22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质2
03-第二十二章22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为 (1,2),故A、B、C均不正确.∵抛物线开口向上,顶点(1,2)在第一象限, ∴抛物线与x轴没有交点,故D正确.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为
.
图22-1-3-2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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解析 当y=0时,有 1 (x-2)2-2=0,
2
解得x1=0,x2=4,∴OA=4.
∵S阴影=OA·AB=16,∴AB=4,
∴抛物线l2的函数表达式为y= 1 (x-2)2-2+4= 1 (x-2)2+2.
当x=0时,y有最大值,y最大值=k
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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例1 (2017湖南邵阳模拟)关于二次函数y=-2x2+1的图象,下列说法中,正 确的是 ( ) A.对称轴为直线x=1 B.顶点坐标为(-2,1) C.可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位得到 D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降
当x=h时,y有最大值,y最大值=0
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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例2 (2017广东潮州潮安期中)二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;②它们的图象的对称轴都是y轴,顶点坐标
都是原点(0,0);③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质说课稿
第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质说课稿各位领导，各位老师：大家好，今天我说课的题目是二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质第二课时y=a(x-h) 2。
下面我将围绕“教什么”，“怎么教”，“为什么这样教”三个问题，从教材分析，教法学法分析，教学过程分析，教学评价分析和板书设计这五个方面进行分析说明。
一、教材分析1. 教材的地位和作用本课时是学生在学习二次函数y＝ax2的图象和性质的基础上，通过对其图象左右平移进一步研究二次函数的图象和性质，体现了从特殊到一般的数学思想．二次函数y＝a(x－h)2是一条顶点为(h，0)，对称轴为直线x＝h的抛物线，其开口方向由a的正负决定．在研究二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质时，要注意运用数形结合思想，同时要注意h的符号不要出错．这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点。
所以本课的教学起着承上启下的作用。
2.教学目标：①知识与技能：使学生掌握二次函数y=a(x-h) 2的图象的作法及性质，进一步了解二次函数y=a(x-h)2 (h≠0)与二次函数y=ax2（a≠0）图象的位置关系；②过程与方法：通过引导学生作图、观察、分析进一步理解二次函数图象与性质；③情感态度价值观：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点；进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力。
3.重点和难点：教学重点：掌握二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)图象的作法和性质；教学难点：二次函数y=ax2的图象向二次函数y=a(x-h) 2(h≠0)的图象的转化过程。
二、教法学法分析根据《新课程标准》，本节课设计时体现“问题情境创设—建立数学模型—解释、应用—回顾、延伸”的教学理念。
特别在探究时通过学生动手操作和教师课件演示，让学生经历了知识的形成、发展与应用的过程，在教学过程中，鼓励学生自主探究与合作交流，引导学生观察、猜想、验证、推理与交流等数学活动。
必刷题《22.1.3_课时2_二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质》刷基础练习
《22.1.3 课时2 二次函数y=a(x-h)²的图像和性质》刷基础题型1 二次函数y=a(x-h)²的图像1.[2019天津蓟州区期中]抛物线y=-3（x+1）2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限2.在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象可能是（）A.B.C.D.3.在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性.（1）y=-x2；（2）y=-（x+2）2；（3）y=-（x-1）2.题型2 二次函数y=a(x-h)²的性质4.关于x的二次函数y=2（x-3）2与y=-2（x-3）2的性质中，下列说法错误的是（）A.开口方向相同B.对称轴相同C.顶点坐标相同D.当x<3时，y=2（x-3）2随x的增大而减小；y=2（x-3）2随x的增大而增大5.二次函数y=3（x-5）2的图象上有两点P（2，y1），Q（6，y2），则y1和y2的大小关系是__________.6.[2019河南洛阳模拟]已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x>3时，y随x 的增大而增大，则h的取值范围是__________.7.[中]已知抛物线y=a（x-h）2，当x=2时，有最大值，且抛物线过点（1，-3）.（1）求抛物线的解析式；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；（3）求抛物线与y轴的交点坐标.题型3 二次函数y=a(x-h)²的图像的平移8.[2020安徽合肥瑶海区期中]抛物线y=x2+1经过平移得到抛物线y=（x+1）2，平移的方法是（）A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位B.向右平移1个单位，再向下平移1个单位C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向上平移1个单位 9.[2019安徽安庆期中]把抛物线212y x =向左平移3个单位长度，就得到抛物线____________，抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向_______平移______个单位长度得到的，抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向__________平移__________个单位长度得到.参考答案 1.答案：A解析：抛物线23(1)y x =-+的开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，0），∴抛物线经过第三、四象限，不经过第一、二象限.故选A. 2.答案：D解析：由题意，得二次函数2()y a x h =-（a ≠0）的图象是由2y ax =的图象通过左右平移得到的，抛物线的顶点坐标为（h ，0）.故选D. 3.答案：见解析 解析：列表如下：画图如下：2y x =-，开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，0）.当x<0时，y 随x 增大而增大，当x>0时，y 随x 的增大而减小2(2)y x =-+，开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，0），当x<-2时，y 随x 的增大而增大，当x>-2时，y 随x 的增大而减小. 2(1)y x =--，开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，0），当x<1时，y 随x 的增大而增大，当x>1时，y 随x 的增大而减小. 4.答案：A解析：22(3)y x =-的开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，0），当x<3时，y 随x 的增大而减小；22(3)y x =--的开口向下，对称轴是直线x=3，顶点坐标为（3，0），当x<3时，y 随x 的增大而增大. 5.答案：y 1>y 2解析：把P （2，y 1），Q （6，y 2）分别代入y=3（x -5）2得y 1=3×（2-5）2=27，y 2=3×（6-5）2=3，所以y 1>y 2. 6.答案：h ≤3解析：二次函数y=2（x -h ）2的对称轴为直线x=h ，∵当x>3时，y 随x 的增大而增大，h ≤3. 7.答案：见解析解析：（1）∵抛物线2()y a x h =-，当x=2时，有最大值， ∴抛物线的解析式为2(2)y a x =-.∵抛物线过点（1，-3），∴-3=a （1-2）2，∴a =-3. ∴此抛物线的解析式y=-3（x -2）2.（2）∵抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线开口向下， ∴当x<2时，y 随x 的增大而增大. ∴x 的取值范围为x<2.（3）当x=0时，y=-3×（0-2）2=-12，∴抛物线y=-3（x -2）2与y 轴的交点坐标为（0，-12）. 8.答案：A解析：∵：y=x 2+1的顶点坐标为（0，1），平移后得到抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（-1，0），∴平移的方法为向左平移1个单位，再向下平移1个单位.故选A.9.答案：21(3)2y x =+ 右 3 左 3解析：由平移规律“左加右减”可得把抛物线212y x =向左平移3个单位长度，就得到抛物线21(3)2y x =+，抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向右平移3个单位长度得到的，抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向左平移3个单位长度得到.。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第
教材分析之前学生已经学过一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数的模型和理解二次函数的图像相关概念和性质基础之上进行的。
是前面知识的应用和拓展，又为今后学习二次函数的应用及一元二次方程与二次函数之间的关系作预备。
充分体现了数形结合的思想，因此本课无论在知识上还是培养学生动手能力上都起了很大的作用。
学生已经会了上一节的二次函数图像及性质。
课标要求会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
学情分析可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。
不能从图中获取相关的信息。
由于放假的原因，学生对上下平移和左右平移的知识有很多淡忘，所以完成本节知识在理解方面会有难点。
教学目标知识目标：让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系能力目标：通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力。
能说出二次函数y ＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
情意目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质。
能说出顶点坐标。
教学难点：理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2关系。
教学手段导学案教学方法问答法、练习法、讨论法教学过程1、创设情境：:（组织方法）复习两个上下平移及左右平移的二次数学图像，对照图像说出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、性质。
详见导学案。
解决哪些教学目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
学生可能出现的困难：忘记或混淆上下平移和左右平移。
初中数学九年级上册《22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质2》教案
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质教学目标：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
重点难点：重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?二、试一试你能填写下表吗?问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)＋1与函数y=2(x－1)、y=2x图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)_2的图象和性质》教学设计
22.1.3二次函数的图像与性质（2）2=的图像和性质y-a(hx)一、教学目标1、知识与技能：能够做出函数2)a=的图像，并能y-x(h理解它与2axy=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响；能够正确说出2)y-=的开口方向、对称轴、顶点、最ax(h点、最值、增减性等性质．2、过程与方法经历探索二次函数图像的作法和性质的过程，体会知识的迁移以及数形结合的数学思想．3、情感态度与价值观在学习活动中，获得数学学习的成功体验．二、教学重难点重点：能够做出函数2)y-a=的图像，并能理解它与x(h2y=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响；能够ax正确说出2)a=的开口方向、对称轴、顶点、最点、最值、y-(hx增减性等性质．难点：能够做出函数2)a=的图像，并能理解它与y-x(h2y=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响．ax三、教学方法探索——比较——总结四、教具准备多媒体课件，几何画板 五、教学过程（一）复习旧知，引入新课1、以1212+=x y 为例，它的图像是什么，同学们能说出它的哪些性质？①图像：抛物线 ②开口方向：向上③对称轴：y 轴（直线0=x ） ④顶点：)1,0(⑤y 最值：当0=x 时，1=最小y . ⑥增减性：当0<x 时，↓↑y x .当0<x 时，↑↑y x .2、1212+=x y 可以由哪个函数如何平移而来？3、k ax y +=2是在2ax y =后面加k ，现在我们在2ax y =的x 后面加减去h ，变为2)(h x a y -=，又有怎么样的性质呢？4、板书：二次函数2)(h x a y -=的图像与性质． （二）探究活动，获取新知 1、预习作业·汇报成果作业1.在同一个直角坐标系中画出二次函数 、 、 的图像，完成表格．221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y2.观察题1中的图像及表格内容，尝试说说函数 、 、 之间的异同点. 作业2.在同一个直角坐标系中画出二次函数 、 、 的图像，完成表格．221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y 2x y =2)1(+=x y 2)1(-=x y2.观察题1中的图像及表格内容，尝试说说函数 、 、 之间的异同点. 2、思考：预习作业中的图像是如何画出来的？先找哪个点？顶点，两个再分别对称取两点． 对称轴如何确定？ 以2)1(-=x y 为例3、以 、、 为例，研究三条抛物线之间关系．几何画板演示21212121）（个单位向左平移+-=−−−−−→−-=x y x y 21212121）（个单位向右平移--=−−−−−→−-=x y x y a 不变：图像的开口方向不变，开口大小不变．h 改变：对称轴、顶点改变．h 的改变反映了函数图像的左右移动．4、猜想：对于一般形式的2)(h x a y -=，它的函数图像与性质． 几何画板演示2x y =2)1(+=x y 2)1(-=x y 221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y0<a （三）例题讲解，内化应用221x y =、2)2(21+=x y 、2)2(21-=x y 的函数图像如图所示，观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对（四）课堂小结 2)(h x a y -=的图像与性质（五）课堂练习，巩固应用 【课堂练习】 1. 填空．2.抛物线2)3(4-=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线有最 点，当x = 时，y 有最 值，其值为 ．抛物线与x 轴交点坐标 ，与y 轴交点坐标 ．3.(1)由抛物线22x y =向 平移 个单位可得到2)1(2+=x y ．(2)函数2)4(5--=x y 的图象可以由抛物线 向 平移4个单位得到的．4. 已知),1(1y A -,),2(2y B -,),3(3y C 三点都在二次函数2)2(2+-=x y 的图象上，则1y ,2y ,3y 的大小关系为______．5. (1)某抛物线和22x y =的图像形状相同，开口方向相同，对称轴平行于y 轴，且顶点坐标是（1，0），则此抛物线的解析式为 ．(2)对称轴为2=x ，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点（0，3）的抛物线解析式为 ． 【思考题】如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．六、板书设计二次函数2)(hxay-=的函数图像与性质2)(hxay-=当0>a时图像>h0<h开口向上对称轴直线hx=顶点（h，0）y最值当hx=时，0=最小y21212121）（个单位向左平移+-=−−−−−→−-=x y x y 21212121）（个单位向右平移--=−−−−−→−-=x y x y七、教学反思本节课通过课前预习作业，让学生先自行探究两个特殊的二次函数图像与性质，发现规律．再通过几何画板的演示，推广到一般的形如2)(h x a y -=的二次函数的情况．特别地，提醒学生注意在图像平移的过程中，解析式的变化规律．课堂练习的设计上，分层次进行，先简单地判断图像开口、对称轴、顶点，与坐标轴的交点，再练习平移及增减性的问题，然后考虑利用待定系数法求解析式，最后是一道与几何相结合的思考题．但本节课时间分配不够合理，课堂上未涉及到思考题．。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y=a(x-h)2的图象.2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.3.掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律.阅读教材第33至35页，自学“探究”与两个“思考”，掌握y=a(x-h)2与y=ax 2之间的关系，理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质.自学反馈 学生独立完成后集体订正①抛物线y=ax 2()()h −−−−−−−→向左平移个单位y=a(x+h)2(h>0)， 抛物线y=ax 2()()h −−−−−−−→向右平移个单位y=a(x-h)2(h>0). ②画函数y=-12x 2、y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y=-12x 2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？解：略观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况.③二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为(h ，0)，对称轴为直线x=h.④抛物线y=ax 2向左平移h 个单位，即为抛物线y=a(x+h)2(h>0)；抛物线y=ax 2向右平移h 个单位，即为抛物线y=a(x-h)2(h>0).注意y=a(x-h)2中h 是非负数.⑤抛物线y=-12(x-1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是直线x=1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y=-12x 2.活动1 小组讨论例1 在直角坐标系中画出函数y=12(x+3)2的图象. ①指出函数图象的对称轴和顶点坐标；②根据图象回答：当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？③怎样平移函数y=12x 2的图象得到函数y=12(x+3)2的图象？解:①对称轴是直线x=-3，顶点坐标为(-3,0);②当x<-3时，y 随x 的增大而减小；当x>-3时，y 随x 的的增大而增大；当x=-3时，y 有最小值.③将函数y=12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y=12(x+3)2的图象.二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.不画图象，回答下列问题.①函数y=2(x+1)2的图象可以看成是由函数y=2x 2的图象作怎样的平移得到的?②说出函数y=2(x+1)2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.③函数y=2(x+1)2有哪些性质？④若将函数y=2(x+1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象?性质从增减性、最值来说.解：1.①向左平移1个单位②开口向上，对称轴是直线x=-1,顶点坐标(-1，0) ③当x>-1时，y随x的增大而增大；当x<-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y有最小值0 ④y=2(x+4)2.2.与抛物线y=2(x+1)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y=-2(x+1)2.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图
22．1．3二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质（2）——二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x-h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x-h ）2的性质，并要会灵活应用； 一、复习：1．在同一直角坐标系内画出二次函数y ＝ 12 x 2，y ＝ 12 x 2+2，y ＝12 x 2-2的图象（草图），并回答：(1)三条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．（1）在同一直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的图象有什么关系？ （2）二次函数y ＝ax 2＋k 的图象开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？二、探索新知：1．二次函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2的图象与二次函数y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?画出二次函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2与二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝2x 2…… y ＝2(x －1)2 …… y ＝2(x+1)2……161284y 2x431－1 －2 －3 －4 0观察图像得：函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2的图象相同点是： ； 不同的是：函数y ＝2(x －1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 ；函数y ＝2(x+1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 。
把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x －1)2；把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x+1)2。
2．画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y=－12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：x… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12 (x ＋1)2… … y ＝－12 (x －1)2……描点并画图．（1）、观察图象，填表：函数开口方向顶点 对称轴 最值增减性（对称轴右侧） 平移y ＝－12 (x+1)2y ＝－12(x －1)2三、整理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋k y ＝a (x-h)2a>0a<0a>0a<0a>0a<0开口方向增减性（对称轴左侧）顶点坐标对称轴最值x= 时，y最值=平移对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．四、课堂训练1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．5．抛物线y= -3(x+2)2开口向，对称轴为，顶点坐标为 .6．抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线向平移个单位得到的；7．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，再向上平移2个单位得，到的抛物线的表达式为____________________．8．抛物线y=3（x－3）2可由抛物线y=3x2沿轴向平移个单位得到，也可以由抛物线y=3（x－7）2沿轴向平移个单位得到。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y＝a(x-h)2的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数图象和性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.教学重点
-二次函数y＝a(x-h)2的标准形式及其图象特点，包括顶点坐标（h，k）、对称轴x=h、开口方向与a的关系。
-二次函数y＝a(x-h)2的性质，如最小值（当a>0时）或最大值（当a<0时）的存在，以及函数的单调性。
-二次函数图象的平移、拉伸和压缩规律，以及这些变换对函数表达式的影响。
-应用二次函数解决实际问题，如最小值、最大值问题的求解。
-掌握二次函数图象的顶点坐标与对称轴的关系，以及如何通过顶点式直接写出函数表达式。
-理解二次函数在顶点两侧的单调性，以及如何利用这一点来分析实际问题。
-应用图象变换规律来构建新的二次函数表达式。
举例解释：
-难点在于让学生理解，尽管a的绝对值不同会导致图象的拉伸或压缩，但开口方向只由a的正负决定。
-对于顶点坐标与对称轴的关系，学生可能难以理解为何对称轴是x=h，需要通过图象直观展示和数学证明来加深理解。
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.二次函数t;0
a<0
h>0 图
象 h<0
二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线 x=h 是 (h,0) . 2.二次函数y=a(x-h)2的性质
,顶点坐标
a的符号 开口方向
对称轴 顶点坐标
a>0 向上
3.(沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是( D )
4.抛物线y=-2(x-1)2的顶点坐标和对称轴分别是( B )
(A)(-1,0),直线x=-1
(B)(1,0),直线x=1
(C)(0,1),直线x=-1
(D)(0,1),直线x=1
5.对于函数y=-3(x+1)2,当 x>-1 得最 大 值,最大值y= 0 .
类型二:二次函数y=a(x-h)2的图象和性质的应用 例2 已知抛物线y=5(x-1)2,下列说法中,你认为不正确的是( B ) (A)顶点坐标为(1,0) (B)对称轴为直线x=0 (C)当x>1时,y随x的增大而增大 (D)当x<1时,y随x的增大而减小
【思路点拨】 根据二次函数y=5(x-1)2的性质,可利用排除法求解.
抛物线 y=2(x+3)2 y=-3(x-1)2 y=-4(x-3)2
开口方向 向上 向下 向下
对称轴 直线x=-3 . 直线x=1 直线x=3
顶点坐标 (-3,0) . (1,0) (3,0)
【思路点拨】 开口方向以a的正负确定,a>0,开口向上;a<0,开口向下;找对称轴 时可以令y=a(x-h)2中的x-h=0,从而求得x=h,即对称轴为直线x=h,只要求出h值则 顶点坐标即为(h,0).
2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图
22．1．3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质（2）——二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质学习目标：1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；一、复习：1．在同一直角坐标系内画出二次函数y＝12x2，y＝12x2+2，y＝12x2-2的图象（草图），并回答：(1)三条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．（1）在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋k 与y＝ax2的图象有什么关系？（2）二次函数y＝ax2＋k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？二、探索新知：1．二次函数y＝2(x－1)2和y＝2(x+1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?画出二次函数y＝2(x－1)2和y＝2(x+1)2与二次函数y＝2x2的图象，并加以观察观察图像得：函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2的图象相同点是： ； 不同的是：函数y ＝2(x －1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 ；函数y ＝2(x+1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 。
把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x －1)2；把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x+1)2。
2．画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y=－12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：2…描点并画图．（1）、观察图象，填表：三、整理知识点对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．四、课堂训练1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．5．抛物线y= -3(x+2)2开口向，对称轴为，顶点坐标为 .6．抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线向平移个单位得到的；7．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，再向上平移2个单位得，到的抛物线的表达式为____________________．8．抛物线y=3（x－3）2可由抛物线y=3x2沿轴向平移个单位得到，也可以由抛物线y=3（x－7）2沿轴向平移个单位得到。
九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性
10． 在同一平面直角坐标系内， 将抛物线 y＝(x－1) ＋3 先向左 平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度后所得抛物线的顶点 坐标为( D ) A．(2，0) B．(2，6) C．(0，6) D．(0，0)
2
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
B 规律方法综合练
1 11．2017·盐城 如图 22－1－13，将函数 y＝ (x－2)2＋1 的图象沿 2
3．2017·金华 对于二次函数 y＝－(x－1) ＋2 的图象与性质， 下列说法正确的是( B ) A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
【解析】二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象的对称轴是直线 x＝1.∵－1<0， ∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是 2.
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)列表： x … －3
1 2 y＝－ x 2 … －4.5
－2 －2－1 －0.5ຫໍສະໝຸດ 0 01 －0.5
2
3
4 …
… …
－2 －4.5
1 y ＝－ (x 2 … －1)2＋2
…
－2.5
0
1.5
2
1.5
0
－2.5
…
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
描点、连线，如图所示：
(2)①下 x＝0 ③右 1 上
(0，0)
②下
x＝1 (1，2)
1)
2(或上
2 右
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
人教版九年级上册数学22.1.3二次函数y=(x-h)2的图像和性质
描点
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -1
-2 y=-(x+1)2
-3
连线
-4
y=-x2
-5
-6
y=-(x-1)2
-7
-8
-9
-10
y=-(x+1)2 左加 y=-x2 右减 y=-(x-1)2
3.归纳抛物线y=a(x-h)2的平移规律
平移规律:y=ax2
-h>0,左加 -h<0,右减
位长度得到的. (3)抛物线 y=2(x+3)2 向右平移4个单位长度得到
抛物线y=2(x-1)2.
2.抛物线y=3(x+2)2的顶点坐标是 (-2,0) ， 对称轴是 直线x=-2 ，图象开口向 上 ；
当x =-2 时，函数y有最 小 值，最值为 0 ； 当x<-2 时，y随x的增大而减小.
3.(1)下列抛物线的顶点坐标为(-1,0)的是( C )
A.y=x2+1
B.y=x2-1
C.y=(x+1)2
D.y=(x-1)2
(2).对称轴是直线x=2的抛物线是( D )
A.y=-x2+2
B.y=x2+2
C.y=3(x+2)2 D.y=3(x-2)2
4.变式训练
(1)已知二次函数y=3(x+1)2的图象上有三点
A(1,y1),B(2,y2),C(-2,y3),则y1,y2,y3的大小 关系是( B )
解:(1)∵抛物线y=a(x-2)2经过点(1,4) ∴a=4 ∴抛物线的解析式是y=4(x-2)2
(2)对称轴是直线x=2，顶点坐标(2,0) (3)当x=3时,y=4 (4)当x>2时,y随x的增大而增大
22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
7.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=-3的是 ( A )
A.y=(x+3)2 B.y=3x2-3
C.y=-3x2-3
D.y=3(x-3)2
8.有关二次函数y=-3(x-1)2的结论:
①因为a=-3,所以开口方向向上;②顶点坐标为(1,0);③对称轴为直线x=1;
④把y=-3x2的图象向右平移1个单位得到y=-3(x-1)2的图象.
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
解:(1)由题意知
2������ 2������
+ +
2 2
≥ ≥
24,-2������,解得
x≥12,所以
x
的取值范围是
x≥12.
(2)函数图象如图所示:
由图象可知当 x+1=2-x 时有最小值是32,故 max{x+1,(x-1)2,2-x}的最小值为32.
可得y=-(x+3)2,当x=0时,y=-9.
)2的图象和性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-4-
6.(原创)关于三个抛物线y=x2,y=3x2+2,y=
1 2
(x-2)2的共同特征,下列说法正确的是
(
C
)
A.顶点都是原点
B.对称轴都是y轴
C.开口方向都向上 D.开口大小相同
第二十二章
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-8-
15.(改编)在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x+b)2(a≠0)经过(-2,0),(1,-6)两点.
22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质1
第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1．会用描点法画出y＝a(x－h)2的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的联系．一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点：二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质【类型一】y＝a(x－h)2的图象与性质的识别已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x ＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝12.方法总结：抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线x＝h.【类型二】二次函数y＝a(x－h)2增减性的判断对于二次函数y＝9(x－1)，下列结论正确的是( )A．y随x的增大而增大B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．当x＞－1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而增大解析：由于a＝9＞0，抛物线开口向上，而h＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.【类型三】确定y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2的关系能否向左或向右平移函数y ＝－12x 2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，设平移后的函数为y ＝－12(x －h )2，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9－h )2，所以h ＝－5或h ＝－13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－12(x ＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位．方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h 个单位后，a 不变，括号内变“减去h ”；若向左平移h 个单位，括号内应“加上h ”，即“左加右减”．【类型四】y ＝a (x －h )2的图象与几何图形的综合把函数y ＝12x 2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点的坐标，最后求△ABC 的面积．解：平移后的函数为y ＝12(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8.∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)．∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝12OC ×8－12OC ×2＝12. 方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.。
初三数学(人教版)22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2)-2PPT上传版
1.
在同一个直角坐标系中画出
， y1
1 2
x2
y2
1 2
x
12，y3
1 x 12
2
的图象
.
描点
连线
y
y
x
A3 A1 A2 B3 B1 B2
y3
1 2
x
12
x
y2
1 2
x
12
y1
1 2
x2
初中数学
探究二次函数 y a x h2 (a 0) 的图象和性质
2.
抛物线
y2
1x
2
12，y3
图象相同的抛物线是 ( C ).
A.
y 1 x 52
3
C. y 1 x 52
3
B.
y 1 x2 5 3
D. y 1 x 52
3
初中数学
课堂小结
通过本节课的学习，学到了关于 y a x h2的哪些知识呢？
图象
a>0
y x
a<0
yx
开口方向
向上
对称轴
xh
顶点
(h, 0) 最低点
x
12
的图象
.
列 表
x
y1
1 2
x2
x
y2
1 2
x
12
3 2 1 0 1 2 3 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 2 1 0 1 2 3 4 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
x
y3
1 2
x
12
4 3 2 1 0 1 2 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
初中数学
探究二次函数 y a x h2 (a 0) 的图象和性质
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的图象作比较吗?
22.1.3 二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质
第 3 课时 二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质
教学目标：
1．使学生理解函数 y=a(x－h)2＋k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系。 2．会确定函数 y=a(x－h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数 y=a(x－h)2＋k 性质的探索过程，理解函数 y=a(x－h)2＋k 的性质。
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?
2．谈谈你的学习体会。
六、作业：
1
1
1
1．巳知函数 y＝－2x2、y＝－2x2－1 和 y＝－2(x＋1)2－1
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
1
1
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y＝－2x2 得到抛物线 y＝－2x2－1 和抛物
图 26.2.3)
3．函数 y=2(x－1)2＋1 图象与函数 y=2(x－1)2 图象有什么关系?函数 y=2(x－1)2＋1 有哪些性
质?
二、试一试
你能填写下表吗?
y=2x2 向右平移 y=2(x－1) 向上平移
y=2(x－1)2＋1 的
的图象 1 个单位 2
1 个单位
图象
开口方向 向上
对称轴 y 轴
重点难点：
重点：确定函数 y=a(x－h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数 y=a(x－h)2＋k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系，理解函数 y=a(x－h)2＋k 的性质是教学 的重点。
难点：正确理解函数 y=a(x－h)2＋k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系以及函数 y=a(x－h)2＋k 的性质是教学的难点。
顶 点 (0，0)
问题 2：从上表中，你能分别找到函数 y=2(x－1)2＋1 与函数 y=2(x－1)2、y=2x2 图象的关系
吗?
问题 3：你能发现函数 y=2(x－1)2＋1 有哪些性质?
对于问题 2 和问题 3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；
函数 y＝2(x－1)2＋1 的图象可以看成是将函数 y=2(x－1)2 的图象向上平称 1 个单位得到 的，也可以看成是将函数 y=2x2 的图象向右平移 1 个单位再向上平移 1 个单位得到的。
物线 y＝6(x＋3)2－3；
(4)试讨沦函数 y＝6(x＋3)2－3 的性质；
3．不画图象，直接说出函数 y＝－2x2－5x＋7 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
4．函数 y＝2(x－1)2＋k 的图象与函数 y＝2x2 的图象有什么关系?
第2页共2页
教学过程：
一、提出问题
1．函数 y=2x2＋1 的图象与函数 y=2x2 的图象有什么关系?
(函数 y=2x2＋1 的图象可以看成是将函数 y=2x2 的图象向上平移一个单位得到的)
2．函数 y=2(x－1)2 的图象与函数 y=2x2 的．图象有什么关系?
(函数 y=2(x－1)2 的图象可以看成是将函数 y=2x2 的图象向右平移 1 个单位得到的，见 P10
上平移 2 个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线 x=1，顶点坐标是(1，2)
四、课堂练习： P13 练习 1、2、3、4。
对于练习第 4 题，教师必须提示：将－3x2－6x＋8 配方，化为练习第 3 题中的形式，即
y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8 =－3(x2＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)2＋11
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线 y＝2(x＋1)2－1；
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(4)试讨论函数 y＝－2(x＋1)2－1 的性质。
2．已知函数 y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3 和 y＝6(x＋3)2－3。
(1)在同一直角坐标系中画出口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y＝6x2 得到抛物线 y＝6(x－3)2＋3 和抛
教学要点
1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
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问题 5：你能说出函数 y=－3(x－1)2＋2 的图象与函数 y=－3x2 的图象的关系，由此进一步
说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
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(函数 y＝－3(x－1)2＋2 的图象可以看成是将函数 y=－3x2 的图象向右平移一个单位再向