13m ，他的相对位置升高了5m.你能知道这个斜坡的倾斜角A 的大小吗？〖探究问题〗1.与同学讨论你是怎样解决上述问题的？2.归纳：〖解决问题〗例1.:求满足下列条件的锐角A(精确到0.01°)（1）cosA=41; （2）tanA=2; (3)sinA=0.52C AC B例2.如图,等腰三角形的底边为30,它的面积为100,求它的底角(精确到1′).〖达成与迁移〗课堂测试：1. 求满足下列条件的锐角A(精确到0.01°)（1）sinA=41; （2）tanA=10; (3)cosA=0.232.如图,已知秋千吊绳的长度3.5m,求秋千升高了1m 时,秋千吊绳与竖直方向所成的角度(精确到1′)课后作业：1．求满足下列条件的锐角A(精确到1′)（1）sinA=0.4986; （2）tanA=2.369; (3)cosA=0.67832、某商场有一自动扶梯，高7m，扶梯的长度是14m。
问其倾斜角是多少度？3、菱形的周长为80，一条对角线长为15，求另一条对角线长和内角的度数（长度精确到0.1，角度精确到1°）.4. 已知△ABC中,AD是BC边上的高,AD=2,AC=22,AB=4,求∠BAC的度数.5.已知:∠A 为锐角,并且cosA=54,求sinA,tanA 的值.〖拓展与延伸〗要求tan30°的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作Rt △ABC, 使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=3,∠ABC=30°,tan30°=BC AC =3331 .在此图的基础上通过添加适当的辅助线,可求出tan15°的值,请你写出添加辅助线的方法,并求出tan15°的值.。
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7.4由三角函数值求锐角
1.若三个锐角α 、β 、γ 满足sinα=0.848，cosβ=0.454, tanγ =1.804，则α 、β 、γ 的大小关系为（ ）
A. β＜α＜γ
B. α＜ β＜γ
C. α＜γ ＜β
D. β＜α＜ γ
2. 试比较两个锐角α 、β的大小.
（1）sinα=0.55, tanβ=0.68, 则α _____β
（2）sinα=0.47, cosβ=0.68, 则α ____β
3. 如图， 在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,若BD=4,CD=1,则∠B=________.（精确到0.1度）
4. 一架梯子靠在一面墙上，已知梯子长5m, 梯子位于地面上的一端离墙壁2. 5m,则梯子与地面所成锐角为_______________________.
5. 在Rt△ABC 中, ∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a 、b 、c, a=142, c=20, 则∠B 约为____.
6.已知菱形ABCD 的对角线ACBD 交与点O ， AO=2, BO=5, 则∠ABC 约为_________.（精确到0.1°）
D C
B
A
7.如图在Rt△ABC 中,∠B=90°，AB=8，∠CAB 的平分线AD 交BC 与D,且 AD=3
316，求∠C 的度数及边BC 、AC 的长度（结果用根号表示）
8.已知在ABC △中，90C ∠=o ，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是
A
．0n << B ．1
02n << C
．0n << D
．0n <<
A
C D B
参考答案
1. C
2. ＜, ＞
3.26.6°
4.60°
5.8.13°
6.43.6°
7.∠C=30°，BC=83, AC=163,
8. A。