数学人教版九年级上册21.2 配方法——解一元二次方程
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
人教版九年级上册数学：21.2解一元二次方程---配方法(解析版)
人教版九年级上册数学：21.2解一元二次方程---配方法一．选择题（共10小题）1．将方程x2﹣2x＝2配成（x+a）2＝k的形式，则a＝（）A．1B．2C．4D．﹣12．将一元二次方程x2+6x+7＝0进行配方正确的结果应为（）A．（x+3）2+2＝0B．（x﹣3）2+2＝0C．（x+3）2﹣2＝0D．（x﹣3）2﹣2＝0 3．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0，正确的是（）A．（x+）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x+）2＝4．用配方法解下列方程错误的是（）A．m2﹣2m﹣99＝0可化为（m﹣1）2＝100B．k2﹣2k﹣8＝0可化为（k﹣1）2＝9C．x2+8x+9＝0可化为（x﹣）2＝25D．3a2﹣4a﹣2＝0可化为（a﹣）2＝5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣4）2＝22C．（x﹣2）2＝10D．（x﹣2）2＝8 6．用配方法解方程，应在方程两边同时（）A．加上B．减去C．加上D．减去7．把方程（2x+1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（）A．4，1B．6，1C．5，1D．1，68．方程3x2+x﹣6＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A．B．C．D．9．用配方法解方程x2+4x＝10的根为（）A．2±B．﹣2±C．﹣2+D．2﹣10．下列说法正确的是（）A．将方程x2＝0.04两边进行平方得x1＝0.02，x2＝﹣0.02B．一元二次方程x2＝6x的根是x＝3C．方程4x2﹣x＝0可以转化为（2x﹣）2＝D．若m≠1时，方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程二．填空题（共10小题）11．解方程：9x2﹣6x+1＝0，解：9x2﹣6x+1＝0，所以（3x﹣1）2＝0，即3x﹣1＝0，解得x1＝x2＝．12．将下列各式配方：（1）x2﹣4x+＝（x﹣）2；（2）x2+12x+＝（x+）2；（3）x2﹣x+＝（x﹣）2；（4）x2+2x+＝（x+）2．13．将方程x2﹣10x+16＝0化为（mx+n）2＝p（p≥0）的形式为．14．把方程x2﹣6x+5＝0化成（x+m）2＝k的形式，则m＝，k＝．15．完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2＝0．解：移项，得．二次项系数化为1，得．配方，．开平方，得，x1＝，x2＝．16．如果（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，那么x与y的关系是．17．用配方法解下列方程：（1）x2+4x﹣5＝0，解：移项，得x2+4x＝，方程两边同时加上4，得x2+4x+4＝，即（x+2）2＝，所以x+2＝或x+2＝，所以x1＝，x2＝．（2）2y2﹣5y+2＝0，解：方程两边同除以2，得y2﹣y＝，方程两边同加上（）2，得y2﹣y+（）2＝，所以（）2＝，解得y1＝，y2＝．18．完成下面的解题过程：用配方法解方程：（2x﹣1）2＝4x+9．解：整理，得．移项，得．二次项系数化为1，得．配方，．开平方，得，x1＝，x2＝．19．化下列各式为（x+m）2＝n的形式．（1）x2﹣2x﹣3＝0．（2）x2+x+1＝0．20．用配方法解方程：x2+5x＝﹣4，方程两边都应为加上的数是．三．解答题（共4小题）21．用配方法解方程．（1）x2+2x﹣5＝0；（2）x2+22x﹣240＝0；（3）x2﹣8x+15＝0；（4）﹣y2+2y+3＝0．22．用配方法解下列关于x的方程：（1）2x2﹣x﹣30＝0；（2）x2+2＝2x；（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）；（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）．23．用配方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣7＝0；（2）；（3）（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣4x﹣6．24．用配方法解下列方程：（1）2y2﹣4y＝4（2）x2+3＝2x．人教版九年级上册数学：21.2解一元二次方程---配方法参考答案一．选择题（共10小题）1．将方程x2﹣2x＝2配成（x+a）2＝k的形式，则a＝（）A．1B．2C．4D．﹣1【解答】解：x2﹣2x+1＝3，（x﹣1）2＝3．所以a＝﹣1．故选：D．2．将一元二次方程x2+6x+7＝0进行配方正确的结果应为（）A．（x+3）2+2＝0B．（x﹣3）2+2＝0C．（x+3）2﹣2＝0D．（x﹣3）2﹣2＝0【解答】解：x2+6x+7＝0，x2+6x+9﹣2＝0，（x+3）2﹣2＝0，故选：C．3．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0，正确的是（）A．（x+）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x+）2＝【解答】解：x2﹣x﹣1＝0x2﹣x＝1，x2﹣x+（）2＝1+（）2，（x﹣）2＝，故选：B．4．用配方法解下列方程错误的是（）A．m2﹣2m﹣99＝0可化为（m﹣1）2＝100B．k2﹣2k﹣8＝0可化为（k﹣1）2＝9C．x2+8x+9＝0可化为（x﹣）2＝25D．3a2﹣4a﹣2＝0可化为（a﹣）2＝【解答】解：A、m2﹣2m﹣99＝0，m2﹣2m＝99，m2﹣2m+1＝99+1，（m﹣1）2＝100，故本选项错误；B、k2﹣2k﹣8＝0，k2﹣2k＝8，k2﹣2k+12＝8+1，（k﹣1）2＝9，故本选项错误；C、x2+8x+9＝0，x2+8x＝﹣9，x2+8x+42＝﹣9+42，（x+4）2＝7，故本选项正确；D、3a2﹣4a﹣2＝0，3a2﹣4a＝2，a2﹣a＝，a2﹣a+（）2＝+（）2，（a﹣）2＝，故本选项错误；故选：C．5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣4）2＝22C．（x﹣2）2＝10D．（x﹣2）2＝8【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，移项得：x2﹣4x＝6，配方得：x2﹣4x+4＝10，即（x﹣2）2＝10．故选：C．6．用配方法解方程，应在方程两边同时（）A．加上B．减去C．加上D．减去【解答】解：方程两边都加上（）2＝，故选：C．7．把方程（2x+1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（）A．4，1B．6，1C．5，1D．1，6【解答】解：（2x+1）（3x+1）＝x，6x2+5x+1＝x，6x2+4x+1＝0，这个方程的一次项系数为4，常数项为1．故选：A．8．方程3x2+x﹣6＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：3x2+x﹣6＝0，x2+x﹣2＝0，x2+x＝2，x2+x+＝，＝．故选：B．9．用配方法解方程x2+4x＝10的根为（）A．2±B．﹣2±C．﹣2+D．2﹣【解答】解：∵x2+4x＝10，∴x2+4x+4＝10+4，∴（x+2）2＝14，∴x＝﹣2±，故选：B．10．下列说法正确的是（）A．将方程x2＝0.04两边进行平方得x1＝0.02，x2＝﹣0.02B．一元二次方程x2＝6x的根是x＝3C．方程4x2﹣x＝0可以转化为（2x﹣）2＝D．若m≠1时，方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程【解答】解：A、将方程x2＝0.04两边进行平方得x1＝0.2，x2＝﹣0.2，应为“将方程x2＝0.04两边进行开方得x1＝0.2，x2＝﹣0.2”；B、一元二次方程x2＝6x的根是x＝6或x＝0；C、将（2x﹣）2＝转化为一般式为4x2﹣2x＝0，与原方程不符；D、根据一元二次方程的概念，二次项系数m﹣1≠0，即m≠1．故选：D．二．填空题（共10小题）11．解方程：9x2﹣6x+1＝0，解：9x2﹣6x+1＝0，所以（3x﹣1）2＝0，即3x﹣1＝0，解得x1＝x2＝．【解答】解：据题意得x1＝x2＝．12．将下列各式配方：（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；（2）x2+12x+36＝（x+6）2；（3）x2﹣x+＝（x﹣）2；（4）x2+2x+2＝（x+）2．【解答】解：（1）（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；（2）x2+12x+36＝（x+6）2；（3）x2﹣x+＝（x﹣）2；（4）x2+2x+2＝（x+）2；故答案为：4，2；36，6；，；2，．13．将方程x2﹣10x+16＝0化为（mx+n）2＝p（p≥0）的形式为（x﹣5）2＝9．【解答】解：∵x2﹣10x+16＝0∴x2﹣10x＝﹣16∴x2﹣10x+25＝﹣16+25∴（x﹣5）2＝9．14．把方程x2﹣6x+5＝0化成（x+m）2＝k的形式，则m＝﹣3，k＝4．【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝﹣5，配方得：x2﹣6x+9＝4，即（x﹣3）2＝4，可得m＝﹣3，k＝4，故答案为：﹣3，4．15．完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2＝0．解：移项，得3x2+6x＝﹣2．二次项系数化为1，得x2+2x＝﹣．配方x2+2x+1＝﹣+1，（x+1）2＝．开平方，得x+1＝±，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．【解答】解：移项，得3x2+6x＝﹣2．二次项系数化为1，得x2+2x＝﹣．配方x2+2x+1＝﹣+1，（x+1）2＝．开平方，得x+1＝±，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．16．如果（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，那么x与y的关系是x﹣y＝1．【解答】解：方程变形得：（x﹣y﹣1）2＝0，解得：x﹣y＝1．故答案为：x﹣y＝1．17．用配方法解下列方程：（1）x2+4x﹣5＝0，解：移项，得x2+4x＝5，方程两边同时加上4，得x2+4x+4＝9，即（x+2）2＝9，所以x+2＝3或x+2＝﹣3，所以x1＝1，x2＝﹣5．（2）2y2﹣5y+2＝0，解：方程两边同除以2，得y2﹣y＝﹣1，方程两边同加上（）2，得y2﹣y+（）2＝，所以（y﹣）2＝，解得y1＝2，y2＝．【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，∴x2+4x＝5，⇒x2+4x+4＝5+4，∴（x+2）2＝9，∴x+2＝±3，∴x+2＝3或x+2＝﹣3解得x1＝1，x2＝﹣5．（2）∵2y2﹣5y+2＝0，∴y2﹣y＝﹣1，∴y2﹣y+＝﹣1+，∴（y﹣）2＝，∴y＝，解得y1＝2，y2＝．18．完成下面的解题过程：用配方法解方程：（2x﹣1）2＝4x+9．解：整理，得4x2﹣8x﹣8＝0．移项，得4x2﹣8x＝8．二次项系数化为1，得x2﹣2x＝2．配方x2﹣2x+1＝3，（x﹣1）2＝3．开平方，得x﹣1＝±，x1＝1+，x2＝1﹣．【解答】解：（2x﹣1）2＝4x+9，4x2﹣4x+1﹣4x﹣9＝0，4x2﹣8x﹣8＝0，4x2﹣8x＝8，x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝3，（x﹣1）2＝3，x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．19．化下列各式为（x+m）2＝n的形式．（1）x2﹣2x﹣3＝0（x﹣1）2＝4．（2）x2+x+1＝0（x+）2＝﹣．【解答】解：（1）移项得x2﹣2x＝3，配方得x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4；（2）移项得x2+x＝﹣1，配方得x2+x+＝﹣1+，即（x+）2＝﹣．20．用配方法解方程：x2+5x＝﹣4，方程两边都应为加上的数是（）2．【解答】解：∵x2+5x＝﹣4，两边加上得，x2+5x+＝﹣4+，∴．三．解答题（共4小题）21．用配方法解方程．（1）x2+2x﹣5＝0；（2）x2+22x﹣240＝0；（3）x2﹣8x+15＝0；（4）﹣y2+2y+3＝0．【解答】解：（1）移项得x2+2x＝5，配方得x2+2x+1＝5+1，即（x+1）2＝6，开方得x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．（2）移项得x2+22x＝240，配方得x2+22x+121＝240+121，即（x+11）2＝361，开方得x+11＝±19，∴x1＝8，x2＝﹣30．（3）移项得x2﹣8x＝﹣15，配方得x2﹣8x+16＝﹣15+16，即（x﹣4）2＝1，开方得x﹣4＝±1，∴x1＝5，x2＝3．（4）移项得y2﹣2y＝3，配方得y2﹣2y+1＝3+1，即（y﹣1）2＝4，开方得y﹣1＝±2，∴y1＝3，y2＝﹣1．22．用配方法解下列关于x的方程：（1）2x2﹣x﹣30＝0；（2）x2+2＝2x；（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）；（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣30＝0，2x2﹣x＝30，x2﹣x＝15，x2﹣x+＝15，（x﹣）2＝；x﹣＝±，x1＝＝3，x2＝﹣＝﹣；（2）x2+2＝2x，x2﹣2x＝﹣2，x2﹣2x+3＝﹣2+3；（x﹣）2＝1，x﹣＝±1，x1＝1+，x2＝﹣1+；（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O），x2+px＝﹣q，x2+px+＝﹣q+，（x+）2＝，∵p2﹣4q≥O，∴x+＝±，∴x1＝，x2＝；（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O），（mx）2﹣3mx﹣28＝0，（mx﹣7）（mx+4）＝0，mx＝7或mx＝﹣4，∵m≠0，∴x1＝，x2＝．23．用配方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣7＝0；（2）；（3）（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣4x﹣6．【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣x＝，配方得：x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，解得：x1＝，x2＝﹣1；（2）方程变形得：y2﹣y＝19，配方得：y2﹣y+＝，即（y﹣）2＝，开方得：y﹣＝±，解得：y＝；（3）整理得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝±3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．24．用配方法解下列方程：（1）2y2﹣4y＝4（2）x2+3＝2x．【解答】解：（1）2y2﹣4y＝4，y2﹣2y＝2，y2﹣2y+1＝2+1，（y﹣1）2＝3，y﹣1＝，y1＝1+，y2＝1﹣；（2）x2+3＝2x，x2﹣2x＝﹣3，x2﹣2x+3＝﹣3+3，（x﹣）2＝0，x﹣＝0，x1＝x2＝．。
数学人教版九年级上册解一元二次方程----配方法
配方法解一 元二次方程 配方法 (x+m)2=n (n≥0)
ax2+bx+c=0 (a≠0）
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
x n p , x n p 1 2
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
随堂演练
基础巩固 1. 用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为( B )
A. (x+3)2=16
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 移项时需注意改变符号. 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
(3) 3x2-6x+4=0 (3) 解：移项，得：3x2-6x=-4
4 二次项系数化为1： x 2 x 3 配方，得： x 2 2 x 1 2 4 1 2 , 3 1 ( x 1) 2 3
2
因为实数的平方根不会是负数，所以x取任何实数时， (x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。
（2）x2+4x－9=2x-11; 解：移项, x2+2x=-2
配方, x2+2x+1=-1
(x+1)2=-1
方程没有实数根.
人教版九年级数学上册用配方法解一元二次方程
21.2.1用配方法解一元二
次方程
(3) x2＋5x＋ ＝（x＋ ）2； 解：移项，得 2x2-3x＝－1.
学习目标
Ｃ（ｘ－８）２＝１６ Ｃ（ｘ＋８）２＝５７
3、理解配方法的关键、基本思想和步骤；
Ａ（ｘ－４）２＝９ Ｂ（ｘ＋４）２＝９
对于二次项系数不为1的一元二次方程，
像上面那样，把方程左边变成一个含有未知数的
(3)x2+4x-9=2x-11
(4)x(x+4)=8x+12
（5）求解
（6）定根
解下列方程
x2 10x 9 0 3x2 6x 4 0 x2 4x 9 2x 11
归纳:
像上面那样，把方程左边变成一 个含有未知数的 完全平方 式，右边 是一个 非负 数,再用直接开平方法 来解一元二次方程的方法叫做配 方法. 配方是为了 降次 ，把一个一 元二次方程转化成两个一元一次方程来 解.
例1 解下列方程：
（1） x2－8x+1＝0；
解：移项，得：x2－8x＝__-_1_.
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. (1)移项，使方程左边为_________项、_______项，右边为_____项:(一移)
用配方法求解时首先要怎样做 ？ =(a-b) 2
_______________
用配方法解方程 X2 + 8X + 7 = 0方程可化为（ ）
首先要把二次项系数化为1 Ａ（ｘ－４）２＝９
配方，得
x2－8x＋__4__2 _ ＝-1＋__4_2__，
（____X_-_4___）2＝__1_5____.
∴ x－4＝____1_5___.
即x－4＝__1__5__ 或 x－4＝_____1_5__.
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
人教版九年级数学上册21.2.2用公式法解一元二次方程
无实数根．
归
纳 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
根的判别式.通常用希腊字母 ∆表示它，即∆= b2-4ac.
当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当∆=0 时，方程有两个相等的实数根；
当∆＜0时，方程无实数根.
一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
不等的实数根吗？给出答案并说明理由.
例4 已知关于x的方程 x2(m1)x1m20. 4
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2) 若方程有两个相等的实数根，求m的值； (3) 若方程有两个实数根，求m的取值范围； (4) 若方程无实数根，求m的取值范围.
练习 关于x的一元二次方程 x22xm0有两个实数
0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
例2 用公式法解方程：
(1) x2-4x-7=0；
(2) 6x2-7x+1=0.
解a 1, b 4, c 7
b 2 4 a ( c 4 )2 4 ( 7 ) 4 0 4
ax2＋bx＋c = 0(a≠0) ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得 ax2 bx c.
二次项系数化为1，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
ห้องสมุดไป่ตู้
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
九年级数学人教版(上册)21.2.2公式法解一元二次方程
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac .
2a
由上可知，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）.
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，没有实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。 3、代入求根公式: x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
师生互动 巩固新知
1 3x2 6x 2 0
解： a 3,b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
x1
3 3
15
,
x2
3 15 3
.
2 4x2 6x 0
解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 4 0 36.
x 6 36 6 6 ,
24
8
x1
0,
x2
3. 2
3 x2 4x 8 4x 11
解：化为一般式 x2 3 0 . a 1,b 0, c 3.
b2 4ac 02 41 3 12.
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 3 x2 3
人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
九年级数学上册21一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第一课时用直接开平方解一元二次
1．方程x2－64＝0解是( D)
A．x＝8
B．x＝－8
C．x＝4
D．x1＝8 ，x2＝－8
2．方程3x2＋9＝0根为( D)
A．3
B．－3
C．±3
D．无实数根
3．(滨州)以下方程中，一定有实数解是( B)
A．x2＋1＝0
B．(2x＋1)2＝0
C．(2x＋1)2＋3＝0
D．( －a)2＝a
4．方程(x＋1)2＝9解是( C)
∵一元二次方程(x－3)2＝1两个解恰好分别是等腰△ABC底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能组成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，4＋4＞2，此时能组成三角形， ∴△ABC周长为：2＋4＋4＝10.
第8页
12．当m为何值时，方程
是关于x一元二次方程？
第9页
13．已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求xx－ 2＋2yy2的值． 【解】 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0， 变形得：(x2＋4x＋4)＋(y2－6y＋9)＝0， 即(x＋2)2＋(y－3)2＝0， 所以x＝－2，y＝3.
第10页
21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
1．利用直接开平方法解一元二次方程，其依据是__平__方__根__意义，即：假 如x2＝p(p＞0)，则x1＝____，x2＝_____．
2．形如(ax＋m)2＝n(n＞0)一元二次方程，也可利用直接开平方法求
解，即：先利用平方根意义把原方程转化为两个_____一__元__一__次__方ax程＋m＝
A．x＝1或x＝－1
B．x＝3或Байду номын сангаас＝－3
C．x1＝2或x2＝－4
人教版数学九年级上册21.2.1配方法解一元二次方程 教案
配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第21章第2节第1课时。
一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。
实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。
通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。
这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。
1、用直接开平方法解一元二次方程（1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。
（2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。
问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？问题2重在引出用配方法解一元二次方程。
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-配方法解一元二次方程：使学生掌握将一元二次方程转化为完全平方公式的步骤，并能求解出方程的根。例如，解方程x^2 + 6x + 9 = 0，引导学生将方程左边写成(x + 3)^2的形式，从而迅速得出解。
-公式法解一元二次方程：让学生牢记一元二次方程的求根公式，并能够灵活运用公式求解不同形式的方程。如解方程ax^2 + bx + c = 0，使用公式x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)。
此外，实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们在讨论中提出了很多有趣的问题，也展示出了很好的团队合作精神。这让我深感欣慰，也证明了解决实际问题的教学策略是有效的。但在这一过程中，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题，因此，我需要在以后的课堂中加强对学生的引导，确保讨论能够更加高效和深入。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
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21.2配方法——解一元二次方程（2）
教学内容
本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
教学目标
知识技能
探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程． 数学思考
在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
解决问题
渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．
情感态度
继续体会由未知向已知转化的思想方法．
重难点、关键
重点：用配方法解一元二次方程．
难点：正确理解把
ax x 2形的代数式配成完全平方式. 关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
一、 复习引入
【问题】
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x 2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x 2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得
x=mx+n=p ≥0）．
如：4x 2+16x+16=（2x+4）
2 【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习直接开门平方法，解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式的方程，为继续学习引入作
好铺垫．
二、 探索新知
【问题情境】
要使一块矩形场地的长比宽多6 cm ，并且面积为16 cm 2，场地的长和宽分别是多少？
【活动方略】
学生活动：
学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．
考虑设场地的宽为x m ，则长为（x ＋6）m ，根据矩形面积为16 cm 2，得到方程x （x ＋
6）＝16，整理得到x 2+6x －16＝0，对于如何解方程x 2+6x －16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x 2+6x 只需要再加上9就是完全平方式（x ＋3）2，因此方程x 2+6x =16可以化为
x 2+6x ＋9=16＋9，
即（x ＋3）2＝25，问题解决。
老师活动：
在学生讨论方程x 2+6x =16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。
【设计意图】
引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．
【思考】
利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？
（1）x 2－8x + 1 = 0；
（2）2213x x +=；
（3）23640x x -+=．
【活动方略】
学生活动：
学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；
（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416
x -=； （3）按照（2）的方式进行处理．
教师活动：
在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是
1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式
20ax bx c ++=； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a ；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
【设计意图】
主体探究、通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．
三、 反馈练习
教材P 39 练习第1、2题．
补充习题：
解下列方程．
（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对基础知识的掌握情况.
四、 应用拓展
例：如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ •的面积为Rt △ACB 面积的一半．
分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．
解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．
根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12
×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0
（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2
x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．
所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
_B
_C _A
_Q _P
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握配方法。
五、小结作业
1．问题：
本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？
如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，再开平方降次解。
这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法．
2．作业：课本P17 习题21．2 第3题
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。