数学中国中学生数学建模竞赛培训讲义xin

模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
图 1
并且常记 V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
图 2
称点vi , vj为边vivj的端点. 在有向图中, 称点vi , vj分别为 23 边vivj的始点和终点. 该图称为(n,m)图
虽然只有6个人，但是这样做的时间复 杂度可不低，枚举次数为215
只能借助计算机了。。。
有没有人可以直接证明的办 法呢？
思路二
有了图论这个强大的工具，我们还是像往常一 样，以人为顶点，关系为边，建图。但是为了 以后的直观，这里图的建立有一点小小的不同：
如果两个人之间相互认识，则在这两个人(顶点)间连一 条红色边，如果两个人不认识，则在这两个人(顶点)间 连一条蓝色边(下面会看到这样做的好处) 那么这样我们就得到了一个由红边和蓝边组成的6阶完 全图
我们实际上要证明的就是这个图中或者存在一个红三 角形(认识)，或者存在一个蓝三角形(不认识)
任取一个顶点v0，由它连出5条边到其它的顶点，这五条边只有红 色和蓝色两种 根据抽屉原理，肯定有一种颜色的边有3条或3条以上,不妨设为红 v0 色
vi
vk
vj 如果vi,vj,vk之间的边都是蓝边，则图中存在一个蓝三角形 如果至少有1条为红边，那么它总会与v0发出的两条红边组成一个红三 角形。 这样就证明了这个命题。
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点, 简称点; ② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两 个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无向边, 否则, 称为有向边. 如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G为 有限图或n阶图.
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如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向图(如 图1); 如果E的每一条边都是有向边, 则称G为有向图 (如图2); 否则, 称G为混合图.
vk~第k次渡船上的随从数 sk+1=sk +(-1)k dk
uk, vk=0,1,2;
k=1,2, ~状态转移律
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
s1
d1
2
1
sn+1 规格化方法,易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况
评注和思考
0
1
2
3
x
图的定义
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物 体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的 事物之间的联系的一个数学系统. 定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
4、 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
河
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河?
3名商人
3名随 从
问题分析
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
图论模型
本讲的主要内容
图论的一些简单实例 图论基础 图论的应用
Hale Waihona Puke 1、图论的基本概念C A D B
哥尼斯堡七桥示意图
问题1(哥尼斯堡七桥问题): 能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而 回到出发点？
C
A D
B
七桥问题模拟图
欧拉指出： 如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则 从任一陆地出发，必能通过每座桥恰好一次而 4 回到出发地.
模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x =3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
y 3
• 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. d1, ，d11给出安全渡河方案 d11
对于一个图G = (V, E ), 人们常用图形来表示 它, 称其为图解. 凡是有向边, 在图解上都用箭头 标明其方向. 例如, 设V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}, 则G = (V, E ) 是一 个有4个顶点和6条边的图, G的图解如下图所示.
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 5 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 5 6 6 2 b
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 5 6 6 7 7 2 b
2、一个简单的例子
印刷电路板将布线区域划分为n×m个方
格阵列 精确的电路板布线问题要求确定连接方格 a的中点到方格b的中点的最短布线方案。 布线时电路只能沿直线或直角布线。 为避免线路相交，已布线方格做上封闭标 记，其他线路布线不允许穿过封闭区域。
a b
1 1 a 1 1 b
2 2 1 2 1 a 1 2 1 2 2 b
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一个图会有许多外形不同的图解, 下面两个图表示 同一个图G = (V, E )的图解.其中 V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}.
3 2 1 2
2 1 a 1 2 1 2 3 4 5 6 6 7 2 b 8 7 8 8
3、引例
现有6个人，任意两人之间或者相互认识 ，或者相互不认识，证明这6个人中，或者有 3个人彼此都认识，或者有3个人彼此不认识
思路一
只有6个人，人数非常少，可以枚举任 意两人之间的关系，然后判断每一种情 况是否符合题意。如果所有情况都满足， 则命题成立。