工程数学期末复习辅导
六年级上册数学教案-总复习工程问题复习｜北师大版
六年级上册数学教案总复习工程问题复习｜北师大版教案：六年级上册数学教案总复习工程问题复习｜北师大版一、教学内容本节课是六年级上册数学的总复习课，主要复习工程问题的相关知识。
教材的章节包括：工程问题的概念、工程问题的基本公式、工程问题的实际应用等。
二、教学目标1. 理解工程问题的概念，掌握工程问题的基本公式。
2. 能够将实际问题转化为工程问题，并运用基本公式进行解答。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：工程问题的转化和公式的运用。
2. 教学重点：理解工程问题的概念，掌握工程问题的基本公式。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、PPT等。
2. 学具：笔记本、练习本、文具等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题引出工程问题的概念，例如：一个水池需要注水，每小时可以注水200升，问注满水池需要多少时间？2. 讲解：讲解工程问题的概念，解释工程问题的基本公式：工作量 = 工作效率× 工作时间。
并通过PPT展示一些实际例子，让学生理解工程问题的转化过程。
3. 练习：给出一些练习题，让学生运用工程问题的基本公式进行解答。
例如：一个工程需要3个人共同完成，每个人每小时可以完成10个单位的工作量，问完成这个工程需要多少时间？4. 讨论：让学生分组讨论，分享彼此的解题思路和方法，互相提问和解答。
六、板书设计1. 工程问题的概念2. 工程问题的基本公式：工作量 = 工作效率× 工作时间3. 实际应用举例七、作业设计1. 题目：小明每小时可以完成6个单位的作业，小红每小时可以完成4个单位的作业，他们一起工作了3小时，一共完成了多少个单位的作业？答案：小明和小红一共完成了 6 + 4 = 10 个单位的作业，工作了3小时，所以一共完成了10 × 3 = 30 个单位的作业。
2. 题目：一个工程需要4个人共同完成，每个人每小时可以完成8个单位的工作量，问完成这个工程需要多少时间？答案：完成这个工程需要的工作量是 4 × 8 = 32 个单位，每个人每小时可以完成8个单位的工作量，所以需要32 ÷ 8 = 4 小时来完成这个工程。
最新电大《工程数学》(本)期末复习考试必备资料知识点复习考点归纳总结
电大工程数学期末复习考试必备资料考点归纳总结一、单项选择题1. 设2321321321=c c c b b b a a a ，则=---321332211321333c c c b a b a b a a a a （A ）． A . 2- 2. 设是矩阵，是矩阵，则下列运算中有意义的是（ D ）．D .3. 已知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21101210,20101B a A ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1311AB ，则=a （ B ）． B . 1- 4.B A ,都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( D ) ．D ．B A AB = 5. 若是对称矩阵，则等式（C ）成立． C .6. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A ，则=*A （D ）． D . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1325 7. 若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432143214321A ，则秩=)(A （B ）． B . 1 8. 向量组的秩是（A ）． A . 49. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为（B ）． B .21,αα10. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（B ）．[]2,3,1-- 11. 线性方程组⎩⎨⎧=+=+013221x x x x 解的情况是（D ）D . 有无穷多解12. 若线性方程组只有零解，则线性方程组（C ）．C . 可能无解13. 若元线性方程组有非零解，则（ A ）成立．A .14. 下列事件运算关系正确的是（ A ）．A . BA A B B += 15. 对于随机事件，下列运算公式（ A ）成立．A . )()()()(AB P B P A P B A P -+=+16. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．25917. 若随机事件,满足，则结论（B ）成立．与互不相容18. 若满足（C ），则与是相互独立．C . )()()(B P A P AB P =19. 下列数组中，（C ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．163161412120. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （B ）． B ．0.4 21. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （D ）． D . 87 22. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（C ）．1,21-==b a23. 若)4,2(~N X ，（C ），则． C . 22-X24. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ A ）是统计量．A . 1x 25. 设是来自正态总体的样本，则（D ）是μ无偏估计．D .321535151x x x ++ ⒈设，则（D ）．D. －6⒉若，则（A ）．A.⒊乘积矩阵中元素（C ）．C. 10⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）．⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D ）．⒍下列结论正确的是（ A ）．若是正交矩阵，则也是正交矩阵⒎矩阵的伴随矩阵为（ C ）．⒏方阵可逆的充分必要条件是（B ）．⒐设均为阶可逆矩阵，则（D ）．⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．[,,]--'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．有唯一解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）．A. 3⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．可能无解⒎以下结论正确的是（D ）．齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．至少有一个向量 10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．B PAP =-1 ⒈为两个事件，则（B ）成立．⒉如果（C ）成立，则事件与互为对立事件．且⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）．4. 对于事件，命题（C ）是正确的．如果对立，则对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）．)1()1()1(223p p p p p -+-+- 6.设随机变量，且，则参数与分别是（A ）． A. 6, 0.87.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A ）．8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则=<<)(b X a P （ D ）．10.设为随机变量，，当（C ）时，有．⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A ）是统计量．⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D ）不是的无偏估计．x x x 123--1. 若0351021011=---x ，则=x （A ）．A . 32. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）． A1 B2 C3 D 43. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）．B A B A '+'='+)(4. 若满足（B ），则与是相互独立．)()()(B P A P AB P =5. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（D ）成立．22)]([)()(X E X E X D -=1. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，当C 为（B ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．42⨯2. 向量组的极大线性无关组是（A ）．3. 若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（D ）时线性方程组有无穷多解．124. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）.1215. 在对单正态总体的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（B ）．未知方差，检验均值二、填空题1. 1111111---x x 是关于x 的一个多项式，该式中一次项x 系数是 2 ．2. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12 ．3. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵方程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．4. 若方阵满足A A '=，则是对称矩阵． 5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111A ，则1 ．6. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12514⎥⎦⎤⎢⎣⎡--451231． 7. 向量组)01(),110(),011(321k ===ααα线性相关，则_____=k .1-8．含有零向量的向量组一定是线性 相关 的． 9. 若元线性方程组0=AX 满足，则该线性方程组有非零解．10. 线性方程组b AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54⨯矩阵，则方程组增广矩阵)(b A r = 3 ．11. 齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→→000020103211 A则方程组的一般解为 4342431,(22x x x x x x x ⎩⎨⎧=--= ．是自由未知量） 12. 当λ= 1 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．13. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A P B A P B A P ，则)(AB P 3.0 ． 14. 设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立 ．15. 设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25.03.0101~a X ，则45.0．16. 设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k =π4．17. 设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.02.03.0210~X ，则=≠)1(X P 8.0． 18. 设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它103)(2x x x f ， 则=<)21(X P 81．19. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.05.05.05.05201~X ，那么=)(X E 3 ．20. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15 ．21. 设随机变量的期望存在，则0 ．22. 设随机变量，若5)(,2)(2==X E X D ，则=)(X E 3．23. 不含未知参数的样本函数称为统计量．24. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i i x )104,(μN ．25. 若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 有效 ． ⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵．⒋二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设均为3阶矩阵，且，则72 ．⒎设均为3阶矩阵，且，则－3 ．⒏若为正交矩阵，则 0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ． ⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根．10．若矩阵Ａ满足A A'=-1，则称Ａ为正交矩阵．是两个可逆矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ． ⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为52． 2.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ，0.3 ．3.为两个事件，且，则()A P ．4. 已知，则P -1．5. 若事件相互独立，且，则pq q p -+．6. 已知，则当事件相互独立时， 0.65 ， 0.3 ．7.设随机变量，则的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x xx ． 8.若，则 6 ．9.若，则)3(2Φ．10.称为二维随机变量的 协方差 ．1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ． 4．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量nx U /0σμ-=．5．假设检验中的显著性水平为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A BB A )(1'-2. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则_____=k .1-3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 6.0．4. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 4.2．5. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i ix )104,(μN ． 1. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB 8-．2.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=070040111A ，则_________________)(=A r ．2 3. 设是三个事件，那么A 发生，但CB ,至少有一个不发生的事件表示为)(C B A +.4. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15．5. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体的一个样本，∑==ni ix n x 11，则=)(x D n2σ．三、计算题1. 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=244213001,543322011B A ，证明B A -可逆，并求1)(--B A ．解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-301111010B A ， 因为023111301111010≠=---=--=-B A ，所以B A - 可逆 且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--212121001212323)(1B A 2. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解： （1）1111021121110211423532211=---=---=---=A （2）利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211即3. 设矩阵，求及．解： 利用初等行变换得即由矩阵乘法得4. 已知B AX X +=，其中02323347,5858901A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，求X ． 解：由方程B AX X +=，得()I A X B -=，且1233575810I A ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→121100255010364021121100013210001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001 即 1()I A --=641552121--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 由矩阵乘法得164123813()55258152312101812X I A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦5. 设矩阵11512112353181913978A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的秩． 解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----68144034720347202151187931918135321121511 11512027430000000000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 由此可知矩阵的秩为2．6. 求向量组[]11,3,2,1,1α=---，[]23,8,4,1,0α=---，[]32,1,4,2,1α=--，[]41,2,6,1,2α=---的秩，并求该向量组的一个极大无关组．解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形1321101223002101200000---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 由此可知该向量组的秩为3，且321,,ααα是一个极大无关组．7. 分别说明当取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．在有无穷多解的情况下求出一般解． 解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形…当时，方程组无解。
工程数知识点总结
工程数知识点总结工程数学是工程领域中的一门基础学科，它是数学的一个分支，旨在为工程问题建立数学模型，并使用数学方法解决工程中的问题。
工程数学的研究内容非常广泛，包括微积分、线性代数、概率统计、离散数学等多个方面的知识。
本文将从工程数学的基本概念和基本原理出发，系统地介绍工程数学的各个知识点。
一、微积分微积分是工程数学中最重要的一个分支，它是研究函数的极限、导数、积分和级数的数学方法。
在工程领域中，微积分被广泛应用于求解各种问题，包括曲线的长度、曲线下面积、物体的体积和表面积、动力学分析、电路分析等。
因此，对微积分的学习是工程学生的必修课程。
1.1 函数的极限与连续性几乎所有的微积分知识都是建立在函数的极限和连续性基础上的。
函数的极限是描述函数在某一点附近的变化趋势，它是微积分的基本概念。
函数在某一点处的极限存在的充分必要条件是函数在该点处连续。
因此，函数的连续性也是微积分中的重要内容。
1.2 导数与微分导数是描述函数在某一点处的变化率，它是微积分的重要概念。
在工程中，导数被广泛应用于求解问题的最优解，如最小化成本、最大化收益等。
微分是导数的一种近似表达，它被应用在函数近似和微分方程的求解中。
1.3 积分与不定积分积分是描述函数下方的面积，它是微积分的另一重要概念。
在工程领域中，积分被广泛应用于求解曲线下的面积、物体的体积和表面积等。
不定积分是积分的一种形式，它是积分的反运算，常用于求解不定积分方程。
1.4 微分方程微分方程是描述自变量和因变量及其导数之间关系的方程，它是微积分在实际问题中的应用。
在工程领域中，微分方程被广泛应用于描述动力学系统、电路系统、热传导系统、弹性系统等，因此它是工程数学中非常重要的知识点。
二、线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学方法，它是工程数学中的另一个重要分支。
在工程问题中，线性代数被广泛应用于解决线性方程组、矩阵运算、特征值和特征向量等问题，因此对线性代数的学习也是工程学生的必修课程。
同济版 工程数学-线性代数(第五版)期末复习知识要点(成都大学田晓滨老师作品)
a1 n a2 n K a n1
an1
√ 逆矩阵的求法:
ο
an1
ο
成都大学田晓滨老师作品
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同济版 工程数学- 线性代数(第五版)期末复习知识要点
① A −1 =
A∗ A
初等行变换 ② ( AM E ) ⎯⎯⎯⎯ ( E M A− 1 ) → −1
⎡a b ⎤ 1 ③⎢ ⎥ = ad − bc ⎣c d ⎦ ⎡ a1 ⎢ ④⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ A1 ⎢ ⑤⎢ ⎢ ⎢ ⎣
① 若 A与 B 都是方阵（不必同阶）,则
A ∗ A ο A ο = = =A B ο B ∗ B ο B
∗ A = ( −1)mn A B B ο
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ∗ ③关于副对角线：
a1 n a2 n −1
N =
ο a2 n −1
N
a1 n
= ( −1)
n (n −1) 2
T
,
则：ri = Aβi , i = 1, 2,L , s ,即 A(β1 , β2 ,⋅⋅⋅ , β s ) = ( Aβ1 , Aβ2 ,L , Aβ s )
√ 用对角矩阵 Λ 左乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 Λ 右乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
13
记作： {α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n } = { β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn } %
记作： A = B %
矩阵 A 与 B 等价 ⇔ r ( A ) = r (B ) ≠> A , B 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵 A 与 B 作为向量组等价 ⇔ r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅,α n ) = r (β1 , β 2 , ⋅⋅⋅, β n ) = r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅α n , β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn ) ⇒ 矩阵 A 与 B 等价.
07年春期工程数学课程期末复习指导
07年春期《工程数学》课程期末复习指导重庆电大远程导学中心理工导学部2007年6月修订第一部分课程考核说明1．考核目的通过本次考试，了解学生掌握工程数学课程基本概念、基本计算的程度及运用它们解决实际问题的技能。
2．考核方式期末闭卷考试、90分钟。
3．命题依据教材内容、教学大纲、教学实施意见。
4．考试要求本次考试主要考学生掌握基本概念、基本计算方法和应用能力。
在能力层次上，从了解、理解、掌握三个角度来要求。
了解要求学生对本课程相关知识有所了解，考试不作要求；理解要求学生对有关抽象概念和运算过程较复杂题目的方法理解；要求学生能对基本概念、基本计算方法技能及运用所学知识解决实际问题的技能的掌握。
5．考题类型及比重考题类型及分数比重大致为：单项选择题（25%）、填空题（25%）、计算题（40%）和证明题（10%）。
6．适用范围、教材本复习指导适用于成人本科土木工程专业的课程；有2本主教材。
《线性代数》：由李林曙、施光燕主编，中央广播电视大学出版社（2005年9月第10次印刷）；《概率论与数理统计》：由李林曙、施光燕主编，中央广播电视大学出版社（2004年11月第6次印刷）。
第二部分期末复习的范围和要求线性代数第1章行列式一、重点掌握1.行列式的性质。
2.利用性质计算行列式的方法,特别是三阶带参数和四、五阶数字行列式。
二、一般掌握1.理解n阶行列式的递归定义。
2.克莱姆法则的条件与结论。
第2章矩阵一、重点掌握1.矩阵的运算,性质和矩阵的初等行变换。
2.求逆矩阵的两种方法——伴随矩阵法和初等行变换法,并会解矩形阵方程。
3.理解矩阵秩的概念,会求矩阵的秩。
4.掌握矩阵的分块方法及分块运算。
二、一般掌握1.能区分矩阵与行列式在性质及计算上的不同。
2.知道零矩阵,单位矩阵,对角矩阵,上三角矩阵,对称矩阵,正交矩阵的定义和性质,并能利用它们的定义及性质进行简单的证明。
3.理解可逆矩阵和逆矩阵概念及性质,可逆的充要条件,并能运用有关性质进行简单证明。
电大本科 工程数学-期末复习试卷含答案
工程数学综合练习（一）一、单项选择题A. 1B. -1C. 0D. 24. A.B 都是〃阶矩阵(〃:>1),则下列命题正确的是(). A.AB=BAB,若AB = O ，则 A = 0或8 = 0C. (A-B)2 =A 2-2AB + B 2D.仇耳=凤同 5. 若A 是对称矩阵，则等式()成立. A. A -1 = A f B. A = —A C. A = A'D. A ，= -A1 2 6. 若 A = 3 5，则A. 0 9. 向量组a, =[1 2 3]',%=[2 2 4]',%=[1 极大无关组可取为（）.B. a,,a 2C.D. %,。
2，%，。
410. 向量组 %=[1,0,-2],%=[2,3,5],%=[1,2,1],则 2a,+a 2-3a 3 =b a 2 b 2a 3 a 2 3角-如C 2a 33%-打 C3B 是矩阵，则下列运算中有意义的是（）. A'B D AB' 3. 己知A7.若人=2 2 2 23 3 3 3 44 4 4C. 2A. 4 2]',%= [2 3 5]'的一个 C 2 C 3C|设A 是〃xs 矩阵， AB B. BA C.2. A. 0 0 -a,若 AB = ,则。
=（8.向量组A. 1,-3,2B. 1,-3,-2]C. 1,3,-2]D. 1,3,2]11. 线性方程组」X，+X2=+X2=解的情况是(). x 2 + x 3 = 0A.无解 D.只有零解 C.有唯一非零解 D.有无穷多解12, 若线性方程组AX=O 只有零解，则线性方程组AX=b (). A.有唯一解 B.有无穷多解C.可能无解 D.无解 13. 若〃元线性方程组AX=O 有非零解，则()成立. A. r(A) < n B. r(A) = n C. |A| = 0D. A 不是行满秩矩阵14. 下列事件运算关系正确的是(). C. D. B = BA+BA15. 对于随机事件A,B.下列运算公式()成立. A. P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) B. P(AB) = P(A)P(B) C. P(AB) = P(8)P(B|A) D. P(A + B) = P(A) + P(B)16. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都 是红球的概率是(). A. AB. Ac. AD .210 20 252517.若随机事件满足AB = 0,则结论()成立 A. A 与8是对立事件 B. A 与B 互不相容C. A 与B 相互独立D. 1与京互不相容 18.若A, B 满足() ,则A 与8是相互独立. A. P(A + B) = P(A) + P(B) B. P(A-B) = P(A)-P(B)Dpg端 中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布.A. B = BA + BAB. A = BA + BAC. P(AB) = P(A)P(B) 19.下列数组中，(1 1 1 3 1 1 3 12 4 16 162 4 8 820. 设X123则 P(X <2)=0.1 0.3 0.4 0.2A. 0.1B. 0.4C. 0.3D. 0.221. 随机变量X 〜8(3，：), 则 P(X <2)=()A. 0B.C.1D782822.已知X 〜N(2,22),若aX+b~ N(O,1),那么(). A. a = 2,b = -2 B.。
工程问题---复习专题ppt课件
习题---升级版
• 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7 天也能完成工作。问甲组2人和乙组7人合作多少时 间能完成这项工作？
32
习题---升级版
• 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间 与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间 一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做， 完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙 车间制作了多少个零件？
36
习题
• 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要 灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要 排光一池水，单开乙管需要 4小时，丁管需要6小时，现 在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、 乙……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出 水池？
37
习题
• 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5 个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个 水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水 龙头，问要多少时间才能把水放空？
习题
一项工程，甲独做需15天，乙独做需12天，现在 甲乙合作若干天后，乙再接着做3天，就完成了全部 工程，问甲乙合作了多少天？
16
习题
一项工程，甲队单独做需20天完成，如果甲乙合 作12天可以完成，如果乙队单独做，多少天可以完 成？
17
习题—多人
有一项工程，甲队独做需8天，乙队独做需10天， 丙队独做需20天，现在由丙队先独做9天后，再由甲 乙合作，问再需多少天可以完成？
33
习题---升级版
• 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要 12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在 A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮 助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库 货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
《工程数学》(概率统计)期末复习提要
《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：，.概率的主要性质是指：①对任一事件，有；② ；③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则.⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为，其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有，特别地，当时有；⑵条件概率：对于任意事件，若，有，称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则.⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：① ，② ；连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：① ，② .随机变量的分布函数定义为，对于离散型随机变量有，对于连续型随机变量有.⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式.⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为，特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为；⑶正态分布的密度函数为.其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为；服从标准正态分布的随机变量的概率为；那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出.常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有，则称与相互独立 .对随机变量，有；若相互独立，则有.第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程.⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是，其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是，其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。
工程数学线性代数复习资料
工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n 级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。
二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。
三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。
四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。
附复习题一、单项选择题1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．42．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A3．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 4．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ B ） A ．A T B T C T B ．C T B T A T C ．C T A T B T D ．A T C T B T6．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ D ） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关 D ．A 的行向量组线性相关8．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3500030000200041A ，则A 的特征值是（ C ） A ．2,2,1,1 B ．3,2,1,1 C ．3,3,2,1 D ．3,2,2,1 9．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．1510．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ B） A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111 11．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ D ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 12．设A ，B 为可逆矩阵，则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为（ A ）． A ．1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭ C 1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13．设A ，B 均为方阵且可逆，满足AXB C =则下列命题中正确是（ C ） A ．11X A B C --= B ．11X CA B --= C ．11X A CB --=D ．11X B CA --=14．设A ，B 均为n 阶方阵且可逆，A 为A 的行列式，则下列命题中不正确是（ B ）A ．TA A =B ．A A λλ= C ．AB A B = D ．11AA-=15．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则下列命题中不正确是（ C ） A ．()()A B C A B C ++=++ B ．()()AB C A BC = C ．AB BA = D ．()A B C AB AC +=+ 16．设A 、B 为n 阶方阵，满足0AB =，则必有（ B ）A ．0A =或0B = B ．0A =或0B =C ．0BA =D ．0A B +=17.3阶行列式j i a =011101110---中元素21a 的代数余了式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．218．设A 为m n ⨯矩阵，且非奇次线性方程组Ax b =有唯一解，则必有（ C ）A ．m n =B ．秩()A m =C ．秩()A n =D ．秩()A n <19．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ A ） A ．A -1C -1 B ．C -1A -1 C ．AC D ．CA 20．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4 21．设向量组4321,,,αααα，下列命题中正确是（ C ） A ．12233441,,,αααααααα++++线性无关 B ．12233441,,,αααααααα----线性无关 C ．12233441,,,αααααααα+++-线性无关 D ．12233441,,,αααααααα++--线性无关22．矩阵563101,121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值是（ A ） A ．1232λλλ=== B ．1231λλλ=== C ．1231,2λλλ=== D ．1233λλλ=== 23．排列()1,2,3,,12,2,,6,4,2⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n 的逆序数为（ C ） A ．()1+n n B ．()1-n n C ．2n D ．n24．排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（ A ）A ．偶排列B ．奇排列C ．非奇非偶D ．以上都不对 25．齐次线性方程组0=AX 有零解的充要条件是（ A ） A ．0≠A B ．0=A C ．1=A D ．1≠A二、填空题1．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =（ 0 ） 2．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A TA |=（ 4 ）3．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为 （ 0 ）4．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵B=A-E ，则矩阵B 的秩r(B )=（ 2 ）5．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= （ 4 ）6．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为（ 0 ）7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a a A 使()3=A R ，则a （2,1≠≠a a ） 8．设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛--311102，B =⎪⎭⎫ ⎝⎛753240，则A T B = 33335791119--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭9．方程组12340x x x x +=⎧⎨-=⎩的基础解系为（11100ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 20011ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）.10．设向量组α1=（6，4，1，-1，2），α2=（1，0，2，3，4），α3=（1，4，-9，-6，22）α4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为 （ 4 ）11．设A 可逆，A λ可逆，则A λ1()A λ-=（11A λ-）.12.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则TAP =3274⎛⎫⎪⎝⎭. 13.设矩阵A=020003400⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=001/41/20001/30⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 14.111122220000000a b c d a b c d =（()()512211221a b a b c d c d ∂=--） 15.使排列1274569j k 为偶排列，则j =（ 8 ）k =（ 3 ）.16．已知3阶行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a =6，则333231232221131211a a a a a a a a a =（16）. 17．若0λ=是方阵A 的一个特征值，则()det A =（ 0 ）.18．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121，则A 2-2A +E =2211--⎛⎫⎪-⎝⎭.19.若向量组()11,1,0t ∂=+，()21,2,0∂=，()230,0,1t ∂=+线性相关，则t =（ 1 ）.20.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =（-2）.21.若向量组U 与向量组（1，2，3，4），（2，3，4，5），（0，0，1，2）等价，则U 的秩（3）. 22.设A 为3阶方阵，()det 3A =-，则()det 2A -=（ 24 ）23.方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当λ=（ 1 ）时有无穷多解。
工程数学方法的主要内容期末复习提纲
工程数学方法的主要内容期末复习提纲一、工程数学的基本内容工程数学是指应用数学知识来处理实际问题的应用数学分支，是数学与工程技术紧密结合的科学学科。
主要包括代数、微分方程、解析几何、复变函数等数学方法在工程科学、气象科学、物理学、经济学、环境科学等各个领域的应用。
二、数学方法的应用1、代数的主要内容和应用代数是以操作算子来理解、表示和解决多项式和数学问题的统称。
它是工程数学中最基础的内容，应用于政治经济的数量分析、物理工程的物理现象的建模和气象预报等，并已经成为求解实际问题的必备技能。
2、微分方程内容和应用微分方程是求解变化不同程度的函数问题的最有效方法，它可以描述定义在一个或多个变量上的函数的局部变化规律。
它的应用非常广泛，可用于研究生物学、环境学、力学、气象学等各个学科。
3、解析几何及应用解析几何是以几何学的思维来探讨数学问题的一种方法，它是求解图形设计等直观问题的基础。
它可用于社会、科学、技术等各个工程领域，用来解决几何实质性问题，在工业设计、建筑设计和其他复杂系统设计中特别有用。
4、复变函数及应用复变函数是指在复数域中定义的函数，它与实变函数有着很大的不同。
它用于数字信号处理、通信工程、信息压缩、图像处理、电子器件等诸多工程领域，经常用来解决非实常变函数相关的问题。
三、数学方法期末复习提纲1、代数：多项式的求导、偏导数、极值点、空间矢量及其性质、系数矩阵的性质和计算、矩阵元的向量尺度及其变换、逆矩阵的求法、格林公式的应用等。
2、微分方程：常微分方程的求解方法，几何意义，它的特殊解的研究，椭圆型、双曲型和抛物型的性质、高阶常微分方程的求解及其应用、常微分方程的分离变量的求解法等。
3、解析几何：利用解。
大二上学期末工程数学进阶知识点速查
大二上学期末工程数学进阶知识点速查在大二上学期末复习工程数学时，有很多进阶知识点需要我们重点掌握。
这些知识点对于我们的学习和应用都非常重要，因此在复习时需要有针对性地进行整理和归纳。
下面就是一些大二上学期末工程数学进阶知识点的速查，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识点。
1. 矩阵和行列式矩阵和行列式是工程数学中非常重要的一部分。
在大二上学期末复习时，需要重点掌握矩阵的定义、性质、运算法则以及矩阵的逆和转置等内容。
同时，对于行列式的求解方法和性质也需要进行深入理解和掌握。
2. 线性代数线性代数是工程数学中的基础知识，也是大二上学期末复习的重点内容之一。
在复习时，需要对向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量等知识点进行系统地梳理和总结。
3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是工程数学中的一门重要课程，也是大二上学期末复习的难点之一。
在复习时，需要对概率的基本概念、常见概率分布、随机变量的性质，以及统计推断的基本方法和原理等内容进行深入地学习和掌握。
4. 微分方程微分方程是工程数学中的核心内容之一，也是大二上学期末复习的难点和重点。
在复习时，需要对常微分方程和偏微分方程的基本理论、解法和应用进行系统地梳理和总结。
5. 多元函数多元函数是工程数学中的重要内容之一，也是大二上学期末复习的重点知识。
在复习时，需要对多元函数的概念、偏导数、全微分、方向导数、梯度、散度和旋度等知识点进行深入地学习和掌握。
以上就是一些大二上学期末工程数学进阶知识点的速查，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识点，取得更好的学习成绩。
希望大家在复习过程中有所收获，顺利通过工程数学的考试。
六年级上册数学教案-总复习 工程问题复习｜北师大版
六年级上册数学教案-总复习工程问题复习｜北师大版教学目标知识与技能1. 让学生回顾和掌握工程问题的基本概念和解决方法。
2. 培养学生运用比例关系解决工程问题的能力。
3. 加强学生解决实际问题时的时间观念和效率意识。
过程与方法1. 通过实例分析，让学生理解工程问题的基本类型和解决策略。
2. 引导学生运用图表、方程等方法来分析工程问题。
3. 通过小组合作，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。
情感态度价值观1. 培养学生对数学学习的兴趣和自信心。
2. 引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性。
3. 培养学生面对困难时保持积极态度和坚持不懈的精神。
教学内容1. 工程问题的基本概念和类型。
2. 工程问题中的数量关系和比例关系。
3. 工程问题的解决方法和策略。
4. 实际生活中的工程问题案例分析。
教学重点与难点教学重点1. 工程问题的基本概念和类型。
2. 工程问题中的数量关系和比例关系。
3. 工程问题的解决方法和策略。
教学难点1. 工程问题中的复杂数量关系的理解和处理。
2. 工程问题解决方法的灵活运用。
3. 将工程问题与实际生活情境相结合。
教具与学具准备1. 教具：PPT、教学图表、工程问题案例资料。
2. 学具：笔记本、计算器、工程问题练习册。
教学过程1. 导入：通过一个简单的工程问题案例，引起学生对工程问题的兴趣和好奇心。
2. 基本概念和类型介绍：讲解工程问题的基本概念和常见类型，通过具体例子进行说明。
3. 数量关系和比例关系：引导学生分析工程问题中的数量关系，并强调比例关系在解决问题中的重要性。
4. 解决方法和策略：介绍解决工程问题的常用方法和策略，并通过实例进行演示。
5. 小组讨论：将学生分成小组，让他们合作解决一个稍微复杂的工程问题，并分享解决过程和结果。
6. 案例分析：分析一个实际生活中的工程问题，让学生了解工程问题在现实中的应用。
7. 总结与反思：总结本节课的重点内容，并让学生分享他们的学习心得和困惑。
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工程数学（本）期末复习提要中央电大师范部数学教研室开放教育土木工程本科专业与水利水电工程本科专业的“工程数学（本）”课程的内容包括《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央电大出版社出版）两本教材的全部内容。
在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考。
第1章：n阶行列式⒈理解n阶行列式的递归定义。
⒉掌握利用性质计算行列式的方法。
性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质7⒊知道克莱姆法则。
第2章：矩阵⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。
矩阵的运算满足以下性质⒉掌握方阵乘积行列式定理。
是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有：⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。
若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。
用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质：⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。
第3章：线性方程组⒈了解向量的概念及线性运算，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判断向量组的线性相关性。
对于向量组，若存在一组不全为零的常数，使得 则称向量组线性相关，否则称线性无关。
⒉了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。
向量组的一个部分组如满足 ⑴线性无关；⑵向量组中的任一向量都可由其线性表出。
则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。
⒊理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法。
线性方程组有解的充分必要条件是：。
元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：。
⒋熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。
(建筑工程管理)工程数学期末复习指导
（建筑工程管理）工程数学期末复习指导《经济数学基础》课程考核说明I．相关说明和实施要求本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融、工商管理、会计学等专业的学生．本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式．考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩俩部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格．其中形成性考核作业成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%．形成性考核作业的内容及成绩的评定按《广播电视大学高等专科经济数学基础课程教学实施方案》的规定执行．经济数学基础课程考核说明是根据《广播电视大学高等专科“经济数学基础”课程教学大纲》制定的，参考教材是由李林曙、黎诣远主编的、高等教育出版社出版的“新世纪网络课程建设工程——经济数学基础网络课程”的配套文字教材：•经济数学基础网络课程学习指南•经济数学基础——微积分•经济数学基础——线性代数考核说明中的考核知识点和考核要求不得超出或超过课程教学大纲和参考教材的范围和要求．本考核说明是经济数学基础课程期末考试命题的依据．经济数学基础是广播电视大学财经类各专业高等专科学生的壹门重要的必修基础课，其全国统壹的结业考试（期末考试）是壹种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校财经类专业的大专水平．因此，考试应具有较高的信度、效度和壹定的区分度．试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点．考试旨在测试有关微积分和线性代数的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力．期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点．微积分和线性代数各部分在期末试卷中所占分数的百分比和它们在教学内容中所占的百分比大致相当，微积分约占58%，线性代数约占42%．考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．单项选择题的形式为四选壹，即在每题的四个备选答案中选出壹个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15％，解答题70％．期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟．考试时不得携带除书写用具以外的任何工具．II.考核内容和考核要求考核内容分为微分学、积分学和线性代数三个部分，包括函数、导数和微分、导数应用、多元函数微分学、不定积分、定积分、积分应用、行列式、矩阵、线性方程组等方面的知识．（壹）微分学1．函数考核知识点：函数的概念函数的奇偶性复合函数分段函数基本初等函数（不含反三角函数）和初等函数经济分析中的几个常见函数建立函数关系式考核要求：⑴理解函数概念，掌握函数的俩要素 定义域和对应关系，会判断俩函数是否相同；⑵掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；⑶掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；⑷了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；⑸了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；⑹知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形；⑺了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；⑻会列简单应用问题的函数表达式．2．导数和微分考核知识点：极限的概念无穷小量和无穷大量极限的四则运算法则俩个重要极限函数的连续性和间断点导数的定义导数的几何意义导数基本公式和导数的四则运算法则复合函数求导法则高阶导数微分的概念及运算法则考核要求：⑴知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量和无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；⑶掌握极限的四则运算法则，掌握俩个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；⑷了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；⑸理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导和连续的关系；⑹熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；⑺知道微分的概念，会求函数的微分；⑻知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数．3．导数应用考核知识点：函数的单调性函数的极值和最大（小）值导数在实际问题中的应用考核要求：⑴掌握函数单调性的判别方法；⑵了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点和驻点的区别和联系，会求函数的极值；⑶了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；会计算需求弹性；⑷熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等）．4．多元函数微分学考核知识点：二元函数概念偏导数、全微分的概念及其计算二元函数的极值拉格朗日乘数法二元函数的极值在经济中的应用考核要求：⑴会求二元函数的定义域．⑵掌握求全微分的方法和求壹阶、二阶偏导数的方法．会求简单的复合函数、隐函数的壹阶偏导数．⑶了解二元函数极值的必要充分条件，会用拉格朗日乘数法求条件极值．（二）积分学1．不定积分考核知识点：原函数和不定积分概念不定积分的性质积分基本公式直接积分法第壹换元积分法分部积分法考核要求：⑴理解原函数和不定积分概念，了解不定积分的性质，会求当曲线的切线斜率已知且满足壹定条件时的曲线方程，知道不定积分和导数（微分）之间的关系；⑵熟练掌握积分基本公式和直接积分法；⑶掌握不定积分的第壹换元积分法（凑微分法）；⑷掌握不定积分的分部积分法，会求被积函数是以下类型的不定积分：①幂函数和指数函数相乘，②幂函数和对数函数相乘，③幂函数和正（余）弦函数相乘；2．定积分定积分概念定积分性质牛顿−−莱布尼兹公式，第壹换元积分法分部积分法无穷限积分考核要求：⑴了解定积分概念及性质，掌握牛顿−−莱布尼兹公式；⑵掌握定积分的第壹换元积分法（凑微分法）；⑶掌握定积分的分部积分法，会求被积函数是以下类型的定积分：①幂函数和指数函数相乘，②幂函数和对数函数相乘，③幂函数和正（余）弦函数相乘．⑷知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分．3．积分应用考核知识点：积分的几何应用积分在经济分析中的应用常微分方程考核要求：⑴掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积；⑵熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；⑶了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；⑷掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求壹阶线性微分方程的解．（三）线性代数1．行列式考核知识点：n阶行列式概念行列式的性质计算行列式的化三角形法和降阶法克拉默法则考核要求：⑴了解n阶行列式概念及其性质；⑵掌握行列式的计算；⑶知道克拉默法则．2．矩阵考核知识点：矩阵概念和矩阵的运算特殊矩阵矩阵的初等行变换和矩阵的秩可逆矩阵和逆矩阵考核要求：⑴了解矩阵和矩阵相等的概念；⑵熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；⑶了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．⑷理解矩阵可逆和逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；⑸了解矩阵秩的概念；⑹理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．3．线性方程组考核知识点：线性方程组消元法线性方程组有解判定定理线性方程组解的表示考核要求：⑴了解线性方程组的有关概念：n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、壹般解；⑵理解且熟练掌握线性方程组的有解判定定理；⑶熟练掌握用消元法求线性方程组的壹般解．III.试题类型及规范解答举例壹、单项选择题1．若函数在处极限存在，则下列结论中正确的是（）．（A）在处连续（B）在处可能没有定义（C）在处可导（D）在处不连续（B）正确，将B填入题中括号内．（中等题）2．当（）时，线性方程组有唯壹解，其中是未知量的个数．（A）（B）（C）（D）（C）正确，将C填入题中括号内．（容易题）二、填空题1．函数的定义域是．在横线上填写答案“”．（容易题）2．若是的壹个原函数，且，则．在横线上填写答案“”．（中等题）三、解答题⒈设矩阵A=，B=，计算(AB)-1．解：因为AB==(ABI)=所以(AB)-1=（中等题）⒉（应用题）已知某产品的销售价格（单位：元／件）是销量（单位：件）的函数，而总成本为（单位：元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：由已知条件可得收入函数进而得到利润函数对利润函数求导得令得，显然是唯壹的极大值点，因此是最大值点．同时得即产量为300件时利润最大．最大利润是43500元．（较难题）⒊（证明题）试证：设是n阶矩阵，若=O，则．证明：因为===所以证毕．（中等题）IV.样卷壹、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．下列各函数对中，（）中的俩个函数相等．A．，B．，+1C．，D．，2．若函数在处极限存在，则在处（）．A.可能没有定义B.连续C.可导D.不连续3.下列等式不成立的是（）．A．B．C．D．4．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.5．设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的壹般解中自由未知量的个数为（）．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．函数的定义域是．7．需求量q对价格的函数为，则需求弹性为．8．.9．设是2阶矩阵，且，．10．设为俩个已知矩阵，且可逆，则方程的解．三、微积分计算题（每小题10分，本题共20分）11．设，求．12．计算积分．四、线性代数计算题（每小题15分，本题共30分）13．设矩阵，且有，求矩阵．14．设齐次线性方程组问 取何值时方程组有非零解，且求壹般解.五、应用题（本题20分）15．生产某种产品产量为（单位：百台）时总成本函数为（单位：万元），销售收入函数为（单位：万元），求⑴产量为多少时利润最大？⑵最大利润是多少？。
工程数学期末复习辅导-(5819)
X ，则下列等式中不正确的是（ 2E ( X )
2 2
） ．
1)
B ． D (2 X
1)
4D( X ) D( X )
D(X )
E ( X ) ( E( X ))
D． D ( X )
正确答案： A 二、 填空题 1．设三阶矩阵 应该填写： 2 2 ．线性方程组
A 的行列式 A
1 2
，则 A
1
=
．
AX
x1 x2 x3 x3
3 ，所以方程组有非零解．
方程组的一般解为：
，其中
x3 为自由元．
令
x3 =1 得 X 1= (1, 1, 1) ，则方程组的基础解系为
{ X 1} ．
通解为 k1X 1，其中 k1 为任意常数． 3 ．设随机变量
X ~ N ( 4 , 1) ． （ 1 ）求 P( X (1) 0. 8413, (1 .5 )
） ．
9 D (Y ) 3 D (Y )
B． 4D( X ) D ． 2D ( X )
X ~ N( ,
2
)，
2
未知，检验总体期望 B ． U 检验法 D ． F 检验法
采用（
） ．
x1
6．方程组
x2 x2 x3 x3
a1 a 2 相容的充分必要条件是 a3
B． D． ( ) ，其中
ai
0， i
1, 2, 3 ．
带的资料的不同，开卷考试允许考生携带任何资料，而半开卷考试只允许考生携带指定的资料，比如允许考生携 带一张统一印制 A4 纸，考生可以将自己对课程学习内容的总结包括重点、难点、不好记忆的公式、定理等写在
这张 A4 纸上带入考场，作为答卷的参考。 下面先给出各章的复习要求，然后针对重点内容给出一些综合练习，与大家一起做好期末复习工作。 行列式复习要求 1 ．知道 n 阶行列式的递归定义； 2．掌握利用性质计算行列式的方法； 3．知道克莱姆法则。 矩阵复习要求 1 ．理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上 了解初等矩阵的定义； 2．熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算； 3．掌握方阵乘积行列式定理； 4．理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件； 5．熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法； 6．理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法； 7 ．会分块矩阵的运算。 线性方程组复习要求 1 ．掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性 相关性； 2．会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法； 3 ．理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行 变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性； 4．熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法； 5．了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。 矩阵的特征值及二次型复习要求 1．理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法； 2．了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质； 3．知道正交矩阵的定义和性质； 4．理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法； ( 下 ) 三角矩阵、对称矩阵的定义，
10053工程基础数学—辅导材料
计算机硬件维护（专科）专业 《工程基础数学》辅导材料（2014年4月）考试题型及分值分配：一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 三、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分） 四、证明题（本大题共1小题，每小题8分，共8分）第一章 函数一、单项选择题 1．())1ln(12x x x f -++=的定义域是【 】A ．)1,2(- B.)1,2[- C.)1,0()0,2[⋃- D.)1,0()0,2(⋃- 2．下列各函数对中,表示相同函数的是【 】A.11)(2--=x x x f , x x g =)(+1B.)cos (sin )(22x x x x f +=,x x g =)(C.2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D.22)(,)()(x x g x x f ==,3．函数f x ()=xxee -+的图形关于【 】对称A. y 轴B. x 轴C.原点D.直线y=x 4．下列函数中为奇函数的是【 】A .3cos x x y += B.)1ln(2x x y ++= C.y=sin x +1 D.x tan x 5.12+=x y ，]0,(-∞∈x 的反函数是【 】 A.),1[,1+∞∈-=x x y ， B.),0[,1+∞∈--=x x y C. ),1[,1+∞∈-=x x y D.),1[,1+∞∈--=x x y6．下列函数是基本初等函数的是【 】 A.x1 B.)12sin(+x C.xe2- D.1122-+-x x x7．函数215y x=-的定义域是【 】A. [5,5]-B. (5,5)-C. (,5][5,)-∞-⋃+∞D. (,5)(5,)-∞-⋃+∞ 8．函数()arccot f x x =在()+∞∞-,上【 】A. 单调减少B. 单调增加C. 无界D. 有最大值 9．函数25y x =-的定义域是【 】 A. [5,5]-B. (5,5)-C. (,5][5,)-∞-⋃+∞D. (,5)(5,)-∞-⋃+∞ 10．函数()arctan f x x =在()+∞∞-,上【 】 A. 单调增加 B. 单调减少 C. 有界 D. 有最大值 11．函数()25lg x y -=的定义域是【 】 A. [5,5]-B. (5,5)-C. (,5][5,)-∞-⋃+∞D. (,5)(5,)-∞-⋃+∞ 12．函数()x arc x f cot 2=在()+∞∞-,上【 】 A. 单调增加 B. 单调减少 C. 无界 D. 有最大值 二、填空题 13．函数f （x ）=)1ln(1-x 的定义域是_______。
工程数学复习方法之二临近期末为帮助学生更好地复习工程数学
《工程数学》复习方法之二临近期末，为帮助学生更好地复习《工程数学》（包括《线性代数》、《概率论与数理统计》）的主要内容与方法，结合自身近年的一些教学经验，总结了一些学习复习的方法，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。
现将《线性代数》中第二章《矩阵及其运算》的要点与学习复习方法以问答形式总结如下：1．为什么要学习矩阵？答：矩阵是线性代数最重要的概念之一，由于对矩阵可以进行运算和变换，所以它成为线性代数的有力工具，是线性代数全部内容的纽带和桥梁。
它在数学与其他自然科学、工程技术、社会科学特别是经济学中有着广泛的应用。
例如，一般线性方程组有解的充要条件和作为解线性方程组基础的克莱姆法则都可以用矩阵运算导出；二次型的研究可以转化为对称矩阵的研究；由于线性变换与矩阵存在一一对应关系，从而可以利用矩阵来研究线性变换；向量组的线性相关性讨论也可以利用矩阵来研究。
2．为什么矩阵乘法不满足交换律？答：因为按照矩阵乘法的规定，只有当第一个矩阵A （左矩阵）的列数与第二个矩阵B （右矩阵）的行数相等时，两个矩阵相乘才有意义。
否则无意义。
另一方面，即使AB 与BA 都有意义，AB 与BA 仍然可以不相等。
总之，矩阵的乘法不满足交换律。
即在一般情况下，AB BA ≠. 但是对于同阶方阵, A B ，||||AB BA =是一定成立的，这是因为||||||, ||||||AB A B BA B A ==. 又对于数的运算，交换律成立，即||||||||A B B A =，故||||AB BA =.3．判断矩阵可逆的常用方法有哪些？答：判断矩阵可逆的常用方法有（1）若有方阵B ，使AB E =或BA E =，则A 可逆，且1A B -=.（2）计算方阵（如A ）的行列式是否不为零，若||0A ≠，则A 为可逆矩阵。
（3）若A 的伴随矩阵*A 可逆，或*||0AA A E =≠，则A 可逆。
（4）以后还会学到如下判别方法：① 若n 阶矩阵A 的秩()R A n =，则A 可逆。
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工程数学期末复习辅导大家好！现在是工程数学（本）本学期期末网上辅导的时间，欢迎大家参与这次活动。
我们首先对本课程的考核进行一些说明。
本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。
考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。
其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。
形成性考核的内容及成绩的评定按《中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。
期末考试的考核内容为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。
期末考试采用半开卷笔试形式，题型不变。
卷面满分为100分，考试时间为90分钟。
半开卷考试是介于闭卷考试和开卷考试两者之间考试方式。
半开卷考试与开卷考试的差别就在于允许考生携带的资料的不同，开卷考试允许考生携带任何资料，而半开卷考试只允许考生携带指定的资料，比如允许考生携带一张统一印制A4纸，考生可以将自己对课程学习内容的总结包括重点、难点、不好记忆的公式、定理等写在这张A4纸上带入考场，作为答卷的参考。
下面先给出各章的复习要求，然后针对重点内容给出一些综合练习，与大家一起做好期末复习工作。
行列式复习要求1．知道n阶行列式的递归定义；2．掌握利用性质计算行列式的方法；3．知道克莱姆法则。
矩阵复习要求1．理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义；2．熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算；3．掌握方阵乘积行列式定理；4．理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件；5．熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；6．理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法；7．会分块矩阵的运算。
线性方程组复习要求1．掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性；2．会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法；3．理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。
熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；4．熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；5．了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。
矩阵的特征值及二次型复习要求1．理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法；2．了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质；3．知道正交矩阵的定义和性质；4．理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法；5．了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。
随机事件与概率复习要求1．了解随机事件、概率等概念；2．掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；3．了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；4．熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式；5．理解事件独立性概念；6．掌握贝努里概型。
随机变量的分布和数字特征复习要求1．理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念；2．理解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差的方法；3．熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差；4．知道二维随机变量的概念，了解随机变量独立性概念；5．知道大数定律和中心极限定理。
数理统计基础复习要求1．理解总体、样本、统计量的概念，知道t分布，χ2分布，F分布，会查t，χ2，F分布表；2．会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法；3．了解估计量的无偏性、有效性的概念；4．了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法；5．知道假设检验的基本思想，熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验；6．了解最小二乘法的基本思想，会求一元线性回归方程的方法和F检验。
刚才我们给出了本课程各章复习要求，希望大家按照这些要求，结合下面的综合练习题进行认真复习．综合练习一、单项选择题1．A ，B 都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是( ) ． A ．AB=BA B ．若AB =O ，则O A =或O B = C ．2222)(B AB A B A +-=- D ．B A AB = 正确答案：D2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,333,022,001的秩是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 正确答案：C3．设矩阵A 的特征多项式3020001---=-λλλλA I ，则A 的特征值为 ( )．A ．1=λB ．2=λC ．3=λD ．11=λ，22=λ，33=λ 正确答案：D4．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）． A ．)(9)(4Y D X D - B ．)(9)(4Y D X D + C ．)(3)(2Y D X D - D ．)(3)(2Y D X D + 正确答案：B5．已知总体),(~2σμN X ，2σ未知，检验总体期望μ采用（ ）． A ．t 检验法 B ．U 检验法 C ．χ2检验法 D ．F 检验法 正确答案：A6．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，1,2,3i =．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a 正确答案： B7．设B A ,都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是( )．A ．B A B A +=+ B ．1111A BAB ----+=C ．AB A B =D ．A A λλ=正确答案：C8．下列命题中不正确的是（ ）．A ．A 与1A -有相同的特征值B ．A 与A '有相同的特征多项式C ．若A 可逆，则零不是A 的特征值D ．A 与A '有相同的特征值 正确答案：A9．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ）． A ．1)()(=+B P A P B ． P AB P A P B ()()()= C ．P A P A B ()()= D ． P A B P A P B ()()()+=+ 正确答案：D10．设随机变量X ，则下列等式中不正确的是（ ）． A ．(21)2()E X E X += B ． (21)4()D X D X +=C ．22()()(())D X E X E X =- D ． ()()D X D X -=正确答案：A二、填空题1．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = ． 应该填写：22．线性方程组B AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54⨯矩阵，则方程组增广矩阵)(B A r = ．应该填写：33．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= ． 应该填写：)()(B P A P -4．设随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛3.03.04.0210~X ，则E X ()= ． 应该填写：0.95．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 估计． 应该填写：无偏6．若三阶方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=632210001A ，则2A I -= ．应该填写：07．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称数λ为A 的 ． 应该填写：特征值8．已知()0.2,()0.4P A P B ==，则当事件A ,B 相互独立时，()P AB = ． 应该填写：0.089．设随机变量1234~0.10.30.5X a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则=a ．应该填写：0.110．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量 三、计算题1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=653312,112411210B A ，解矩阵方程B AX '=． 解：因为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-120730001210010411100112010411001210 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→123100247010235001123100001210011201， 得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-1232472351A所以='=-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123247235⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13729161813635132．2．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解．解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．3．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）． 解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ） = 2（1－)2(Φ）＝0.0454． （2）)44()(->-=>k X P k X P ＝1－)44(-≤-k X P＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk )5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk 即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．4．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u )解：已知3=σ，n = 64，且nx u σμ-= ~ )1,0(N因为 x = 21，96.121=-αu，且735.064396.121=⨯=-nuσα所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2121=+---nux nux σσαα．5．设矩阵122110135A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，121104B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，AX B =，求X ． 解：利用初等行变换可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101310011210001221100531010011001221 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→112100235010225021112100011210001221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→112100235010245001因此， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1122352451A 于是由矩阵乘法可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-1152614011211122352451B A X ． 6．求线性方程组12312312312324523438213496x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩的通解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----14770281414014770542169141328341325421 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000211012010000000021105421 方程组的一般解为 ⎩⎨⎧+=--=2123231x x x x ，(其中x 3是自由元)令x 3 = 0，得到方程组的一个特解X 0 =)0,2,1('-；不计最后一列，x 3 = 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X 1 =)1,1,2('-于是，方程组的通解为： 10kX X X +=，(其中k 是任意常数)． 7．设~(2,25)X N ，试求: (1) (1217)P X <<； (2) (3)P X >-． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9773.0)2(=Φ=Φ） 解：(1))3522()5217525212()1712(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 0215.09772.09987.0)2()3(=-=Φ-Φ= (2))152()52352()3(->-=-->-=->X P X P X P 8413.0)1(=Φ=8．某厂生产日光灯管．根据历史资料,灯管的使用寿命X 服从正态总体2(1600,70)N ．在最近生产的灯管中随机抽取49件进行测试，平均使用寿命为1520小时．假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化．(已知 96.1975.0=u )解：零假设1600:0=μH ；1600:1≠μH ．由于标准差没有改变，故已知2270=σ，选取样本函数 U x nN =-μσ~(,)01由已知1520=x ，16000=μ，700=σ，49=n ，于是得 84970160015200-=-=-=nx U σμ在0.05的显著性水平下，96.180>=-nx σμ，因此拒绝零假设0H ，即最近生产的灯管质量出现显著变化．四、证明题1．设B A ,是n 阶对称矩阵，试证：B A +也是对称矩阵． 证明：B A ,是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 B A B A '+'='+)(已知B A ,是对称矩阵，故有B B A A ='=',，即 B A B A +='+)(由此可知B A +也是对称矩阵，证毕．2．设B A ,都是n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，试证B AB '也是对称矩阵．证明：由矩阵转置的运算性质可得B A B B A B AB B ''=''''='')()( 又A 为对称矩阵，故A A ='，从而AB B AB B '='')(因此，AB B '也是对称矩阵．3．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。