2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：5-3复数的四则运算
2018年数学同步优化指导湘教版选修2-2练习：5-4 复数
活页作业(十六) 复数的几何表示一、选择题1．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( ) A ．点(3,2)与(1,1)之间的距离 B ．点(3,2)与(－1，－1)之间的距离 C ．点(3,2)到原点的距离 D ．以上都不对解析：复数3＋2i 对应点(3,2)，复数1＋i 对应点(1,1)． 答案：A2．复数z 1＝tan α＋i ，z 2＝cos α－2i(α是锐角)，则复数z 1＋z 2对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z 1＋z 2＝(tan α＋cos α)－i. ∵α是锐角，∴tan α＋cos α＞0.又∵－1＜0，∴复数z 1＋z 2对应的点在第四象限． 答案：D3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数为－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i 解析：∵CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →，∴(－1－3i)－(2＋i)＝－3－4i.∴向量CA →对应的复数是－3－4i.答案：D4．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z ＋2|－|z －2|＝4，那么复数z 所对应的点Z (x ，y )的轨迹是( )A ．实轴在x 轴上的双曲线B ．实数在x 轴上的双曲线的右支C ．两条射线D ．一条射线 答案：D5．若P ，A ，B ，C 四点分别对应复数z ，z 1，z 2，z 3，且|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则点P为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：由|z －z 0|的几何意义可知，动点P 到三角形三个顶点的距离相等，即为△ABC 的外接圆圆心．答案：B6．已知集合P ＝{ω|ω＝z ＋z －，z ∈C }，Q ＝{ω|ω＝z －z －，z ∈C }(z －是z 的共轭复数)，则P ∩Q ＝____________.解析：由P ＝{ω|ω∈R }，Q ＝{纯虚数或0}，得P ∩Q ＝{0}． 答案：{0}7．若复数z ＝a ＋i(a ∈R )所对应的向量与它的共轭复数z －所对应的向量垂直，则a 的值是____________.解析：由z ＝a ＋i ，得z －＝a －i.则复数z ，z －所对应的向量的坐标分别为(a,1)，(a ，－1)．又z ，z －所对应的向量互相垂直，所以a 2－1＝0.即a ＝±1.答案：±18．若复数z 满足|z －1|＝|z －2|＝|z －i|，则z ＝____________.解析：方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2＋b 2＝(a －2)2＋b 2，(a －1)2＋b 2＝a 2＋(b －1)2.解得a ＝b ＝32. 故z ＝32＋32i.方法二 本题的几何意义是复数z 对应的点Z 到A (1,0)、B (2,0)，C (0,1)三点的距离相等，即点Z 是△ABC 的外心．故点Z 既在线段AB 的垂直平分线x ＝32上．又在线段AC 的垂直平分线y ＝x 上，则Z ⎝⎛⎭⎫32，32.故z ＝32＋32i. 答案：32＋32i9．已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －－4，求|ω|.(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)∵ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， ∴|ω|＝ 2.(2)由已知，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii＝1－i.∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 10．设三个复数z 1，z 2，z 3分别对应复平面内的点Z 1，Z 2，Z 3.(1)当z 1＋z 2＋z 3＝0，|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝1时，求证：△Z 1Z 2Z 3为正三角形．(2)当|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝r (r ＞0)，z 1z 2＋z 2z 3＋z 3z 1＝0时，求证：△Z 1Z 2Z 3为正三角形． 证明：(1)由条件，得z 3＝－(z 1＋z 2)，z －3＝－(z －1＋z －2)， ∴z 3·z －3＝[－(z 1＋z 2)][－(z －1＋z －2)]＝z 1z －1＋z 2z －2＋z 1z －2＋z 2z －1. 即|z 3|2＝|z 1|2＋|z 2|2＋z 1·z －2＋z 2·z －1， ∴z 1·z －2＋z 2·z －1＝－1.∴|z 1－z 2|2＝(z 1－z 2)(z －1－z －2)＝|z 1|2＋|z 2|2－(z 1z －2＋z －1z 2)＝3. ∴|z 1－z 2|＝ 3.同理，有|z 1－z 3|＝|z 2－z 3|＝ 3. 故△Z 1Z 2Z 3为正三角形． (2)∵z 1z 2＋z 2z 3＋z 3z 1＝0， ∴z －1·z －2·z －3(z 1z 2＋z 2z 3＋z 3z 1)＝0.∴z 1z －1·z 2z －2·z －3＋z －1·z 2z －2·z 3z －3＋z －2·z 1z －1·z 3z －3＝0. ∴r 4·(z －1＋z －2＋z －3)＝0. ∴z －1＋z －2＋z －3＝0. ∴z 1＋z 2＋z 3＝0.由(1)知，△Z 1Z 2Z 3为正三角形．11．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， ∴a 2＋4<5，即a 2＋4<5. ∴a 2<1，即－1<a <1. 答案：B12．已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，则z 1＝____________，z 2＝____________.解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵z 1＋z 2＝2i ，∴z 2＝2i －z 1＝－a ＋(2－b )i.由已知，得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，a 2＋(2－b )2＝2.解得a ＝±3，b ＝1.故所求的复数为z 1＝3＋i ，z 2＝－3＋i 或z 1＝－3＋i ，z 2＝3＋i. 答案：±3＋i ±3＋i13．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2(z 2表示z 2的共轭复数)是实数，则t ＝____________.解析：∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ，z 1·z 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：3414．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝____________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部、虚部均互为相反数．故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i15．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形． (2)求集合P 中的复数的模的最大值和最小值． 解：(1)设z ＝x ＋y i.由|z －1|≤1，得(x －1)2＋y 2≤1. 又由|z －1－i|＝|z －2|，得 (x －1)2＋(y －1)2＝(x －2)2＋y 2. 平方、整理得y ＝x －1.因此，集合P 是圆截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示． (2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22. ∴|OA |＝2＋2，|OB |＝2－2，点O 到直线l 的距离为22，且过点O 向直线l 引垂线，垂足在线段BE 上．∵22<2－2， ∴集合P 中复数的模的最大值为2＋2，最小值为22. 16．已知全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，且z ∈A ∩(∁U B )．求复数z 在复平面内的对应点的轨迹．解：∵z ∈C ，∴|z |∈R .∴1－|z |∈R . 由||z |－1|＝1－|z |，得1－|z |≥0，即|z |≤1. ∴A ＝{z ||z |≤1}． 又B ＝{z ||z |<1，z ∈C }， ∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．∵z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A 且z ∈(∁U B )．∴⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤1，|z |≥1.∴|z |＝1. 由模的几何意义知，复数z 在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆．。
高中湘教版数学选修2-2当堂检测：5-3复数的四则运算 Word版含解析
5．3 复数的四则运算1．若z－3－2i＝4＋i，则z等于() A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1－3i答案 B解析z＝(4＋i)－(3＋2i)＝1－3i.2．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝() A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i答案 A解析z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A.3．5－(3＋2i)＝________.答案2－2i4．复数11－i的虚部是________．答案1 2解析∵11－i＝1＋i(1－i)(1＋i)＝1＋i2＝12＋12i.∴虚部为12.1．复数代数形式的加、减法运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则有z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.即两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数代数形式的乘法运算法则(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意的z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝z 2·z 1(交换律)，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)(结合律)，z 1·(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3(乘法对加法的分配律)．3．复数代数形式的除法运算法则在无理式的除法中，利用有理化因式可以进行无理式的除法运算．类似地，在复数的除法运算中，也存在所谓“分母实数化”问题．将商a ＋b i c ＋d i的分子、分母同乘以c －d i ，最后结果写成实部、虚部分开的形式：a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(－ad ＋bc )i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋－ad ＋bc c 2＋d 2i 即可.。
湘教版数学选修2-2分层训练5-3复数的四则运算 Word版含解析
．复数的四则运算一、基础达标．复数＝－，＝－，则＋等于( ) ．＋－－答案解析＋＝－＝－.．若＋－＝＋，则等于( ) ．＋．＋．－－．－－答案解析＝＋－(－)＝＋.．若，∈，为虚数单位，且(＋)＝＋，则( ) ．＝，＝．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝－答案解析∵(＋)＝－＋＝＋，∴(\\(＝－＝)).．在复平面内，复数＋(＋)对应的点位于( ) ．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案解析＋(＋)＝＋＋(－＋)＝－＋，对应点在第二象限．．设复数满足(＋)＝－＋(为虚数单位)，则的实部是．答案解析由(＋)＝－＋得到＝－＝＋－＝＋.．复数的虚部是．答案－解析原式＝＝＝－，∴虚部为－.．计算：＋.解＋＝＋＝(＋)＋＝－＋＋(－)＝－＋－＝－.二、能力提升．(·新课标)设复数满足(－)＝，则＝( ) ．－＋．－－．＋．－答案解析因为复数满足(－)＝，所以＝＝＝－＋.．若复数满足(－)＝＋(为虚数单位)，则为( ) ．＋．－．－＋．－－答案解析＝＝＝＝＋.．已知是纯虚数，是实数，那么等于．答案－解析设＝(∈，≠)，则＝＝＝＝＋是实数，所以＋＝，＝－，所以＝－.．(·山东聊城期中)已知复数＝，若＋＋＝＋(，∈)，求＋的值．解由＝，得＝＝＝－，又＋＋＝＋，∴(－)＋(－)＋＝＋，∴(＋)＋(－－)＝＋，∴＋＝.．满足＋是实数，且＋的实部与虚部是相反数的虚数是否存在？若存在，求出虚数，若不存在，请说明理由．解设虚数＝＋(，∈，且≠)．。
高中数学第五章数系的扩充与复数5.3复数的四则运算分层训练湘教版选修2-2
5．3 复数的四则运算一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52i C.52－52i D.52－32i 答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i 答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B 解析i1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.6．复数2i－1＋3i的虚部是________．答案 －12解析 原式＝2i －1－3i 1＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12. 7．计算：2＋2i1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋i 2 010. 解2＋2i1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋i 2 010＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 005＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1. 二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析 因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i1－i ＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i.9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i 答案 A解析 z ＝11＋7i2－i ＝11＋7i 2＋i 2－i2＋i＝15＋25i5＝3＋5i.10．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．答案 －2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i＝b i ＋21－i＝b i ＋21＋i 1－i1＋i ＝2－b ＋b ＋2i 2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.11．(2013·山东聊城期中)已知复数z ＝1＋i 2＋31－i2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b∈R )，求a ＋b 的值． 解 由z ＝1＋i2＋31－i2＋i，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.12．满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．解 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)．z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i＝x ＋5xx 2＋y 2＋(y －5yx 2＋y 2)i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5yx 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y ，∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 三、探究与创新13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的一个根．。
数学：《3.2复数的四则运算(2) 》(选修2-2)
【探究】 怎样判断一个复数是实数？ ① z的虚部为0 ② z = z
【例1】已知复数 z=1+i 使 ,求实数a,b
2
a z 2b z (a 2 z)
a=－2,b=－1; a=－4,b=2;
2. 复数 z 满足 (1 2i ) z 4 3i 求z
3.2 复数的四则运算
复习: z1 a bi , z2 c di
z1 z2 (a c) (b d )i
z1 z2 ac adi bci bdi
2
(ac bd) (ad bc)i
运算满足交换律、结合律、分配律
a bi (a bi ) (c di ) c di (a bi)(c di) (c di)(c di)
拓
设关于 x 的方程
2
展
x (tan i ) x (2 i ) 0 ( R) 若方程有实数根，求锐角 的值, 并求出方程的所有根。
解： 2 x tan 2) ( x 1)i 0 (x x x tan 2 0, x 1 0 x 1, tan 1
2
45
o
i __ , i __ , i __ , i __
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
i
4n 2
1
, i
4n 3
i
【例2】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2006
2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：5-4复数的几何表示
5．4 复数的几何表示一、基础达标1．复数z＝3＋i3对应的点在复平面第几象限() A．一B．二C．三D．四答案 D解析由i2＝－1，z＝3－i，对应点坐标为(3，－1)．2．当23<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)．由23<m<1，得3m－2>0，m－1<0.所以点Z位于第四象限．故选D.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是() A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i答案 C解析A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.4．已知复数z＝a＋b i(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是() A．实轴B．虚轴C．原点D．原点和虚轴答案 B解析 a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于________． 答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 答案 (2，6)∪(－6，－2) 解析 ∵z 位于第三象限，∴⎩⎨⎧k 2－6<0，4－k 2<0，∴2<k <6或－6<k <－2. 7．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |. 解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2. 二、能力提升8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.9．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π2－B ， sin A ＞cos B ．cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0， 所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.10．复数z ＝3＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第________象限．答案 三解析 3<0，log 3 12<0，∴z ＝3＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第三象限．11．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点： (1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎨⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎨⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3.(2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎨⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.12．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .解 根据题意可画图形如图所示： 设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i. 三、探究与创新13．试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为 a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0 ⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝02ab ＝0，⇒⎩⎨⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝±3，b ＝0 或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝±1， 即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。
湘教版数学选修2-2配套课件：5-3复数的四则运算
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
例3 求满足下列条件的复数z： (1)z2＝－7－24i；
(2)(3－i)z＝4＋2i.
解 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，依题意得： x2－y2＋2xyi＝－7－24i，x22x－y＝y2－＝2－4，7， 解得xy＝＝3－，4 或xy＝＝－4，3， 则 z＝3－4i或z＝－3＋4i.
规律方法 (1)类比实数运算，若有括号，先计算括 号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．
(2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再 确定复数的实部和虚部，最后实部、虚部分别相加 减．
跟 踪 演 练 1 (1) 若 z － (1 ＋ i) ＝ 1 ＋ i ， 则 z ＝
________.
(2)计算(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝________. 答案 (1)2＋2i (2)－1－8i
跟踪演练2 计算(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－ 3i)． 解 原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－4i－3i＋i2)＋(28－21i－4i＋3i2) ＝2(11－7i)＋(25－25i) ＝47－39i.
要点三 在复数范围内求解实系数一元二次方程问 题
解得xy＝＝21， 或xy＝＝－－21. ∴z＝2＋i或z＝－2－i， 即3＋4i的平方根是2＋i或－2－i.
再见
编后语
高中数学选修2-2同步练习题库：复数代数形式的四则运算(填空题：容易)
复数代数形式的四则运算（填空题：容易）1、为虚数单位，计算．2、复数_____．3、若复数，则_____.4、复数的实部为_______．5、已知为实数，为虚数单位，若为实数，则________．6、复数__________．7、计算__________．（为虚数单位）8、设是虚数单位，则=________9、已知复数满足（为虚数单位），则_______．10、已知复数（是虚数单位），则的实部是______．11、复数__________．12、复数（2+i）·i的模为___________.13、复数所对应的点在复平面内位于第________象限．14、设，则__________．15、设为序数单位，则__________．16、若复数满足，则__________．17、已知（为虚数单位），则__________．18、是虚数单位，复数__________．19、设复数（，为虚数单位）．若，则的值是____．20、已知是虚数单位，若，则 __________．21、复数__________．22、复数满足，则__________．23、复数在复平面内对应的点位于第__________象限．24、复数的共轭复数是__________．25、已知i是虚数单位，复数z满足，则_____．26、已知复数，则复数的虚部为．27、已知复数z与（z-3）2+5i 均为纯虚数，则z= ．28、设复数z满足（z＋i）i＝－3＋4i（i为虚数单位），则z的模为．29、设i为虚数单位，则（1＋i）5的虚部为________．30、设为虚数单位，若复数31、复数（是虚数单位）的虚部是_______。
32、复数（为虚数单位），则______．33、设为虚数单位，若，则复数的虚部为 .34、设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= ．35、已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z= ．36、设是虚数单位，则复数等于__________．37、复数的虚部为．38、如果是实数,那么实数．39、复数．40、设是虚数单位，则= ．41、设i是虚数单位，则复数＝_____________.42、复数（为虚数单位），则．43、设复数满足（为虚数单位），则= ．44、是虚数单位，复数 .45、设，其中是虚数单位，则．46、若复数，且,则实数=______．47、已知复数（其中是虚数单位），则．48、复数___________49、为虚数单位，复数= ．50、设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数．51、若是虚数单位，复数满足,则的虚部为_________．52、已知复数，其中是虚数单位，则．53、已知，其中、为实数，则 .54、若（是虚数单位），则_________．55、为虚数单位，复数= ．56、若复数（为虚数单位）,则复数的模 .57、i + i2 + i3+ + i2012= .58、已知复数，则 .59、已知复数满足（为虚数单位），则 .60、已知复数（其中i为虚数单位），则= .61、复数的模等于______.62、复数的值等于__________．63、计算 .64、已知复数，则= ；65、已知复数，则= ；66、已知复数，则z的虚部为．67、已知复数，则z的虚部为．68、设（i为虚数单位），则69、已知是虚数单位,则复数的共轭复数是_____________70、是虚数单位，计算_________.参考答案1、2、3、4、25、-26、7、8、9、110、11、12、13、四14、15、16、17、218、19、20、21、1.22、23、二24、25、；26、-227、28、29、30、31、32、533、34、3+5i．35、36、37、-138、-139、40、-141、2i42、43、44、45、46、047、48、49、．50、51、.52、53、354、.55、.56、57、058、559、60、561、62、163、64、65、66、167、168、69、70、【解析】1、试题分析：．考点：复数除法运算．2、；故填.3、故答案为4、，故复数的实部为2。
数学课件：5-3复数的四则运算
句段点评 自主探究 素材积累
4.如果说当1922年初他进入哈金森工厂时,还仅仅是一个具有爱 国思想的进步青年的话,那么,在1923年3月他离开哈金森工厂时,便 已成为一个具有一定政治觉悟和选择了共产主义理想的革命青年。
点评这是一个总结性的段落,由一个假设关系的复句组成,高度 概括了在哈金森工厂打工时期的邓小平在思想方面的变化。根据 中国共产党党史记载,邓小平1923年3月的这次离去,是因为他于 1922年6月参加了旅欧中国少年共产党,他离开哈金森工厂后,便成 为了一位职业革命家。后来邓小平曾说:“我们感谢法国,是她用自 由浪漫的思想和当时苦难的现实,锻造出最早和最坚定的一批中国 共产党人。”
要点一 复数的加减运算 例1 计算(1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解 (1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－ (－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
(2)复数(1＋2i)÷(3－i9)的值是________．
()
答案 (1)A (2)110＋170i
解析 (1)z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi＋2i2 ＝(x－2)＋(x＋2)i.因为z1z2∈R， ∴x＋2＝0，∴x＝－2. (2)原式＝13＋－2i9i＝31－＋i28·ii＝13＋－2ii ＝13＋－2ii33＋＋ii＝3＋i＋160i＋2i2＝1＋107i＝110＋170i.
解得xy＝＝21， 或xy＝＝－－21. ∴z＝2＋i或z＝－2－i， 即3＋4i的平方根是2＋i或－2－i.
1 在哈金森工厂
高中数学选修2-2复数的四则运算(1)
复数的四那么运算(1)
一、教学目标
1．理解并掌握复数四那么运算法那么；
2．培养学生良好思维品质〔思维的严谨性，深刻性，灵活性等〕．
二、教学重点和难点
重点：复数四那么运算法那么；
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
三、教学过程
1、复习：复数的有关概念
2、复数加、减法法那么：
3、复数的乘法：
4、例题
例1、 计算(1)〔5-6i 〕+〔-2-i 〕-〔3+4i 〕
(2) (1-2i)(3+4i)(-2+i)
例2、 求))((bi a bi a -+．
小结：〔1〕a 2+b 2的因式分解
〔2〕方程012=+x 的求解
共轭复数
例3、证明复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
练习：证明复数的乘法对加法的分配律．
例4、假设复数1z i =+，某某数,a b 使22(2)az bz a z +=+。
〔其中z 为z 的共轭复数〕
练习：书P105 3 -5
作业：书P111习题1-2；课课练P81-82。
5.3 复数的四则运算 同步练测(湘教版选修2-2)
5.3 复数的四则运算（湘教版选修2-2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分[来源][来源:学§科§网Z§X§X§K]一、选择题（每小题5分，共20分）[来源:学§科§网Z§X§X§K]1.+¿n∈N¿¿i n+1+i n+2+…+i n+2012¿( )[来源:学§科§网Z§X§X§K] A.i n+3 B.0C.12.设复数z满足1+2i z=i,则z=( )A.−2−iB.−2+iC.2−iD.2+i3.若复数z满足zi=1−i,则z等于（）A.−1−iB.1−iC.−1−iD.1+i4.把复数z的共轭复数记作z,i为虚数单位，若z=1+i,则(1+z)∙z=( )A.3−iB.3+iC.1+3iD.3二、填空题(每小题4分，共20分)5.已知复数z=1−i,则z2−2z z−1=¿.6.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1∙z2是实数，则实数t=¿ .7.已知2i−3是关于x的方程2x2+p x+q=0的一个根，则实数¿¿p=¿¿，实数q=¿ . 8.已知复数z1=1−i,z1∙z2=2+i,则复数z2为.9.复数(2+2i)4(1−√3i)5等于 .三、解答题（每小题10分，共60分）10.关于x的方程x2+(2a−i)x−a i+1=0有实根，求实数a的值.11.已知x,y为共轭复数，且(x+y)2−3x y i=4−6i,求x,y的值.[来源:1][来源:学§科§网Z§X§X§K]12.已知复数z=c o sα+s nαz=c o sβ−s nβ且z1+1z2=12+√32i,求z1,z2的值.13.已知z是虚数，且z1是实数，求证:11+-zz是纯虚数.[来源:1]14.（12分）计算：(1)(1+i)+(2+2i);(2)2+6i6−2i; (3)−2√3+i1+2√3i+(√21−i)2010.15.已知−1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.5.3 复数的四则运算（湘教版选修2-2）答题纸得分：1、 选择题 题号 1 2 3 4 答案二、填空题5． 6． 7． 8． 9． 三、解答题10. [来源] [来源] 11.12.[来源] 13. 14. 15.5.3 复数的四则运算（湘教版选修2-2）答案1. B 解析：++…+=(1−)1−=02. C 解析：设复数z =a +b i (a ,b ∈R )满足1+2iz =i,所以1+2i =ai −b .解得{a =2,b =−1,所以 z =2−i .3. A 解析：利用复数的四则运算法则求解.由zi =1−i 得z =1−i i =1i −1=−1−i .4. A 解析：(1+z )=(2+i )(1−i )=3−i .5. 1. −2i 解析:∵ z =1−i, ∴ −2z =1−−21−=−2−2+=−2又z −1=−i,∴ z 2−2z z −1=−2−i=−2i .6.34 解析:=+−=−+−=++−因为z 1∙z 2是实数，所以4t −3=0, 即t =34.7. 12 26 解析：由2（2−3）+p （2−3¿+q =0，得（10−3p +q ）+（2p −24）=0.则{¿10−3p +q =0,¿2p −24=0,解得p =12，q =26.8.12+32i 解析:因为z 1=1−i ,z 1z 2=2+i ，所以z =2+1−=(2+)(1+)(1−)(1+)=12+329.−1+√3i解析：原式=16(√)×(√)(√)(√)√.10.解：设x 0是其实根，代入原方程，得由复数相等的定义，得{¿x 02+2a x 0+1=0,¿x 0+a =0.解得a =±1.故实数a的值为±1.11.解：设x =a +b i (a ,b ∈R )，则y =a −b i (a ,b ∈R ).代入原式，得4a 2−3(a 2+b 2)i =4−6i .根据复数相等的定义，有{¿4a 2=4,¿−3(a 2+b 2)=−6,解得{a =1b =1或{¿a =1¿b =−1或{¿a =−1¿b =1或{a =−1b =−1 所以{=+=−或{=−=+或{=−+=−−或{=−−=−+12.解：由z 1+1z 2=12+√32i,得c o s α+s n α+1c o s β−s n β=12+√32. 即c o α+c o β+n α+n β=12+√32平方相加，得c o s β=1−√3s i n β,代入s i n 2β+c o s 2β=1可得sin β=0或sin β=√32. 当si n β=0时， c o s β=1c o s α=−12s n α=√32当sin β=√32时，β=−12cos α=¿1,si n α=0.cos ¿13.证明：设z =a +b i (a 、b ∈R 且b ≠0)，于是∵ z 1∈R，∴b −¿22b a b +=0.∵b ≠0，a 、b ∈R，∴ i1+a b是纯虚数.14. 解：(1)原式¿(1+2)+(1+2)i =3+3i ;(2)原式=(2+6i )(6−2i )=(2+6)6i +2=;(3)原式√√[(√) ]()15.解：由(−1+i)2+p(−1+i)+q=0得，(−p+q)+(p−2)i=0.根据复数相等的充要条件得{–p+q=0,p−2=0,解得{p=2,q=2.。
湘教版高中数学选修2-2同步精练：5.3 复数的四则运算 含解析
1．设i为虚数单位,则错误!＝( ）．A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i2．复数1－2＋i＋错误!的虚部是( )．A．错误!i B．错误!C．－错误!i D．－错误!3．复数i3(1＋i)2等于（)．A．2 B．－2C．2i D．－2i4．已知a是实数，错误!是纯虚数,则a等于( ）．A．1 B．－1C．错误!D．－错误!5．若3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则q等于（）．A．26 B．13C．6 D．56．(6＋6i）＋(3－i）－(5－3i)＝__________.7．错误!＋错误!＝______.8．已知x,y∈R，且错误!＋错误!＝错误!，则x＋y的值是__________．9．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根,求这个实根以及实数k的值．10．是否存在同时满足下列两个条件的复数z：(1）z＋错误!∈R，且1〈z＋错误!≤6；（2)z的实部和虚部都是整数？如果存在,求出复数z；如果不存在，请说明理由．参考答案1．C 错误!＝错误!＝错误!＝2－3i.2．B ∵1－2＋i＋错误!＝错误!(－2－i)＋错误!(1＋2i)＝－错误!＋错误!i，∴虚部为错误!.3．A i3(1＋i)2＝－i×2i＝－2i2＝2.4．A ∵错误!＝错误!＝错误!－错误!i是纯虚数，∴错误!＝0,且错误!≠0,解得a＝1.5．A 由题意，得方程的另一根为3－2i，则错误!＝（3＋2i）(3－2i)＝13。
所以q＝26。
6．4＋8i (6＋6i)＋（3－i)－(5－3i)＝（6＋3－5）＋（6－1＋3)i＝4＋8i.7．错误!原式＝错误!＝错误!.8．4 错误!＋错误!＝错误!可化为错误!＋错误!＝错误!，5x(1－i)＋2y(1－2i）＝5－15i，（5x＋2y)－（5x＋4y)i＝5－15i，∴错误!∴错误!∴x＋y＝－1＋5＝4.9．解：设x＝x0是方程的实根,代入方程并整理得（x错误!＋kx0＋2）＋(2x0＋k）i＝0。
数学选修2-2复数代数形式的四则运算练习题含答案
A. B. C. D.
9.设 ，则
A. B. C. D.
10.设 （ 为虚数单位），则 等于( )
A. B. C. D.
11.设复数 满足 ＝ ，则 ＝________．
12.若 ，则 ________．
13.若复数 满足 ＝ ，则 ＝________．
14.设 ，且 ， ，则 的值是________.
15.
【答案】
【考点】
共轭复数
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析【解答】ຫໍສະໝຸດ 解： ，故 ，所以 .
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
复数的运算
【解析】
把等式两边同时除以 ，然后把左边分子分母同时乘以 即可．
【解答】
由 ＝ ，得： ．
17.
【答案】
【考点】
复数的模
【解析】
由题意可得 ，解得 ．再由绝对值不等式的性质可得 的最小值．
所以最小点为圆心到点 的距离减去半径，
则 的最小值为 .
故答案为： .
19.
【答案】
①②
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
利用新定义，结合复数代数形式的混合运算逐一核对四个命题得答案．
【解答】
解：由定义 ，其中 是 的共轭复数．可知：
对于① ，
，命题①正确；
② ，
，命题②正确；
③ ，
，
∴ 命题③错误；
故选： ．
4.
【答案】
C
【考点】
共轭复数
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
【湘教版】高中数学同步选修2-2教案+精练学案：第5章 5.3 复数的四则运算
5．3复数的四则运算[读教材·填要点]复数的四则运算一般地，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，有 (1)加法：z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i. (2)减法：z 1－z 2＝a －c ＋(b －d )i.(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．[小问题·大思维]1．若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 提示：不能．如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小．2．复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？ 提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式． 3．如何辨析复数除法与实数除法的关系？提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.[自主解答] z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i.又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. ∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i. z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．1．(1)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . 解：(1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ， 即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1， 所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)(5－295i)÷(7－35i)．[自主解答] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)原式＝5－295i 7－35i ＝(5－295i )(7＋35i )(7－35i )(7＋35i )＝(35＋29×15)＋(155－29×75)i72＋(35)2＝470－1885i94＝5－25i.(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样．(2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可．2．(1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部； (2)已知z 是纯虚数，z －21＋i是实数，求z .解：(1)由题意得z 1－z 2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i －9i)＝－2－i ， 则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i. 于是复数(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2. (2)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)， 则z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i2.由于z －21＋i是实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2，所以z ＝－2i.若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0有实根，求纯虚数m 的值．[自主解答] 设m ＝b i(b ≠0)，x 0为一实根，代入原方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3b i －1)i ＝0. ∴(x 20＋x 0＋3b )＋(2x 0＋1)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3b ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，b ＝112.∴m ＝112i.若将“求纯虚数m ”改为“求实数m ”，如何求解？ 解：x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0， 即(x 2＋x )＋(2x －3m ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，2x －3m ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，m ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，m ＝－13. 即m ＝13或－13.复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决．3．已知关于x 的方程x 2＋kx －i ＝0有一根是i ，求k 的值． 解：因为i 为方程x 2＋kx －i ＝0的一个根， 所以代入原方程，得i 2＋k i －i ＝0. 所以k ＝1＋i i ＝(1＋i )ii2＝1－i.计算：1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 018.[解] 法一：∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，∴i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0.∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 018＝1＋i ＋i 2＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＋i 2 018) ＝1＋i ＋i 2＝i.法二：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 018 ＝1－i 2 0191－i ＝1－i 504×4＋31－i＝1－i 31－i ＝1＋i 1－i＝i.1．(6－2i)－(3i ＋1)等于( ) A ．3－3iB ．5－5iC ．7＋iD ．5＋5i解析：(6－2i)－(3i ＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i ＝5－5i. 答案：B2．(全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.答案：D3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i ＝2i ＝－2i.答案：B 4．若z ＝－1－i2时，求z 2 018＋z 102＝________. 解析：z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 018＋z 102＝(－i)1 009＋(－i)51 ＝(－i)1 008·(－i)＋(－i)48·(－i)3 ＝－i ＋i ＝0 答案：05．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________. 解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.答案：36．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.1．设i 为虚数单位，则5－i 1＋i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i解析：5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－6i2＝2－3i.答案：C2．(山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2解析：∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i＋1＝1－i. ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i. 答案：A3．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0. 答案：B4．已知z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝( )A ．－4＋3iB ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i解析：∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i(2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i. 答案：D 二、填空题5．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是________．解析：∵1－2＋i ＋11－2i ＝15(－2－i)＋15(1＋2i)＝－15＋15i ，∴虚部是15.答案：156．若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝______. 解析：∵z ＝i(2－z )，∴z ＝2i －i z ， ∴(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i1＋i＝1＋i. 答案：1＋i7．(天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a5＝0，所以a ＝－2.答案：－28．若z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根，则实数a ，b 的值分别为________，________. 解析：把z ＝i －1代入方程z 2＋az ＋b ＝0，得(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a －2＝0.解得a ＝2，b ＝2. 答案：2 2 三、解答题9．复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数， ∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i ＜0. ∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.10．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，求x ，y 的值．解：∵x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i， ∴x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10. 即5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i. (5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.。
(精品人教)2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5.3复数的四则运算分层训练湘教版选修2-2
5．3 复数的四则运算一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52i C.52－52i D.52－32i 答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i 答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B 解析i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝ －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.6．复数2i－1＋3i的虚部是________．答案 －12解析 原式＝－1－31＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12. 7．计算：2＋2i －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 010. 解2＋2i －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 010＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 005＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1. 二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析 因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i1－i ＝＋－＋＝－1＋i.9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i答案 A解析 z ＝11＋7i2－i＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. 10．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．答案 －2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝b i ＋＋－＋＝2－b ＋b ＋2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i. 11．(2013·山东聊城期中)已知复数z ＝＋2＋－2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值．解 由z ＝＋2＋－2＋i，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.12．满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．解 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)．z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5yx 2＋y 2)i ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 三、探究与创新13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的一个根．。
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5．3 复数四则运算
一、基础达标
1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于
( ) A ．0 B.32＋52i
C.52－52i
D.52－32i
答案 C
解析 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.
2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于
( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－i D ．－1－3i
答案 B
解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.
3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则
( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝－1，b ＝－1
D ．a ＝1，b ＝－1
答案 D
解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎨⎧ b ＝－1
a ＝1.
4．在复平面内，复数i
1＋i ＋(1＋3i)2对应点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B
解析 i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝
－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．
5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 实部是________．
答案 1
解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i.
6．复数2i
－1＋3i 虚部是________．
答案 －1
2
解析 原式＝2i (－1－3i )1＋3＝23－
2i
4＝3
2－12i ，∴虚部为－12.
7．计算：2＋2i
(1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
21＋i 2 010
.
解 2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
21＋i 2 010＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 005
＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005
＝－1＋i －i ＝－1.
二、能力提升
8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝
( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i
答案 A
解析 因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )
(1－i )(1＋i )＝－1＋i.
9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为
( ) A ．3＋5i B ．3－5i
C ．－3＋5i
D ．－3－5i 答案 A
解析 z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋
i )
(2－i )(2＋i )＝15＋25i
5＝3＋5i.
10．已知z 是纯虚数，z ＋2
1－i 是实数，那么z 等于________．
答案 －2i
解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )
(1－i )(1＋i )＝2－b ＋(b ＋2)i
2
＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.
11．(2013·山东聊城期中)已知复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i
，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a ＋b 值．
解 由z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i
， 得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i
＝1－i ， 又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，
∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.
12．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3实部与虚部是相反数虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若
不存在，请说明理由．
解 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)．
z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i
＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y 2
)i ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y ，
∵y ≠0，∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，
解得⎩⎨⎧ x ＝－1y ＝－2或⎩⎨⎧ x ＝－2y ＝－1
. ∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．
三、探究与创新
13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0一个根(b 、c 为实数)．
(1)求b ，c 值；
(2)试说明1－i 也是方程根吗？
解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0根，
∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，
即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎨⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎨⎧
b ＝－2
c ＝2.
∴b、c值为b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程一个根．。