二元函数极限求法中一种误解的说明[1]
(整理)二元函数极限的求法.
二元函数极限的求法数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明.2.二元函数极限的定义定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =.有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即}|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面.知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多元函数极限的定义.定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε,0>∃δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→.定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当0δ<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限。
二元函数求极限的定义与基本性质
二元函数求极限的定义与基本性质在数学中，二元函数是指依赖于两个变量的函数。
求解二元函数的极限是研究其变化趋势和性质的重要手段之一。
本文将介绍二元函数求极限的定义，并探讨一些基本的性质。
一、二元函数求极限的定义对于给定的二元函数 f(x, y)，当自变量 (x, y) 的取值趋近于某个点(a, b) 时，如果函数值 f(x, y) 的极限存在且唯一，那么我们称该函数在点 (a, b) 处有极限，记作：lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中 L 为极限值。
二、二元函数极限的性质1. 唯一性：二元函数的极限值在同一点处只能有唯一的取值。
2. 有界性：如果函数在某点 (a, b) 处有极限，那么它在该点周围的某个邻域内是有界的。
3. 保号性：如果函数在某点 (a, b) 处的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的某个领域内，函数的取值也大于零（或小于零）。
4. 极限的四则运算性质：设二元函数 f(x, y) 和 g(x, y) 在点 (a, b) 处有极限，则它们的和、差、乘积以及商（当g(x, y) ≠ 0）仍在该点处有极限，并且有以下运算公式：lim_(x,y)→(a,b) (f+g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) + lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f-g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) - lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f*g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f/g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) / lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)5. 极限的复合性质：设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处有极限 L，函数 g(u) 在点 L 处有极限 M，则复合函数 g(f(x, y)) 在点 (a, b) 处也有极限 M。
二元函数求极限的定义与性质
二元函数求极限的定义与性质在数学中，二元函数是指依赖于两个自变量的函数。
求二元函数的极限是数学分析中的一个重要概念，用于计算函数在某一点的趋近性。
本文将探讨二元函数求极限的定义及其性质，并进一步讨论其在实际问题中的应用。
定义设函数f(x,y)定义在点P(x0,y0)的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当点(x,y)满足0 < √((x-x0)² + (y-y0)²) < δ时，总有|f(x,y) - A| < ε成立，那么称A是函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的极限，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y) = A。
性质1.函数极限存在的唯一性：如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极限，那么该极限必定唯一。
2.函数极限的局部结构：函数极限的存在与否与函数在点(x0,y0)处的局部结构有关，例如，如果函数在点(x0,y0)的某个去心邻域内有界，那么函数在该点处必定存在极限。
3.函数极限与路径无关：对于二元函数而言，极限的求取与路径无关，只依赖于点P(x0,y0)附近的情况。
也就是说，如果沿着不同路径趋向于点P(x0,y0)，得到的极限值相同，那么函数在该点处的极限存在。
应用1.二元函数的极限在微积分中有广泛的应用。
例如，在求取二元函数的导数时，常常需要首先求取其极限。
2.二元函数的极限能够帮助我们研究函数在特定点的性质，例如函数的连续性、可导性等。
3.在实际问题中，二元函数的极限也有重要的应用，比如物理学中的质点运动轨迹的研究，经济学中的边际效应分析等。
总结二元函数求极限是数学分析中的重要概念，通过函数在点附近的趋近性，我们可以推导出函数局部的性质和行为。
函数极限的存在与否是判断函数在特定点连续性、可导性等的关键要素。
同时，函数极限的性质也可以帮助我们解决实际问题中的一些复杂情况。
因此，对于二元函数求极限的定义与性质的理解具有重要的意义，为进一步研究和应用数学分析提供了基础。
二元函数求极限的通用方法与技巧
二元函数求极限的通用方法与技巧在数学中，我们经常会遇到二元函数求极限的问题。
二元函数是指含有两个自变量的函数，而求极限则是要求在某个点上函数的值趋于无穷或趋于某个确定的值。
本文将介绍二元函数求极限的通用方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、基本性质首先，我们需要了解二元函数求极限的基本性质。
对于二元函数f(x, y)，如果在点P(a, b)的某个邻域内，f(x, y)的值趋于L，则称L为f(x, y)在点P(a, b)处的极限，记作lim[f(x, y)] = L, (x, y)→(a, b)。
二、分别求限法对于一些特殊的二元函数，我们可以通过将其中一个自变量固定，然后求另一个自变量趋于某个确定的常数，从而得到二元函数的极限。
1. 水平线法对于形如f(x, y) = F(x)的二元函数，我们可以先将其中一个变量固定，对另一个变量求极限。
例如，对于f(x, y) = x^2 + y，我们可以将y固定为某个常数c，然后对x进行求极限，即求lim[x^2 + c]。
通过求解这个一元函数的极限，我们可以得到f(x, y)的极限。
2. 垂直线法类似的，当二元函数f(x, y)中含有一个x和一个y的系数，且此系数仅与其中一个变量相关时，我们可以先固定一个自变量，再对另一个自变量进行求极限。
例如，对于f(x, y) = (x^2 + 2xy)/(3x)，我们可以将x固定为某个常数c，然后对y进行求极限，即求lim[(c^2 +2cy)/(3c)]。
三、使用一元函数的性质除了分别求限法外，我们还可以使用一元函数的性质来求解二元函数的极限。
1. 夹逼定理对于形如g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y)的二元函数，如果lim[g(x, y)] =lim[h(x, y)] = L，那么我们可以推断lim[f(x, y)] = L。
2. 代数运算法则对于一组二元函数f(x, y)和g(x, y)，如果lim[f(x, y)] = L1，lim[g(x, y)] = L2，则我们可以利用代数运算法则求解f(x, y)和g(x, y)的和、差、乘积和商的极限。
二元函数极限的求法
方法与技巧二元函数极限的求法X冯英杰1 李丽霞2 (1河北化工医药职业技术学院 河北石家庄 0500312河北科技大学应用数学系 河北石家庄 050018)函数的极限是高等数学中非常重要的内容,关于一元函数的极限及其求法,各种教材中都有详尽的说明。
二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。
例如,在极限运算法则上,它们是一致的,但随着变量个数的增加,二元函数极限比一元函数极限变得复杂得多,但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详细,使初学者感到不便掌握。
为此,我们就有关问题讨论如下。
一 二元函数的极限定义 设函数f(x,y)在区域D内有定义,P0(x0,y0)是D的内点,如果对于任意给定的正数E,总存在正数D,使得对于D内且适合不等式0<ûP0Pû=(x-x0)2+(y-y0)2<D的一切点P(x,y),都有ûf(x,y)-Aû<E成立,则称常数A为函数f(x,y)当x→x0,y→y0的(二重)极限,记作limx→xy→yf(x,y)=A或f(x,y)→A (x→x0,y→y0)注 二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时,函数都无限接近于A,因此,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线趋于P0(x0,y0)时,即使函数无限接近于某一确定值,还不能由此断定函数的极限存在,但如果当P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时,函数趋于不同的值,则可断定这函数当x→x0,y→y0时极限不存在。
二 二元函数极限的求法(一) 利用连续性求函数的极限设y=f(x,y)为二元初等函数,P0(x0,y0)是其定义区域内的点,则有limx→xy→yf(x,y)=f(x0,y0)例1 求limx→0y→0e x y-cos y 1+x+y解 f(x,y)=e xy-cos y1+x+y为初等函数,(0,0)是其定义区域内的点,故原式=f(0,0)=0(二) E-D法例2 讨论f(x,y)=x3yx2+y2在(0,0)点的极限解 (1)可先令y=mx,考虑f(x,y)沿此直线趋于(0,0)时的极限lim x→0 y=mx f(x,y)=limx→0mx4x2(1+m2)=limx→0x2m1+m2=032 高等数学研究S TU DIES IN COLLEGE M ATHE M AT ICS V ol.6,N o.1M ar.,2003X收稿日期:2002-10-08 注意:因为此路径为特殊路径,故不能据此说明limx→0y→0x3yx2+y2=0(2) 再用定义判定0即为其极限.对任给的E>0,取D=2E,当0<(x-0)2+(y-0)2<D 时有x2≤x2+y2<2E。
二元函数求极限的方法总结
二元函数求极限的方法总结二元函数求极限是微积分中的重要内容之一，它涉及到对两个变量同时进行极限运算。
在实际应用中，二元函数求极限的方法有多种。
下面将对常用的方法进行总结和拓展。
一、直接代入法：当二元函数在某一点的极限存在且可以直接代入，即函数在该点连续时，可以直接将函数值代入，得到极限值。
二、分别求极限法：当二元函数在某一点的极限不存在或者无法直接代入时，可以分别对两个变量进行极限运算。
即先对其中一个变量进行极限运算，然后再对另一个变量进行极限运算。
通过这种方法，可以得到二元函数在某一点的极限值。
三、路径法：路径法是一种常用的求二元函数极限的方法。
其基本思想是通过选择不同的路径，对二元函数在该路径上的极限进行求解。
如果在所有路径上的极限都存在且相等，则该极限即为二元函数在该点的极限。
常用的路径包括x轴，y轴，直线y=kx，抛物线y=x^2等。
通过选择不同的路径进行计算，可以帮助我们判断二元函数在某一点的极限是否存在。
四、夹逼定理：夹逼定理也适用于二元函数的极限求解。
当我们希望求二元函数在某一点的极限时，可以找到两个函数，一个函数上界大于该二元函数，一个函数下界小于该二元函数，并且两个函数在该点的极限相等。
利用夹逼定理可以得到二元函数在该点的极限值。
五、极限存在的条件：当我们希望判断二元函数在某一点的极限是否存在时，可以利用一些条件来进行判断。
常见的条件包括函数连续性、函数的有界性、函数的单调性等。
通过分析这些条件，可以得到二元函数在某一点的极限是否存在的结论。
总之，二元函数求极限的方法有多种，我们可以根据具体情况选择适当的方法。
通过深入理解这些方法，我们可以更好地进行二元函数的极限运算，并应用于实际问题中。
重庆文理学院学报(自然科学版)2007年(第26卷)总目次
邓 于， 张家伟 ， 吴
强（ １—０ ５ ３）
泥浆沥清过程熵增物理机 制研 究… … 田小平（ １—０ ６ ５） 高斯束谐振系统对遗迹 高频 引力 波方向的选择效 应 …
… … … … … … …
罗 万 成 （ 一ｏ ４ ４ ｏ）
带斯塔克势的非线性 Ｓｈ￣ ｉｇｒ ｃ ｒ ｎｅ 方程解 的不稳定性 ｄ
… … … … … … … … … …
集值映射 的广义梯度 与弱有效解 ………………………
… … … … … … …
朱志勇 ， 董恩梅 （ ０ ５ １ ２）
阳南宁， 付守贵 ， 赵桂 芝（ —０ ９ ６ ０） 孙亚 弟， 薛会琴 ， 马国顺 （ —０ ２ ６ １）
及 万 会 ， 宝骊 （ 一Ｏ ７ 黑 ６ １）
… … … … … … … … … …
孙 慧 玲 ， 秀梅 （ —０ ８ 何 ５ １）
Ｇ ｅｎ ｒ 公式及其证 明 ｅ
……… 李
玲， 胡学刚（ —０ ０ ５ ４ ）
廖 正琦 ， 贺清碧 （ １—０ １ ０）
毛 一 波 （ —０ ９ １ １）
正余弦 函数 的麦克劳林级数 的一种 简易推导法
… … … … … … … … … … … … … …
二元 函数极限求法 中一种误解 的说 明 …………………
… … … … … … … … … … 一 … … … ・
王 海 萍 （ —０ １ １ ２）
赵 清贵 （ —０ ６ ６ ０）
一
种计算 Ｃ ｎ ｒ 分集 盒维数的有效方法 ａｔ 三 ｏ
… … … … … … … … … … … … … …
候青 霞， 张德生 ， 武新 乾 ， （ 等 ６—０ １ ４ ）
关于二元函数极限定义的教学探讨
关于二元函数极限定义的教学探讨第一篇：关于二元函数极限定义的教学探讨关于二元函数极限定义的教学探讨【摘要】本文对二重极限的两种不同定义进行了比较，指出了二重极限与二次极限的异同，并通过具体的例子加深理解.【关键词】二重极限；二次极限；定义二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的，是一元函数极限概念的推广.因而二元函数的极限比一元函数极限更抽象，要求更高，从而更难理解.初学者很容易犯一些概念性的错误，因此加强对二元函数的极限概念的教学和理解显得尤为重要.1.二重极限的定义现行教材中，对于二重极限有两种定义方法：并且两种顺序的二次极限中的里层极限都存在，则两种顺序的二次极限都存在，且与二重极限的值相等.【参考文献】[1]同济大学数学系.高等数学（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1996.[2]同济大学数学系.高等数学（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.第二篇：二元函数的极限§2 二元函数的极限(一)教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．(三)教学建议：(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限： limf(x)=A 的“ε-δ” 定义(c31)：x→x00设函数f(x)在x0的某一空心邻域U(x0,δ1)内由定义，如果对∀ε>0,当 x∈U(x0,δ)，即 |x-x0|<δ时，都有 |f(x)-A|<ε，∃δ>0,δ≤δ1，则称x→x0时，函数f(x)的极限是A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数f(x,y)为定义在D⊂R2上的二元函数，在点P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对∀ε>0,∃δ>0，使得当P(x,y)∈U(P0,δ)I D 时，0都有 |f(P)-A|<ε，则称f在D上当 P→P0时，以A为极限。
关于二元函数极限的求法的探讨
关于二元函数极限的求法的探讨作者：马晨来源：《活力》2013年第21期[关键词] 二元函数；函数的极限；洛必达法则；连续性二元函数极限的定义：设f为定义DR2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数。
若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈U0（P0；δ）∩D时，都有|f（P）-A当P，P0分别用坐标（x，y），（x0，y0）表示时，上式也常写作。
1 二元函数极限不存在的判别法1.1二重极限存在是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，函数都无限接近于A，因此，如果P（x，y）以某一特殊方式例如沿着一条直线趋于P0（x0，y0）时，即使函数无限接近于某一确定值，还不能由此断定函数极限的存在，但如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，函数值趋于不同的值，则可断定这个函数当x→x0，y→y0时极限不存在。
解：当动点（x，y）沿着直线y=mx而趋于定点（0，0）时，由于此时，因而有，这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不相等，因此所讨论的极限不存在。
1.2二重极限与累次极限没有必然的联系。
由定理知若累次极限与二重极限都存在时则三者必相等。
由此可推出若累次极限都存在但不相等时二重极限必不存在解：，两个累次极限存在但不相等所以二重极限不存在。
2 二元函数极限的计算方法2.1利用二元函数极限的定义求解2.2利用极限的四则运算法则求解二元函数与一元函数有着类似的运算法则，利用函数极限的迫敛性与四则运算的混合我们就可以将一些复杂的函数极限计算问题转化成简单的函数极限运算，下面我们举一个二元函数求极限过程中运用到四则运算法则的例子。
2.3将二元极限化为一元极限的求法依据函数f（x，y）的特殊类型，利用两个变量x，y的和x+y=t，平方和x2+y2=t及乘积xy=t等做变换，将二元函数f（x+y）求极限的问题，整体或部分转化为一元函数求极限的问题。
（1）当x→∞，y→a（a≠0常数）时，二元函数f（x，y）的极限做变换xy=t，相应的有t→∞，利用已知一元函数的极限公式再继续计算。
二元函数极限求法中的常见错误分析
二元函数极限求法中的常见错误分析作者：赵娜来源：《价值工程》2016年第19期摘要：二重极限是高等数学中的一个重要内容，对于初学者来说，由于二元函数的变量有两个，求二元函数的极限存在一定的困难和误区。
本文给出了几个常见的错误解法并给出了正确的求法。
Abstract： The double limit is an important branch of advanced mathematics. Because there are two variables， the beginners may be faced with some difficulties and mistakes when they seek the limit existence of binary function. This paper lists several wrong solutions and provides the right ones.关键词：二重极限；定义域；常见错误Key words： double limit；field of definition；common error中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）19-0228-020 引言高等数学中，关于多元函数的极限问题，我们主要讨论了二元函数的极限。
二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的，但与一元函数极限又有着本质上的差异，其概念更抽象，更难理解，初学者很容易犯一些概念性的错误，因此，在教学过程中需要加强学生对二元函数极限概念的理解。
1 二重极限的定义定义[1]：设二元函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点。
如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P（x，y）∈D∩■（P0，δ）时，都有f （P）-A=f（x，y）-A注意：所谓二重极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0（x0，y0）时，函数都趋于同一常数A。
浅谈二元函数极限运算的计算方法
浅谈二元函数极限运算的计算方法
湖南农业大学东方科技学院 张 孟 吴常虹
摘 要：二元函数的极限是从一元函数的极限的概念推广而来，两者既有联系又有区别，本文总结了二元函数极限 计算的一些常见方法。
关键词：极限 换元 夹逼准则
文章编号：ＩＳＳＮ２０９５－６７１１／Ｚ０１－２０１７－０１－０１８０
，0 ≤
x2 y 2 x4 + y 2
3Hale Waihona Puke ≤x2 y 2 2x2 y
3
1 = y 2
3
x2 y 2 1 因为 lim y = 0 ， 由夹逼定理 lim 4 2 = 0 x →0 x + y x →0 2 y →0 y →0
在这个题目中利用基本不等式对分母进行放缩，从而达到 对整体的放大。 三、利用恒等变形求二重极限 在求二元函数的极限时，最常见的恒等变形有分子或分母 的有理化。 例： lim x →0 3 − xy + 9 y →0 和一元函数一样，遇到无理式时，有理化的过程是不可缺 少的
函数的极限是高等数学中的重要内容，二元函数的极限是 从一元函数的极限的概念推广而来，两者既有联系又有区别， 二元函数极限的计算方法很多可以借助于一元函数的极限的计 算方法来求解，然而目前大多数教材对二元函数的极限的计算 方法没有深入地介绍，学生在讨论二元函数的连续、可微性时 经常会涉及到二元函数的极限运算，往往会有很多的困惑，因 此本文总结了二元函数极限运算的几种常见方法，以供大家参 考。 一、利用换元思想将二重极限化为一元函数的极限 例： lim x + y − sin x + y
y →0
四、利用两个重要的极限公式求二重极限 例： lim x →0
二元函数极限求法中一种误解的说明
二元函数极限求法中一种误解的说明
在求解函数极限的问题时，我们经常会被这样的误解所困扰：只要是涉及极限的问题，就必须用二元函数的极限求法来解答。
这种误解导致了很多二元函数极限求法都是毫无[]意义的，徒劳无功。
二元函数极限求法是一种以函数极限形式求解，它假设至少有两个自变量可以构成一个函数，即函数有两个元素，自变量和响应量。
所以，以二元函数极限求法来解决极限问题时，必须要有两个自变量存在。
而在一些问题中，函数只有一个自变量，两个变量的值是无关的，这时使用二元函数极限求法将不会得到正确的结果。
此外，二元函数极限求法不能用来估算函数值，在求解衍生函数极限的问题时，如果只用二元函数极限求法，很可能无法得到正确的结果。
另外，在解决分叉的函数的极限问题时，如果我们只借助二元函数极限求法，就不能正确估算函数极限。
分叉函数中有两个不同的极限取值，而二元函数极限求法只能得出一个结果，所以不能正确衡量分叉函数的极限。
因此，二元函数极限求法并不总能正确反映函数极限，只有当问题中有两个自变量，并且不存在叶变量时，二元函数极限求法才能准确计算出函数的极限值。
二元函数极限的求法
二元函数极限的求法
二元函数极限是一个有用的概念，它可以帮助我们讨论函数的行
为和图像的性质，同时也是很多函数中的重要部分。
学习如何求二元
函数极限可以帮助我们了解函数的行为，从而使我们更好地理解函数
的意义。
求二元函数极限的一般方法是使用切线定理。
通过切线定理，我
们可以将一个函数的行为拆分为两个单独的函数：函数本身和其切线。
通过这种拆分，我们可以使用函数本身和它的切线来求得极限。
必须找到一组合适的切线。
有时候，它只需要简单地向某个方向
切开即可，有时候可能需要尝试多个方向，但总的来说，重点是找到
可以处理的切线以及它们的slope。
然后，我们可以使用偏导数的方法来确定极限的起始点。
使用偏导数，我们可以从一个函数中寻找出对
第二个函数的影响，从而找到两个函数之间的极限。
我们可以开始求函数本身的极限。
有时，我们可以使用数学公式，例如牛顿-拉弗森方程或梯形公式来直接估算函数的极限。
而在其他情
况下，我们可能需要结合该函数本身的性质，使用查表、图像解释或
是向上、向下导数等技术，来找出函数的极限。
可以使用解析方法，将上面提到的函数极限与切线函数的极限进
行比较，以找出二元函数极限的最终结果。
如果两个函数均不存在极限，则二元函数也不存在极限。
如果两者有极限存在，则最后的极限
将是两者极限的最小值。
因此，利用切线定理和数学公式，我们可以求出二元函数极限，
并以此来更全面地理解函数的行为。
二元函数极限的求法
二元函数极限的求法二元函数极限是数学中一个重要的概念，它研究二元函数在某个点处的极限值。
它不仅在函数中被广泛应用，而且在微积分学中也有重要的作用。
因此，了解二元函数极限的求法尤为重要。
一般而言，二元函数极限的求法一般是通过分析函数在某点附近的曲线行为来求解。
这种方法可以分为三种：一是按照函数在某点附近的导数来寻找极限值；二是利用函数在某点附近的凸性来求解；三是根据函数在该点处的异常情况来进行求解。
首先，如果二元函数在某点处有定义，那么该函数在该点处的极限值就是该点的函数值。
如果函数在该点处没有定义，但是函数的导数在该点处有定义，那么可以通过求导数的极限来计算函数的极限值，即：如果存在某个点，其导数的极限值存在并且为非零，那么函数在该点的极限值就是该点的函数值除以该点导数的极限值。
具体来说，如果用y=f（x）来表示一个函数，那么它在x=a处的极限值就是y=f （a）/[f（a）]，其中f（a）表示函数在x=a处的导数。
其次，如果在某点处函数的导数不存在，而且函数在该点处有定义，那么可以利用函数在该点处的凸性来求解极限值，即，如果函数在某点处不存在导数，而且该点是凸函数，则函数的极限值等于该点的函数值。
反之，如果函数在某点处不存在导数，但是该函数是凹函数，则该函数在该点处的极限值就是该点左右两处函数值的中点值。
最后，如果函数在某点处存在明显的异常情况，比如跳跃，则可以利用定义结合函数的连续性和连续导数的有界性，以及梯形定理等，来求解函数在该点处的极限值。
总之，二元函数极限的求解一般是根据函数在某点处的行为来确定的，有的时候可以利用函数的导数来求解，有的时候利用函数的凸凹性来求解，而有的时候则要利用函数的异常情况来解决。
因此，理解二元函数极限的求法就显得尤为重要。
浅议二元函数求极限的方法
浅议二元函数求极限的方法
二元函数求极限的方法是许多数学问题中必不可少的一部分。
在求二元函数的极限时，我们需要根据不同的情况来选择不同的方法。
一般来说，当函数中的自变量趋向于某个值时，我们可以使用极限的定义来求解。
如果二元函数存在两个自变量，我们可以考虑将其中一个自变量固定，然后将另一个自变量趋向于某个值，最终确定极限的值。
此外，我们还可以使用夹逼定理和单调有界定理来求解二元函数的极限。
夹逼定理是指当两个函数的极限相等时，它们夹住的函数的极限也相等。
单调有界定理则是指当一个函数单调递增或单调递减且有上下界时，其极限存在。
在实际应用中，我们还可以使用泰勒公式、洛必达法则等方法来求解二元函数的极限。
无论使用何种方法，都需要注意精度和正确性，以保证求解结果的准确性。
- 1 -。
二元函数求极限的几何意义与解释
二元函数求极限的几何意义与解释在高等数学中，我们经常会遇到二元函数以及其求极限的问题。
二元函数是指关于两个变量的函数，常用来描述二维平面上的曲线或曲面。
求极限是数学中的重要概念，用于描述函数在某一点趋于无穷或其他特定值的情况。
本文将探讨二元函数求极限的几何意义和解释，帮助读者更好地理解这一概念。
一、二元函数与平面图形的关系首先，我们来了解一下二元函数与平面图形的关系。
对于一个二元函数 f(x, y)，其实就是定义了一个二维平面上的点 (x, y) 到函数值 f(x, y) 的映射。
我们可以将这个函数表示为 z = f(x, y)，其中 z 表示函数的值。
在二维平面上，我们可以画出函数的图形，就是将平面上的每一个点 (x, y) 对应到空间中的一个点 (x, y, z)，这个点的 z 坐标就是函数的值 f(x, y)。
这个图形称为函数的图像或曲面。
通过观察函数的图像，我们可以大致了解二元函数在平面上的取值规律和几何特征。
二、二元函数求极限的几何意义接下来，我们来讨论二元函数求极限的几何意义。
当我们计算二元函数在某一点的极限时，实际上是在研究函数在该点的邻域内的取值规律。
极限描述的是这个函数在靠近某一点的过程中的行为。
如果二元函数在某一点的极限存在，表示函数在该点附近存在一个稳定的取值趋势。
这个取值趋势可以是一个常数，也可以是一个曲面。
如果二元函数的极限不存在，表示函数在该点附近没有稳定的取值趋势，可能是发散或者震荡的。
对于具体的几何意义，我们可以通过函数的图像来解释。
如果函数在某一点的极限是一个常数，那么函数的图像在该点附近可能有一个平坦的曲面或者一个点。
如果函数在某一点的极限是一个曲面，那么函数的图像在该点附近可能有一个特殊形状的曲面。
三、二元函数求极限的解释最后，我们来解释一下如何求解二元函数的极限。
对于二元函数f(x, y)，我们通常需要确定一个特定的点 (a, b)，然后计算函数在该点的极限。
二元函数的极限求法
求解二元函数的极限需要根据具体函数形式和极限的定义进行分析。
以下是常见的二元函数极限求解方法：
代数法：对于简单的二元函数，可以直接使用代数法进行极限求解。
例如，对于二元函数f(x, y)，可以将x和y分别替换成具体的数值，然后计算函数值，观察当变量趋于某个值时函数的变化情况。
分量法：对于形如f(x, y) = g(x)h(y)的二元函数，可以使用分量法将二元函数转化为一元函数的极限问题。
将其中一个变量固定，求解关于另一个变量的一元函数的极限，然后再将这些极限组合起来求得原二元函数的极限。
二重极限法：当二元函数在某点的极限存在但与路径有关时，可以使用二重极限法求解。
首先固定其中一个变量，求解关于另一个变量的极限；然后再固定另一个变量，求解关于第一个变量的极限。
如果两个单变量极限存在且相等，则可以得到二元函数的极限。
极坐标法：对于以极坐标表示的二元函数，可以使用极坐标法求解。
将二元函数转化为极坐标表示，然后求解关于极径r和极角θ的一元函数的极限。
通路法：对于二元函数的极限存在但与路径有关的情况，可以使用通路法进行求解。
通过选取不同的路径，比如直线路径、曲线路径等，求解沿该路径的一元函数极限，并观察不同路径下的极限值是否相同。
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。
在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。
一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。
如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。
二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
二元函数极限证明
二元函数极限证明引言：在高等数学的学科体系中，函数极限是一个比较基础的概念，也是之后各种函数分析的前提和基础。
在数学的学习过程中，函数极限一章通常是教材中比较抽象和难懂的一章，而对于二元函数极限来说，则更是难度加倍。
对于很多学生而言，这一部分知识点都充满了困难和挑战。
为此，本文将从相关理论和具体例子两个方面出发，介绍二元函数极限的证明方法和注意事项，希望能够帮助读者更好地理解该知识点。
一、相关理论1.二元函数极限定义：如果函数f（x，y）当（x，y）趋于（a，b）的时候，任意一个数ε都可以任意小（大于零），并存在一个数δ，使得当|（x-a，y-b）|<δ时，有|f（x，y）- L|<ε，则称函数f（x，y）在点（a，b）处极限为L这一定义十分抽象，但是含义简单。
在这里，定义的关键点在于“任意小”，“存在一个数δ”。
也就是说在我们后续证明二元函数极限时，需要构造一个足够小的δ，来保证ε的任意性。
2.二元函数极限的充要条件：类比于一元函数的充要条件，如果一个二元函数f（x，y）在点（a，b）的某个去心邻域内有定义，那么二元函数f（x，y）在点（a，b）处极限存在的充要条件是，当以任一曲线及其任一方向靠近点（a，b）时，函数f（x，y）都应近似于同一个数L。
需要注意的是，充分必要条件的证明过程非常的困难和严谨。
需要对相关的曲线及方向进行证明。
因此，在求一元函数极限时，往往能够根据已有结论进行计算，而在二元函数极限时，往往要求出达到极限的曲线方程和方向，再进行计算。
二、具体例子接下来，我们将通过若干个具体例子，来阐述二元函数极限的证明方法和注意事项。
1.问题：证明在平面上原点处，函数f（x，y）=|x|+|y|没有极限。
证明过程：为了证明函数在原点处没有极限，我们需要构造出一些值趋于（0，0），但是函数值不能趋于任何有限值的数列，即证明其与所有可能的数的差或者比值都趋于无限或不存在。
假设x=m/n, y=n/m且都在Q1区域，那么|f(x,y)-0|=|m/n+n/m|=|m^2-n^2|/mn。
二元函数极限证明
二元函数极限证明二元函数极限是非常重要的数学概念，它在微积分、数学分析、数学物理等领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨二元函数极限的定义、性质和证明方法等内容。
一、二元函数极限的定义二元函数极限是指当二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处充分接近某一数L时，称f(x,y)以(x0,y0)为极限的极限为L。
其数学表达式为：lim f(x,y) = L (x,y) → (x0,y0)其中，x和y是自变量，f(x,y)是因变量，(x0,y0)是指自变量趋向的目标点，L是指当自变量趋向(x0,y0)时，因变量接近的目标数。
二、二元函数极限的性质1. 二元函数极限不存在的情况二元函数极限可能不存在，如果在(x0,y0)处存在不同的极限，或者不存在以(x0,y0)为中心的去心邻域，那么二元函数极限就不存在。
2. 二元函数极限存在的情况若二元函数在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义，并且存在常数L，使得对于任意给定的正实数ε，总存在正实数δ，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，就有|f(x,y)-L|<ε，那么就称L是二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限。
3. 二元函数极限等价于一元函数极限对于二元函数f(x,y)，可以将一个自变量看成定值，将另一个自变量看成另一个自变量的函数，则可以将二元函数极限转化为一元函数极限。
4. 二元函数极限具有唯一性如果二元函数在点(x0,y0)处存在极限，那么它的极限是唯一的。
三、二元函数极限的证明方法1. 利用定义证明根据极限的定义，可以利用ε-δ语言对二元函数的极限进行证明。
具体地，可以先假设在(x0,y0)处存在一个数L，然后对于任意给定的ε>0，都可找到一个正实数δ>0，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，有|f(x,y)-L|<ε。
最后证明这个数列L确实满足该条件，即证得二元函数在点(x0,y0)处的极限存在。
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0 2 0 222 2 32 32007 年 2 月 重庆文理学院学报 ( 自然科学版)Feb 1 , 2007第 26 卷 第 1 期Journal of Chongqing University of Arts and Sciences (Natural Science Edition ) V ol 126 N o 11二元函数极限求法中一种误解的说明王海萍1 ,2(1 . 重庆文理学院 数学与计算机科学系 ,重庆 永川 402160 ;2 . 西南大学 研究生院 ,重庆 北碚 400715)[ 摘 要 ]排除了对一个重要极限在求二元函数极限应用中正确性的疑虑 ,并在此基础上把它的结果推广到了含无理式的二元函数的极限运算上去. [ 关键词 ]定义域 ;重要极限 ;恒等式[ 中图分类号 ]O17 [ 文献标识码 ]A [ 文章编号 ]1673 - 8012 (2007) 01 - 0021 - 04众所周知 ,重要极限 limsin x= 1 在一元函数极限的求法中发挥了巨大的作用. 定义域及极限的x →0x定义在多元函数与一元函数中的区别 ,往往使初学者对多元函数( 本文以二元函数为例) 极限的简易 求解 (用重要极限求解) 方法产生误解. 这使初学者在二元函数极限求解中对用重要极限的求解方法 产生疑虑 ,甚至舍易求难. 1 误解的提出首先 ,我们引出二元函数极限的定义 : 定义 11设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D , P ( x , y 0 ) 是其聚点,如果对于任意给定的正数ε , 总存在正数δ ,使得对于适合不等式0 < | PP 0 | = ( x - x 0 )+ ( y - y 0 ) < δ 的一切点都有 | f ( x , y ) - A | < ε成立 ,则称 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 x → x 0 , y → y 0 时的极限 ,记为 :lim( x , y ) →( x 0 , y 0 )下面以实例说明.f ( x , y ) = A (或 f ( x , y ) →A (ρ →0) , 这里ρ = | PP 0 | ) .33例 12lim ( x , y ) →(0 ,0) si n ( x + y ) . x 2 + y 2解 : 令 x = ρco s θ, y = ρsin θ ,则 :3 3lim x + y = lim ρ(co s 3θ + sin 3θ) = 0 , ( x , y ) →(0 ,0)3 3x + y 2 3ρ→03 3 3从而 limsi n ( x + y )= limsi n ( x + y ) ·x + y =( x , y ) →(0 ,0)x + y 23 3( x , y ) →(0 ,0)3x + y 3 3x + y 2lim si n ( x + y ) · lim x + y = 1 ·0 = 0. ( x , y ) →(0 ,0) x 3 + y 3 ( x , y ) →(0 ,0)x 2 + y 2有些人认为上述解法欠妥. 原因如下 :根据定义分析 ,它的极限运算的第一个等号是有问题的.设 f ( x , y ) = sin ( x + y 3 ) 2,定义域是 D = { ( x , y ) | ( x , y ) ≠(0 ,0) } ,即去掉原点的实平面. x + y[ 收稿日期] 2006 - 08 - 30[ 作者简介] 王海萍 (1979 - ) , 男 , 江西萍乡人 , 助教 , 在读硕士研究生.213 3 2 33 3 x 再设si n ( x 3+ y 3)x + y f 1 ( x , y ) = x 3 + y 3· ,x 2 + y 2此时定义域为 D 1 = { ( x , y ) | ( x , y ) ≠(0 ,0) 且 y ≠- x }是去掉二 、四象限平分线的两个半平面. 显 然有 D 1 < D .由二元函数极限的定义 ,易知 :定义域范围小的成立并不能保证定义域范围大的也成立. 因此 ,当 oo点 P ( x , y ) ∈ U (0 , δ) ∩D 1 时都有 f 1 ( x , y ) ∈U (0 ,ε) ,并不能保证 P ( x , y ) ∈U (0 , δ) ∩D 时 必有 f ( x , y ) ∈ U (0 ,ε) . 由此可知这里有 :oo[ U (0 , δ) ∩ D 1 ] < [ U (0 , δ) ∩ D .故33)( 33 ) 3 3lim ( x , y ) →(0 ,0)f ( x , y ) = lim( x , y ) →(0 ,0)sin ( x x + y + y 2= lim ( x , y) →(0 ,0) sin x x + y + y 3· + y x 2 + y 2= lim f 1 ( x , y ) →(0 ,0) ( x , y ) 不一定成立 ,即极限运算的第一个等号是有问题的. 所以以上的解法欠妥.例 23解 : ·y = lim si n xy× limy = 1 ×0 = 0.( x , y ( x , y ) →(0 ,0)xy( x , y ) →(0 ,0)例 31解 : limsi n xy=lim si n xy·y = lim si n xy× limy = 1 ×2 = 2. ( x , y ) →(0 ,2)x( x , y ) →(0 ,2)xy( x , y ) →(0 ,2)xy ( x , y ) →(0 ,2)例 2 和例 3 是相似的 ,它们的解法欠妥. 设 g ( x , y ) =s i n xy x,定义域是 D = { ( x , y ) | x ≠0} ,是 去掉 y 轴的两个半平面.si n xy再设 g 1 ( x , y ) =·y ,此时定义域为 D 1 = { ( x , y ) | x ≠0 且 y ≠0 } ,是去掉两个坐标轴的xy四个象限组成的点集. 显然有 D 1 < D . 此解法欠妥的原因同例 1 . 2 需用的知识定义 2 恒等式 :两个式子除已给的条件外 ,所含未知量用任意数代替(相同的假设前提下) ,等号 两边的数值永远相等的式子.例如 :x ·( x 2 + 1) = x (或 x ·( x 2 + 1) ≡ x ) ,但并不恒等于 1 .x 3 + x x x 3+ xx 定义 3 式子的恒等变形过程 :多个 (两个或两个以上) 恒等式子用等号连成的连等式 ,这种从左到右的运算过程称为恒等变形过程.例如 :对函数式 f ( x ) =x ·( x 2+ 1) ( x ≠0 ) 进行恒等变形. x + x解 : f ( x ) = x ·( x 2+ 1) = x= 1 .x + xx 定义 4 数值式的相等 :两个表示相同的某一数值的表达式相等.例如 : sec 2 x - tan 2x = 1 (虽然左式的 x 有限制 ,此时我们可认为在公共的取值范围内相等) .再如 : lim 1 n →∞ 2 n = lim 1 n →∞ 3 n , (虽然在 n 取值相同时 , 1 2 n ≠ 1 3 n,此时是因为它们表示的极限值相同 ,都 是 0) . 3 误解的排除产生这种误解的原因是 :教材在编写中对二元函数的定义域分析用了较大篇幅 ,初学者对定义域 不等的函数很敏感 ;初学者对二元函数极限的定义不够熟悉 ,对恒等和相等概念理解不够.222 3 222 3 3 x 32 2 2 2 33 x 下面对上述 3 例进行分析. 在前面 3 例中都是第一个等号使我们产生了疑虑. 误认为极限符号后的表达式不是恒等变形就 不能在极限式之间用等号连接 ,而实际不然.就例 1 来说 , f ( x , y ) = sin ( x + y 3 ) 2 与 f 1 ( x , y ) = sin ( x + y 3 ) 33· 2 + y 3 2 分别在各自的定义域 x + y x + y x + yD 与 D 1 内 ,当 ( x , y ) → (0 ,0) 时 ,可以证明极限都是存在的. 证明如(1) 与 (2) . (1) 以下是对 f ( x , y ) = sin ( x + y 3 ) 2在定义域 D = { ( x , y ) | ( x , y ) ≠ (0 ,0) }内极限存在的证 x + y明.因为例 14当 ( x , y ) ≠ (0 ,0) 时 ,有 :3333220 ≢| si n ( x + y ) | ≢| x + y | ≢| x | x + | y | y ≢| x | + | y | →0.x + y 2 x + y 2 x + y 2 x + y 2所以由夹逼原则得 lim sin ( x 3 2 + y 3 ) 2= 0 . ( x , y ) →(0 ,0) x + y(2) 对 f 1 ( x , y ) = si n ( x 3 + y 3 ) x 3 + y 3 x 3 + y 3· x 2 + y 2在定义域 D 1= { ( x , y ) | ( x , y ) ≠(0 ,0) 且 y ≠- x }内 极限存在性 ,由极限的四则运算法则容易知道 ,并且其值易算得为 0 . 既然 f ( x , y ) = sin ( x + y 3 ) 2在定义域 D = { ( x , y ) | ( x , y ) ≠(0 ,0) }内极限存在 ,那么极限必 x + y然惟一. 我们可以用在 D 内任找 ( x , y ) →(0 ,0) 的方式来计算出极限值. 由 D 与 D 1 的关系( D 1 < D 且 D 1 只比 D 少一条直线) ,知道在 D 1 ∩D = D 1 中两函数恒等. 所以在求极限找( x , y ) →(0 ,0) 的方式 时 ,我们可以在 D 1 ( D 1 < D ) 中找 ,此时显然两函数的极限是相等的.33) ( 3 3 ) 3 3综上所述 :虽然 f ( x , y ) = sin ( x x + y + y 2≠sin x x + y + y 3 · + y x 2 + y 2= f 1 ( x , y ) (即 f 与 f 1 不恒等) , 但是 ,3 3 ) ( 33 ) 3 3lim f ( x , y ) =limsin ( x + y = lim sin x + y ·x + y= lim f ( x , y ) ( x , y ) →(0 ,0)是成立的.( x , y ) →(0 ,0)x 2 + y 2 ( x , y ) →(0 ,0)x 3 + y 3 x 2 + y 21 ( x , y ) →(0 ,0) 就例2 与例3 来说 , g ( x , y ) =s i n xy与 g x1( x , y ) = s i n xy·y ,当 ( x , y ) →(0 ,0) 时 ,极限也都是xy存在的. 同样 ,后者的定义域只比前者的定义域少一条直线 ,在公共部分它们恒等. 与例 1 中极限存在的证明类似 ,所以同理可得 :lim si n xy = lim si n xy ·y , lim si n xy = lim si n xy·y . ( x , y ) →(0 ,0)x ( x , y ) →(0 ,0) xy ( x , y ) →(0 ,2) x( x , y ) →(0 ,2)xy4 推广到求有关含无理式的二元函数的极限由上可知 ,在极限的运算中 ,极限符号后的函数仅仅缩小了有限条直线范围的定义域时 ,两函数的极限相等. 类似的极限符号后的函数仅仅缩小 (或扩张) 了有限条曲线范围的定义域时 ,两函数的极限相等.例 4 lim( x , y ) →(0 ,0解 :lim= lim= lim[ - (2 +xy + 4) ] = - 4.( x , y ) →(0 ,0( x , y ) →(0 ,0( x , y ) →(0 ,0)此例中极限符号后的函数仅仅扩大了有限条曲线范围的定义域.3例 5 lim ( x , y ) →(1 ,1)233 3解: lim= lim ·y + x= lim x ·( y + x) = 2 .( x , y) →(1 ,1)( x , y) →(1 ,1)y + x( x , y) →(1 ,1)[ 参考文献]1 同济大学应用数学系. 高等数学(第5 版) M .北京:高等教育出版社,2002.2 华东师范大学数学系. 数学分析M .北京:人民教育出版社,1980.3 张绪绪,郝军. 应用数学基础M .西安:西安电子科技大学出版社,2000.4 杨熙鹏,邵子逊,刘颖植. 数学分析习题解析M .西安:陕西师范大学出版社,1993.An Explanation f o r a Misunderstanding in G etting the L i mit of Du ality FunctionWANG Hai - ping1 ,2(1 .Dept . of Mathe m atic s& Co mp u ter Scie n ce , Cho n gqing Univer s ity of Art s a n d Scie n ce s , Y o n gchua n Cho n gqing 402160 , China ;2 .Po stgra d uate School , So u thwe st Univer s ity , Beibei Cho n gqing 400715 , China )Abstract : This article eliminated a doubt when an im portant function limit is used in getting the limit of duality function. This paper gave a positive answer and als o gave an explanation for a misunderstanding in getting the limit of duality function. Standing on the view point of the paper ,the author expanded the method of getting the limit of duality function in getting the limit of irrational expression.K ey w ords : d omain of definition ; im portant function limit ;identical equation(上接第20 页)[ 参考文献]1 华东师范大学数学系. 数学分析(第3 版) M .北京:高等教育出版社,2001.2 孙本旺,汪浩. 数学分析中的典型例题和解题方法M .长沙:湖南科学技术出版社,1981.3 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M .北京:高等教育出版社,1993.4 吴良森,毛羽辉,等. 数学分析习题精解M .北京:科学出版社,2002.Logarithmetic Criteria f o r Abnorm al I ntegral and I nf i nite SeriesMAO Y i - bo( Dept . of Mathe m atic s a n d Co mp u ter Scie n ce , Cho n gqing Univer s ity of Art s a n d Scie n ce s , Y o n gchua n Cho n gqing 402160 , China ) Abstract : This paper gave logarithmetic criteria for abnormal integral and infinite series through com paris on criteria .K ey w ords : In finite integral ;Defective integral ; Infinite series ;Logarithmetic criteria24。