【福州一中】2016-2017年高三第二学期模拟文科数学试卷
2016届福州一中高三下学期高考模拟试卷1文科综合试题及答案
福州一中2016届高三下期高考模拟试卷1文科综合第I卷选择题 (共144分)本卷共36小题，每小题4分，共计144分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
下图是除南极洲以外的各大洲面积与平均海拔示意图，据此回答1～2题。
1．图中①②③④⑤⑥表示的大洲依次是( )A．欧洲、南美洲、北美洲、亚洲、非洲、大洋洲B．大洋洲、欧洲、南美洲、亚洲、非洲、北美洲C．大洋洲、南美洲、北美洲、亚洲、非洲、欧洲D．南美洲、北美洲、大洋洲、非洲、亚洲、欧洲2．赤道和极圈都穿过的大洲是( )A．② B．③ C．④ D．⑤读“某地等高线地形图（单位：米）”，完成3—4题。
3．野外宿营时一般不能选择①处的主要原因是( )A．处于阴坡，光照条件差B．离河流较远，取水不方便C．位于山脊，风力太大D．处于河谷、邻近陡坡，受山洪和山石威胁4．②处修建了水泥厂，其原料主要来自③处采石场，为了运输原料，计划修建一条公路，比较合理的线路是( )A．甲B．乙C．丙D．丁下图为某大洋东岸大陆等高线地形图：左图为丙区域的放大图，其中实线为等高线（单位：米），虚线为地层界线。
回答5～6题。
5．下图中能反映左上图沿EF线所作地层剖面示意图的是( )6．若丙地区终年受西风控制，则关于甲、乙两河特征的叙述正确的是( )A．甲河东北岸冲刷严重B．与乙河相比，甲河径流的季节变化更小C．甲河的水能一定比乙河更丰富D．与甲河相比，乙河的航运条件更好下图为某地全年逐日逐时平均气温（30年平均）的等温线图。
这种气候图与其它气候图相比，更能反映与农林生产相关的气温分布实况。
回答7～8题。
7．该地7月的月均温约为( )A．10℃B． 1 5℃C．20 ℃D．25℃8．该地最可能属于下列哪种气候类型( )A．温带海洋性气候B．温带季风气候C．温带沙漠气候D．温带草原气候读下图，我国各省（市、区）实际人口迁入率、迁出率图（2000-2005年，不包括港澳台地区）。
2017年高考文科数学模拟卷
的单调性.
1 （II）如果对于任意的 s ， t , 2 ，都有 f s g t 成立，求 a 的取值范围. 2
22. （本题满分 12 分）
x 2 2t 在平面直角坐标系中，曲线 C1 : （t 为参数），以原点为极点， x 轴 y 1 2 t
一点， F1 PF2 是以 30 为底角的等腰三角形，则 E 的离心率为 三．解答题（本大题共 6 题，满分 70 分） 17. （本题满分 12 分） 如图， OPQ 是半径为 2， 圆心角为 的扇形， C 是扇形弧上一动点， 记 COP ， 3 四边形 OPCQ 的面积为 S.
（I）求证： OM / / 平面 ABD； （II）若 AB BC 2 ，求三棱锥 A BDM 的体积. 20. （本题满分 12 分） 已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 F1 ， F2 的距 离之和为 4，离心率为
3 . 2
（I）求椭圆 C 的方程； （II）若直线 y kx 1 与曲线 C 交于点 A，B，求 AOB 面积的取值范围. 21. （本题满分 12 分） a 设函数 f x x ln x ， g x x 3 x 2 3 . x （I）讨论函数 h x
B. 12 C. 18 D. 24 x 1 7. 设变量 x，y 满足 x y 4 0 ，则目标函数 z 3x y 的最大值为（ ） x 3y 4 0 4 A. -4 B. 0 C. D. 4 3 8. 设 F 是双曲线 x 2 my 2 3m m 0 的一个焦点，则 F 到双曲线的一条渐近线 的距离是（ A. 3 ） B. 3m C.
2017年福建省福州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2017年福建省福州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z﹣i＝1+i，则|z|＝（）A．B．2C．D．52．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜2}，则∁A B＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0]C．（0，2）D．[0，2）3．（5分）某班级为了进行户外拓展游戏，组成红、蓝、黄3个小队．甲、乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，则他们选到同一小队的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和．若S9＝18，则a3+a5+a7＝（）A．2B．4C．6D．85．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．2D．6．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，椭圆的一个焦点为A，另一个焦点在边BC上，若△ABC是边长为2的正三角形，则b＝（）A．B．C．D．7．（5分）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（）A．B．2C．3D．8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图是针对某一多项式求值的算法，如果输入的x的值为2，则输出的v的值为（）A．129B．144C．258D．2899．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在上为减函数，则ω的取值范围为（）A．（0，3]B．（0，4]C．[2，3]D．[2，+∞）10．（5分）已知函数f（x）＝xln|x|+1，则f（x）的极大值与极小值之和为（）A．0B．1C．D．211．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的棱长为（）A．3B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝若对于任意两个不等实数x1，x2，都有＞1成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，3）B．[，3）C．[0，4）D．[，4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量，则＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则x+y+1的最大值为．15．（5分）数列{a n}满足a1＝1，（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（a n+a n+1）＝2n+1﹣2，则a8＝．16．（5分）已知点F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，F关于直线y＝x的对称点在C上，则C的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，b tan A＝2a sin B．（1）求A；（2）若a＝，2b﹣c＝4，求△ABC的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD与等边△P AD所在的平面相互垂直，AD＝2，∠DAB＝60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣P AB的高．19．（12分）为丰富人民群众业余生活，某市拟建设一座江滨公园，通过专家评审筛选出建设方案A和B向社会公开征集意见．有关部门用简单随机抽样方法调查了500名市民对这两种方案的看法，结果用条形图表示如下：（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关？附：（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，能否提出一个更好的调查方法，使得调查结果更具代表性，说明理由．．20．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．⊙F与C交于A，B两点，与x 轴的负半轴交于点P．（Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦长为，求|AB|；（Ⅱ）判断直线P A与C的交点个数，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝me x+x+1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．（Ⅰ）写出C1的参数方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最大值．[选修4-4：不等式选讲]23．设不等式|x﹣4|﹣|2x﹣7|＞（x﹣7）的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a、b∈M时，|﹣2|＜|2﹣|．2017年福建省福州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z﹣i＝1+i，则|z|＝（）A．B．2C．D．5【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵z﹣i＝1+i，∴z＝1+2i，故|z|＝＝，故选：C．2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜2}，则∁A B＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0]C．（0，2）D．[0，2）【考点】1G：全集及其运算．【解答】解：∵A＝（﹣1，2），B＝（0，2），∴∁A B＝（﹣1，0]，故选：B．3．（5分）某班级为了进行户外拓展游戏，组成红、蓝、黄3个小队．甲、乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，则他们选到同一小队的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【解答】解：甲，乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，情况有3×3＝9种甲，乙两位同学选到同一小队的情况有3种故概率为＝．故选：A．4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和．若S9＝18，则a3+a5+a7＝（）A．2B．4C．6D．8【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和．S9＝18，∴，解得a5＝2，∴a3+a5+a7＝3a5＝6．故选：C．5．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．2D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：求导函数，可得y′＝3x2﹣1，当x＝0时，y′＝﹣1，∴函数f（x）＝x3﹣x+1，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝﹣x，即x+y﹣1＝0，令x＝0，可得y＝1，令y＝0，可得x＝1，∴函数f（x）＝x3﹣x+1，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是×1×1＝．故选：D．6．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，椭圆的一个焦点为A，另一个焦点在边BC上，若△ABC是边长为2的正三角形，则b＝（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：△ABC的顶点B，C在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，椭圆的一个焦点为A，另一个焦点在边BC上，若△ABC是边长为2的正三角形，∠BAC＝60°．并且BA+＝2a，AB＝BC＝2，即：，解得a＝，2c＝2cos30°，解得c＝，则b＝＝＝．故选：A．7．（5分）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（）A．B．2C．3D．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【解答】解：根据球的表面积公式，得此球的表面积为S＝4πR2＝20π，∴R＝．∵正四棱柱的底面积为1，∴正四棱柱的底面边长为1，∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴2＝，∴h＝3，故选：C．8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图是针对某一多项式求值的算法，如果输入的x的值为2，则输出的v的值为（）A．129B．144C．258D．289【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝2，v＝5，i＝4执行循环体，v＝15，i＝3不满足条件i＜0，执行循环体，v＝34，i＝2不满足条件i＜0，执行循环体，v＝71，i＝1不满足条件i＜0，执行循环体，v＝144，i＝0不满足条件i＜0，执行循环体，v＝289，i＝﹣1满足条件i＜0，退出循环，输出v的值为289．故选：D．9．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在上为减函数，则ω的取值范围为（）A．（0，3]B．（0，4]C．[2，3]D．[2，+∞）【考点】H5：正弦函数的单调性．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在上为减函数，∴ω•≥2kπ+，且ω•≤2kπ+，k∈Z，求得8k+2≤ω≤4k+3．令k＝0，求得2≤ω≤3，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝xln|x|+1，则f（x）的极大值与极小值之和为（）A．0B．1C．D．2【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：当x＞0时，函数f（x）＝xlnx+1，则f′（x）＝lnx+1，令lnx+1＝0解得x＝，0＜x，f′（x）＜0，函数是减函数，当x时，函数是增函数，x＝函数取得极小值：1﹣；当x＜0时，函数f（x）＝xln（﹣x）+1，则f′（x）＝ln（﹣x）+1，令ln（﹣x）+1＝0解得x＝﹣，﹣＜x＜0，f′（x）＜0，函数是减函数，当x时，函数是增函数，x ＝﹣函数取得极大值：1+；函数的极值的和为：2．故选：D．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的棱长为（）A．3B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：作出四棱锥P﹣ABCD的直观图如图所示：由三视图可知底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，侧面P AB⊥底面ABCD，AP⊥AB，且AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，∴PD＝PB＝2，PC＝3，CD＝，∴PC为四棱锥的最长棱．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝若对于任意两个不等实数x1，x2，都有＞1成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，3）B．[，3）C．[0，4）D．[，4）【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：不妨设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，∴f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，令F（x）＝f（x）﹣x＝，则F（x）为增函数，∴当x≤0时，F′（x）＝e x+（a﹣1）≥0恒成立，即a≥1﹣e x在（﹣∞，0]上恒成立，由y＝1﹣e x在（﹣∞，0]上单调递减，且x→﹣∞时，1﹣e x→1，∴a≥1，当x＞0时，F（x）是一次函数，故3﹣a＞0，即a＜3，又F（x）在R上是增函数，∴1≤2a，即a≥．综上，1≤a＜3．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量，则＝﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：，且；∴．故答案为：﹣3．14．（5分）设x，y满足约束条件，则x+y+1的最大值为1．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出x，y满足约束条件的可行域，如图：解得A（1，﹣1），作出直线l：x+y+1＝0，平移直线l，当它过点A（1，﹣1）时，z＝x+y+1取得最大值1．故答案为：1．15．（5分）数列{a n}满足a1＝1，（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（a n+a n+1）＝2n+1﹣2，则a8＝85．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（a n+a n+1）＝2n+1﹣2，n≥2时，（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝2n﹣2，∴a n+a n+1＝2n．n≥3时，a n﹣1+a n＝2n﹣1．∴a n+1﹣a n﹣1＝2n﹣1．∵a1＝1，可得a2＝22﹣2﹣1＝1．则a8＝（a8﹣a6）+（a6﹣a4）+（a4﹣a2）+a2＝26+24+22+1＝＝85．故答案为：85．16．（5分）已知点F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，F关于直线y＝x的对称点在C上，则C的渐近线方程为y＝±x．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），设F（c，0）关于直线y＝x的对称点P（x0，y0），则，解得x0＝c，y0＝c，即P（c，c），代入双曲线方程＝1得﹣＝1，即16×﹣9×＝25，即16（1+）﹣9（+1）＝25，设＝m，则16（1+m）﹣9（+1）＝25，整理可得16m2﹣18m﹣9＝0，即（2m﹣3）（8m+3）＝0，解得m＝，∴＝，∴＝，故则C的渐近线方程为y＝±x，故答案为：y＝±x．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，b tan A＝2a sin B．（1）求A；（2）若a＝，2b﹣c＝4，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（1）∵b tan A＝2a sin B．∴，又∵，∴sin A＝＝，∵A∈（0，π），sin A≠0，∴解得：cos A＝，∴A＝．（2）∵A＝，a＝，∴由余弦定理可得：7＝b2+c2﹣bc，①又∵2b﹣c＝4，②∴联立①②解得：或（舍去），∴S△ABC＝bc sin A＝＝．18．（12分）如图，菱形ABCD与等边△P AD所在的平面相互垂直，AD＝2，∠DAB＝60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣P AB的高．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP、OB、BD，∵菱形ABCD与等边△P AD所在的平面相互垂直，AD＝2，∠DAB＝60°．∴OP⊥AD，BO⊥AD，∵OP∩BO＝O，∴AD⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AD⊥PB．解：（Ⅱ）法一：∵菱形ABCD与等边△P AD所在的平面相互垂直，AD＝2，∠DAB＝60°．∴BO＝PO＝＝，PB＝＝，∴＝，＝．设点C到平面P AB的距离为h，∵V C﹣P AB＝V P﹣ABC，∴，∴h＝＝＝．∴三棱锥C﹣P AB的高为．法二：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），P（0，0，），＝（1，0，﹣），＝（0，，﹣），＝（﹣2，，﹣），设平面P AB的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），∴点C到平面P AB的距离h＝＝＝，∴三棱锥C﹣P AB的高为．19．（12分）为丰富人民群众业余生活，某市拟建设一座江滨公园，通过专家评审筛选出建设方案A和B向社会公开征集意见．有关部门用简单随机抽样方法调查了500名市民对这两种方案的看法，结果用条形图表示如下：（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关？附：（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，能否提出一个更好的调查方法，使得调查结果更具代表性，说明理由．．【考点】BL：独立性检验．【解答】解：（Ⅰ）根据条形图填写2×2列联表如下，计算观测值K2＝≈8.929＞6.635，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论知人们是否选择方案A和B与年龄有关，并且从样本中看出老年人与非老年人选择方案A和B的比例有明显差异，因此在调查时可以先确定老年人与非老年人的比例，再利用分层抽样方法比简单随机抽样方法要好些．20．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．⊙F与C交于A，B两点，与x 轴的负半轴交于点P．（Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦长为，求|AB|；（Ⅱ）判断直线P A与C的交点个数，并说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），∵⊙F被l所截得的弦长为，∴圆的半径为＝3，∴⊙F的方程为（x﹣1）2+y2＝9，与y2＝4x联立可得A（2，2），B（2，﹣2），∴|AB|＝4；（Ⅱ）（x﹣1）2+y2＝9，令y＝0，可得P（4，0），∵A（2，2），∴直线P A与C的交点个数为2．21．（12分）已知函数f（x）＝me x+x+1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞0．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）＝me x+1，m≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜ln（﹣），令f′（x）＜0，解得：x＞ln（﹣），故f（x）在（﹣∞，ln（﹣））递增，在（ln（﹣），+∞）递减；（Ⅱ）证明：若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），由（Ⅰ）得：f（x）max＝f（ln（﹣））＝ln（﹣）＞0，解得：﹣1＜m＜0，由f（x1）＝f（x2）得：m＝①，m（﹣）+（x1﹣x2）＝0②，将①代入②整理得：x1＝+1，故x2+x1＝+1+x2，由m＝＝得：﹣1＜＜0，解得：﹣1＜x2＜0，令g（x）＝+x+1，（﹣1＜x＜0），则g′（x）＝1﹣xe﹣x＞0，故g（x）在（﹣1，0）递增，g（x）＞g（﹣1）＝0，故x2+x1＝+1+x2＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．（Ⅰ）写出C1的参数方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的方程为，参数方程为（α为参数）．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15＝0，直角坐标方程为x2+y2﹣8y+15＝0，即（x﹣4）2+y2＝1；（Ⅱ）设P（3cosα，sinα），则|PC2|＝＝，∴cosα＝﹣1，|PC2|max＝7，∴|PQ|的最大值为7+1＝8．[选修4-4：不等式选讲]23．设不等式|x﹣4|﹣|2x﹣7|＞（x﹣7）的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a、b∈M时，|﹣2|＜|2﹣|．【考点】R6：不等式的证明．【解答】（1）解：x＜3.5时，不等式化为4﹣x+2x﹣7＞（x﹣7），解得x＞1，∴1＜x＜3.5；3.5≤x＜4时，不等式化为4﹣x﹣2x+7＞（x﹣7），解得x＜4，∴3.5≤x＜4；x≥4时，不等式化为x﹣4﹣2x+7＞（x﹣7），解得x＜4，无解；综上所述，M＝{x|1＜x＜4}；（2）证明：要证明|﹣2|＜|2﹣|，只要证明ab﹣4+4＜4a﹣4+b，只要证明ab+4＜4a+b，只要证明ab+4＜4a+b，只要证明（a﹣1）（b﹣4）＜0，∵a、b∈M＝{x|1＜x＜4}，∴结论成立．。
高考数学模拟试卷 (5)
2016年福建省福州一中、福州三中、福安二中联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•福安市校级模拟）设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}2．（5分）（2016•福安市校级模拟）命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．（5分）（2016•福安市校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]7．（5分）（2016•天津二模）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．8．（5分）（2016•福安市校级模拟）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．9．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，） B．[，]C．（0，）D．[，e]10．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．11．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π12．（5分）（2016•福安市校级模拟）若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2016•福安市校级模拟）设i为虚数单位，则复数=．14．（5分）（2016•衡水校级模拟）已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．15．（5分）（2016•福安市校级模拟）若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m=．16．（5分）（2016•福安市校级模拟）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC的面积，则S+cosBcosC的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•福安市校级模拟）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）（2016•福安市校级模拟）从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．19．（12分）（2016•福安市校级模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．20．（12分）（2016•福安市校级模拟）已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．21．（12分）（2016•福安市校级模拟）设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•漳州二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•福安市校级模拟）设函数f（x）=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．2016年福建省福州一中、福州三中、福安二中联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•福安市校级模拟）设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．2．（5分）（2016•福安市校级模拟）命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，故函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故¬p∧q真是真命题；故选：C．3．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．3【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||•||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2016•福安市校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．6．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B．当x∈[0，]时，2x∈[0，]，cos2x∈[﹣，1]，函数g（x）的值域是[﹣1，2]，故选：D．7．（5分）（2016•天津二模）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n=2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．8．（5分）（2016•福安市校级模拟）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．9．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，） B．[，]C．（0，）D．[，e]【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．10．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1|•|F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．11．（5分）（2016•福安市校级模拟）已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a，则=，∴a=2，设小球的半径为r，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C．12．（5分）（2016•福安市校级模拟）若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，∴令x1=x2=0，得f（0）=2016，再令x1+x2=0，将f（0）=2016代入可得f（x）+f（﹣x）=4032．设x1＜x2，x1，x2∈[﹣2016，2016]，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2016•福安市校级模拟）设i为虚数单位，则复数=i．【解答】解：=，故答案为：i．14．（5分）（2016•衡水校级模拟）已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=015．（5分）（2016•福安市校级模拟）若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m=2．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．16．（5分）（2016•福安市校级模拟）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC的面积，则S+cosBcosC的最大值为．【解答】解：∵a2=b2+c2+bc，∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理c=a•==2sinC，∴S===sinBsinC∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（B﹣C）≤，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•福安市校级模拟）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）证明：由S n，a n，成等差数列，知2a n=S n+，当n=1时，有，∴，当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1，由于{a n}为正项数列，∴a n﹣1≠0，于是有=2（n≥2），∴数列{a n}从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，∴数列{a n}是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n﹣2，∴b n=log2a n+3==n+1，∴==，∴T n=（）+（）+…+（）==．18．（12分）（2016•福安市校级模拟）从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．19．（12分）（2016•福安市校级模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．20．（12分）（2016•福安市校级模拟）已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．【解答】解：（1）由题知2|F1F2|=|MF1|+|MF2|，即2×2c=2a，得a=2c．①又由，得②且a2=b2+c2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，r2=，①消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴•=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．21．（12分）（2016•福安市校级模拟）设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•漳州二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2（2分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•福安市校级模拟）设函数f（x）=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）。
2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
【福建省】2017年达标校高考考前模拟(文科)试卷(附答案)
)B等于（D．{1,2,3}的值为（），则+AB AC等于（2AD2AD3AD3ADf x在区间[0上随机取一个实数）的值不小于常数．设函数()e．执行如图所示的程序框图，输出值为（）9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）803211，6BA BC=．(0.1)bx a b=+精确到（参考公式：i ii12nx yb==∑∑bx-）5∵6BA BC =，∴||||cos 6BA BC BA BC B ==， ||||10BA BC =，11||||sin 22ABC S BA BC B ==⨯△）可知10ac =，a y bx =-=1(,0,CM =平面ABEF 的法向量(0,1,0)n =，∵0n CM =，ABEF ⊄平面解：（2）∵点F 333(,)M x y(1,PH=-，(,PQ x=-∵PH PM⊥216216由224x x ->-得2x >或3x <-；由224x x -<-得2x >或1x <-， ∴原不等式的解集为2{}1|x x x ><-或；（2）原不等式等价于|2||7|3x x m -++<的解集非空， ∵|2||7||27|9x x x x -++≥---=， ∴39m >，∴3m >．福建省2017年达标校高考考前模拟数学（文科）试卷解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式得集合A，根据集合的定义求出∁U A以及（∁U A）∩B即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣3x≥0}={x|x≤0或x≥3}，B={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，∴∁U A={x|0＜x＜3}，∴（∁U A）∩B={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了解不等式与集合的基本运算问题，是基础题．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：a∈R，复数z===+i的实部为，∴=，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】98：向量的加法及其几何意义．【分析】根据向量的坐标运算和向量的共线定理即可求出．【解答】解：∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，5），D（0，﹣1），∴=（1，2），=（﹣1，4），=（0，﹣2）∴=（0，6）=﹣3（0，﹣2）=﹣3，故选：C【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的共线定理，属于基础题．4．【考点】CF：几何概型．【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为=1﹣，故选B．【点评】本题考查概率的计算，考查分段函数，确定以长度为测度是关键．5．【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=，S6=378．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=，S6=378．则=378，解得a1=192．后3天一共走了a4+a5+a6==192××=42．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于6列式求b的值，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|=b2，则6=8﹣b2，解得b=，则椭圆的离心率e===，故选B．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．7．【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：第一次循环：i=0，S=1，i=1，，第一次循环：i=1，，i=2，；第三次循环：i=2，，i=3，．第四次循环：i=3，结束，输出，故选D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键，属于基础题．8．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用二倍角公式求出cos（﹣2α）的值，再利用诱导公式求出cos（+2α）的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，∴cos（+2α）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=．故选：A．【点评】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．9．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图画出几何体的图形，然后求解几何体的体积即可．【解答】解：该几何体的直观图如图所示，它是一底面是菱形的直四棱柱，在左上角切去一个三棱锥后形成的几何体．所以．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．10．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先由函数图象求出解析式然后求三角函数值．【解答】解：由图象得到函数周期为T=2（）=π=，所以ω=3，由f（）=0得到φ=，由f（）=﹣，得到Asin（）=，所以A=，所以f（x）=sin（3x+），所以f（）==；故选：A．【点评】本题考查了三角函数图象以及性质；熟练掌握正弦函数的图象和性质是解答的关键．11．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故选B．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．12．【考点】54：根的存在性及根的个数判断；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）=x3﹣31nx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a=﹣3lnx⇔a+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，设函数g（x）=x3﹣31nx，其导数g′（x）=3x2﹣=，又由x∈[，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，又由g（）=+3，g（e）=e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，故函数g（x）=x3﹣31nx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a ﹣x3=﹣3lnx⇔﹣a=3lnx﹣x3在上有解．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；3T：函数的值．【分析】令a=2x，则f（a）=x+3=5，从而得出x的值，进而得出a的值．【解答】解：令a=2x，则f（a）=f（2x）=x+3=5，∴x=2，∴a=22=4．故答案为4．【点评】本题考查了函数值的计算，属于基础题．14．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】设{a n}是公差d不为零的等差数列，运用等差数列的中项的性质和等差数列的通项公式，可得首项和公差的方程，解方程可得a1=﹣8，d=3，再由等差数列的通项公式即可得到所求值．【解答】解：{a n}是公差d不为零的等差数列，a9，a1，a5成等比数列，可得a12=a9a5，即有a12=（a1+8d）（a1+4d），化为3a1+8d=0，①a1+3a5+a9=20，可得a1+3（a1+4d）+a1+8d=20，即有a1+4d=4②由①②可得a1=﹣8，d=3．a n=a1+（n﹣1）d=﹣8+3（n﹣1）=3n﹣11，n∈N*，a13=3×13﹣11=28．故答案为：28．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】先求与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程，再求圆心到直线l的距离，进而可求直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长．【解答】解：设与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程为x﹣y+c=0∵直线过点（1，0）∴c=﹣1∴圆心到直线l的距离为=，∴直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长为2=6故答案为6．【点评】本题的考点是直线和圆的方程的应用，主要考查直线方程，考查直线与圆相交时的弦长得计算，关键是求与已知直线平行的直线方程，掌握圆中的弦长的求解方法，16．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，直线y=k（x+2）过定点（﹣2，0），数形结合求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，直线y=k（x+2）过定点P（﹣2，0），联立，解得B（﹣1，2），∵，∴满足条件的k的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据二倍角公式求出cosB，再求出sinB，根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；（2）根据余弦定理即可求出答案．【点评】本题考查了余弦定理三角形的面积公式和向量的数量积的运算，以及三角函数的化简，属于中档题．18．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用方程，x=80分，即可预测他的数学成绩；（2）利用对立事件的概率公式，即可得出结论．【点评】本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．19．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）几何法：连结AE，BF，交于点O，连结OM，推导出四边形BCMO是平行四边形，由此能证明CM∥平面ABEF．向量法：以A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CM ∥平面ABEF．（2）三棱锥D﹣ACF的体积V D﹣ACF=V F﹣ACD，由此能求出结果．【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．20．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）由题意可知：=（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1），利用PH⊥PM，求动点M的轨迹E的方程；（2）由抛物线的焦点，设直线方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，即可用m表示四边形ABCD的面积，求出m，即可求直线l1，l2的方程．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查面积的计算，属于中档题．21．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），进一步求出f（1），代入直线方程的点斜式，化简可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，求其导函数g′（x）=．可知当a≤0时，g（x）是（0，+∞）上的递增函数．结合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；当a＞0时，g′（x）=．求其零点，可得g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．得到函数g（x）的最大值为g （）=≤0．令h（a）=．由单调性可得h（a）在（0，+∞）上是减函数，结合h（1）＜0，可得整数a的最小值为1．【点评】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是高考试题中的压轴题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．由曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ，即ρ2=ρ（2cosθ﹣4sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（2）x2+y2=2x﹣4y．化为（x﹣1）2+（y+2）2=5．可得圆心C2（1，﹣2），半径r=．求出圆心到直线的距离d，可得曲线C1和C2两交点之间的距离=2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲]23．【考点】R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）由题意，x﹣2＞4﹣x2，或x﹣2＜x2﹣4，分别解不等式，即可求不等式f（x）+x2﹣4＞0的解集；（2）原不等式等价于|x﹣2|+|x+7|＜3m的解集非空，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．【点评】本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
福州(文科)
（1）根据表中的比赛数据，比较 A 与 B 的成绩及稳定情况； （2）从前 7 场平均分低于 6.5 的运动员中，随机抽取 2 个运动员进行兴奋剂检 查，求至少 1 个运动员平均分不低于 5 分的概率． （3）请依据前 7 场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．
解： （ 1）由表格中的数据，我们可以分别求出运动员 A 和 B 前 7 场比赛积分的 平均数和方差， 作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据． 运动员 A 的平均分 方差 = =3，
（1）证明：在四棱锥 P﹣ABCD 中，连接 BD 交 AC 于 O， 连接 OM，∵DC∥AB，∴△DOC∽△AOB，则 ，
∵PB=3，DC=1，∠DPB=45° ，DA⊥PB 于点 A，得 AB=2， ∴ ，又 PM= MB，即 ，
∴PD∥OM，
∵PD⊄平面 MAC，OM⊂平面 MAC，
∴PD||平面 MAC；
= [（3﹣3）2 +（2﹣3）2+（2﹣3）2 +（2﹣3）2+（2﹣3）2 +（4﹣3）2+
（6﹣3）2]=2 ； 运动员 B 的平均分 方差
2
=
=4，
= [（1﹣4） 2+（1﹣4 ）2+（3﹣ 4）2+（5 ﹣4）2+（ 10﹣4）2 +（4﹣4）
+]（4﹣4）2 ]=8，
从平均分和积分的方差来看，运动员 A 的平均积分及积分的方差都比运动员 B 的小， 也就是说， 在前 7 场比赛过程中， 运动员 A 的成绩最为优秀， 且表现也最为稳定．
（2）解：设直线 DM 的方程为 x=my﹣2（m≠0） ， ∵MN 为圆 O 的直径，∴∠MDN=90°， ∴直线 DN 的方程为 x=﹣ y﹣2， 由 得（1+m2）y2 ﹣4my=0，∴y M= ，
高考专题福建省福州市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x ∈N |x ≤4}，B={x |x 2﹣4＜0}，则A ∩B=（ ） A ．{x |0≤x ＜2} B ．{x |﹣2＜x ＜2} C ．{0，1} D ．{﹣2，0，1，2} 2．设复数z 满足（1﹣i ）z=1+i ，则|z |=（ ）A ．0B ．1C ．D ．23．已知条件p ：x ≤0，条件q ：＞0，则￢p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件4．函数f （x ）=Asin （x +φ）（A ＞0）在x=处取得最小值，则（ ）A ．f （x +）是奇函数B ．f （x +）是偶函数C ．f （x ﹣）是奇函数 D ．f （x ﹣）是偶函数5．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm ），所得数据如图茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，，标准差分别为s 甲，s乙，则（ ）A ．＜，s 甲＞s 乙B ．＜，s 甲＜s 乙C ．＞，s 甲＞s 乙D ．＞，s 甲＜s 乙6．函数f （x ）= 的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，点M 满足=，则•=（ ）A ．1B ．C ．D ．28．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 5a 6=4，则数列{log 2a n }的前10项和等于（ ） A ．20 B ．10 C ．5 D ．2+log 259．执行如图的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为（ ）A ．8B ．21C ．34D ．5510．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．6011．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（）A．B．2 C．D．512．已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（）A．g（x）在（1，+∞）上有最大值B．g（x）在（1，+∞）上有最小值C．g（x）在（1，+∞）上为减函数D．g（x）在（1，+∞）上为增函数二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，则实数m=_______．14．若x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值等于_______．15．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为_______．16．如图，在△ABC中，B=，AC=，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为_______三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n2﹣a n S n+a n=0（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+S3+…+S n．18．某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？喜欢节目A 不喜欢节目A 总计男性观众_______ _______ _______女性观众_______ _______ _______总计_______ _______ 60（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．附：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．（Ⅰ）求证：CE⊥AB；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求三棱锥A﹣PCD的高．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=k（x﹣1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．21．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣a（x+1）的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O 于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x∈N|x≤4}，B={x|x2﹣4＜0}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{0，1}D．{﹣2，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据交集的运算即可．【解答】解：集合A={x∈N|x≤4}={0，1，2，3，4}，由集合B中的不等式x2﹣4＜0，因式分解得：（x+2）（x﹣2）＜0，解得：﹣2＜x＜2，所以集合B=（﹣2，2）；则集合A∩B={0，1}．故选：C．2．设复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z|=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【分析】由题意可得z=，再由|z|=求出结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=1+i，∴z=，∴|z|===1，故选B．3．已知条件p：x≤0，条件q：＞0，则￢p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别化简命题p，q，￢p，即可判断出关系．【解答】解：条件p：x≤0，可得：￢p：x＞0．条件q：＞0，可得x＞0．则￢p是q成立的充要条件．故选：C．4．函数f （x ）=Asin （x +φ）（A ＞0）在x=处取得最小值，则（ ）A ．f （x +）是奇函数B ．f （x +）是偶函数C ．f （x ﹣）是奇函数 D ．f （x ﹣）是偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】由f （）=f min （x ）可知直线x=是f （x ）的一条对称轴．故将f （x ）图象向左平移个单位后关于y 轴对称．【解答】解：∵f （x ）在x=处取得最小值，∴直线x=是f （x ）的一条对称轴．∴将f （x ）的函数图象向左平移个单位后关于y 轴对称，∴f （x +）是偶函数．故选B ．5．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm ），所得数据如图茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，，标准差分别为s 甲，s乙，则（ ）A ．＜，s 甲＞s 乙B ．＜，s 甲＜s 乙C ．＞，s 甲＞s 乙D ．＞，s 甲＜s 乙【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据茎叶图，从茎叶图上可以看出甲的成绩比较集中，甲的成绩比较整齐，结合方差的意义即可得出S 甲，S 乙的大小关系．【解答】解：由茎叶图可知，分别为＜，且甲的极差大于乙的极差，甲的数据波动比乙大， 所以s 甲＞s 乙， 故选：A ．6．函数f（x）=的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】按分段函数分类讨论，从而利用函数的零点的判定定理及函数与方程的关系求解．【解答】解：当x≤0时，f（x）=2x﹣1+x，易知f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且连续，而f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=＞0；故f（x）在（﹣∞，0]上有且只有一个零点；当x＞0时，f（x）=﹣1+lnx=0，则x=e；综上所述，函数f（x）=有两个零点，故选B．7．在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点M满足=，则•=（）A．1 B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可得出点M为边AB的中点，且BC⊥AC，从而有，再由AC=2，进行向量数量积的运算即可求出的值．【解答】解：∵，∴M为边AB的中点，如图所示：∴；∵∠ACB=90°；∴BC⊥AC；∴；∴===2+0=2．故选：D．8．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a5a6=4，则数列{log2a n}的前10项和等于（）A．20 B．10 C．5 D．2+log25【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．【分析】由等比数列{a n}的性质可得：a1a10=…=a5a6=4，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得：a1a10=…=a5a6=4，则数列{log2a n}的前10项和=log2（a1a2…a10）===10，故选：B．9．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（）A．8 B．21 C．34 D．55【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，t，i的值，当n=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=4，s=1，t=1，i=1满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=2，t=3，i=2满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=4，t=7，i=3满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=7，t=14，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．20 C．40 D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥后，所得的组合体，分别代入棱锥和棱柱体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，故几何体的体积V=（1﹣）Sh=××3×4×5=20，故选：B11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（）A．B．2 C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，由题意可得△AOF为等腰三角形，即有F关于渐近线的对称点对称点为A（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，过左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|，可得△AOF为等腰三角形，即有F关于渐近线的对称点为A（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将A（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．12．已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（）A．g（x）在（1，+∞）上有最大值B．g（x）在（1，+∞）上有最小值C．g（x）在（1，+∞）上为减函数D．g（x）在（1，+∞）上为增函数【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】利用导函数的最小值求出a的范围，然后求解新函数的导数，判断函数的单调性与最值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）=x2﹣2ax+a．对称轴为：x=a，导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，令x2﹣2ax+a=0，可得方程在（﹣∞，1）有两个根，可得，解得：a＜0函数g（x）==x+﹣2a．g′（x）=1﹣，x∈（1，+∞），，1﹣，∴g′（x）＞0，g（x）在在（1，+∞）上为增函数．故选：D．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，则实数m=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，列出方程求解即可．【解答】解：抛物线y2=mx的准线方程为：x=﹣，∵点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，∴﹣m2=，解得m=．故答案为：．14．若x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值等于﹣1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣1，﹣1）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．代入目标函数z=2x﹣y，得z=﹣2+1=﹣1．即z=2x﹣y的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．15．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为9π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为2，则底面截球所得圆的半径为2，结合勾股定理求出球半径可得球的面积．【解答】解：∵两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为，∴两个正四棱锥的高的比也为．设两个棱锥的高分别为X，2X，球的半径为R则X+2X=3X=2R即R=球心到那个公共底面距离是，又∵底面边长为2∴R2=（）2=（）2+（）2，解得X=1∴R=该球的表面积S=4πR2=9π故答案为：9π．16．如图，在△ABC中，B=，AC=，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为2＜l≤2+【考点】正弦定理的应用．【分析】由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，由AD=AB，B=60°可知A＞60°，结合图形可知周长l=AD+AC+DC=2sinA+，结合正弦函数的性质可求．【解答】解：∵AD=AB，B=60°，∴A＞60°．∵B=，AC=，∴A+C=120°即A=120°﹣C由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA∴CD=2sinA﹣2sinC周长l=AD+AC+DC=2sinA+，∵60°＜A＜120°∴＜sinA≤1∴2＜l≤2+．故答案为：2＜l≤2+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n2﹣a n S n+a n=0（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+S3+…+S n．【考点】数列的求和．【分析】（I）利用递推关系、等差数列的定义即可证明；（II）利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．【解答】证明：（Ⅰ）∵S n2﹣a n S n+a n=0（n≥2）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得：﹣（S n﹣S n﹣1）S n+S n﹣S n﹣1=0，化为：S n﹣1S n+S n﹣S n﹣1=0，∴﹣=1，=2．∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：=2+（n﹣1）=n+1，∴S n=．∴=．∴S1+S2+S3+…+S n=++…+=1﹣=．18．某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？喜欢节目A 不喜欢节目A 总计男性观众24 6 30女性观众15 15 30总计39 21 60（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．附：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由题意和条形图易得列联表，计算可得则K2的观测值k≈5.934＞3.841，可得有关；（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为4，记为a，b，c，d，不喜欢节目A的人数为1，记为1，列举可得总的方法种数，找出符合题意的方法种数，由概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意得列联表如下：喜欢节目A 不喜欢节目A 总计男性观众24 6 30女性观众15 15 30总计39 21 60计算可得则K2的观测值k==≈5.934＞3.841∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关；（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为24×=4，记为a，b，c，d，不喜欢节目A的人数为6×=1，记为1．则从5名中任选2人的所有可能的结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，1）（b，c）（b，d）（b，1）（c，d）（c，1）（d，1）共有10种．其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有：（a，1）（b，1）（c，1）（d，1）共4种．∴所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是：=19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．（Ⅰ）求证：CE⊥AB；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求三棱锥A﹣PCD的高．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，推出CE ∥DF，利用AB⊥平面PAD，证明CE⊥AB．（Ⅱ）设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，证明△ADP为正三角形，推出AD⊥PD，求出AD=，证明AO⊥平面PCD．然后求出三棱锥A﹣PCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：取AP的中点F，连结DF，EF，如图所示．因为点E是PB中点，所以EF∥AB且EF=．又因为AB∥CD且CD=，所以EF∥CD且EF=CD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，所以AB⊥DF．所以CE⊥AB．（Ⅱ）解：设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，因为BC=，AB=4，由（Ⅰ）知，DF=，又因为AB=4，所以PD=AD=2，所以AP=2AF=2=2=2，所以△ADP为正三角形，所以AD⊥PD，且AD=．因为AB⊥平面PAD，AB∥CD，因为AD⊂平面PAD，所以CD⊥AO，又因为PD∩CD=D，所以AO⊥平面PCD．所以三棱锥A﹣PCD的高为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=k（x﹣1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；点与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知，2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，写出椭圆的方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2，并代入直线方程求得y1•y2，表示出和，利用向量数量积的坐标表示求得•＞0，因此点A在⊙M外．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，2c=2，2a=4，即c=，a=，∴b2=a2﹣c2=1，所以E的方程为．（Ⅱ）点A在⊙M外．理由如下：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，所以，△=（﹣8k2）2﹣4（1+4k2）（4k2﹣4）=48k2+16＞0，所以x1+x2=，x1•x2=．因为=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），所以•=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1•y2，=（1+k2）x1•x2﹣（2+k2）（x1+x2）+4+k2，=﹣+4+k2，=．因为k≠0，所以•＞0．∴cos∠PAQ＞0，∴∠PAQ为锐角，21．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣a（x+1）的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点的坐标，得到方程组，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）构造g（x）=f（x）﹣mx2，求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性求出m的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣a，依题意，设切点为（b，0），则即，解得所以f′（x）=e x﹣1，所以，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．所以，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣mx2，则g′（x）=e x﹣2mx﹣1，令h（x）=g′（x），则h′（x）=e x﹣2m，（ⅰ）若m≤，因为当x＞0时，e x＞1，所以h′（x）＞0，所以h（x）即g′（x）在（0，+∞）上单调递增．又因为g′（0）=0，所以当x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，从而g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞mx2成立．（ⅱ）若m＞，令h′（x）=0，解得x=ln（2m）＞0，当x∈（0，ln（2m）），h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（0，ln（2m））上单调递减，又因为g′（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m））时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，ln（2m））上单调递减，而g（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m）），时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＞mx2不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，]．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O 于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．【考点】圆周角定理；平行截割定理．【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB ﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．【解答】（本题满分为10分）．解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．因为AF平分∠BAC，所以，所以∠FBE=∠BAE，所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，所以O′B⊥BF，所以BF是△ABE外接圆的切线…（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，所以DF是圆O的直径，因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．因为AF平分∠BAC，所以△ABF∽△AEC，所以=，所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，因为∠FBE=∠BAE，所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即C1：x2+y2﹣4x=0，将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，所以C3的方程为x2+y2=1．C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．又|OA|=4cos=2，所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，得到关于x的不等式组，求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质得到关于t的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）由|x+3|＜2x+1得，或，解得x＞2，依题意m=2．（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥|x﹣t﹣x﹣|=|t|+，当且仅当（x﹣t）（x+）≥0时取等号，因为关于x的方程|x﹣t|+|x+|=2有实数根，所以|t|+≤2，另一方面|t|+≥2，所以|=|t|+=2，所以t=1或t=﹣1．2016年9月8日。
2016-2017年福建省福州一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年福建省福州一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知复数z=，则•i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数3．（4分）已知a≥5，P=，，则P，Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．与a的值有关4．（4分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．5．（4分）已知可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x）（如图），设F（x）=f（x）﹣g（x），则（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）的极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）的极值点6．（4分）已知函数f（x）在R上可导，f（x）=x2•f'（1）﹣2x，则f（2017）与f（﹣2016）的大小关系是（）A．f（2017）＞f（﹣2016）B．f（2017）＜f（﹣2016）C．f（2017）=f（﹣2016）D．不能确定7．（4分）若函数f（x）=e2x（1﹣ax）在区间（0，1）内有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0）B．（，+∞）∪（﹣∞，0）C．（，1）D．（，2）8．（4分）若函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．或a＞1B．C．或a≥1D．9．（4分）没有砝码，用天平比较甲、乙、丙、丁四件物品的大小，当甲、乙放一边，丙、丁为另一边时，恰好平衡；当甲与丙对调之后，甲、丁比乙、丙重；而仅乙一件物品就比甲、丙的组合重，那么甲、乙、丙、丁四物的质量由大到小的顺序是（）A．丁、乙、甲、丙B．乙、丁、甲、丙C．丁、乙、丙、甲D．乙、丁、丙、甲10．（4分）设函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f'（x），且xf'（x）＞x2+2f（x），则不等式4f（x﹣2014）﹣（x﹣2014）2•f（2）＞0的解集是（）A．（2014，2017）B．（2017，+∞）C．（2014，2016）D．（2016，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分．11．（3分）．12．（3分）对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V n=．13．（3分）设直线y=t与函数，g（x）=e x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．14．（3分）已知函数，g（x）=x2+e1﹣x+a，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得f（x1）﹣g（x2）≥0成立，则实数a的取值范围是．三、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）复平面上点P所对应的复数为z，已知|z|与复数z+2i的虚部相等．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求点P的轨迹与x轴所围成的封闭图形的面积．16．（10分）是否存在常数a，b，使等式对一切n∈N*都成立？若存在，请用数学归纳法证明；若不存在，说明理由17．（10分）某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式，其中a为常数．已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大．18．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）经过点（1，0）且在处取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果过点（1，m）可以作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．19．（10分）设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，证明：当x＞0时，f（x）＜e x﹣1．2016-2017学年福建省福州一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知复数z=，则•i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z===i，则•i=•i=在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．2．（4分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．3．（4分）已知a≥5，P=，，则P，Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．与a的值有关【解答】解：P===﹣，===﹣，设f（a）=﹣，则当a≥5，f（a）是增函数，则f（a+3）=﹣=﹣，∵当a≥5，f（a）是增函数，∴f（a+3）＞f（a），即﹣＜﹣，即P＜Q，故选：C．4．（4分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴y'==y'|x==|x==故选：B．5．（4分）已知可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x）（如图），设F（x）=f（x）﹣g（x），则（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）的极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）的极值点【解答】解：∵可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x），∴F（x）=f（x）﹣g（x）在x0处先减后增，∴F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点．故选：B．6．（4分）已知函数f（x）在R上可导，f（x）=x2•f'（1）﹣2x，则f（2017）与f（﹣2016）的大小关系是（）A．f（2017）＞f（﹣2016）B．f（2017）＜f（﹣2016）C．f（2017）=f（﹣2016）D．不能确定【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，f（x）=x2•f'（1）﹣2x，∴f′（x）=2xf′（1）﹣2，∴f′（1）=2f′（1）﹣2，解得f′（1）=2，∴f（x）=2x2﹣2x，∴f（x）是开口向上的抛物线，对称轴为x=，∴f（2017）=f（﹣2016）．故选：C．7．（4分）若函数f（x）=e2x（1﹣ax）在区间（0，1）内有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0）B．（，+∞）∪（﹣∞，0）C．（，1）D．（，2）【解答】解：∵函数f（x）=e2x（1﹣ax），∴f′（x）=e2x（2﹣2ax﹣a），设g（x）=e2x（2﹣2ax﹣a），∵函数f（x）=e2x（1﹣ax）在区间（0，1）内有极值点，∴g（x）=e2x（2﹣2ax﹣a）在区间（0，1）内有零点，∴g（0）g（1）＜0，∴（2﹣a）[e2（2﹣2a﹣a）]＜0，解得．∴实数a的取值范围是（）．故选：D．8．（4分）若函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．或a＞1B．C．或a≥1D．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax（a∈R）在区间（1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=﹣2a2x+a≤0，在（1，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣2a2x+a，x∈（1，+∞）．∴g′（x）=﹣﹣2a2＜0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）单调递减．∴f′（x）=﹣2a2x+a=g（x）＜g（1）=1﹣2a2+a≤0，解得：a≥1或a≤﹣．∴实数a的取值范围是或a≥1．故选：C．9．（4分）没有砝码，用天平比较甲、乙、丙、丁四件物品的大小，当甲、乙放一边，丙、丁为另一边时，恰好平衡；当甲与丙对调之后，甲、丁比乙、丙重；而仅乙一件物品就比甲、丙的组合重，那么甲、乙、丙、丁四物的质量由大到小的顺序是（）A．丁、乙、甲、丙B．乙、丁、甲、丙C．丁、乙、丙、甲D．乙、丁、丙、甲【解答】解：设甲、乙、丙、丁四件物品的质量分别为a，b，c，d，由题意得：，∵a+b=c+d，a+d＞b+c，相加得，a＞c，d＞b∵b＞a+c，a+b=c+d，相加得，d＞2a∵a+d＞b+c，b＞a+c，相加得，d＞2c，∴d＞b＞a＞c，故甲、乙、丙、丁四物的质量由大到小的顺序是丁，乙，甲，丙．故选：A．10．（4分）设函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f'（x），且xf'（x）＞x2+2f（x），则不等式4f（x﹣2014）﹣（x﹣2014）2•f（2）＞0的解集是（）A．（2014，2017）B．（2017，+∞）C．（2014，2016）D．（2016，+∞）【解答】解：由xf′（x）＞x2+2f（x），（x＜0），得：x2f′（x）﹣2xf（x）＜x3，∵x＞0，∴x3＞0，即x2f′（x）﹣2xf（x）＞0，设F（x）=，则即[]′=＞0，则当x＞0时，得F'（x）＞0，即F（x）在（﹣∞，0）上是增函数，∴F（x﹣2014）=，F（2）=，即不等式4f（x﹣2014）﹣（x﹣2014）2f（2）＞0等价为F（x﹣2014）﹣F（2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是增函数，∴由F（x﹣2014）＞F（2）得，x﹣2014＞2，即x＞2016，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分．11．（3分）4π．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以41为半径的圆的面积的四分之一，故dx=×π×42=4π，由于y=为奇函数，且积分上下限关于原点对称，故=0，故dx+=4π，故答案为：4π12．（3分）对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V n=．【解答】解：推广到棱长为1的正方体中，第一步，将它分割成3×3×3个正方体，其中心和八个角的9个小正方体，其体积为=，第二步，执行同样的操作，其体积为，依此类推，到第n步，所有体积构成以为首项，为公比的等比数列，∴到第n步，所得几何体的体积V n=故答案为．13．（3分）设直线y=t与函数，g（x）=e x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．【解答】解：∵函数，∴f﹣1（x）=x2，x≥0，∴g（x）=e x，∴g﹣1（x）=lnx，x＞0，设h（x）=x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，令h′（x）=0，解得x=，∴x＞时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴x=时，h（x）取得最小值，即|MN|达到最小值，此时t=．故答案为：．14．（3分）已知函数，g（x）=x2+e1﹣x+a，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得f（x1）﹣g（x2）≥0成立，则实数a的取值范围是[．【解答】解：由于对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则f（x1）min≥g（x2）min．f′（x）=x2﹣2x，令f′（x）=0，得x=2∈（1，3），当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0，所以，函数f（x）在x=2处取得极小值，亦即最小值，即．g′（x）=2x﹣e1﹣x，所以，函数g′（x）在区间[1，3]上单调递增，且g′（x）≥g′（1）=1＞0，所以，函数g（x）在区间[1，3]上单调递增，则函数g（x）在x=1处取得最小值，即g（x）min=g（1）=a+2，所以，a+2，解得，因此，实数a的取值范围是，故答案为：[﹣．三、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）复平面上点P所对应的复数为z，已知|z|与复数z+2i的虚部相等．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求点P的轨迹与x轴所围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则z=x+yi，∵|z|与复数z+2i的虚部相等，∴z+2i=x+yi+2i=x+（y+2）i，对应的虚部为y+2，则=（y+2），y≥﹣2，平方得x2+y2=（y+2）2=y2+4y+4，即x2=4y+4，即点P的轨迹方程x2=4y+4，（y≥﹣2）；（Ⅱ）由x2=4y+4得y=﹣1，由y=﹣1=0，得x2=4，即x=±2，则P的轨迹与x轴所围成的封闭图形的面积S=∫（0﹣（﹣1））dx═∫（1﹣）dx=（x﹣x3）|=（2+×8）﹣（﹣2+×8）=4．16．（10分）是否存在常数a，b，使等式对一切n∈N*都成立？若存在，请用数学归纳法证明；若不存在，说明理由【解答】解：若存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立．取n=1，2可得，解得a=1，b=4．则等式对于一切n∈N*都成立．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即等式成立，则当n=k+1时，等式+=（k+1）•===．也就是说当n=k+1时，等式也成立．综上所述：可知等式对于一切n∈N*都成立．17．（10分）某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式，其中a为常数．已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大．【解答】解：（Ⅰ）∵销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg，∴，解得a=5；（Ⅱ）当商品成本为6元/kg时，结合（I）可知商品销售利润为：，①当6＜x＜9时，利润，∵=5[（x﹣6）（x2﹣18x+81）]'=15（x﹣7）（x﹣9），∴y1在区间（6，7）上单调递增，在区间（7，9）上单调递减，∴当x=7时利润最大，最大值为170元；②当9≤x≤15时，利润，而y2是开口向下的二次函数，其对称轴是x=3，∴y2在区间（9，15）上单调递减，∴当x=9时利润最大，最大值为150元；综上可知，当销售价格为7元/kg，该日销售该商品的利润最大，最大值为170元．18．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）经过点（1，0）且在处取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果过点（1，m）可以作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），∴f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）经过点（1，0）且在处取得极值，∴，解得a=0，b=﹣1．（Ⅱ）∵a=1，b=﹣1，∴f（x）=x3﹣x，过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0），则y0=x03﹣x0，k=f'（x0）=3x02﹣1．则切线方程为y﹣（x03﹣x0）=（3x02﹣1）（x﹣x0），将A（1，m）代入上式，整理得2x03﹣3x02+m+1=0．∵过点A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴方程2x3﹣3x2+m+1=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x3﹣3x2+m+1，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1）、令g'（x）=0，得x=0或1、则x ，g '（x ），g （x ）的变化情况如下表当x =0，g （x ）有极大值m +1；x =1，g （x ）有极小值m ， 由题意有，当且仅当，即，解得﹣1＜m ＜0时函数g （x ）有三个不同零点、此时过点A 可作曲线y =f （x ）的三条不同切线．故m 的范围是（﹣1，0） 19．（10分）设函数．（Ⅰ）讨论f（x ）的单调性；（Ⅱ）若a =1，证明：当x ＞0时，f （x ）＜e x ﹣1．【解答】解：（Ⅰ）导数法研究单调性，先求出定义域（﹣1，+∞），，①当时，f '（x ）≥0恒成立，且当a =时仅仅在处取到等号，故函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增； ②当a ＜时，令x 2+x +a =0，得到，接下来将其中的小根和﹣1作比较，当﹣1＜时，即0＜a ＜时，x ∈时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，x ∈时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，x ∈时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1=时，即a =0时，x ∈时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， x ∈时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1＞时，即a＜0时，x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，+∞），无单调递减区间；当0＜a＜时，单调递增区间为和，单调递减区间为；当a≤0时，单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）证明：当a=1时，，欲证明x＞0时，f（x）＜e x﹣1，即证明x＞0时，恒成立．令，只需要证明g（x）max＜0即可．，令，则，当x＞0时，h'（x）＜0恒成立，故函数g'（x）单调递减，则有g'（x）＜g'（0）=0，即有x＞0时，g'（x）＜0恒成立，则x＞0时，函数g（x）单调递减，即有g（x）＜g（0）=0恒成立，即证明了x＞0时，f（x）＜e x﹣1．。
【福州一中】2016-2017年高三第二学期模拟文科数学试卷-答案
x x 2 ，而 f (x) 的极值点，∴ f (2) 4 a b 0 ，
2 又∵1 是函数 f (x) 的零点，∴ f (1) 1 b 0 .
联立
4
a 2
b
室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150
200
350
无呼吸系统疾病
50
100
150
合计
200300ຫໍສະໝຸດ 500（Ⅱ）观察值 K 2 500 (150100 200 50)2 3.968 3.841. 350150 200 300
∴有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.
所以曲线 C1 的直角坐标方程为： y2 4x .
（Ⅱ）设 Q(cos ,sin )( [ π , π]) ，易知直线 C 的斜率 k 3 ， 22
所以 kOQ
3 ，即 sin
3
cos
tan
3 ，所以 π ，故 Q(
3
6
3 ,1) . 22
取 x0
1/5
∴ P( A) 2 .答：2 人都有呼吸系统疾病的概率为 2 ．
5
5
19．解：（Ⅰ）取线段 CD 的中点 Q，
连接 KQ，直线 KQ 即为所求.
证明如下：
取 EC 中点 G，连接 FG，连接 AC 交 BD 于 O.
则 OG 为 △EAC 的中位线.
∴ OG∥1 EA ，∵ FD∥1 EA ，∴ OG∥FD ，
（Ⅲ）采用分层抽样抽取 6 名，有呼吸系统疾病的抽取 4 人，记为 A，B，C，D，无呼吸系统疾病的抽取 2
福建省福州第一中学2017届高三5月质检最后一模数学文
福州一中2016-2017学年第二学期模拟试卷高三文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 当231<<m 时,复数)2()3(i m i +-+在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知21tan -=α,则ααα2cos )cos sin 2-（的值( )A ．2B ．-2C ．3D ．-33. 为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是( )A ．23B ．27C ．31D ．334. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则115a a +的值为( )A ．528B ．1020 C. 1038 D ．10405. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于( )A ．π624+3cm B ．π1224+3cm C. π1248+3cm D ．π1296+3cm6.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可以作为三角形的三边边长的概率为 ( ) A ．103 B ．51 C. 21 D ．537. 若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x ，则y x z +=2的最大值为( )A ．13B ．11 C.3 D ．18. 点P 在抛物线y x 42=上，F 为抛物线焦点，5=PF ，以P 为圆心PF 为半径的圆交x 轴于A ，B 两点，则=∙( )A ．9B ．12 C.18 D ．329. 如图是“二分法”求方程近似解的流程图，在①，②处应填写的内容分别是( )A ．?0)()(<∙m f a f ；m b =B ．?0)()(<∙m f b f ；m b = C. ?0)()(<∙m f a f ；b m = D ．?0)()(<∙m f b f ；b m = 10. 已知函数的)sin(3)(ϕω+=x x f （0>ω，2πϕ<）图象关于点)0,2(M 对称，且)(x f 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将)(x f 的图象向右平移31个单位长度，得到函数)(x g 的图象，则下列是)(x g 的单调递增区间( ) A ．]313,37[ B ．]310,34[ C. ]316,310[ D ．]37,31[ 11. 已知2F ，1F 是焦点在y 轴的双曲线12222=-bx a y （0>a ，0>b ）的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．3 C.2 D ．212. 已知函数12)(2+=x x x f ，]1,0[∈x ，函数22)6sin()(+-=a x a x g π（0>a ），若存在1x ，]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f =成立，则实数a 的取值范围是( )A ．]34,21[ B ．]21,0( C. ]34,32[ D ．]1,21[第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量，1=+，则与的夹角 ． 14.已知函数221)(x x x f -=)0(≠x ，若实数a 满足)2(2)(log )(log 212f a f a f =+，则实数a 的值是 ．15.已知直三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆为等腰直角三角形，4==AC AB ，a AA =1，棱1BB 的中点为E ，棱11C B 的中点为F ，平面AEF 与平面C C AA 11的交线l 与1AA 所成角的正切值为32，则三棱柱111C B A ABC -外接球的半径为 ． 16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n f n n n f ),2(,12)(，若)42(+=n n f b ，*N n ∈，则数列}{n b 的前n（3≥n ）项和n S 等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1tan 1tan 1=+BA ，RB a 3sin =（R 为ABC ∆外接圆的半径）.（Ⅰ）求C ∠的值； （Ⅱ）若10=c ，且111=+ba ，求ABC ∆的面积. 18. 目前我国城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API 一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某城市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到22⨯列联表如下：（Ⅰ）请把22⨯列联表补充完整；（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率.参考公式与临界表：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19. 如图，已知多面体EABCDF 的底面是ABCD 边长为2的正方形，⊥EA 底面ABCD ，EA FD //，且121==EA FD .（Ⅰ）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线KM ，使得//KM 平面ECF ，并给予证明.（Ⅱ）求点B 到平面ECF 的距离.20. 在平面直角坐标系xoy 中，一动圆经过点)0,21(且与直线21-=x 相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设P 是曲线E 上的动点，点P 的横坐标为0x ，点B ，C 在y 轴上，PBC ∆的内切圆的方程为1)1(22=+-y x ，将BC 表示成0x 的函数，并求PBC ∆面积的最小值. 21. 已知函数x a bx x x f ln )(2-+=.（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f 是极值点，1是函数)(x f 零点，求实数a ，b 的值和函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ） 若对任意]1,2[--∈b ，都存在),1(e x ∈（e 为自然对数的底数），使得0)(<x f 成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：θθρcos 4sin 2=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线2C 的参数方程为：⎩⎨⎧==θθsin cos y x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππθ，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y y t x x 232100（t 为参数）. （Ⅰ）求1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）C 与1C 相交于A ，B ，与2C 相切于点Q ，求BQ AQ -的值. 23.选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）求函数32123)(+--+=x xx x f 的最大值M .（Ⅱ）是否存在满足M c b a ≤≤+22的实数a ，b ，c 使得01)(2≤+++c b a .模拟试卷参考答案一、选择题1-5: DCCDC 6-10:ABCBC 11、12：CA二、填空题13.32π 14. 4或41 15. 32 16. n n+2 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵1tan 1tan 1=+B A ，∴1sin cos sin cos =+BBA A . ∴B A B A A B sin sin cos sin cos sin =+ B A B A sin sin )sin(=+⇒，即B A C sin sin sin =，又23sin sin =B A ，∴23sin =C ，20π<<C ，∴求得：3π=∠C .（Ⅱ）⎩⎨⎧=+=-+ab b a C bc b a 10cos 222 103)(2=-+⇒ab b a .∴0103)(2=--ab ab ，∴5=ab 或2-=ab （不合）∴43523521sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC . 18.解：（Ⅰ）22⨯列联表如下：（Ⅱ）观察值841.3968.3300200150350)50200100150(50022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K . ∴有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.（Ⅲ）采用分层抽样抽取6名，有呼吸系统疾病的抽取4人，记为A ，B ，C ，D ，无呼吸系统疾病的抽取2人，记为E ，F .从6人中抽取2人基本事件有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共有15中.“2人都有呼吸系统疾病”有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种. ∴52)(=A P .答：2人都有呼吸系统疾病的概率为52. 19. 解：（Ⅰ）取线段CD 的中点Q ， 连接KQ ，直线KQ 即为所求. 证明如下：取EC 中点G ，连接FG ，连接AC 交BD 于O .则OG 为EAC ∆的中位线. ∴EA OG 21//，∵EA FD 21//，∴FD OG //， ∴四边形FGOD 为平行四边形，∴OD FG //.∵K ，Q 分别为BC ，CD 中点，∴OD KQ //，∴FG KQ //. ∵⊂FG 平面EFC ，⊄KQ 平面EFC ，∴//KQ 平面EFC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，FG BD //，∵⊄BD 平面ECF ，⊂FG 平面ECF ，∴//BD 平面ECF ， ∴B 到平面ECF 的距离等于D 到平面ECF 的距离，设为h . ∵⊥EA 平面ABCD ，∴⊥EA AD ， ∵EA FD //，∴AD FD ⊥，∵CD AD ⊥，D FD CD = ，∴⊥AD 平面FCD . 在ECF ∆中，5==CF EF ，32=EC ，∴623221=⨯⨯=∆ECF S . ∵CD F A CD F E ECF D V V V ---==，∴AD S h S CDF ECF ∙=∙∆∆3131， ∴36=∙=∆∆ECF CDF S AD S h . ∴B 到平面ECF 的距离为36. 20. 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到)0,21(的距离等于直线21-=x 的距离，由抛物线的定义可知，曲线E 的方程为x y 22=. （Ⅱ）设),(00y x P ，),0(b B ，),0(c C 直线PB 的方程为：0)(000=+--b x y x x b y ，又圆心（1,0）到PB 的距离为1，所以1)(22000=+-+-x b y b x b y .整理得：02)2(0020=-+-x b y b x ， 同理可得：02)2(0020=-+-x c y c x ，所以b ，c 是方程02)2(0020=-+-x x y x x 的两根， 所以2200--=+x y c b ，200--=x x bc ， 依题意0<bc ，即20>x ，则20020202)2(844)(--+=-x x y x c b . 因为0202x y =所以)2(22000>-=-=x x x c b BC . 所以)2(2100-==x x BC S 84240≥+-+x . 当40=x 时上式取得等号， 所以PBC ∆面积的最小值为8. 21. 解：（Ⅰ）b xax x f +-='2)(. ∵2=x 是函数)(x f 的极值点，∴024)2(=+-='b af . 又∵1是函数)(x f 的零点，∴01)1(=+=b f .联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-01024b b a，解得：6=a ，1-=b ∴x x x x f ln 6)(2--=， 162)(--='x x x f xx x )2)(32(-+=，),0(+∞∈x .∵在)2,0(∈x ，0)(<'x f ，∴)(x f 在（0,2）上单调递减；又在),2(+∞∈x ，0)(>'x f ， ∴)(x f 在),2(+∞上单调递增.（Ⅱ）令x a x xb b g ln )(2-+=，]1,2[--∈b ，则)(b g 为关于b 的一次函数且为增函数，∴要使0ln 2<-+x a x xb 成立，只需0ln )1(2<+-=-x a x x g 在),1(e 有解. 令：x a x x x h ln )(2--=，只需存在),1(0e x ∈，使得0)(0<x h .由于x a x x h --='12)(xax x --=22，),1(e x ∈，令：a x x x --=22)(ϕ，∴014)(>-='x x ϕ， ∴)(x ϕ在),1(e x ∈递增，∴a x -=>1)1()(ϕϕ. （ⅰ）当01≥-a 时，0)(>x ϕ，即0)(>'x h ，∴)(x h 在),1(e x ∈是单调递增，∴0)1()(=>h x h ，不合题意. （ⅱ）当01<-a 时，a e e e --=22)(ϕ， 若022<--a e e ，则)(x h ),1(e 上单调递减， ∴存在),1(0e x ∈，使得0)1()(=<h x h ，符合题意. 若022>--a e e ，则0)(>e ϕ，即0)()1(<e ϕϕ， ∴存在),1(e m ∈使得0)(=m ϕ.∴在),1(m 上0)(<x ϕ成立，∴)(x h 在),1(m 上单调递减， ∴存在),1(0m x ∈使得0)(0<x h 成立.综上所述：当1>a 时，对任意]1,2[--∈b ，都存在),1(e x ∈使得0)(<x f . 22. 解：（Ⅰ）因为θρcos =x ，θρsin =y ， 由θθρcos 4sin2=得θρθρcos 4sin 22=，所以曲线1C 的直角坐标方程为：x y 42=. （Ⅱ）设)sin ,(cos θθQ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππθ，易知直线C 的斜率3=k ， 所以33-=OQ k ，即33tan cos sin -==θθθ，所以6πθ-=，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23Q .取230=x ，210-=y ，不妨设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t . 把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,2321,2123t y t x 代入x y 42=， 化简得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=224432t t ，即0138)328(32=+-+-t t ， 易知0>∆，332821+=+t t . 所以332821+=+=-t t BQ AQ . 23. 解：（Ⅰ）32123)(+--+=x xx x f 132123=+-++≤x xx ，等号成立， 当且仅当32-≤x 或21≥x ，所以1=M . （Ⅱ）≥+++1)(2c b a ≥++++1)(222b a b a 12)(22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a b a 0)1(2≥++=b a ， 当且仅当21-==b a ，21=c ，时取等， 所以存在实数21-==b a ，21=c 满足条件.。
2017年福州市高三毕业班适应性参考答案文科数学 精品
2017年福州市高三毕业班适应性文科数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）C （2）B （3）A （4）C （5）C （6）A （7）C（8）D（9）C（10）D（11）A（12）B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）3-（14）1（15）85（16）y x = 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) 本小题考查正弦定理、余弦定理、三角求值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．【解析】（Ⅰ）因为tan 2sin b A a B =，所以sin tan 2sin sin B A A B =， ··············· 2分因为sin sin 0A B ≠，所以1cos 2A =， ························································· 4分因为()0,πA ∈，所以π3A =． ·································································· 6分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，a =227b c bc =+-， ·········· 8分 因为24c b =-，所以()()2272424b b b b =+---，解得1b =，或3b =． ········· 9分 又因为222cb =+>，所以3,2b c ==，····················································· 10分 所以ABC △的面积1sin 2S bc A = ·················································· 12分(18) 本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．【解析】（Ⅰ）取AD中点O，连结,OP OB，·············································· 1分因为PAD△为等边三角形，所以PO AD⊥． ·············································· 2分因为四边形ABCD为菱形，所以AB AD=，又因为60DAB∠=︒，所以ABD△为等边三角形，所以BO AD⊥． ·················································分因为OP OB O=，所以AD⊥平面PBO， ················································ 5分因为PB⊂平面PBO，所以AD PB⊥． ····················································· 6分（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD=，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥P ABC-的高．····························································· 8分所以PO BO==所以PB，又因为2AP AB==，所以12PABS=△因为2,180120AB BC ABC DAB==∠=︒-∠=︒，所以122sin1202ABCS=⨯⨯⨯︒=△·······················································10分设三棱锥C PAB-的高为h，因为C PAB P ABCV V--=，所以1133PAB ABCS h S PO⋅=⋅△△，=h= ····················································12分(19) 本小题主要考查独立性检验、抽样方法等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想思想等．满分12分．【解析】（Ⅰ）由题意得22⨯列联表如下：PB··························· 2分 假设0:H 是否选择方案A 和年龄段无关， 则2K 的观测值()25002024060180125=8.929 6.6358042030020014k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ················· 5分 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A 和年龄段有关． ········································································································· 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知，市民选择哪种方案与年龄段有关，并且从样本数据能看出老年人与非老年人选择方案A 的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该县中各年龄段市民的比例，再采用分层抽样的方法进行抽样调查，使得调查结果更具代表性． ········································································································ 12分 (20) 本小题主要考查直线与圆的位置关系、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分． 【解析】不妨设A 在x 轴上方，(),A A A x y ．（Ⅰ）依题意，点F 坐标为()1,0，准线l 的方程为1x =-，所以F 到l的距离2d =． ······································································· 2分 因为F 被l 所截得的弦长为， 所以F的半径3r=，则3FA =． ····································· 4分 由抛物线定义得1A FA x =+，所以2A x =，从而A y =所以2A AB y == ········································································· 6分 （Ⅱ）设(),0P a （0a <），则r =1FA FP a ==-， ··································· 7分 所以，11A x a+=-，故A x a =-，从而(,A a -． ·································· 8分 所以直线PA 的方程为)y x a =-，即x a +． ··························· 9分由2,4,x a y x ⎧+⎪⎨=⎪⎩得240y a --=， ················································· 10分所以()16160a a ∆=-+=，所以直线PA 与C 有且只有一个交点． ······················································ 12分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）()e 1x f x m '=+， ······························································ 1分 ①当0m …时，()0f x '>，()f x 在(),-∞+∞上为增函数． ···························· 2分 ②当0m <时，令()0f x '=，得1ln x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若()0f x '>，则1ln x m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，()f x 在1,ln m ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为增函数；若()0f x '<，则1ln x m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，()f x 在1ln ,m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为减函数． ················ 4分（Ⅱ）①当0m …时，由（Ⅰ）知，()f x 为增函数，所以()f x 至多只有一个零点． ②当1m -…时，101m <-…，由（Ⅰ）知，()max 1ln 0f x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…， 所以()0f x …在R 上恒成立，()f x 至多只有一个零点． ······························ 5分 ③当10m -<<时，11m->，则()1110,ln ln 0e m f fm m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=<-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()2e 12xx t x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则()()e 1x t x x '=-+，由（Ⅰ）知，当1m =-时，()()e 1x f x x =-++在(),0-∞为增函数，在()0,+∞为减函数，所以()()00f x f =…，即e 1x x +…，所以()0t x '…，()t x 为增函数．所以当0x >时，()()00t x t >=，即2e 12xx x >++，所以()2112x f x m x x ⎛⎫<++++ ⎪⎝⎭，所以222221110f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫--++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， ······································· 6分因为()f x 在1,ln m ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为增函数；()f x 在1ln ,m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为减函数，所以()f x 有且只有两个零点． ································································ 7分 综上所述，1211210,1,ln ,ln ,m x x m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<∈--∈-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又因为()010f m =+>，所以()1221,0,0,x x m ⎛⎫∈-∈- ⎪⎝⎭ ··································· 8分依题意，()()121122e 10,e 10x x f x m x f x m x =++==++=，所以21211e ex x x x m ++-==． 令()1e xx g x +=，则()()12g x g x =，()()11e e x x x x g x -+'==-， 当0x >时，()0g x '<，()g x 为减函数． ··················································· 9分 要证120x x +>，即证210x x >->，只需证()()21g x g x <-，只需证()()11g x g x <-． ········································ 10分 令()()()h x g x g x =--，即()()11e ex x x h x x +=+-， 所以()()2e 1e e e x xx xx x h x x -'=-+=， ························································· 11分当10x -<<时，2e 1x <，()0h x '>，()h x 为增函数，所以()()100h x h <=，故()()11g x g x <-，故120x x +>． ····························· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ······································································ 4分 （Ⅱ）因为()f x 有两个零点，所以方程e 10x m x ++=，即1e xx m +-=有两解． ·· 5分 令()1e xx g x +=，则()()11e e x x x x g x -+'==-， ·············································· 6分 当()0g x '>时，0x <，()g x 为增函数；当()0g x '<时，0x >，()g x 为减函数． 所以()()01g x g =…． ··········································································· 7分 又因为当1x <-时，()0g x <；当1x >-时，()0g x >，所以01m <-<，且()()121,0,0,x x ∈-∈+∞． ··············································· 8分要证120x x +>，即证210x x >->，只需证()()21g x g x <-， 因为()()12m g x g x -==， 所以只需证()()11g x g x <-，即证111111e ex x x x -+-+<， 只需证()()11111e 1e 0x x x x -++-<，()11,0x ∈-． ········································· 10分 令()()()1e 1e x x h x x x -=++-，则由()101e e ee xx xx --'-⎛⎫'===- ⎪⎝⎭，得()()e e e e x x x xh x x x x --'=-+=--， ·············· 11分 当()1,0x ∈-时，e 1e x x ->>，故()0h x '>，()h x 为增函数，所以()()100h x h <=，故120x x +>． ······················································ 12分 (22) 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．【解析】（Ⅰ）1C 的参数方程为3cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）， ···························· 3分2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即()2241x y +-=．······················ 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2C 的图象是以2C ()0,4为圆心，1为半径的圆． ·············· 6分 设()3cos ,sin P ϕϕ，则2PC==································································ 8分当1sin 2ϕ=-时，2PC········································· 9分又因为21PQ PC +…，当且仅当2,,P Q C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立． 所以max 1PQ =． ······································································· 10分 (23) 本小题主要考查绝对值不等式、不等式证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等．满分10分．【解析】（Ⅰ）原不等式等价于()()()7,214727,3x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪--->-⎪⎩…或()()()74,214277,3x x x x ⎧<⎪⎪⎨⎪--->-⎪⎩… 或()()()4,14277.3x x x x >⎧⎪⎨--->-⎪⎩ ································································ 3分 解得712x <…，或742x <<，或x ∈∅， ···················································· 4分 所以原不等式的解集为{}14x x <<，即()1,4M =． ····································· 5分（Ⅱ）)(222-((44ab a b =+--+- ······················································ 7分()()14a b =--， ············································································ 8分 因为,a b M ∈，即(),1,4a b ∈，所以10,40a b ->-<， ································· 9分所以)(2220-<2<························ 10分。
福建省福州市2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题文201709070134
2016—2017学年第二学期期末考试高二数学（文）考试时间：120分钟 试卷满分：150分2017.6.10第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1.已知集合A={x|x 2-3x-4≤0},B={x|-2<x≤2},那么A∩(∁R B)等于 A. (2,4]B. [-1,2]C. [-2,-1]∪[2,4]D. [-1,2)∪(2,4]2. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≤1，lg x ，x>1，则f(f(10))＝A ．lg101B ．1C ．2D ．03．下列函数为奇函数的是 A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x 3sinx C ．y ＝2cosx ＋1D ．y ＝2x－12x4．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则A ．c<a<bB ．b<a<cC ．c<b<aD ．a<c<b5．函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是6．如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)7.指数函数y=f(x)的反函数的图象过点（2，－1），则此指数函数为 A. xy 3=B.xy 2=C. x y )21(= D.xy 10=8. 能够把圆O ：x 2+y 2= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是 A ．()xxf x e e -=- B ．()1[(4)(4)]f x n x x =-+C ．3()f x x =D ． ()tan2x f x = 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 9. 函数f (x )＝x log 219-的定义域为_____ ___ 10．若3log a 4=，则2a＋2－a＝___ _____11. 幂函数223()(1)m m f x m m x+-=--在(0,)+∞上为增函数，则m =12. 若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f(ln t)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f(1)时，那么t 的取值范围是____ __ 三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（本小题满分12分）（1）设x ＞0，求y ＝x ＋4x 2的最小值；（2）已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值．14. （本小题满分 12 分）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明； (3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．15．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝()kx 14log x4++(k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g(x)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅a 342a log x4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．第Ⅱ卷一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16. 定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x －2)＝f(x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋15，则f(log 220)＝A ．1B.45C ．-1D ．－4517.若函数y=f(x)(x ∈R )满足f(x+2)=f(x),且x ∈(-1,1］时f(x)=1-x 2,函数g(x)=lg ,0,1,0,x x x ≠⎧⎨=⎩,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，10］内零点的个数为 A.15B.14C.13D.1218. 若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( ) A ．x ＋y≥0B ．x ＋y≤0C ．x －y≤0D ．x －y≥019. 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是A. 2(,)e+∞B. 21(,)e e e+C.1[,]e eD. 2(,]e e二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分） 20．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1，则f(x)＝21. 对任意实数21,x x ，min(21,x x )表示21,x x 中较小的那个数，若x x g x x f =-=)(,2)(2，则))(),(min(x g x f 的最大值是__________三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（本小题满分13分）已知函数f(x)＝sinx ，g(x)＝mx －x36(m 为实数)．(1)求曲线y ＝f(x)在点P(π4，f(π4))处的切线方程；(2)求函数g(x)的单调递减区间；(3)若m ＝1，证明：当x>0时，f(x)<g(x)＋x36.23. （本小题满分13分）已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y|y ＝f(x)，x ∈{－1,1,2}}，λ＝lg 22＋lg2lg5＋lg5－14，判断λ与E 的关系；(3)当x ∈[1m ，1n ](m>0，n>0)时，若函数f(x)的值域为[2－3m,2－3n]，求m ，n 的值．高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 ACDA CACB二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分 9. (0，3] 10. 433 11. 2 12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 三、解答题：本大题共有3个小题，共36分 13．（本小题满分12分）解：（1） y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3·3x 2·x 2·4x2＝3， …………4分当且仅当x 2＝4x 2时取“＝”号． …………6分（2）由柯西不等式(2x 2＋3y 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y·132＝(x ＋y)2＝1，…………10分所以2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．所以2x 2＋3y 2的最小值为65. …………12分14. （本小题满分12分） 解：(1)∵当x>0，y>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f(x)－f(y)，∴令x ＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0. …………3分 (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，…………5分 ∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0. …………6分 ∴f(x 2)>f(x 1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．…………7分 (3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．∴f(x)min ＝f(1)＝0，f(x)max ＝f(16)， …………9分∵f(4)＝2，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f(x)－f(y)，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f(16)－f(4)，∴f(16)＝2f(4)＝4，∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]． …………12分15．（本小题满分12分）解: (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(x)＝f(－x)，…………1分所以log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ， 所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，…………3分即x ＝－2kx 对一切x∈R 恒成立，所以k ＝－12.…………5分(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x＋1)－12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a·2x－43a 有且只有一个实根．…………6分令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．…………7分①当a ＝1时，则t ＝－34，不合题意；…………8分②当a≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；…………10分③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1<0，解得a>1. …………11分综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．…………12分第Ⅱ卷一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 16-19 CBBD二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 20. x ＋1 21. 1三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分 22． （本小题满分13分）解: (1)由题意得所求切线的斜率k ＝f′(π4)＝cos π4＝22…………2分切点P(π4，22)，则切线方程为y －22＝22(x －π4)， …………3分即x －2y ＋1－π4＝0. …………4分(2)g′(x)＝m －12x 2.①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；…………6分 ②当m>0时，令g′(x)<0，解得x<－2m 或x>2m ，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－2m)，(2m ，＋∞)．…………8分 (3)证明：当m ＝1时，g(x)＝x －x36.令h(x)＝x －sinx ，x ∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，…………10分 则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．故当x>0时，h(x)>h(0)＝0， …………12分 即sinx<x ，f(x)<g(x)＋x36. …………13分23. （本小题满分13分）解： (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，…………1分∴x ＋x ＋ax2＝－x ＋－x ＋ax2，∴2(a ＋1)x ＝0，∵x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1. …………4分 (2)由(1)可知：f(x)＝x 2－1x2，当x ＝±1时，f(x)＝0；当x ＝2时，f(x)＝34，∴E ＝{0，34}． …………6分∵λ＝lg 22＋lg2lg5＋lg5－14＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5－14＝lg2＋lg5－14＝lg10－14＝34，∴λ∈E. …………8分(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈[1m ，1n ]，∴f ′(x )＝2x3>0，…………9分∴f (x )在[1m ，1n]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1m＝2－3m ，f1n＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n .…………11分∴m ，n 为x 2－3x ＋1＝0的两个根， 又由题意可知：1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52. …………13分。
福建省福州第一中学2016届高三下学期模拟考试(5月质检)数学(文)试题 Word版含答案
福州一中2015-—2016学年第二学期校质量检查试卷高三文科数学试卷（完卷时间120分钟 满分150分） （请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.(1)设复数121,2z i z bi =+=+, 若12z z ⋅为纯虚数,则实数b =(A) 2 (B) 2- (C) 1 (D) 1- (2)若集合{}}{R x x y y N R t x x Mt ∈==∈==-,sin ,,2，则MN =(A) ∅ (B) (]0,1 (C) []1,1- (D) [)1,0- (3)已知命题:,cos()cos p R απαα∃∈-=；命题2:,10q x R x ∀∈+>，则下面结论 正确的是(A) p q ∨是真命题 (B) p q ∧是假命题 (C) q ⌝是真命题 (D) p 是假命题 (4)函数()sin()f x A x ωϕ=+(0>A ，0>ω，2πϕ<)的图象如图1所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 (A) 最小正周期是π (B) 对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈Z(C)6πϕ=-(D) 对称中心是(,0)()6k k ππ-+∈Z(5)已知函数2(10)(),(01)x x f x x x --≤≤⎧⎪=<≤则下列图象错误的是(A) (B) (C) (D)(6)若实数,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为(A)13 (B) 12(C) 1 (D) 2 (7) 关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 (A) ①② (B) ③④ (C) ①④ (D) ②③ (8)已知三棱锥的三视图如图2所示，则它的外接球的体积为 (A) π (B) 4π (C) 43π (D) 23π(9)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，左顶点M 在以AB 为直径的圆外，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 (A) 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) (1,2) (C) 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(D) (2,)+∞ (10)函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，1()22xf x x a =-+. 则函数()f x 的零 点个数是(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (11) 如图3，O 为ABC ∆的外心，6,4,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅=(A) -10 (B) 36 (C) 13 (D) 16(12)已知函数21()()36f x x mx m R =++∈，且关于x 的不等式()1f x a <-的解集为(3,2)m m -+，则实数a 的值是图1图2图3(A)294 (B) 254 (C) 6 (D)214二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)已知3cos α=，且 000180α<<，则角α的值________________. (14)已知数列{}n a 满足1,1n na q q a +=>，且47562,8a a a a +=⋅=-，则110a a +=____. (15)若斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则弦长AB 的最大值为_____. (16) 已知ABC ∆为锐角三角形，角A , B , C 的对边分别是,,,a b c ，其中2c =，3cos cos 2sin ca Bb A C+=，则ABC ∆周长的取值范围为_____________________.三、解答题：解答应写出说明，证明过程或演算步骤，本大题共5小题，60分.(17)（本小题满分12分） 已知数列}{n a ，记123,*nn a a a a V n N n++++=∈.（I ）若21+=n V n ，求数列{n a }的通项公式； （II ）若数列}{n a 是首项为1-，公比为2q =的等比数列，试比较n V 与6-的大小. (18) (本小题满分12分）某汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按轿车种类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆. （I ）求z 的值;（II ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中 任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率. (19) (本小题满分12分）如图4，AB 是圆O 的直径，E 是圆O 上不同于,A B 的动点，四边形ABCD 为矩形， 且2,1AB AD ==，平面ABCD ⊥平面ABE . （I ）求证：平面DAE ⊥平面EBC ；（II ）当点E 在AB 上的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为33； (III)在（II ）的条件下，求EBC ∆以EC 为轴旋转所围成的几何体体积.(20)（本小题满分12分）图4如图5，已知圆O '过定点(0,)(0)A p p >，圆心O '在抛物线22x py =上运动，MN 为圆O '在x 轴上所截得的弦.（I ）当O '点运动时，MN 是否有变化？并证明你的结论；（II ）当OA 是OM 与ON 的等差中项时，试判断抛物线的准线与圆O '的位置关系，并 说明理由.(21)（本小题满分12分）设函数1()1,()1xf xg x x ax =-=+(其中a R ∈, e 是自然对数的底数). （I ）若函数(),()f x g x 的图象在012x =处的切线斜率相同，求实数a 的值；（II ）若()()xf eg x ≤在[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。
福建省2017届高三下学期普通高中毕业班单科质量检查数学文试题含答案
2017年福建省单科质量检查文科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知复数2z m i =+，且()2i z +是纯虚数，则实数m =（ ） A ． 1 B ．2 C ．-1 D ．—22.若公差为2的等差数列{}na 的前9项和为81,则9a =（ ）A ．1B ．9C ． 17D ．19 3。
函数2ln y xx=+的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．4.已知集合{}{}2,1,,0A a B a ==，那么“1a =-”是“AB ≠∅”的（ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了。
若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期"个数至少是（ ）A ．8B ．9 C. 10 D ．116。
已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5,7,2AB BC AC ===，则此三棱锥的外接球的体积为（）A ．83π B ．823π C 。
163π D ．323π7。
执行如图所示的程序框图，若输入2017n =，输出S 的值为0,则()f x 的解析式可以是（ ）A ．()sin 3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()cos 3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭8。
已知函数()3sin ,01,0x x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 有极值 B ．()f x 有零点 C. ()f x 是奇函数 D ．()f x 是增函数9。
福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷.docx
2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．设集合{}2320M x x x =++>，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 MN =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ． {}2x x ≤-D ．R2. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．A ． 2B ．22C ．5D ．33．已知命题:p “,10xx e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10xx e x ∃∈--≥R B ．,10xx e x ∃∈-->RC ．,10x x e x ∀∈-->RD ． ,10xx e x ∀∈--≥R4．若)4sin(2cos 2απα-=，且()2παπ∈，，则sin 2α的值为（ ）A ．78-B ．158-C ．1D ．1585．已知①1-=x x ,②2-=x x ,③3-=x x , ④4-=x x 在如右图所示的程序框图中，如果输入10=x ，而输出4=y ，则在空白处可填入（ ）．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．②③④6.已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==，则公差=d ( )A ．22B ．4C ．8D ．167．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( ) A ．310B ．58C ．710D ．258．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．12+B ．2C ．222+D ．329．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =( )A ．13B ．223C ．23D ．2310．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )． A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(1,0)-111正视图俯视图侧视图11．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的左．右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 21+B ．221+ C ．522+D ．522-12．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为（ ）． A ． (0,1) B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且则=x14.已知实数,x y 满足212x y x y x+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，且数列4,,2x z y 为等差数列，则实数z 的最大值是15.以下命题正确的是： ．①把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象；②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-；③为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为08.023.1ˆ+=x y． 16. 已知直线n l ：2y x n =- 与圆n C ：222n x y a n +=+ 交于不同的两点n A 、n B ，n N +∈，数列{}n a 满足：11a =，2114n n n a A B +=，则数列{}n a 的通项公式为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． （I ）求角A 的大小(II)若3a =，求ABC ∆的周长最大值．18.（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A 、B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长； （Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求b a >的概率．19.（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，1CD =，60OBCD ∠=，BD CD ⊥，正方形ADEF ，且面ADEF ⊥面ABCD ．（I ）求证：BD ⊥平面ECD ． （II ）求D 点到面CEB 的距离．FABDCE20． (本小题满分12分) 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 经过点)3,0(，离心率为21，且1F 、2F 分别为椭圆的左右焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)0,4(-M 作斜率为)0(≠k k 的直线l ，交椭圆C 于B 、D 两点，N 为BD 中点，请说明存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆经过N 点，（不要求求出实数k ）．21．(本小题满分12分) 已知函数)(ln 2)(2R a x a x x x f ∈+-=． （Ⅰ）当2=a 时，求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，不等式21)(mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围．本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于CD 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．（Ⅰ）求证：,,,B D H F 四点共圆；（Ⅱ）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-.(I)若()2f x >，求实数x 的取值范围；(II)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)答案第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B 7.D 8.A 9.B 10. B 11. D 12.C第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 2 14.3 15.①④ 16.12-=n n a .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） （I ）解: 法一：由(2)cos cos b c A a C -=及正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=…………………………………………3分2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+ 2sin cos sin()sin B A C A B ∴=+= (0,)B π∈ sin 0B ∴≠(0,)A π∈1cos 2A =3A π∴=…………………………………………6分法二：由(2)cos cos b c A a C -=及余弦定理，得222222(2)22b c a b a c b c a bc ba+-+--=……………………………………3分整理，得222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==(0,)A π∈3A π∴=．………………………………………6分(II)解：由（I ）得3A π∴=，由正弦定理得323sin sin sin 32b c a B C A ==== 所以23sin ;23sin b B c C ==ABC ∆的周长323sinB 23sin(B )3l π=+++ …………………………………9分323sinB 23(sinBcos cosBsin )33ππ=+++333sinB 3cosB =++36sin(B )6π=++2(0,)3B π∈当3B π=时，ABC ∆的周长取得最大值为9．…………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1(911142031)175++++=………………3分 由此估计A 班学生每周平均上网时间17小时； B 班样本数据的平均值为1(1112212526)195++++=由此估计B 班学生每周平均上网时间较长． …………………6分 （Ⅱ）A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为：9，11，14， B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为：11，12，21， 从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），…………………9分其中b a >的情况有（14，11），（14，12）两种， 故b a >的概率92=p ．…………………2分 19.（本小题满分12分）FABDCE（I ）证明：∵四边形ADEF 为正方形∴ED AD ⊥又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面ABCD =AD ，∴ED ⊥平面ABCD …………………………………………3分 ∴ED BD ⊥又∵BD CD ⊥, ED CD D ⋂=∴BD ⊥平面ECD …………………………………………6分 （II ）解：1CD =，60OBCD ∠=，BD CD ⊥， 又∵ 正方形ADEF∴2CB =，5CE =，7BE =∴4575cos 10225BCE +-∠==⨯⨯ ∴19519252102CEB S ∆=⨯⨯⨯=…………………………8分 Rt BCD 的面积等于 131322BCD S ∆=⨯⨯=…………………9分 由得（I ）ED ⊥平面ABCD∴点E 到平面BCD 的距离为2ED =…………………………10分∴113..1. 3.2323D CEBE CDB V V --===11932h =⨯⨯ ∴25719h =即点D 到平面CEB 的距离为25719． ……………………………12分20．(本小题满分12分)解：（I ）∵椭圆经过点)3,0(，离心率为21， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222321c b a b a c ，解得3,1,2===b c a ． ∴椭圆C 的方程为13422=+y x ．………………………………………4分（II ）证明：设),(11y x B ，),(22y x D ，线段BD 的中点),(00y x N ．由题意可得直线l 的方程为：)4(+=x k y ，且0≠k ．联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+)4(13422x k y y x ，化为12)4(43222=++x k x …………………………………6分 0126432)43(2222=-+++k x k x k ，由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k ，可得412<k ，且0≠k ． ∴22214332k k x x +-=+2221431264.k k x x +-=．………………………………………8分 ∴222143162k k x x x o +-=+=，204312)4(k k x k y o+=+= 假设存在实数k ，使得1F 2F 为直径的圆过N 点，即12F N F N ⊥，则12.1F N F N k k =-，∵22220041414316431211k k k k k k x y k N F -=++-+=+=，2202202121234161203134F N ky k k k k x k k +===-----+ ∴22412114203k k k k ⨯=----，化为42804030k k +-=， 设2t k =，则2804030t t +-=∴关于t 的方程存在正解，这样实数k 存在．即存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆过N 点．……………………………………12分 21.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x x f ln 22)(2+-=；xx x f 222)(+-=' 则1)1(-=f ，2)1(='f 所以切线方程为)1(21-=+x y ，即为32-=x y ．………………………………………4分 （Ⅱ）)0(22)(>+-='x xax x f 令022)(=+-='xax x f ，则0222=+-a x x 当084≤-=∆a ，21≥a 时，0)(≥'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，无极值点；…………………6分（1）当084>-=∆a 且0>a ，210<<a 时，由0222=+-a x x 得221148422,1a a x -±=-±=当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x +∞)(x f ' +-+)(x f单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增当210<<a 时，函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，则121=+x x ， 22111a x --=，22112ax -+=………………………………………8分由210<<a 可得2101<<x ，1212<<x21)(x x f 21121ln 2x x a x x +-=21211121ln )22(2x x x x x x -+-=112111211ln )22(2x x x x x x --+-=1111ln 2111x x x x +---= 令)210(ln 2111)(<<+---=x x x x x x h ………………………………………10分 x x x h ln 2)1(11)(2+--='因为210<<x ，所以2111-<-<-x ，1)1(412<-<x 0ln 2)1(11)(2<+--='x x x h ，即)(x h 在)21,0(递减， 即有2ln 23)21()(--=>h x h ， 所以实数m 的取值范围为]2ln 23,(---∞．………………………………………12分本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲证明:(I) AB 为圆O 的一条直径,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆 ……………………………………4分解：(II) AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即()2222AD =⋅， 解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFBADH ∆∆， 则DH AD BF AF=，得2DH =，……………………………………7分 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，223BH BD DH =+=，故BDF ∆的外接圆半径为32．……………………………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………4分所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++ …………………………7分当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， ……………………………9分x y +取到最大值为6. …………………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(I)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或25>x . 故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m nm n m ≥-++， 又∵2=-++≥-++m nm n m m nm n m ， …………………………7分∴2)(≤x f ，∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.……10分。
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D．[1 ,1] 2
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．设向量 a ， b 均为单位向量，且 | a b |1，则 a 与 b 的夹角________．
14．已知函数
f
(x)
x2
1 x2
(x
0) ，若实数 a 满足
f
(log2
a)
f
2 3
，则三棱柱
ABC
A1B1C1
外接球的半径为________．
2n 1, n为奇数
16．已知函数
f
(n)
f
( n), n为偶数 2
，若 bn
f
(2n
4)，
n N* ，则数列 {bn} 的前 n(n 3) 项和 Sn
等于
________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 1 1 1， asin B 3R （R 为 tan A tan B
△ABC 外接圆的半径）.
（Ⅰ）求 C 的值；
（Ⅱ）若 c 10 ，且 1 1 1，求△ABC 的面积. ab
18．目前我国城市的空气污染越来越严重，空气质量指数 API 一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严
3
sin( x
)(
0,|
|
π )
图象关于点
M
(2, 0)
对称，且
f
(x)
的图象上相邻的最高
2
点与最低点之间的距离为 4，将 f (x) 的图象向右平移 1 个单位长度，得到函数 g(x) 的图象，则下列是 g(x) 3
的单调递增区间（ ）
A．[7 ,13] 33
B．[ 4 ,10] 33
2
（Ⅰ）记线段 BC 的中点为 K，在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线 KM，使得 KM∥平面ECF ，并给予证
明.
（Ⅱ）求点 B 到平面 ECF 的距离.
20．在平面直角坐标系 xoy 中，一动圆经过点 (1 ,0) 且与直线 x 1 相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线
2
2
E.
（Ⅰ）求曲线 E 的方程；
D．1 040 ）
A． 24 6π cm3
B． 24 12π cm3
C． 48 12π cm3
D． 96 12π cm3
6．从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则取出的 3 个数可以作为三角形的三边边长的概率为（ ）
A． 3 10
B． 1 5
C． 1 2
D． 3 5
-1-/5
x 3y 3 0
取 2 人，求 2 人都有呼吸系统疾病的概率.
-3-/5
参考公式与临界表： K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d)
P(K 2 kp )
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
kp
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19．如图，已知多面体 EABCDF 的底面是 ABCD 边长为 2 的正方形， EA 底面ABCD ， FD∥EA ，且 FD 1 EA 1.
C．[10 ,16] 33
D．[1 , 7] 33
11．已知 F2 ， F1 是焦点在
y 轴的双曲线
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0) 的上、下焦点，点 F2 关于渐近线的对称点恰
好落在以 F1 为圆心， | OF1 | 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A．3
B． 3
C．2
D． 2
A．23
B．27
C．31
D．33
4．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300 多年，如图是三角形数阵，
记 an 为图中第 n 行各个数之和，则 a5 a11 的值为（ ）
A．528
B．1 020
C．1 038
5．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积等于（
7．若实数
x
，
y
满足不等式组
x
y
1
0
，则 z 2 | x | y 的最大值为（
）
y 1A．13BFra bibliotek11C．3
D．1
8．点 P 在抛物线 x2 4y 上，F 为抛物线焦点， | PF | 5 ，以 P 为圆心| PF | 为半径的圆交 x 轴于 A，B 两
点，则 AP AB （ ）
（Ⅱ）设 P 是曲线 E 上的动点，点 P 的横坐标为 x0 ，点 B，C 在 y 轴上， △PBC 的内切圆的方程为
(x 1)2 y2 1，将 | BC | 表示成 x0 的函数，并求 △PBC 面积的最小值.
21.已知函数 f (x) x2 bx a ln x . （Ⅰ）若 x 2 是函数 f (x) 是极值点，1 是函数 f (x) 零点，求实数 a，b 的值和函数 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）若对任意 b[2,1] ，都存在 x (1,e)(e为自然对数的底数) ，使得 f (x) 0 成立，求实数 a 的取值 范围.
，
(
[
π 2
,
π ]) 2
，曲线
C：
x
y
x0 y0
1t 2
3 2
t
（t
为参数）.
（Ⅰ）求 C1 的直角坐标方程；
（Ⅱ）C 与 C1 相交于 A，B，与 C2 相切于点 Q，求 | AQ | | BQ | 的值. 23.选修 4—5：不等式选讲 （Ⅰ）求函数 f (x) | 3x 2 | |1 2x | 的最大值 M.
福州一中 2016—2017 学年高三第二学期模拟文科数学试卷
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．当1 m 3 时，复数 (3 i) m(2 i) 在复平面内对应的点位于（ ） 2
(log 1
2
a)
2f
(2) ，则实数 a 的值是________．
15．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中，△ABC 为等腰直角三角形， AB AC 4 ， AA1 a ，棱 BB1 的中点为
E，棱
B1C1
的中点为
F，平面
AEF
与平面
AA1C1C
的交线
l
与
AA1
所成角的正切值为
| x3| （Ⅱ）是否存在满足 a2 b2 c M 的实数 a，b，c 使得 2(a b c) 1 0 .
-5-/5
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知 tan 1 ，则 (sin cos )2 的值（
2
cos 2
A．2
B． 2
） C．3
D． 3
3．为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的 52 名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的
样本，已知 5 号，18 号，44 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是（ ）
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修 4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 C1 : sin2 4cos .以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy ，曲
-4-/5
线
C2
的参数方程为：
x
y
cos sin
-2-/5
12．已知函数
f
(x)
2x2 x 1
，
x [0,1]
，函数
g(x)
a sin( π 6
x)
2a
2(a
0) ，若存在
x1 ，
x2
[0,1]
，使得
f (x1) g(x2 ) 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[1 , 4] 23
B． (0, 1] 2
C．[ 2 , 4] 33
A．9
B．12
C．18
D．32
9．如图是“二分法”求方程近似解的流程图，在①，②处应填写的内容分别是（ ）
A． f (a) f (m) 0;b m
B． f (b) f (m) 0;b m
C． f (a) f (m) 0;m b
D． f (b) f (m) 0;m b
10．已知函数的 f (x)
重的影响，现调查了某城市 500 名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到 2 2 列联表如下：
室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150
无呼吸系统疾病
100
合计
200
（Ⅰ）请把 2 2 列联表补充完整；
（Ⅱ）你是否有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽