四川省资阳市2020届高三第二次诊断考试试题理(数学)

绝密★启用前
数学
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝
A.{－1，1，2}
B.{1，2}
C.{1，2，4}
D.{0，1，2，4}
2.已知i为虚数单位，复数z＝(1＋i)(2＋i)，则其共扼复数z=
A.1＋3i
B.1－3i
C.－1＋3i
D.－1－3i
3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(
44
sin,cos
33
ππ
)，则cos(π＋α)＝
A.
3
2
B.
1
2
C.
1
2
- D.
3
2
-
4.已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|＝3|OB|(O为坐标原点)，则该椭
圆的离心率为
A.23
B.
6
C.
2
D.
3
5.函数
2
()
1
x
x
f x
e
=
-
的图象大致是
6.执行如图所示的程序框图，若输入x的值分别为－2，1
9
，输出y的值分别为a，b，则a＋b＝
A.－4
B.－2
C.74-
D.14
7.如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，13
AE AC =u u u r u u u r
，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ＋µ＝
A.56-
B.16-
C.16
D.56
8.圆x 2
＋y 2
＋2x －2y －2＝0上到直线l ：x ＋y ＋2＝0的距离为l 的点共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。

分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。

如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形。

若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为 A.
928 B.1928 C.2764 D.3764
10.关于函数()3sin(2)1()3f x x x R π
=-
+∈，有下述四个结论：①若f(x 1)＝f(x 2)＝1，则x 1－x 2＝k π(k
∈Z)；②y ＝f(x)的图象关于点(2,13π)对称；③函数y ＝f(x)在(0,2
π
)上单调递增；④y ＝f(x)的图象向右平移
12
π
个单位长度后所得图象关于y 轴对称。

其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.①② C.③④ D.②④
11.四面体P －ABC 的四个顶点坐标为P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(0，23，0)，C(3，3，0)，则该四面体外接球的体积为 A.
323
π
B.2053π
C.20π
D.6423π 12.已知直线y ＝2x 与曲线f(x)＝ln(ax ＋b)相切，则ab 的最大值为 A.
4e B.2
e
C.e
D.2e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)。

若底面圆的弦AB 所对的圆心角为
3
π
，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为 。

14.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球球单打决赛。

假设甲每局获胜的概率为
2
3
，则由此估计甲获得冠军的概率为 。

15.已知函数f(x)＝e |x|
＋x 2
－e ，则满足不等式f(m －2)≤1的m 取值范围是 。

16.某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售。

现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元。

若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为 元。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

(－)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为a 1，且4，a n ，S n 成等差数列。

(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a n 2
＝2n b
，求数列{b n }的前n 项和T n 。

18.(本小题满分12分)
在△
ABC中，角A，B，C所又寸的边分a，b，c，且
1
cos
2
a C c b
+=。

(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，求b＋c的最大值。

19.(本小题满分12分)
已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关。

现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如下所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程y＝e bx＋a来拟合，令z＝lny，结合样本数据可知z与温度x可用线性回归方程来拟合。

根据收集到的数据，计算得到如下值：
表中
7
1
1
ln,
7
i i i
i
z y z z
=
==∑。

(1)求z和温度x的回归方程(回归系数结果精确到0.001)；
(2)求产卵数y关于温度x的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26℃～36℃之间(包括26℃与36℃)，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围。

(参考数据：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568。

) 附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，v n)，其回归直线ˆ
ˆ
ˆvαβω
=+的斜率和截距的最小二
乘估计分别为1
2
1
()()
ˆˆ
ˆ,
()
n
i i
i
n
i
i
v v
a v
ωω
ββω
ωω
=
=
--
==-
-
∑
∑。

20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含B)。

(1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)求二面角B－AF－E的余弦值的取值范围。

21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xe x－alnx－ax＋a－e。

(1)若f(x)为单调函数，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)仅一个零点，求a的取值范围。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4，坐标系与参数方程](本小题满分10分)
已知曲线C的参数方程为
2cos
sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
，(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)P，Q是曲线C上两点，若OP⊥OQ，求
22
22
OP OQ
OP OQ
⋅
+
的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3。

(1)求2121a b +++最大值； (2)若不等式|x ＋2m|－|x －1|≤14
a b
+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围。