高等数学PPT教学课件10.4_对面积的曲面积分
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《曲面积分》课件
随着数学与其他学科的交叉融合，曲面积分将与更多的学科领域相结合，如生物学、经济学、社会学等 。这种跨学科的研究将为曲面积分的理论和应用提供新的思路和方法。
随着计算机技术的进步，数值计算在曲面积分中的应用将更加广泛和深入。数值计算方法的发展将进一 步提高曲面积分的计算精度和效率，为解决实际问题提供更加可靠的数学模型和解决方案。
曲面的定义
曲面是三维空间中一种几何图形，它由多个点按照一定规律连接而成。 根据连接方式的差异，曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。
03
积分的定义
积分是数学中用于描述变化和累积的数学工具，它可以通过对函数进行
极限运算来得到。在曲面积分中，需要将积分应用到曲面上。
曲面积分的几何意义
曲面积分的几何意义
曲面积分在几何上可以理解为对曲面上的曲线进 行积分。具体来说，曲面积分可以用来计算曲面 上的曲线长度、曲面面积以及曲面围成的体积等 几何量。
在解决工程问题时，常常会遇到各种复杂的几何形状和物理现象，例如机械零件的应力分 布、热传导、流体动力学等。在这些问题的求解过程中，常常需要用到曲面积分来得到精 确的结果。
数值分析
在数值分析中，常常需要用到各种数值方法来求解复杂的数学问题，例如有限元方法、有 限差分方法等。在这些方法的实现过程中，常常需要用到曲面积分来计算各种数值结果。
详细描述
在流体动力学中，曲面积分可以用于计算流 体流过曲面的流量，通过计算流体的速度矢 量在曲面上的积分，可以得到流体的流量。 此外，曲面积分还可以用于计算流体对曲面 上物体的作用力，包括压强和力矩等。这些 物理量对于流体动力学的研究和应用具有重 要意义。
在电磁学中的应用
总结词
电磁学中，曲面积分可以用于计算电场和磁 场在曲面上的分布以及能量传输等物理量。
随着计算机技术的进步，数值计算在曲面积分中的应用将更加广泛和深入。数值计算方法的发展将进一 步提高曲面积分的计算精度和效率，为解决实际问题提供更加可靠的数学模型和解决方案。
曲面的定义
曲面是三维空间中一种几何图形，它由多个点按照一定规律连接而成。 根据连接方式的差异，曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。
03
积分的定义
积分是数学中用于描述变化和累积的数学工具，它可以通过对函数进行
极限运算来得到。在曲面积分中，需要将积分应用到曲面上。
曲面积分的几何意义
曲面积分的几何意义
曲面积分在几何上可以理解为对曲面上的曲线进 行积分。具体来说，曲面积分可以用来计算曲面 上的曲线长度、曲面面积以及曲面围成的体积等 几何量。
在解决工程问题时，常常会遇到各种复杂的几何形状和物理现象，例如机械零件的应力分 布、热传导、流体动力学等。在这些问题的求解过程中，常常需要用到曲面积分来得到精 确的结果。
数值分析
在数值分析中，常常需要用到各种数值方法来求解复杂的数学问题，例如有限元方法、有 限差分方法等。在这些方法的实现过程中，常常需要用到曲面积分来计算各种数值结果。
详细描述
在流体动力学中，曲面积分可以用于计算流 体流过曲面的流量，通过计算流体的速度矢 量在曲面上的积分，可以得到流体的流量。 此外，曲面积分还可以用于计算流体对曲面 上物体的作用力，包括压强和力矩等。这些 物理量对于流体动力学的研究和应用具有重 要意义。
在电磁学中的应用
总结词
电磁学中，曲面积分可以用于计算电场和磁 场在曲面上的分布以及能量传输等物理量。
对面积的曲面积分
z x, y在Dxy上偏导数连续， z
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
对面积的曲面积分
M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面 个小曲面 块的直径的最大值。 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 、 定义8.3.1 设曲面 是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上 设曲面Σ是光滑的 函数f 是光滑的， 定义 在 上 有界。 任意分成n小块 同时也代表第i小 有界 。 把 Σ任意分成 小块 ⊿ Si （ 同时也代表第 小 任意分成 小块⊿ 块的面积） 设 上任意取定的一点， 块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点， 是 作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和 ， ， ， ， ，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)， 一代” 代入被积函数f 一代 代入被积函数 ， 得f [x,y,z(x,y)]； ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换 换成相应的曲面面积元素的表达式 如Σ：z=z(x,y)，则 ： ，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr
10.4第一类曲面积分
dz
o x
y
例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
x 2 a2 x 2 + a 2 dx = x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2
z = y 下方那部分柱面 Σ 的侧面积 S . 解: S = ∫∫ dS ∫
Σ
取dS = z ds
z
o x
= ∫ z ds = ∫ y ds
+ ∫ d z∫
0
1
1z
0 1z
1 dx (1+ x)2 1 dy 2 (1+ y)
+ ∫ d z∫
0
1
0
3 3 = + ( 3 1) ln 2 2
3. 计算 ∫∫ ( x + y + z )ds , 其中 Σ 为平面
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分 所截得的部分.
2 2
2
π
π
例6. 计算
其中 ∑ 是球面 x2 + y2
+ z = 2(x + y + z).
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用重心公式
= 4∫∫ xd S = 4 x ∫∫ d S
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S
曲面积分1
Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS
2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D
x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则
曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数
对面积的曲面积分
| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极 坐 标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面 ：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出 曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二 重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例 计算 |xy|zdS,
其为 中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
《对面积的曲面积分》PPT课件
定义 设Σ为光滑的有向曲面 , 函数在Σ上有 界,把Σ分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy 面上的投影为 ( Si ) xy ,( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
其中 f ( x , y, z )叫被积函数， 叫积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS . f ( x, y, z )dS
1 2
3、对面积的曲面积分的计算法
z f ( x, y)
y
( s ) xy
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z( x , y )]dxdy
若取下侧, cos 0,
D xy
( Si ) xy ( ) xy ,
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy
流向曲面一侧的流量
v
流量
A
0 n
A v cos 0 Av n v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
将dS换 为 1 z . x z y dxdy
2 2
xyz dS 计算 , 其中 为平面 x 0, y 0, x y z 1 所围成
对面积的曲面积分23页PPT
对面积的曲面积分
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
一对面积的曲面积分的概念与性质省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
定义 设曲面S是光滑，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意
分成n小块Si (Si同时也代表第i小块曲面面积)， 设(xi, hi, zi )是
Si上任意取定一点， 作乘积 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, ···, n)，并作
n
和 f(xi, hi, zi )Si．
M f (x, y, z)dS S
另首先，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上
投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上含有连续偏导数，则光滑曲 面S质量M也可用元素法来求：
S上任意点(x, y, z)处面积元素为
dS
1
z
2 x
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y
)dxdy
，
质量元素为 dM
(x, y, z)dS (x, y, z)dS (x, y, z)dS ．
S1 S2
S1
S2
z 对面积曲面积分性质：
由对面积曲面积分定义 可知，它含有与对弧长曲线积 类似性质，这里不再赘述．
S1
S2
O x
y
第5页
二、对面积曲面积分计算
前面已指出，面密度为连续函数f(x, y, z)光滑曲面S质量 M，可表示为f(x, y, z)在S上对面积曲面积分:
z
(xi, hi, zi )
i 1
S
Si
O x
y
第2页
一、对面积曲面积分概念与性质
设f(x, y, z)为非均匀曲面形金属构件S面密度，则以下定 义曲面积分过程能够看成是求曲面形金属构件质量过程。
定义 设曲面S是光滑，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意
[理学]第四节-对面积的曲面积分PPT课件
![[理学]第四节-对面积的曲面积分PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/8a943750b7360b4c2e3f64b4.png)
a 2 d 0
0
a2h2
a2
1
2
d
a212lna(2
2)
a2h2 0
2alnah.
.
11
例2. 计 (x 算 2 y 2 z 2 ),其 S :x 中 2 y 2 z 2 a 2 .
S
解I: SS1S2
.
z
S1: z a2x2y2,
a
S2: za2x2y2.
S1
D xy o
ay
将曲 S1,面 S2向xo面 y 投影，a 得S 2
S
f(x ,y,z)d S g (x ,y,z)d S ;
S
S
(3) 积分曲.面 如 ( : S 可 S1 加 S2)性
f(x ,y ,z )d S f(x ,y ,z )d S g (x ,y ,z )d S .
S
S 1
S 2
(4) 1dSS的面.积
S
.
5
二、对面积的曲面积分的计算法 定理: 设有光滑曲面 S:zz(x,y),
f ( x ,y ,z ) d S f ( z ,x ,y ) d S f ( y ,z ,x ) d S
S
S
S
轮换不变性
若曲面有轮换对称性, 则曲面上的第一类曲面 积分有轮换不变性.
.
29
例9. 设曲 xy面 z1(x0 ,y0 ,z0 )
求 (xy)d S 与 x d S .
S
S
解: 曲面 xyz1有轮换对 , 称性
其S 中 是界 z0 于 及 zH间的圆 x2柱 y2面 R2.
解：SS1S2,
z
S1: x R2y2,
H
S2: x R2y2.
一,对面积的曲面积分的概念与性质
f(x ,y ,z )d S f[x ,y ,z (x ,y )1 ] zx 2 (x ,y ) zy 2 (x ,y )dx ． d
S
D x y
讨论： 如果积分曲面S由方程yy(z, x)给出或由xx(y, z)给出，那么
f(x, y, z)在S上对面积的曲线面积分如何计算?
例 1 计 算 曲 面 积 分 1 d ， 其 S 中 S 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 被 平 面 S z zh(0<h<a)截出的顶部．
Mf(x,y,z)dS S
另一方面，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的 投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有连续偏导数，则光滑曲 面S的质量M也可用元素法来求： S上任意点(x, y, z)处的面积元素为dS 1zx2(x,y)zy2(x,y)dxd，y
Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2． 又
z
1 z x 2 z y 2 a 2 a x 2 y 2 ． h
于是 1 d S adxdy
S z D x a 2 y x 2 y 2
Dxy
a
2 a 2 h 2 rdr
d x ady
x 2 y 2
Dxy
1 1x
30xd 0 xy(1xy)dy
S1
S2
S4Oຫໍສະໝຸດ 11 Dxy y 3 0 1 x ( 1 6 x ) 3 d 1 3 ． x 2 x 0S 3
质量元素为 d M f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)zy 2(x,y)d x，d y
于是质量 M f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)zy 2(x,y)dx．dy
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第十章
10.4 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算
山东交通学院高等数学教研室
一、概念与性质
1 引例: 设曲面形构件∑, 面密度 求曲面形构件的质量 M. 是常数, 则其质量为 不是常数, 仍可采用 “分割, 作近似, 求和, 取极限” 的方 n 法. 且在∑上连续,
3 x d x 0 y (1 x y )d y 2 3 2 0 f ( x, y, z ) d S f ( x, y , z ( x, y ) ) 1 z x120 z y dx d y
1
Dxy
1 x
Dxy
高等数学
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练习 P141 1 (2)
f ( x, y, z) g ( x, y, z) d S（, 为常数)
f ( x, y, z ) d S g ( x, y, z ) d S
(2) 若
则
f ( x, y, z ) d S f ( x, y, z ) d S f ( x, y, z ) d S
2 2 2
,
Dx y
x
a a dxdy 2 2 12 zx 2 zy d xdx ydy 2 2 2 2 a x y a x y Dxy
dS z
2π a 2 h2 a a d d 2 2 d z ( x , y ) f ( x , y , z ) d S 1 z z d x d y f ( x , y , ) 2 d 2 2 x y 2 a 0 a 0 Dxy Dxy
高等数学
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则
f ( x, y, z)dS
例如, 若 : x2 y 2 z 2 1, 则 dS =
4
则 ( x y z )dS =
2 2 2
dS 4
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对称性定理
若 1 +2 , 且∑1 ，∑2关于 yoz 面对称，则
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思考:
若 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
dS ( z
0
)
z
h
dS ( z
d Sa 4 π a ln 2 ) h 上 z
x
y
h
结束
例2 计算
其中 是由平面
z
与三个
1
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 原式 xyz d S
f ( x, y, z ) d S
另两种情况类似.
2 f ( x, y , z ) d S , 若 f ( x, y, z) f ( x, y, z)
0,
若 f ( x, y, z) f ( x, y, z)
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二、计算
1. 定理: 设有光滑曲面
z
(i ,i , i )
O S i y
M
i 1
令
max di 0
1i n
x
小曲面的直径 d :曲面上任意两点间距离的最大值.
高等数学
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2 定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 在 上有界，把∑ 任意分成 n 小块 Si (i 1, 2, , n ), 在 Si 上任意取定 max di ,如果 一点
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高等数学
2. 如果曲面 方程为： x
x( y, z ), Dyz , 则
2 2
f x( y, z ), y, z 1 x y xz d y d z
Dyz
y y( x, z ), Dxz , 则 3. 如果曲面 方程为：
0
i 1 n
f ( x, y, z )d S
( x, y , z ) d S
面密度
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高等数学
(2) 如果∑ 是封闭曲面 , 则记为 (3) 3 性质
(1)
在光滑曲面∑上连续
f ( x, y, z )d S
f ( x, y, z ) d S 存在.
且 在xoy面上的投影区域为 Dxy ,
而 f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
z
f ( x, y, z) d S 存在, 且有
x Dx y
O
y
f ( x, y, z ( x, y ) ) 1 z x 2 z y 2 d x d y
Dxy
准备工作: 找 Dxy , 求 z x , z y
3
2
4
0 x y z d S 4 : z 1 x y,
0 y 1 x z x 1, z y 1, Dx y : 0 x 1
4
x y z d S xy (1 x y )
4
3dxdy
Dx y 1 y 1 x 1 1 : z 0 2 : x 0 3 : y 0
f x, y ( x, z ), z 1 yx 2 yz 2 d xd z
Dxz
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例1 计算曲面积分 被平面
2 2 2
其中 是球面 截出的顶部.
2
z
h
解: D x y : x y a h
ay
“一投二代 三替换”
x a x y
1i n
记作
总存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分(或第一类曲面积分). 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面, d S 叫做面积元素. 注: (1) 面密度为 ( x, y, z ) 的曲面形构件的质量
M lim (i ,i , i ) S i
其中 是立体
x 2 y 2 z 1 的边界曲面.
10.4 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算
山东交通学院高等数学教研室
一、概念与性质
1 引例: 设曲面形构件∑, 面密度 求曲面形构件的质量 M. 是常数, 则其质量为 不是常数, 仍可采用 “分割, 作近似, 求和, 取极限” 的方 n 法. 且在∑上连续,
3 x d x 0 y (1 x y )d y 2 3 2 0 f ( x, y, z ) d S f ( x, y , z ( x, y ) ) 1 z x120 z y dx d y
1
Dxy
1 x
Dxy
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练习 P141 1 (2)
f ( x, y, z) g ( x, y, z) d S（, 为常数)
f ( x, y, z ) d S g ( x, y, z ) d S
(2) 若
则
f ( x, y, z ) d S f ( x, y, z ) d S f ( x, y, z ) d S
2 2 2
,
Dx y
x
a a dxdy 2 2 12 zx 2 zy d xdx ydy 2 2 2 2 a x y a x y Dxy
dS z
2π a 2 h2 a a d d 2 2 d z ( x , y ) f ( x , y , z ) d S 1 z z d x d y f ( x , y , ) 2 d 2 2 x y 2 a 0 a 0 Dxy Dxy
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则
f ( x, y, z)dS
例如, 若 : x2 y 2 z 2 1, 则 dS =
4
则 ( x y z )dS =
2 2 2
dS 4
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对称性定理
若 1 +2 , 且∑1 ，∑2关于 yoz 面对称，则
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思考:
若 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
dS ( z
0
)
z
h
dS ( z
d Sa 4 π a ln 2 ) h 上 z
x
y
h
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例2 计算
其中 是由平面
z
与三个
1
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 原式 xyz d S
f ( x, y, z ) d S
另两种情况类似.
2 f ( x, y , z ) d S , 若 f ( x, y, z) f ( x, y, z)
0,
若 f ( x, y, z) f ( x, y, z)
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二、计算
1. 定理: 设有光滑曲面
z
(i ,i , i )
O S i y
M
i 1
令
max di 0
1i n
x
小曲面的直径 d :曲面上任意两点间距离的最大值.
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2 定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 在 上有界，把∑ 任意分成 n 小块 Si (i 1, 2, , n ), 在 Si 上任意取定 max di ,如果 一点
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2. 如果曲面 方程为： x
x( y, z ), Dyz , 则
2 2
f x( y, z ), y, z 1 x y xz d y d z
Dyz
y y( x, z ), Dxz , 则 3. 如果曲面 方程为：
0
i 1 n
f ( x, y, z )d S
( x, y , z ) d S
面密度
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(2) 如果∑ 是封闭曲面 , 则记为 (3) 3 性质
(1)
在光滑曲面∑上连续
f ( x, y, z )d S
f ( x, y, z ) d S 存在.
且 在xoy面上的投影区域为 Dxy ,
而 f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
z
f ( x, y, z) d S 存在, 且有
x Dx y
O
y
f ( x, y, z ( x, y ) ) 1 z x 2 z y 2 d x d y
Dxy
准备工作: 找 Dxy , 求 z x , z y
3
2
4
0 x y z d S 4 : z 1 x y,
0 y 1 x z x 1, z y 1, Dx y : 0 x 1
4
x y z d S xy (1 x y )
4
3dxdy
Dx y 1 y 1 x 1 1 : z 0 2 : x 0 3 : y 0
f x, y ( x, z ), z 1 yx 2 yz 2 d xd z
Dxz
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例1 计算曲面积分 被平面
2 2 2
其中 是球面 截出的顶部.
2
z
h
解: D x y : x y a h
ay
“一投二代 三替换”
x a x y
1i n
记作
总存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分(或第一类曲面积分). 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面, d S 叫做面积元素. 注: (1) 面密度为 ( x, y, z ) 的曲面形构件的质量
M lim (i ,i , i ) S i
其中 是立体
x 2 y 2 z 1 的边界曲面.