21.2.3二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
21.2.2.2二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
第2课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质1.在同一坐标系中,关于抛物线y=-13(x-3)2与抛物线y=-13(x+3)2的下列说法错误的是()A.对称轴关于y轴对称B.图象关于y轴对称C.顶点关于y轴对称D.形状相同,开口方向相反1.D2.直线y=ax+b与抛物线y=a(x+b)2在同一坐标系中的图象应是()2.A对B,y=a(x+b)2中a>0,而y=ax+b中a<0,矛盾,故B错;对C,y=a(x+b)2中a<0,而y=ax+b 中a>0,矛盾,故C错;对D,y=a(x+b)2中a>0,而y=ax+b中a<0,矛盾,故D错,所以选A.3.已知函数y=x2的图象是抛物线,若抛物线不动,把y轴向右平移3个单位,那么在新坐标系中抛物线为()A.y=(x-3)2B.y=(x+3)2C.y=x2-3D.y=x2+33.B抛物线不动,把y轴向右平移3个单位,相当于y轴不动,抛物线y=x2向左平移3个单位,故所得抛物线为y=(x+3)2.4.根据函数y=2x2,y=2(x+1)2,y=2(x-1)2的图象回答下列问题:它们的对称轴分别为,,;顶点坐标分别是,,;函数y=2(x-1)2的图象是由函数y=2(x+1)2的图象经过得到的.4.y轴(或x=0)x=-1 x=1(0,0)(-1,0)(1,0)向右平移2个单位5.已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同,顶点与y=12(x-2)2的顶点相同.请写出这条抛物线所对应的函数表达式.5.解:由题意可知a=3,顶点坐标为(2,0),故所求抛物线对应的函数表达式为y=3(x-2)2.6.二次函数y=a(x-h)2的图象如图所示.已知,OA=OC,试求该抛物线所对应的函数表达式. a=126.解:∵OA=OC,二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标及A(0,h)是(h,0),∴点A的坐标是A(0,h).将a=12代入y=a(x-h)2中,∴h=1(0-h)2.2又h≠0,解得h=2,(x-2)2.∴y=127.(创新应用)已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.(1)求点A的坐标(用m表示);(2)求抛物线所对应的函数表达式.7.解:(1)由B(3,m)可知OC=3,BC=m.又△ABC为等腰直角三角形,∴AC=BC=m,OA=m-3.∴点A的坐标是(3-m,0).(2)∵∠ODA=∠OAD=45°,∴OD=OA=m-3,则点D的坐标是(0,m-3).又抛物线顶点为P(1,0),且过点B,D,∴可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-1)2,得a(3-1)2=m, a(0-1)2=m-3,解得a=1, m=4.∴抛物线对应的函数表达式为y=(x-1)2.。
1.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2的图象；2．掌握形如y ＝a (x －h )2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)3．理解二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质【类型一】 y ＝a (x －h )2的顶点坐标已知抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a ，h 的值．解：∵抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝－2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴a (－4＋2)2＝2.∴a ＝12.方法总结：二次函数y ＝a (x －h )2的顶点坐标为(h ，0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2图象的形状顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝－2，把a ＝－12，h ＝－2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C. 方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的增减性及最值对于二次函数y ＝9(x －1)2，下列结论正确的是( )A ．y 随x 的增大而增大B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＝－1时，y 有最小值0D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 解析：因为a ＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h ＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2图象的平移【类型一】 利用平移确定y ＝a (x －h )2的解析式抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．解析：y ＝ax 2向右平移3个单位后的关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a 的值．解：二次函数y ＝ax 2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把x ＝－1，y ＝4代入，得4＝a (－1－3)2，a ＝14，∴平移后二次函数关系式为y ＝14(x －3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 确定y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2的关系向左或向右平移函数y ＝－12x 2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，理由如下：设平移后的函数为y ＝－12(x －h )2，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9－h )2，所以h ＝－5或h ＝－13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y＝－12(x ＋13)2.即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点三：二次函数y ＝a (x －h )2与几何图形的综合把函数y ＝12x 2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点坐标，最后求△ABC 的面积．解：平移后的函数为y ＝12(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，OC ＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8. ∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)，∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝12×4×8－12×4×2＝12.方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计通过本节学习使学生认识到y ＝a (x －h )2的图象是由y ＝ax 2的图象左右平移得到的，初步认识到a ，h 对y ＝a (x －h )2位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a |决定抛物线开口的大小，h 决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想.。
21.2.3二次函数y=a(x+h)2 的图象和性质
-2
-3 -4
y 1(x1)2 2
-5
-6
-7
-8
2021/3/9
y 1(x1)2 2
-9 -10
y 1 x25
2
练习 在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1(x2)2
观察三条2抛物线的 2
y 1 (6x2)2 2
5
相互关系,并分别指 y 1 x 22 出它们的开口方向, 2
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减3
画出二次函数
y 12(x1、)2
y 1(x1)2 2
的图像,
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
解: 先列表 描点
讨论
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y1(x1)2 … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
2021/3/9
h<0
h>0
开口向上
h<0 h>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝−ｈ
(−ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减9
如何平移：
y 3(x1)2 4
y 3(x1)2 4
y 3(x3)2 4
y 3(x5)2 4
-5 -6 -7 -8 -9
x=－1-10
y 1(x1)42 2
讨论
抛物线 y 什么关系?
1(x1)2 与抛物线
2
y
1(x1)2 2
y
1 2
26.2.3 二次函数y=a(x-h)^2的图像和性质
26.2.3 二次函数2)(h x a y -=的图像和性质 学案数学学科组： 班级： 姓名：一、成功学习1.成功目标1.通过图象之间的关系，形象直观地认识二次函数二次函数2)(h x a y -=的性质 2．通过二次函数2)(h x a y -=的图象与二次函数2ax y =图象之间的关系，形象直观地认识二次函数的性质．重点：理解2)(h x a y -=类型函数的图象特点和性质．难点：灵活运用2)(h x a y -=类型函数的图象特点和性质去解决问题．2.成功自学（目标能否实现，方法最为关键）例：在同一直角坐标系中画出函数221x y =和2)2(21-=x y 的图象，比较它们的联系和区别解：列表，描点、连线画出图像观察根据所画出的图象，在下表中填出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 思 考这两个函数的图象之间有什么关系？概 括1.通过观察、分析，可以发现：函数2)2(21-=x y 与221x y =的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数2)2(21-=x y 的图象可以看作是将函数221x y =的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）． 2.可以由函数221x y =的性质，得到函数2)2(21-=x y 的性质： 当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．3.成功合作先核对答案，再小组讨论，相信在你们的共同的探讨交流下，每个同学都能很快学会，期待你们的表现！4.成功量学在同一直角坐标系中画出函数221-x y =和2)2(21--=x y 的图象，比较它们的联系和区别概 括1.通过观察、分析，可以发现：函数2)2(21--=x y 与221-x y =的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数2)2(21--=x y 的图象可以看作是将函数221-x y =的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）． 2.可以由函数221-x y =的性质，得到函数2)2(21--=x y 的性质： 当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．二、成功示学（勇敢展示，相信你是最棒的！） 三、成功测学（冲刺检测，相信我最棒！）（基础题）1. 抛物线2)1(2--=x y 的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
二次函数 y=a(x-h)2图象和性质
• 7.已知二次函数y=3(x-a)2的图 象上，当x>2时，y随x的增大 而增大，则a的取值范围是___.
...
y=-1/2(x+1)2
-2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5
...
y=-1/2(x-1)2 ...
-4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 ...
x= -1 x=1
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 2
y
1 2
x答2 ：形状相同，位置不同。
想 有什三一如么想个关何系：图？平三象条移抛之,物有间线什通么过平沿移x轴规平律?
二次函数
y=a(x-h)2 图象和性质
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点 增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
二次函数y=ax2+k的性质
D.y=(x+1)2
• 2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是( )
• A.第一、二象限 B.第二、四象限
• C.第三、四象限 D.第二、三象限
• 3.抛物线y=-2(x-1)2的顶点坐标和对称轴分 别是( )
• A.(-1，0)，直线x=-1 B.(1，0)，直线x=1 • C.(0，1)，直线x=-1 D.(0，1)，直x=1
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
21.2.3二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
1 2
0
1 2
9 2
2
25
8
···
2
y 1 (x 2)2 ··· 25 8
2
2
9 2
2
1 2
0
1
···
2
描点、连线，画出这三个函数的图象
y
6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o
1 2 34
y 1 (x 2)2 2
x
根据所画图象，填写下表：
抛物线开口方向源自y 1 x2 2y 1 (x 2)2 2
练习.把函数y＝ 1 x2的图象向右平移4个单位后，其顶
2
点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的
左边)，求△ABC的面积．
3.
4.将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数
解析式是
；将函数y=3（x－4）2的图
象沿y轴对折后得到的函数解析式是
；
例2.二次函数函数y＝a(x-h)2的图象的对称轴为=-2， 且过点（1，-3）
（1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当x取什么范围时，y随x的增大而增大？ （3）当x取何值时，函数有最大值（最小值）？ （4）怎样平移抛物线，可得到二次函数y=ax2的图象？
y 1 (x 2)2 2
向上 向上 向上
对称轴 y轴 x=-2 x=2
顶点坐标 (0,0) (-2,0) (2,0)
思考：上面三个抛物线图象有什么关系？
抛物线 y 1 x2，y 1 (x 2)2与抛物线 y 1 (x 2)2的关系
2
2
2
y
6
5 4
3 2 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第3课时y=a(x+h)^2的图像和性质
第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.【过程与方法】使学生经历探究二次函数y=a(x+h)2性质的过程,理解函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象,理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.【教学难点】理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.◇教学过程◇一、情境导入在青青草原上,慢羊羊在课堂上讲授有关二次函数的知识,只见他把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向平移1个单位长度.然后提出问题:平移后所得的四条抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何?二、合作探究探究点1二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系典例1抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式.[解析]抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y=a(x-3)2,.把x=-1,y=4代入,得4=a×(-1-3)2,解得a=14∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y=1(x-3)2.4).已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0),且过点A(-2,-12(1)求这个二次函数的表达式.(2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗?(3)你能通过左、右平移函数图象,使它过点B 吗?若能,请写出平移方案.[解析] (1)由已知可得y=a (x+1)2,又∵过点A (-2,-12),∴a=-12, ∴y=-12(x+1)2.(2)当x=2时,y=-12×(2+1)2=-92≠-2, ∴点B (2,-2)不在这个函数图象上.(3)能,因为左、右平移只改变m 的值,∴-2=-12(2+m )2,∴2+m=±2,∴m 1=0,m 2=-4,∴y=-12x 2或y=-12(x-4)2∴方案一:把y=-12(x+1)2向右平移1个单位;方案二:把y=-12(x+1)2向右平移5个单位.探究点2 函数y=a (x+h )2的图象特征典例2 在同一坐标系中画出二次函数y=2x 2,y=2x 2+1和y=2(x+1)2的图象,并回答下列问题:(1)它们的形状相同吗?(2)分别说出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.[解析] 画出函数的图象如图:(1)它们的形状相同;(2)函数y=2x 2的图象开口向上,顶点坐标为(0,0),对称轴是y 轴;函数y=2x 2+1的图象开口向上,顶点坐标为(0,1),对称轴是y 轴;函数y=2(x+1)2的图象开口向上,顶点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=-1.探究点3 函数y=a (x+h )2的增减性典例3 若二次函数y=-(x-m )2,当x>1时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是 .[解析] ∵y=-(x-m )2,∴二次函数对称轴为x=m ,开口向下,∴当x>m 时,y 随x 的增大而减小,∵当x>1时,y 随x 的增大而减小,∴m ≤1.≤1对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是()A.y随x的增大而增大B.当x>0时,y随x的增大而增大C.当x=-1时,y有最小值0D.当x>1时,y随x的增大而增大[答案] D三、板书设计二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学反思◇通过本节学习使学生认识到y=a(x+h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x+h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左、向右平移,从中领会数形结合的数学思想.。
九年级数学上册 21.2.3 二次函数的图象与性质课时练习 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年级
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质一、精心选一选1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝－2x2C.y＝(2x+1)2D.y＝(x－2)25﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)27﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.12.若抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.13.抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.14.二次函数y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）15.二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.16.抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.17.抛物线y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.三、解答题19.已知二次函数y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B B C D A C B B C1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.解答：抛物线y＝a(x－h)2（a≠0）顶点在x轴上，故D选项符合，故选：D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴解答：二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是直线x＝2，故选：B.3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.解答：∵抛物线y＝a(x－1)2的对称轴是x＝1，∴可排除D选项错误；当a＞0时，直线y＝ax+a经一、二、三象限，抛物线y＝a(x－1)2开口向上，故B选项符合要求，故选：B.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝(2x+1)2C.y＝－2x2D.y＝(x－2)2∴它与y＝－2x2的图象形状相同，解答：∵函数y＝2(x－2)2中a＝2，且2＝2故选：C.5﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）解答：A.该函数图象是轴对称图形，故A选项错误；B.抛物线 y＝－(x－2)2的开口向下，故B选项错误；C.对称轴是直线x＝2，故C选项错误；D.抛物线y＝－(x－2)2的最高点是（2，0），故D选项正确，故选：D.6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)2解答：二次函数y＝(x+2)2的对称轴为x＝－2，故选：A.7﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解答：二次函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为（0，0），二次函数y＝－2(x+3)2的图象的顶点坐标为（－3，0），所以平移的方法是向左平移3个单位，故选：C.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向，h决定抛物线的位置，故选：B.9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小解答：抛物线y＝5(x－1)2，其顶点坐标为（1，0），故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1，故B 符合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意；当x＜1时，y随x的增大而增减小，故D不符合题意，故选：B.10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧，则h＞0，故②正确；抛物线的开口向上，所以顶点是最低点，y有最小值，而顶点在x轴上，所以y的最小值是0，故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧，在左侧部分x＜－h时，y随x的增大而减小，－h ＜x＜0时，y随x的增大而增大，故④错误，故3个选项都是正确的，故选：C.二、细心填一填11.y＝(x+2)2； 12. 14，y＝14(x－3)2； 13. y＝－3(x－1)2；14. 上升； 15. （－1，0），0； 16. 向下，直线x＝5；17. 4； 18. 6.y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.解答：将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y＝(x+2)2，故答案为：y＝(x+2)2.y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.解答：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的解析式为y＝a(x－3)2，把（－1，4）代入y＝a(x－3)2得：4＝a(－1－3)2，解得：a＝14，故答案为：14，y＝14(x－3)2.y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.解答：抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为y＝－3(x－1)2，故答案为：y＝－3(x－1)2.y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）解答：∵a＝－2，∴抛物线开口向下，故在对称轴的左侧部分是上升的，故答案为：上升.y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.解答：二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为（－1，0），函数的最大值为0，故答案为：（－1，0），0.y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.解答：抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是向下，对称轴是直线x＝5，故答案为：向下，直线x＝5.y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.解答：∵当y＝0时，即49(x－3)2＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝12×3×4＝6，故答案为：6.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A 作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.解答：∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4），∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，∴B、C关于直线BD对称，∴BD＝DC＝2，∵顶点A到直线BC的距离最大，∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为：12DC×AD＝12×2×4＝4，故答案为：4.三、解答题y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？解答：（1）二次函数y＝－12(x－2)2的图象为：抛物线的开口向下、顶点坐标为（2，0），对称轴为直线x＝2；（2）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小.20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.解答：（1）∵抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，∴h＝－12，则y＝a(x－12)2，又∵抛物线y＝a(x－12)2的形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同，∴a＝－3，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－3(x－12 )；（2）∵当x＝0时，y＝－3(x－12)＝－3×(－12)＝32，∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，32）.y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.解答：（1）∵点A为抛物线y＝12(x－h)2的顶点，∴A（h，0），∴OA＝h，∵OA＝OB，且点B在y轴的正半轴上，∴OB＝h，∴B（0，h），把B（0，h）代入y＝12(x－h)2得：h＝12(0－h)2，解得：h1＝0（不合题意，舍去），h2＝2，∴该抛物线的函数关系式y＝12(x－2)2，（2）由（1）知：OA＝2，∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝12(x+2)2，故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝12(x+2)2.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（－2，0），B（0，－2），∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，∴h＝2，则y＝a(x+2)2，∵该抛物线经过点B（0，－2），∴a(0+2)2＝－2，解得：a＝－12，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－12(x+2)2，（2）∵点C（m，－92）在该抛物线y＝－12(x+2)2上，∴－12(m+2)2＝－92，解得：m1＝1，m2＝－5，即m的值为1或－5.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.解答：∵当x＝0时，y＝2(x+2)2＝8，∴A（0，8），由22(2)24y xy x⎧=+⎨=+⎩，得：112xy=-⎧⎨=⎩，2212xy=-⎧⎨=⎩，∴B（－2，0），C（－1，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，交y轴于点D，∴202k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得：24kb=⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，∴D（0，4），∴AD＝8－4＝4，∴S△ABC＝S△ABD－S△ACD＝12×4×2－12×4×1＝2.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.解答：（1）∵OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，∴A（1，0），B（1，1），由平称性质得：A1（2，0），B1（2，1），∵抛物线的顶点A（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，把B1（2，1）代入y＝a(x－1)2得：a＝1，∴以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式为y＝(x－1)2；（2）设直线OB的解析式为y＝kx，把B（1，1）代入得：k＝1，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，由2(1)y x y x =⎧⎨=-⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点C的坐标为（32-，32-），对于y ＝(x －1)2，当x ＝0时，y ＝1， ∴D （0，1）故C（32，32-），D （0，1）.。
沪教版九年级数学上册第21章课件：21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_1 _＞__y_2_＞__y_3___.
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向
y 2 x 32 向上
y 2 x 22
y 3 x 12
4
向上 向下
对称轴 直线x=3 直线x=2 直线x=1
2
···
－8
－4.5
－2
1 2
y
0
1 2
－2
···
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线 开口方向
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
对称轴 直线x=-1 直线x=0 直线x=1
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0)
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
与 y 1 (x 2)2 的图象．
2
解：先列表：
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x2 2
9 ··· 2
2
1 20
1 2
新沪科版九年级上册初中数学 21-2-3二次函数表达式的确定 教学课件
D
A.y=x2+2
B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)
和(-1,-6)两点，则a+c= -．2 3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其表达式
为 y=-7(x-3)2+4. .
(2)令y＝0，通过解该பைடு நூலகம்程来求二次函数的图象与x轴
的交点坐标．
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新课讲解
解：(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－4)，
∴设其表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵二次函数的图象经过点(0，－2)，
∴－2＝a－4，∴a＝2. ∴二次函数的表达式为y＝2(x－1)2－4. (2)令y＝0，则2(x－1)2－4＝0，
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；
第四步：写出函数解析式.
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新课讲解
例1 如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)， (2，7)三点，
试求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)
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当堂小练 4.已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式： (1) (1, 1),(0, 2),(1,1); (2) (1, 0),(3, 0),(1, 5). 解：（1）选用一般式求表达式：
（2）选用交点式求表达式：
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拓展与延伸
1.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其表
21.2)y=a(x+h)2的图象和性质
位置
开口方向 增减性 最值
当x=-h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=-h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
开口大小
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）2 y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数的图像和性质
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
上节复习
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
k<0
k>0
k<0
开口向下 开口向上 开口 ︱a︱越大，开口越小；︱a︱越小，开口越大 关于y轴对称 对称性 顶点
(0,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
X=-1
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
二次函数y=a(x+h)2的性质：
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x+h)2 (a>0) 抛物线
在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0..
y 3x 2
y 3x 1
2
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质1．已知二次函数y ＝(x －1)2，那么它的图象大致为( )2．抛物线y ＝12(x ＋3)2的顶点坐标是________________，对称轴是______________． 3．抛物线y ＝－3(x －1)2可由抛物线y ＝－3x 2向_____平移_____个单位得到．4．抛物线y ＝a (x ＋1)2经过点(－2，1)，则 a ＝____．5．抛物线y ＝－14x 2＋1，y ＝－14(x ＋1)2与抛物线y ＝－14(x 2＋1)的_______________________相同，_______不同． 6．求下列函数图象的顶点坐标、开口方向及对称轴．(1)y ＝2(x ＋1)2；(2)y ＝－4(x －5)2.7．抛物线y ＝(x －1)2与y 轴的交点坐标为( )A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)8．要得到抛物线y ＝13(x －4)2，可将抛物线y ＝13x 2( ) A ．向上平移4个单位 B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位 D ．向左平移4个单位9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数y ＝－13x 2的图象相同的抛物线是( ) A ．y ＝13(x －5)2 B ．y ＝－13x 2－5C ．y ＝－13(x ＋5)2D ．y ＝13(x ＋5)2 10．抛物线y ＝(x ＋2)2 关于x 轴对称的抛物线的解析式是________________________ .11．请你写出函数y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2＋1 具有的一个共同性质：____________．12．把抛物线y ＝(x －2)2向左平移4个单位所得抛物线的解析式是_____________．13．抛物线y ＝x 2－6x ＋9的顶点坐标是__________，对称轴是__________．14．试分别说明将抛物线：(1)y ＝(x ＋1)2；(2)y ＝(x －1)2；(3)y ＝x 2＋1；(4)y ＝x 2－1的图象通过怎样的平移得到y ＝x 2的图象．15．若抛物线y ＝2(x －m )m 2－4m －3的顶点在x 轴正半轴上，则m 的值为( )A ．m ＝5B ．m ＝－1C ．m ＝5或m ＝－1D ．m ＝－516．求符合下列条件的抛物线y ＝a (x －1)2 的函数关系式．(1)通过点(3，8)；(2)与 y ＝12x 2的开口大小相同，方向相反．17．已知抛物线y ＝a (x －h )2向右平移3个单位后得到的抛物线是y ＝2(x ＋1)2，求a ，h 的值．18．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是二次函数，且函数图象有最高点．(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴．。
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
1、画出下列函数图象，并说出抛物 线的开口方向、对称轴、顶点，最大 值或最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2
y= −2（x+3）2
y= −2（x-2）2 y= 3（x+1）2
2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=h;
y
x
(2)顶点是(h,0).
（3）抛物线y=a(x－h)2可 以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到.
h>0，向右平移; h<0，向左平移
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
h>0
h<0
h>0
h<0
开口向上
开口向下
-8
-9 -10
y 1 x2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
y
1
21.2.3二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
＜0时，向右平移。
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自学检测： y=2(x+1)2
y y=2x2 y=2(x-1)2
图象向左移还
是向右移,移 多少个单位长 度,有什么规
－1 o
x
律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=a(x+h）2 (a≠0)的图象 形状 相同，只是位置不同；当h>0时，函数y=a(x+h） 2的图象可由y=ax2的图象向 平移 左个单位得h 到，
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本节课学习了什么内容？
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当x
时,y随x的增大而增大;
当x
时,y随x的增大而减小.
(2)将二次函数y=-3(x-2)2的图像向左
平移3个单位后得到函数
的
图像,其顶点坐标是
,对称轴
是 ,当x= 时,y有最 值,
是
.
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11
(3)把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单
位后得到抛物线y=-3(x-h)2的图象,
则a= ,h= .
f ( x ) x 2 =
2
-5
o
x5
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6
-2
思考与探索：
思考y=x2 ,y=(x-1)2， y=(x+1)2这三个图象有什么异 同点?
y y=x2 a 1 = y. =(x0 +1)2 04
y=(x-1)2
f ( x ) x 2 =
2
规律小结： -5 o
x
5
由图象可知，抛物线y=a(x+- h)2 2与y=ax2的形状、 开口大小和开口方向相同，只是图象位置不同， 抛物线y=a(x+h)2可由抛物线- y4 =ax2沿x轴方向平
123 第三课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
－4 －3 －2 －1
1234
检测： 画函数 y 时，抛物线y=a(x+h)2有最大值，此 抛物线经过点（4，-2）. （1）求此抛物线的解析式。 （2）当x为何值时，y随x的增大而减小。 2、若抛物线y=a（x-h）²的顶点是（-3,0），
检测： 1、抛物线
y 1 (x 5)2
不经过的象限是
第 一、二 象限 2
2、抛物线y=3(x-1)2与y=-3x2( D ) A、开口方向相同 B、对称轴相同
C、顶点相同
D、开口大小相同
3、点A（-1，-8）在抛物线 y 1 (x 3)2 上， 2
点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则B点的坐标
函数 y a(x h)2的图像是抛物线，它的对称
轴是直线 x h，它的顶点坐标是（h,0）.
当a＞0时,抛物线的开口向上； 当a＜0时,抛物线的开口向下。
例题1： 说出下列二次函数的图象的顶点坐标和对称轴：
(1) y 1 ( x 5)2 3
(2) y 1 (x 1)2 2 2
1.3 二次函数的图像与性质
第3课时 二次函数 y a(x h)2的图象与性质
湘教版 九年级下册
新课导入
把二次函数 y 1 x2 的图象E向左平移1个单位，
2
得到图形F，如图.
－3 －2 －1O'
5
FE
4
3
2 1
1234
由于平移不改变图形的形状和大小，
因此在向左平移1个单位后；
原象
抛物线E: y 1 x2
的图象，
这样我们证明了：函数 y 1 (x 1)2 的图象 2
是抛物线F,它的顶点是O′（－1，0），它的对称轴是过
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-2
5
自学指导：
自学课本P13的问题2，完成相应的表格并用描点 法作出函数的图象（限时10分钟）
观察并思考：
3、当x分别取何值时，函数y=x2、 y=(x-1)2 和 y=(x+1)2取得最小值？最小值分别是多少？
a 1 = y. =(x0 +1)2 0 4 y y=x2y=(x-1)2
轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶
点是M,则SΔMAB=
.
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基础练习：
5.将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解
析式是 y=－3（x－4）；2 将函数y=3（x－4）2的图象
沿y轴对折后得到的函数解析式是
y=3（x+4）；2
6.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物 线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若抛 物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物 线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 .
当a<0时,抛物线y=a(x+h)2的开口向下 ，对称 轴是 x=-h，顶点坐标是(-h,0，) 在对称轴的左侧，y随x 的增大而增大 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= -h时，取得最 大 值，这个值等于 0 。
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自学检测 二次函数y=a(x+h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
2
-5
o
x 5
-2
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4
-4
自学指导：
自学课本P13的问题2，完成相应的表格并用描点 法作出函数的图象（限时10分钟）
观察并思考：
2、对于同一个y值，这三个函数对应的x值之 间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有 什么关系？
a 1 = y. =(x0 +1)2 0 4 y y=x2y=(x-1)2
当h〈0时，函数y=a(x+h)2的图象可由y=ax2的图象
向 平移 个单右位得到|h。|
左加右减
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自学检测
当a>0时，抛物线y=a(x+h)2的开口向上，对称轴 是 x=-h，顶点坐标是 (-h,，0) 在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= -0h 时，取得最小 值，这个值等于 0 ；
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表：
yaxh2
抛物线
y=a(x+h)2 (a>0)
y=a(x+h)2 (a<0)
顶点坐标
（-h，0）
（-h，0）
对称轴
直线x= -h
直线x= -h
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性
最值
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开口大小
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
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自学指导：
自学课本P14的问题2，完成相应的表格并用描点 法作出函数的图象（限时10分钟）
观察并思考：
1、观察函数y=x2、y=(x+1)2的图象，它们的开 口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？
a 1 = y. =(x0 +1)2 0 4 y y=x2y=(x-1)2
f ( x ) x 2 =
7. 将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象.
8.函数y=（3x+6）2的图象是由函数 y=9（x－3）2 的 图 象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 上，对称
轴是 直线x=－2，顶点坐标是 y随x的增大而增大，当x= －2
时,y随x的增大而减小.
(2)将二次函数y=-3(x-2)2的图像向左
平移3个单位后得到函数
的
图像,其顶点坐标是
,对称轴
是 ,当x= 时,y有最 值,
是
.
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(3)把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单
位后得到抛物线y=-3(x-h)2的图象,
则a= ,h= .
若抛物线y=a(x-4)2的顶点A,且与y
当x=-h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=-h时,最大值为0.
10
a 越小,开口越大.
(1)将二次函数y=2x2的图像向右平移3
个单位后得到函数
的图
像,其对称轴是 ,顶点是 ,
当x
时,y随x的增大而增大;
当x
谢 谢！
让我们共同进步
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f ( x ) x 2 =
2
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x5
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思考与探索：
思考y=x2 ,y=(x-1)2， y=(x+1)2这三个图象有什么异 同点?
y y=x2 a 1 = y. =(x0 +1)2 0 4
y=(x-1)2
f ( x ) x 2 =
2
规律小结： -5 o
x
5
由图象可知，抛物线y=a(x- +h)2 2与y=ax2的形状、 开口大小和开口方向相同，只是图象位置不同， 抛物线y=a(x+h)2可由抛物线- y4 =ax2沿x轴方向平 移 h 个单位得到，当h＞0时，向左平移，当h ＜0时，向右平移。
21.2.3二次函数y=a(x+h)2 的图像与性质
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本节课学习目标
• 1.掌握二次函数y=a(x+h)2 的图像与性质， 理解二次函数图像的左右平移。
自学内容： 课本14页
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在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象
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自学检测： y=2(x+1)2
y y=2x2 y=2(x-1)2
图象向左移还
是向右移,移 多少个单位长 度,有什么规
－1 o
x
律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=a(x+h）2 (a≠0)的图象 形状 相同，只是位置不同；当h>0时，函数y=a(x+h） 2的图象可由y=ax2的图象向 平移 左个单位得h 到，
（－2，，0）当x 时，y有最 小
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＞－2 值是
时， 103 .
基础练习：
9、顶点(－2,0)，开口方向、形状与函 数y=2x2的图象相同的抛物线所对应的 函数是______
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本节课学习了什么内容？
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放映结束 感谢各位的批评指导！